Az x n és y n adatok folytonos CCFsA sorozata megkapható az x(t) és y(t) időfüggő függvények mintájaként, azaz x(nT a) =x n és y(nT a) =y n Kovariancia és korrelációs együttható használatával , ellenőrizheti az egyidejűleg mintavételezett korrelációs értékeket. Ezután ellenőrizheti, hogy van-e kapcsolat a meglévő és az előző jel között. Eszerint a kovariancia kiszámítása az nT a időpontban, a vezető jel (n-k)T a időpontjában vett mintából történik.. Minden kT a (k = 1,2 ...) értékre mindkét jel esetében bizonyos körülmények között új kovarianciaértékek keletkeznek, így a késleltetési időtől függő függvény kT a Saját neve van: keresztkorrelációs függvény. x és y jelek.

Adjuk meg az X(t), Y(t) x és y függvények átlagértékeit:

A szórást a következőképpen határozzuk meg

Az X(t), Y(t) jelek közötti kovarianciát a következőképpen számítjuk ki

Változó értékek esetén a lineáris átlagértékek = 0 és csak

A korrelációs függvények megszerzéséhez mindkét időfüggő jelet t-vel kell késleltetni. Állandó komponens nélküli jelek esetén a keresztkorrelációs függvényt a következőképpen számítjuk ki

Diszkrét keresztkorrelációs függvények:

A korrelációs elemzést a véletlenszerű folyamatok közötti statikus kapcsolatok, vagy ugyanazon véletlen folyamat fázisai közötti statikus kapcsolatok meghatározására használják. A korrelációs függvényeknek 2 típusa van: interkorrelációs függvények, autokorrelációs függvények. A keresztkorrelációs függvény két véletlenszerű folyamat vagy sorozat közötti kapcsolatot jellemzi:

Egy diszkrét függvénynél a t intervallum egy mintavételi lépéssel mozog a t tengely mentén, az egyes mintavételi pontokon kapott értékek jelentősek. x(t) és y(t-t) megszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk és elosztjuk 2T-vel

34. Korrelációelemzés. Kovariancia. Korrelációs együttható.

Korrelációs elemzés. Kovariancia:

A CA a véletlenszerű folyamatok közötti statisztikai kapcsolatok vagy ugyanazon véletlen folyamat fázisai közötti statisztikai kapcsolatok meghatározására szolgál. Ez utóbbi esetben az elemzést ortokorrelációnak nevezzük. A CA determinisztikus és sztochasztikus jelekhez használatos.

Kovariancia. Legyen két véletlenszerű sorozatunk Xn és Yn. Egy véletlenszerű sorozat különböző véletlenszerűségi szintekkel jellemezhető, pl. a szomszédos minták lehetnek teljesen függetlenek, vagy lehetnek bizonyos fokú függőségük. Tegyük fel, hogy ismerjük Xav és Yav átlagértékeit:

Az Xn és Yn szekvenciák mértéke és kapcsolata az sxy kovariancia:

Ha az Xn és Yn véletlen sorozatok középre vannak állítva (átlag kivonva), akkor:

Korrelációs együttható:

Coef. Corel. r a normalizált kovariancia, és

1 £ r £ 1. A normalizálás úgy történik, hogy a kovarianciát elosztjuk az sх és sу szórások szorzatával:

Az Xn és Yn adatsorok közötti kapcsolat, valamint a korrelációs együttható értékei szemléltethetők a megfelelő értékpárok (Xn és Yn) X/Y koordinátarendszerben történő ábrázolásával. Ha mindkét adatsor ugyanabban az irányban helyezkedik el, akkor kovariáns és a korrelációs együttható pozitív, ha ellenkező irányú, akkor negatív lesz. Ha az együttható korrel. = 0, akkor a mennyiségek között nincs függés. A korrelációs együttható abszolút értéke közelebb lesz az 1-hez, minél inkább függ egymástól a két változó.

2. Közelítés. Közelítés lineáris polinom segítségével.

Interpoláció– a görbe minden ponton áthalad.

Közelítés– előfordulhat, hogy a görbe egyáltalán nem halad át a pontokon.

(1/N)å|Dy i | ahol i=1,N.

A kapott összeg nem függ N-től. A nagyfokú mezőt nem lehet közelíteni, ezért egy 3. rendű polinomra korlátozódik.

Ha egy tucat pont találkozik az A ponttal, az élek nagymértékben eltérnek, akkor kizárható.

Két módszer létezik:

1) abszolút különbségek összege |f(x n)-y n | megközelítenie kell a minimumot.

2) a különbség négyzetösszege megközelíti a minimumot. Ez a legkisebb négyzetek módszere

Keresztkorrelációs függvény(VKF) a korrelációs tulajdonságok értékelése két véletlenszerű folyamat és a két profilon végzett terepi megfigyelésekkel, két úton stb.

A VKF kiszámítása a következő képlettel történik:

(4.7)

Ahol n- az egyes megvalósítások pontjainak száma, i.e. minden profilhoz, útvonalhoz stb.

És ezek a profilok és útvonalak megfigyelt adatainak átlagos értékei.

Ha az átlagértékek nullával egyenlőek: a (4.7) képlet egyszerűsödik

(4.8)

Nál nél m=0 a VCF érték megegyezik az azonos nevű megfigyelési minták mezőértékeinek szorzatával profilok, nyomvonalak stb. mentén.

Amikor a VCF értéke egyenlő az egy diszkréttel eltolt mezőértékek szorzatával. Ebben az esetben feltételezzük, hogy a következő profiltól balra történő eltolás egy diszkrét, azaz. , az előzőhöz képest, i.e. , pozitív torzításnak felel meg, azaz. , és a jobbra eltolás megfelel az értéknek.

Mivel a különböző mező értékeket szorozzák, az ACF számításával ellentétben az ACF nem páros függvény, pl. .

Amikor a VCF értéke egyenlő a két diszkréttel eltolt mezőértékek szorzatával stb.

A gyakorlatban gyakran használják a normalizált CCF-et (4.8)

ahol és az első és második útprofil mezőértékeinek szórása.

A VKF a geofizikai adatfeldolgozás három fő problémájának megoldásában talált alkalmazást:

1) A jel korrelációs tulajdonságainak értékelése a profilok közötti korreláció nélküli interferencia, nyomvonalak és a jel alakjának enyhe változása mellett profilról profilra (nyomról nyomra), amit a gyakorlatban általában végzünk, mivel a távolság A profilokat úgy választjuk meg, hogy a jelek korrelációban legyenek a profilok között, és ellenkezőleg, az interferencia nem korrelál. A szeizmikus kutatás során a geofonok közötti távolságokat úgy választják meg, hogy a szabálytalan zajhullámok ne legyenek korrelációban a szomszédos nyomok között. Ebben az esetben a VCF egyenlő lesz

azok. ha a jel alakzatai egyeznek, az utolsó összeg egyenlő lesz a jel ACF-jével.

Következésképpen a VCF megbízhatóbban becsüli meg egy jel korrelációs tulajdonságait, mint az ACF.

2) A jelek kiterjesztésének becslése a VCF pozitív szélsőértéke alapján. A TCF pozitív szélsőségei jelzik a jelkorreláció jelenlétét a profilok és a nyomok között, mivel annak az argumentumnak az értéke, amelynél a TCF extrémumát elérjük, megfelel a jel elmozdulásának a következő profilon az előzőhöz képest. egy. Így a CCF pozitív szélsőértékének nagysága alapján meghatározzák a jel profilról profilra való eltolódását, ami a jel kiterjedésének értékeléséhez vezet.

Különböző mértékű jelek (anomáliák) esetén a VCF-nek két vagy több pozitív szélsősége van.

A 4.2a ábra a fizikai tér öt profil mentén végzett megfigyelésének eredményeit és az ezeknek a megfigyeléseknek megfelelő VCF grafikonokat mutatja be, amelyekből meghatározható a jelek kiterjedése, amely megfelel a két diszkrét profilról profilra való elmozdulásuknak.

Két jel interferenciája esetén a 4.2, b ábrán látható módon két pozitív szélsőérték rögzítésre kerül a és -ben, amely később a jelek irányában több profil adatainak összegzésekor lehetővé teszi azok egyértelmű elkülönítését a felmérési terület.

Végül a CCF szélsőértékének éles eltolódása bármely profilpár esetében a szomszédos profilpárok szélsőértékeihez képest lehetővé teszi a CCF használatát a téreloszlás zavarainak azonosítására, amint az a 4.2c ábrán látható. Az ECF extrémák ezen eltolása segítségével általában a geofizikai felmérési profilokhoz közeli ütésekkel rendelkező töréseket térképeznek fel.

A szeizmikus rekordok feldolgozása során a szomszédos nyomvonalakból származó adatok közötti VCF felépítése becslést ad a teljes statikus és kinematikai korrekcióra, amelyet a VCF pozitív szélsőértékének abszcisszája határoz meg. Kinematikai ismeretekkel, i.e. Az időszelvény sebességi jellemzői alapján könnyen meghatározható a statikus korrekció értéke.

A keresztkorreláció megoldja a párhuzamos profilokból vagy különböző műszerekkel különböző időpontokban végzett megfigyelésekből stb. szerkesztett rendellenes gráfok függésének problémáját. A függőség mértékét az integrál fejezi ki.

R xy( t)= , (11.13)

Ahol t- eltolás a második függvény grafikonja szerint.

A két szomszédos profilon lévő diszkrét mezőértékekből kiszámított függvényt keresztkorrelációs függvénynek (MCF) nevezik, és a képlet alapján számítják ki.

V(m) =

Ahol Z i (x i)– mezőérték az első profilon a ponton xén; Z 2 (x i + m) – mezőérték a második profilon a ponton i+ m; és a szomszédos profilok átlagos mezőértékei.

A keresztkorreláció eredményeként a profilokhoz képest ferdén megnyúlt rendellenes test nyomon követhető. A mágneses anomália térképek korrelációja különféle geofizikai és geológiai térképekkel gyakran vizuálisan történik. A mágneses mező profilok közötti korrelációja a hasznos jelnek a zajháttértől való elkülönítésének korrelációs módszerére emlékeztet, amely a szeizmikus feltárásban a szabályozott irányvétel módszereként ismert.

A „Szabályos alakú testek gravitációs és mágneses anomáliáinak korrelációs függvényeinek atlasza” című kézikönyv (O. A. Odekov, G. I. Karataev, O. K. Basov, B. A. Kurbansakhatov) az anomáliák értelmezésére szolgáló korrelációs módszerek kidolgozását szolgálja. Az atlasz szabályos alakú testek korrelációs függvényeinek grafikonjait tartalmazza, amelyek elméleti görbéit az atlaszban D.S. Mikova. A grafikonokat a korrelációkutatás elméletéről és gyakorlatáról szóló szöveg előzi meg, és gondosan kidolgozzák az ACF gyakorlati alkalmazásának kérdéseit.

Autokorrelációs diagramok az anomáliákhoz Z(rendellenességekre is alkalmazhatók N) három szinten vannak megadva. A keresztkorrelációs grafikonok különböző típusú anomáliák kombinációira láthatók. A szöveg összefoglalja az autokorrelációs gráfok használatának célszerűségét a kezdeti mágneses anomáliák feldolgozásakor és értelmezésekor.

Az autokorreláció és a keresztkorreláció a statisztikai kutatás legújabb technikái. Bár az utóbbi évek szakirodalmában alig foglalkoztak velük, a lényegükről és alkalmazásukról közölt információk annotáció jellegűek. Úgy tűnik, hogy nagy mennyiségű terepi megfigyelés feldolgozásakor ezek a módszerek megtalálják a maguk helyét. A korrelációs függvények mágneses anomáliák értelmezésében való használatának problémájáról A. K. Malovichko ezt írta: „a modern geofizikai irodalomban nagy figyelmet szentelnek ennek a problémának, bár általában vitathatónak tűnik. Értelmezésekor figyelmen kívül hagyjuk a funkcionális mezők Coulomb-törvényen alapuló tanulmányozásának és az ismert formulák alkalmazásának lehetőségeit” /25/.

A tranziens folyamatok vizsgálatával kapcsolatos problémák megoldása során a korrelációs elméleteket kombinálják a Fourier-transzformációk elméletével. A korrelációs függvényekben szereplő integrálok konvolúciós integrálok, így az elmélet fejlesztését természetesen spektrális reprezentációk, frekvenciakarakterisztika és energiaspektrumok felhasználásával vesszük figyelembe.

A mágneses kutatás korrelációs elemzési módszereivel megoldott problémáit S.A. könyve írja le. Serkerova /29/.

JELZÉSEK És LINEÁRIS RENDSZEREK

Jelek és lineáris rendszerek. A jelek korrelációja

6. téma. JELKORRELÁCIÓ

Az extrém félelem és a bátorság rendkívüli lelkesedése egyaránt felborítja a gyomrot és hasmenést okoz.

Michel Montaigne. Francia jogász-gondolkodó, 16. század.

Ez a szám! A két függvény 100%-ban korrelál a harmadikkal, és egymásra merőlegesek. Nos, a Mindenhatónak voltak tréfái a Világ teremtésekor.

Anatolij Pismincev. Az uráli iskola novoszibirszki geofizikusa, XX.

1. Jelek autokorrelációs függvényei. Az autokorrelációs függvények (ACF) fogalma. Időkorlátos jelek ACF-je. Periodikus jelek ACF-je. Autokovariancia függvények (ACF). A diszkrét jelek ACF-je. Zajos jelek ACF-je. A kódjelek ACF-je.

2. Jelek keresztkorrelációs függvényei (CCF). Keresztkorrelációs függvény (CCF). Zajos jelek keresztkorrelációja. A diszkrét jelek VCF-je. Periodikus jelek becslése zajban. Kölcsönös korrelációs együtthatók függvénye.

3. A korrelációs függvények spektrális sűrűsége. Az ACF spektrális sűrűsége. Jel korrelációs intervallum. A VKF spektrális sűrűsége. Korrelációs függvények számítása FFT segítségével.

bevezetés

A korreláció, és ennek speciális esete a központosított jelekre – a kovariancia – a jelelemzés módszere. Bemutatjuk a módszer alkalmazásának egyik lehetőségét. Tételezzük fel, hogy van egy s(t) jel, amely tartalmazhat (vagy nem) tartalmaz valamilyen véges T hosszúságú x(t) sorozatot, amelynek időbeli helyzete érdekel. Ahhoz, hogy ezt a sorozatot az s(t) jel mentén csúszó T hosszúságú időablakban keressük, kiszámítjuk az s(t) és x(t) jelek skaláris szorzatát. Így a kívánt x(t) jelet „alkalmazzuk” az s(t) jelre, az argumentuma mentén csúszva, és a skalárszorzat értékével megbecsüljük a jelek hasonlóságának mértékét az összehasonlítási pontokon.

A korrelációs elemzés lehetővé teszi a jelekben (vagy a jelek digitális adatsoraiban) bizonyos kapcsolat meglétét egy független változó jelértékének változásai között, vagyis amikor egy jel nagy értékei (relatív az átlagos jelértékekhez) egy másik jel nagy értékéhez kapcsolódnak (pozitív korreláció), vagy fordítva, egy jel kis értékei egy másik jel nagy értékéhez kapcsolódnak (negatív korreláció), vagy két jel semmilyen módon nem kapcsolódik egymáshoz (nulla korreláció).

A jelek funkcionális terében ez a kapcsolódási fok a korrelációs együttható normalizált egységeiben fejezhető ki, azaz a jelvektorok közötti szög koszinuszában, és ennek megfelelően 1-től fog értéket venni (teljes egybeesés jelek) -1-re (teljesen ellentétes), és nem függ a mértékegységek értékétől (skálájától).

Az autokorrelációs változatban hasonló technikát alkalmaznak az s(t) jel skaláris szorzatának meghatározására saját másolatával, amely az argumentum mentén csúszik. Az autokorreláció lehetővé teszi az aktuális jelminták átlagos statisztikai függőségének becslését az előző és az azt követő értékektől (a jelértékek úgynevezett korrelációs sugara), valamint azonosítja a periodikusan ismétlődő elemek jelenlétét a jelben.

A korrelációs módszerek különösen fontosak a véletlenszerű folyamatok elemzésében, hogy azonosítsák a nem véletlenszerű összetevőket, és értékeljék e folyamatok nem véletlenszerű paramétereit.

Vegye figyelembe, hogy a "korreláció" és a "kovariancia" kifejezésekkel kapcsolatban némi zavar van. A matematikai irodalomban a "kovariancia" kifejezést a központosított függvényekre, a "korrelációt" pedig az önkényes függvényekre alkalmazzák. A szakirodalomban, és különösen a jelekkel és azok feldolgozási módszereivel foglalkozó szakirodalomban gyakran az ellenkező terminológiát használják. Ez nem alapvető fontosságú, de az irodalmi források megismerésekor érdemes odafigyelni e kifejezések elfogadott céljára.

6.1. Jelek autokorrelációs függvényei.

A jelek autokorrelációs függvényeinek fogalma . A véges energiájú s(t) jel autokorrelációs függvénye (CF - korrelációs függvény) a jel alakjának kvantitatív integrál karakterisztikája, amely a jelben azonosítja a minták kölcsönös időbeli kapcsolatának jellegét és paramétereit, amelyek mindig előfordulnak. időszakos jelekre, valamint az aktuális időpontokban leolvasott értékek intervalluma és függésének mértéke az aktuális pillanat korábbi történetétől. Az ACF-et az s(t) jel két másolatának szorzata határozza meg, amelyeket egymáshoz képest t idővel eltolunk:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Amint ebből a kifejezésből következik, az ACF a jel skaláris szorzata és másolata a t eltolódás változó értékétől funkcionális függőben. Ennek megfelelően az ACF rendelkezik az energia fizikai dimenziójával, és t = 0-nál az ACF értéke közvetlenül egyenlő a jel energiájával, és a lehető legnagyobb (a jel önmagával való kölcsönhatási szögének koszinusza egyenlő 1-gyel ):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

Az ACF páros függvényekre utal, ami könnyen ellenőrizhető, ha a t = t-t változót lecseréljük a (6.1.1) kifejezésben:

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

A maximális ACF, amely megegyezik a jelenergiával t=0-nál, mindig pozitív, és az ACF modul az időeltolás bármely értékénél nem haladja meg a jelenergiát. Ez utóbbi közvetlenül a skaláris szorzat tulajdonságaiból következik (ahogy a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség is):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1, t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cos j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Példaként az ábrán. A 6.1.1 két jelet mutat - egy téglalap alakú impulzust és egy azonos időtartamú T rádióimpulzust, valamint ezeknek a jeleknek megfelelő ACF alakjait. A rádióimpulzus-oszcillációk amplitúdója a négyszög alakú impulzus amplitúdójával egyenlő, miközben a jelenergiák is azonosak lesznek, amit az ACF központi maximumainak egyenlő értékei is megerősítenek. Véges impulzusidőtartamok esetén az ACF időtartamok is végesek, és egyenlők az impulzusidőtartamok duplájával (ha egy véges impulzus másolatát az időtartamának megfelelő intervallumával balra és jobbra is eltoljuk, az impulzus szorzata impulzus a másolatával egyenlő lesz nullával). A rádióimpulzus ACF rezgésének frekvenciája megegyezik a rádióimpulzus kitöltésének rezgésének frekvenciájával (az ACF oldalsó minimumai és maximumai minden alkalommal előfordulnak a rádióimpulzus másolatának egymást követő eltolásával a periódus felével kitöltésének oszcillációi).

Tekintettel a paritásra, az ACF grafikus ábrázolása általában csak t pozitív értékei esetén történik. A gyakorlatban a jeleket általában a pozitív argumentumértékek intervallumában adják meg 0-T-től. A +t előjel a (6.1.1) kifejezésben azt jelenti, hogy a t értékének növekedésével az s(t+t) jel másolata balra tolódik el a t tengely mentén, és túllép 0-n. Digitális jelek esetén ehhez az adatok megfelelő kiterjesztése szükséges a negatív argumentumértékek tartományába. És mivel a számításokban a t megadásának intervalluma általában jóval kisebb, mint a jel megadásának intervalluma, célszerűbb a jel másolatát az argumentumtengely mentén balra tolni, azaz helyette az s(t-t) függvényt használni. s(t+t) a (6.1.1) kifejezésben).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6,1,1")

Véges jelek esetén a t eltolódás értékének növekedésével a jel átmeneti átfedése a másolatával csökken, és ennek megfelelően a kölcsönhatási szög és a skaláris szorzat koszinusza összességében nullára hajlamos:

A központosított jel s(t) értékéből számított ACF az autokovariancia jel funkció:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

ahol ms az átlagos jelérték. A kovarianciafüggvények a korrelációs függvényekhez egy meglehetősen egyszerű összefüggés révén kapcsolódnak:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

Időkorlátos jelek ACF-je. A gyakorlatban egy bizonyos intervallumon át adott jeleket általában tanulmányozzák és elemzik. A különböző időintervallumokban meghatározott jelek ACF-jének összehasonlításához az ACF módosítása az intervallum hosszának normalizálásával gyakorlati alkalmazást talál. Például, amikor jelet ad meg az intervallumon:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

Az ACF kiszámítható gyengén csillapított, végtelen energiájú jelekre is, mint a jel skaláris szorzatának és másolatának átlagértéke, amikor a jelbeállítási intervallum a végtelenbe hajlik:

Bs(t) = . (6.1.4)

Az ACF ezen kifejezések szerint fizikai teljesítménydimenzióval rendelkezik, és egyenlő a jel és másolatának átlagos kölcsönös teljesítményével, funkcionálisan a másolat eltolódásától függően.

Periodikus jelek ACF-je. A periodikus jelek energiája végtelen, ezért a periodikus jelek ACF-jét egy T periódusra számítjuk, átlagolva a jel skaláris szorzatát és a perióduson belüli eltolt másolatát:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Egy matematikailag szigorúbb kifejezés:

Bs(t) = .

t=0 esetén a periódusra normalizált ACF értéke megegyezik a perióduson belüli jelek átlagos teljesítményével. Ebben az esetben a periodikus jelek ACF-je egy periodikus függvény, amelynek T periódusa azonos. Így az s(t) = A cos(w0t+j0) jelre T=2p/w0 esetén a következőt kapjuk:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

A kapott eredmény nem függ a harmonikus jel kezdeti fázisától, ami bármely periodikus jelre jellemző, és az ACF egyik tulajdonsága. Az autokorrelációs függvények segítségével bármilyen tetszőleges jelben ellenőrizheti a periodikus tulajdonságokat. ábrán látható egy példa egy periodikus jel autokorrelációs függvényére. 6.1.2.

Autokovariancia függvények (ACF) hasonlóan számítanak ki, középpontos jelértékek használatával. E funkciók figyelemre méltó jellemzője az egyszerű kapcsolatuk a jelek ss2 szórásával (a szabvány négyzete - a jelértékek szórása az átlagos értéktől). Mint ismeretes, a diszperziós érték megegyezik az átlagos jelteljesítménnyel, ami a következő:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

A varianciaértékre normalizált FAC értékek az autokorrelációs együtthatók függvényei:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Ezt a függvényt néha "igazi" autokorrelációs függvénynek is nevezik. A normalizálás miatt értékei nem függenek az s(t) jelértékek megjelenítési egységétől (skálájától), és a jelértékek közötti lineáris kapcsolat mértékét jellemzik a jelek közötti t eltolódás nagyságától függően minták. Az rs(t) º cos j(t) értéke 1-től (a leolvasások teljes közvetlen korrelációja) -1-ig (inverz korreláció) változhat.

ábrán. A 6.1.3. példa az s(k) és s1(k) = s(k)+zaj jelekre mutat be példát az ezeknek a jeleknek megfelelő FAK-együtthatókkal - rs és rs1. Amint az a grafikonokon látható, a FAK magabiztosan feltárta a periodikus oszcillációk jelenlétét a jelekben. Az s1(k) jelben lévő zaj a periódus megváltoztatása nélkül csökkentette a periodikus rezgések amplitúdóját. Ezt igazolja a Cs/ss1 görbe grafikonja, vagyis az s(k) jel FAC-ja normalizálással (összehasonlításképpen) az s1(k) jelszórás értékére, ahol jól látható, hogy zajimpulzusok , leolvasásaik teljes statisztikai függetlensége mellett a Сs1(0) érték növekedését okozták a Cs(0) értékéhez képest, és némileg „elmosódott” az autokovariancia együtthatók függvénye. Ennek oka az a tény, hogy a zajjelek rs(t) értéke t ® 0 esetén 1-re hajlik, t ≠ 0 esetén pedig nulla körül ingadozik, míg a fluktuációs amplitúdók statisztikailag függetlenek és a jelminták számától függenek (ezek nullára hajlamosak a minták számának növekedésével).

A diszkrét jelek ACF-je. Ha az adatmintavételezési intervallum Dt = const, az ACF számítást a Dt = Dt intervallumokon hajtják végre, és általában az nDt mintaeltolás n számainak diszkrét függvényeként írják fel:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

A diszkrét jeleket általában meghatározott hosszúságú numerikus tömbök formájában adják meg, a minták számozása k = 0,1,...K Dt = 1-nél, és a diszkrét ACF számítása energiaegységekben egyirányú változatban történik. , figyelembe véve a tömbök hosszát. Ha a teljes jeltömböt használjuk, és az ACF minták száma megegyezik a tömbminták számával, akkor a számítás a következő képlet szerint történik:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

A K/(K-n) szorzó ebben a függvényben egy korrekciós tényező a szorzott és összegzett értékek számának fokozatos csökkenéséhez, ahogy az n eltolódás növekszik. A nem központosított jelekre vonatkozó korrekció nélkül az átlagértékek összegzésének trendje jelenik meg az ACF-értékekben. A jelteljesítmény mértékegységében történő méréskor a K/(K-n) szorzót az 1/(K-n) szorzóval helyettesítjük.

A (6.1.10) képletet meglehetősen ritkán használják, főként determinisztikus jelek esetén, kis számú mintával. Véletlenszerű és zajos jelek esetén a nevező (K-n) és a szorzott minták számának csökkenése az eltolódás növekedésével az ACF-számítás statisztikai ingadozásainak növekedéséhez vezet. Ilyen körülmények között nagyobb megbízhatóságot biztosít az ACF jelteljesítmény egységekben történő kiszámítása a következő képlet alapján:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 k-n-nél< 0, (6.1.11)

azaz 1/K állandó tényezővel történő normalizálással és a jel nulla értékekkel történő kiterjesztésével (bal oldalra k-n eltolás esetén vagy jobb oldalra k+n eltolás esetén). Ez a becslés torzított, és valamivel kisebb szórással rendelkezik, mint a (6.1.10) képlet szerint. A (6.1.10) és (6.1.11) képletek szerinti normalizálások közötti különbség jól látható az ábrán. 6.1.4.

A (6.1.11) képlet a szorzatok összegének átlagának, azaz a matematikai elvárás becslésének tekinthető:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

A gyakorlatban a diszkrét ACF ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a folyamatos ACF. Ez is páros, és értéke n = 0-nál megegyezik a diszkrét jel energiájával vagy teljesítményével, a normalizálástól függően.

Zajos jelek ACF-je . A zajos jelet v(k) = s(k)+q(k) összegként írjuk fel. Általában a zajnak nem kell nulla átlagértékkel rendelkeznie, és egy N mintát tartalmazó digitális jel teljesítménynormalizált autokorrelációs függvénye a következő formában van írva:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + +. (6.1.13)

Az s(k) hasznos jel és a q(k) zaj statisztikai függetlenségével, figyelembe véve a matematikai elvárás bővülését

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

a következő képlet használható:

Bv(n) = Bs(n) + 2 +. (6,1,13")

ábra egy zajos jelre és annak ACF-ére egy példát mutat, összehasonlítva egy nem zajos jellel. 6.1.5.

A (6.1.13) képletekből az következik, hogy egy zajos jel ACF-je a hasznos jel jelkomponensének ACF-éből áll össze egy szuperponált zajfüggvénnyel, amely 2+ értékre csökken. Nagy K érték esetén, amikor → 0, Bv(n) » Bs(n). Ez lehetővé teszi nemcsak az ACF-ről érkező periodikus jelek azonosítását, amelyek szinte teljesen el vannak rejtve a zajban (a zajteljesítmény jóval nagyobb, mint a jelteljesítmény), hanem nagy pontossággal meghatározható azok periódusa, perióduson belüli alakja, ill. egyfrekvenciás harmonikus jelek esetén amplitúdójuk a (6.1.6) kifejezések segítségével.

	Barker jel	A jel ACF-je
	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Kódjelek a diszkrét jelek egy fajtája. Egy bizonyos M×Dt kódszó intervallumnál csak két amplitúdóértékük lehet: 0 és 1 vagy 1 és –1. A jelentős zajszintű kódok azonosításakor a kódszó ACF-jének alakja különösen fontos. Ebből a szempontból azok a kódok a legjobbak, amelyek ACF oldallebeny értékei minimálisak a kódszó intervallum teljes hosszában, a központi csúcs maximális értékével. Ilyen kódok közé tartozik a 6.1. táblázatban látható Barker-kód. Amint a táblázatból látható, a kód központi csúcsának amplitúdója számszerűen megegyezik M értékével, míg az oldalirányú rezgések amplitúdója n ¹ 0-nál nem haladja meg az 1-et.

6.2. Jelek keresztkorrelációs függvényei.

Keresztkorrelációs függvény A különböző jelek (CCF) értéke (cross-correlation function, CCF) leírja két jel alakjának hasonlóságának mértékét és a koordináta mentén egymáshoz viszonyított relatív helyzetüket (független változó). Az autokorrelációs függvény (6.1.1) képletét két különböző s(t) és u(t) jelre általánosítva a jelek következő skaláris szorzatát kapjuk:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

A jelek keresztkorrelációja a jelenségek és a fizikai folyamatok bizonyos korrelációját jellemzi, amelyet ezek a jelek tükröznek, és e kapcsolat „stabilitásának” mércéül szolgálhat, amikor a jeleket külön-külön dolgozzák fel különböző eszközökben. Véges energiájú jelek esetén a VCF is véges, és:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

ami a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségből és a jelnormák koordinátaeltolódástól való függetlenségéből következik.

Ha a (6.2.1) képletben lecseréljük a t = t-t változót, a következőt kapjuk:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Ebből következik, hogy a Bsu(t) ¹ Bsu(-t) paritási feltétel nem teljesül a TCF-re, és a TCF értékeinek nem kell maximumot elérnie t = 0-nál.

Ez jól látható az ábrán. 6.2.1, ahol két azonos jelet adunk, a 0,5 és 1,5 pontokban lévő középpontokkal. A (6.2.1) képlettel történő számítás a t értékek fokozatos növelésével azt jelenti, hogy az s2(t) jel egymás után balra tolódik az időtengely mentén (az s1(t) minden egyes értékére az s2( t+t) az integráns szorzást veszik figyelembe). t=0-nál a jelek ortogonálisak, a B12(t)=0. A maximális B12(t) akkor figyelhető meg, ha az s2(t) jelet a t=1 értékkel balra toljuk, amelynél az s1(t) és s2(t+t) jelek teljesen egyesülnek.

A (6.2.1) és (6.2.1") képletek szerinti CCF azonos értékei figyelhetők meg a jelek azonos relatív helyzetében: ha az u(t) jelet egy t intervallummal eltoljuk s-hez képest (t) jobbra az ordináta tengely mentén és s(t) jel az u(t) jelhez képest balra, azaz Bsu(t) = Bus(-t).

ábrán. A 6.2.2 példákat mutat be a CCF-re egy s(t) négyszögjelre és két azonos háromszögjelre, u(t) és v(t). Minden jelnek azonos a T időtartama, míg a v(t) jelet a T/2 intervallummal toljuk előre.

Az s(t) és u(t) jelek időben azonosak, és a jelek „átfedésének” területe t=0-nál maximális, amit a Bsu függvény rögzít. Ugyanakkor a Bsu függvény élesen aszimmetrikus, mivel u(t) aszimmetrikus jelalakkal egy s(t) szimmetrikus alakzathoz (a jelek középpontjához viszonyítva) a jelek „átfedési” területe eltérően változik az eltolódás irányától függően (t előjele, ahogy t értéke növekszik nulláról). Ha az u(t) jel kezdeti helyzetét az ordináta tengelye mentén balra toljuk (az s(t) jel előtt - v(t) jel), a CCF alakja változatlan marad és jobbra tolódik. ugyanazzal az eltolási értékkel - Bsv függvény az ábrán. 6.2.2. Ha a (6.2.1) függvények kifejezéseit felcseréljük, akkor az új Bvs függvény egy Bsv függvény lesz, amely t=0 függvényében tükröződik.

Ezeket a jellemzőket figyelembe véve a teljes CCF-et általában külön számítják ki a pozitív és negatív késésekre:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6,2,1")

Zajos jelek keresztkorrelációja . Két zajos jel esetén u(t) = s1(t)+q1(t) és v(t) = s2(t)+q2(t), a (6.1.13) képletek származtatási technikáját használva a másolat másolatának cseréjével. az s(t ) jelet az s2(t) jelre, könnyen levezethető a keresztkorrelációs képlet a következő formában:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

A (6.2.2) jobb oldalán lévő utolsó három tag t növekedésével nullára csökken. Nagy jelbeállítási intervallumok esetén a kifejezés a következő formában írható fel:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

Nulla átlagos zajértékek és a jelektől való statisztikai függetlenség esetén a következők fordulnak elő:

Buv(t) → Bs1s2(t).

A diszkrét jelek VCF-je. Az analóg jelek VCF-jének minden tulajdonsága a diszkrét jelek VCF-ére is érvényes, míg a diszkrét jelek fentebb a diszkrét ACF-re vázolt jellemzői rájuk is érvényesek (6.1.9-6.1.12 képletek). Különösen, ha Dt = const =1 az x(k) és y(k) jelekre a K mintaszámmal:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Normalizálva a teljesítményegységekben:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Periodikus jelek becslése zajban . A zajos jel a „referencia” jellel való keresztkorrelációval becsülhető meg próba és hiba használatával, a keresztkorrelációs függvény maximális értékre állításával.

Egy u(k)=s(k)+q(k) jelre, amely statisztikailag független a zajtól és → 0, a keresztkorrelációs függvény (6.2.2) a p(k) jelmintával q2(k)= A 0 a következő formában jelenik meg:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

És mivel → 0, ahogy N nő, akkor Bup(k) → Bsp(k). Nyilvánvaló, hogy a Bup(k) függvénynek akkor lesz maximuma, ha p(k) = s(k). A p(k) sablon alakjának megváltoztatásával és a Bup(k) függvény maximalizálásával s(k) becslést kaphatunk az optimális p(k) alak formájában.

Keresztkorrelációs együttható függvény A (VKF) az s(t) és u(t) jelek hasonlóságának mértékének kvantitatív mutatója. Az autokorrelációs együtthatók függvényéhez hasonlóan a függvények középre állított értékei alapján számítják ki (a keresztkovariancia kiszámításához elegendő csak az egyik függvényt középre helyezni), és az értékek szorzatára normalizálják. az s(t) és v(t) standard függvények közül:

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

A korrelációs együtthatók értékeinek t eltolással történő megváltoztatásának intervalluma –1-től (teljes fordított korreláció) 1-ig (teljes hasonlóság vagy száz százalékos korreláció) változhat. Azoknál a t eltolódásoknál, amelyeknél az rsu(t) nulla értékei figyelhetők meg, a jelek függetlenek egymástól (korrelálatlanok). A keresztkorrelációs együttható lehetővé teszi a jelek közötti kapcsolat meglétét, függetlenül a jelek fizikai tulajdonságaitól és nagyságától.

Korlátozott hosszúságú, zajos diszkrét jelek CCF-jének kiszámításakor a (6.2.4) képlet segítségével fennáll az értékek előfordulásának valószínűsége|rsu(n)| > 1.

Periodikus jeleknél általában nem alkalmazzák a CCF fogalmát, kivéve az azonos periódusú jeleket, például a bemeneti és kimeneti jeleket a rendszerek jellemzőinek tanulmányozásakor.

6.3. A korrelációs függvények spektrális sűrűsége.

ACF spektrális sűrűség az alábbi egyszerű megfontolások alapján határozható meg.

A (6.1.1) kifejezésnek megfelelően az ACF a jel és másolata skaláris szorzatának függvénye, eltolva a t intervallummal, -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

A pontszorzat a jel és másolatai spektrális sűrűségével definiálható, melynek szorzata a kölcsönös teljesítményspektrális sűrűség:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

A jelnek az abszcissza tengely mentén t intervallummal való elmozdulása a spektrális ábrázolásban a jel spektrumának exp(-jwt) szorzatával, a konjugált spektrum esetében pedig az exp(jwt) tényezővel jelenik meg:

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Ezt figyelembe véve a következőket kapjuk:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

De az utolsó kifejezés a jel energiaspektrumának (spektrális energiasűrűségének) inverz Fourier-transzformációja. Következésképpen a jel energiaspektrumát és autokorrelációs függvényét a Fourier-transzformáció kapcsolja össze:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Így az ACF spektrális sűrűsége nem más, mint a jel spektrális teljesítménysűrűsége, amely viszont az ACF-en keresztüli közvetlen Fourier-transzformációval határozható meg:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Ez utóbbi kifejezés bizonyos korlátozásokat ír elő az ACF formájára és időtartamának korlátozására vonatkozóan.

Rizs. 6.3.1. Nem létező ACF spektruma

A jelek energiaspektruma mindig pozitív, a jel teljesítménye nem lehet negatív. Következésképpen az ACF nem lehet téglalap alakú impulzus alakú, mivel a téglalap alakú impulzus Fourier-transzformációja egy váltakozó integrálszinusz. Az ACF-en nem lehetnek első típusú megszakítások (ugrások), mivel az ACF paritását figyelembe véve minden szimmetrikus ugrás a ±t koordináta mentén az ACF „szétválasztását” generálja egy bizonyos folytonos függvény összegére. és egy téglalap alakú impulzus, amelynek időtartama 2t, negatív értékek megfelelő megjelenésével az energiaspektrumban Ez utóbbira egy példa látható a ábrán. 6.3.1 (a függvények grafikonjait, ahogy az a páros függvényeknél szokás, csak a jobb oldalukkal ábrázoljuk).

A kellően kiterjesztett jelek ACF-jei általában korlátozott méretűek (korlátozott adatkorrelációs intervallumokat vizsgálnak –T/2 és T/2 között). Az ACF csonkítása azonban az ACF megszorzása egy T időtartamú téglalap alakú szelekciós impulzussal, amely a frekvenciatartományban a tényleges teljesítményspektrum konvolúciójában tükröződik a sinc(wT/2) váltakozó integrált szinuszfüggvénnyel. Ez egyrészt a teljesítményspektrum bizonyos simítását okozza, ami gyakran hasznos például jelentős zajszintű jelek tanulmányozása során. Másrészt azonban az energiacsúcsok nagyságának jelentős alulbecslése előfordulhat, ha a jel bármilyen harmonikus komponenst tartalmaz, valamint negatív teljesítményértékek megjelenése a csúcsok és ugrások szélein. Ezeknek a tényezőknek a megnyilvánulására egy példa látható az ábrán. 6.3.2.

Rizs. 6.3.2. Egy jel energiaspektrumának kiszámítása különböző hosszúságú ACF-ek segítségével.

Mint ismeretes, a jelteljesítmény-spektrumoknak nincs fáziskarakterisztikája, és azokból nem lehet jeleket rekonstruálni. Következésképpen a jelek ACF-je, mint a teljesítményspektrumok ideiglenes reprezentációja, szintén nem rendelkezik információval a jelek fázisjellemzőiről, és a jelek rekonstrukciója az ACF segítségével lehetetlen. Az azonos alakú, időben eltolt jeleknek azonos az ACF-je. Ezenkívül a különböző alakú jelek hasonló ACF-ekkel rendelkezhetnek, ha hasonló teljesítményspektrummal rendelkeznek.

Írjuk át a (6.3.1) egyenletet a következő formában

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

és behelyettesítjük a t=0 értéket ebbe a kifejezésbe. A kapott egyenlőség jól ismert és ún Parseval egyenlősége

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Lehetővé teszi a jel energia kiszámítását a jelleírás idő- és frekvenciatartományában egyaránt.

Jel korrelációs intervallum egy numerikus paraméter az ACF szélességének és a jelértékek érvek szerinti szignifikáns korrelációjának mértékének értékeléséhez.

Ha feltételezzük, hogy az s(t) jel megközelítőleg egyenletes energiaspektrummal rendelkezik W0 értékkel és wв-ig terjedő felső határfrekvenciával (egy középpontos téglalap alakú impulzus alakja, mint pl. a 6.3.3. ábrán az 1. jel fв = 50 Hz egyoldalas ábrázolásban ), akkor a jel ACF-jét a következő kifejezés határozza meg:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).

A tk jel korrelációs intervallumot az ACF középső csúcsának a szélessége tekintjük a maximumtól a nulla egyenes első metszéspontjáig. Ebben az esetben egy wв felső határfrekvenciájú téglalap alakú spektrumnál az első nulla átlépés a sinc(wвt) = 0-nak felel meg wвt = p-nél, amelyből:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Minél magasabb a jelspektrum felső határfrekvenciája, annál kisebb a korrelációs intervallum. A felső határfrekvencián egyenletes levágású jeleknél a wв paraméter szerepét az átlagos spektrumszélesség játssza (2. jel a 6.3.3. ábrán).

A statisztikai zaj teljesítményspektrális sűrűsége egyetlen mérésnél egy Wq(w) véletlenfüggvény, amelynek átlagos értéke Wq(w) Þ sq2, ahol sq2 a zajvariancia. A határértékben a zaj egyenletes spektrális eloszlása ​​esetén 0 és ¥ között az ACF zaj a Bq(t) Þ sq2 értékre hajlik t Þ 0-nál, Bq(t) Þ 0 t ¹ 0-nál, azaz a statisztikai zaj nem korrelált (tk Þ 0).

A véges jelek ACF-jének gyakorlati számításai általában a t = (0, (3-5)tk) eltolási intervallumra korlátozódnak, amelyben általában a jelek autokorrelációjával kapcsolatos fő információk koncentrálódnak.

Spektrális sűrűség VKF ugyanazon megfontolások alapján nyerhető, mint az AFC esetében, vagy közvetlenül a (6.3.1) képletből, ha az S(w) jel spektrális sűrűségét a második jel U(w) spektrális sűrűségével helyettesítjük:

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Vagy a jelek sorrendjének megváltoztatásakor:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6,3,5")

Az S*(w)U(w) szorzat az s(t) és u(t) jelek Wsu(w) kölcsönös energiaspektrumát jelenti. Ennek megfelelően U*(w)S(w) = Wus(w). Ezért az ACF-hez hasonlóan a keresztkorrelációs függvény és a jelek kölcsönös teljesítményének spektrális sűrűsége Fourier-transzformációval van összefüggésben:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6,3,6")

Általános esetben, a páros függvények spektrumai kivételével, a CCF függvényekre vonatkozó paritás nem megfelelőségének feltételéből az következik, hogy a kölcsönös energiaspektrumok összetett függvények:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

ábrán. 6.3.4 jól láthatóak a CCF kialakulásának jellemzői két azonos alakú, egymáshoz képest eltolt jel példáján.

Rizs. 6.3.4. A VKF megalakulása.

A jelek alakja és egymáshoz viszonyított helyzete az A formában látható. Az s(t) jel spektrumának modulja és argumentuma a B formában látható. Az u(t) spektrummodul megegyezik az S(w) modullal. ). Ugyanez a nézet mutatja az S(w)U*(w) kölcsönös jelteljesítmény-spektrum modulusát. Mint ismeretes, komplex spektrumok szorzásakor a spektrumok modulusait megszorozzuk, a fázisszögeket összeadjuk, míg az U*(w) konjugált spektrumnál a fázisszög előjelet vált. Ha a CCF kiszámítására szolgáló képletben (6.2.1) az első jel az s(t) jel, és az u(t-t) jel az ordináta tengelyen s(t) előtt van, akkor az S(w) fázisszögek ) negatív értékek felé növekszik, ahogy a frekvencia szögeket növel (anélkül, hogy figyelembe vennénk az értékek periodikus visszaállítását 2p-vel), és az U*(w) fázisszögek abszolút értékben kisebbek, mint az s() fázisszögek t) és növeljük (a konjugáció miatt) a pozitív értékek felé. A spektrumok szorzásának eredménye (amint az a 6.3.4. ábra C nézetén látható) az U*(w) szögértékek kivonása az S(w) fázisszögekből, míg a Az S(w)U*(w) spektrum a negatív értékek tartományában marad, ami biztosítja a teljes CCF-függvény (és csúcsértékei) nullától jobbra eltolódását a t tengely mentén (azonos jelek esetén - a jelek közötti különbség mértékével az ordináta tengely mentén). Ha az u(t) jel kezdeti helyzetét az s(t) jel felé toljuk, az S(w)U*(w) fázisszögek csökkennek a nulla határértéken a jelek teljes összehangolásával, míg a Bsu(t) függvény nulla t értékre tolódik el, az ACF-re való átalakítás előtti határértékben (azonos s(t) és u(t) jelek esetén).

A determinisztikus jeleknél ismert módon, ha két jel spektruma nem fedi át egymást, és ennek megfelelően a jelek kölcsönös energiája nulla, akkor az ilyen jelek egymásra merőlegesek. A jelek energiaspektrumai és korrelációs függvényei közötti kapcsolat a jelek kölcsönhatásának egy másik oldalát mutatja. Ha a jelek spektrumai nem fedik át egymást, és kölcsönös energiaspektrumuk minden frekvencián nulla, akkor az egymáshoz viszonyított bármely t időeltolódás esetén a CCF-jük is nulla. Ez azt jelenti, hogy az ilyen jelek nem korrelálnak egymással. Ez mind determinisztikus, mind véletlenszerű jelekre és folyamatokra érvényes.

Korrelációs függvények kiszámítása FFT segítségével Ez különösen a hosszú számsorok esetében egy olyan módszer, amely tízszer és százszor gyorsabb, mint az időtartomány egymást követő eltolódásai nagy korrelációs intervallumokban. A módszer lényege az ACF esetében a (6.3.2) és a VCF esetében a (6.3.6) képletekből következik. Tekintettel arra, hogy az ACF a CCF speciális esetének tekinthető ugyanarra a jelre, a számítási folyamatot az x(k) és y(k) jelekre a CCF példájával fogjuk megvizsgálni K mintaszámmal. magába foglalja:

1. Az x(k) → X(k) és y(k) → Y(k) jelek FFT spektrumának kiszámítása. Különböző számú minta esetén a rövidebb sort a nagyobb sor méretének megfelelő nullákkal párnázza ki.

2. Teljesítménysűrűség spektrumok számítása Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Inverz FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Nézzük meg a módszer néhány jellemzőjét.

Az inverz FFT, mint ismeretes, kiszámítja az x(k) ③ y(k) függvények ciklikus konvolúcióját. Ha a függvényminták száma egyenlő K-val, akkor a függvényspektrumok komplex mintáinak száma is egyenlő K-val, valamint Wxy(k) szorzatuk mintáinak száma. Ennek megfelelően a Bxy(k) minták száma az inverz FFT során szintén K-val egyenlő, és ciklikusan ismétlődik K-val egyenlő periódussal. Eközben a teljes jeltömbök lineáris konvolúciójával a (6.2.5) képlet szerint a az ICF csak egyik felének mérete K pont, a teljes kétoldali mérete pedig 2K pont. Következésképpen az inverz FFT-vel, figyelembe véve a konvolúció ciklikusságát, annak mellékperiódusai a CCF főperiódusára lesznek ráépítve, mint a két függvény szokásos ciklikus konvolúciója esetén.

ábrán. A 6.3.5 példát mutat két jelre és a lineáris konvolúcióval (B1xy) és az FFT-n keresztüli ciklikus konvolúcióval (B2xy) számított VCF-értékekre. Az átfedő oldalperiódusok hatásának kiküszöbölése érdekében a jeleket nullákkal kell kiegészíteni, a határértékben a minták számának megduplázódásáig, míg az FFT eredmény (B3xy grafikon a 6.3.5. ábrán) teljesen megismétli a lineáris eredményét. konvolúció (figyelembe véve a normalizálást a minták számának növekedéséhez).

A gyakorlatban a jelkiterjesztés nullák száma a korrelációs függvény természetétől függ. A nullák minimális számát általában egyenlőnek tekintik a függvények jelentős információs részével, azaz körülbelül (3-5) korrelációs intervallumokkal.

irodalom

1. Baskakov áramkörök és jelek: Tankönyv egyetemek számára. - M.: Felsőiskola, 1988.

19. Alkalmazott idősorelemzés. – M.: Mir, 1982. – 428 p.

25. Sergienko jelfeldolgozás. / Tankönyv egyetemek számára. – Szentpétervár: Péter, 203. – 608 p.

33. Digitális jelfeldolgozás. Gyakorlati megközelítés. / M., "Williams", 2004, 992 p.

Az észrevett elírásokról, hibákról és kiegészítési javaslatokról: *****@***ru.

szerzői jog©2008DavydovA.V.

Az autokorrelációs függvények tulajdonságai

Az autokorrelációs függvények fontos szerepet játszanak a véletlenszerű folyamatok ábrázolásában és a véletlen bemeneti jelekkel működő rendszerek elemzésében. Ezért bemutatjuk a stacionárius folyamatok autokorrelációs függvényeinek néhány tulajdonságát.

1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).

2. R x (t) = R x (-t). Az autokorrelációs függvény páros függvény. Egy függvény grafikonjának ez a szimmetriatulajdonsága rendkívül hasznos az autokorrelációs függvény számításakor, mivel ez azt jelenti, hogy csak pozitív t esetén lehet számításokat végezni, negatív t esetén pedig a szimmetria tulajdonság segítségével határozható meg.

3,½R x (t)½£ R x (0). Az autokorrelációs függvény rendszerint t = 0-nál veszi fel a legnagyobb értékét.

Példa. Egy véletlenszerű folyamatban X(t) = A Coswt, ahol A egy valószínűségi változó jellemzőivel: M(A) = 0, D(A) = s 2, keresse meg M(X), D(X) és R x ( t 1 , t 2).

Megoldás. Határozzuk meg a véletlenszerű folyamat matematikai elvárását és varianciáját:

M(X) = M(A Coswt) = Coswt × M(A) = 0,

D(X) = M((A Coswt-0) 2) = M(A 2) Cos 2 wt = s 2 Cos 2 wt.

Most keressük meg az autokorrelációs függvényt

R x (t 1 , t 2) = M(A Coswt 1 × A Coswt 2) =

M(A 2) Coswt 1 × Coswt 2 = s 2 Coswt 1 × Coswt 2.

A rendszer bemeneti X(t) és kimeneti Y(t) véletlen jelei egy kétdimenziós vektoros véletlenszerű folyamatnak tekinthetők, mutassuk be ennek a folyamatnak a numerikus jellemzőit.

Egy vektoros véletlenszerű folyamat matematikai elvárása és diszperziója a matematikai elvárás és összetevőinek diszperziója:

Bemutatjuk a vektorfolyamat korrelációs függvényét egy másodrendű mátrix segítségével:

ahol R xy (t 1 , t 2) az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok keresztkorrelációs függvénye, a következőképpen definiálva

A keresztkorrelációs függvény definíciójából az következik

R xy (t 1 , t 2) = R yx (t 2 , t 1).

Két véletlenszerű folyamat normalizált keresztkorrelációs függvénye X(t), Y(t) a függvény

Meghatározás. Ha az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok keresztkorrelációs függvénye nulla:

akkor a véletlenszerű folyamatokat korrelálatlannak nevezzük.

Az X(t) és Y(t) véletlenszerű folyamatok összegére az autokorrelációs függvény egyenlő

R x + y (t 1 , t 2) = R x (t 1 , t 2) + R xy (t 1 , t 2) + R yx (t 1 , t 2) + R y (t 1 , t 2 ).

Az X(t) és Y(t) nem korrelált véletlenszerű folyamatok esetén a véletlen folyamatok összegének autokorrelációs függvénye egyenlő az autokorrelációs függvények összegével

R x+y (t 1 , t 2) = R x (t 1 , t 2) + R y (t 1 , t 2),

és ezért a véletlen folyamatok összegének szórása egyenlő a szórások összegével:

D x+y (t) = D x (t) + D y (t).

Ha ahol X 1 (t), ..., X n (t) nem korrelált véletlenszerű folyamatok, akkor

Amikor különféle transzformációkat hajt végre véletlenszerű folyamatokkal, gyakran célszerű azokat összetett formában megírni.

Az összetett véletlenszerű folyamat a forma véletlenszerű folyamata

Z(t) = X(t) + i Y(t),

ahol X(t) , Y(t) valós véletlenszerű folyamatok.

Egy összetett véletlenszerű folyamat matematikai elvárása, korrelációs függvénye és varianciája a következőképpen definiálható:

M(Z) = M(X) + i M(Y),

ahol a * jel összetett ragozást jelöl;

Példa. Legyen egy véletlenszerű folyamat, ahol w egy állandó változó, itt A és j független valószínűségi változók, és M(A) = m A, D(A) = s 2, és j egyenletes eloszlású valószínűségi változó az intervallumon. Határozza meg a Z(t) összetett véletlenfolyamat matematikai elvárását, korrelációs függvényét és varianciáját!

Megoldás. Keressük meg a matematikai elvárást:

A j valószínűségi változó egyenletes eloszlását felhasználva az intervallumon, megkaptuk

A Z(t) véletlenszerű folyamat autokorrelációs függvénye egyenlő

Innen már megvan

D z (t 1) = R z (t 1, t 1) = s 2 + m A 2.

A kapott eredményekből az következik, hogy a Z(t) véletlenszerű folyamat tág értelemben stacionárius.