Ez a feladat általában kreatív megközelítést jelent, mivel nincs univerzális megoldás a megoldására. Próbáljunk azonban néhány tippet adni.

Az esetek túlnyomó többségében egy polinom faktorokra bontása a Bezout-tétel következményén alapul, azaz megkeresik vagy kiválasztják a gyökért, és a polinom fokát eggyel csökkentik osztással. A kapott polinom gyökérét keresi, és a folyamatot a teljes kibontásig megismétli.

Ha a gyökér nem található, akkor speciális bontási módszereket alkalmazunk: a csoportosítástól a további, egymást kizáró kifejezések bevezetéséig.

A további előadások az egyenletmegoldó készségekre épülnek magasabb fokozatok egész együtthatókkal.

A közös tényező zárójelbe állítása.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor a szabad tag nullával egyenlő, vagyis a polinom alakja .

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen polinom gyöke , azaz a polinom ábrázolható így.

Ez a módszer nem más, mint a közös tényezőt zárójelből kivéve.

Példa.

Bontson fel egy harmadfokú polinomot faktorokra.

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ez a polinom gyöke, azaz x zárójelbe tehető:

Keressük a gyökereket négyzetes trinomikus

És így,

Lap teteje

Racionális gyökökkel rendelkező polinom faktorizálása.

Először nézzük meg a polinom kiterjesztésének módszerét a alakú egész együtthatókkal, az együttható a legmagasabb fokon eggyel egyenlő.

Ebben az esetben, ha a polinomnak egész gyökei vannak, akkor ezek a szabad tag osztói.

Példa.

Megoldás.

Nézzük meg, hogy vannak-e egész gyökök. Ehhez kiírjuk a szám osztóit -18 : . Vagyis ha a polinomnak egész gyökei vannak, akkor azok a kiírt számok közé tartoznak. Ellenőrizzük ezeket a számokat egymás után Horner séma szerint. Kényelme abban is rejlik, hogy a végén megkapjuk a polinom tágulási együtthatóit is:

vagyis x=2És x=-3 az eredeti polinom gyökerei, és szorzatként ábrázolható:

Marad a négyzetes trinomiális bővítése.

Ennek a trinomiálisnak a diszkriminánsa negatív, ezért nincs valódi gyökere.

Válasz:

Megjegyzés:

Horner séma helyett használhatjuk a gyök kiválasztását, majd a polinom polinommal való ezt követő osztását.

Tekintsük most egy olyan polinom kiterjesztését, amelynek egész együtthatói a formája, és az együttható a legmagasabb fokon nem egyenlő eggyel.

Ebben az esetben a polinomnak lehetnek töredékes racionális gyökei.

Példa.

Tényezősítse a kifejezést.

Megoldás.

A változó megváltoztatásával y=2x, a legmagasabb fokon eggyel egyenlő együtthatójú polinomhoz jutunk. Ehhez először megszorozzuk a kifejezést 4 .

Ha a kapott függvénynek egész gyökei vannak, akkor azok a szabad tag osztói közé tartoznak. Írjuk fel őket:

Számítsa ki egymás után a függvény értékeit g(y) ezeken a pontokon a nulla eléréséig.

vagyis y=-5 a gyökér , ezért az eredeti függvény gyökere. Végezzük el a polinom oszlopával (sarokkal) való osztását binomimmal.

És így,

Nem tanácsos a fennmaradó osztók ellenőrzését folytatni, mivel egyszerűbb a kapott négyzetes trinomit tizedelni.

Ennélfogva,

Ismeretlen polinomok. A tétel a polinom eloszlásáról a dobutokban ismeretlen. A polinom kanonikus elrendezése.

Nagyon gyakran a tört számlálója és nevezője algebrai kifejezések, amelyeket először faktorokra kell bontani, majd miután megtalálták közöttük ugyanazt, a számlálót és a nevezőt is fel kell osztani rájuk, vagyis csökkenteni kell a törtet. Egy 7. osztályos algebrai tankönyv egész fejezete foglalkozik egy polinom faktorizálásával. A faktorálás megoldható 3 módon, valamint e módszerek kombinációja.

1. Rövidített szorzóképletek alkalmazása

Mint ismeretes megszorozni egy polinomot egy polinommal, meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A polinomok szorzásának legalább 7 (hét) gyakori esete szerepel a fogalomban. Például,

1. táblázat: Faktorizáció az 1. módon

2. A közös tényező kivétele a zárójelből

Ez a módszer a szorzás eloszlási törvényének alkalmazásán alapul. Például,

Az eredeti kifejezés minden tagját elosztjuk azzal a tényezővel, amelyet kivettünk, és ezzel egyidejűleg zárójelben kapjuk a kifejezést (vagyis zárójelben marad az eredmény, ha elosztjuk azt, amit kivettünk). Először is szüksége van helyesen határozza meg a szorzót, amelyet zárójelbe kell tenni.

A zárójelben lévő polinom is gyakori tényező lehet:

A „faktorizálás” feladat végrehajtása során különösen ügyelni kell a jelekre, amikor a közös tényezőt zárójelből kivesszük. Az egyes kifejezések előjelének megváltoztatása zárójelben (b-a), kivesszük a közös tényezőt -1 , míg a zárójelben lévő minden kifejezést -1-gyel osztanak: (b - a) = - (a - b) .

Abban az esetben, ha a zárójelben lévő kifejezés négyzetes (vagy bármilyen páros fokozat), Ez a zárójelben lévő számok felcserélhetők teljesen ingyenes, mivel a zárójelből kivett mínuszok szorozva továbbra is pluszba fordulnak: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 stb…

3. Csoportosítási módszer

Néha nem minden kifejezésnek van közös tényezője a kifejezésben, hanem csak néhánynak. Aztán lehet próbálkozni csoportkifejezések zárójelben, hogy mindegyikből ki lehessen venni valamilyen tényezőt. Csoportosítási módszer a közös tényezők kettős zárójelbe foglalása.

4. Egyszerre több módszer alkalmazása

Néha nem egy, hanem több módot kell alkalmaznia a polinomok egyidejű faktorokká tételére.

Ez egy összefoglaló a témáról. "Faktorizáció". Válassza ki a következő lépéseket:

• Ugrás a következő absztraktra:

A polinomok kiterjesztése egy termék előállításához néha zavarónak tűnik. De ez nem olyan nehéz, ha lépésről lépésre megérti a folyamatot. A cikk részletezi a négyzetes trinomiális faktorizálását.

Sokan nem értik, hogyan lehet egy négyzetes hármastényezőt tizedelni, és miért van ez így. Elsőre úgy tűnhet, hogy ez egy haszontalan gyakorlat. De a matematikában semmit sem csinálnak csak úgy. Az átalakítás a kifejezés egyszerűsítése és a számítás kényelme érdekében szükséges.

egy polinom, amelynek alakja - ax² + bx + c, négyzetes trinomiálisnak nevezzük. Az "a" kifejezésnek negatívnak vagy pozitívnak kell lennie. A gyakorlatban ezt a kifejezést másodfokú egyenletnek nevezik. Ezért néha mást mondanak: hogyan lehet kibővíteni a másodfokú egyenletet.

Érdekes! A négyzetes polinomot a legnagyobb foka miatt nevezik - négyzetnek. És egy trinomiális - a 3 komponens miatt.

Néhány más típusú polinom:

• lineáris binomiális (6x+8);
• köbös négyszög (x³+4x²-2x+9).

Négyzetes trinom tényezõzése

Először is, a kifejezés egyenlő nullával, majd meg kell találnia az x1 és x2 gyök értékeit. Lehet, hogy nincsenek gyökerek, lehet egy vagy két gyökér. A gyökerek jelenlétét a diszkrimináns határozza meg. Képletét fejből kell tudni: D=b²-4ac.

Ha D eredménye negatív, akkor nincsenek gyökök. Ha pozitív, akkor két gyökér van. Ha az eredmény nulla, akkor a gyökér egy. A gyökereket is a képlet számítja ki.

Ha a diszkrimináns kiszámítása nullát eredményez, bármelyik képletet alkalmazhatja. A gyakorlatban a képletet egyszerűen lerövidítik: -b / 2a.

A diszkrimináns különböző értékeinek képletei eltérőek.

Ha D pozitív:

Ha D nulla:

Online számológépek

Az internetnek van online számológép. Használható faktorizálásra. Egyes források lehetőséget adnak a megoldás lépésről lépésre való megismerésére. Az ilyen szolgáltatások segítenek a téma jobb megértésében, de meg kell próbálnia jól megérteni.

Hasznos videó: Négyzetes trinomiális faktorálás

Példák

Megtekintésre hívjuk egyszerű példák hogyan kell faktorizálni egy másodfokú egyenletet.

1. példa

Itt jól látható, hogy az eredmény két x lesz, mert D pozitív. Ezeket be kell cserélni a képletbe. Ha a gyökök negatívak, az előjel a képletben megfordul.

Ismerjük a négyzetháromság faktorálásának képletét: a(x-x1)(x-x2). Az értékeket zárójelbe tesszük: (x+3)(x+2/3). A kitevőben nincs szám a kifejezés előtt. Ez azt jelenti, hogy van egység, le van engedve.

2. példa

Ez a példa világosan bemutatja, hogyan kell megoldani egy egyenletet, amelynek egy gyöke van.

Cserélje be a kapott értéket:

3. példa

Adott: 5x²+3x+7

Először is kiszámítjuk a diszkriminánst, mint az előző esetekben.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

A diszkrimináns negatív, ami azt jelenti, hogy nincsenek gyökerei.

Az eredmény kézhezvétele után érdemes kinyitni a zárójeleket és ellenőrizni az eredményt. Meg kell jelennie az eredeti trinomiálisnak.

Alternatív megoldás

Vannak, akik soha nem tudtak megbarátkozni a diszkriminánssal. Van egy másik módja is a négyzetes trinomiális faktorizálásának. A kényelem kedvéért a módszert egy példában mutatjuk be.

Adott: x²+3x-10

Tudjuk, hogy 2 zárójelben kell végeznünk: (_)(_). Ha a kifejezés így néz ki: x² + bx + c, akkor minden zárójel elejére x-et teszünk: (x_) (x_). A maradék két szám az a szorzat, amely "c"-t ad, azaz ebben az esetben -10. Hogy megtudja, melyek ezek a számok, csak a kiválasztási módszert használhatja. A helyettesített számoknak meg kell egyeznie a fennmaradó kifejezéssel.

Például a következő számok szorzata -10-et kap:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nem.
2. (x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nem.
3. (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nem.
4. (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Illik.

Tehát az x2+3x-10 kifejezés transzformációja így néz ki: (x-2)(x+5).

Fontos!Ügyeljen arra, hogy ne keverje össze a jeleket.

Egy összetett trinom felbontása

Ha "a" nagyobb egynél, akkor nehézségek kezdődnek. De nem minden olyan nehéz, mint amilyennek látszik.

A faktorizáláshoz először meg kell nézni, hogy lehetséges-e valamit kiszűrni.

Például a következő kifejezéssel: 3x²+9x-30. Itt a 3-as szám ki van véve a zárójelből:

3(x²+3x-10). Az eredmény a már ismert trinomikus. A válasz így néz ki: 3(x-2)(x+5)

Hogyan lehet felbontani, ha a négyzetes tag negatív? Ebben az esetben a -1 szám kikerül a zárójelből. Például: -x²-10x-8. A kifejezés ekkor így fog kinézni:

A séma alig különbözik az előzőtől. Csak néhány újdonság van. Tegyük fel, hogy a kifejezés adott: 2x²+7x+3. A választ is 2 zárójelbe írjuk, amit (_) (_) kell kitölteni. X a 2. zárójelbe van írva, és ami megmaradt az 1.-be. Így néz ki: (2x_)(x_). Ellenkező esetben az előző séma megismétlődik.

A 3-as szám adja a számokat:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Az egyenleteket a megadott számok behelyettesítésével oldjuk meg. Az utolsó lehetőség megfelelő. Tehát a 2x²+7x+3 kifejezés transzformációja így néz ki: (2x+1)(x+3).

Egyéb esetek

Egy kifejezést nem mindig lehet átalakítani. A második módszernél az egyenlet megoldása nem szükséges. De a kifejezések termékké alakításának lehetőségét csak a diszkrimináns segítségével ellenőrizzük.

Érdemes gyakorolni a döntést másodfokú egyenletek hogy ne legyenek nehézségek a képletek használatakor.

Hasznos videó: egy trinomializáció

Következtetés

Bármilyen módon használhatod. De jobb, ha mindkettőt automatizmusra dolgozzuk fel. Azoknak is, akik életüket a matematikával akarják összekötni, meg kell tanulniuk, hogyan kell jól megoldani a másodfokú egyenleteket, és hogyan kell a polinomokat faktorokra bontani. Az összes következő matematikai téma erre épül.

Kapcsolatban áll

Ez az online számológép egy függvény faktorizálására szolgál.

Például szorozd: x 2 /3-3x+12 . Írjuk fel úgy, hogy x^2/3-3*x+12 . Használhatja ezt a szolgáltatást is, ahol minden számítás Word formátumban kerül mentésre.

Például bontja kifejezésekre. Írjuk úgy, hogy (1-x^2)/(x^3+x) . A megoldás előrehaladásának megtekintéséhez kattintson a Lépések megjelenítése elemre. Ha az eredményt Word formátumban szeretné megkapni, használja ezt a szolgáltatást.

jegyzet: a "pi" (π) szám pi -ként van írva; négyzetgyök mint sqrt , például sqrt(3) , a tg tangensét tanként írjuk. A válaszért lásd az Alternatív szakaszt.

1. Ha egy egyszerű kifejezést adunk meg, például 8*d+12*c*d , akkor a kifejezés faktorálása a kifejezés faktorálását jelenti. Ehhez meg kell találni a közös tényezőket. Ezt a kifejezést így írjuk: 4*d*(2+3*c) .
2. Fejezd ki a szorzatot két binomiálisan: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Itt már több közös tényezőt kell találnunk: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Kivesszük (x+7z) és megkapjuk: (x+7z)(x + 3y) .

lásd még Polinomok sarokkal való osztása (az oszloppal való osztás összes lépése látható)

Hasznosak a faktorizáció szabályainak elsajátításában rövidített szorzóképletek, amellyel világos lesz, hogyan lehet négyzettel megnyitni a zárójeleket:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoring módszerek

Miután megtanult néhány trükköt faktorizáció A megoldások az alábbiak szerint csoportosíthatók:

1. Rövidített szorzóképletek használata.
2. Keressen egy közös tényezőt.

Ez az egyik legelemibb módja a kifejezés egyszerűsítésének. A módszer alkalmazásához emlékezzünk a szorzás eloszlási törvényére az összeadásra vonatkozóan (ne féljen ezektől a szavaktól, ezt a törvényt biztosan ismeri, csak lehet, hogy elfelejtette a nevét).

A törvény azt mondja: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot meg kell szorozni ezzel a számmal, és össze kell adni az eredményeket, más szóval.

Megteheti a fordított műveletet is, és minket ez a fordított művelet érdekel. Mint a mintából látható, az a, közös tényező kivehető a zárójelből.

Hasonló művelet elvégezhető változókkal, például és például, és számokkal is: .

Igen, ez is túl elemi példa, csakúgy, mint az előbbi példa, egy szám bővítésével, mert mindenki tudja, mik azok a számok, és oszthatóak velük, de mi van, ha bonyolultabb kifejezést kapunk:

Hogyan lehet megtudni, hogy például egy szám mire van felosztva, nem, számológéppel bárki megteheti, de enélkül gyenge? Ehhez pedig megvannak az oszthatóság jelei, ezeket a jeleket igazán érdemes ismerni, ezek segítenek gyorsan megérteni, hogy ki lehet-e venni a közös tényezőt a zárójelből.

Az oszthatóság jelei

Nem olyan nehéz megjegyezni őket, valószínűleg a legtöbbjük már ismerős volt számodra, és valami új hasznos felfedezés lesz, további részletek a táblázatban:

Megjegyzés: A táblázatból hiányzik a 4-gyel osztható jel. Ha az utolsó két számjegy osztható 4-gyel, akkor az egész szám osztható 4-gyel.

Nos, hogy tetszik a jel? Azt tanácsolom, hogy emlékezzen rá!

Na, de térjünk vissza a kifejezéshez, esetleg vegyük ki a zárójelből és ennyi elég is belőle? Nem, a matematikusoknál bevett szokás, hogy egyszerűsítsenek, így a legteljesebb mértékben, Vegyél ki MINDENT, amit kivesznek!

Tehát a lejátszóval minden világos, de mi a helyzet a kifejezés numerikus részével? Mindkét szám páratlan, így nem lehet osztani

Használhatja az oszthatóság jelét a számjegyek összegével, és, amelyből a szám áll, egyenlő és osztható -val, ami azt jelenti, hogy osztható -val.

Ennek ismeretében nyugodtan osztható oszlopra, a vele való osztás eredményeként kapunk (jól jöttek az oszthatóság jelei!). Így kivehetjük a számot a zárójelből, csakúgy, mint az y-t, és ennek eredményeként megkapjuk:

Annak érdekében, hogy minden megfelelően le legyen bontva, ellenőrizheti a bővítést szorzással!

A közös tényezőt is ki lehet venni hatalmi kifejezések. Itt például látod a közös tényezőt?

Ennek a kifejezésnek minden tagjának x-je van - kivesszük, mindegyiket elosztjuk - újra kivesszük, megnézzük, mi történt: .

2. Rövidített szorzóképletek

A rövidített szorzóképletekről elméletben már szó esett, ha alig emlékszik, mi az, akkor frissítse fel a memóriájában.

Nos, ha nagyon okosnak tartja magát, és lusta egy ilyen információfelhőt olvasni, akkor csak olvasson tovább, nézze meg a képleteket, és azonnal vegye a példákat.

Ennek a dekompozíciónak az a lényege, hogy észreveszünk az előttünk álló kifejezésben valami határozott képletet, alkalmazzuk, és így megkapjuk valami és valami szorzatát, ennyi a dekompozíció. A következő képletek:

Most próbálja meg faktorálni a következő kifejezéseket a fenti képletekkel:

És ennek meg kellett volna történnie:

Ahogy észrevetted, ezek a formulák a faktorálás nagyon hatékony módja, nem mindig megfelelő, de nagyon hasznos lehet!

3. Csoportosítás vagy csoportosítás módszere

Íme egy másik példa az Ön számára:

Nos, mit fogsz vele csinálni? Úgy tűnik, felosztható valamire és valamire, valamire és valamire

De nem lehet mindent egy dologra felosztani, nos nincs közös tényező, hogy mit ne keressünk, és faktorálás nélkül hagyjuk?

Itt meg kell mutatni a találékonyságot, és ennek a találékonyságnak a neve egy csoportosítás!

Akkor alkalmazzák, amikor közös osztók Nem minden tag rendelkezik. A csoportosításhoz szükséges keresse meg a közös osztókkal rendelkező kifejezéscsoportokatés átrendezzük őket úgy, hogy minden csoportból ugyanazt a szorzót kapjuk.

Persze nem szükséges helyenként átrendezni, de ez láthatóságot ad, az áttekinthetőség kedvéért zárójelbe is veheted a kifejezés egyes részeit, nem tilos annyit tenni, amennyit akarsz, a lényeg, hogy ne összekeverni a jeleket.

Mindez nem egészen világos? Hadd magyarázzam el egy példával:

Egy polinomban - tegyünk tagot - a tag után - kapjuk

az első két tagot külön zárójelbe csoportosítjuk, a harmadik és negyedik tagot pedig ugyanúgy csoportosítjuk, a mínusz jelet kihagyva a zárójelből, így kapjuk:

És most külön-külön nézzük meg mind a két "kupacot", amelybe zárójelekkel beletörtük a kifejezést.

A trükk az, hogy olyan cölöpökre bontjuk, amelyekből a lehető legnagyobb tényezőt lehet kivenni, vagy, mint ebben a példában, megpróbáljuk úgy csoportosítani a tagokat, hogy miután a faktorokat a zárójelekből a cölöpökből kiemeljük, ugyanazok a kifejezések vannak a zárójelben.

Mindkét zárójelből kivesszük a tagok közös tényezőit, az első zárójelből, a második zárójelből pedig a következőket kapjuk:

De ez nem bomlás!

Pszamár a bomlás csak szorzás maradjon, de egyelőre van egy polinomunk, amelyet egyszerűen két részre osztunk...

DE! Ennek a polinomnak van egy közös tényezője. Ez

a zárójelen kívül, és megkapjuk a végterméket

Bingó! Mint látható, már van szorzat, és a zárójeleken kívül nincs se összeadás, se kivonás, a bontás befejeződött, mert nincs már mit kiszednünk a zárójelből.

Csodának tűnhet, hogy a tényezők zárójelből való kiemelése után továbbra is ugyanazok a kifejezések vannak a zárójelben, amit ismét kivettünk a zárójelből.

És ez egyáltalán nem csoda, tény, hogy a tankönyvekben és a vizsgán a példák kifejezetten úgy vannak elkészítve, hogy a feladatokban a legtöbb kifejezés az egyszerűsítés, ill. faktorizáció a megfelelő megközelítéssel könnyen leegyszerűsíthetők, és hirtelen esernyőként esnek össze, amikor megnyom egy gombot, ezért keresse meg ezt a gombot minden kifejezésben.

Valamit kitérek, mi van az egyszerűsítéssel? A bonyolult polinom egyszerűbb formát öltött: .

Egyetértek, nem olyan terjedelmes, mint régen?

4. Teljes négyzet kiválasztása.

Néha a rövidített szorzás képleteinek alkalmazásához (a téma megismétlése) szükséges a meglévő polinomot átalakítani úgy, hogy egyik tagját két tag összegeként vagy különbségeként kell bemutatni.

Ebben az esetben ezt meg kell tennie, tanulni fog a példából:

Egy ilyen formájú polinom nem bontható fel rövidített szorzóképletekkel, ezért át kell alakítani. Talán eleinte nem lesz nyilvánvaló számodra, hogy melyik kifejezést melyikre kell felosztani, de idővel megtanulod azonnal látni a rövidített szorzóképleteket, még akkor is, ha nincsenek teljes egészükben, és gyorsan meghatározod, hogy mi hiányzik innen. a teljes képletre, de egyelőre - tanulj , diák, pontosabban iskolás.

A különbség négyzetének teljes képletéhez itt kell helyette. A harmadik tagot ábrázoljuk különbségként, kapjuk: A különbség négyzetes képletét alkalmazhatjuk a zárójelben lévő kifejezésre (nem tévesztendő össze a négyzetek különbségével!!!), van: , erre a kifejezésre alkalmazhatjuk a négyzetek különbségének képletét (nem tévesztendő össze a négyzetes különbséggel!!!), elképzelve hogyan, kapjuk: .

A faktorokba nem mindig beleszámított kifejezés egyszerűbbnek és kisebbnek tűnik, mint a dekompozíció előtt, de ebben a formában mobilabbá válik, abban az értelemben, hogy nem kell aggódnia a változó jelek és egyéb matematikai hülyeségek miatt. Nos, itt van neked önálló döntés, a következő kifejezéseket kell faktorálni.

Példák:

Válaszok:

5. Négyzetes trinomiális faktorizálása

A négyzetes trinom faktorizálását lásd alább a felbontási példákban.

Példák 5 polinom faktorálási módszerére

1. A közös tényező zárójelből való kivétele. Példák.

Emlékszel, mi az elosztási törvény? Ez egy ilyen szabály:

Példa:

Tényezősítsünk egy polinomot.

Megoldás:

Egy másik példa:

Szorozni.

Megoldás:

Ha a teljes kifejezést kivesszük a zárójelből, akkor helyette egy marad zárójelben!

2. A rövidített szorzás képletei. Példák.

A leggyakrabban használt képletek a négyzetek különbsége, a kockák különbsége és a kockák összege. Emlékszel ezekre a képletekre? Ha nem, sürgősen ismételje meg a témát!

Példa:

Tényező a kifejezést.

Megoldás:

Ebben a kifejezésben könnyű megtudni a kockák közötti különbséget:

Példa:

Megoldás:

3. Csoportosítási módszer. Példák

Néha lehetséges a kifejezések felcserélése oly módon, hogy minden szomszédos kifejezéspárból egy és ugyanaz a faktor kinyerhető. Ezt a közös tényezőt ki lehet venni a zárójelből, és az eredeti polinomból szorzat lesz.

Példa:

Tényezd ki a polinomot.

Megoldás:

A kifejezéseket a következőképpen csoportosítjuk:
.

Az első csoportban zárójelből kivesszük a közös tényezőt, a másodikban pedig - :
.

Most a közös tényezőt is ki lehet venni a zárójelből:
.

4. A teljes négyzet kiválasztásának módja. Példák.

Ha a polinom két kifejezés négyzeteinek különbségeként ábrázolható, akkor már csak a rövidített szorzási képletet kell alkalmazni (négyzetek különbsége).

Példa:

Tényezd ki a polinomot.

Megoldás:Példa:

\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\zárójel(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(négyzet\összegek\ ((\balra) (x+3 \jobbra))^(2)))-9-7=((\bal(x+3 \jobb))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(tömb)

Tényezd ki a polinomot.

Megoldás:

\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\zárójel(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(négyzet\ különbségek((\bal(((x)^(2))-2 \jobbra))^(2)))-4-1=((\bal(((x)^ (2))-2 \jobbra))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(tömb)

5. Négyzetes trinomiális faktorizálása. Példa.

A négyzetes trinom olyan alakú polinom, ahol ismeretlen, sőt néhány szám is van.

Azokat a változó értékeket, amelyek a négyzetes trinomit nullára fordítják, a trinom gyökének nevezzük. Ezért a trinomiális gyökerei egy másodfokú egyenlet gyökerei.

Tétel.

Példa:

Tényezőzzük a négyzetháromtagot: .

Először is megoldjuk a másodfokú egyenletet: Most felírhatjuk ennek a négyzetes trinomnak a faktorizálását faktorokra:

Most a véleményed...

Részletesen leírtuk, hogyan és miért kell faktorizálni egy polinomot.

Rengeteg példát adtunk a gyakorlati megvalósításra, rámutattunk a buktatókra, megoldásokat adtunk ...

Mit mondasz?

Hogy tetszik ez a cikk? Használod ezeket a trükköket? Érted a lényegüket?

Írd meg kommentben és... készülj a vizsgára!

Eddig ez a legfontosabb az életedben.