Tantárgy: " Törtkitevőket tartalmazó kifejezések konvertálása"
"Hagyd, hogy valaki áthúzza a fokozatokat a matematikából, és látni fogja, hogy nélkülük nem jutsz messzire." (M. V. Lomonoszov)
Az óra céljai:
nevelési:általánosítsa és rendszerezze a hallgatók tudását a „Fokozat racionális mutatóval” témában; ellenőrizze az anyag asszimilációs szintjét; kiküszöbölje a tanulók tudásában és készségeiben mutatkozó hiányosságokat;
fejlesztés: a tanulók önuralom készségeinek kialakítása, minden tanulóban a munka iránt érdeklődő légkör megteremtése, a tanulók kognitív tevékenységének fejlesztése;
nevelési:érdeklődésre nevelni a tantárgy, a matematikatörténet iránt.
Óratípus: az ismeretek általánosításának, rendszerezésének órája
Felszerelés: értékelő lapok, feladatkártyák, dekóderek, keresztrejtvények minden tanulónak.
Előzetes felkészítés: az osztály csoportokra oszlik, minden csoportban a vezető tanácsadó.
AZ ÓRÁK ALATT
ÉN. Idő szervezése.
Tanár: Befejeztük a „Fokozat racionális kitevővel és tulajdonságai” témakör tanulmányozását. Az Ön feladata ezen a leckén, hogy bemutassa, hogyan tanulta meg a tanult anyagot, és hogyan tudja alkalmazni a megszerzett tudást konkrét problémák megoldásában. Az asztalon mindegyikőtöknek van egy értékelő lapja. Ebben megadja értékelését a lecke minden szakaszára vonatkozóan. A lecke végén felteszed GPA a leckéhez.
Értékelő papír
| Keresztrejtvény | Bemelegít | Dolgozz be | Egyenletek | Ellenőrizze magát (c\r) | ||
II. Vizsgálat házi feladat.
Peer-to-peer, ceruzával a kezében, a válaszokat a tanulók olvassák fel.
III. A tanulók tudásának frissítése.
Tanár: A híres francia író, Anatole France egyszer azt mondta: "A tanulásnak szórakoztatónak kell lennie. A tudás befogadásához étvággyal kell befogadnia."
Ismételjük meg a szükséges elméleti tudnivalókat a keresztrejtvény megfejtése során.
Vízszintesen:
1. Művelet, amellyel a fokozat értékét kiszámítják (erekció).
2. Azonos tényezőkből álló termék (fokozat).
3. A kitevők hatása a fok hatványra emelésekor (munka).
4. A kitevők kivonási fokának hatása (osztály).
Függőlegesen:
5. Ugyanazok a tényezők száma (index).
6. Fok nulla kitevővel (Mértékegység).
7. Ismétlődő szorzó (bázis).
8. 10 5 érték: (2 3 5 5) (négy).
9. Kitevő, amelyet általában nem írnak le (Mértékegység).
IV. Matek edzés.
Tanár. Ismételjük meg a racionális kitevővel rendelkező fok meghatározását és tulajdonságait, végezzük el a következő feladatokat!
1. Mutassa be az x 22 kifejezést két hatvány szorzataként x bázissal, ha az egyik tényező: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0
2. Egyszerűsítés:
b) y 5/8 y 1/4: y 1/8 = y
c) 1,4-től -0,3-tól 2,9-től
3. Számítson ki és írjon össze egy szót dekóder segítségével.
A feladat elvégzése után megtanulják annak a német matematikusnak a nevét, aki bevezette a „kitevő” kifejezést.
1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3
Szó: 1234567 (Stiefel)
V. Írásbeli munka füzetbe (a válaszok a táblán megnyitva) .
Feladatok:
1. Egyszerűsítse a kifejezést:
(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 - 3 1\2) (x-1): (x 2\3 -x 1\3 + 1)
2. Keresse meg a kifejezés értékét:
(x 3\8 x 1\4:) 4 x=81-nél
VI. Csoportmunka.
Gyakorlat. Oldja meg az egyenleteket és alkosson egy szót a dekóder segítségével.
1. számú kártya
Szó: 1234567 (Diophantus)
2. számú kártya
3. számú kártya
Szó: 123451 (Newton)
Dekóder
Tanár. Mindezek a tudósok hozzájárultak a "fokozat" fogalmának kidolgozásához.
VII. Történelmi információk fokozat fogalmának alakulásáról (hallgatói kommunikáció).
A természetes jelzővel ellátott fokozat fogalma már az ókori népeknél is kialakult. A számok négyzetét és kockáját használtuk a területek és térfogatok kiszámításához. Egyes számok hatványait a tudósok bizonyos problémák megoldására használták fel Az ókori Egyiptomés Babilon.
A III. században megjelent Diophantus görög tudós "Aritmetika" könyve, amelyben megkezdték az ábécés szimbólumok bevezetését. Diophantus bevezeti az ismeretlen első hat hatványának szimbólumait és azok kölcsönösségét. Ebben a könyvben a négyzetet r indexű jel jelöli; kocka - r indexű k jel stb.
A bonyolultabb algebrai feladatok megoldásának és a fokozatokkal való műveletnek a gyakorlatából szükségessé vált a fok fogalmának általánosítása és bővítése a nulla kitevőként való bevezetésével, a negatív ill. törtszámok. A matematikusok fokozatosan arra az ötletre jutottak, hogy a fok fogalmát egy természetellenes mutatóval általánosítsák.
Törtkitevők és a legtöbb egyszerű szabályok A törtkitevős hatványokra vonatkozó műveleteket Nicholas Orem (1323–1382) francia matematikus, az Arányok algoritmusa című munkájában találjuk.
Az egyenlőség, a 0 = 1 (a 0-tól nem egyenlő) 15. század elején a szamarkandi tudós, Giyasaddin Kashi Jamshid használta munkáiban. Tőle függetlenül a nulla mutatót Nikolai Shuke vezette be a 15. században. Ismeretes, hogy Nikolai Shuke (1445–1500) a fokokat negatív és nulla kitevővel vette figyelembe.
Később tört- és negatív kitevőket találtak M. Stiefel és Simon Stevin német matematikus „Teljes aritmetikájában” (1544). Simon Stevin azt javasolta, hogy az 1/n-t jelentse gyökként.
M. Stiefel (1487–1567) német matematikus megadta a 0 =1 at definícióját, és bevezette az indikátor nevét (ez a német kitevő szó szerinti fordítása). A német potenzieren hatványozást jelent.
A 16. század végén François Viet bevezette a betűket, amelyek nemcsak a változókat, hanem azok együtthatóit is jelölik. Rövidítéseket használt: N, Q, C - az első, második és harmadik fokra. De a modern elnevezéseket (például 4, 5) Rene Descartes vezette be a XVII.
A fokok nulla, negatív és törtkitevős modern definíciói és jelölései John Wallis (1616–1703) és Isaac Newton (1643–1727) angol matematikusok munkáiból származnak.
A nulla, negatív és tört mutatók, valamint a modern szimbólumok bevezetésének célszerűségét először 1665-ben John Vallis angol matematikus írta le részletesen. Munkáját Isaac Newton fejezte be, aki elkezdte szisztematikusan alkalmazni az új szimbólumokat, majd azok általános használatba kerültek.
A racionális kitevővel rendelkező fokozat bevezetése a fogalmak általánosításának számos példája matematikai cselekvés. A nulla, negatív és tört kitevővel rendelkező fokot úgy határozzuk meg, hogy ugyanazok a cselekvési szabályok vonatkozzanak rá, mint a természetes kitevővel rendelkező fokokra, azaz. hogy az eredetileg meghatározott fokfogalom alapvető tulajdonságai megmaradjanak.
A racionális kitevős fok új definíciója nem mond ellent a természetes kitevős fok régi definíciójának, vagyis a racionális kitevős fok új definíciójának jelentése megmarad a természetes kitevős fok konkrét esetére. Ezt a matematikai fogalmak általánosításánál megfigyelt elvet a permanencia (állandóság megőrzése) elvének nevezzük. 1830-ban J. Peacock angol matematikus fogalmazta meg tökéletlen formában, teljesen és egyértelműen G. Gankel német matematikus állapította meg 1867-ben.
VIII. Ellenőrizd le magadat.
Önálló munkavégzés kártyákkal (a válaszok nyitva vannak a táblán) .
1.opció
1. Számítsd ki: (1 pont)
(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)
2. lehetőség
1. Számítsd ki: (1 pont)
2. Egyszerűsítse a kifejezést: mindegyik 1 pont
a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6
3. Oldja meg az egyenletet: (2 pont)
4. Egyszerűsítse a kifejezést: (2 pont)
5. Keresse meg a kifejezés értékét: (3 pont)
IX. Összegezve a tanulságot.
Milyen képletekre és szabályokra emlékeztek az órán?
Tekintse át a munkáját az órán.
A tanulók osztálytermi munkáját értékelik.
X. Házi feladat. K: R IV (ismétlés) 156-157. cikk 4. (a-c), 7. (a-c),
Választható: 16. sz
Alkalmazás
Értékelő papír
Teljes név / tanuló __________________________________________________
| Keresztrejtvény | Bemelegít | Dolgozz be | Egyenletek | Ellenőrizze magát (c\r) | ||
1. számú kártya
1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3
Dekóder
2. számú kártya
1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3
Dekóder
3. számú kártya
1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) és 1\2 \u003d 2\3
Dekóder
1. számú kártya
1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3
Dekóder
2. számú kártya
1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3
Dekóder
3. számú kártya
1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) és 1\2 \u003d 2\3
Dekóder
1. számú kártya
1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3
Dekóder
2. számú kártya
1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3
Dekóder
3. számú kártya
1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) és 1\2 \u003d 2\3
Dekóder
| 1.opció 1. Számítsd ki: (1 pont) 2. Egyszerűsítse a kifejezést: mindegyik 1 pont a) x 1\2 x 3\4 b) (x -5\6) -2\3 c) x -1\3: x 3\4 d) (0,04x7\8) -1\2 3. Oldja meg az egyenletet: (2 pont) 4. Egyszerűsítse a kifejezést: (2 pont) (a + 3a 1\2): (a 1\2 +3) 5. Keresse meg a kifejezés értékét: (3 pont) (Y 1\2 -2) -1 - (Y 1\2 +2) -1 y-val \u003d 18 | 2. lehetőség 1. Számítsd ki: (1 pont) 2. Egyszerűsítse a kifejezést: mindegyik 1 pont a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6 c) x 3\7: x -2\3 d) (0,008x -6\7) -1\3 3. Oldja meg az egyenletet: (2 pont) 4. Egyszerűsítse a kifejezést: (2 pont) (1,5 s-kor - V 1,5): (0,5-nél - 0,5-től) 5. Keresse meg a kifejezés értékét: (3 pont) (x 3\2 + x 1\2): (x 3\2 -x 1\2) x \u003d 0,75 |
|||||||||||||
Önkormányzati állami oktatási intézmény
fő- általános iskola № 25
Algebra lecke
Tantárgy:
« Fokokat tartalmazó kifejezések átalakítása törtkitevővel»
Által kifejlesztett:
,
matematika tanár
legmagasabb kminősítési kategória
csomóponti
2013
Óra témája: Hatványokat tartalmazó kifejezések átalakítása tört kitevővel
Az óra célja:
1. A fokszámokat tartalmazó kifejezések törtmutatókkal történő átalakításához szükséges készségek, ismeretek, készségek további formálása
2. A hibakereső képesség fejlesztése, a gondolkodás, a kreativitás, a beszéd, a számítási készség fejlesztése
3. Önállóságra nevelés, a tárgy iránti érdeklődés, figyelmesség, pontosság.
TSO: mágnestábla, ellenőrző kártyák, asztalok, egyéni kártyák, az iskolásoknak üres aláírt lapok vannak az asztalon egyéni munka, keresztrejtvény, táblázatok matematikai bemelegítéshez, multimédiás projektor.
Az óra típusa: rögzítés ZUN.
Óraterv időben
1. Szervezési pillanatok (2 perc)
2. Házi feladat ellenőrzése (5 perc)
3. Keresztrejtvény (3 perc)
4. Matematikai bemelegítés (5 perc)
5. Gyakorlatok megoldása az előlap rögzítésére (7 perc)
6. Egyéni munka (10 perc)
7. Ismétléses gyakorlatok megoldása (5 perc)
8. Az óra összefoglalója (2 perc)
9. Házi feladat (1 perc)
Az órák alatt
1) Házi feladat ellenőrzése szakértői értékelés formájában . A jó tanulók ellenőrzik a gyenge gyerekek füzeteit. A gyengék pedig az erősekkel ellenőriznek a vezérlőkártya modellje szerint. A házi feladatot két változatban adjuk meg.
én könnyű feladat opció
II nehéz feladat opció
Az ellenőrzés eredményeként a srácok egy egyszerű ceruzával aláhúzzák a hibákat, és megjelölik. Végül megnézem a munkát, miután a srácok az óra után feladták a füzeteiket. Elkérem a srácoktól a teszt eredményeit, és az ilyen jellegű munkákra pontokat teszek az összesítő táblázatomba.
2) Az elméleti anyag tesztelésére keresztrejtvényt ajánlanak fel..
Függőlegesen:
1. Szorzási tulajdonságot használunk, amikor egy monomit polinommal szorozunk?
2. A kitevők hatása a fok hatványra emelésekor?
3. Egy fok nulla kitevővel?
4. Ugyanazokból a tényezőkből álló termék?
Vízszintesen:
5. Gyökér n - edik fokozat egy nem negatív számból?
6. Hogyan működnek a kitevők a kitevők szorzásakor?
7. A kitevők működése a fokozatok felosztásában?
8. Ugyanazok a tényezők száma?
3) Matek bemelegítés
a) végezze el a számítást, és a rejtjel segítségével olvassa be a feladatban elrejtett szót.
A táblán van egy asztal előtted. Az 1. oszlopban található táblázat példákat tartalmaz, amelyeket ki kell számítani.
Kulcs az asztalhoz
491/2 | ||
27-1/3 | ||
4*81/3 | ||
5*25-1/2 | ||
7*82/3 | ||
(49/144)1/2 | 7/12 | |
(27*64)1/3 |
7/12 |
És írja be a választ az oszlopba II, illetve a III írja be a válasznak megfelelő betűt.
Tanár: Tehát a titkosított szó a „fok”. A következő feladatban a 2. és 3. fokozattal dolgozunk
b) A "Nézd, ne tévedj" játék
Cserélje ki a pontokat számra
a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5… = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; f) 74/5 = (7…)2; g) x1/2=(x…)2; h) y1/2=(y…)2
Keressük a hibát:
А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/
Szóval, srácok, mit kellett alkalmazni a feladat elvégzéséhez:
A fokok tulajdonsága: a fok hatványra emelésekor a mutatók megszorozódnak;
4) Most pedig térjünk rá az első munkára. korábbi munkák eredményeit felhasználva. Nyitott füzetek írják le az óra számát, témáját.
№ 000
a) a - c \u003d (a1/2) 2 - (b1/2) 2 \u003d (a1/2 - c1/2) * (a1/2 + c1/2)
b) a - c \u003d (a1/3) 3 - (c1/3) 3 \u003d (a1/3 - c1/3) * (a2/3 + a1/3 c1/3 + c2/3)
000 (a, c, d, e)
A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)
c) a3-4 = (a3/2)2-22 = (a3/2-2)*(a3/2 +2)
d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)
e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)
000 (a, d, e)
a) x3 - 2 = x3 - (21/3) 3 = (x - 21/3)* (x2 + 21/3 x + 22/3)
d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 - 3 a2/5 + 9)
f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)
Fokozat
5) Dolgozzon az egyes kártyákon négy lehetőség szerint, külön lapokon
A változó nehézségi fokú feladatokat tanári felszólítás nélkül kell elvégezni.
Azonnal ellenőrzöm a munkát, és jeleket teszek az asztalomra és a srácok leveleire.
000 (a, c, e, h)
a) 4*31/2/(31/2-3) = 4*31/2 /31/2*(1-31/2) = 4 / (1-31/2)
c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2
e) (а2/3 - в2/3)/(а1/3 + в1/3) = (а1/3)2 - (в1/3)2/(а1/3 + в1/3) = (а1/3 + в1/3)*(а1/3 - в1/3)/(а1/3 + в1/3 -) = в1/3
h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/((x1/3)3 + (y1/3)3) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/1/3 +3 1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)
7) Dolgozzon különböző bonyolultságú egyedi kártyákon. Egyes gyakorlatoknál a tanár ajánlásokat tartalmaz, mivel az anyag bonyolult, és a gyenge gyerekek nehezen tudnak megbirkózni a munkával
Négy lehetőség is rendelkezésre áll. Az értékelés azonnal megtörténik. Az összes pontszámot beírom egy táblázatba.
Probléma № a gyűjteményből
A tanár kérdéseket tesz fel:
1. Mit kell keresni a problémában?
2. Mit kell ehhez tudni?
3. Hogyan fejezzük ki 1 gyalogos és 2 gyalogos idejét?
4. Hasonlítsa össze 1 és 2 gyalogos idejét a probléma feltétele szerint, és alkosson egyenletet!
A probléma megoldása:
Legyen x (km/h) 1 gyalogos sebessége
X +1 (km/h) – sebesség 2 gyalogos
4/х (h) – sétaidő
4 / (x +1) (h) - a második gyalogos ideje
A probléma feltétele szerint 4/х >4/ (х +1) 12 percig
12 perc = 12/60 óra = 1/5 óra
Készítünk egy egyenletet
X / 4 - 4 / (x + 1) \u003d 1/5
NOZ: 5x(x +1) ≠ 0
5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)
20x + 20 - 20x - x2 - x = 0
X2 + x -20 = 0
D \u003d 1 - 4 * (-20) \u003d 81, 81> 0, 2 k
x1 \u003d (-1 -√81) / (-2) \u003d 5 km/h - 1 gyalogos sebessége
x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 - nem illeszkedik a feladat jelentésébe, mivel x>0
Válasz: 5 km / h - 2 gyalogos sebessége
9) Óra összefoglalója: Szóval srácok, ma a leckében a fokozatokat tartalmazó kifejezések transzformációjának ismereteit, készségeit, készségeit konszolidáltuk, a rövidített szorzás képleteit alkalmaztuk, a közös tényezőt zárójelből kivéve, megismételtük a feldolgozott anyagot. Felhívom a figyelmet az előnyökre és a hátrányokra.
A tanulság összegzése a táblázatban.
Keresztrejtvény | Mat. bemelegít | Elülső. Munka | Ind. munka K-1 | Ind. munka K-2 | ||||
10) Kihirdetem a pontszámokat. Házi feladat
Egyéni kártyák K-1 és K-2
Megváltoztatom B - 1 és B - 2; B - 3 és B - 4, mivel egyenértékűek
Jelentkezések a leckére.
1) Házi feladatkártyák
1. egyszerűsíteni
a) (x1/2 - y1/2)2 + 2x1/2 y1/2
b) (a3/2 + 5a1\2)2 - 10a2
2. összegként jelennek meg
a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)
b) (a1/2 - c1/2)*(a + a1/2 c1\2 + c)
3. vegye ki a közös tényezőt
c) 151/3 +201/3
1. egyszerűsíteni
a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2
b) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1\8 - в1/8)
2. összegként jelennek meg
a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)
b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 - x1/3 y1\3 + y2/3)
3. Vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből
b) c1\3 - c
c) (2a)1/3 – (5a)1\3
2) B - 2 vezérlőkártya
a) √m + √n - (m 1|4 - n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 - ((m 1|2) 2 - 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2) 2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/1/4 + -n = m 1/1/4 + /4 n 1/4
b) (a1/4 + c1/4)*(a1/8 + c1/8)*(a1/8 - c1/8) = (a1/4 + c1/4)*(a1/8)2 - (c1/8)2 = (a1/4 + c1/4)*(a1/4 - c1/4) = (a1/1/2) = (a1/1/2)
a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 - x0,5 y0,5 y1,5 = x0 y0,5 - x0,5 y2 = y0,5 - x0,5 y2
b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 - x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 - x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x +
a) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)
b) c1/3 - c \u003d c1/3 * (1 - c2/3)
c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)
3) Kártyák az első egyéni munkához
a) a - y, x ≥ 0, y ≥ 0
b) a – i, a ≥ 0
1. Tényezősítse négyzetek különbségeként
a) a1/2 - b1/2
2. Tényezők megadása különbségként vagy kockaösszegként
a) c1/3 + d1/3
1. Tényezősítse négyzetek különbségeként
a) X1/2 + Y1/2
b) X1/4 - Y1/4
2. Tényezők megadása különbségként vagy kockaösszegként
4) kártyák a második egyéni munkához
a) (x - x1/2) / (x1/2 - 1)
Tipp: x1/2 zárójelben a számlálókat
b) (a - c) / (a1/2 - c1/2)
Megjegyzés: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2
Csökkentse a frakciót
a) (21/4 - 2) / 5*21/4
Tipp: zárójel 21/4
b) (a - c) / (5a1/2 - 5v1/2)
Megjegyzés: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2
3. lehetőség
1. Csökkentse a törtet
a) (x1/2 - x1/4)/x3/4
Utasítás: tartó x1/4
b) (а1/2 - в1/2) / (4а1/4 - 4в1/4)
4. lehetőség
Csökkentse a frakciót
a) 10/ (10 - 101/2)
b) (a - c) / (a2/3 + a1 \ 3b1 / 3 + B 1/3)
Szakaszok: Matematika
Osztály: 9
CÉL: A diploma tulajdonságainak racionális mutatóval való alkalmazásának készségeinek megszilárdítása és fejlesztése; fejleszti a fokokat tartalmazó kifejezések törtkitevővel történő egyszerű transzformációinak készségeit.
ÓRA TÍPUSA: adott témában ismeretek megszilárdítására és alkalmazására szolgáló óra.
TANKÖNYV: Algebra 9. szerk. S.A. Teljakovszkij.
AZ ÓRÁK ALATT
A tanár bevezető beszéde
"Az algebrát nem ismerő emberek nem tudják elképzelni, milyen csodálatos dolgokat lehet elérni az említett tudomány segítségével." G.V. Leibniz
Az Algebra megnyitja számunkra a laboratóriumi komplexum kapuit „Fokozat racionális kitevővel”.
1. Frontális felmérés
1) Határozza meg a fokszámot tört kitevővel!
2) Melyik törtkitevőre vonatkozik a fokszám nullával egyenlő bázissal?
3) Negatív bázis esetén a fokot tört kitevővel határozzuk meg?
Feladat: Írja be hatványként a 64-es számot, amelynek alapja - 2; 2; 8.
Melyik szám kockája a 64?
Van-e más mód a 64-es szám racionális kitevőjű hatványként való ábrázolására?
2. Csoportos munka
1 csoport. Bizonyítsuk be, hogy a (-2) kifejezések 3/4 ; A 0-2 értelmetlen.
2 csoport. Jelenítse meg a fokot tört kitevővel gyökként: 2 2/3; 3 -1|3 ; -1,5-ben; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .
3. csoport. Kifejezése fokként tört kitevővel: v3; 8 va 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3; vvv.
3. Menjünk a "Cselekvés a hatalomra" laboratóriumba
A laboratórium gyakori vendégei csillagászok. Elhozzák "csillagászati számaikat", algebrai feldolgozásnak vetik alá őket, és hasznos eredményeket kapnak.
Például a Föld és az Androméda-köd távolságát a szám fejezi ki
95000000000000000000 = 95 10 18 km;
ezt hívják kvintillion.
A nap tömegét grammban az 1983 10 30 gr számmal fejezzük ki. nonalion.
Emellett egyéb komoly feladatok is a laboratóriumra hárulnak. Például gyakran probléma adódik az alábbi űrlap kifejezéseinek kiértékelésével:
A) ; b) ; V) .
A laboratóriumi személyzet az ilyen számításokat a legkényelmesebb módon végzi el.
Csatlakozhat a munkához. Ehhez megismételjük a fokok tulajdonságait racionális kitevőkkel:
Most számítsa ki vagy egyszerűsítse a kifejezést a racionális kitevőkkel rendelkező kitevők tulajdonságainak alkalmazásával:
1 csoport:
2 csoport:
3. csoport:
Ellenőrzés: egy személy a csoportból a táblánál.
4. Összehasonlítási feladat
Hogyan hasonlítsuk össze a 2 100 és 10 30 kifejezéseket a fokok tulajdonságait felhasználva?
Válasz:
2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .
10 30 =(10 3) 10 =1000 10
1024 10 >1000 10
2 100 >10 30
5. És most meghívlak a "Fokozatok kutatása" laboratóriumba.
Milyen átalakításokat hajthatunk végre a hatalmakon?
1) Fejezd ki a 3-as számot hatványként 2-es kitevővel; 3; -1.
2) Milyen módon faktorálhatók az a-b kifejezések; in + in 1/2; a-2a 1/2; 2 a 2?
3) Csökkentse a törtet utólagos kölcsönös ellenőrzéssel:
4) Magyarázza meg a végrehajtott transzformációkat, és keresse meg a kifejezés értékét:
6. Munka a tankönyvvel. 611. szám (d, e, f).
1. csoport: (d).
2. csoport: (e).
3. csoport: (e).
629. szám (a, b).
Kölcsönös ellenőrzés.
7. Műhelymunkát végzünk (önálló munka).
Adott kifejezések:
A törtek csökkentésére a képleteket kell használni rövidített szorzásés zárójelbe téve a közös tényezőt?
1 csoport: 1., 2., 3. sz.
2. csoport: 4., 5., 6. sz.
3. csoport: 7., 8., 9. sz.
A feladat elvégzésekor használhatja az ajánlásokat.
- Ha a példabejegyzés mindkét fokot tartalmazza racionális kitevővel és gyökökkel n-edik fokozat, majd írd le gyökerei az n-edik fokok racionális kitevővel rendelkező fokokként.
- Próbálja egyszerűsíteni a kifejezést, amelyen a műveleteket végrehajtja: zárójelek megnyitása, csökkentett szorzási képlet alkalmazása, negatív kitevőről pozitív kitevőket tartalmazó kifejezésre való átállás.
- Határozza meg a műveletek végrehajtásának sorrendjét.
- Hajtsa végre a lépéseket a végrehajtás sorrendjében.
A tanárt füzetgyűjtéssel értékeli.
8. Házi feladat: 624., 623. sz.
Tekintsük a kifejezések hatványokkal történő átalakításának témáját, de először foglalkozunk számos olyan transzformációval, amelyek bármilyen kifejezéssel végrehajthatók, beleértve a hatványos kifejezéseket is. Megtanuljuk, hogyan kell zárójeleket nyitni, hasonló kifejezéseket adni, dolgozni az alappal és kitevővel, használni a hatványok tulajdonságait.
Mik azok az erőkifejezések?
BAN BEN iskolai tanfolyam kevesen használják a "hatalmi kifejezések" kifejezést, de ez a kifejezés folyamatosan megtalálható a vizsgára való felkészülést szolgáló gyűjteményekben. A legtöbb esetben a kifejezés olyan kifejezéseket jelöl, amelyek bejegyzéseikben fokozatok vannak. Ezt fogjuk tükrözni definíciónkban.
1. definíció
Erő kifejezés olyan kifejezés, amely képességeket tartalmaz.
Számos példát adunk a hatványkifejezésekre, kezdve a természetes kitevővel rendelkező foktól és a valós kitevővel rendelkező foktól kezdve.
A legegyszerűbb hatványkifejezések egy természetes kitevővel rendelkező szám hatványainak tekinthetők: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3. Valamint a nulla kitevőjű hatványok: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. És a fokok egész számokkal negatív erők: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Kicsit nehezebb olyan fokozattal dolgozni, amelynek racionális és irracionális kitevői vannak: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 b 1 2 x 2 π3 , x -5 π3 , +1 .
A mutató lehet 3 x - 54 - 7 3 x - 58 változó vagy logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.
Foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mik a hatalom kifejezései. Most alakítsuk át őket.
A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai
Mindenekelőtt megvizsgáljuk a kifejezések hatványkifejezésekkel végrehajtható alapvető identitástranszformációit.
1. példa
Számítsa ki a teljesítménykifejezés értékét 2 3 (4 2 – 12).
Megoldás
Minden átalakítást a cselekvési sorrendnek megfelelően fogunk végrehajtani. Ebben az esetben a zárójelben lévő műveletek végrehajtásával kezdjük: a fokozatot digitális értékre cseréljük, és kiszámoljuk a két szám különbségét. Nekünk van 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.
Nekünk marad a diploma pótlása 2 3 a jelentése 8 és kiszámítja a szorzatot 8 4 = 32. Íme a válaszunk.
Válasz: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .
2. példa
Egyszerűsítse a kifejezést képességekkel 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Megoldás
A probléma feltételében nekünk adott kifejezés hasonló kifejezéseket tartalmaz, amelyeket hozhatunk: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Válasz: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
3. példa
Fejezzen ki egy kifejezést 9 - b 3 · π - 1 2 hatványokkal szorzatként.
Megoldás
Képviseljük a 9-es számot hatványként 3 2 és alkalmazzuk a rövidített szorzási képletet:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Válasz: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
És most térjünk át az azonos transzformációk elemzésére, amelyek kifejezetten a hatványkifejezésekre alkalmazhatók.
Munka bázissal és kitevővel
Az alap vagy kitevő foka számokat, változókat és néhány kifejezést tartalmazhat. Például, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7És . Nehéz ilyen lemezekkel dolgozni. Sokkal egyszerűbb a fok alapjában vagy a kitevőben lévő kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesíteni.
A fokozat és a mutató átalakítása az általunk ismert szabályok szerint, egymástól elkülönítve történik. A legfontosabb, hogy az átalakítások eredményeként az eredetivel azonos kifejezést kapjunk.
A transzformációk célja az eredeti kifejezés egyszerűsítése vagy a probléma megoldása. Például a fent megadott példában (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 műveleteket hajthat végre a fokozat eléréséhez 4 , 1 1 , 3 . A zárójeleket kinyitva hasonló kifejezéseket hozhatunk a diploma alapjába (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)és kap egy egyszerűbb formájú erőkifejezést a 2 (x + 1).
A teljesítménytulajdonságok használata
A fokozatok egyenlőségként felírt tulajdonságai az egyik fő eszköze a fokozatos kifejezések átalakításának. Ennek figyelembevételével itt bemutatjuk a főbbeket aÉs b pozitív számok, és rÉs s- tetszőleges valós számok:
2. definíció
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a r b r;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s .
Azokban az esetekben, amikor természetes, egész, pozitív kitevőkkel van dolgunk, az a és b számokra vonatkozó korlátozások sokkal kevésbé szigorúak lehetnek. Tehát például, ha az egyenlőséget vesszük figyelembe a m a n = a m + n, Ahol mÉs n – egész számok, akkor ez igaz lesz a minden értékére, pozitív és negatív, valamint a a = 0.
A fokok tulajdonságait korlátozás nélkül alkalmazhatja olyan esetekben, amikor a fokok alapjai pozitívak, vagy olyan változókat tartalmaznak, amelyek elfogadható értéktartománya olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel. Valójában a matematika iskolai tananyagának keretein belül a tanuló feladata a megfelelő tulajdonság kiválasztása és helyes alkalmazása.
Az egyetemi felvételi előkészítés során előfordulhatnak olyan feladatok, amelyekben a tulajdonságok pontatlan alkalmazása az ODZ szűküléséhez és a megoldás egyéb nehézségeihez vezet. Ebben a részben csak két ilyen esettel foglalkozunk. A témával kapcsolatos további információk a "Kifejezések átalakítása kitevő tulajdonságaival" témakörben találhatók.
4. példa
Képviselje a kifejezést a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 mint diploma alappal a.
Megoldás
Először a hatványozási tulajdonságot használjuk, és ennek segítségével transzformáljuk a második tényezőt (a 2) – 3. Ezután a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk:
a 2, 5 a − 6: a − 5, 5 = a 2, 5 − 6: a − 5, 5 = a − 3, 5: a − 5, 5 = a − 3, 5 − (− 5, 5) = a 2.
Válasz: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .
A hatványkifejezések átalakítása a fokok tulajdonsága szerint történhet balról jobbra és ellenkező irányban is.
5. példa
Határozzuk meg a 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 hatványkifejezés értékét!
Megoldás
Ha alkalmazzuk az egyenlőséget (a b) r = a r b r, jobbról balra, akkor 3 7 1 3 21 2 3, majd 21 1 3 21 2 3 alakú szorzatot kapunk. Ha a hatványokat -val szorozzuk, hozzáadjuk a kitevőket ugyanazok az indokok: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .
Van egy másik módja az átalakításnak:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 7 2 3 = 3 1 3 7 2 3 = 1 3 3 1 = 21
Válasz: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
6. példa
Adott egy hatalmi kifejezés a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6, írjon be egy új változót t = a 0, 5.
Megoldás
Képzeld el a fokozatot egy 1, 5 Hogyan a 0, 5 3. A fokozat tulajdonság használata egy fokban (a r) s = a r s jobbról balra, és kapjuk (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Az eredményül kapott kifejezésben könnyen bevezethet egy új változót t = a 0, 5: kap t 3 − t − 6.
Válasz: t 3 − t − 6 .
Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása
A tört hatványkifejezések két változatával szoktunk foglalkozni: a kifejezés egy fokos tört, vagy ilyen törtet tartalmaz. Minden alapvető tört transzformáció korlátozás nélkül alkalmazható az ilyen kifejezésekre. Csökkenthetők, új nevezőre hozhatók, külön dolgozhatnak a számlálóval és a nevezővel. Illusztráljuk ezt példákkal.
7. példa
A 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 hatványkifejezés egyszerűsítése.
Megoldás
Törttel van dolgunk, ezért a számlálóban és a nevezőben is transzformációkat hajtunk végre:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 - 5 x 2 - 3 + - 2 3 5 0 - 2 - x 2
Tegyen mínuszt a tört elé a nevező előjelének megváltoztatásához: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Válasz: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
A hatványokat tartalmazó törtek ugyanúgy új nevezőre redukálódnak, mint racionális törtek. Ehhez meg kell találni egy további tényezőt, és meg kell szorozni vele a tört számlálóját és nevezőjét. Egy további tényezőt úgy kell kiválasztani, hogy az ne tűnjön el az eredeti kifejezés ODZ-változói közül a változók egyik értékénél sem.
8. példa
Hozd a törteket új nevezőre: a) a + 1 a 0, 7 a nevezőbe a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 az x + 8 y 1 2 nevezőhöz.
Megoldás
a) Olyan tényezőt választunk, amely lehetővé teszi, hogy új nevezőre redukáljunk. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , ezért további tényezőként vesszük a 0, 3. Az a változó megengedett értékeinek tartománya tartalmazza az összes pozitív valós szám halmazát. Ezen a területen a fok a 0, 3 nem megy nullára.
Szorozzuk meg egy tört számlálóját és nevezőjét ezzel a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Ügyeljen a nevezőre:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Ezt a kifejezést megszorozzuk x 1 3 + 2 · y 1 6 -al, megkapjuk az x 1 3 és a 2 · y 1 6 kockák összegét, azaz. x + 8 · y 1 2 . Ez az új nevezőnk, amelyhez az eredeti törtet kell hoznunk.
Így találtunk egy további tényezőt x 1 3 + 2 · y 1 6 . A változók elfogadható értékeinek tartományán xÉs y az x 1 3 + 2 y 1 6 kifejezés nem tűnik el, így a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 év 1 6 x 1 3 + 2 év 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 1 3 x 1 3 6 x 1 3 + 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Válasz: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.
9. példa
Csökkentse a törtet: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Megoldás
a) Használja a legnagyobb közös nevezőt (GCD), amellyel a számláló és a nevező csökkenthető. A 30-as és 45-ös számoknál ez a 15. Csökkenthetjük is x 0, 5 + 1és x + 2 x 1 1 3 - 5 3 -on.
Kapunk:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0. 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Itt az azonos tényezők jelenléte nem nyilvánvaló. Néhány átalakítást végre kell hajtania, hogy ugyanazokat a tényezőket kapja a számlálóban és a nevezőben. Ehhez kibővítjük a nevezőt a négyzetek különbségi képletével:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1
Válasz: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1) , b) a 1 4 - 1 b 1 - 4 + 1 a 1 b 1 4.
A törtekkel végzett fő műveletek közé tartozik az új nevezőre való redukálás és a törtek csökkentése. Mindkét műveletet számos szabály betartásával hajtják végre. Törtek összeadásakor és kivonásakor a törtek először közös nevezőre redukálódnak, majd a műveleteket (összeadás vagy kivonás) hajtják végre a számlálókkal. A nevező ugyanaz marad. Műveleteink eredménye egy új tört, melynek számlálója a számlálók szorzata, nevezője pedig a nevezők szorzata.
10. példa
Végezze el a következő lépéseket: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Megoldás
Kezdjük azzal, hogy kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Hozzuk őket közös nevezőre:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Vonjuk ki a számlálókat:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 x 2 = 1 x 1 x 2 = 1 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 2 = 1 x 1 x 2 = 1 x 2 = 1 x 2 1 1 x 1 2
Most megszorozzuk a törteket:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Csökkentsük egy fokkal x 1 2, 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1-et kapunk.
Ezenkívül egyszerűsítheti a nevezőben a hatványkifejezést a négyzetek különbségének képletével: négyzetek: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Válasz: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
11. példa
Egyszerűsítse az x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 hatványkifejezést .
Megoldás
Ezzel csökkenthetjük a törtet (x 2, 7 + 1) 2. Kapunk egy tört x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Folytassuk az x hatványok transzformációit x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Most már használhatja a teljesítményosztási tulajdonságot ugyanazokkal az alapokkal: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
Az utolsó szorzatról áttérünk az x 1 3 8 x 2, 7 + 1 törtre.
Válasz: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
A legtöbb esetben kényelmesebb a negatív kitevővel rendelkező szorzók átvitele a számlálóból a nevezőbe és fordítva a kitevő előjelének megváltoztatásával. Ez a művelet leegyszerűsíti a további döntést. Mondjunk egy példát: az (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 hatványkifejezés helyettesíthető x 3 · (x + 1) 0, 2 -vel.
Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal
A feladatokban vannak hatványkifejezések, amelyek nemcsak törtkitevős fokokat tartalmaznak, hanem gyököket is. Kívánatos az ilyen kifejezéseket csak a gyökerekre vagy csak a hatványokra redukálni. A fokozatokra való átállás előnyösebb, mivel könnyebb velük dolgozni. Egy ilyen átmenet különösen előnyös, ha az eredeti kifejezés változóinak DPV-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy hozzá kellene férnie a modulushoz, vagy fel kellene osztania a DPV-t több intervallumra.
12. példa
Fejezd ki az x 1 9 x x 3 6 kifejezést hatványként!
Megoldás
Egy változó érvényes tartománya x két egyenlőtlenség határozza meg x ≥ 0és x · x 3 ≥ 0 , amelyek meghatározzák a halmazt [ 0 , + ∞) .
Ezen a halmazon jogunk van a gyökerektől a hatalmak felé haladni:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
A fokok tulajdonságait felhasználva leegyszerűsítjük a kapott hatványkifejezést.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Válasz: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Hatványok átalakítása változókkal a kitevőben
Ezeket a transzformációkat meglehetősen egyszerű elvégezni, ha helyesen használja a fok tulajdonságait. Például, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
Helyettesíthetjük annak a foknak a szorzatát, amiben valamilyen változó és egy szám összege található. A bal oldalon ezt a kifejezés bal oldalán található első és utolsó kifejezéssel lehet megtenni:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.
Most osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 7 2 x. Ez a kifejezés az x változó ODZ-jén csak pozitív értékeket vesz fel:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 5 x 7 2 x 7 2 x - 2 x 2 0
Csökkentsük a törteket hatványokkal, így kapjuk: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Végül az azonos kitevővel rendelkező hatványok arányát az arányok hatványaira cseréljük, ami az 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 egyenlethez vezet, amely 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 egyenlethez vezet.
Vezessünk be egy új t = 5 7 x változót, amely csökkenti az eredeti megoldását exponenciális egyenlet egy döntéshez másodfokú egyenlet 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .
Kifejezések konvertálása hatványokkal és logaritmusokkal
Hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések is megtalálhatók a feladatokban. Példák az ilyen kifejezésekre: 1 4 1 - 5 log 2 3 vagy log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Az ilyen kifejezések transzformációja a fent tárgyalt megközelítésekkel és a logaritmusok tulajdonságaival történik, amelyeket a „Logaritmikus kifejezések transzformációja” témakörben elemeztünk részletesen.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
A kifejezés értékének kiszámításakor utoljára végrehajtott aritmetikai művelet a "fő".
Vagyis ha betűk helyett behelyettesítünk néhány (bármilyen) számot, és megpróbáljuk kiszámolni a kifejezés értékét, akkor ha az utolsó művelet a szorzás, akkor szorzatunk van (a kifejezés faktorokra bontható).
Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorálva (és ezért nem csökkenthető).
Néhány példa a saját javításhoz:
Példák:
Megoldások:
1. Remélem nem rohantál azonnal vágni és? Még mindig nem volt elég az egységeket így „csökkenteni”:
Az első lépés a faktorizálás:
4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek közös nevezőre hozása.
Összeadás és kivonás közönséges törtek- jól ismert a művelet: közös nevezőt keresünk, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat.
Emlékezzünk:
Válaszok:
1. A és nevezők másodlagosak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:
2. Itt a közös nevező:
3. Az első dolog itt vegyes frakciók alakítsa át őket rosszakká, majd - a szokásos séma szerint:
Egészen más kérdés, ha a törtek betűket tartalmaznak, például:
Kezdjük egyszerűen:
a) A nevezők nem tartalmaznak betűket
Itt minden ugyanaz, mint a közönséges numerikus törteknél: találunk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel, és összeadjuk / kivonjuk a számlálókat:
most a számlálóban hozhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:
Próbáld ki magad:
Válaszok:
b) A nevezők betűket tartalmaznak
Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:
Először is meghatározzuk a közös tényezőket;
Ezután egyszer kiírjuk az összes közös tényezőt;
és szorozzuk meg őket minden más tényezővel, nem a közös tényezőkkel.
A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először egyszerű tényezőkre bontjuk őket:
Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:
Most egyszer kiírjuk a gyakori tényezőket, és hozzáadjuk az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:
Ez a közös nevező.
Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:
A nevezőket faktorokra bontjuk;
közös (azonos) szorzók meghatározása;
írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;
Ezeket minden más tényezővel megszorozzuk, nem a közös tényezőkkel.
Tehát sorrendben:
1) bontsa fel a nevezőket tényezőkre:
2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:
3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg az összes többi (nem aláhúzott) tényezővel:
A közös nevező tehát itt van. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:
Egyébként van egy trükk:
Például: .
Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindent amivel különböző mutatók. A közös nevező a következő lesz:
Amennyiben
Amennyiben
Amennyiben
fokozatban.
Bonyolítsuk a feladatot:
Hogyan készítsünk törteket azonos nevezővel?
Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:
Sehol nem mondják, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!
Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . Mit tanultak?
Tehát még egy megingathatatlan szabály:
Ha törteket hoz egy közös nevezőbe, csak a szorzási műveletet használja!
De mit kell szorozni, hogy megkapd?
Itt tovább és szaporodj. És szorozzuk meg:
Azokat a kifejezéseket, amelyek nem faktorizálhatók, "elemi tényezőknek" nevezzük.
Például egy elemi tényező. - Azonos. De - nem: tényezőkre bomlik.
Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?
Nem, mert faktorizálható:
(a faktorizációról már olvasott a "" témakörben).
Tehát azok az elemi tényezők, amelyekre egy kifejezést betűkkel bont, analógjai azoknak az egyszerű tényezőknek, amelyekre a számokat bontja. És ugyanezt fogjuk tenni velük.
Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van egy tényezője. A hatalom közös nevezőjére fog kerülni (emlékezz, miért?).
A szorzó elemi, és nincs közös bennük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:
Egy másik példa:
Megoldás:
Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindkettő képviseli:
Nagy! Akkor:
Egy másik példa:
Megoldás:
A nevezőket szokás szerint faktorizáljuk. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tettük; a másodikban - a négyzetek különbsége:
Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, már annyira hasonlítanak... És az igazság a következő:
Tehát írjuk:
Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.
Most elhozzuk a közös nevezőt:
Megvan? Most ellenőrizzük.
Feladatok az önálló megoldáshoz:
Válaszok:
Itt emlékeznünk kell még egy dologra - a kockák különbségére:
Felhívjuk figyelmét, hogy a második tört nevezője nem tartalmazza az „összeg négyzete” képletet! Az összeg négyzete így nézne ki:
Az A az összeg ún. hiányos négyzete: a benne szereplő második tag az első és az utolsó szorzata, nem pedig azok duplázott szorzata. Az összeg nem teljes négyzete az egyik tényező a kockák különbségének növekedésében:
Mi van, ha már három tört van?
Igen, ugyanaz! Először is megbizonyosodunk arról, hogy a nevezőkben szereplő tényezők maximális száma megegyezik:
Figyelem: ha egy zárójelben megváltoztatja a jeleket, a tört előtti jel az ellenkezőjére változik. Amikor a második zárójelben lévő jeleket megváltoztatjuk, a tört előtti jel ismét megfordul. Ennek eredményeként ő (a tört előtti jel) nem változott.
Az első nevezőt teljes egészében kiírjuk a közös nevezőbe, majd hozzáadjuk az összes még fel nem írt tényezőt a másodiktól, majd a harmadiktól (és így tovább, ha több a tört). Vagyis ez így megy:
Hmm... A törtekkel egyértelmű, hogy mit kell tenni. De mi van a kettővel?
Ez egyszerű: tudja, hogyan kell törteket adni, igaz? Tehát meg kell győződnie arról, hogy a kettes rész töredéke lesz! Ne feledje: a tört osztási művelet (a számlálót elosztjuk a nevezővel, ha hirtelen elfelejti). És semmi sem egyszerűbb, mint elosztani egy számot. Ebben az esetben maga a szám nem változik, hanem törtté változik:
Pont ami kell!
5. Törtek szorzása és osztása.
Nos, a legnehezebb része most véget ért. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:
Eljárás
Mi a numerikus kifejezés kiszámításának eljárása? Ne feledje, figyelembe véve egy ilyen kifejezés értékét:
számoltál?
Működnie kell.
Szóval, emlékeztetlek.
Az első lépés a fokozat kiszámítása.
A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás is van, akkor ezeket tetszőleges sorrendben megteheti.
Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.
De: a zárójeles kifejezést nem sorrendben értékeljük!
Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, először kiértékeljük az egyes zárójelekben lévő kifejezéseket, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.
Mi van akkor, ha más zárójelek is vannak a zárójelben? Nos, gondoljuk át: a zárójelek közé valamilyen kifejezés van írva. Mi az első tennivaló egy kifejezés kiértékelésekor? Így van, számold a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.
Tehát a fenti kifejezés műveleteinek sorrendje a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):
Oké, minden egyszerű.
De ez nem ugyanaz, mint a betűkkel való kifejezés, ugye?
Nem, ez ugyanaz! Csak aritmetikai műveletek helyett algebrai műveleteket kell végrehajtani, vagyis az előző részben leírt műveleteket: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az i-t kell használni, vagy egyszerűen ki kell venni a közös tényezőt a zárójelekből.
Általában az a célunk, hogy egy kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljunk.
Például:
Egyszerűsítsük a kifejezést.
1) Először egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott van a törtek különbsége, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként ábrázoljuk. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:
Ezt a kifejezést nem lehet tovább egyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).
2) Ezt kapjuk:
Törtek szorzása: mi lehetne könnyebb.
3) Most lerövidítheti:
Rendben, most mindennek vége. Semmi bonyolult, igaz?
Egy másik példa:
Egyszerűsítse a kifejezést.
Először próbáld meg magad megoldani, és csak azután nézd meg a megoldást.
Megoldás:
Először is határozzuk meg az eljárást.
Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, két tört helyett egy fog kiderülni.
Ezután elvégezzük a törtek felosztását. Nos, az eredményt hozzáadjuk az utolsó törttel.
Sematikusan megszámozom a lépéseket:
Most megmutatom az egész folyamatot, pirosra színezve az aktuális műveletet:
1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármelyik pillanatban is vannak hasonlók, célszerű azonnal elhozni.
2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint lehetőség adódik a csökkentésére, ki kell használni. Kivételt képeznek az összeadandó vagy kivont törtek: ha most ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.
Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:
És már az elején megígérte:
Válaszok:
Megoldások (röviden):
Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor vegye figyelembe, hogy elsajátította a témát.
Most pedig a tanuláshoz!
KIFEJEZÉS KONVERZIÓ. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLET
Alapvető egyszerűsítési műveletek:
- Hasonlót hozni: hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
- Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kiemelése, alkalmazása stb.
- Frakciócsökkentés: a tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal a nullától eltérő számmal, amelytől a tört értéke nem változik.
1) számláló és nevező tényezőkre bont
2) ha a számlálóban és a nevezőben közös tényezők vannak, akkor ezek áthúzhatók.FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!
- Törtek összeadása és kivonása:
; - Törtek szorzása és osztása:
;
