Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt! Folyamatos valószínűségi változó matematikai elvárása. Megoldási példa Egy valószínűségi változó alakjának eloszlási sűrűsége van

matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó hívott:

Végtelen értékhalmaz esetén van egy sorozat a (4.4) jobb oldalán, és csak azokat az X értékeket vesszük figyelembe, amelyekre ez a sorozat abszolút konvergál.

M(X) a valószínűségi változó átlagos várható értéke. A következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) M(C)=C, ahol C=állandó

2) M(CX)=CM(X) (4,5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), bármely X és Y esetén.

4) M (XY)=M (X)M(Y), ha X és Y függetlenek.

Megbecsülni egy valószínűségi változó értékeinek szóródási fokát az átlagértéke körül M(X)= A fogalmak kerülnek bevezetésre diszperzióD(X)és az átlagos négyzetes (szórás) . diszperzió hívott várható érték négyzetes különbség (X- ), azok. :

D(X)=M(X-) 2 = p i ,

Ahol =M(X); ként meghatározott Négyzetgyök diszperzióból, azaz. .

Az eltérés kiszámításához használja a következő képletet:

(4.6)

A variancia és a szórás tulajdonságai:

1) D(C)=0, ahol C=állandó

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç(X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

ha X és Y független.

A mennyiségek dimenziója és egybeesik magának az X valószínűségi változónak a dimenziójával, a D(X) dimenziója pedig egyenlő az X valószínűségi változó dimenziójának négyzetével.

4.3. Matematikai műveletek valószínűségi változókkal.

Vegyük fel az X valószínűségi változó értékeit valószínűségekkel, az Y valószínűségi változó pedig egy X valószínűségi változó valószínűségi értékeivel. Ezért az eloszlási törvénye a 4.2 táblázat alakú:

4.2. táblázat

			...
			...

Négyzet X valószínűségi változó, azaz. , egy új valószínűségi változó, amely ugyanolyan valószínűséggel, mint az X valószínűségi változó, értékei négyzetével egyenlő értékeket vesz fel.

Összeg Az X és Y valószínűségi változók egy új valószínűségi változó, amely az alak összes értékét olyan valószínűségekkel veszi fel, amelyek kifejezik annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó felveszi az értéket, Y pedig az értéket, azaz

(4.8)

Ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor:

Az X és Y valószínűségi változók különbségét és szorzatát hasonlóan definiáljuk.

Különbség Az X és Y valószínűségi változók egy új valószínűségi változó, amely a , és alakú összes értéket veszi fel munka- az űrlap összes értéke a (4.8) képlettel meghatározott valószínűséggel, és ha az X és Y valószínűségi változók függetlenek, akkor a (4.9) képlettel.

4.4. Bernoulli és Poisson eloszlások.

Tekintsünk egy n azonos ismételt tesztből álló sorozatot, amely megfelel a következő feltételeknek:

1. Minden kísérletnek két kimenetele van: siker és kudarc.

Ez a két eredmény egymással összeegyeztethetetlen és ellentétes esemény.

2. A siker valószínűsége, amelyet p-vel jelölünk, próbaról tárgyalásra állandó marad. A meghibásodás valószínűségét q-val jelöljük.

3. Minden n próba független. Ez azt jelenti, hogy egy esemény bekövetkezésének valószínűsége az n megismételt kísérlet egyikében sem függ más kísérletek eredményeitől.

Annak a valószínűsége, hogy n független megismételt kísérletben, amelyek mindegyikében egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő, az esemény pontosan m-szer fog bekövetkezni (bármilyen sorrendben), egyenlő

(4.10)

A (4.10) kifejezést Bernoulli-képletnek nevezzük.

Az esemény bekövetkezésének valószínűsége:

a) kevesebb mint m-szer,

b) több mint m-szer,

c) legalább m-szer,

d) legfeljebb m-szer - a képletek szerint találhatók:

A binomiális egy diszkrét X valószínűségi változó eloszlásának törvénye - egy esemény előfordulásának száma n független próbában, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének valószínűsége p; az X = 0,1,2,..., m,...,n lehetséges értékek valószínűségét a Bernoulli-képlet segítségével számítjuk ki (4.3. táblázat).

4.3. táblázat

Sikerek száma X=m				...	m	...	n
P valószínűség				...		...

Mivel a (4.10) képlet jobb oldala a binomiális bővítés általános tagját jelenti, ezt az eloszlási törvényt ún. binomiális. A binomiális törvény szerint eloszló X valószínűségi változó esetében megvan.

Meghatározás 13.1. Az X valószínűségi változót nevezzük diszkrét, ha véges vagy megszámlálható számú értéket vesz fel.

Meghatározás 13.2. Az X valószínűségi változó eloszlásának törvénye a számpárok halmaza ( , ), ahol a valószínűségi változó lehetséges értékei és azok a valószínűségek, amelyekkel a valószínűségi változó felveszi ezeket az értékeket, pl. =P( x= ), és =1.

A diszkrét valószínűségi változó megadásának legegyszerűbb formája egy táblázat, amely felsorolja egy valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket. Az ilyen táblázatot ún elosztás közelében diszkrét valószínűségi változó.

x			…		…
R			…		…

Az elosztási sorozat grafikusan ábrázolható. Ebben az esetben az abszcisszát az ordináta mentén, a valószínűséget pedig az ordináta mentén ábrázoljuk. A ( , ) koordinátájú pontokat szakaszok kötik össze, és egy szaggatott vonalat kapunk, amelyet nevezünk eloszlási sokszög, amely a diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényének megadásának egyik formája.

13.3. példa. Szerkesszünk meg egy X valószínűségi változó eloszlási sokszögét eloszlássorozattal

x
R	0,1	0,3	0,2	0,4

Meghatározás 13.4. Azt mondjuk, hogy van egy diszkrét X valószínűségi változó binomiális eloszlás paraméterekkel ( n, p), ha nem negatív egész értékeket vehet fel k {1,2,…,n) valószínűséggel Р( X=x)= .

A disztribúciós sorozat alakja:

x			…	k	…	n
R			…		…

Valószínűségek összege = =1.

Meghatározás 13.5. Azt mondják, hogy a valószínűségi változó diszkrét formája x Megvan Poisson-eloszlás a (>0) paraméterrel, ha egész értékeket vesz fel k(0,1,2,…) Р( X=k)= .

A terjesztési sorozatnak megvan a formája

x			…	k	…
R			…		…

Mivel a Maclaurin-sor kiterjesztésének a következő alakja van, akkor a valószínűségek összege = = =1.

Jelölje x az esemény első előfordulása előtt elvégzendő kísérletek száma A független kísérletekben, ha az A előfordulási valószínűsége mindegyikben egyenlő p (0<p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями x természetes számok.

Meghatározás 13.6. Azt mondják, hogy a valószínűségi változó x Megvan geometriai eloszlás paraméterrel p (0<p <1), если она принимает натуральные значения k N valószínűséggel Р(Х=k)= , ahol . Elosztási tartomány:

x				…	n	…
R				…		…

A valószínűségek összege = = =1.

13.7. példa. Az érmét 2-szer feldobják. Állítsd össze a "címer" előfordulási számának X valószínűségi változójának eloszlássorozatát!

P2(0)==; P2(1)===0,5; P 2 (2) = = .

x
R

A terjesztési sorozat a következő formában lesz:

13.8. példa. A fegyvert a célpont első találatáig elsütik. Az egy lövéssel való eltalálás valószínűsége 0,6. eltalálja a 3. lövést.

Mert a p=0,6, q=0,4, k=3, majd P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Diszkrét valószínűségi változók numerikus jellemzői

Az eloszlási törvény teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót, de gyakran ismeretlen, így kevesebb információra kell korlátozódnia. Néha még kifizetődőbb olyan számokat (paramétereket) használni, amelyek a valószínűségi változót összességében leírják. Úgy hívják numerikus jellemzők valószínűségi változó. Ide tartoznak: matematikai elvárás, variancia stb.

Meghatározás 14.1. matematikai elvárás A diszkrét valószínűségi változót az összes lehetséges értéke és valószínűségei szorzatának összegének nevezzük. Jelölje egy valószínűségi változó matematikai elvárását x M-en keresztül x=M( x)=E x.

Ha a valószínűségi változó x véges számú értéket vesz fel, akkor M x= .

Ha a valószínűségi változó x megszámlálható számú értéket vesz fel, majd M x= ,

és a matematikai elvárás akkor létezik, ha a sorozat abszolút konvergál.

Megjegyzés 14.2. A matematikai elvárás egy bizonyos szám, amely megközelítőleg egyenlő egy valószínűségi változó bizonyos értékével.

14.3. példa. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x, ismerve a terjesztési sorozatát

x
R	0,1	0,6	0,3

M x=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

14.4. példa. Határozza meg egy esemény előfordulási számának matematikai elvárását! A egy kísérletben, ha egy esemény valószínűsége A egyenlő p.

Véletlenszerű érték x- az esemény előfordulásának száma A egy tesztben. 1 értéket vehet fel ( A történt) valószínűséggel pés =0 valószínűséggel, azaz. terjesztési sorozat

Ezért MS=C*1=C.

Megjegyzés 14.6. C állandó érték szorzata diszkrét valószínűségi változóval x Egy diszkrét C valószínűségi változóként definiálható x, amelynek lehetséges értékei megegyeznek a С állandó és a lehetséges értékek szorzatával x, ezen értékek valószínűsége С x egyenlők a megfelelő lehetséges értékek valószínűségével x.

Ingatlan 14.7. Az állandó tényezőt ki lehet venni az elvárás jeléből:

KISASSZONY x)=C∙M x.

Ha a valószínűségi változó x elosztási számmal rendelkezik

x			…		…
R			…		…

Véletlen változó eloszlási sorozat

SH			…		…
R			…		…

KISASSZONY x)= = = С∙М( x).

Meghatározás 14.8. A , ,…, véletlenszerű változókat hívjuk független, ha azért, én=1,2,…,n

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

Ha mint = , én=1,2,…,n, akkor (1)

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvényére ,…, , amely egy valószínűségi változó függetlenségének definíciójaként is felfogható.

Ingatlan 14.9. A 2 szorzatának matematikai elvárása független valószínűségi változók egyenlő a matematikai elvárásaik szorzatával:

M( XY)=M x∙M Nál nél.

Ingatlan 14.10. 2 valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével:

M( X+Y)=M x+M Nál nél.

Megjegyzés 14.11. A 14.9 és 14.10 tulajdonságok több valószínűségi változó esetére általánosíthatók.

Példa 14.12. Határozzuk meg a matematikai elvárásokat a 2 dobókocka dobásakor kieső pontok összegére!

Hadd x az első kockán dobott pontok száma, Nál nél a második kockán dobott pontok száma. Ugyanaz a terjesztési sorozatuk:

x
R

Aztán M x=M Nál nél= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.

14.13. Tétel. Az esemény előfordulási számának matematikai elvárása A V n független kísérletek egyenlő a kísérletek számának és az egyes kísérletekben bekövetkező események valószínűségének szorzatával: M x=np.

Hadd x– az esemény előfordulásának száma A V n független tesztek. – az esemény előfordulásának száma A V én- az a teszt, én=1,2,…,n. Ekkor = + +…+ . Az M matematikai elvárás tulajdonságai szerint x= . Példából 14,4M X i=p,i=1,2,…,n, ezért M x= =np.

Meghatározás 14.14.diszperzió a valószínűségi változót D számnak nevezzük x=M( x-M x) 2 .

Meghatározás 14.15.Szórás valószínűségi változó x hívott szám =.

Megjegyzés 14.16. A diszperzió egy valószínűségi változó értékeinek terjedésének mértéke a matematikai elvárása körül. Mindig nem negatív. A variancia kiszámításához kényelmesebb egy másik képlet használata:

D x=M( x-M x) 2 = M( x 2 - 2X∙ M x+ (M x) 2) = M( x 2) - 2M( X∙ M x) + M(M x) 2 = =M( x 2)-M X∙ M X+(M x) 2 = M( x 2) – (M x) 2 .

Innen D x=M( x 2) – (M x) 2 .

14.17. példa. Keresse meg egy valószínűségi változó varianciáját x, amelyet számos eloszlás ad meg

x
P	0,1	0,6	0,3

M x=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( x 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

D x=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Diszperziós tulajdonságok

Ingatlan 14.18. Egy állandó érték szórása 0:

DC=M(C-MC)2=M(C-C)2=0.

Ingatlan 14.19. A konstans tényező a diszperziós jelből négyzetre emelve kivehető

D(C x) =C 2 D x.

D(CX)=M(C-CM x) 2 \u003d M (C (X-M x) 2) = C 2 M( x-M x) 2 = C 2 D x.

Ingatlan 14.20. 2 összegének szórása független valószínűségi változók egyenlő e változók varianciáinak összegével

D( X+Y)=D x+D Y.

D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M x+ M Y) 2 = =M( x) 2 +2M x M Y+M( Y 2)-(M( x) 2 +2M x M Y+M( Y) 2)= M( x 2)-(M x) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = D x+D Y.

Következmény 14.21. Többek összegének szórása független valószínűségi változók szórásaik összegével egyenlő.

14.22. tétel. Egy esemény előfordulási számának szórása A V n független tesztek, amelyek mindegyikében a valószínűség p) 2 =). Ezért D +2,

1. Feladat. Egy folytonos X valószínűségi változó eloszlási sűrűsége a következő:
Megtalálja:
a) A paraméter ;
b) F(x) eloszlásfüggvény;
c) egy X valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége az intervallumban;
d) MX matematikai elvárás és DX variancia.
Ábrázolja az f(x) és F(x) függvényeket.

2. feladat. Határozzuk meg az X valószínűségi változó integrálfüggvény által adott szórását!

3. feladat. Határozzuk meg egy X valószínűségi változó matematikai elvárását egy eloszlásfüggvény mellett.

4. feladat. Valamelyik valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét a következőképpen adjuk meg: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Határozzuk meg az A együtthatót, az F(x) eloszlásfüggvényt, a matematikai elvárásokat és szórást, valamint annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumban. Ábrázoljuk az f(x) és F(x) gráfokat.

Feladat. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő:

Határozzuk meg az a és b paramétereket, keressük meg az f(x) valószínűségi sűrűség kifejezését, a matematikai elvárást és szórást, valamint annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumban. Ábrázoljuk az f(x) és F(x) gráfokat.

Keressük az eloszlási sűrűségfüggvényt az eloszlásfüggvény deriváltjaként.
F′=f(x)=a
Tudva, hogy megtaláljuk az a paramétert:

vagy 3a=1, ahol a=1/3
A b paramétert a következő tulajdonságokból találjuk meg:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, ahol b = -1/3
Ezért az eloszlásfüggvény: F(x) = (x-1)/3

Várható érték.

Diszperzió.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumban
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

1. példa. Adott egy X folytonos valószínűségi változó f(x) valószínűségi eloszlási sűrűsége. Kívánt:

Határozzuk meg az A együtthatót.
keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt.
sematikusan ábrázolja F(x) és f(x) .
keresse meg X matematikai elvárását és varianciáját.
keresse meg annak valószínűségét, hogy X értéket vesz fel a (2;3) intervallumból.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Megoldás:

Az X valószínűségi változót az f(x) eloszlássűrűség adja:

Keresse meg az A paramétert a feltételből:

vagy
14/3*A-1=0
Ahol,
A = 3/14

Az eloszlásfüggvény a képlettel kereshető meg.

VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉKEK

2.1. példa. Véletlenszerű érték x eloszlásfüggvény adja meg

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x(2,5; 3,6) közötti értékeket vesz fel.

Megoldás: x a (2.5; 3.6) intervallumban kétféleképpen határozható meg:

2.2. példa. A paraméterek milyen értékeinél AÉs BAN BEN funkció F(x) = A + Be - x eloszlásfüggvénye lehet egy valószínűségi változó nemnegatív értékeinek x.

Megoldás: Mivel a valószínűségi változó összes lehetséges értéke x intervallumhoz tartoznak, akkor ahhoz, hogy a függvény eloszlásfüggvénye legyen x, az ingatlannak rendelkeznie kell:

Válasz: .

2.3. példa. Az X valószínűségi változót az eloszlásfüggvény adja

Határozza meg annak valószínűségét, hogy négy független próba eredményeként az érték x pontosan 3-szor az intervallumhoz tartozó értéket vesz fel (0,25; 0,75).

Megoldás: Egy érték elérésének valószínűsége x a (0,25; 0,75) intervallumban a következő képlettel találjuk:

2.4. példa. Annak a valószínűsége, hogy egy dobás során a labda kosarat talál, 0,3. Rajzolja fel a három dobásban elért találatok számának eloszlásának törvényét!

Megoldás: Véletlenszerű érték x- a kosárba dobott találatok száma három dobással - a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3. x

2.5. példa. Két lövő lő egyet a célba. Annak a valószínűsége, hogy az első lövő eltalálja, 0,5, a második 0,4. Írd le a célponton elért találatok számának eloszlási törvényét!

Megoldás: Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvényét! x- a célponton elért találatok száma. Legyen az esemény az első lövő célba ütése, és - a második lövő találata, illetve - a hibái.

Állítsuk össze az SV valószínűségi eloszlásának törvényét x:

2.6. példa. 3 elemet tesztelnek, amelyek egymástól függetlenül működnek. Az elemek hibamentes működési idejének (órában) eloszlási sűrűségfüggvényei vannak: először: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, a másodikhoz: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, a harmadikhoz: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a 0 és 5 óra közötti időintervallumban: csak egy elem fog meghibásodni; csak két elem fog meghibásodni; mindhárom elem meghibásodik.

Megoldás: Használjuk a valószínűségeket generáló függvény definícióját:

Annak valószínűsége, hogy független kísérletekben, amelyek közül az elsőben egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egyenlő , a másodikban stb., az esemény A pontosan egyszer jelenik meg, egyenlő az at együtthatóval a generáló függvény hatványaiban. Határozzuk meg az első, a második és a harmadik elem meghibásodásának és meghibásodásának valószínűségét 0 és 5 óra közötti időintervallumban:

Hozzunk létre egy generáló függvényt:

A at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy az esemény A pontosan háromszor jelenik meg, vagyis mindhárom elem meghibásodásának valószínűsége; az at együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy pontosan két elem fog meghibásodni; együttható at egyenlő annak a valószínűségével, hogy csak egy elem hibásodik meg.

Példa 2.7. Adott egy valószínűségi sűrűség f(x) valószínűségi változó x:

Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt!

Megoldás: A képletet használjuk:

Így az elosztási függvény alakja:

2.8. példa. A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Állítsd össze egy kísérletben a sikertelen elemek számának eloszlási törvényét!

Megoldás: Véletlenszerű érték x- az egy kísérletben sikertelen elemek száma - a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3. Valószínűség, hogy x ezeket az értékeket veszi, a Bernoulli-képlet alapján kapjuk meg:

Így megkapjuk egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának következő törvényét x:

Példa 2.9. 4 szabvány alkatrész van sok 6 alkatrészben. Véletlenszerűen 3 elem került kiválasztásra. Rajzolja fel a szabványos részek számának eloszlási törvényét a kiválasztottak között!

Megoldás: Véletlenszerű érték x- a standard részek száma a kiválasztottak között - 1, 2, 3 értékeket vehet fel és hipergeometrikus eloszlású. Annak a valószínűsége x

Ahol -- a tételben lévő alkatrészek száma;

-- a szabványos alkatrészek száma a tételben;

– a kiválasztott alkatrészek száma;

-- a standard alkatrészek száma a kiválasztottak között.

2.10. példa. A valószínűségi változó eloszlási sűrűséggel rendelkezik

ahol és nem ismertek, de , a és . Keresse meg és.

Megoldás: Ebben az esetben a valószínűségi változó x háromszögeloszlású (Simpson-eloszlás) a [ a, b]. Numerikus jellemzők x:

Ennélfogva, . Ezt a rendszert megoldva két értékpárt kapunk: . Mivel a probléma állapotának megfelelően végre megvan: .

Válasz: .

Példa 2.11.Átlagosan a szerződések 10%-ánál fizeti ki a biztosító a biztosítási esemény bekövetkeztével kapcsolatos biztosítási összegeket. Számítsa ki az ilyen szerződések számának matematikai elvárását és szórását négy véletlenszerűen kiválasztott szerződés között!

Megoldás: A matematikai elvárás és szórás a következő képletekkel határozható meg:

SV lehetséges értékei (a biztosítási esemény bekövetkeztével kötött szerződések száma (négyből): 0, 1, 2, 3, 4.

A Bernoulli képlet segítségével számítjuk ki, hogy mekkora valószínűséggel kötöttek (négyből) eltérő számú szerződést, amelyre a biztosítási összeget fizették:

Az önéletrajz terjesztési sorozata (a biztosítási esemény bekövetkeztével kötött szerződések száma) a következőképpen alakul:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Válasz: , .

Példa 2.12. Az öt rózsa közül kettő fehér. Írjon egy eloszlási törvényt egy valószínűségi változóra, amely kifejezi, hogy hány fehér rózsa van két egyidejűleg vett rózsa között!

Megoldás: Egy két rózsából álló mintában vagy nincs fehér rózsa, vagy lehet egy vagy két fehér rózsa. Ezért a valószínűségi változó xértékeket vehet fel: 0, 1, 2. Az a valószínűség, hogy x ezeket az értékeket a következő képlettel találjuk meg:

Ahol -- rózsák száma;

-- fehér rózsák száma;

– az egyidejűleg kivett rózsák száma;

-- a fehér rózsák száma az elvittek között.

Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye a következő lesz:

2.13. példa. A 15 összeszerelt egység közül 6 további kenést igényel. Rajzolja fel a kiegészítő kenést igénylő egységek számának eloszlási törvényét az összes számból véletlenszerűen kiválasztott öt között.

Megoldás: Véletlenszerű érték x- a további kenést igénylő egységek száma az öt kiválasztott közül - a következő értékeket veheti fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5 és hipergeometrikus eloszlású. Annak a valószínűsége x ezeket az értékeket a következő képlettel találjuk meg:

Ahol -- az összeszerelt egységek száma;

-- a kiegészítő kenést igénylő egységek száma;

– a kiválasztott aggregátumok száma;

-- a kiegészítő kenést igénylő egységek száma a kiválasztottak közül.

Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye a következő lesz:

2.14. példa. A javításra kapott 10 órából 7-nek van szüksége a mechanizmus általános tisztítására. Az órák nincsenek a javítás típusa szerint válogatva. A mester, aki tisztításra szoruló órát szeretne találni, egyenként megvizsgálja, és miután talált egy ilyen órát, abbahagyja a további nézegetést. Keresse meg a nézett órák számának matematikai elvárását és szórását!

Megoldás: Véletlenszerű érték x- a további kenést igénylő egységek száma az öt kiválasztott közül - a következő értékeket veheti fel: 1, 2, 3, 4. Annak a valószínűsége, hogy x ezeket az értékeket a következő képlettel találjuk meg:

Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye a következő lesz:

Most számítsuk ki a mennyiség numerikus jellemzőit:

Válasz: , .

2.15. példa. Az előfizető elfelejtette a szükséges telefonszám utolsó számjegyét, de eszébe jut, hogy az furcsa. Határozza meg a kívánt szám leütése előtt végzett tárcsázások számának matematikai elvárását és szórását, ha az utolsó számjegyet véletlenszerűen tárcsázza, és a jövőben nem tárcsázza a tárcsázott számjegyet.

Megoldás: A véletlenszerű változó értékeket vehet fel: . Mivel az előfizető a jövőben nem tárcsázza a tárcsázott számot, ezeknek az értékeknek a valószínűsége egyenlő.

Készítsünk eloszlássorozatot egy valószínűségi változóból:


	0,2

Számítsuk ki a tárcsázási kísérletek számának matematikai elvárását és szórását:

Válasz: , .

2.16. példa. A meghibásodás valószínűsége a megbízhatósági tesztek során a sorozat minden eszközénél egyenlő p. Határozza meg a meghibásodott eszközök számának matematikai elvárását, ha tesztelték N készülékek.

Megoldás: Az X diszkrét valószínűségi változó a meghibásodott eszközök száma N független tesztek, amelyek mindegyikében a meghibásodás valószínűsége egyenlő p, a binomiális törvény szerint oszlik el. A binomiális eloszlás matematikai elvárása megegyezik a próbák számának és egy kísérletben bekövetkező esemény valószínűségének szorzatával:

2.17. példa. Diszkrét valószínűségi változó x 3 lehetséges értéket vesz fel: valószínűséggel ; valószínűséggel és valószínűséggel . Találd meg és tudd, hogy M( x) = 8.

Megoldás: A matematikai elvárás definícióit és egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét használjuk:

Találunk: .

2.18. példa. A műszaki ellenőrzési osztály ellenőrzi a termékek szabványosságát. Annak a valószínűsége, hogy az elem szabványos, 0,9. Minden tétel 5 elemet tartalmaz. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x- a tételek száma, amelyek mindegyike pontosan 4 szabványos terméket tartalmaz, ha 50 tételt kell ellenőrizni.

Megoldás: Ebben az esetben minden elvégzett kísérlet független, és annak a valószínűsége, hogy minden tétel pontosan 4 standard terméket tartalmaz, azonos, ezért a matematikai elvárás a következő képlettel határozható meg:

hol a felek száma;

Annak a valószínűsége, hogy egy köteg pontosan 4 szabványos elemet tartalmaz.

A valószínűséget a Bernoulli-képlet segítségével találjuk meg:

Válasz: .

2.19. példa. Keresse meg egy valószínűségi változó varianciáját x– az esemény előfordulásának száma A két független kísérletben, ha ezekben a próbákban egy esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos, és ismert, hogy M(x) = 0,9.

Megoldás: A probléma kétféleképpen oldható meg.

1) Lehetséges CB értékek x: 0, 1, 2. A Bernoulli-képlet segítségével meghatározzuk ezeknek az eseményeknek a valószínűségét:

, , .

Aztán az elosztási törvény xúgy néz ki, mint a:

A matematikai elvárás definíciójából meghatározzuk a valószínűséget:

Határozzuk meg az SW varianciáját x:

2) Használhatja a következő képletet:

Válasz: .

2.20. példa. Egy normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása x 20, illetve 5. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (15; 25) intervallumban lévő értéket veszi fel.

Megoldás: Normál valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége x a től ig szakaszon a Laplace-függvényben kifejezve:

2.21. példa. Adott egy függvény:

A paraméter melyik értékénél C ez a függvény valamilyen folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűsége x? Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását és varianciáját! x.

Megoldás: Ahhoz, hogy egy függvény valamely valószínűségi változó eloszlássűrűsége legyen, nem negatívnak kell lennie, és teljesítenie kell a tulajdonságot:

Ennélfogva:

Számítsa ki a matematikai elvárást a következő képlettel:

Számítsa ki az eltérést a képlet segítségével:

T az p. Meg kell találni ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását.

Megoldás: Egy diszkrét X valószínűségi változó eloszlási törvényét - egy esemény előfordulásának számát független kísérletekben, amelyek mindegyikében egy esemény bekövetkezésének valószínűsége , binomiálisnak nevezzük. A binomiális eloszlás matematikai elvárása megegyezik a próbák számának és az A esemény bekövetkezésének valószínűségének szorzatával egy kísérletben:

2.25. példa. Három egymástól független lövést adnak le a célpontra. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége 0,25. Határozza meg három lövéssel a találatok számának szórását!

Megoldás: Mivel három független próbát végzünk, és az A esemény (találat) bekövetkezésének valószínűsége minden kísérletben azonos, feltételezzük, hogy az X diszkrét valószínűségi változó – a célponton elért találatok száma – a binomiális szerint oszlik el. törvény.

A binomiális eloszlás varianciája megegyezik a kísérletek számának és az esemény bekövetkezésének és meg nem következésének valószínűségének szorzatával egy kísérletben:

2.26. példa. A biztosítót 10 perc alatt átlagosan három ügyfél keresi fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő 5 percben legalább egy ügyfél megérkezik.

Az 5 perc alatt érkező ügyfelek átlagos száma: . .

2.29. példa. A processzorsorban lévő alkalmazások várakozási ideje egy exponenciális eloszlási törvénynek engedelmeskedik, átlagosan 20 másodperc. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő (tetszőleges) kérés 35 másodpercnél tovább vár a processzorra.

Megoldás: Ebben a példában az elvárás , és a meghibásodási arány .

Ekkor a kívánt valószínűség:

2.30. példa. Egy 15 fős diákcsoport egy 20, egyenként 10 ülőhellyel rendelkező teremben tart megbeszélést. Minden tanuló véletlenszerűen foglal helyet a teremben. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb három ember lesz a hetedik helyen a sorban?

Megoldás:

2.31. példa.

Ezután a valószínűség klasszikus definíciója szerint:

Ahol -- a tételben lévő alkatrészek száma;

-- a nem szabványos alkatrészek száma a tételben;

– a kiválasztott alkatrészek száma;

-- a nem szabványos alkatrészek száma a kiválasztottak között.

Ekkor a valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő lesz.

Példák a „Véletlen változók” témával kapcsolatos problémák megoldására.

Feladat 1 . A sorsoláson 100 db jegyet bocsátanak ki. Egy 50 USD nyereményt játszottak. és tíz, egyenként 10 dolláros nyeremény. Keresse meg az X érték eloszlási törvényét - a lehetséges nyereség költségét.

Megoldás. X lehetséges értékei: x 1 = 0; x 2 = 10 és x 3 = 50. Mivel 89 „üres” jegy van, akkor p 1 = 0,89, a nyerési valószínűség 10 c.u. (10 jegy) – p 2 = 0,10 és 50 c.u. – o 3 = 0,01. És így:


	0,89	0,10	0,01

Könnyen irányítható: .

Feladat 2. Annak a valószínűsége, hogy a vásárló előzetesen megismerkedett a termék hirdetésével, 0,6 (p = 0,6). A reklámok szelektív minőség-ellenőrzését úgy végzik el, hogy a vásárlókat még azelőtt megkérdezik, aki először tanulmányozta a hirdetést. Készítsen sorozatot a megkérdezett vásárlók számának megoszlásáról.

Megoldás. A feladat feltétele szerint p = 0,6. Kezdő: q=1 -p = 0,4. Ezeket az értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:és készítsünk egy eloszlási sorozatot:


pi		0,24

Feladat 3. A számítógép három egymástól függetlenül működő elemből áll: egy rendszeregységből, egy monitorból és egy billentyűzetből. A feszültség egyszeri éles növekedésével az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége 0,1. A Bernoulli-eloszlás alapján készítse el az elosztási törvényt a hálózat túlfeszültség-emelkedése során meghibásodott elemek számára.

Megoldás. Fontolgat Bernoulli eloszlás(vagy binomiális): annak a valószínűsége, hogy be n tesztek esetén az A esemény pontosan megjelenik k egyszer: , vagy:


	q n					p n

BAN BEN térjünk vissza a feladathoz.

X lehetséges értékei (a hibák száma):

x 0 =0 - egyik elem sem sikerült;

x 1 =1 - egy elem meghibásodása;

x 2 =2 - két elem meghibásodása;

x 3 =3 - minden elem meghibásodása.

Mivel feltétel szerint p = 0,1, akkor q = 1 – p = 0,9. A Bernoulli-képlet segítségével azt kapjuk

, ,

, .

Vezérlés: .

Ezért a kívánt elosztási törvény:


	0,729	0,243	0,027	0,001

4. feladat. 5000 darabot gyártottak. Annak a valószínűsége, hogy az egyik patron hibás . Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 hibás patron lesz a teljes tételben?

Megoldás. Alkalmazható Poisson-eloszlás: ez az eloszlás annak a valószínűségének meghatározására szolgál, hogy egy nagyon nagy

kísérletek száma (tömegpróbák), amelyek mindegyikében az A esemény valószínűsége nagyon kicsi, az A esemény k-szer fog bekövetkezni: , Ahol .

Itt n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Megtaláljuk, majd a kívánt valószínűséget: .

5. feladat. Amikor az első találat előtt lő a p találati valószínűséggel = 0,6 egy lövés esetén, meg kell találnia annak valószínűségét, hogy a találat a harmadik lövésnél bekövetkezik.

Megoldás. Alkalmazzuk a geometriai eloszlást: végezzünk független próbákat, amelyek mindegyikében az A esemény p bekövetkezési valószínűséggel (és q = 1 - p be nem következéssel) rendelkezik. A kísérletek azonnal véget érnek, amint az A esemény bekövetkezik.

Ilyen feltételek mellett annak valószínűségét, hogy az A esemény bekövetkezik a k-adik teszten, a következő képlet határozza meg: . Itt p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Ezért .

6. feladat. Legyen adott egy X valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Keresse meg a matematikai elvárást.

Megoldás. .

Vegyük észre, hogy a matematikai elvárás valószínűségi jelentése egy valószínűségi változó átlagos értéke.

7. feladat. Keresse meg egy X valószínűségi változó varianciáját a következő eloszlási törvény szerint:

Megoldás. Itt .

X négyzetének eloszlási törvénye 2 :

x 2

Kötelező szórás: .

A diszperzió egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének (szórásának) mértékét jellemzi.

8. feladat. Adjuk meg a valószínűségi változót az eloszlás:

			10 m

Keresse meg a numerikus jellemzőit!

Megoldás: m, m 2 ,

M 2 , m.

Egy X valószínűségi változóról azt is mondhatjuk, hogy matematikai elvárása 6,4 m, szórása 13,04 m 2 , vagy - matematikai elvárása 6,4 m, m eltéréssel A második megfogalmazás nyilvánvalóan világosabb.

Feladat 9. Véletlenszerű érték x az eloszlási függvény adja meg:
.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként az X érték az intervallumban foglalt értéket veszi fel .

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz fel egy adott intervallumból, egyenlő az integrálfüggvény növekményével ebben az intervallumban, azaz. . A mi esetünkben és ezért