Nem minden jelenséget mérnek kvantitatív skálán, például 1, 2, 3 ... 100500 ... Nem mindig lehet egy jelenség végtelen vagy nagyszámú különböző állapotot felvenni. Például egy személy neme lehet M vagy F. A lövő vagy eltalálja a célt, vagy elhibázza. Szavazni lehet „mellett”, „nem” stb. stb. Más szavakkal, az ilyen adatok egy alternatív attribútum állapotát tükrözik - vagy "igen" (az esemény megtörtént) vagy "nem" (az esemény nem történt meg). A közelgő eseményt (pozitív eredményt) „sikernek” is nevezik.
Az ilyen adatokkal végzett kísérleteket ún Bernoulli-séma, a híres svájci matematikus tiszteletére, aki azt találta, hogy nagy számú kísérlet esetén a pozitív kimenetelek aránya a kísérletek teljes számához viszonyítva az esemény bekövetkezésének valószínűségéhez igazodik.
Alternatív jellemzőváltozó
Annak érdekében, hogy a matematikai apparátust felhasználhassuk az elemzésben, az ilyen megfigyelések eredményeit numerikus formában kell leírni. Ehhez egy pozitív eredményhez 1-et rendelünk, a negatívhoz pedig 0-t. Más szóval, olyan változóval van dolgunk, amely csak két értéket vehet fel: 0 vagy 1.
Milyen előnyök származhatnak ebből? Valójában nem kevesebb, mint a közönséges adatokból. Könnyű tehát megszámolni a pozitív kimenetelek számát - elég az összes értéket összegezni, pl. mind 1 (siker). Mehetsz tovább, de ehhez be kell vezetned néhány jelölést.
Az első dolog, amit meg kell jegyezni, hogy a pozitív eredmények (amelyek egyenlőek 1-gyel) bizonyos valószínűséggel előfordulnak. Például egy érmefeldobásnál fejet kapni ½ vagy 0,5. Ezt a valószínűséget hagyományosan latin betűvel jelölik p. Ezért egy alternatív esemény bekövetkezésének valószínűsége az 1-p, amelyet szintén jelöl q, vagyis q = 1 – p. Ezek a jelölések vizuálisan rendszerezhetők változó elosztólemez formájában x.
Kaptunk egy listát a lehetséges értékekről és azok valószínűségeiről. lehet számolni várható érték És diszperzió. A várakozás az összes lehetséges érték és a hozzájuk tartozó valószínűségek szorzatának összege:
Számítsuk ki a várható értéket a fenti táblázatok jelölésével.
Kiderül, hogy egy alternatív előjel matematikai elvárása egyenlő ennek az eseménynek a valószínűségével - p.
Most határozzuk meg, hogy mekkora egy alternatív jellemző varianciája. A diszperzió a matematikai elvárásoktól való eltérések átlagos négyzete. Az általános képlet (a diszkrét adatokhoz) a következő:
Ezért az alternatív jellemző varianciája:
Könnyen belátható, hogy ennek a diszperziónak a maximuma 0,25 (at p=0,5).
Szórás – a szórás gyöke:
A maximális érték nem haladja meg a 0,5-öt.
Amint látható, mind a matematikai elvárás, mind az alternatív előjel varianciája nagyon kompakt formával rendelkezik.
Valószínűségi változó binomiális eloszlása
Nézzük meg a helyzetet más szemszögből. Valóban, kit érdekel, hogy az átlagos fejveszteség egy dobásnál 0,5? Még elképzelhetetlen is. Érdekesebb felvetni azt a kérdést, hogy adott számú dobásra hány fej jön.
Más szóval, a kutatót gyakran érdekli bizonyos számú sikeres esemény bekövetkezésének valószínűsége. Ez lehet a hibás termékek száma a vizsgált tételben (1 - hibás, 0 - jó), vagy a gyógyulások száma (1 - egészséges, 0 - beteg) stb. Az ilyen "sikerek" száma megegyezik a változó összes értékének összegével x, azaz az egyedi eredmények száma.
Véletlenszerű érték B binomiálisnak nevezzük, és 0-tól veszi az értékeket n(nál nél B= 0 - minden alkatrész jó, vele B = n- minden alkatrész hibás). Feltételezzük, hogy minden érték x egymástól függetlenek. Tekintsük a binomiális változó főbb jellemzőit, azaz meghatározzuk a matematikai elvárását, szórását és eloszlását.
A binomiális változó elvárása nagyon könnyen beszerezhető. Az értékek összegének matematikai elvárása az egyes hozzáadott értékek matematikai elvárásainak összege, és mindenki számára azonos, ezért:
Például a fejek számának várható száma 100 dobásnál 100 × 0,5 = 50.
Most levezetjük a binomiális változó varianciájának képletét. A független valószínűségi változók összegének szórása az eltérések összege. Innen
Szórás, ill
100 érmefeldobáshoz szórás a sasok száma az
És végül vegyük figyelembe a binomiális mennyiség eloszlását, azaz. annak a valószínűsége véletlenszerű érték B fog tartani különféle jelentések k, Ahol 0≤k≤n. Egy érme esetében ez a probléma így hangozhat: mekkora a valószínűsége annak, hogy 100 feldobásból 40 fej lesz?
A számítási módszer megértéséhez képzeljük el, hogy az érmét csak négyszer dobják fel. Bármelyik oldal kieshet minden alkalommal. Feltesszük magunknak a kérdést: mekkora a valószínűsége annak, hogy 4 dobásból 2 fejet kapunk. Minden dobás független egymástól. Ez azt jelenti, hogy bármely kombináció megszerzésének valószínűsége egyenlő lesz az egyes dobások adott kimenetelének valószínűségének szorzatával. Legyenek O fejek, P pedig farok. Ekkor például az egyik számunkra megfelelő kombináció úgy nézhet ki, mint az OOPP, azaz:
Egy ilyen kombináció valószínűsége egyenlő annak a két valószínűségnek a szorzatával, hogy feljönnek a fejek és még két valószínűséggel, hogy nem jönnek fel a fejek (a fordított esemény a következőképpen számítva: 1-p), azaz 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Ez a valószínűsége a számunkra megfelelő kombinációk egyikének. De a kérdés a sasok összlétszámára vonatkozott, és nem egy konkrét sorrendre. Ezután hozzá kell adnia minden olyan kombináció valószínűségét, amelyben pontosan 2 sas van. Egyértelmű, hogy mindegyik egyforma (a termék nem változik a tényezők helyének megváltoztatásától). Ezért ki kell számítania a számukat, majd meg kell szoroznia az ilyen kombinációk valószínűségével. Számoljuk meg a 2 sas 4 dobásának összes kombinációját: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Csak 6 lehetőség.
Ezért 4 dobás után 2 fej megszerzésének kívánt valószínűsége 6×0,0625=0,375.
Az ilyen módon történő számolás azonban fárasztó. Már 10 érménél nagyon nehéz lesz nyers erővel megszerezni az opciók teljes számát. Ezért okos emberek régen feltalált egy képletet, amely kiszámítja a különböző kombinációk számát n elemek által k, Ahol n az elemek teljes száma, k azoknak az elemeknek a száma, amelyek elrendezési lehetőségeit kiszámítjuk. Kombinációs képlete n elemek által k ez:
Hasonló dolgok történnek a kombinatorika részben. Oda küldök mindenkit, aki fejleszteni szeretné tudását. Innen egyébként a binomiális eloszlás neve (a fenti képlet a Newton-binomiális kiterjesztésének együtthatója).
A valószínűség meghatározására szolgáló képlet könnyen általánosítható tetszőleges számra nÉs k. Ennek eredményeként a binomiális eloszlási képlet a következő alakú.
Szorozzuk meg az egyező kombinációk számát az egyik valószínűségével.
A gyakorlati használathoz elegendő, ha ismerjük a binomiális eloszlás képletét. És lehet, hogy nem is tudja – az alábbiakban bemutatjuk, hogyan határozhatja meg a valószínűséget az Excel használatával. De jobb tudni.
Használjuk ezt a képletet annak a valószínűségére, hogy 100 dobásból 40 fejet kapunk:
Vagy csak 1,08%. Összehasonlításképpen ennek a kísérletnek a matematikai elvárásának, azaz 50 fejnek a valószínűsége 7,96%. A binomiális érték maximális valószínűsége a matematikai elvárásnak megfelelő értékhez tartozik.
Binomiális eloszlás valószínűségeinek kiszámítása Excelben
Ha csak papírt és számológépet használ, akkor a binomiális eloszlási képlettel történő számítások az integrálok hiánya ellenére meglehetősen nehézkesek. Például egy 100-as érték! - több mint 150 karakterből áll. Korábban és most is közelítő képleteket használtak az ilyen mennyiségek kiszámításához. Jelenleg célszerű speciális szoftvereket, például MS Excelt használni. Így bármely felhasználó (még a végzettsége szerint humanista is) könnyen kiszámíthatja egy binomiális eloszlású valószínűségi változó értékének valószínűségét.
Az anyag konszolidálásához egyelőre az Excelt használjuk normál számológépként, azaz. Végezzünk lépésről lépésre számítást a binomiális eloszlási képlet segítségével. Számítsuk ki például annak a valószínűségét, hogy 50 fejet kapunk. Az alábbi képen a számítás lépései és a végeredmény látható.
Amint látható, a köztes eredmények olyan léptékűek, hogy nem férnek be a cellába, bár mindenhol használják egyszerű funkciók típusai: TÉNYEZŐ (faktoriális számítás), HATVÉNY (szám hatványra emelése), valamint szorzási és osztási operátorok. Ráadásul ez a számítás meglehetősen körülményes, mindenesetre nem kompakt, mert sok sejt érintett. És igen, nehéz kitalálni.
Általában az Excel kész függvényt biztosít a binomiális eloszlás valószínűségeinek kiszámításához. A függvényt hívják BINOM.DIST.
A sikerek száma a sikeres kísérletek száma. 50 db van nálunk.
A próbák száma - dobások száma: 100 alkalommal.
A siker valószínűsége – annak a valószínűsége, hogy egy dobásra fejet kapnak, 0,5.
Integrál - 1 vagy 0 van feltüntetve, ha 0, akkor a valószínűség kiszámításra kerül P(B=k); ha 1, akkor a binomiális eloszlásfüggvényt számítjuk ki, azaz. az összes valószínűség összege innen B=0 előtt B=k inkluzív.
Nyomjuk meg az OK gombot, és ugyanazt az eredményt kapjuk, mint fent, csak minden egy függvény alapján lett kiszámítva.
Nagyon kényelmesen. A kísérlet kedvéért az utolsó 0 paraméter helyett 1-et teszünk. 0,5398-at kapunk. Ez azt jelenti, hogy 100 érmefeldobásnál közel 54% a valószínűsége annak, hogy 0 és 50 között fejeket kapnak. És először úgy tűnt, hogy 50%-nak kell lennie. Általában a számításokat egyszerűen és gyorsan elvégezzük.
Egy igazi elemzőnek meg kell értenie a függvény viselkedését (milyen az eloszlása), ezért számoljuk ki minden érték valószínűségét 0-tól 100-ig. Vagyis tegyük fel magunknak a kérdést: mekkora a valószínűsége annak, hogy egyetlen sas sem esik ki, 1 sas esik ki, 2, 3, 50, 90. A következő számításon 1000. ill. A kék vonal maga a binomiális eloszlás, a piros pont pedig egy adott számú siker valószínűsége k.
Felmerülhet a kérdés, nem hasonlít-e a binomiális eloszlás a... Igen, nagyon hasonló. Még De Moivre (1733-ban) is azt mondta, hogy nagy mintáknál a binomiális eloszlás közeledik (nem tudom, hogy hívták akkor), de senki nem hallgatott rá. Csak Gauss, majd Laplace 60-70 év után fedezte fel újra és alaposan tanulmányozta normális törvény terjesztés. A fenti grafikonon jól látható, hogy a maximális valószínűség a matematikai elvárásra esik, és ahogy attól eltér, erősen csökken. Csakúgy, mint a normál törvény.
A binomiális eloszlásnak nagy gyakorlati jelentősége van, elég gyakran előfordul. Az Excel használatával a számítások egyszerűen és gyorsan elvégezhetők.
A binomiális eloszlás az egyik legfontosabb valószínűségi eloszlás egy diszkréten változó valószínűségi változó esetén. A binomiális eloszlás egy szám valószínűségi eloszlása m esemény A V n egymástól független megfigyelések. Gyakran esemény A az úgynevezett "siker" a megfigyelés, és az ellenkező esemény - "kudarc", de ez a megjelölés nagyon feltételes.
A binomiális eloszlás feltételei:
- összesen végrehajtva n kísérletek, amelyekben az esemény A előfordulhat vagy nem;
- esemény A mindegyik kísérletben azonos valószínűséggel fordulhat elő p;
- a tesztek egymástól függetlenek.
Annak a valószínűsége, hogy be n teszt esemény A pontosan m alkalommal, a Bernoulli képlet segítségével számítható ki:
Ahol p- az esemény bekövetkezésének valószínűsége A;
q = 1 - p az ellenkező esemény bekövetkezésének valószínűsége.
Találjuk ki miért kapcsolódik a binomiális eloszlás a Bernoulli-formulához a fent leírt módon . Esemény – a sikerek száma időpontban n tesztek számos lehetőségre oszlanak, amelyek mindegyikében sikert ér el m próbák és kudarcok – be n - m tesztek. Fontolja meg az alábbi lehetőségek egyikét - B1 . A valószínűségek összeadásának szabálya szerint az ellentétes események valószínűségét megszorozzuk:
,
és ha jelöljük q = 1 - p, Azt
.
Ugyanilyen valószínűséggel lesz bármely más lehetőség, amelyben m siker és n - m kudarcok. Az ilyen opciók száma megegyezik a lehetséges módok számával n teszt kap m siker.
Az összes valószínűségeinek összege m eseményszám A(számok 0-tól n) egyenlő eggyel:
ahol minden tag a Newton-binomiális tagja. Ezért a figyelembe vett eloszlást binomiális eloszlásnak nevezzük.
A gyakorlatban gyakran „legfeljebb” valószínűségeket kell kiszámítani m siker benne n tesztek" vagy "legalábbis m siker benne n tesztek". Ehhez a következő képleteket használjuk.
Az integrál függvény, azaz valószínűség F(m), hogy benne n megfigyelési esemény A nem jön többé m egyszer, a következő képlettel számítható ki:
Viszont valószínűség F(≥m), hogy benne n megfigyelési esemény A legalább gyere m egyszer, a következő képlettel számítjuk ki:
Néha kényelmesebb kiszámítani a valószínűséget, hogy be n megfigyelési esemény A nem jön többé m alkalommal, az ellenkező esemény valószínűségén keresztül:
.
Hogy melyik képletet használjuk, az attól függ, hogy melyik tartalmaz kevesebb kifejezést.
A binomiális eloszlás jellemzőit a következő képletekkel számítjuk ki .
Várható érték: .
diszperzió: .
Szórás: .
Binomiális eloszlás és számítások MS Excelben
Binomiális eloszlási valószínűség P n ( m) és az integrálfüggvény értéke F(m) az MS Excel BINOM.DIST függvényével számítható ki. A megfelelő számítás ablaka alább látható (kattintson a bal egérgombbal a nagyításhoz).
Az MS Excel a következő adatok megadását igényli:
- sikerek száma;
- vizsgálatok száma;
- a siker valószínűsége;
- integrál - logikai érték: 0 - ha ki kell számítani a valószínűséget P n ( m) és 1 - ha a valószínűség F(m).
1. példa A cég vezetője az elmúlt 100 napban eladott kamerák számáról foglalta össze az információkat. A táblázat összefoglalja az információkat, és kiszámítja annak valószínűségét, hogy bizonyos számú kamerát eladnak naponta.
A nap nyereséggel ér véget, ha 13 vagy több kamerát adnak el. Annak a valószínűsége, hogy a napot nyereségesen ledolgozzák:
Annak a valószínűsége, hogy a napot profit nélkül ledolgozzák:
Legyen állandó és 0,61 annak a valószínűsége, hogy a napot nyereséggel dolgozzák ki, és a naponta eladott kamerák száma nem függ a naptól. Ezután használhatja a binomiális eloszlást, ahol az esemény A- profittal lesz ledolgozva a nap, - haszon nélkül.
Annak a valószínűsége, hogy 6 napból minden nyereséggel lesz ledolgozva:
.
Ugyanezt az eredményt kapjuk az MS Excel BINOM.DIST függvényével (az integrál értéke 0):
P 6 (6 ) = BINOM.ELOSZTÁS(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.
Annak a valószínűsége, hogy 6 napból 4 vagy több napot nyereséggel dolgoznak:
Ahol 
,
,
Az MS Excel BINOM.DIST függvényével kiszámítjuk annak a valószínűségét, hogy 6 napból legfeljebb 3 napot töltünk nyereséggel (az integrál értéke 1):
P 6 (≤3 ) = BINOM.ELOSZTÁS(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.
Annak a valószínűsége, hogy a 6 napból minden veszteséggel lesz ledolgozva:
,
Ugyanezt a mutatót az MS Excel BINOM.DIST függvényével számítjuk ki:
P 6 (0 ) = BINOM.ELOSZTÁS(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.
Oldja meg a problémát saját maga, majd nézze meg a megoldást
2. példa Egy urnában 2 fehér és 3 fekete golyó található. Kiveszünk egy labdát az urnából, beállítjuk a színt és visszatesszük. A kísérlet 5-ször megismétlődik. A fehér golyók megjelenésének száma diszkrét valószínűségi változó x, a binomiális törvény szerint oszlik el. Állítsd össze egy valószínűségi változó eloszlásának törvényét! Határozza meg a módust, a matematikai elvárást és a szórást.
Továbbra is közösen oldjuk meg a problémákat
3. példa A futárszolgálattól a tárgyakhoz ment n= 5 futár. Minden futár egy valószínűséggel p= 0,3 késik az objektumhoz, függetlenül a többitől. Diszkrét valószínűségi változó x- a késedelmes futárok száma. Készítsen eloszlássorozatot ennek a valószínűségi változónak. Keresse meg annak matematikai elvárását, szórását, szórását. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább két futár késni fog a tárgyakért.
A valószínűségelmélet láthatatlanul jelen van az életünkben. Nem figyelünk rá, de életünk minden eseményének van ilyen vagy olyan valószínűsége. A lehetséges forgatókönyvek nagy száma miatt szükségessé válik, hogy meghatározzuk a legvalószínűbbet és a legkevésbé valószínűt. A legkényelmesebb az ilyen valószínűségi adatok grafikus elemzése. A disztribúció ebben segíthet nekünk. A binomiális az egyik legegyszerűbb és legpontosabb.
Mielőtt közvetlenül a matematikára és a valószínűségszámításra térnénk rá, találjuk ki, ki volt az első, aki kitalálta az ilyen típusú eloszlást, és mi a matematikai apparátus fejlődésének története ehhez a fogalomhoz.
Sztori
A valószínűség fogalma ősidők óta ismert. Az ókori matematikusok azonban nem tulajdonítottak neki nagy jelentőséget, és csak egy elmélet alapjait tudták lerakni, amely később valószínűségelméletté vált. Létrehoztak néhány kombinatorikus módszert, amelyek nagyban segítették azokat, akik később magát az elméletet megalkották és továbbfejlesztették.
A tizenhetedik század második felében megkezdődött a valószínűségszámítás alapfogalmainak és módszereinek kialakulása. Bemutattam a valószínűségi változók definícióit, egyszerű és néhány összetett független és függő esemény valószínűségének számítási módszereit. A valószínűségi változók és valószínűségek iránti ilyen érdeklődést a szerencsejáték diktálta: mindenki tudni akarta, mekkora esélye van a játék megnyerésére.
A következő lépés a matematikai elemzés módszereinek alkalmazása volt a valószínűségszámításban. Kiváló matematikusok, mint Laplace, Gauss, Poisson és Bernoulli vállalták ezt a feladatot. Ők emelték új szintre a matematika ezen területét. James Bernoulli volt az, aki felfedezte a binomiális eloszlás törvényét. Egyébként, amint később megtudjuk, e felfedezés alapján több további is született, amelyek lehetővé tették a normális eloszlás törvényének és még sok másnak a megalkotását.
Most, mielőtt a binomiális eloszlás leírásába kezdenénk, egy kicsit felfrissítjük az emlékezetben a valószínűségszámítás fogalmait, amelyeket valószínűleg már elfelejtettek az iskolapadból.
A valószínűségszámítás alapjai
Olyan rendszereket fogunk figyelembe venni, amelyek eredményeként csak két kimenetel lehetséges: „siker” és „kudarc”. Ez könnyen érthető egy példával: feldobunk egy érmét, sejtve, hogy a farok kiesik. Az egyes lehetséges események (farok leesése - "siker", leeső fej - "nem siker") valószínűsége 50 százalék, ha az érme tökéletesen kiegyensúlyozott, és nincs más tényező, amely befolyásolhatja a kísérletet.
Ez volt a legegyszerűbb esemény. De vannak olyanok is összetett rendszerek, amelyben egymást követő műveleteket hajtanak végre, és ezeknek a műveleteknek a kimenetelének valószínűsége eltérő lesz. Vegyük például a következő rendszert: egy dobozban, amelynek tartalmát nem látjuk, hat teljesen egyforma golyó van, három pár kék, piros és fehér szín. Véletlenszerűen kell szereznünk néhány labdát. Ennek megfelelően, ha előbb kihúzzuk az egyik fehér golyót, többszörösére csökkentjük annak valószínűségét, hogy a következőnél is fehér golyót kapunk. Ez azért történik, mert a rendszerben lévő objektumok száma megváltozik.
A következő részben bonyolultabb matematikai fogalmakat fogunk megvizsgálni, amelyek közelebb visznek ahhoz, hogy mit jelentenek a „normális eloszlás”, „binomiális eloszlás” és hasonlók.
A matematikai statisztika elemei
A statisztikában, amely a valószínűségelmélet egyik alkalmazási területe, számos példa van arra, hogy az elemzéshez szükséges adatokat nem adják meg kifejezetten. Vagyis nem számokban, hanem jellemzők szerinti felosztás formájában, például nemek szerint. Ahhoz, hogy az ilyen adatokra matematikai apparátust alkalmazhassunk, és a kapott eredményekből következtetéseket vonjunk le, a kiindulási adatokat numerikus formátumba kell konvertálni. Ennek megvalósításához általában a pozitív eredményhez 1-et, a negatívhoz 0-t rendelünk. Így matematikai módszerekkel elemezhető statisztikai adatokat kapunk.
A következő lépés a valószínűségi változó binomiális eloszlásának megértéséhez a valószínűségi változó varianciájának és a matematikai elvárásnak a meghatározása. Erről a következő részben fogunk beszélni.
Várható érték
Valójában nem nehéz megérteni, mi a matematikai elvárás. Tekintsünk egy olyan rendszert, amelyben sok különböző esemény van, saját különböző valószínűségekkel. A matematikai elvárást olyan értéknek nevezzük, amely megegyezik ezen események értékeinek szorzatának összegével (a matematikai formában, amelyről az utolsó részben beszéltünk) és előfordulásuk valószínűségével.
A binomiális eloszlás matematikai elvárása ugyanezen séma szerint történik: felvesszük egy valószínűségi változó értékét, megszorozzuk a pozitív kimenetel valószínűségével, majd az összes változóra összesítjük a kapott adatokat. Nagyon kényelmes ezeket az adatokat grafikusan bemutatni - így jobban érzékelhető a különböző értékek matematikai elvárásai közötti különbség.
A következő részben egy másik fogalomról fogunk beszélni – a valószínűségi változó varianciájáról. Szintén szorosan kapcsolódik egy olyan fogalomhoz, mint a binomiális valószínűség-eloszlás, és annak jellemzője.
Binomiális eloszlás varianciája
Ez az érték szorosan összefügg az előzővel, és a statisztikai adatok megoszlását is jellemzi. Az értékek matematikai elvárásaiktól való eltéréseinek átlagos négyzetét jelenti. Vagyis egy valószínűségi változó varianciája a valószínűségi változó értéke és a matematikai elvárása közötti különbség négyzetes összege, megszorozva ennek az eseménynek a valószínűségével.
Általában ennyit kell tudnunk a varianciaról ahhoz, hogy megértsük, mi a binomiális valószínűségi eloszlás. Most pedig térjünk át fő témánkra. Mégpedig az, hogy mi rejlik egy ilyen meglehetősen bonyolultnak tűnő "binomiális eloszlási törvény" kifejezés mögött.
Binomiális eloszlás
Először is nézzük meg, miért binomiális ez az eloszlás. A "binom" szóból származik. Talán hallott már a Newton-binomiálisról – egy képletről, amellyel bármely két a és b szám összege n bármely nem negatív hatványára kibontható.
Ahogy valószínűleg már sejtette, a Newton-féle binomiális képlet és a binomiális eloszlási képlet majdnem ugyanaz. Azzal az eltéréssel, hogy a második meghatározott mennyiségekre alkalmazott értékkel rendelkezik, az első pedig csak egy általános matematikai eszköz, amelynek gyakorlati alkalmazásai eltérőek lehetnek.
Eloszlási képletek
A binomiális eloszlásfüggvény a következő kifejezések összegeként írható fel:
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
Itt n a független véletlenszerű kísérletek száma, p a sikeres kimenetelek száma, q a sikertelen eredmények száma, k a kísérlet száma (0-tól n-ig terjedő értékeket vehet fel),! - faktoriális kijelölése, egy szám olyan függvénye, amelynek értéke megegyezik az összes felfelé menő szám szorzatával (például a 4-es számnál: 4!=1*2*3*4=24).
Ezenkívül a binomiális eloszlásfüggvény felírható hiányos béta függvényként. Ez azonban már egy összetettebb definíció, amelyet csak összetett statisztikai problémák megoldásánál használnak.
A binomiális eloszlás, amelynek példáit fentebb megvizsgáltuk, az egyik legegyszerűbb eloszlástípus a valószínűségszámításban. Létezik normál eloszlás is, amely a binomiális eloszlás egyik fajtája. Ez a leggyakrabban használt, és a legkönnyebben kiszámítható. Van még Bernoulli-eloszlás, Poisson-eloszlás, feltételes eloszlás. Mindegyik grafikusan jellemzi egy adott folyamat különböző feltételek melletti valószínűségi területeit.
A következő részben ennek a matematikai apparátusnak az alkalmazásával kapcsolatos szempontokat vizsgáljuk meg való élet. Első pillantásra persze úgy tűnik, hogy ez egy másik matematikai dolog, amely, mint általában, nem talál alkalmazást a való életben, és általában senkinek nincs szüksége, kivéve magukat a matematikusokat. Ez azonban nem így van. Hiszen minden disztribúciótípus és grafikus ábrázolása kizárólag erre készült gyakorlati célok, és nem a tudósok szeszélyeként.
Alkalmazás
Az eloszlás messze legfontosabb alkalmazása a statisztikában található, mert megköveteli komplex elemzés rengeteg adat. Amint azt a gyakorlat mutatja, nagyon sok adattömb megközelítőleg azonos értékeloszlással rendelkezik: a nagyon alacsony és nagyon magas értékek kritikus tartományai általában kevesebb elemet tartalmaznak, mint az átlagos értékek.
A nagy adattömbök elemzésére nem csak a statisztikákban van szükség. Nélkülözhetetlen például a fizikai kémiában. Ebben a tudományban számos olyan mennyiség meghatározására használják, amelyek az atomok és molekulák véletlenszerű rezgésével és mozgásával kapcsolatosak.
A következő részben arról fogunk beszélni, hogy mennyire fontos ilyenek használata statisztikai fogalmak, binomiálisként egy valószínűségi változó eloszlása in Mindennapi élet neked és nekem.
Miért van szükségem rá?
Sokan teszik fel maguknak ezt a kérdést, ha matematikáról van szó. És mellesleg a matematikát nem hiába nevezik a tudományok királynőjének. Ez a fizika, a kémia, a biológia, a közgazdaságtan alapja, és ezekben a tudományokban is alkalmaznak valamilyen eloszlást: hogy diszkrét binomiális eloszlásról van szó, vagy normálról, nem mindegy. Ha pedig jobban szemügyre vesszük a körülöttünk lévő világot, látni fogjuk, hogy a matematikát mindenhol alkalmazzák: a mindennapi életben, a munkahelyen, sőt az emberi kapcsolatokat is lehet statisztikai adatok formájában bemutatni, elemezni (ezt egyébként azok teszik, akik speciális, információkat gyűjtő szervezetekben dolgoznak).
Most beszéljünk egy kicsit arról, mit tegyünk, ha sokkal többet kell tudnia erről a témáról, mint amit ebben a cikkben felvázoltunk.
Az ebben a cikkben közölt információk messze nem teljesek. Számos árnyalat van a terjesztés formáját illetően. A binomiális eloszlás, mint azt már megtudtuk, az egyik fő típus, amelyen az egész matematikai statisztikaés a valószínűségelmélet.
Ha felkeltette érdeklődését, vagy munkája kapcsán, sokkal többet kell tudnia erről a témáról, át kell tanulnia a szakirodalmat. Kezdje egyetemi tanfolyammal matematikai elemzésés eljutni a valószínűségszámítás részéhez. Hasznosak lesznek a sorozatok terén szerzett ismeretek is, mert a binomiális valószínűség-eloszlás nem más, mint egymást követő tagok sorozata.
Következtetés
A cikk befejezése előtt még egy érdekességet szeretnénk elmondani. Közvetlenül érinti cikkünk témáját és általában az összes matematikát.
Sokan azt mondják, hogy a matematika haszontalan tudomány, és semmi sem volt hasznos, amit az iskolában tanultak. De a tudás soha nem felesleges, és ha valami nem hasznos az életben, az azt jelenti, hogy egyszerűen nem emlékszik rá. Ha van tudásod, tudnak segíteni, de ha nincs, akkor nem is várhatsz tőlük segítséget.
Tehát megvizsgáltuk a binomiális eloszlás fogalmát és a hozzá kapcsolódó összes definíciót, és beszéltünk arról, hogyan alkalmazzák az életünkben.
Természetesen a kumulatív eloszlásfüggvény számításánál a binomiális és a béta eloszlás közötti említett összefüggést kell használni. Ez a módszer minden bizonnyal jobb, mint a közvetlen összegzés, ha n > 10.
A klasszikus statisztika tankönyvekben a binomiális eloszlás értékeinek megszerzéséhez gyakran ajánlott határtételeken alapuló képleteket használni (például a Moivre-Laplace képletet). Megjegyzendő pusztán számítástechnikai szempontból ezeknek a tételeknek az értéke közel van a nullához, különösen most, amikor szinte minden asztalon van egy nagy teljesítményű számítógép. A fenti közelítések fő hátránya az, hogy a legtöbb alkalmazásra jellemző n értékekhez való pontosságuk teljesen elégtelen. Nem kisebb hátrány, hogy nincsenek egyértelmű ajánlások egyik vagy másik közelítés alkalmazhatóságára vonatkozóan (a szabványos szövegekben csak aszimptotikus megfogalmazások szerepelnek, pontossági becslések nem járnak hozzájuk, ezért kevéssé hasznosak). Azt mondanám, hogy mindkét képlet csak n-re érvényes< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
Nem foglalkozom itt a kvantilisek megtalálásának problémájával: diszkrét eloszlások esetén ez triviális, és azokban a problémákban, ahol ilyen eloszlások merülnek fel, általában nem releváns. Ha továbbra is szükség van kvantilisokra, javaslom a probléma újrafogalmazását úgy, hogy a p-értékekkel (megfigyelt szignifikancia) működjön. Íme egy példa: egyes számlálóalgoritmusok implementálásakor minden lépésben ellenőrizni kell a binomiális valószínűségi változóra vonatkozó statisztikai hipotézist. A klasszikus megközelítés szerint minden lépésnél ki kell számítani a kritérium statisztikáját, és össze kell vetni annak értékét a kritikus halmaz határával. Mivel azonban az algoritmus enumeratív, ezért minden alkalommal újra meg kell határozni a kritikus halmaz határát (elvégre a minta mérete lépésről lépésre változik), ami nem produktív módon növeli az időköltségeket. A modern megközelítés a megfigyelt szignifikancia kiszámítását és a konfidenciavalószínűséggel való összehasonlítását javasolja, így spórolva a kvantilisek keresésén.
Ezért a következő kódok nem számítják ki az inverz függvényt, helyette a rev_binomialDF függvényt adják meg, amely kiszámolja a p valószínűségét a sikernek egyetlen kísérletben az n számú próba, a bennük lévő m sikerek számával, valamint az m siker valószínűségének y értékével. Ez a fent említett kapcsolatot használja a binomiális és a béta eloszlás között.
Valójában ez a függvény lehetővé teszi a konfidenciaintervallumok határainak meghatározását. Valóban, tegyük fel, hogy m sikert kapunk n binomiális próbában. Mint tudod, a bal határ egy kétoldalas megbízhatósági intervallum ha a p paraméter megbízhatósági szintje 0, ha m = 0, és for az egyenlet megoldása 
. Hasonlóképpen, a jobb oldali korlát 1, ha m = n, és for az egyenlet megoldása 
. Ez azt jelenti, hogy a bal oldali határ megtalálásához meg kell oldanunk az egyenletet 
, és a megfelelő kereséshez - az egyenlet 
. Ezeket a binom_leftCI és binom_rightCI függvényekben oldjuk meg, amelyek rendre a kétoldali konfidenciaintervallum felső, illetve alsó határát adják vissza.
Szeretném megjegyezni, hogy ha nincs szükség teljesen hihetetlen pontosságra, akkor kellően nagy n esetén a következő közelítés használható [B.L. van der Waerden, Matematikai statisztika. M: IL, 1960, Ch. 2, sec. 7]: 
, ahol g a normális eloszlás kvantilise. Ennek a közelítésnek az az értéke, hogy vannak nagyon egyszerű közelítések, amelyek lehetővé teszik a normális eloszlás kvantiseinek kiszámítását (lásd a normál eloszlás kiszámításáról szóló szöveget és a hivatkozás megfelelő részét). Az én gyakorlatomban (főleg n > 100 esetén) ez a közelítés körülbelül 3-4 számjegyet adott, ami általában elég.
A következő kódokkal végzett számításokhoz a betaDF.h , a betaDF.cpp (lásd a béta terjesztésről szóló részt), valamint a logGamma.h , logGamma.cpp fájlokat (lásd az A mellékletet) szükséges. A függvények használatára is láthat példát.
binomialDF.h fájl
| #ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(dupla próba, kettős siker, dupla p); /* * Legyenek független megfigyelések "próbái" * mindegyikben "p" a siker valószínűsége. * Számítsa ki annak B(siker|próbák,p) valószínűségét, hogy a sikerek * száma 0 és "sikerek" között van (beleértve). */ double rev_binomialDF(dupla próba, dupla siker, double y); /* * Legyen legalább m siker * y valószínűsége ismert a Bernoulli-séma próbáiban. A függvény megkeresi a p * valószínűségét a sikernek egyetlen próba során. * * A következő összefüggést használjuk a számításokhoz * * 1 - p = rev_Beta(próbák-sikerek| sikerek+1, y). */ double binom_leftCI(dupla próba, kettős siker, kettős szint); /* Legyenek független megfigyelések "próbái" * a siker "p" valószínűségével mindegyik * esetében, és a sikerek száma "siker". * A kétoldali konfidencia intervallum bal korlátja * a szignifikanciaszinttel kerül kiszámításra. */ double binom_rightCI(double n, dupla sikerek, dupla szint); /* Legyenek független megfigyelések "próbái" * a siker "p" valószínűségével mindegyik * esetében, és a sikerek száma "siker". * A kétoldali konfidencia intervallum * jobb korlátja a szignifikanciaszinttel kerül kiszámításra. */ #endif /* Vége #ifndef __BINOMIAL_H__ */ |
binomialDF.cpp fájl
| /******************************************************************** /* Binomiális eloszlás */ /************************************************************************/ #include |
Helló! Már tudjuk, mi az a valószínűségi eloszlás. Lehet diszkrét vagy folytonos, és megtanultuk, hogy ezt valószínűségi sűrűségeloszlásnak nevezik. Most nézzünk meg néhány gyakoribb eloszlást. Tegyük fel, hogy van egy érmém, és a megfelelő érmém, és 5-ször felforgatom. Definiálok egy X valószínűségi változót is, jelöljük X nagybetűvel, 5 feldobásban egyenlő lesz a "sasok" számával. Talán van 5 érmém, egyszerre dobom fel, és megszámolom, hány fejem van. Vagy kaphatok egy érmét, feldobhatnám 5-ször, és megszámolhatnám, hányszor kaptam fejet. Nem igazán számít. De tegyük fel, hogy van egy érmém, és 5-ször feldobom. Akkor nem lesz bizonytalanságunk. Tehát itt van a valószínűségi változóm definíciója. Mint tudjuk, a valószínűségi változó kissé eltér a normál változótól, inkább függvény. Valamilyen értéket ad a kísérletnek. És ez a valószínűségi változó nagyon egyszerű. Csak megszámoljuk, hányszor esett ki a „sas” 5 feldobás után - ez az X valószínűségi változónk. Gondoljuk végig, mi lehet a különböző értékek valószínűsége a mi esetünkben? Tehát mi a valószínűsége annak, hogy X (nagy X) 0? Azok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5 feldobás után soha nem jön fel a feje? Nos, ez tulajdonképpen ugyanaz, mint annak a valószínűsége, hogy valamilyen "farkat" kapunk (ez igaz, egy kis áttekintés a valószínűségszámításról). Szerezned kellene néhány "farkot". Mekkora a valószínűsége ennek a "faroknak"? Ez 1/2. Azok. 1/2-szer 1/2, 1/2, 1/2 és ismét 1/2 legyen. Azok. (1/2)⁵. 1⁵=1, ossza el 2⁵-val, azaz 32-nél. Egészen logikus. Szóval... Kicsit megismétlem, miken mentünk keresztül a valószínűségelmélet kapcsán. Ez azért fontos, hogy megértsük, merre haladunk most, és valójában hogyan diszkrét eloszlás valószínűségek. Tehát mennyi a valószínűsége, hogy pontosan egyszer kapunk fejet? Nos, az első dobásnál fejek merülhettek fel. Azok. így lehet: "sas", "farok", "farok", "farok", "farok". Vagy a második dobásnál fejek jöhetnek fel. Azok. létezhet ilyen kombináció: "farok", "fej", "farok", "farok", "farok" stb. Egy "sas" az 5 feldobás bármelyike után kieshet. Mekkora az egyes helyzetek valószínűsége? A fejek megszerzésének valószínűsége 1/2. Ezután a „farok” megszerzésének valószínűségét, amely 1/2, megszorozzuk 1/2-vel, 1/2-vel, 1/2-vel. Azok. ezen helyzetek mindegyikének valószínűsége 1/32. Valamint annak a helyzetnek a valószínűsége, hogy X=0. Valójában a fejek és a farok bármely speciális sorrendjének valószínűsége 1/32. Tehát ennek a valószínűsége 1/32. És ennek a valószínűsége 1/32. És ilyen helyzetekre azért kerül sor, mert a „sas” az 5 feldobás bármelyikén eleshet. Ezért annak a valószínűsége, hogy pontosan egy „sas” esik ki, egyenlő 5 * 1/32, azaz. 5/32. Egészen logikus. Most kezdődik az érdekesség. Mi a valószínűsége… (mindegyik példát más-más színnel írom)… mekkora a valószínűsége annak, hogy a valószínűségi változóm 2? Azok. 5-ször fogok feldobni egy érmét, és mennyi a valószínűsége, hogy 2-szer pontosan fejjel landol? Ez érdekesebb, nem? Milyen kombinációk lehetségesek? Lehetnek fejek, fejek, farok, farok, farok. Lehetnek fejek, farok, fejek, farok, farok is. És ha úgy gondolja, hogy ez a két „sas” a kombináció különböző helyein állhat, akkor egy kicsit összezavarodhat. Többé nem gondolhat az elhelyezésekre úgy, ahogyan azt fent tettük. Bár... megteheti, csak azt kockáztatja, hogy összezavarod. Egy dolgot meg kell értened. Ezen kombinációk mindegyikére a valószínűség 1/32. ½*½*½*½*½. Azok. ezen kombinációk mindegyikének valószínűsége 1/32. És el kellene gondolkodni azon, hogy hány ilyen kombináció létezik, ami kielégíti állapotunkat (2 "sas")? Azok. valójában azt kell elképzelni, hogy 5 érmefeldobás van, és ezek közül kell kiválasztani 2-t, amiben a „sas” kiesik. Tegyünk úgy, mintha az 5 dobásunk egy körben lenne, és képzeljük el, hogy csak két székünk van. Mi pedig azt mondjuk: „Rendben, melyikőtök ül ezekre a székekre az Eagles számára? Azok. melyikőtök lesz a "sas"? És minket nem érdekel, hogy milyen sorrendben ülnek le. Mondok egy ilyen példát, remélve, hogy egyértelműbb lesz számodra. És érdemes megnézni néhány valószínűségszámítási oktatóanyagot erről a témáról, amikor a Newton-binomiálisról beszélek. Mert ott részletesebben elmélyedek mindebben. De ha így érvel, megérti, mi az a binomiális együttható. Mert ha így gondolkodik: OK, van 5 dobásom, melyik dobás fogja az első fejeket? Nos, itt van 5 lehetőség, hogy melyik flip fogja az első fejeket. És hány lehetőség van a második "sas" számára? Nos, az első dobás, amit már használtunk, elvett egy esélyt a fejekre. Azok. a kombó egyik fejpozícióját már elfoglalja az egyik dobás. Most 4 dobás van hátra, ami azt jelenti, hogy a második "sas" a 4 dobás egyikére eshet. És itt láttad. Azt választottam, hogy az 1. dobásnál fejek legyenek, és feltételeztem, hogy a fennmaradó 4 dobásból 1-nél fejnek is fel kell jönnie. Tehát itt csak 4 lehetőség van. Csak annyit mondok, hogy az első fejnek 5 különböző pozíciója van, amelyen leszállhat. A másodikra pedig már csak 4 pozíció maradt. Gondold át. Amikor így számolunk, a sorrendet veszik figyelembe. De számunkra most nem mindegy, hogy milyen sorrendben esnek ki a „fejek” és a „farok”. Nem mondjuk, hogy „sas 1” vagy „sas 2”. Mindkét esetben csak "sas". Feltételezhetjük, hogy ez az 1. fej, ez pedig a 2. fej. Vagy fordítva: lehet a második „sas”, és ez az „első”. És ezt azért mondom, mert fontos megérteni, hol használjunk elhelyezéseket és hol kombinációkat. Nem érdekel minket a sorrend. Valójában tehát eseményünknek csak 2 származási módja van. Tehát osszuk el ezt 2-vel. És amint később látni fogja, ez 2! rendezvényünk eredetének módjai. Ha 3 fej lenne, akkor 3 lenne, és megmutatom miért. Tehát ez lenne... 5*4=20 osztva 2-vel az 10. Tehát van 10 különböző kombináció a 32-ből, ahol biztosan 2 fejed lesz. Tehát 10*(1/32) egyenlő 10/32-vel, ez mit jelent? 5/16. A binomiális együtthatón keresztül fogom írni. Ez az érték itt a tetején. Ha jobban belegondolunk, ez ugyanaz, mint 5, osztva... Mit jelent ez az 5 * 4? 5! 5*4*3*2*1. Azok. ha itt csak 5 * 4 kell, akkor erre oszthatom az 5-öt! 3-ért! Ez egyenlő 5*4*3*2*1 osztva 3*2*1-gyel. És csak 5 * 4 maradt. Tehát megegyezik ezzel a számlálóval. És akkor, mert minket nem a sorrend érdekel, ide 2 kell. Valójában 2!. Szorozzuk meg 1/32-vel. Ez annak a valószínűsége, hogy pontosan 2 fejet ütünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan háromszor kapunk fejet? Azok. annak a valószínűsége, hogy x=3. Tehát ugyanezen logika szerint a fejek első előfordulása 5-ből 1 esetben fordulhat elő. A fejek második előfordulása a 4 fennmaradó dobás közül 1-nél fordulhat elő. És a fejek harmadik előfordulása a 3 fennmaradó dobás közül egynél előfordulhat. Hányféleképpen lehet 3 dobást rendezni? Általában hányféleképpen lehet elhelyezni 3 tárgyat a helyükön? 3 van! És kitalálhatod, vagy érdemes újra megnézni az oktatóanyagokat, ahol részletesebben elmagyaráztam. De ha például az A, B és C betűket veszed, akkor 6 módon rendezheted el őket. Ezeket tekintheti címsoroknak. Itt lehet ACB, CAB. Lehet, hogy BAC, BCA és... Mi az utolsó lehetőség, amit nem neveztem meg? CBA. 3 különböző elem elrendezésének 6 módja van. Osztunk 6-tal, mert nem akarjuk újraszámolni azt a 6-ot különböző utak mert egyenértékűként kezeljük őket. Itt nem arra vagyunk kíváncsiak, hogy hány dobásból lesz fej. 5*4*3… Ez átírható 5-re!/2!. És osszuk el még 3-mal!. Ez az, ami ő. 3! egyenlő 3*2*1. A hármasok zsugorodnak. Ebből lesz 2. Ebből 1. Még egyszer 5*2, azaz. 10. Minden helyzet valószínűsége 1/32, tehát ez ismét 5/16. És ez érdekes. Annak a valószínűsége, hogy 3 fejet kap, megegyezik annak a valószínűségével, hogy 2 fejet kap. És ennek az oka... Nos, ennek sok oka van. De ha belegondolunk, annak a valószínűsége, hogy 3 fejet kapunk, megegyezik a 2 farok megszerzésének valószínűségével. A 3 farok megszerzésének valószínűsége pedig azonos legyen a 2 fej megszerzésének valószínűségével. És jó, hogy az értékek így működnek. Bírság. Mennyi a valószínűsége, hogy X=4? Használhatjuk ugyanazt a képletet, mint korábban. 5*4*3*2 lehet. Tehát itt 5 * 4 * 3 * 2 ... Hányféleképpen lehet 4 objektumot elrendezni? 4 van!. 4! - Ez valójában ez a rész, itt. Ez 4*3*2*1. Tehát ez érvénytelenít, így 5 marad. Ezután minden kombináció valószínűsége 1/32. Azok. ez egyenlő 5/32-vel. Ismét jegyezzük meg, hogy annak a valószínűsége, hogy 4-szer kapunk fejet, egyenlő annak valószínűségével, hogy fejek 1-szer jönnek fel. És ennek van értelme, mert. 4 fej ugyanaz, mint 1 farok. Azt mondod: na, és milyen dobálásnál fog kiesni ez a „farok”? Igen, ehhez 5 különböző kombináció létezik. És mindegyiknek 1/32 a valószínűsége. És végül, mekkora a valószínűsége annak, hogy X=5? Azok. egymás után 5-ször fejjel fel. Így kell lennie: "sas", "sas", "sas", "sas", "sas". Mindegyik fejnek 1/2 a valószínűsége. Megszorozod őket, és 1/32-t kapsz. Mehetsz a másik irányba is. Ha ezekben a kísérletekben 32 mód van arra, hogy fejeket és farkokat szerezzen, akkor ez csak egy ezek közül. Itt 32-ből 5 volt, itt 32-ből 10. Ennek ellenére elvégeztük a számításokat, és most készen állunk a valószínűségi eloszlás megrajzolására. De lejárt az időm. Hadd folytassam a következő leckében. És ha van kedved, rajzolj, mielőtt megnézed következő lecke? Hamarosan találkozunk!
