Valószínűségi változók halmaza x 1 ,x 2 ,...,X o a valószínűségi tér () űrlapokon definiált P- dimenziós valószínűségi változó ( x 1 ,x 2 ,...,X o). Ha a gazdasági folyamatot két valószínűségi változó segítségével írjuk le x 1 és x 2 , akkor meghatározunk egy kétdimenziós valószínűségi változót ( x 1 ,x 2) vagy ( x,Y).
elosztási függvény két valószínűségi változó rendszerei ( x,Y), változók függvényének tekintjük
az esemény bekövetkezésének valószínűsége. 
:
Az eloszlásfüggvény értékei kielégítik az egyenlőtlenséget
Geometriai szempontból az eloszlásfüggvény F(x,y) meghatározza annak valószínűségét, hogy egy véletlen pont ( x,Y) egy végtelen kvadránsba esik, amelynek csúcsa a ( x,nál nél), mivel a pont ( x,Y) a megadott csúcs alatt és attól balra lesz (9.1. ábra).
x,Y) félsávban (9.2. ábra) vagy félsávban (9.3. ábra) a következő képletekkel fejezhető ki:
illetőleg. Az értékek eltalálásának valószínűsége x,Y) téglalappá (9.4. ábra) a következő képlettel kereshető:
9.2. ábra 9.3. ábra 9.4
Diszkrét kétdimenziós mennyiségnek nevezzük, amelynek összetevői diszkrétek.
elosztási törvény kétdimenziós diszkrét valószínűségi változó ( x,Y) a lehetséges értékek halmaza ( x i, y j),
, diszkrét valószínűségi változók xÉs Yés a hozzájuk tartozó valószínűségeket 
jellemzi annak valószínűségét, hogy az összetevő xértelmét veszi fel x iés egyben a komponens Yértelmét veszi fel y j, és
Egy kétdimenziós diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye ( x,Y) táblázat formájában adjuk meg. 9.1.
9.1. táblázat
| Ω x Ω Y | x 1 | x 2 | … | x i | … |
| y 1 | p(x 1 ,y 1) | p(x 2 ,y 1) | … | p( x i,y 1) | … |
| y 2 | p(x 1 ,y 2) | p(x 2 ,y 2) | … | p( x i,y 2) | … |
| … | … | … | … | … | … |
| y i | p(x 1 ,y i) | p(x 2 ,y i) | … | p( x i,y i) | … |
| … | … | … | … | … | … |
Folyamatos egy kétdimenziós valószínűségi változó, amelynek összetevői folytonosak. Funkció R(x,nál nél) egyenlő egy kétdimenziós valószínűségi változó eltalálási valószínűségének határértékével ( x,Y) egy oldalakkal rendelkező téglalaphoz és ennek a téglalapnak a területéhez, amikor a téglalap mindkét oldala nullára hajlik, az ún. valószínűségi eloszlási sűrűség:
Az eloszlási sűrűség ismeretében az eloszlásfüggvényt a következő képlettel találhatjuk meg: 
Minden olyan ponton, ahol van az eloszlásfüggvény másodrendű vegyes deriváltja
, valószínűségi eloszlási sűrűség
képlet segítségével találhatjuk meg: 
Egy véletlen pont eltalálásának valószínűsége ( x,nál nél) a régióba D az egyenlőség határozza meg: 
Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x felvette a jelentését x<х feltéve, hogy a valószínűségi változó Y rögzített értéket vett fel Y=y, a következő képlettel számítjuk ki:
Hasonlóképpen,
Képletek az összetevők feltételes valószínűségi eloszlási sűrűségeinek kiszámításához xÉs Y :
Feltételes valószínűségek halmaza p(x 1 |y i), p(x 2 |y i), …, p(x i |y i), … megfelel a feltételnek Y=y i, az összetevő feltételes eloszlásának nevezzük x nál nél Y=y ix,Y), Ahol 
Hasonlóképpen a komponens feltételes eloszlása Y nál nél X=x i diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó ( x,Y) a feltételnek megfelelő feltételes valószínűségek halmaza X=x i, Ahol 
Kezdő pillanat rendelésk+s kétdimenziós valószínűségi változó ( x,Y
és , azaz 
.
Ha xÉs Y- akkor diszkrét valószínűségi változók 
Ha xÉs Y- folytonos valószínűségi változók, akkor 
Központi pillanat rendelés k+s kétdimenziós valószínűségi változó ( x,Y) nak, nek hívják várható érték művek 
És 
,azok.
Ha az alkotó mennyiségek diszkrétek, akkor
Ha az alkotó mennyiségek folytonosak, akkor
Ahol R(x,y) egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási sűrűsége ( x,Y).
Feltételes elvárásY(x)nál nél X=x(nál nél Y=y) a következő alak kifejezésének nevezzük:
– diszkrét valószínűségi változóhoz Y(x);
–
folytonos valószínűségi változóhoz Y(x).
A komponensek matematikai elvárásai xÉs Y A kétdimenziós valószínűségi változót a következő képletekkel számítják ki:
korrelációs momentum független valószínűségi változók xÉs Y, benne van a kétdimenziós valószínűségi változóban ( x,Y), az alábbi mennyiségek eltéréseinek szorzatának matematikai elvárásait nevezzük:
Két független valószínűségi változó korrelációs momentuma xx,Y) egyenlő nullával.
Korrelációs együttható Véletlen változók xés Y egy kétdimenziós valószínűségi változóban ( x,Y), a korrelációs nyomaték és az ezen mennyiségek szórásának szorzatának arányát nevezik:
közötti lineáris korrelációs függés mértékét (feszességét) jellemzi a korrelációs együttható xÉs Y.Azokat a véletlenszerű változókat, amelyeknél , korrelálatlannak nevezzük.
A korrelációs együttható kielégíti a következő tulajdonságokat:
1. A korrelációs együttható nem függ a valószínűségi változók mértékegységétől.
2. A korrelációs együttható abszolút értéke nem haladja meg az egyet:
3. Ha akkor a komponensek között xÉs Y véletlen változó ( x, Y) lineáris funkcionális függés van: 
4. Ha akkor komponensek xÉs Y kétváltozós valószínűségi változók nem korrelálnak.
5. Ha akkor komponensek xÉs Y kétdimenziós valószínűségi változó függő.
Egyenletek M(X|Y=y)=φ( nál nél)És M(Y|X=x)=ψ( x) regressziós egyenleteknek, az általuk meghatározott egyeneseket pedig regressziós egyeneseknek nevezzük.
Feladatok
9.1. Kétdimenziós diszkrét valószínűségi változó (X, Y) az elosztási törvény szerint:
9.2. táblázat
| Ω x Ω y | ||||
| 0,2 | 0,15 | 0,08 | 0,05 | |
| 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | |
| 0,05 | 0,07 | 0,08 | 0,02 |
Keresse meg: a) az összetevők eloszlásának törvényeit! xÉs Y;
b) a mennyiség feltételes eloszlási törvénye Y nál nél x =1;
c) eloszlásfüggvény.
Nézze meg, hogy a mennyiségek függetlenek-e xÉs Y. Számítsa ki a valószínűséget és az alapvető numerikus jellemzőket M(x),M(Y),D(x),D(Y),R(x,Y), .
Megoldás. a) Véletlen változók xés Y az elemi eredményekből álló halmazon vannak definiálva, amelynek alakja:
esemény ( X= 1) olyan kimenetek halmaza felel meg, amelyeknél az első komponens 1: (1;0), (1;1), (1;2). Ezek az eredmények összeegyeztethetetlenek. Annak a valószínűsége xértelmét veszi fel x i Kolmogorov 3. axiómája szerint egyenlő:
Hasonlóképpen
Ezért a komponens határeloszlása x, táblázat formájában is megadható. 9.3.
9.3. táblázat
b) Feltételes valószínűségek halmaza R(1;0), R(1;1), R(1;2) a feltétel kielégítése x=1, a komponens feltételes eloszlásának nevezzük Y nál nél x=1. A nagyságértékek valószínűsége Y nál nél x=1-et a következő képlet segítségével találunk:
Mivel tehát a megfelelő valószínűségek értékeit behelyettesítve megkapjuk
Tehát a komponens feltételes eloszlása Y nál nél x=1 így néz ki:
9.5. táblázat
| y j | |||
| 0,48 | 0,30 | 0,22 |
Mivel a feltételes és feltétel nélküli eloszlási törvények nem esnek egybe (lásd 9.4 és 9.5 táblázat), ezért a mennyiségek xÉs Y függő. Ezt a következtetést erősíti meg az a tény, hogy az egyenlőség
bármely lehetséges értékpárra xÉs Y.
Például,
c) Elosztási függvény F(x,y) egy kétdimenziós valószínűségi változó (X,Y)úgy néz ki, mint a:
ahol az összesítést minden olyan ponton () végezzük, amelyekre az egyenlőtlenségek egyidejűleg teljesülnek x i
Kényelmesebb az eredményt a 9.6. táblázat formájában bemutatni.
9.6. táblázat
| x y | |||||
| 0,20 | 0,35 | 0,43 | 0,48 | ||
| 0,30 | 0,5 | 0,63 | 0,78 | ||
| 0,35 | 0,62 | 0,83 |
A kezdeti momentumok képleteit és a 9.3 és 9.4 táblázat eredményeit használjuk, és kiszámítjuk a komponensek matematikai elvárásait. xÉs Y:
A diszperziókat a második kezdeti momentum és a táblázat eredményei alapján számítjuk ki. 9.3 és 9.4:
A kovariancia kiszámításához NAK NEK(X,Y) hasonló képletet használunk a kezdőpillanat szempontjából:
A korrelációs együtthatót a következő képlet határozza meg:
A kívánt valószínűséget úgy definiáljuk, mint annak valószínűségét, hogy a síkon a megfelelő egyenlőtlenséggel meghatározott régióba esünk:
9.2. A hajó SOS-üzenetet küld, amelyet két rádióállomás is képes fogni. Ezt a jelet az egyik rádióállomás a másiktól függetlenül foghatja. Annak a valószínűsége, hogy a jelet az első rádióállomás veszi, 0,95; annak a valószínűsége, hogy a jelet a második rádióállomás veszi, 0,85. Határozzuk meg egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvényét, amely jel két rádióállomás általi vételét jellemzi. Írj egy eloszlásfüggvényt!
Megoldás: Hadd x– olyan esemény, amely abból áll, hogy a jelet az első rádióállomás veszi. Y– az esemény az, hogy a jelet a második rádióállomás veszi.
Sok érték .
x=1 – az első rádióállomás által vett jel;
x=0 – a jelet nem vette az első rádióállomás.
Sok érték .
Y=l – a második rádióállomás által vett jel,
Y=0 – a második rádióállomás nem vette a jelet.
Annak a valószínűsége, hogy a jelet sem az első, sem a második rádióállomás nem veszi, egyenlő:
A jel fogadásának valószínűsége az első rádióállomáson:
Annak a valószínűsége, hogy a jelet a második rádióállomás veszi:
Annak a valószínűsége, hogy a jelet az első és a második rádióállomás is veszi, egyenlő: .
Ekkor egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvénye egyenlő:
| y x | ||
| 0,007 | 0,142 | |
| 0,042 | 0,807 |
x,y) jelentése F(x,y) egyenlő a valószínűségi változó azon lehetséges értékei valószínűségeinek összegével ( x,Y), amelyek a megadott téglalapon belülre esnek.
Ekkor az elosztási függvény így fog kinézni:
9.3. Két cég ugyanazt a terméket állítja elő. Mindegyik egymástól függetlenül dönthet a termelés korszerűsítéséről. Annak a valószínűsége, hogy az első cég meghozta ezt a döntést, 0,6. Annak a valószínűsége, hogy a második cég ilyen döntést hoz, 0,65. Írja fel egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvényét, amely két cég termelésének modernizálására vonatkozó döntést jellemzi! Írj egy eloszlásfüggvényt!
Válasz: Elosztási törvény:
| 0,14 | 0,21 | |
| 0,26 | 0,39 |
A pont minden rögzített értékéhez koordinátákkal ( x,y) az érték egyenlő azoknak a lehetséges értékeknek a valószínűségeinek összegével, amelyek a megadott téglalapon belülre esnek 
.
9.4. Az autómotorok dugattyúgyűrűi automata esztergagépen készülnek. Megmérjük a gyűrű vastagságát (véletlenszerű érték x) és a furat átmérője (véletlenszerű érték Y). Az összes dugattyúgyűrű körülbelül 5%-a ismert, hogy hibás. Sőt, a selejtezések 3%-a nem szabványos furatátmérő miatt, 1%-a nem szabványos vastagság miatt, 1%-a pedig mindkét okból elutasításra kerül. Keresse: egy kétdimenziós valószínűségi változó együttes eloszlása ( x,Y); egydimenziós komponenseloszlások xÉs Y;elvárások a komponensekkel szemben xÉs Y; komponensek közötti korrelációs nyomaték és korrelációs együttható xÉs Y kétdimenziós valószínűségi változó ( x,Y).
Válasz: Elosztási törvény:
| 0,01 | 0,03 | |
| 0,01 | 0,95 |
; 
; 
; 
; ; .
9.5. A gyár gyártásában hiba miatti házasság A 4%, és egy hiba miatt BAN BEN- 3,5%. A standard termelés 96%. Határozza meg, hogy az összes termék hány százaléka rendelkezik mindkét típusú hibával.
9.6.
Véletlenszerű érték ( x,Y) állandó sűrűségű eloszlású 
a téren belül R, amelynek csúcsainak koordinátái (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Határozzuk meg egy valószínűségi változó eloszlássűrűségét ( x,Y) és a feltételes eloszlássűrűségek R(x\nál nél), R(nál nél\x).
Megoldás.Építsünk repülőre x 0y egy adott négyzetet (9.5. ábra), és határozzuk meg az ABCD négyzet oldalainak egyenleteit egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletével: 
A csúcsok koordinátáinak behelyettesítése AÉs BAN BEN egymás után megkapjuk az oldal egyenletét AB: 
vagy
.
Hasonlóképpen megtaláljuk az oldal egyenletét nap: ;oldal CD: és oldalai DA: . : .D X , Y) egy félgömb, amelynek középpontja a sugár origója R.Határozza meg a valószínűségi eloszlás sűrűségét.
Válasz:
9.10. Adott egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó:
| 0,25 | 0,10 | |
| 0,15 | 0,05 | |
| 0,32 | 0,13 |
Keresse meg: a) feltételes elosztási törvényt x, feltéve, hogy y= 10;
b) feltételes elosztási törvény Y, feltéve, hogy x =10;
c) matematikai elvárás, variancia, korrelációs együttható.
9.11. Folyamatos kétdimenziós valószínűségi változó ( x,Y) belül egyenletesen oszlik el derékszögű háromszög csúcsokkal RÓL RŐL(0;0), A(0;8), BAN BEN(8,0).
Keresse meg: a) valószínűségi eloszlás sűrűségét;
Meghatározás 2.7. egy véletlen számpár (X, Y), vagy egy pont a koordinátasíkon (2.11. ábra).
Rizs. 2.11.
A kétdimenziós valószínűségi változó egy többdimenziós valószínűségi változó vagy véletlen vektor speciális esete.
Meghatározás 2.8. Véletlenszerű vektor - véletlenszerű függvény?,(/) lehetséges argumentumértékek véges halmazával t, amelynek értéke bármely értékre t egy valószínűségi változó.
Egy kétdimenziós valószínűségi változót folytonosnak nevezünk, ha a koordinátái folytonosak, és diszkrétnek, ha a koordinátái diszkrétek.
A kétdimenziós valószínűségi változók eloszlási törvényének beállítása azt jelenti, hogy megfeleltetést kell létrehozni a lehetséges értékei és ezen értékek valószínűsége között. A beállítási módok szerint a valószínűségi változókat folytonosra és diszkrétre osztják, bár vannak általános módszerek bármely RV eloszlási törvényének beállítására.
Diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó
Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változót egy eloszlási táblázat segítségével adunk meg (2.1. táblázat).
2.1. táblázat
Felosztási táblázat (közös allokáció) CB ( x, U)
A táblázat elemeit a képlet határozza meg
Az elosztási táblázat elem tulajdonságai:
Az egyes koordináták közötti eloszlást hívjuk egydimenziós vagy marginális:
R 1> = P(X =.d,) - SW marginális eloszlása x;
p^2) = P(Y=y,)- az SV U marginális eloszlása.
A CB közös elosztásának kommunikációja xés Y, a valószínűségek halmaza adja meg [p () ), i = 1,..., n,j = 1,..., T(eloszlási táblázat), és határeloszlás.
Hasonlóan az SV U-hoz p-2)= X p, g
2.14. probléma. Adott:
Folyamatos 2D valószínűségi változó
/(X, y)dxdy- valószínűségi elem egy kétdimenziós valószínűségi változóhoz (X, Y) - annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változót (X, Y) eltalál egy oldalú téglalapban cbc, dy nál nél dx, dy -* 0:
f(x, y) - eloszlási sűrűség kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y). Feladat /(x, y) teljes információt adunk egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásáról.
A határeloszlásokat a következőképpen határozzuk meg: X esetén - a CB X/,(x) eloszlássűrűségével; Által Y- SV eloszlási sűrűség f>(y).
Kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvényének beállítása az eloszlásfüggvénnyel
A diszkrét vagy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvényének meghatározásának univerzális módja az eloszlásfüggvény F(x, y).
Meghatározás 2.9. F(x, y) eloszlási függvény- események együttes előfordulásának valószínűsége (Xy), i.e. F(x0,y n) = = P(X y), a koordinátasíkra dobva egy végtelen kvadránsba esnek, amelynek csúcsa az M(x 0, te i)(a 2.12. ábrán az árnyékolt területen).
Rizs. 2.12. Az F( eloszlásfüggvény illusztrációja x, y)
Funkció tulajdonságai F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- nem csökken minden argumentumban;
- 4) F(x, y) - folyamatos bal és alsó;
- 5) az eloszlások konzisztenciája:
F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - határeloszlás felett Y F(ó, y) = F2(y). Kapcsolat /(x, y) Val vel F(x, y):
Az ízületi sűrűség és a határsűrűség kapcsolata. Dana f(x, y). Megkapjuk a határeloszlási sűrűségeket f(x),f 2 (y)".
Egy kétdimenziós valószínűségi változó független koordinátáinak esete
Meghatározás 2.10. SW xÉs Yfüggetlen(nc) ha ezen RV-k mindegyikéhez kapcsolódó bármely esemény független. Az nc CB definíciójából a következő:
- 1 )Pij = p X) pf
- 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).
Kiderült, hogy a független SW-k számára xÉs Y elkészült és
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Bizonyítsuk be ezt független SW-kre xÉs Y2) 3). Bizonyíték, a) Legyen 2), azaz,
eközben F(x,y) = f J f(u,v)dudv, honnan következik 3);
b) hagyjuk, hogy a 3 tartsa, akkor
azok. igaz 2).
Tekintsük a feladatokat.
2.15. probléma. Az eloszlást a következő táblázat adja meg:
Margóeloszlásokat építünk:
Kapunk P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) = 0,1485 => => SV xés Eltartottak.
Elosztási funkció:
2.16. probléma. Az eloszlást a következő táblázat adja meg:
Kapunk P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW xÉs Y nz.
2.17. probléma. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0,5(d "+ 2xy + 5d/ 2)]. megtalálja Ó)És /Igen)-
Megoldás
(számold ki magad).
Az X és Y valószínűségi változók rendezett párját (X , Y) kétdimenziós valószínűségi változónak, vagy egy kétdimenziós tér valószínűségi vektorának nevezzük. A kétdimenziós valószínűségi változót (X,Y) X és Y valószínűségi változók rendszerének is nevezik. Egy diszkrét valószínűségi változó összes lehetséges értékének halmazát a valószínűségekkel együtt e valószínűségi változó eloszlási törvényének nevezzük. Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változót (X, Y) adottnak tekintünk, ha ismert az eloszlási törvénye:
P(X=x i, Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Szolgálati megbízás. A szolgáltatás használatával egy adott forgalmazási törvénynek megfelelően a következőket találhatja:
- X és Y eloszlássorozat, M[X], M[Y] matematikai elvárás, D[X], D[Y] variancia;
- kovariancia cov(x,y), r x,y korrelációs együttható, X feltételes eloszlássorozat, M feltételes várakozás;
Utasítás. Adja meg a valószínűségi eloszlási mátrix dimenzióját (sorok és oszlopok számát) és formáját. Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre.
1. példa. Egy kétdimenziós diszkrét valószínűségi változónak van egy eloszlási táblázata:
| I/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Megoldás. A q értéket a Σp ij = 1 feltételből találjuk meg
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Innen q = 0,09
A ∑P(x én,y j) = p én(j=1..n), keresse meg az X eloszlássorozatot.
M[y] = 1 * 0,05 + 2 * 0,46 + 3 * 0,34 + 4 * 0,15 = 2,59
D[Y] diszperzió = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Szórásσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
kovariancia cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,02 +0. 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Korrelációs együttható rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
2. példa. A két X és Y mutatóra vonatkozó információ statisztikai feldolgozásának adatait a korrelációs táblázat tartalmazza. Kívánt:
- írjon eloszlási sorozatokat X és Y számára, és számítsa ki ezekre a mintaátlagokat és a minta szórását;
- feltételes eloszlási sorozat írása Y/x és feltételes átlagok kiszámítása Y/x;
- grafikusan ábrázolja a feltételes átlagok Y/x függését X értékétől;
- kiszámítja az Y minta korrelációs együtthatóját X-en;
- írjon fel egy minta közvetlen regressziós egyenletet;
- ábrázolja geometriailag a korrelációs táblázat adatait, és állítson fel egy regressziós egyenest.
Egy diszkrét valószínűségi változó összes lehetséges értékének halmazát a valószínűségükkel együtt e valószínűségi változó eloszlási törvényének nevezzük.
Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változót (X,Y) adottnak tekintünk, ha ismert az eloszlási törvénye:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. X és Y valószínűségi változók függése.
Keresse meg az X és Y eloszlási sorozatot.
A ∑P(x én,y j) = p én(j=1..n), keresse meg az X eloszlássorozatot. Matematikai elvárás M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
D[Y] diszperzió.
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Szórás σ(y).
Mivel P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, akkor az X és Y valószínűségi változók függő.
2. Feltételes elosztási törvény X.
Feltételes elosztási törvény X(Y=20).
P(X=11/Y=20)=2/6=0,33
P(X=16/Y=20)=4/6=0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Feltételes elvárás M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Feltételes variancia D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Feltételes elosztási törvény X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30)=6/9=0,67
P(X=21/Y=30)=3/9=0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Feltételes elvárás M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Feltételes variancia D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Feltételes elosztási törvény X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40)=6/55=0,11
P(X=26/Y=40)=45/55=0,82
P(X=31/Y=40)=4/55=0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Feltételes elvárás M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Feltételes variancia D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Feltételes elosztási törvény X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50)=2/16=0,13
P(X=26/Y=50)=8/16=0,5
P(X=31/Y=50)=6/16=0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Feltételes elvárás M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Feltételes variancia D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Feltételes elosztási törvény X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60)=4/14=0,29
P(X=31/Y=60)=7/14=0,5
P(X=36/Y=60)=3/14=0,21
Feltételes elvárás M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Feltételes variancia D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Feltételes elosztási törvény Y.
Feltételes elosztási törvény Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Feltételes elvárás M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Feltételes variancia D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Feltételes elosztási törvény Y(X=16).
P(Y=20/X=16)=4/10=0,4
P(Y=30/X=16)=6/10=0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Feltételes elvárás M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Feltételes variancia D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Feltételes elosztási törvény Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21)=3/11=0,27
P(Y=40/X=21)=6/11=0,55
P(Y=50/X=21)=2/11=0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Feltételes elvárás M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Feltételes variancia D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Feltételes elosztási törvény Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26)=45/57=0,79
P(Y=50/X=26)=8/57=0,14
P(Y=60/X=26)=4/57=0,0702
Feltételes elvárás M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Feltételes variancia D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Feltételes elosztási törvény Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31)=4/17=0,24
P(Y=50/X=31)=6/17=0,35
P(Y=60/X=31)=7/17=0,41
Feltételes elvárás M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Feltételes variancia D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Feltételes elosztási törvény Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Feltételes elvárás M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Feltételes variancia D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
kovariancia.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Ha a valószínűségi változók függetlenek, akkor a kovarianciájuk nulla. Esetünkben cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelációs együttható.
Az y-tól x-ig terjedő lineáris regressziós egyenlet:
A lineáris regressziós egyenlet x-től y-ig:
Keresse meg a szükséges numerikus jellemzőket!
A minta jelentése:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
diszperziók:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Honnan kapjuk a szórásokat:
σ x = 9,99 és σ y = 4,9
és kovariancia:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Határozzuk meg a korrelációs együtthatót:
Írjuk fel az y(x) regressziós egyenesek egyenleteit:
és kiszámolva a következőket kapjuk:
yx = 0,38x + 9,14
Írjuk fel az x(y) regressziós egyenesek egyenleteit:
és kiszámolva a következőket kapjuk:
x y = 1,59 y + 2,15
Ha felépítjük a táblázat és a regressziós egyenesek által meghatározott pontokat, akkor azt látjuk, hogy mindkét egyenes átmegy a (42.3; 25.3) koordinátájú ponton, és a pontok a regressziós egyenesekhez közel helyezkednek el.
A korrelációs együttható jelentősége.
A Student-féle táblázat szerint α=0,05 szignifikanciaszinttel és k=100-m-1 = 98 szabadságfokkal t crit:
t-krit (n-m-1; α/2) = (98; 0,025) = 1,984
ahol m = 1 a magyarázó változók száma.
Ha t obs > t kritikus, akkor a kapott korrelációs együttható értéket szignifikánsnak ismerjük el (azt a nullhipotézist, amely szerint a korrelációs együttható nullával egyenlő, elvetjük).
Mivel t obl > t crit, elvetjük azt a hipotézist, hogy a korrelációs együttható 0. Más szóval, a korrelációs együttható statisztikailag szignifikáns.
Gyakorlat. Az X és Y valószínűségi változók értékpárjainak találatainak számát a megfelelő intervallumokban a táblázat tartalmazza. Ezekből az adatokból keresse meg a mintakorrelációs együtthatót és az Y egyenes regressziós egyenesek mintaegyenleteit X-en és X-en Y-n.
Megoldás
Példa. Egy kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y) valószínűségi eloszlását táblázat adja meg. Határozzuk meg az X, Y komponensmennyiségek és a p(X, Y) korrelációs együttható eloszlásának törvényeit!
Letöltés megoldás
Gyakorlat. 2D diszkrét mennyiség(X, Y) értékét az elosztási törvény adja. Keresse meg az X és Y komponensek eloszlási törvényeit, a kovariancia és a korrelációs együtthatót!
A valószínűségi változók tanulmányozása során gyakran kettővel, hárommal és párossal kell számolni egy nagy szám Véletlen változók. Például a $\left(X,\Y\right)$ kétdimenziós valószínűségi változó a lövedék találati pontját írja le, ahol a $X,\Y$ valószínűségi változók az abszcissza, illetve az ordináta. Egy véletlenszerűen kiválasztott tanuló teljesítményét a foglalkozás során egy $n$-dimenziós valószínűségi változó jellemzi: $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, ahol a valószínűségi változók $X_1,\ X_2,\ \pontok ,\ X_n $ - ezek az osztályzatok jegyzetfüzetébe a különböző tudományágakban.
A $n$ valószínűségi változók $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ halmaza az ún. véletlen vektor. Korlátozzuk magunkat a $\left(X,\ Y\right)$ esetre.
Legyen $X$ diszkrét valószínűségi változó lehetséges $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ értékekkel, és $Y$ egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges $y_1,y_2,\ \dots értékekkel, \ y_n$.
Ekkor egy diszkrét kétdimenziós $\left(X,\Y\right)$ valószínűségi változó a $\left(x_i,\y_j\right)$ értékeket veheti fel $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Itt $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ annak a feltételes valószínűsége, hogy a $Y$ valószínűségi változó felveszi a $y_j$ értéket, feltéve, hogy a $X$ valószínűségi változó a $x_i$ értéket veszi fel.
Annak a valószínűsége, hogy a $X$ valószínűségi változó felveszi az $x_i$ értéket, egyenlő a $p_i=\sum_j(p_(ij))$ értékkel. Annak a valószínűsége, hogy az $Y$ valószínűségi változó felveszi a $y_j$ értéket, egyenlő a $q_j=\sum_i(p_(ij))$ értékkel.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ balra(Y=y_j\jobbra)))=((p_(ij))\over (q_j)).$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ balra(X=x_i\jobbra)))=(((p_(ij))\over (p_i)).$$
1. példa . Egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlása a következő:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\fordított perjel Y és 2 és 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(tömb)$
Határozzuk meg az $X$ és $Y$ valószínűségi változók eloszlási törvényeit. Keressük meg a $X$ valószínűségi változó feltételes eloszlását $Y=2$ és a $Y$ valószínűségi változó feltételes eloszlását $X=0$ feltétel mellett.
Töltsük ki a következő táblázatot:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\fordított perjel Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(tömb)$
Magyarázzuk el, hogyan kell kitölteni a táblázatot. Az első négy sor első három oszlopának értékeit a feltételből veszik. A $2$th ($3$th) sor $2$th és $3$th oszlopainak összege a $2$th ($3$th) sor $4$th oszlopában van feltüntetve. A $4$. sor $2$-ik és $3$-ik oszlopában lévő számok összege a $4$-edik sor $4$-ik oszlopában van feltüntetve.
A $2$th ($3$th) oszlop $2$th, $3$th és $4$th sorában lévő számok összegét a $2$th ($3$th) oszlop $5$-ik sorába írjuk. A $2$th oszlopban lévő minden számot el kell osztani $q_1=0,52$-tal, az eredményt két tizedesjegyig felfelé kerekítjük, és az $5$th oszlopba írjuk. A $3$. sor $2$th és $3$th oszlopában lévő számokat elosztjuk $p_2=0,41$-tal, az eredményt két tizedesjegyre kerekítjük és az utolsó sorba írjuk.
Ekkor az $X$ valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő alakú.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i és 0,4 és 0,41 és 0,19 \\
\hline
\end(tömb)$
A $Y$ valószínűségi változó eloszlásának törvénye.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
I és 2 és 3 \\
\hline
q_j és 0,52 és 0,48 \\
\hline
\end(tömb)$
A $X$ valószínűségi változó feltételes eloszlása a $Y=2$ feltétel mellett a következő alakú.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 és 0,29 és 0,54 és 0,17 \\
\hline
\end(tömb)$
A $Y$ valószínűségi változó feltételes eloszlása a $X=0$ feltétel mellett a következő alakú.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
I és 2 és 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 és 0,68 és 0,32 \\
\hline
\end(tömb)$
2. példa . Hat ceruzánk van, ebből kettő piros. A ceruzákat két dobozba tesszük. Az elsőbe 2 dolláros darab, a másodikba kettő kerül. $X$ az első mezőben lévő piros ceruzák száma, a másodikban pedig $Y$. Írja fel a $(X,\ Y)$ valószínűségi változók rendszerének eloszlási törvényét!
Legyen a diszkrét $X$ valószínűségi változó az első mezőben lévő piros ceruzák száma, a $Y$ diszkrét valószínűségi változó pedig a második mezőben lévő piros ceruzák száma. A $X,\Y$ valószínűségi változók lehetséges értékei: $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Ekkor egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó $\left(X,\Y\right)$ felveheti a $\left(x,\y\right)$ értékeket $P=P\left(\left() X=x\jobbra) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, ahol $P\left(Y =y|X=x\right)$ - annak a feltételes valószínűsége, hogy a $Y$ valószínűségi változó felveszi a $y$ értéket, feltéve, hogy a $X$ valószínűségi változó a $x$ értéket veszi fel. Jelentsük meg a $\left(x,\y\right)$ értékek és a $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) valószínűségek közötti megfelelést \right)$ a következő táblázatok szerint.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\fordított perjel Y és 0 & 1 és 2 \\
\hline
0 & ((1)\(15) felett) & ((4)\(15) felett) & ((1)\(15) felett) \\
\hline
1 & ((4)\(15) felett) & ((4)\(15) felett) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\(15) felett) & 0 & 0 \\
\hline
\end(tömb)$
Egy ilyen táblázat sorai a $X$ értékeket, az oszlopok pedig a $Y$ értékeket, majd a $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y) valószínűségeket jelölik =y\right)\right)$ a megfelelő sor és oszlop metszéspontjában van feltüntetve. Számítsa ki a valószínűségeket a segítségével klasszikus meghatározás valószínűségek és a függő események valószínűségeinek szorzattétele.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\fölött (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\fölött (C^2_4))=((2\cdot 4)\fölött (15))\cdot ((3)\fölött (6))=((4)\fölött (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\over(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Mivel az eloszlási törvényben (az eredményül kapott táblázatban) az események teljes halmaza egy teljes eseménycsoportot alkot, a valószínűségek összege egyenlő legyen 1-gyel. Ellenőrizzük:
$$\összeg_(i,\j)(p_(ij))=((1)\fölött (15))+((4)\fölött (15))+((1)\fölött (15))+ ((4)\(15) felett)+((4)\(15))+((1)\(15) felett)=1.$$
Kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
elosztási függvény A $\left(X,\Y\right)$ kétdimenziós valószínűségi változó egy $F\left(x,\y\right)$ függvény, amely bármely $x$ és $y$ valós szám esetén egyenlő két esemény valószínűsége $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó esetén az eloszlásfüggvényt úgy találjuk meg, hogy összeadjuk az összes $p_(ij)$ valószínűséget, amelyre $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásfüggvényének tulajdonságai.
1 . A $F\left(x,\ y\right)$ eloszlásfüggvény korlátos, azaz $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\y\right)$ nem csökken minden argumentumhoz, a többi rögzített, azaz $F\left(x_2,\y\right)\ge F\left(x_1,\ y\) right )$ $x_2>x_1$ esetén, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ $y_2>y_1$ esetén.
3 . Ha legalább az egyik argumentum a $-\infty $ értéket veszi fel, akkor az eloszlási függvény nulla lesz, azaz $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Ha mindkét argumentum a $+\infty $ értéket veszi fel, akkor az elosztási függvény megegyezik a $1$ értékkel, azaz $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . Abban az esetben, ha pontosan az egyik argumentum a $+\infty $ értéket veszi fel, akkor a $F\left(x,\y\right)$ eloszlásfüggvény lesz a másik elemnek megfelelő valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, azaz $ F\left(x,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left (y\jobbra) =F_Y\left(y\right)$.
6 . A $F\left(x,\y\right)$ minden argumentuma folytonos marad, azaz.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x_0,\y\right),\ (\mathop(lim) _(y\to y_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x,\y_0\right).$$
3. példa . Adjon meg egy diszkrét kétdimenziós $\left(X,\ Y\right)$ valószínűségi változót egy eloszlási sorozat.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\fordított perjel Y és 0 és 1 \\
\hline
0 & ((1)\(6) felett) & ((2)\(6) felett) \\
\hline
1 & ((2)\(6) felett) & ((1)\(6) felett) \\
\hline
\end(tömb)$
Ezután az elosztási függvény:
$F(x,y)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ for\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ at\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\(6) felett),\ at\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\(6) felett)+((2)\(6))=((1)\(2) felett),\ amikor\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ for\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\(6) felett)+((2)\(6))=((1)\(2) felett),\ amikor\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\(6) felett)+((2)\(6))+((2)\(6) felett)+((1)\(6) felett)=1,\ for\ x >1,\ y>1 \\
\end(mátrix)\jobbra.$
Egy kétdimenziós valószínűségi változót ( x, Y), melynek lehetséges értékei számpárok ( x, y). Alkatrészek xÉs Y, egyszerre tekintve, forma rendszer két valószínűségi változó.
Egy kétdimenziós mennyiség geometriailag véletlenszerű pontként értelmezhető M(x; Y) a felületen xOy vagy véletlen vektorként OM.
Diszkrét kétdimenziós mennyiségnek nevezzük, amelynek összetevői diszkrétek.
Folyamatos kétdimenziós mennyiségnek nevezzük, amelynek összetevői folytonosak.
elosztási törvény A kétdimenziós valószínűségi változók valószínűségét a lehetséges értékek és azok valószínűségei közötti megfelelésnek nevezzük.
Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó eloszlási törvénye megadható: a) kettős bejegyzésű táblázat formájában, amely tartalmazza a lehetséges értékeket és azok valószínűségeit; b) analitikusan, például eloszlásfüggvény formájában.
elosztási függvény egy kétdimenziós valószínűségi változó valószínűségét függvénynek nevezzük F(x, y), amely minden számpárra meghatározza (x, y) annak a valószínűsége x x-nél kisebb értéket vesz fel, ugyanakkor Y kisebb értéket vesz fel, mint y:
F(x, y) = P(X< x, Y < y).
Geometriailag ez az egyenlőség a következőképpen értelmezhető: F(x, y) van annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű pont ( X, Y) egy végtelen kvadránsba esik, amelynek csúcsa ( x,y) ettől a csúcstól balra és alatta található.
Néha az „eloszlási függvény” kifejezés helyett az „integrális függvény” kifejezést használják.
Az elosztási függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. tulajdonság. Az eloszlásfüggvény értékei kielégítik a kettős egyenlőtlenséget
0 ≤ F (x, y) ≤ 1.
2. tulajdonság. Az eloszlásfüggvény minden argumentumhoz képest nem csökkenő függvény:
F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), ha x 2 > x 1,
F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), ha y 2 > y 1 .
3. tulajdonság. Vannak határviszonyok:
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
4. tulajdonság. A) Nál nél=∞ a rendszer eloszlásfüggvénye az X komponens eloszlásfüggvényévé válik:
F(x, ∞) = F 1 (x).
b) x számára = ∞ a rendszer eloszlásfüggvénye az Y komponens eloszlásfüggvényévé válik:
F(∞, y) = F 2 (y).
Az eloszlásfüggvény segítségével megtudhatja, hogy egy véletlen pont mekkora valószínűséggel esik egy téglalapba x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Az együttes valószínűségi eloszlás sűrűsége (kétdimenziós valószínűségi sűrűség) A folytonos kétdimenziós valószínűségi változót az eloszlásfüggvény második vegyes deriváltjának nevezzük:
Néha a „kétdimenziós valószínűségi sűrűség” kifejezés helyett a „rendszer differenciális függvénye” kifejezést használják.
Az együttes eloszlás sűrűségét tekinthetjük annak a valószínűségének a határának, hogy egy véletlenszerű pont egy D oldalú téglalapba esik. xés D y ennek a téglalapnak a területére, amikor mindkét oldala nullára hajlik; geometriailag felületként értelmezhető, amit ún elosztó felület.
Az eloszlássűrűség ismeretében a képlet alapján megtalálhatjuk az eloszlásfüggvényt
Egy véletlenszerű pont (X, Y) D tartományba esésének valószínűségét az egyenlőség határozza meg
A kétdimenziós valószínűségi sűrűség a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. tulajdonság. A kétváltozós valószínűségi sűrűség nem negatív:
f(x,y) ≥ 0.
2. tulajdonság. A kettős nem megfelelő integrál a kétdimenziós valószínűségi sűrűség végtelen határaival egyenlő eggyel:
Különösen, ha az (X, Y) összes lehetséges értéke egy véges D tartományhoz tartozik, akkor
226. Adott egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó valószínűségi eloszlása:
Keresse meg az összetevők eloszlásának törvényeit!
228. Adott egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
Határozza meg annak valószínűségét, hogy eltalál egy véletlenszerű pontot ( X, Y x = 0, x= p/4, y= p/6, y= p/3.
229. Határozza meg annak valószínűségét, hogy eltalál egy véletlenszerű pontot ( X, Y) egy vonallal határolt téglalapba x = 1, x = 2, y = 3, y= 5, ha ismert az eloszlásfüggvény
230. Adott egy kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
Határozza meg a rendszer kétdimenziós valószínűségi sűrűségét!
231. Körben x 2 + y 2 ≤ R 2 kétváltozós valószínűségi sűrűség ; a körön kívül f(x, y)= 0. Keresse meg: a) állandót C; b) egy véletlen pont eltalálásának valószínűsége ( X, Y) sugarú körbe r= 1 az origó középpontjában, ha R = 2.
232. Az első kvadránsban a két valószínűségi változóból álló rendszer eloszlásfüggvénye adott F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x - y. Keresse meg: a) a rendszer kétdimenziós valószínűségi sűrűségét; b) egy véletlen pont eltalálásának valószínűsége ( X, Y) csúcsokkal rendelkező háromszögbe A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).
8.2. A komponensek valószínűségeinek eloszlásának feltételes törvényei
diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó
Hagyja az összetevőket xÉs Y diszkrétek, és a következő lehetséges értékekkel rendelkeznek: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, y m.
Az X komponens feltételes eloszlása nál nél Y=yj(j ugyanazt az értéket megtartja X minden lehetséges értékénél) feltételes valószínűségek halmazának nevezzük
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Az Y feltételes eloszlást hasonlóan definiáljuk.
Az X és Y komponensek feltételes valószínűségét a képletekkel számítjuk ki
A számítások ellenőrzéséhez célszerű megbizonyosodni arról, hogy a feltételes eloszlás valószínűségeinek összege eggyel egyenlő.
233. Adott egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó ( X, Y):
Keresse meg: a) feltételes elosztási törvényt x feltéve, hogy Y=10; b) feltételes elosztási törvény Y feltéve, hogy x=6.
8.3. A sűrűségek és a feltételes eloszlási törvények meghatározása
folytonos kétdimenziós valószínűségi változó összetevői
Az egyik komponens eloszlási sűrűsége megegyezik a rendszer együttes eloszlásának végtelen sűrűségű nem megfelelő integráljával, az integrációs változó pedig a másik komponensével:
Itt feltételezzük, hogy az egyes komponensek lehetséges értékei a teljes numerikus tengelyhez tartoznak; ha a lehetséges értékek egy véges intervallumhoz tartoznak, akkor a megfelelő véges számokat vesszük az integráció határaként.
Az X komponens feltételes eloszlási sűrűsége adott értéken Y=y a rendszer együttes eloszlási sűrűségének és az alkatrész eloszlási sűrűségének aránya Y:
Hasonló módon határozzuk meg a komponens feltételes eloszlási sűrűségét Y:
Ha a valószínűségi változók feltételes eloszlássűrűségei xÉs Y egyenlőek a feltétlen sűrűségükkel, akkor ezek a mennyiségek függetlenek.
Egyenruha egy kétdimenziós folytonos valószínűségi változó eloszlásának nevezzük ( X, Y) ha abban a régióban, amelyhez minden lehetséges érték tartozik ( x, y), az együttes valószínűségi eloszlás sűrűsége állandó marad.
235. Adott egy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y) együttes eloszlási sűrűsége
Határozzuk meg: a) a komponensek eloszlási sűrűségét; b) komponensek feltételes eloszlási sűrűségei.
236. Egy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó együttes eloszlási sűrűsége ( X, Y)
Keresse meg: a) állandó tényezőt C; b) a komponensek eloszlási sűrűsége; c) az összetevők feltételes eloszlási sűrűségei.
237. Folyamatos kétdimenziós valószínűségi változó ( X, Y) egyenletesen oszlik el egy téglalapon belül, amelynek szimmetriaközéppontja az origóban van, és a 2a és 2b oldalak párhuzamosak a koordinátatengelyekkel. Keresse meg: a) a rendszer kétdimenziós valószínűségi sűrűségét; b) a komponensek eloszlási sűrűsége.
238. Folyamatos kétdimenziós valószínűségi változó ( X, Y) egyenletesen oszlik el egy csúcsokkal rendelkező derékszögű háromszögben O(0; 0), A(0; 8), BAN BEN(8;0). Keresse meg: a) a rendszer kétdimenziós valószínűségi sűrűségét; b) az összetevők sűrűségei és feltételes eloszlási sűrűségei.
8.4. Folyamatos rendszer numerikus jellemzői
két valószínűségi változó
Egy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y) X és Y komponenseinek eloszlássűrűségének ismeretében megtalálhatjuk azok matematikai elvárásait és szórásait:
Néha kényelmesebb olyan képleteket használni, amelyek kétdimenziós valószínűségi sűrűséget tartalmaznak (a kettős integrálok a rendszer lehetséges értékeinek tartományát veszik át):
Kezdő pillanat n k, s rendelés k+s rendszerek ( X, Y) a termék elvárásának nevezzük X k Y s:
nk, s = M.
Különösen,
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Központi momentum m k, s rendelés k+s rendszerek ( X, Y) az eltérések szorzatának matematikai elvárása, ill k-th és s fokozatok:
m k, s = M( k ∙ s ).
Különösen,
m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;
m 2,0 = M 2 = D(X), m 0,2 = M2 = D(Y);
m xу korrelációs nyomaték rendszerek ( X, Y) központi momentumnak nevezzük m 1,1 rendelés 1 + 1:
m xу = M( ∙ ).
Korrelációs együttható az X és Y értékek a korrelációs nyomaték aránya ezen értékek szórásának szorzatához:
r xy = m xy / (s x s y).
A korrelációs együttható egy dimenzió nélküli mennyiség, és | rxy| ≤ 1. A korrelációs együttható segítségével értékeljük a közötti lineáris kapcsolat szorosságát xÉs Y: minél közelebb van a korrelációs együttható abszolút értéke egyhez, annál erősebb a kapcsolat; minél közelebb van a korrelációs együttható abszolút értéke a nullához, annál gyengébb a kapcsolat.
korrelált két valószínűségi változót hívunk meg, ha azok korrelációs momentuma eltér nullától.
Nem korrelált két valószínűségi változót hívunk meg, ha azok korrelációs momentuma egyenlő nullával.
Két korrelált mennyiség is függő; ha két mennyiség függ, akkor lehet korrelált vagy nem korrelált. Két mennyiség függetlenségéből következik a korreláció nélküliségük, de az összefüggéstelenségből továbbra sem lehet következtetést levonni e mennyiségek függetlenségére (normális eloszlású mennyiségeknél függetlenségük e mennyiségek korreláció nélküliségéből következik).
Mert folyamatos mennyiségek Az X és Y korrelációs momentum a következő képletekkel határozható meg:
239. Egy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y) együttes eloszlási sűrűsége adott:
Keresse meg: a) matematikai elvárásokat; b) az X és Y komponensek szórása.
240. Egy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó (X, Y) együttes eloszlási sűrűsége adott:
Keresse meg a komponensek matematikai elvárásait és szórásait!
241. Egy folytonos kétdimenziós valószínűségi változó együttes eloszlási sűrűsége ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx hangulatos négyzet 0 ≤ x≤p/4, 0 ≤ y≤p/4; a téren kívül f(x, y)= 0. Határozza meg a komponensek matematikai elvárásait!
242. Igazolja, hogy ha egy valószínűségi változók rendszerének kétdimenziós valószínűségi sűrűsége ( X, Y) két függvény szorzataként ábrázolható, amelyek közül az egyik csak attól függ x, a másik pedig csak től y, majd a mennyiségeket xÉs Y független.
243. Bizonyítsd be, hogy ha xÉs Y csatlakoztatva lineáris függőség Y = fejsze + b, akkor a korrelációs együttható abszolút értéke eggyel egyenlő.
Megoldás. A korrelációs együttható meghatározása szerint
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M( ∙ ). (*)
Keressük meg a matematikai elvárást Y:
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
A (**)-t (*) behelyettesítve elemi transzformációk után kapjuk
m xy \u003d aM 2 \u003d aD (X) \u003d mint 2 x.
Tekintettel arra
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
megtalálni a szórást Y:
D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .
Innen s y = |a|s x. Ezért a korrelációs együttható
Ha a> 0, akkor rxy= 1; Ha a < 0, то rxy = –1.
Szóval, | rxy| = 1, amit igazolni kellett.
