4. feladat.

A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót.

Megoldás.

1. AO = 2√6.

2. Alkalmazza a szinusztételt az AOD háromszögre.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Válasz: 12.

5. feladat.

Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét!

Megoldás.

Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, az átlók és a paralelogramma kisebb szöge közötti szög pedig φ.

1. Számoljunk két különbözőt
területének módjait.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Az 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill.

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. A paralelogramma oldalainak és átlóinak arányát felhasználva felírjuk az egyenlőséget

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Készítsünk egy rendszert:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Szorozzuk meg a rendszer második egyenletét 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz.

Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24.

Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24.

Válasz: 24.

6. feladat.

A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 o. Keresse meg a paralelogramma területét.

Megoldás.

1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√ 2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját.

Ezt figyelembe vesszük<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

A d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk.

3. Van egy rendszerünk
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 d 2 √2 = 80 ill.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell a rendszert teljesen megoldani, előre látva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához.

Válasz: 10.

7. feladat.

A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét!

Megoldás.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Csináljunk behelyettesítést a képletben.

96 = 8 15 sin VAD-ot kapunk. Ezért sin VAD = 4/5.

2. Find cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 ROSSZ = 1. cos 2 ROSSZ = 9/25.

A feladat feltétele szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A BD átló kisebb lesz, ha a BAD szög hegyes. Akkor mivel ROSSZ = 3/5.

3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Válasz: 145.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek oldalai páronként párhuzamosak.

Ezen az ábrán a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek egymással. A paralelogramma átlói egy pontban metszik egymást, és felezik azt. A paralelogramma terület képletek lehetővé teszik az érték megtalálását az oldalakon, a magasságon és az átlókon keresztül. A paralelogramma speciális esetekben is ábrázolható. Téglalapnak, négyzetnek és rombusznak tekintik őket.
Először nézzünk meg egy példát a paralelogramma területének kiszámítására a magasság és az oldal alapján, amelyre le van engedve.

Ez az eset klasszikusnak számít, és nem igényel további vizsgálatot. Jobb, ha figyelembe vesszük a két oldal területének és a köztük lévő szög kiszámításának képletét. A számítás során ugyanezt a módszert alkalmazzuk. Ha az oldalak és a köztük lévő szög adottak, akkor a területet a következőképpen számítjuk ki:

Tegyük fel, hogy kapunk egy paralelogrammát, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, és a köztük lévő szög α = 30°. Keressük meg a területet:

A paralelogramma területe átlókban kifejezve

A paralelogramma területének képlete az átlók tekintetében lehetővé teszi az érték gyors megtalálását.
A számításokhoz szükség van az átlók közötti szög értékére.

Vegyünk egy példát a paralelogramma területének átlókon keresztül történő kiszámítására. Adjunk meg egy paralelogrammát D = 7 cm, d = 5 cm átlókkal, amelyek szöge α = 30°. Helyettesítse be az adatokat a képletben:

Egy példa a paralelogramma területének egy átlón keresztül történő kiszámítására kiváló eredményt adott - 8,75.

Ismerve a paralelogramma területének képletét az átló szempontjából, sok érdekes problémát megoldhat. Nézzük meg az egyiket.

Feladat: Adott egy 92 négyzetméter területű paralelogramma. lásd az F pont a BC oldalának közepén található. Keressük meg az ADFB trapéz területét, amely a paralelogrammánkban lesz. Kezdésként rajzoljunk le mindent, amit a feltételeknek megfelelően kaptunk.
Térjünk rá a megoldásra:

Feltételeink szerint ah \u003d 92, és ennek megfelelően a trapéz területe egyenlő lesz

Mielőtt megtanulnánk, hogyan találjuk meg a paralelogramma területét, emlékeznünk kell arra, hogy mi a paralelogramma, és mit nevezünk magasságának. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak (párhuzamos egyeneseken fekszenek). Az ezt az oldalt tartalmazó egyenessel ellentétes oldalon egy tetszőleges pontból húzott merőlegest a paralelogramma magasságának nevezzük.

A négyzet, a téglalap és a rombusz a paralelogramma speciális esetei.

A paralelogramma területét (S) jelöljük.

Képletek a paralelogramma területének meghatározásához

S=a*h, ahol a az alap, h az alaphoz húzott magasság.

S=a*b*sinα, ahol a és b az alapok, α pedig az a és b alapok közötti szög.

S \u003d p * r, ahol p a fél kerülete, r a paralelogrammába írt kör sugara.

Az a és b vektorok által alkotott paralelogramma területe megegyezik az adott vektorok szorzatának modulusával, nevezetesen:

Tekintsük az 1. példát: Adott egy paralelogramma, amelynek oldala 7 cm, magassága 3 cm. Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét, szükségünk van egy képletre a megoldáshoz.

Tehát S=7x3. S=21. Válasz: 21 cm 2.

Tekintsük a 2. példát: Az alapok 6 és 7 cm-esek, az alapok közötti szög pedig 60 fok. Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét? A megoldáshoz használt képlet:

Így először megkeressük a szög szinuszát. Szinusz 60 \u003d 0,5, illetve S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Válasz: 21 cm 2.

Remélem, hogy ezek a példák segítenek a problémák megoldásában. És ne feledje, a fő dolog a képletek ismerete és a figyelmesség

Párhuzamos terület

1. tétel

A paralelogramma területét úgy határozzuk meg, mint az oldala hosszának és a hozzá húzott magasságnak a szorzata.

ahol $a$ a paralelogramma oldala, $h$ az erre az oldalra húzott magasság.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ paralelogrammát, ahol $AD=BC=a$. Rajzoljuk meg a $DF$ és $AE$ magasságokat (1. ábra).

1. kép

Nyilvánvaló, hogy az $FDAE$ ábra egy téglalap.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Ezért, mivel $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, $I$-al a háromszög egyenlőségi teszt. Akkor

Tehát a téglalap terület tétele szerint:

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel

A paralelogramma területét a szomszédos oldalak hosszának és az oldalak közötti szög szinuszának szorzataként határozzuk meg.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a,\ b$ a paralelogramma oldalai, $\alpha $ a köztük lévő szög.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ paralelogrammát, amelynek $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Rajzolja meg a $DF=h$ magasságot (2. ábra).

2. ábra.

A szinusz definíciója szerint azt kapjuk

Ennélfogva

Ezért a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

Egy háromszög területe

3. tétel

A háromszög területe az oldala hosszának és a hozzá húzott magasságának a fele.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a$ a háromszög oldala, $h$ az ehhez az oldalhoz húzott magasság.

Bizonyíték.

3. ábra

Tehát a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

4. tétel

A háromszög területét úgy határozzuk meg, mint a szomszédos oldalai hosszának a fele, szorozva az oldalak közötti szög szinuszával.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a,\ b$ a háromszög oldalai, $\alpha $ a köztük lévő szög.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABC$ háromszöget, ahol $AB=a$. Rajzolja meg a $CH=h$ magasságot. Építsük fel az $ABCD$ paralelogrammára (3. ábra).

Nyilvánvaló, hogy $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$-tal. Akkor

Tehát a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

Trapéz terület

5. tétel

A trapéz területét úgy határozzuk meg, mint az alapjai hossza és a magassága összegének fele.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

Bizonyíték.

Adjunk egy $ABCK$ trapézt, ahol $AK=a,\ BC=b$. Rajzoljuk meg benne a $BM=h$ és $KP=h$ magasságokat, valamint a $BK$ átlót (4. ábra).

4. ábra

A $3$ tétel alapján azt kapjuk, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

Feladat példa

1. példa

Határozzuk meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, ha az oldalának hossza $a.$

Megoldás.

Mivel a háromszög egyenlő oldalú, minden szöge egyenlő $(60)^0$.

Akkor a $4$ tétel alapján megvan

Válasz:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Vegye figyelembe, hogy ennek a feladatnak az eredménye felhasználható bármely, adott oldallal rendelkező egyenlő oldalú háromszög területének meghatározására.

Geometriai terület- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. A háromszög területének képlete három oldallal és a körülírt kör sugarával
   
3. A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
2. A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
a négyzet oldalának hossza,
a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Téglalap terület egyenlő a két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
a téglalap oldalainak hossza.

A paralelogramma területének képletei

1. Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sinα

ahol S a paralelogramma területe,
a paralelogramma oldalainak hossza,
a paralelogramma magassága,
a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,