Tanulmányozzuk a származékot. Tényleg ennyire fontos az életben? „A differenciálszámítás a minket körülvevő világ leírása, matematikai nyelven. A derivált segítségével nemcsak matematikai, hanem gyakorlati problémákat is sikeresen megoldhatunk a tudomány és a technológia különböző területein.”

Fogalom a kémia nyelvén Megnevezés Fogalom a matematika nyelvén Anyagok száma időpontban t 0 p \u003d p (t 0) Funkció Időintervallum t \u003d t– t 0 Argumentum növekmény Anyagok mennyiségének változása p \u003d p (t 0 + t) - A kémiai reakció aránya A függvény a /t növekménye függvény növekménye az argumentumnövekményhez V (t) \u003d p (t) Megoldás:

A populáció egy adott faj egyedeinek halmaza, amelyek a faj elterjedési területén belül a terület egy bizonyos részét foglalják el, egymással szabadon kereszteződve, részben vagy teljesen elszigetelve más populációktól, és egyben az evolúció elemi egysége is.

Megoldás: Fogalom a biológia nyelvén Megnevezés Fogalom a matematika nyelvén Szám t időpontban 1 x \u003d x (t) Funkció Időintervallum t \u003d t 2 - t 1 Az argumentum növekménye A populáció méretének változása x \u003d x (t 2) - x (t 1) A függvény méretének aránya / t függvény növekedése az argumentum crementje Relatív növekedés pillanatnyilag Lim x / t t 0 Derivált Р \u003d x (t)

Algoritmus a derivált keresésére (y=f(x) függvényre) Rögzítsd x értékét, keresd meg az f(x)-et. Adjunk az x argumentumnak egy Dx növekményt (mozgassuk az x+Dx-et egy új pontba), keressük meg az f(x+Dx) értéket. Keresse meg a függvény növekményét: Dy= f(x+Dx)-f(x) Állítsa össze a függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányát. Számítsa ki ennek az aránynak a határát (ez a határ f `(x).)

FGOU SPO

Novoszibirszki Mezőgazdasági Főiskola

Esszé

a "matematika" tudományágban

"A származék alkalmazása a tudományban és a technológiában"

S. Razdolnoe 2008

Bevezetés

1. Elméleti rész

1.1 A derivált fogalmához vezető problémák

1.2 Származékos definíció

1.3 A származék megtalálásának általános szabálya

1.4 A derivált geometriai jelentése

1.5 A származék mechanikai jelentése

1.6 Másodrendű származék és mechanikai jelentése

1.7 A differenciál definíciója és geometriai jelentése

2. Függvények vizsgálata a derivált segítségével

Következtetés

Irodalom

Bevezetés

Esszém első fejezetében a származék fogalmáról, alkalmazásának szabályairól, a származék geometriai és fizikai jelentéséről lesz szó. Esszém második fejezetében a származék tudományban és technológiában való használatáról, valamint az e területen felmerülő problémák megoldásáról lesz szó.

1. Elméleti rész

1.1 A derivált fogalmához vezető problémák

Egyes folyamatok, jelenségek tanulmányozása során gyakran felmerül e folyamatok sebességének meghatározása. Megoldása elvezet a derivált fogalmához, amely a differenciálszámítás alapfogalma.

A differenciálszámítás módszerét a 17. és 18. században alkották meg. Két nagy matematikus, I. Newton és G.V. Leibniz.

Newton a differenciálszámítás felfedezéséhez egy anyagi pont adott időpillanatbeli sebességével (pillanatnyi sebességgel) kapcsolatos problémák megoldása során jutott el.

Mint ismeretes, egységes mozgás olyan mozgás, amelyben egy test egyenlő időközönként egyenlő hosszúságú utat tesz meg. A test által időegység alatt megtett távolságot ún sebesség egységes mozgás.

A gyakorlatban azonban leggyakrabban egyenetlen mozgással van dolgunk. Az úton haladó autó az átkelőhelyeken lassít, és azokon a szakaszokon gyorsít, ahol szabad az út; leszálláskor lelassul a gép stb. Ezért leggyakrabban azzal kell számolnunk, hogy a test egyenlő időintervallumokban halad át különböző hosszúságú útszakaszokon. Az ilyen mozgást ún egyenetlen. Sebessége nem jellemezhető egyetlen számmal.

Gyakran az egyenetlen mozgás jellemzésére használják ezt a fogalmat átlagsebesség mozgás a ∆t٫ idő alatt, amelyet az összefüggés határoz meg, ahol ∆s a test által ∆t idő alatt megtett út.

Tehát szabadesésben lévő test esetén a mozgásának átlagos sebessége az első két másodpercben

A gyakorlatban a mozgás olyan jellemzője, mint az átlagos sebesség, nagyon keveset mond a mozgásról. Valójában 4,9 m / s és a 2. - 14,7 m / s, míg az átlagos sebesség az első két másodpercben 9,8 m / s. Az első két másodperc átlagos sebessége nem ad fogalmat arról, hogyan történt a mozgás: mikor mozgott gyorsabban a test, és mikor lassabban. Ha minden másodpercre külön beállítjuk az átlagos mozgási sebességeket, akkor tudni fogjuk például, hogy a 2. másodpercben a test sokkal gyorsabban mozgott, mint az 1. másodpercben. Azonban a legtöbb esetben sokkal gyorsabban, mint amivel nem vagyunk elégedettek. Hiszen könnyen érthető, hogy ebben a 2. másodpercben a test is különbözőképpen mozog: az elején lassabban, a végén gyorsabban. És hogyan mozog valahol ennek a 2. másodpercnek a közepén? Más szóval, hogyan határozható meg a pillanatnyi sebesség?

A test mozgását írja le a törvény ∆t-vel egyenlő ideig. Abban a pillanatban, t0 a test áthaladt az ösvényen, pillanatnyilag - az ösvényen. Ezért a ∆t idő alatt a test megtett egy távolságot, és a test átlagos sebessége ezen időtartam alatt ez lesz.

Minél rövidebb a ∆t időintervallum, annál pontosabban meg lehet állapítani, hogy a test mekkora sebességgel mozog t0 pillanatban, mivel egy mozgó test nem tudja rövid időn belül jelentősen megváltoztatni a sebességét. Ezért az átlagos sebesség, mivel ∆t nullára hajlik, megközelíti a tényleges mozgási sebességet, és határértékben megadja a mozgás sebességét egy adott t0 időpontban (pillanatnyi sebesség).

És így ,

1. definíció. Azonnali sebesség A test egyenes vonalú mozgásának egy adott t0 időpontban az átlagsebesség határát t0-tól t0+ ∆t-ig tartjuk, amikor a ∆t időintervallum nullára tart.

Tehát ahhoz, hogy egy adott pillanatban meg tudjuk találni az egyenes vonalú nem egyenletes mozgás sebességét, meg kell találni a ∆ út növekményének és a ∆t időnövekedés arányának határát az ún. Leibniz a differenciálszámítás felfedezéséhez érkezett, miközben megoldotta azt a problémát, hogy az egyenlete által adott bármely görbe érintőjét megszerkesztse.

A probléma megoldása nagyon fontos. Hiszen egy mozgó pont sebessége a pályájának érintője mentén irányul, így a röppályáján lévő lövedék sebességének meghatározása, bármely pályáján keringő bolygó sebessége a görbe érintőjének irányának meghatározására redukálódik.

Az érintő definíciója olyan egyenesként, amelynek csak egy közös pontja van a görbével, amely körre érvényes, sok más görbére alkalmatlan.

A görbe érintőjének alábbi meghatározása nemcsak a görbe intuitív elképzelésének felel meg, hanem lehetővé teszi az irányának tényleges megtalálását is, pl. számítsa ki az érintő meredekségét.

2. definíció. Tangens Az M pontban lévő görbét MT egyenesnek nevezzük, amely az MM1 szekáns határhelyzete, amikor az M1 pont a görbe mentén haladva korlátlanul megközelíti az M pontot.

1.2 Származékos definíció

Vegye figyelembe, hogy a görbe érintőjének és az egyenetlen mozgás pillanatnyi sebességének meghatározásakor lényegében ugyanazokat a matematikai műveleteket hajtják végre:

1. Az argumentum adott értéke növekszik, és a függvény új értékét számítja ki az argumentum új értékének megfelelően.

2. Határozza meg a kiválasztott argumentumnövekménynek megfelelő függvénynövekményt.

3. A függvény növekményét elosztjuk az argumentum növekményével.

4. Számítsa ki ennek az aránynak a határát, feltéve, hogy az argumentum növekménye nullára hajlik!

Számos probléma megoldása korlátozza az ilyen típusú átmeneteket. Szükségessé válik egy általánosítás és a végletekig elnevezni ezt a részt.

A függvény változási sebessége az argumentum változásától függően nyilvánvalóan egy aránnyal jellemezhető. Ezt a kapcsolatot úgy hívják átlagsebesség a funkció a tól ig intervallumban változik. Most figyelembe kell vennünk a tört határát, ennek az aránynak a határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik (ha ez a határ létezik), ennek valami új függvénye. Ezt a függvényt az y' szimbólumok jelölik, amelyeket hívnak derivált ezt a függvényt, hiszen a függvényből kapjuk (előállítjuk) Magát a függvényt nevezzük primitív függvény a származékához képest

3. definíció. derivált függvények egy adott pontban megnevezik a ∆y függvény növekményének és az ∆x argumentum megfelelő növekményének arányának határát, feltéve, hogy ∆x→0, azaz.

1.3 A származék megtalálásának általános szabálya

Valamely függvény deriváltjának megtalálásának műveletét ún különbségtétel függvények, és a matematikának e művelet tulajdonságait vizsgáló ága az differenciálszámítás.

Ha egy függvénynek van deriváltja az x=a helyen, akkor azt mondjuk, hogy az megkülönböztethető ezen a ponton. Ha egy függvénynek egy adott intervallum minden pontjában van deriváltja, akkor azt mondjuk, hogy az megkülönböztethető Ezen intervallum .

A derivált definíciója nemcsak teljes mértékben jellemzi egy függvény változási sebességének fogalmát az argumentum megváltozásakor, hanem lehetőséget ad egy adott függvény deriváltjának tényleges kiszámítására is. Ehhez a következő négy műveletet (négy lépést) kell végrehajtania, amelyek a származék definíciójában szerepelnek:

1. Keressen új függvényértéket úgy, hogy x helyett új argumentumértéket ad meg ehhez a függvényhez: .

2. A függvény növekményét úgy határozzuk meg, hogy a függvény adott értékét kivonjuk az új értékéből: .

3. Állítsa össze a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányát: .

4. Menjen a határértékre és keresse meg a deriváltot: .

Általánosságban elmondható, hogy a derivált egy „új” függvény, amely egy adott függvényből egy meghatározott szabály szerint származtatott.

1.4 A derivált geometriai jelentése

A származék geometriai értelmezése, először a 17. század végén. Leibniz a következő: a függvény deriváltjának értéke az x pontban egyenlő a függvény grafikonjára ugyanabban az x pontban húzott érintő meredekségével, azok.

Az érintő egyenlete, mint bármely, egy adott ponton egy adott irányban áthaladó egyenes, alakja - aktuális koordináták. De az érintőegyenletet a következőképpen is felírjuk: . A normál egyenlet az alakban lesz felírva

1.5 A származék mechanikai jelentése

A derivált mechanikus értelmezését először I. Newton adta meg. Ez a következőkből áll: egy anyagi pont mozgási sebessége egy adott időpillanatban megegyezik az út időbeli deriváltjával, azaz. Így, ha egy anyagi pont mozgástörvényét egy egyenlet adja meg, akkor egy pont pillanatnyi sebességének meghatározásához egy adott időpillanatban meg kell találni a deriváltot, és be kell cserélni a t megfelelő értékét.

1.6 Másodrendű származék és mechanikai jelentése

Azt kapjuk (egyenlet abból, amit Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Matematika" 240. o. című tankönyvében tettek):

És így, a test egyenes vonalú mozgásának gyorsulása egy adott pillanatban megegyezik az út adott pillanatra számított időbeli második deriváltjával. Ez a második származék mechanikus jelentése.

1.7 A differenciál definíciója és geometriai jelentése

4. definíció. A függvény növekményének fő részét, a függvény növekedéséhez képest lineáris, a független változó növekedéséhez képest lineárisan ún. differenciális függvények, és d-vel jelöljük, azaz. .

Funkció differenciál geometriailag a pontba húzott érintő ordinátájának növekedésével ábrázolva M ( x ; y ) adott x és ∆x értékekre.

számítás differenciális – .

A különbség alkalmazása közelítő számításokban – , a függvény növekményének közelítő értéke egybeesik a differenciáljával.

1. tétel. Ha a differenciálható függvény növekszik (csökken) egy adott intervallumban, akkor ennek a függvénynek a deriváltja nem negatív (nem pozitív) ebben az intervallumban.

2. tétel. Ha a derivált függvény pozitív (negatív) valamilyen intervallumban, akkor a függvény ebben az intervallumban monoton növekvő (monoton csökkenő).

Fogalmazzuk meg most a függvény monotonitási intervallumainak megtalálásának szabályát

1. Számítsa ki ennek a függvénynek a deriváltját!

2. Keressen pontokat, ahol nulla vagy nem létezik. Ezeket a pontokat ún kritikai funkcióhoz

3. A talált pontokkal a függvény tartománya intervallumokra van felosztva, amelyek mindegyikén a derivált megtartja előjelét. Ezek az intervallumok a monotonitás intervallumai.

4. Vizsgálja meg a jelet az egyes talált intervallumokon. Ha a figyelembe vett intervallumon, akkor ezen az intervallumon növekszik; ha, akkor ilyen intervallumon csökken.

A probléma körülményeitől függően a monotonitási intervallumok megtalálásának szabálya egyszerűsíthető.

5. definíció. Egy pontot egy függvény maximális (minimális) pontjának nevezünk, ha az egyenlőtlenség a pont valamely környezetéből származó bármely x-re érvényes.

Ha a függvény maximális (minimális) pontja, akkor ezt mondjuk (minimális) azon a ponton. A maximum és a minimum függvények egyesítik a címet extrémum függvényeket, és a maximum és minimum pontokat hívjuk meg szélsőpontok (extrém pontok).

3. tétel.(az extrémum szükséges jele). Ha és a derivált ezen a ponton létezik, akkor egyenlő nullával: .

4. tétel.(elegendő extrémum jele). Ha a származék amikor x áthalad a akkor előjelet vált a a függvény szélsőpontja .

A derivált vizsgálatának főbb pontjai:

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg az összes kritikus pontot a függvény tartományából.

3. Állítsa be a függvény deriváltjának előjeleit a kritikus pontokon való áthaladáskor, és írja ki a szélsőpontokat!

4. Számítsa ki a függvényértékeket minden szélső pontban.

2. Függvények vizsgálata a származékkal

1. feladat . Napló hangereje. A megfelelő formájú, fahibák nélküli rönköket, amelyek vastag és vékony végeinek átmérője viszonylag kis különbséggel rendelkezik, ipari kerekfának nevezzük. Az ipari körfa térfogatának meghatározásakor általában egyszerűsített képletet használnak, ahol a rönk hossza az átlagos metszet területe. Tudja meg, hogy a valódi mennyiség véget ér-e vagy alábecsüli-e; becsülje meg a relatív hibát.

Megoldás. A kerek üzleti fa alakja közel áll a csonka kúphoz. Legyen a rönk nagyobb, kisebb végének sugara. Ekkor a majdnem pontos térfogata (a csonka kúp térfogata) – mint ismeretes – a képlettel meghatározható. Legyen az egyszerűsített képlettel számított térfogatérték. Akkor;

Azok. . Ez azt jelenti, hogy az egyszerűsített képlet alábecsüli a térfogatot. Tegyük fel most. Akkor. Ez azt mutatja, hogy a relatív hiba nem a rönk hosszától függ, hanem az arány határozza meg. Mióta nő az intervallumon. Ezért, ami azt jelenti, hogy a relatív hiba nem haladja meg a 3,7%-ot. Az erdőtudomány gyakorlatában egy ilyen hiba meglehetősen elfogadhatónak tekinthető. Nagyobb pontossággal gyakorlatilag lehetetlen megmérni sem a végek átmérőjét (mert ezek némileg eltérnek a köröktől), sem a rönk hosszát, mivel nem a magasságot, hanem a kúp generátorát mérik (a rönk hossza több tízszer nagyobb, mint az átmérő, és ez nem vezet nagy hibákhoz). Így első pillantásra egy helytelen, de egyszerűbb képlet a csonka kúp térfogatára valós helyzetben egészen jogosnak bizonyul. Speciális igazolási módszerekkel ismételten elvégzett vizsgálat azt mutatta, hogy az ipari erdő tömeges elszámolásával a relatív hiba a figyelembe vett képlet használatakor nem haladja meg a 4%-ot.

2. feladat . A gödrök, a vödrök és más csonka kúp alakú tartályok térfogatának meghatározásakor a mezőgazdasági gyakorlatban néha egyszerűsített képletet használnak, ahol a magasság a kúp alapjainak területe. Állapítsa meg, hogy a valós térfogat túl- vagy alulbecsült-e, becsülje meg a relatív hibát a gyakorlatra természetes feltétel mellett: (- alapsugár, .

Megoldás. A csonkakúp térfogatának valós értékén keresztül jelölve, és az egyszerűsített képlettel számított értéken keresztül kapjuk: , azaz. . Ez azt jelenti, hogy az egyszerűsített képlet túlbecsüli a térfogatot. Az előző feladat megoldását tovább ismételve azt találjuk, hogy a relatív hiba nem haladja meg a 6,7%-ot. Valószínűleg ez a pontosság elfogadható az ásatási munkák arányosítása során - elvégre a gödrök nem lesznek ideális kúpok, és a megfelelő paramétereket valós körülmények között nagyon durván mérik.

3. feladat . A szakirodalomban a marógép orsójának β elfordulási szögének meghatározására fogazott tengelykapcsolók marásakor egy képletet vezetnek le, ahol. Mivel ez a képlet összetett, ajánlatos elvetni a nevezőt, és egyszerűsített képletet használni. Mekkora (- egész szám,) esetén használható ez a képlet, ha a szög meghatározásakor hiba megengedett?

Megoldás. A pontos képlet egyszerű azonos átalakítások után a formára redukálható. Ezért közelítő képlet használatakor abszolút hiba megengedett, ahol. Tanulmányozzuk a függvényt az intervallumon. Ebben az esetben 0,06, azaz. a szöglet az első negyedhez tartozik. Nekünk van: . Vegye figyelembe, hogy a vizsgált intervallumon, és így a függvény ezen az intervallumon csökken. Mivel tovább, minden tekintetben. Azt jelenti,. Mivel ez egy radián, elegendő az egyenlőtlenség feloldásához. Ezt az egyenlőtlenséget kiválasztással megoldva azt találjuk, hogy, . Mivel a függvény csökken, ebből az következik

Következtetés

A származék használata meglehetősen tág, és az ilyen típusú munkákban teljes mértékben lefedhető, de megpróbáltam kitérni a főbb pontokra. Korunkban, a tudományos és technológiai fejlődéssel, különösen a számítástechnikai rendszerek rohamos fejlődésével összefüggésben a differenciálszámítás egyre relevánsabb mind az egyszerű, mind a szuperbonyolult problémák megoldásában.

Irodalom

1. V.A. Petrov "Matematikai elemzés a termelési feladatokban"

2. Soloveicchik I.L., Lisichkin V.T. "Matematika"

Ebben a cikkben a származékok különböző tudományokban és iparágakban való alkalmazásait vizsgálom meg. A munka fejezetekre tagolódik, amelyek mindegyike a differenciálszámítás egy-egy aspektusával foglalkozik (geometriai, fizikai jelentés stb.)

1. A származék fogalma

1-1. Történelmi információk

A differenciálszámítást Newton és Leibniz alkotta meg a 17. század végén két probléma alapján:
1) egy tetszőleges egyenes érintőjének megtalálásáról
2) a sebesség önkényes mozgástörvénnyel való kereséséről
Még korábban is találkoztak a származék fogalmával Tartaglia olasz matematikus (körülbelül 1500 - 1557) munkáiban - itt egy érintő jelent meg a fegyver dőlésszögének kérdéskörének tanulmányozása során, amely biztosítja a lövedék legnagyobb hatótávolságát.
A 17. században G. Galileo mozgáselmélete alapján a derivált kinematikai koncepciója aktívan fejlődött. Különféle előadások kezdtek megjelenni Descartes, a francia matematikus, Roberval és az angol tudós, L. Gregory munkáiban. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss nagyban hozzájárult a differenciálszámítás tanulmányozásához.

1-2. A származék fogalma

Legyen y \u003d f (x) az (a; b) intervallumban definiált x argumentum folytonos függvénye, és legyen x 0 ennek az intervallumnak tetszőleges pontja
Adjunk az x argumentumnak egy növekményt?x, akkor az y = f(x) függvény kap egy növekményt?y = f(x + ?x) - f(x). Azt a határt, amelyre az?y /?x arány hajlik, ha?x > 0, az f(x) függvény deriváltjának nevezzük.
y"(x)=

1-3. A differenciálás szabályai és a származékok táblázata

C" = 0	(x n) = nx n-1	(sin x)" = cos x
x" = 1	(1/x)" = -1/x2	(cos x)" = -sin x
(Cu)"=Cu"	(vx)" = 1/2vx	(tg x)" = 1 / cos 2 x
(uv)" = u"v + uv"	(a x)" = a x log x	(ctg x)" = 1 / sin 2 x
(u / v)"=(u"v - uv") / v 2	(ex)" = pl	(arcsin x)" = 1/v (1-x2)
	(log a x)" = (log a e) / x	(arccos x)" = -1 / v (1- x 2)
	(ln x)" = 1/x	(arctg x)" = 1/v (1+x2)
		(arcctg x)" = -1 / v (1+ x 2)

2. A származék geometriai jelentése

2-1. Görbe érintő

Legyen egy görbénk és egy fix pontunk az M és egy pont N. Az M pont érintője egy egyenes, amelynek pozícióját hajlamos az MN húr elfoglalni, ha az N pontot a görbe mentén korlátlanul közelítjük M felé.

Tekintsük az f(x) függvényt és a függvénynek megfelelő y = f(x) görbét. Valamely x érték esetén a függvény értéke y = f(x). A görbén ezek az értékek az M(x 0 , y 0) pontnak felelnek meg. Vezessünk be egy új x 0 + ?x argumentumot, melynek értéke megfelel az y 0 + ?y = f(x 0 + ?x) függvény értékének. A megfelelő pont N(x 0 + ?x, y 0 + ?y). Rajzolj egy szekáns MN-t és jelöld? az Ox tengely pozitív irányával bezárt szög. Az ábráról látható, hogy ?y / ?x = tg ?. Ha most x megközelíti a 0-t, akkor az N pont a görbe mentén mozog, az MN szekáns az M pont körül forog, és a szög? - változás. Ha x > 0 a szög? valami ?-ra hajlik, akkor az M-en átmenő és az abszcissza tengelyének pozitív irányával ? szöget bezáró egyenes lesz a kívánt érintő. Ugyanakkor a lejtési együtthatója:

Vagyis az f "(x) derivált értéke az x argumentum adott értékéhez egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet az Ox tengely pozitív irányával az f (x) függvény grafikonjának érintője az M (x, f (x) pontban) alkot.

A térvonal érintőjének definíciója hasonló a síkgörbe érintőjéhez. Ebben az esetben, ha a függvényt a z = f(x, y) egyenlet adja meg, az OX és OY tengelyeken lévő meredekségek egyenlőek lesznek f parciális deriváltjaival x és y vonatkozásában.

2-2. A felület érintő síkja

A felület érintősíkja az M pontban az a sík, amely tartalmazza a felület minden térbeli görbéjének érintőit, amelyek M-en - az érintkezési ponton - haladnak át.
Vegyük az F(x, y, z) = 0 egyenlet által adott felületet és rajta valamilyen közönséges M(x 0, y 0, z 0) pontot. Tekintsünk a felületen valamilyen M-en átmenő L görbét. Adják meg a görbét az egyenletek
x = a(t); y = a(t); z = ?(t).
Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a felület egyenletébe. Az egyenlet azonossággá válik, mivel a görbe teljes egészében a felszínen fekszik. A differenciál alakjának invariancia tulajdonságát felhasználva megkülönböztetjük a kapott egyenletet t vonatkozásában:

Az L görbe érintőjének egyenlete az M pontban a következő:

Mivel az x - x 0, y - y 0, z - z 0 különbségek arányosak a megfelelő differenciálokkal, a sík végső egyenlete így néz ki:
F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0) + F" z (z - z 0)=0
és az adott esetben z = f(x, y):
Z - z 0 \u003d F "x (x - x 0) + F" y (y - y 0)
Példa: Határozzuk meg az érintősík egyenletét a hiperbolikus paraboloid (2a; a; 1,5a) pontjában

Megoldás:
Z" x \u003d x / a \u003d 2; Z" y \u003d -y / a \u003d -1
A kívánt sík egyenlete:
Z - 1,5a = 2 (x - 2a) - (Y - a) vagy Z = 2x - y - 1,5a

3. A derivált használata a fizikában

3-1. Anyagpont sebesség

Legyen az s út függése a t időtől egy anyagi pont adott egyenes vonalú mozgásában az s = f(t) egyenlettel, és t 0 az idő valamely pillanata. Tekintsünk egy másik t időpontot, jelöljük?t = t - t 0, és számítsuk ki az útnövekményt: ?s = f(t 0 + ?t) - f(t 0). Az s /?t arányt a kezdeti t 0 pillanattól eltelt idő átlagos mozgási sebességének nevezzük. A sebességet nevezzük ennek az aránynak a határértékének, amikor? t\u003e 0.

Az egyenetlen mozgás átlagos gyorsulása az intervallumban (t; t + ?t) az érték =?v / ?t. Egy anyagi pont pillanatnyi gyorsulása t időpontban lesz az átlagos gyorsulás határa:

Azaz az első derivált (v "(t)).

Példa: A test által megtett út időtől való függését az s \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3 egyenlet adja meg (C \u003d 0,1 m / s, D \u003d 0,03 m / s 2). Határozza meg a mozgás megkezdése utáni időt, amely után a test gyorsulása 2 m / s 2 lesz.

Megoldás:
v(t) = s "(t) = B + 2Ct + 3Dt 2; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
1,8 = 0,18 t; t = 10 s

3-2. Egy anyag hőkapacitása adott hőmérsékleten

Különböző T hőmérsékletek növelése ugyanazzal az értékkel, amely egyenlő T 1 - T értékkel, 1 kg-onként. adott anyagnak más hőmennyiségre van szüksége Q 1 - Q, és az arány

mert ez az anyag nem állandó. Így egy adott anyagra a Q hőmennyiség a T hőmérséklet nemlineáris függvénye: Q = f(T). Ekkor?Q = f(t + ?T) - f(T). Hozzáállás

a szakaszon lévő átlagos hőkapacitásnak nevezzük, és ennek a kifejezésnek a határát T > 0-nál az adott anyag hőkapacitásának nevezzük T hőmérsékleten.

3-3. Erő

Egy test mechanikai mozgásában bekövetkező változást más testekből rá ható erők okozzák. A kölcsönható testek közötti energiacsere folyamatának kvantitatív jellemzése érdekében a mechanikában bevezetik az erő munkájának fogalmát. A munkavégzés ütemének jellemzésére bevezetjük a hatalom fogalmát:

4. Differenciálszámítás a közgazdaságtanban

4-1. Funkciókutatás

A differenciálszámítás egy matematikai eszköz, amelyet széles körben használnak gazdasági elemzésre. A közgazdasági elemzés alapvető feladata a függvényként felírt közgazdasági mennyiségek összefüggéseinek vizsgálata. Milyen irányba változik az állam bevétele, ha emelik az adókat vagy ha bevezetik az importvámokat? Növekszik vagy csökken-e a cég bevétele, ha termékeinek ára nő? Milyen arányban pótolhatják a kiegészítő felszerelések a nyugdíjas munkavállalókat? Az ilyen problémák megoldásához meg kell alkotni a bennük szereplő változók kapcsolódási függvényeit, amelyeket azután a differenciálszámítás módszereivel tanulmányozunk. A közgazdaságtanban gyakran meg kell találni egy mutató legjobb vagy optimális értékét: a legmagasabb munkatermelékenységet, maximális profitot, maximális kibocsátást, minimális költségeket stb. Minden mutató egy vagy több érv függvénye. Így a mutató optimális értékének megtalálása a függvény szélsőértékének megtalálására redukálódik.
Fermat tétele szerint, ha egy pont egy függvény szélsőpontja, akkor a derivált vagy nem létezik benne, vagy egyenlő 0-val. A szélsőség típusát a szélsőértékre vonatkozó elegendő feltétel valamelyikével határozhatjuk meg:
1) Legyen az f(x) függvény az x 0 pont valamely környezetében differenciálható. Ha az f "(x) derivált az x 0 ponton való áthaladáskor előjelet vált +-ról --ra, akkor x 0 a maximális pont, ha -ból +-ra, akkor x 0 a minimumpont, ha nem változtat előjelet, akkor ezen a ponton nincs szélsőség.
2) Legyen az f (x) függvény kétszer differenciálható az x 0 pont valamelyik környezetében, és f "(x 0) \u003d 0, f "" (x 0) ? 0, akkor az x 0 pontban az f (x 0) függvénynek van maximuma, ha f "" (x 0)< 0 и минимум, если f ""(x 0) > 0.
Ezenkívül a második derivált a függvény konvexitását jellemzi (a függvény grafikonját konvexnek nevezzük fel [le] az (a, b) intervallumon, ha ezen az intervallumon nem magasabban [nem alacsonyabban] található, mint bármelyik érintője).

Példa: válassza ki a vállalat optimális termelési volumenét, amelynek profitfüggvénye a függéssel modellezhető:
?(q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10
Megoldás:
?"(q) = R"(q) - C"(q) = 2q - 8 = 0 > q extr = 4
A q< q extr = 4 >?" (q)< 0 и прибыль убывает
q > q esetén extr = 4 > ?(q) > 0 és a profit nő
Ha q = 4, a nyereség a minimális értéket veszi fel.
Mi az optimális teljesítmény a cég számára? Ha a vállalat a vizsgált időszakban 8 egységnél többet nem tud előállítani (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), akkor az optimális megoldás az lenne, ha semmit sem termelne, hanem a helyiségek és/vagy berendezések bérbeadásából kapna bevételt. Ha a cég 8 egységnél többet tud előállítani, akkor a cég számára az lesz az optimális, ha a termelési kapacitása határán termel.

4-2. A kereslet rugalmassága

Az f (x) függvény rugalmasságát az x 0 pontban határértéknek nevezzük

A kereslet a vevő által keresett áru mennyisége. A kereslet árrugalmassága E D annak mértéke, hogy a kereslet hogyan reagál az árváltozásokra. Ha ¦E D ¦>1, akkor a keresletet rugalmasnak nevezzük, ha ¦E D ¦<1, то неэластичным. В случае E D =0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

4-3. Limit elemzés

A közgazdaságtanban alkalmazott differenciálszámítás módszereinek fontos része a határértékelemzés módszerei, vagyis a költségek vagy eredmények változó értékeinek tanulmányozására szolgáló módszerek a termelés, a fogyasztás stb. változásaival, ezek határértékeinek elemzése alapján. Egy függvény korlátozó mutatója(i) a deriváltja (egy változó függvénye esetén) vagy parciális deriváltjai (több változó függvénye esetén)
A közgazdaságtanban gyakran használnak átlagokat: átlagos munkatermelékenység, átlagos költségek, átlagjövedelem, átlagos nyereség stb. De gyakran meg kell találni, hogy mennyivel nő az eredmény, ha a költségeket növelik, vagy fordítva, mennyivel csökken az eredmény, ha csökkentik a költségeket. Átlagértékek segítségével erre a kérdésre nem lehet válaszolni. Ilyen problémáknál meg kell határozni az eredmény és a költségek növekedésének arányának határát, vagyis a határhatást. Ezért ezek megoldásához a differenciálszámítás módszereit kell alkalmazni.

5. Derivált közelítő számításokban
stb.................

A prezentáció leírása egyes diákon:

1 csúszda

A dia leírása:

Óra témája: A származék alkalmazása különböző tudásterületeken Matematika tanár MBOU "74. számú iskola" Zagumennova Marina Vladimirovna

2 csúszda

A dia leírása:

Az óra célja: Ismerje meg a származékok főbb alkalmazási területeit a tudomány és a technológia különböző területein; Gondolja át a gyakorlati problémák megoldására vonatkozó példákon keresztül, hogyan használják a származékot a kémiában, a fizikában, a biológiában, a földrajzban és a közgazdaságtanban.

3 csúszda

A dia leírása:

"Nincs egyetlen olyan területe a matematikának, bármilyen elvont is legyen, amely egy nap ne lenne alkalmazható a való világ jelenségeire." N.I. Lobacsevszkij

4 csúszda

A dia leírása:

Differenciálási szabályok Összeg deriváltja konstans tényezőről Termék származéka Tört deriváltja Komplex függvény deriváltja

5 csúszda

A dia leírása:

Származék a fizikában Feladat. Az autó mozgását fékezés közben az s(t) = 30t - 5t2 képlet írja le, (s a féktávolság méterben, t a fékezés kezdetétől az autó teljes megállásáig eltelt idő másodpercben). Határozza meg, hány másodpercig van mozgásban az autó a fékezés pillanatától a teljes megállásig. Mekkora távolságot tesz meg az autó a fékezés kezdetétől a teljes megállásig? Megoldás: Mivel a sebesség az időbeli mozgás első deriváltja, akkor v = S'(t) = 30 - 10t, mert fékezéskor a sebesség nulla, ekkor 0=30–10t; 10t=30; t=3 (s). Féktávolság S(t) = 30t - 5t2 = 30∙3-5∙32 = 90-45 = 45(m). Válasz: lassulási idő 3s, fékút 45m.

6 csúszda

A dia leírása:

Ez érdekes gőzhajó "Chelyuskin" 1934 februárjában sikeresen áthaladt a teljes északi tengeri útvonalon, de a Bering-szorosban a jég csapdájába esett. A jég észak felé vitte a Cseljuskint és összezúzta. Íme a katasztrófa leírása: „A hajótest erős fémje nem adta meg azonnal” – jelentette a rádióban az expedíció vezetője, O.Yu. Schmidt. - Látható volt, ahogy a jégtáblát oldalba nyomták, és a felette lévő burkolatok hogyan domborodnak ki, kifelé hajlottak. A jég folytatta lassú, de ellenállhatatlan előretörését. A hajótest burkolatának megduzzadt vaslemezei a varrásnál elszakadtak. A szegecsek ropogva repültek. Egy pillanat alatt leszakadt a hajó bal oldala az orrtértől a fedélzet hátsó végéhez... „Miért történt a katasztrófa?

7 csúszda

A dia leírása:

A jégnyomás Р ereje két részre oszlik: F és R. R merőleges a táblára, F érintőlegesen irányul. P és R közötti szög - α - az oldal szöge a függőlegeshez képest. Q a jég súrlódási ereje a táblával szemben. Q = 0,2 R (0,2 a súrlódási tényező). Ha Q< F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q >F, akkor a súrlódás megakadályozza, hogy a jégtábla elcsússzon, és a jég összezúzhatja és meglökheti a deszkát. 0,2R< R tgα , tgα >0,2; K< F, если α >1100. A hajó oldalainak függőlegeshez viszonyított dőlése α > 1100 szögben biztosítja a biztonságos hajózást jégen.

8 csúszda

A dia leírása:

Származék a kémiában A kémiában egy származékot használnak a kémiai reakció sebességének meghatározására. Ez szükséges: folyamatmérnökök a vegyszergyártás hatékonyságának meghatározásában, vegyészek, akik gyógyszert fejlesztenek az orvostudomány és a mezőgazdaság számára, valamint az orvosok és agronómusok, akik ezeket a szereket emberek kezelésére és talajba juttatására használják. Az orvosi, mezőgazdasági és vegyipari termelési problémák megoldásához egyszerűen ismerni kell a vegyi anyagok reakciósebességét.

9 csúszda

A dia leírása:

Kémiai feladat Adja meg a kémiai reakcióba lépett anyag mennyiségét a függőség: р(t) = t2/2 + 3t –3 (mol). Határozza meg a kémiai reakció sebességét 3 másodperc után. Hivatkozás: A kémiai reakció sebessége a reagensek koncentrációjának egységnyi idő alatti változása vagy a reagensek koncentrációjának időbeli deriváltja (a matematika nyelvén a koncentráció függvény lenne, az idő pedig argumentum)

10 csúszda

A dia leírása:

Megoldásfogalom a kémia nyelvén Jelölés Fogalom a matematika nyelvén Anyag mennyisége egy időben t0 p = p(t0) Funkció Időintervallum ∆t = t – t0 Argumentum növekmény Anyag mennyiségének változása ∆p = p(t0+ ∆t) – p(t0) Függvény kémiai reakciónövekmény/növekmény/p(t0) növekmény V (t) = p‘(t)

11 csúszda

A dia leírása:

Származék a biológiában Biológiai probléma: Az x(t) populációméret ismert függése alapján határozza meg a relatív növekedést a t időpontban. Hivatkozás: A populáció egy adott faj egyedeinek gyűjteménye, amelyek a faj elterjedési területén belül egy adott területet foglalnak el, egymással szabadon kereszteződnek és részben vagy teljesen el vannak zárva más populációktól, és egyben az evolúció elemi egysége is.

12 csúszda

A dia leírása:

Megoldás Fogalom a biológia nyelvén Megnevezés Fogalom a matematika nyelvén Populáció a t időpontban x = x(t) Funkció Időintervallum ∆t = t – t0 Az argumentum növekménye A populáció méretének változása ∆x = x(t) – x(t0) Függvénynövekedés A populáció méretében bekövetkező változás mértéke ∆x/∆növekmény adott argumentum momentum növekedése. lim∆x/∆t ∆t → 0 Derivált P \u003d x "(t)

13 csúszda

A dia leírása:

14 csúszda

A dia leírása:

Származék a földrajzban A derivált segít a kiszámításban: Néhány érték a szeizmográfiában A Föld elektromágneses mezőjének jellemzői A nukleáris geofizikai mutatók radioaktivitása Sok érték a gazdaságföldrajzban Vezess le egy képletet a területen lévő népesség kiszámításához t időpontban.

15 csúszda

A dia leírása:

Földrajzi feladat Levezethet egy képletet a lakosság számának kiszámítására korlátozott területen t időpontban.

16 csúszda

A dia leírása:

Megoldás Legyen y=y(t) a sokaság. Tekintsük a népességnövekedést ∆t = t – t0 ∆у = k∙y∙∆t esetén, ahol k = kр – kс a népességnövekedési ráta, (kр a születési ráta, kс a halálozási arány). ∆у/∆t = k∙y mint ∆t → 0 kapjuk lim ∆у/∆t = у’. Népességnövekedés - y’ = k∙y. ∆t → 0 Következtetés: a földrajzi származékot számos ágával (szeizmográfia, elhelyezkedés és népesség), valamint a gazdaságföldrajzzal kombinálják. Mindez lehetővé teszi a világ népességének és országainak fejlődésének teljesebb tanulmányozását.

17 csúszda

A dia leírása:

Származék a közgazdaságtanban A derivatíva fontos kérdéseket old meg: Milyen irányba változik a kormány jövedelme az adóemeléssel vagy a vámok bevezetésével? Növekszik vagy csökken-e a cég bevétele, ha termékeinek ára nő? E kérdések megoldásához szükséges a bemeneti változók kapcsolódási függvényeinek megalkotása, amelyeket ezután differenciálszámítás módszerével vizsgálunk. Emellett a gazdaságban egy függvény extrémumát használva megtalálhatjuk a legmagasabb munkatermelékenységet, maximális profitot, maximális kibocsátást és minimális költségeket.

18 csúszda

A dia leírása:

1. számú közgazdasági probléma (termelési költségek) Legyen y termelési költségek, x pedig a termelés mennyisége, akkor x1 a termelés növekedése, y1 pedig a termelési költségek növekedése.

19 csúszda

A dia leírása:

20 csúszda

Projekttevékenység matematika órán

Projekt témája: A derivált alkalmazása

Tagok: Az "SKSiS" Állami Oktatási Intézmény 1. éves hallgatói

Alapvető kérdés : Hogyan mérjük a sebességet?

Problémás kérdések

Ki dolgozott a „differenciálás” kérdésén?

Hogyan használják a derivált egy függvény tanulmányozásában?

Hogyan segít a származék a biológusoknak, vegyészeknek?

Milyen fizikális problémákat oldunk meg derivált segítségével?

Hogyan használják a származékot a közgazdaságtanban?

Mi a kapcsolat a származék és a földrajz között?

Cél: A származékok felhasználásának tanulmányozása az elemzés, a fizika, a közgazdaságtan, a biológia, a kémia és a földrajz témakörében; ismeretek elmélyítése, bővítése a "Származék" témában.

Feladatok:

Keressen információkat a származék keletkezésének történetéről, tanulmányozza és rendszerezze.

Monotonitás, szélsőség, konvexitás-konkavitás függvények vizsgálata derivált segítségével.

Feladatok kiválasztása a biológia különböző ágaiból, melyeket a derivált segítségével oldunk meg

Tudja meg, milyen folyamatokat szabályoz a származék a földrajzban. Tekintsünk olyan földrajzi feladatokat, amelyeket a derivált segítségével oldanak meg

Válassza ki a fizika különböző szakaszaiból a derivált segítségével megoldott feladatokat.

Válassza ki a derivált segítségével megoldott gazdasági problémákat.

Fontolja meg a derivált számítási szabályainak alkalmazását a gazdasági tartalmú gyakorlati problémák megoldására.

"Figyelmeztetlek, hogy óvakodj a dx eldobásától – ez egy olyan hiba, amit gyakran elkövetnek, és akadályozza a fejlődést."

G. W. Leibniz

A derivált problémák megoldására való használata megköveteli a tanulóktól, hogy a kereteken kívül gondolkodjanak. Megjegyzendő, hogy a problémamegoldás nem szabványos módszereinek és technikáinak ismerete hozzájárul az új, nem szabványos gondolkodásmód kialakulásához, amely az emberi tevékenység más területein (közgazdaságtan, fizika, kémia, biológia stb.) is sikeresen alkalmazható. Ez bizonyítja a munka relevanciáját. A projekten végzett munka során szükségszerűen megfigyelik a tanulói tevékenység bizonyos szakaszait. Mindegyik hozzájárul a személyes tulajdonságok kialakulásához.

Előkészületi szakasz

Ebben a szakaszban a diákok és én elmerülünk a projektben: a tevékenység motivált, a téma, a probléma és a célok meghatározásra kerülnek. A projekt témájának nemcsak közelinek és érdekesnek kell lennie, hanem elérhetőnek is kell lennie a hallgató számára. A projektnek ez a szakasza időbelileg a legrövidebb, de nagyon fontos a várt eredmények eléréséhez.A bevezető előadás bemutatója során beszélgetést tartanak; a témában meglévő ismeretek aktualizálása, a projekt általános tervének megvitatása, a projekt tervezési munkája. Az információkeresés irányának meghatározása különböző forrásokban.

A „Derivátum” téma a matematikai elemzés egyik legfontosabb része, mivel ez a fogalom a fő a differenciálszámításban, és kiindulási alapként szolgál az integrálszámítás felépítéséhez. De gyakran a diákok, akik először szembesülnek ezzel a fogalommal, nem értik, miért van szükség ennek tanulmányozására. Nem látják ennek a témának a gyakorlati alkalmazását. Ezért ennek a „Származék alkalmazása” projektnek az a célja, hogy a hallgatók megtudják, miért van szükség a származékos tanulmányozásra, ahol a származékkal kapcsolatos ismereteket az életben, valamint más tantárgyakban hasznosíthatják.

A tevékenységek tervezésének és megszervezésének szakasza.

Ebben a szakaszban tevékenységi területek szerint határozzuk meg a csoportokat, kiemeljük az egyes csoportok céljait és célkitűzéseit. A csoport kiválasztásához javasolt témák:

1. csoport – „A differenciálszámítás történeti információi”;

2. csoport – "A származék geometriai jelentése"

4. csoport - "A derivált alkalmazása fizikai problémák megoldásában";

3. csoport – „A legjobb megoldás megtalálása alkalmazott, beleértve a társadalmi-gazdasági feladatokat”

4. csoport – "A származék alkalmazása a kémiában és a biológiában"

5. csoport – "A származék használata földrajzi tartalmú problémák megoldásában."

A csoportba különböző tanulási képességű tanulók kerültek. Minden csoport azt a feladatot kapta, hogy elemezze a választott témát, tájékozódjon. A csoportok munkáját megtervezik: a feladatok elosztása a tanulók között, az információforrások meghatározása, az információgyűjtés és -elemzés módjai, a tevékenységek eredményeinek bemutatásának módjai (esetünkben prezentációk, füzetek.).

Keresési szakasz.

Ebben a szakaszban folyik az információkeresés és -gyűjtés a választott témában, a köztes feladatok megoldása. Az összegyűjtött anyag elemzése, általánosítása. Az eredmények írásos bemutatása és közbenső ellenőrzés a tanár által, a kapott eredményekről. Konzultációkat tartottak a PowerPoint, Publisher, Word programokról azoknak a hallgatóknak, akiknek a gyakorlati munkában problémái voltak az eredmények formalizálásával. Következtetések megfogalmazása.

Az eredmények bemutatásának szakasza, jelentés.

A prezentációs szakasz a munka befejezéséhez, az elvégzett elemzéshez, önértékeléshez és kívülről történő értékeléshez, az eredmények bemutatásához szükséges. Az eredmények bemutatásának formája projektünkben: szóbeli beszámoló anyagbemutatóval, prezentáció, füzet, absztrakt formájában.

Eredmények értékelése, reflexió

A projekten végzett munka egyik utolsó szakasza az eredmények értékelése, átgondolása. A projekt megvédése tanórán vagy körórán történik.

A mellékletek a projekttevékenység részeként készült hallgatói munkákat tartalmazzák prezentáció és füzet formájában.

A hallgatók projektben végzett munkájának értékelésekor figyelembe veszik a tartalmat (a téma teljes körű feltárása, a téma szempontjainak bemutatása, a probléma megoldási stratégiájának bemutatása, az információk bemutatásának logikája, a különféle erőforrások felhasználása), a csoport önálló munkavégzésének mértékét (csoportos munkavégzés, a csoportban betöltött szerepek megoszlása, a szerző eredetisége), a megfelelő termékszótár, a szótár, a szótár, ), védelem (a riport minősége, a témával kapcsolatos ismeretek mennyisége és mélysége, a beszédkultúra, a hallgatósághoz való ragaszkodás módja, a kérdések megválaszolása).