Korábban a polinom fogalmát a monomok algebrai összegeként határozták meg. Ha egy polinom összes hasonló monomiját megadjuk és a változó mértéke szerint csökkenő sorrendbe rendezzük, akkor a kapott rekordot ún. kanonikus jelölés polinom.

Meghatározás. A forma kifejezése

Ahol x– néhány változót, valós számokat, és , hívják fokszámú polinom n változótól x . Fokozat egy polinom a kanonikus jelölésében szereplő változó legnagyobb hatványa. Ha a változó nem szerepel a polinom jelölésében, pl. a polinom egyenlő egy konstanssal, fokát 0-nak tekintjük. Azt az esetet, amikor a polinomot külön kell figyelembe venni. Ebben az esetben általánosan elfogadott, hogy mértéke nincs meghatározva.

Példák. másodfokú polinom,

ötödik fokú polinom.

Meghatározás. Két polinom egyenlő akkor és csak akkor, ha kanonikus formáikban ugyanazok az együtthatók azonos hatványokon.

Meghatározás. A számot hívják a polinom gyöke, ha a szám helyett x A polinom 0 értéket vesz fel, azaz. Más szóval, ez lesz az egyenlet gyökere

Így a polinom összes gyökerének és a racionális egyenlet gyökének megtalálásának problémája egy és ugyanaz a probléma.

Az első és második fokú racionális egyenleteket ismert algoritmusok segítségével oldjuk meg. A harmad- és negyedfokú polinomok gyökeinek megkeresésére is léteznek képletek (Cardano és Ferrari képletek), de ezek nehézkességük miatt nem szerepelnek az elemi matematika tárgykörében.

A magasabb fokú polinomok gyökeinek megtalálásának általános ötlete az, hogy a polinomot beszámítjuk, és az egyenletet egy ekvivalens, alacsonyabb fokú egyenlethalmazra cseréljük.

Az előző témákban a polinomok faktorálásának főbb módjaira került sor: közös tényező felvétele; csoportosítás; rövidített szorzóképletek.

A csoportosítási módszer azonban nem algoritmikus jellegű, ezért nehéz nagyfokú polinomokra alkalmazni. Nézzünk meg néhány további tételt és módszert, amelyek lehetővé teszik a magasabb fokú polinomok faktorizálását.

Tétel a maradékkal való osztásról. Legyenek adottak a polinomok, amelyek foka különbözik 0-tól, és a fokszám nagyobb, mint a fok. Ekkor léteznek olyan polinomok, amelyek az egyenlőség

Ezenkívül a foknál kisebb fokot polinomnak nevezzük osztható, polinom osztó, polinom hiányos privát, és a polinom a maradék .

Ha az osztás maradéka 0, akkor ezt mondjuk megoszt tovább teljesen, és az egyenlőség a következő formában jelenik meg:

A polinom polinommal való osztásának algoritmusa hasonló ahhoz az algoritmushoz, amely egy számot egy oszlop vagy sarok számmal oszt el. Ismertesse az algoritmus lépéseit.

Írjuk fel egy sorra az osztalékot, beleértve a változó összes hatványát (a hiányzókat írjuk 0 együtthatóval).

Írja be a „sarokba” az osztalékot, beleértve a változó összes hatványát.

Ahhoz, hogy megtaláljuk az első tagot (monomiálist) egy hiányos hányadosban, el kell osztani az osztalék vezető monomiját az osztó vezető monomijával.

A hányados így kapott első tagját szorozzuk meg a teljes osztóval, és írjuk az eredményt az osztó alá, és írjuk egymás alá a változó azonos hatványait.

Vonja le az eredményül kapott terméket az osztalékból.

Alkalmazza az algoritmust a kapott maradékra, az 1) ponttól kezdve.

Az algoritmus akkor fejeződik be, ha a kapott különbség egy fokkal kisebb, mint az osztó foka. Ez a maradék.

Példa. Ossza el a polinomot -vel.

Írja fel az osztalékot és az osztót

Ismételje meg az eljárást

A fok kisebb, mint az osztó foka. Tehát ez a maradék. Az osztás eredménye így lesz írva:

Horner séma. Ha az osztó egy elsőfokú polinom, akkor az osztási eljárás egyszerűsíthető. Tekintsük a polinom binomimmal való osztásának algoritmusát.

Példa. Osszuk el a polinomot Horner sémájával. Ebben az esetben A=2. Írjuk le lépésről lépésre az algoritmus végrehajtásának eredményeit.

Első lépés. Második lépés Harmadik lépés Negyedik lépés

Így az osztás eredményét a következőképpen írjuk

Megjegyzés. Ha binomimmal kell osztani

Ezután az űrlapra konvertálódik. Ebből világos, hogy a Horner-féle séma szerint osztva megkapjuk a kívánt hányadost, ha elosztjuk a talált értékkel A. A többi ugyanaz marad.

Bezout tétele. A maradék egy polinom osztásakor egyenlő a polinom pontbeli értékével x = A, azaz . Egy polinom akkor és csak akkor osztható maradék nélkül x = A a polinom gyöke.

Így, miután megtaláltuk a polinom egyik gyökerét A , szorozhatja úgy, hogy kiválasztja azt a tényezőt, amelynek a fokánál eggyel kisebb a fok. Ezt a tényezőt vagy Horner sémájával, vagy sarokkal osztva találhatjuk meg.

A gyök megtalálásának kérdését vagy kiválasztással, vagy a polinom racionális gyökeire vonatkozó tétel használatával oldjuk meg.

Tétel. Legyen a polinom egész együtthatói vannak. Ha egy irreducibilis tört egy polinom gyöke, akkor a számlálója p a szabad tag osztója, és a nevező q a vezető együttható osztója.

Ez a tétel alapszik algoritmus a racionális gyökerek megtalálására polinom (ha van).

Egy algebrai tört felbontása egyszerű törtek összegére

Meghatározás Azt a törtet, amelynek a számlálója és a nevezője polinomokat tartalmaz, nevezzük algebrai tört .

Tekintsük egy változó algebrai törtjeit. Általános formában a következőképpen írhatók fel: , ahol a számláló egy fokszámú polinomot tartalmaz n, a nevező fokszámú polinom k. Ha , akkor a tört meghívásra kerül helyes .

NAK NEK egyszerű algebrai törtek A megfelelő törteknek két típusa van:

Tétel. Bármely algebrai tört ábrázolható a legegyszerűbb algebrai törtek összegeként.

Algoritmus egy algebrai tört egyszerű törtek összegére bontására.

Tényező a nevezőt.

Határozza meg a megfelelő törtek számát és nevezőik típusát!

Írjon fel egy egyenlőséget, melynek bal oldalára az eredeti tört, jobbra a legegyszerűbb, meghatározatlan együtthatójú törtek összege van.

Csökkentse a jobb oldali törteket közös nevezőre.

Tegye egyenlővé a törtek számlálóiban lévő polinomokat! A polinomok egyenlőségének definícióját felhasználva alkosson lineáris egyenletrendszert, és oldja meg a meghatározatlan együtthatók megkeresésével.

Legyen egy ax + b = 0 alakú egyszerű binomiális. Megoldása nem nehéz. Csak az ismeretlent kell áthelyezni az egyik oldalra, és az együtthatókat a másik oldalra. Ennek eredményeként x = - b/a. A vizsgált egyenlet bonyolultabbá tehető az ax2 + bx + c = 0 négyzet összeadásával. A diszkrimináns megtalálásával megoldható. Ha nagyobb, mint nulla, akkor két megoldás lesz, ha egyenlő nullával, akkor csak egy gyök van, és ha kisebb, akkor nincs megoldás.

A következő egyenlettípus tartalmazza a harmadik hatványt ax3 + bx2 + c + d = 0. Ez az egyenlőség sokak számára nehézséget okoz. Bár többféle megoldás létezik egy ilyen egyenlet megoldására, például a Cordan-képlet, ezek már nem használhatók ötödik és magasabb rendű hatványokhoz. Ezért a matematikusok egy univerzális módszerre gondoltak, amellyel bármilyen bonyolultságú egyenletet ki lehet számítani.



Az iskolában általában a csoportosítási és elemzési módszer alkalmazását javasolják, amelyben egy polinom legalább két faktorba beszámítható. Köbös egyenlethez a következőt írhatja: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Akkor használja azt a tényt, hogy a szorzat csak akkor lesz egyenlő nullával, ha a lineáris binomiális vagy másodfokú egyenlet megegyezik vele. Ezután a standard oldatot végezzük. A probléma az ilyen típusú redukált egyenlőségek kiszámításakor az x0 keresése során merül fel. Ebben segít Horner rendszere.

A Horner által javasolt algoritmust valójában korábban Paolo Ruffini olasz matematikus és orvos fedezte fel. Ő volt az első, aki bebizonyította, hogy az ötödik fokú kifejezésekben lehetetlen radikálist találni. Munkája azonban sok ellentmondást tartalmazott, amelyek nem engedték, hogy a tudósok matematikai világa elfogadja. Munkái alapján 1819-ben a brit William George Horner kiadott egy módszert a polinom gyökereinek megközelítő megkeresésére. Ezt a munkát a Royal Scientific Society adta ki, és Ruffini-Horner módszernek nevezték el.

Ezt követően a skót Augustus de Morgan kibővítette a módszer alkalmazási lehetőségeit. A módszer alkalmazást talált a halmazelméleti összefüggésekben és a valószínűségszámításban. Lényegében a séma egy algoritmus a P (x) rekord x-c kapcsolatának hányadosának és maradékának kiszámítására.

A módszer elve

A diákok először a középiskolai algebra órákon ismerkednek meg a Horner-séma segítségével a gyökérkeresés módszerével. Ezt egy harmadfokú egyenlet megoldásának példáján keresztül magyarázzuk: x3 + 6x - x - 30 = 0. Ezenkívül a problémafelvetés kimondja, hogy ennek az egyenletnek a gyökere a kettes szám. A kihívás más gyökerek azonosítása.

Ez általában a következőképpen történik. Ha egy p (x) polinomnak x0 gyöke van, akkor p (x) az x mínusz x nulla különbség szorzataként reprezentálható valamilyen másik q (x) polinomdal, amelynek foka eggyel kisebb lesz. A szükséges polinomot általában osztással izoláljuk. A vizsgált példában az egyenlet így fog kinézni: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Jobb, ha a felosztást egy „sarok” segítségével végezzük. Az eredményül kapott kifejezés: x 2 + 8x + 15.

Így a kívánt kifejezés átírható a következőre: (x - 2)* (x 2 + 8x + 15) = 0. Ezután a megoldás megtalálásához a következőket kell tennie:

• Keresse meg az egyenlőség első tagjában a gyököket, egyenlővé téve azt nullával: x - 2 = 0. Ebből következik, hogy x = 2, ami a feltételből is következik.
• Oldjon meg egy másodfokú egyenletet úgy, hogy a polinom második tagját nullával egyenlővé teszi: x 2 + 8x + 15 = 0. A gyököket a diszkrimináns vagy Vieta képletekkel találhatja meg. Tehát felírhatjuk, hogy (x+3) * (x+5) = 0, azaz x egy három, x kettő pedig mínusz öt.



Mindhárom gyökeret megtalálták. De itt felmerül egy ésszerű kérdés: hol található a példában használt Horner-séma? Tehát mindez a nehézkes számítás helyettesíthető egy nagysebességű megoldási algoritmussal. Egyszerű műveletekből áll. Először rajzolnia kell egy több oszlopot és sort tartalmazó táblázatot. A kezdeti sor második oszlopából kiindulva írja be az együtthatókat az eredeti polinom egyenletébe. Az első oszlopba azt a számot írják, amellyel az osztást végrehajtják, vagyis a megoldás potenciális tagjait (x0).

Miután a kiválasztott x0 beírásra került a táblázatba, a kitöltés a következő elv szerint történik:

• az első oszlop egyszerűen azt tartalmazza, ami a második oszlop felső elemében található;
• a következő szám megtalálásához meg kell szorozni az eltávolított számot a kiválasztott x0-val, és hozzá kell adni az állandó számot a felül kitöltendő oszlopban;
• hasonló műveleteket hajtanak végre mindaddig, amíg az összes cella teljesen meg nem töltődik;
• az utolsó oszlop nullával egyenlő sorai lesznek a kívánt megoldás.

A szóban forgó példában, amikor kettőt helyettesítünk, a sor a következő sorozatokból áll: 2, 1, 8, 15, 0. Így az összes kifejezés megtalálható. Ebben az esetben a séma a hatványegyenlet bármely sorrendjére működik.

Használati példa



A Horner-diagram használatának megértéséhez egy tipikus példát kell részletesen megfontolni. Legyen szükséges meghatározni a p (x) = x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8 polinom x0 gyökének többszörösét. A feladatokban gyakran szükséges a gyökök nyers erővel történő kiválasztása, de az időmegtakarítás érdekében feltételezzük, hogy ezek már ismertek, és csak ellenőrizni kell őket. Itt meg kell értenie, hogy a séma használatával a számítás még mindig gyorsabb lesz, mint más tételek vagy a redukciós módszer használata.

A megoldási algoritmus szerint először egy táblázatot kell rajzolni. Az első sor a fő együtthatókat jelöli. Nyolc oszlopot kell rajzolnia az egyenlethez. Ezután nézze meg, hogy x0 = 2 hányszor fog beleférni a vizsgált polinomba A második oszlop második sorába egyszerűen adja hozzá az együtthatót. A vizsgált esetben ez egyenlő lesz eggyel. A szomszédos cellában az érték kiszámítása 2 * 1 -5 = -3. A következőben: 2 * (-3) + 7 = 1. A többi cellát is ugyanúgy kitöltjük.

Amint látja, legalább egyszer kettőt elhelyezünk egy polinomban. Most meg kell vizsgálnunk, hogy a kettő-e a kapott legalacsonyabb kifejezés gyökere. Hasonló műveletek végrehajtása után a táblázatban a következő sornak kell lennie: 1, -1, -1. -2, 0. Ez tulajdonképpen egy másodfokú egyenlet, amit szintén ellenőrizni kell. Ennek eredményeként a számított sorozat 1, 1, 1, 0-ból fog állni.

Az utolsó kifejezésben a kettő nem lehet racionális megoldás. Azaz az eredeti polinomban a kettes szám háromszor szerepel, ami azt jelenti, hogy felírhatjuk: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Az a tény, hogy a kettő nem a négyzetes kifejezés gyökere, a következő tényekből érthető meg:

• a szabad együttható nem osztható kettővel;
• mindhárom együttható pozitív, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenségi grafikon kettőtől kezdve nő.



Így a rendszer használata lehetővé teszi, hogy megszabaduljon az összetett számlálók és osztók használatától. Minden művelet az egész számok egyszerű szorzására és a nullák kiemelésére vezethető vissza.

A módszer magyarázata

A Horner-féle séma létezésének megerősítését számos tényező magyarázza. Képzeljük el, hogy van egy harmadfokú polinom: x3 + 5x – 3x + 8. Ebből a kifejezésből az x kivehető a zárójelből: x * (x2 + 5x – 3) + 8. A kapott képletből, x ismét kivehető: x * (x * (x + 5) – 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) – 3) + 8.



Lényegében az eredményül kapott kifejezés kiszámításához behelyettesítheti az x várható értékét az első belső zárójelbe, és az elsőbbség szerint algebrai műveleteket hajthat végre. Valójában ezek mind a Horner-módszerrel végrehajtott műveletek. Ebben az esetben a 8, -3, 5, 1 számok az eredeti polinom együtthatói.

Legyen egy P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0 polinom. Ha ennek a kifejezésnek van egy bizonyos gyöke x = x0, akkor ez azt jelenti, hogy a szóban forgó kifejezés lehet átírva a következőképpen: P (x) = (x-x0) * Q(x). Ez Bezout tételének a következménye. Itt az a fontos, hogy a Q(x) polinom fokszáma eggyel kisebb legyen, mint a P(x) polinom. Ezért felírható kisebb formában is: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. A két konstrukció azonosan egyenlők egymással.

Ez azt jelenti, hogy a vizsgált polinomok összes együtthatója egyenlő, különösen (x0)b) = a0. Ezt felhasználva azt állíthatjuk, hogy bármilyenek legyenek is az a0 és b0 számok, x mindig osztó, vagyis a0 mindig felosztható a polinom gyökeire. Más szóval, keress racionális megoldásokat.

A módszert magyarázó általános eset a következő lenne: an * x n + an-1 * x n-1 + … + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + … + a1 ) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m)+ a0). Vagyis a séma a polinom mértékétől függetlenül működik. Ez univerzális. Ugyanakkor alkalmas hiányos és teljes egyenletekre is. Ez egy olyan eszköz, amely lehetővé teszi az x0 gyökér ellenőrzését. Ha ez nem megoldás, akkor a végén maradó szám lesz a kérdéses polinom osztásának maradéka.

A matematikában a módszer helyes jelölése: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​· 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. Ebben az i értéke nulláról en-re változik, magát a polinomot pedig elosztjuk az x – a binomimmal. A művelet végrehajtása után olyan kifejezést kapunk, amelynek foka eggyel kisebb, mint az eredeti. Más szavakkal, n – 1-ként van definiálva.

Számítás online számológép segítségével

Nagyon kényelmes olyan erőforrásokat használni, amelyek hozzáférést biztosítanak a polinomok magasabb hatványainak gyökereinek számításaihoz. Az ilyen oldalak használatához nincs szükség speciális matematikai vagy programozási ismeretekre. A felhasználónak csak internet-hozzáférésre és egy Java szkripteket támogató böngészőre van szüksége.



Több tucat ilyen oldal van. Néhányan azonban pénzjutalomban részesülhetnek a megoldásért. Bár a legtöbb forrás ingyenes, és nem csak a hatványegyenletek gyökereit számítja ki, hanem megjegyzésekkel ellátott részletes megoldást is ad. Emellett a számológépek oldalain bárki megismerkedhet rövid elméleti anyaggal, és megfontolhatja a változó bonyolultságú példák megoldását. Tehát nem merülhetnek fel kérdések azzal kapcsolatban, hogy honnan jött a válasz.

A Horner-sémát használó online számológépek teljes készletéből a következő három különböztethető meg:

• Controllnaya-worka. A szolgáltatás középiskolásoknak szól, de képességeit tekintve meglehetősen funkcionális. Segítségével nagyon gyorsan ellenőrizheti a gyökerek megfelelőségét.
• Nauchniestati. Az alkalmazás lehetővé teszi a gyökerek meghatározását a Horner módszerrel szó szerint két-három másodperc alatt. Az oldalon minden szükséges elmélet megtalálható. A számítás elvégzéséhez meg kell ismerkednie a közvetlenül a webhelyen feltüntetett matematikai képlet megadásának szabályaival.
• Calc. Ezen az oldalon a felhasználó részletes leírást kaphat a megoldásról táblázatos képpel. Ehhez be kell írnia az egyenletet egy speciális űrlapba, és kattintson a „megoldás” gombra.



A számításokhoz használt programok intuitív felülettel rendelkeznek, és nem tartalmaznak reklámot vagy rosszindulatú kódot. Miután számos számítást elvégzett ezeken az erőforrásokon, a felhasználó önállóan megtanulhatja a gyökerek meghatározását Horner módszerével.

Az online számológépek ugyanakkor nem csak a hallgatók, hanem az összetett számításokat végző mérnökök számára is hasznosak. Végül is a független számítás figyelmet és koncentrációt igényel. Minden kisebb hiba végül helytelen válaszhoz vezet. Ugyanakkor az online számológépekkel történő számítás során nem fordulhat elő hiba.

Az óra céljai:

• tanítsa meg a diákokat magasabb fokú egyenletek megoldására a Horner-séma segítségével;
• fejleszteni a páros munkavégzés képességét;
• a kurzus fő részeivel együtt alapot teremt a tanulók képességeinek fejlesztéséhez;
• segítse a tanulót abban, hogy felmérje lehetőségeit, fejleszthesse a matematika iránti érdeklődését, gondolkodási képességét, és megszólaljon a témában.

Felszerelés: kártyák csoportmunkához, poszter Horner diagramjával.

Oktatási módszer: előadás, mese, magyarázat, gyakorló gyakorlatok elvégzése.

Az ellenőrzés formája:önálló megoldási feladatok ellenőrzése, önálló munkavégzés.

Az órák alatt

1. Szervezési mozzanat

2. A tanulók tudásának frissítése

Melyik tétel teszi lehetővé annak meghatározását, hogy egy szám egy adott egyenlet gyöke-e (tételt fogalmazz meg)?

Bezout tétele. A P(x) polinom x-c binomimmal való osztásának maradéka egyenlő P(c), a c számot a P(x) polinom gyökének nevezzük, ha P(c)=0. A tétel lehetővé teszi, hogy az osztási művelet végrehajtása nélkül meghatározzuk, hogy egy adott szám egy polinom gyöke-e.

Milyen állítások teszik könnyebbé a gyökerek megtalálását?

a) Ha egy polinom vezető együtthatója eggyel egyenlő, akkor a polinom gyökét a szabad tag osztói között kell keresni.

b) Ha egy polinom együtthatóinak összege 0, akkor az egyik gyöke 1.

c) Ha a páros helyeken lévő együtthatók összege egyenlő a páratlan helyeken lévő együtthatók összegével, akkor az egyik gyök egyenlő -1-gyel.

d) Ha minden együttható pozitív, akkor a polinom gyökei negatív számok.

e) A páratlan fokú polinomnak legalább egy valós gyöke van.

3. Új anyag elsajátítása

A teljes algebrai egyenletek megoldásánál meg kell találni a polinomok gyökeinek értékét. Ez a művelet jelentősen leegyszerűsíthető, ha a számításokat egy speciális, Horner-séma nevű algoritmussal végezzük. Ezt az áramkört William George Horner angol tudósról nevezték el. A Horner-séma egy algoritmus a P(x) polinom x-c-vel való osztásának hányadosának és maradékának kiszámítására. Röviden, hogyan működik.

Legyen adott egy tetszőleges P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n polinom. Ha ezt a polinomot elosztjuk x-c-vel, akkor a P(x)=(x-c)g(x) + r(x) formában jelenik meg. Részleges g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, ahol 0-ban =a 0, n-ben =st n-1 +a n n=1,2,3,…n-1. Maradék r(x)= st n-1 +a n. Ezt a számítási módszert Horner-sémának nevezik. Az algoritmus nevében a „séma” szó annak köszönhető, hogy a megvalósítása általában a következőképpen van formázva. Először rajzolja meg a 2. táblázatot (n+2). A bal alsó cellába írja be a c számot, a felső sorba pedig a P(x) polinom együtthatóit. Ebben az esetben a bal felső cella üresen marad.

	0-ban =a 0	1-ben =st 1 +a 1	2-ben = sv 1 + A 2		n-1-ben =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Az a szám, amelyről az algoritmus végrehajtása után kiderül, hogy a jobb alsó cellába íródott, a P(x) polinom x-c-vel való osztásának maradéka. A többi szám 0-ban, 1-ben, 2-ben,... az alsó sorban a hányados együtthatói.

Például: Osszuk el a P(x)= x 3 -2x+3 polinomot x-2-vel.

Azt kapjuk, hogy x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. A tanult anyag konszolidálása

1. példa: Tényezősítse a P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 polinomot egész együtthatós tényezőkké.

Egész gyököket keresünk a szabad tag -1: 1 osztói között; -1. Készítsünk egy táblázatot:

X = -1 – gyök

P(x)= (x+1) (2x3 -9x2 +6x-1)

Ellenőrizzük 1/2.

					X=1/2 - gyökér

Ezért a P(x) polinom alakban ábrázolható

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2. példa: Oldja meg a 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 egyenletet

Mivel az egyenlet bal oldalára írt polinom együtthatóinak összege nulla, akkor az egyik gyöke 1. Használjuk a Horner-sémát:

						X=1 - gyökér

Azt kapjuk, hogy P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). A 2. szabad tag osztói között keresünk gyökereket.

Megtudtuk, hogy nincs több ép gyökér. Ellenőrizzük 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - gyök

Válasz: 1; -1/2.

3. példa: Oldja meg az 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 egyenletet.

Ennek az egyenletnek a gyökereit az 5: 1;-1;5;-5 szabad tag osztói között fogjuk keresni. x=1 az egyenlet gyöke, mivel az együtthatók összege nulla. Használjuk Horner sémáját:

Mutassuk be az egyenletet három tényező szorzataként: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Az 5x 2 -7x+5=0 másodfokú egyenletet megoldva D=49-100=-51-et kaptunk, nincs gyök.

1. kártya

1. Tényező a polinom: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Oldja meg az egyenletet: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. kártya

1. A polinom tényezője: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3. kártya

1. Tényező: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Oldja meg az egyenletet: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4. kártya

1. Tényező: 5x3 -46x2 +79x-14
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Összegzés

Az ismeretek tesztelése a páros megoldásnál a tanórán történik a cselekvési mód és a válasz nevének felismerésével.

Házi feladat:

Oldja meg az egyenleteket:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Irodalom

1. N.Ya. Vilenkin és mtsai, Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (matematika elmélyült tanulmányozása): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Szaharcsuk, L.S. Sagatelova, Magasabb fokú egyenletek megoldása: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Számrendszerek és alkalmazásuk.

A Csuvas Köztársaság Oktatási és Ifjúságpolitikai Minisztériuma

BOU DP(PK)S "Csuvas Oktatási Intézet" Csuvasia Oktatási Minisztériuma

Tanfolyami munka

Választható tárgy « Magasabb fokú egyenletek megoldásának technikái és módszerei"

Matektanár végezte

MBOU "49. számú középiskola mélyreható

az egyes tárgyak tanulása"

Cheboksary

Rumjanceva Julia Izosimovna

Cheboksary

Az óra témája: Polinom gyökerei. Horner-séma

Az óra célja:

megtanítani, hogyan kell megtalálni egy polinom értékét és gyökeit Bezout tételének és Horner-sémájának segítségével;

fejleszteni kell a polinomok gyökereinek megtalálását;

tananyag összefoglalására, rendszerezésére tanítani;

a számítástechnikai készségek, a koncentráció, az önkontroll funkciók fejlesztése;

önigényességet és szorgalmat ápolnak.

Tanterv:

I. Szervezési mozzanat

VI. Önálló munkavégzés

VIII. Házi feladat

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat

Tájékoztassa az óra témáját, fogalmazza meg az óra céljait.

II. A tanulók tudásának frissítése

1. Házi feladat ellenőrzése.

a) Keresse meg a GCD-t ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) az euklideszi algoritmus segítségével (diák főz a táblán).

Megoldás:

GCD ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.

Válasz: x 2 – 1 .

b) Állapítsa meg, hogy a polinom osztható-e! f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 on (x – 1), (x + 1), (x – 2) (elölről ellenőrizve).

Megoldás. Bezout tétele szerint, ha f(1) = 0, Azt f(x) osztva (x – 1). Nézzük meg.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) nem osztható (x – 1-gyel);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) osztva (x – 2).

Válasz: Osztható (x – 2).

c) A P(x) polinom, ha elosztjuk (x – 1), maradékot ad 3-nak, és ha elosztjuk (x – 2)-vel. az 5. maradékot adja meg. Határozza meg a maradékot, ha a P(x) polinomot elosztja (x 2 – 3 x + 2)-vel.

(A megoldást előre kivetítjük a képernyőre vagy felírjuk a táblára).

Megoldás.

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Az (1) és (2) bekezdésből az következik, hogy P(1) = 3, P(2) = 5.
Legyen P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b vagy
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

Ha x = 1-et és x = 2-t egymás után (3) behelyettesítünk, egy olyan egyenletrendszert kapunk, amelyből a = 2, b = 1.

Válasz: 2 x + 1.

d) Milyen m és n polinom x 3 + m x + n bármely x osztható x 2 + 3 x + 10-zel maradék nélkül.

Megoldás. A „sarokkal” való osztásakor x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).

Mert az osztást maradék nélkül hajtjuk végre, ekkor (m – 1) x + (n + 30) = 0, és ez (bármely x esetén) csak abban az esetben lehetséges, ha m = 1, n = –30.

Válasz: m = 1, n = –30.

2. Elméleti felmérés

a) Hogyan kell olvasni a tételt

b) Mondjon példát, ahol Bezout tételét használják?

c) Hogyan találjuk meg a szorzat vezető együtthatóját a két polinom szorzásának szabályából?

d) Van-e a polinom nulla foka?

III. Felkészülés új anyag tanulmányozására

A polinomban, mint minden literális kifejezésben, változó helyett számokat helyettesíthet, és ennek eredményeként numerikus kifejezéssé, azaz végső soron számmá alakul. Tegyünk két fontos megjegyzést a problémák megoldásához:

Jelentésef(0)egyenlő a polinom szabad tagjával.

Jelentésef(1)egyenlő a polinom együtthatóinak összegével.

Egy polinom értékeinek megtalálása nem okoz alapvető nehézségeket, de a számítások meglehetősen nehézkesek lehetnek. A számítások leegyszerűsítése érdekében létezik egy Horner-séma nevű technika, amelyet a 16. századi angol matematikusról neveztek el. Ez a séma egy kétsoros táblázat kitöltéséből áll.

Például egy polinom értékének kiszámításához f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57, ha x = 7 (azaz Bezout tételének segítségével derítsük ki, hogy osztható-e (x – 7)-el), be kell cserélni a számot x 7 . Ha f(7) = 0, akkor f(x) maradék nélkül osztva. Ha f(7 ) nem egyenlő 0, akkor f(x)-t elosztjuk (x – 7)-vel egy maradékkal. Az f(7) értékének könnyebb megtalálása érdekében Horner sémáját használjuk. Töltsünk ki egy kétsoros táblázatot a következő algoritmussal:

1. Először az együttható sort írjuk.
2. A második sorban megduplázódik a vezető együttható, és megelőzi a változó értéke (esetünkben a 7-es szám), amelynél a polinom értékét számítjuk ki.

Az eredmény egy táblázat, amelynek üres celláit ki kell tölteni.

Asztal 1

3. Ez egyetlen szabály szerint történik: a jobb oldali üres cella esetében a 2-es számot megszorozzuk 7-tel, és hozzáadjuk az üres cella feletti számhoz. A választ az első üres cellába írjuk. Ez a maradék üres cellák kitöltésére szolgál. Ezért az első üres cellába a 2 7 – 9 = 5, a második üres cellába az 5 7 – 32 = 3, a harmadikba a 3 7 + 0 = 21 szám kerül, és az utolsó 21 7 – 57 = 90. Ez a táblázat teljesen így néz ki:

2. táblázat

A második sor utolsó száma a válasz.

Megjegyzés: egy program a polinom értékeinek számítógépen történő kiszámítására a Horner-séma szerint van összeállítva.

IV. A tanult anyag megerősítése

Tekintsük az 1. (b) házi feladat megoldását Horner séma szerint. Tehát a Horner-séma segítségével derítsük ki, hogy az (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 polinom osztható-e (x – 1), (x + 1), (x) – 2) . Ha több értéket kell ellenőriznie, akkor a számítások mentéséhez építsen egy kombinált áramkört.

3. táblázat

A harmadik, negyedik és ötödik sor utolsó oszlopában a felosztásból származó maradékok találhatók. Ekkor f(x)-et maradék nélkül osztjuk (x – 2), mert r = 0.

V. Polinom gyökeinek megkeresése

Bezout tétele lehetővé teszi, hogy a polinom egy gyökének megtalálása után tovább keressük egy olyan polinom gyökét, amelynek foka eggyel kisebb. Néha ezzel a technikával – ezt „fokozatcsökkentésnek” hívják – megtalálhatja a polinom összes gyökerét.

Konkrétan egy köbegyenlet egy gyökének kiválasztásával, ezáltal a fokozat csökkentésével lehetséges a teljes megoldás a kapott másodfokú egyenlet megoldásával.

Az ilyen problémák megoldása során ugyanaz a Horner-séma nagy előnyt jelent. Valójában azonban Horner séma sokkal többet ad: a második sorban lévő számok (az utolsót nem számítva) az (x – a) részágazat együtthatói.

A 3. táblázatban:

1. példa Határozzuk meg az f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3) polinom gyökereit!

Megoldás. A szabad tag osztói: – 1, 1, – 3, 3 lehetnek egy polinom gyökei. x = 1 esetén az együtthatók összege nyilvánvalóan nulla. Ez azt jelenti, hogy x 1 = 1 gyök. A Horner-séma segítségével nézzük meg a szám gyökerét - 1 és a szabad tag többi osztóját.

4. táblázat

x = –1 - gyök
másodszor x = –1 nem gyök
ellenőrizzük x = 3
x = 3 – gyök.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,



Megjegyzés. A polinom gyökereinek megtalálásakor ne végezzen szükségtelen pontos számításokat olyan esetekben, amikor nyilvánvaló durva becslések vezetnek a kívánt eredményhez.
Például Horner sémája a 31 és –31 értékeknek az x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 polinom „jelölt gyökeként” tesztelésére így nézhet ki:

5. táblázat

A 31 és a – 31 nem gyökei az x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 polinomnak.

2. példa Határozzuk meg az f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55 polinom gyökereit!

Megoldás. Az 55 osztói: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Vegye figyelembe, hogy – 1 és 1 nem a polinom gyöke. A fennmaradó osztókat ellenőrizni kell.

Megjegyzés. Nagyon fontos, hogy a diákok elsajátítsák a „hosszú” Horner-sémát. Ebben a példában a „hosszú” séma kényelmes.

6. táblázat

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, nincs gyök.

Válasz: nincsenek gyökerei.

VI. Önálló munkavégzés

A táblán hárman döntenek egy utólagos ellenőrzésről.

Keresse meg a polinom gyökereit a Horner-séma segítségével:

a) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

Válasz: – 1; 2; – 3.

b) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

Válasz: 1; 2; 3.

c) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.

Válasz:

(A teszt párban történik, osztályzatokat adunk).

VII. Diákkutató munka

– Srácok, nem vettétek észre, mely polinomokat tanultunk leginkább az órán?

(Diákok válaszai).

– Igen, ezek egész együtthatós polinomok, amelyeknek a kezdőtagja k = 1.

– Milyen számban érkeztek a válaszok?

(Diákok válaszai).

– Ez így van, egy egész együtthatós polinom gyökei, amelyeknek a fő tagja a k = 1, vagy egész számok, vagy irracionálisak, vagy egészek és irracionálisak, vagy nincs gyökük. Jegyezd fel a következtetést a füzetedbe!

VIII. Házi feladat

1. 129. sz. (1, 3, 5, 6) – N. Ya Vilenkin – 10, 78. o.
2. Tanuld meg ennek a leckének az elméletét.

IX. A lecke összegzése és pontozás

Irodalom

M.L. Galitsky. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása. // Felvilágosodás, 1997

G.V. Dorofejev. Egyváltozós polinomok. // Szentpétervár. Szakirodalom, 1997

N.Ya. Vilenkin. Algebra és matematikai elemzés. 10. évfolyam // Oktatáse

Magyarázó jegyzet.

A tanfolyam 10. évfolyamos, jó matematikai felkészültséggel rendelkező fizika-matematikus tanulók számára készült, célja, hogy segítse a matematika különböző versenyeire, olimpiáira való felkészülést, és hozzájáruljon a komoly matematikai oktatás folytatásához. Bővíti a matematika alapszakot, tantárgyspecifikus és lehetőséget ad arra, hogy a hallgatók megismerkedjenek érdekes, nem szabványos matematikai kérdésekkel, magasabb rendű egyenletek megoldási módszereivel. A tanfolyam magában foglalja a differenciált tanulás lehetőségét.

Azzal, hogy az iskolásokat a magasabb fokú egyenletek szép, elegáns megoldásainak keresésére irányítja a tanár, hozzájárul a tanulók esztétikai neveléséhez, fejleszti matematikai kultúrájukat. A kurzus annak a tankönyvnek a folytatása, amely az iskolásokat az önálló munkavégzésre és a magasabb fokú egyenletek megoldására tanítja. Amikor az iskolásokat célirányosan tanítjuk magasabb fokú egyenletek megoldására, meg kell tanítani őket megfigyelésre, analógiára, indukcióra, összehasonlításra és megfelelő következtetések levonására. A magasabb fokú egyenletek segítségével nemcsak a logikai érvelési készségeket, hanem az erős heurisztikus gondolkodási készségeket is el kell önteni a tanulókban.

A tanfolyam céljai és célkitűzései.

A matematika iránti érdeklődés fejlesztése, a heurisztikus gondolkodás.

Komoly matematika oktatás folytatásának elősegítése.

Megtanítani, hogyan válasszon racionális módszert a problémamegoldáshoz, és igazolja a döntést.

Hozzájárulni a tudományos gondolkodásmód kialakításához.

Készüljön fel az egységes államvizsgára.

Ez a választható kurzus 34 tematikus leckéből áll.

A hallgatók tájékoztatást kapnak a választható kurzus céljáról és céljáról. Az órák elméleti és gyakorlati részből állnak - előadások, konzultációs műhelyek, önálló és kutatómunka.

A polinomelmélet alapelveinek tanulmányozása lehetővé teszi, hogy tetszőleges fokú egyenletekre általánosítsuk Vieta tételét. A polinomok osztási műveleteinek végrehajtása megkönnyíti a jövőben a matematikai elemzésből származó problémák megoldását.

A Horner-séma és a polinomok racionális gyökereire vonatkozó tétel tanulmányozása általános módszert ad bármely algebrai kifejezés faktorálására. A magasabb fokú egyenletek megoldásának képessége viszont jelentősen kibővíti az exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus és irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek körét.

Irodalom

1. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Algebrai feladatok gyűjteménye 8-9.

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matek problémák. Algebra.

3 Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Nem szabványos módszerek egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására.

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Egyenletek és egyenlőtlenségek.

5. Sharygin I.F. Választható matematika tantárgy.

Természetesen a célok és célkitűzések 1

Irodalom 4

6. függelék

A forma polinomja
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
faktorizálható Horner séma szerint ha legalább 1 gyökere ismert.

Nézzük meg a Horner-féle séma szerinti felosztást egy példa segítségével:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

Először meg kell találnia egy gyökeret a kiválasztási módszerrel. Általában a szabad kifejezés osztója. Ebben az esetben a szám osztói -10 vannak ±1, ±2, ±5, ±10. Kezdjük egyenként helyettesíteni őket:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ szám 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ szám -1 a polinom gyöke

Megtaláltuk a polinom 1 gyökét. A polinom gyöke az -1, ami azt jelenti, hogy az eredeti polinomnak oszthatónak kell lennie x+1. A polinomok felosztásához Horner sémáját használjuk:

	2	9	-10	-27	-10
-1

Az eredeti polinom együtthatói a felső sorban jelennek meg. A talált gyökér a második sor első cellájába kerül -1. A második sor az osztás eredményeként kapott polinom együtthatóit tartalmazza. Így számolják őket:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	A második sor második cellájába írjuk a számot 2, egyszerűen az első sor megfelelő cellájából való áthelyezéssel.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Az utolsó szám az osztás maradéka. Ha egyenlő 0-val, akkor mindent helyesen számoltunk ki.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

De ez még nem a vége. Ugyanígy megpróbálhatja kibontani a polinomot 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

Ismét a szabad kifejezés osztói között keresünk egy gyökeret. Mint már megtudtuk, a számok osztói -10 vannak ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ szám 1 nem egy polinom gyöke

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ szám -1 nem egy polinom gyöke

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ szám 2 a polinom gyöke

Írjuk be a megtalált gyökeret a Horner-sémába, és kezdjük el kitölteni az üres cellákat:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	A harmadik sor második cellájába írjuk a számot 2, egyszerűen a második sor megfelelő cellájából való áthelyezéssel.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Így az eredeti polinomot faktorizáltuk:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (x - 2) (2x 2 + 11x + 5)

Polinom 2x 2 + 11x + 5 faktorizálható is. Ehhez megoldhatja a másodfokú egyenletet a diszkriminánson keresztül, vagy megkeresheti a gyöket a szám osztói között 5. Így vagy úgy, de arra a következtetésre jutunk, hogy ennek a polinomnak a gyöke a szám -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	A negyedik sor második cellájába írjuk a számot 2, egyszerűen áthelyezi a harmadik sor megfelelő cellájából.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Így az eredeti polinomot lineáris tényezőkre bontottuk.