Utasítás

A bizonyítás megkezdése előtt győződjön meg arról, hogy a vonalak ugyanabban a síkban fekszenek és rárajzolhatók. A legegyszerűbb bizonyítási módszer a vonalzós mérés. Ehhez vonalzóval mérjük meg az egyenesek közötti távolságot több helyen, amennyire csak lehetséges. Ha a távolság változatlan marad, a megadott egyenesek párhuzamosak. De ez a módszer nem elég pontos, ezért jobb, ha más módszereket használ.

Rajzoljon egy harmadik egyenest úgy, hogy az metszi mindkét párhuzamos egyenest. Négy külső és négy belső sarkot alkot velük. Vegye figyelembe a belső sarkokat. Azokat, amelyek a szekáns vonalon keresztül fekszenek, keresztfekvéseknek nevezzük. Az egyik oldalon fekvőket egyoldalúnak nevezzük. Szögmérő segítségével mérje meg a két belső átlós sarkot. Ha egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak lesznek. Ha kétségei vannak, mérje meg az egyoldali belső szögeket, és adja össze a kapott értékeket. A vonalak párhuzamosak, ha az egyoldali belső szögek összege 180º.

Ha nincs szögmérő, használjon 90 fokos négyzetet. Használja az egyik egyenesre merőleges megszerkesztésére. Ezt követően folytassuk ezt a merőlegest úgy, hogy egy másik egyenest metsszen. Ugyanezt a négyzetet használva ellenőrizze, hogy ez a merőleges milyen szögben metszi azt. Ha ez a szög is 90º, akkor a vonalak párhuzamosak egymással.

Abban az esetben, ha az egyenesek a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva, keresse meg a vezetőket vagy a normálvektorokat. Ha ezek a vektorok kollineárisak egymással, akkor az egyenesek párhuzamosak. Hozd az egyenesek egyenletét általános alakba, és keresd meg az egyes egyenesek normálvektorának koordinátáit. Koordinátái megegyeznek az A és B együtthatóval. Abban az esetben, ha a normálvektorok megfelelő koordinátáinak aránya megegyezik, akkor azok kollineárisak, és az egyenesek párhuzamosak.

Például az egyeneseket a 4x-2y+1=0 és az x/1=(y-4)/2 egyenletek adják meg. Az első egyenlet általános formájú, a második kanonikus. Hozd a második egyenletet általános alakra. Ehhez használja az aránykonverziós szabályt, és a 2x=y-4 eredményt kapja. Az általános formára redukálás után kapjuk 2x-y + 4 = 0. Mivel az általános egyenlet bármely sorra Ax + Vy + C = 0, akkor az első sornál: A = 4, B = 2, a második sornál pedig A = 2, B = 1. A normálvektor első közvetlen koordinátájához (4;2), a másodikhoz pedig - (2;1). Határozzuk meg a 4/2=2 és 2/1=2 normálvektorok megfelelő koordinátáinak arányát! Ezek a számok egyenlőek, ami azt jelenti, hogy a vektorok kollineárisak. Mivel a vektorok kollineárisak, az egyenesek párhuzamosak.

ABÉs VAL VELD keresztezi a harmadik vonal MN, akkor az ebben az esetben képzett szögek a következő neveket kapják páronként:

megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7;

belső keresztben fekvő sarkok: 3 és 5, 4 és 6;

külső keresztben fekvő sarkok: 1 és 7, 2 és 8;

belső egyoldalú sarkok: 3 és 6, 4 és 5;

külső egyoldalú sarkok: 1 és 8, 2 és 7.

Tehát ∠ 2 = ∠ 4 és ∠ 8 = ∠ 6, de a bizonyított ∠ 4 = ∠ 6.

Ezért ∠ 2 = ∠ 8.

3. Megfelelő szögek 2 és 6 azonos, mivel ∠ 2 = ∠ 4, és ∠ 4 = ∠ 6. Arra is ügyelünk, hogy a többi megfelelő szög egyenlő legyen.

4. Összeg belső egyoldalú sarkok 3 és 6 2d lesz, mert az összeg szomszédos sarkok 3 és 4 egyenlő 2d = 180 0 , és ∠ 4 helyettesíthető azonos ∠ 6-tal. Győződjön meg arról is, hogy szögek összege 4 és 5 egyenlő 2d-vel.

5. Összeg külső egyoldalú sarkok 2d lesz, mert ezek a szögek rendre egyenlőek belső egyoldalú sarkok mint a sarkok függőleges.

A fent bizonyított indoklásból azt kapjuk inverz tételek.

Amikor egy tetszőleges harmadik egyenes két egyenesének metszéspontjában azt kapjuk, hogy:

1. A belső keresztfekvési szögek azonosak;

vagy 2. A külső keresztfekvési szögek azonosak;

vagy 3. A megfelelő szögek azonosak;

vagy 4. A belső egyoldali szögek összege egyenlő 2d = 180 0 ;

vagy 5. A külső egyoldal összege 2d = 180 0 ,

akkor az első két egyenes párhuzamos.

Nem metszik egymást, nem számít, mennyi ideig tartanak. Az írásbeli sorok párhuzamosságát a következőképpen jelöljük: AB|| VAL VELE

Az ilyen egyenesek létezésének lehetőségét egy tétel bizonyítja.

Tétel.

Bármely ponton keresztül, amely egy adott egyenesen kívül van, párhuzamosat húzhatunk ezzel az egyenessel..

Hadd AB ezt a sort és VAL VEL valami azon kívülre vett pont. Ezt bizonyítani kell VAL VEL egyenes vonalat húzhat párhuzamosAB. Ugorjunk be AB egy pontból VAL VEL merőlegesVAL VELDés akkor fogunk VAL VELE^ VAL VELD, mi lehetséges. Egyenes CE párhuzamos AB.

A bizonyításhoz az ellenkezőjét feltételezzük, vagyis azt CE metszi egymást AB egy bizonyos ponton M. Aztán a lényegről M egyenesre VAL VELD két különböző merőlegesünk lenne MDÉs KISASSZONY, ami lehetetlen. Eszközök, CE nem keresztezheti AB, azaz VAL VELE párhuzamos AB.

Következmény.

Két merőleges (CEÉsD.B.) egy egyenesre (СD) párhuzamosak.

Párhuzamos egyenesek axiómája.

Ugyanazon a ponton keresztül lehetetlen ugyanahhoz az egyeneshez párhuzamosan két különböző egyenest húzni.

Tehát ha egy egyenes VAL VELD ponton keresztül húzva VAL VEL párhuzamos egyenessel AB, majd bármely másik sor VAL VELE ugyanazon a ponton keresztül VAL VEL, nem lehet párhuzamos AB, azaz – folytatja metszik egymást Val vel AB.

Ennek a nem egészen nyilvánvaló igazságnak a bizonyítása lehetetlennek bizonyul. Bizonyítás nélkül elfogadják, mint szükséges feltételezést (postulatum).

Következmények.

1. Ha egyenes(VAL VELE) metszi az egyiket párhuzamos(SW), akkor metszi a másikat ( AB), mert egyébként ugyanazon a ponton keresztül VAL VEL két különböző egyenes, párhuzamos AB, ami lehetetlen.

2. Ha mind a kettő közvetlen (AÉsB) párhuzamosak ugyanazzal a harmadik vonallal ( VAL VEL) , aztán ők párhuzamosak egymás között.

Valóban, ha ezt feltételezzük AÉs B egy ponton metszik egymást M, akkor ezen a ponton két különböző, egymással párhuzamos egyenes haladna át. VAL VEL, ami lehetetlen.

Tétel.

Ha egyenes merőleges az egyik párhuzamos egyenesre, akkor az merőleges a másikra párhuzamos.

Hadd AB || VAL VELDÉs EF ^ AB.Azt kell bizonyítani EF ^ VAL VELD.

MerőlegesEF, metszővel AB, minden bizonnyal metszik majd és VAL VELD. Legyen a metszéspont H.

Tegyük fel, hogy most VAL VELD nem merőlegesen EH. Aztán egy másik sor például HK, merőleges lesz rá EHés így ugyanazon a ponton keresztül H kettő egyenes párhuzamos AB: egy VAL VELD, feltétel szerint, és a többi HK mint korábban bebizonyosodott. Mivel ez lehetetlen, nem feltételezhető SW nem volt merőleges rá EH.

Ebben a cikkben a párhuzamos egyenesekről fogunk beszélni, definíciókat adunk, kijelöljük a párhuzamosság jeleit és feltételeit. Az elméleti anyag áttekinthetősége érdekében illusztrációkat és tipikus példák megoldását használjuk.

1. definíció

Párhuzamos egyenesek a síkban két olyan egyenes a síkban, amelyeknek nincs közös pontjuk.

2. definíció

Párhuzamos vonalak a 3D térben- két egyenes a háromdimenziós térben, amelyek ugyanabban a síkban fekszenek, és nincs közös pontjuk.

Megjegyzendő, hogy a térben párhuzamos egyenesek meghatározásához rendkívül fontos az „ugyanabban a síkban fekvő” tisztázás: a háromdimenziós térben lévő két olyan egyenes, amelynek nincs közös pontja és nem ugyanabban a síkban fekszenek párhuzamos, de metsző.

A párhuzamos vonalak jelölésére általános a ∥ szimbólum használata. Vagyis ha az adott a és b egyenesek párhuzamosak, akkor ezt a feltételt röviden a következőképpen kell felírni: a ‖ b . Verbálisan az egyenesek párhuzamosságát a következőképpen jelöljük: az a és b egyenesek párhuzamosak, vagy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, vagy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Fogalmazzunk meg egy állítást, amely fontos szerepet játszik a vizsgált témában.

Alapigazság

Egy adott egyeneshez nem tartozó ponton keresztül csak egy egyenes van párhuzamosan az adott egyenessel. Ez az állítás a planimetria ismert axiómái alapján nem igazolható.

Abban az esetben, ha térről van szó, igaz a tétel:

1. tétel

A tér bármely pontján keresztül, amely nem tartozik egy adott egyeneshez, csak egy egyenes lesz párhuzamos az adott egyenessel.

Ez a tétel a fenti axióma (geometria program 10-11. évfolyamra) alapján könnyen igazolható.

A párhuzamosság jele elégséges feltétel, amely mellett a párhuzamos egyenesek garantáltak. Más szóval, ennek a feltételnek a teljesülése elegendő a párhuzamosság tényének megerősítéséhez.

Különösen az egyenesek síkbeli és térbeli párhuzamosságának vannak szükséges és elégséges feltételei. Magyarázzuk el: a szükséges azt a feltételt jelenti, amelynek teljesülése párhuzamos egyeneseknél szükséges; ha nem teljesül, akkor a vonalak nem párhuzamosak.

Összefoglalva, az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele olyan feltétel, amelynek betartása szükséges és elegendő ahhoz, hogy az egyenesek párhuzamosak legyenek egymással. Ez egyrészt a párhuzamosság jele, másrészt a párhuzamos egyenesekben rejlő tulajdonság.

A szükséges és elégséges feltételek pontos megfogalmazása előtt felidézünk még néhány további fogalmat.

3. definíció

metsző vonal egy olyan egyenes, amely a két adott nem egybeeső egyenes mindegyikét metszi.

Két egyenest metszve a szekáns nyolc ki nem tágított szöget alkot. A szükséges és elégséges feltétel megfogalmazásához olyan típusú szögeket fogunk használni, mint a keresztirányú, megfelelő és egyoldalú. Mutassuk meg őket az illusztráción:

2. tétel

Ha egy síkon két egyenes metsz egy metszőt, akkor ahhoz, hogy az adott egyenesek párhuzamosak legyenek, szükséges és elegendő, ha a keresztirányú fekvőszögek egyenlőek, vagy a megfelelő szögek egyenlőek, vagy az egyoldalú szögek összege 180 fokon.

Ábrázoljuk grafikusan a párhuzamos egyenesek szükséges és elégséges feltételét a síkon:

Ezeknek a feltételeknek a bizonyítása a 7-9. évfolyam geometria programjában található.

Általában ezek a feltételek a háromdimenziós térre is érvényesek, feltéve, hogy a két egyenes és a metsző ugyanahhoz a síkhoz tartozik.

Mutassunk még néhány tételt, amelyeket gyakran használnak az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

3. tétel

Egy síkban két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással. Ezt a tulajdonságot a fent említett párhuzamossági axióma alapján bizonyítjuk.

4. tétel

A háromdimenziós térben két, egy harmadikkal párhuzamos egyenes párhuzamos egymással.

Az attribútum bizonyítását a 10. osztályos geometria programban tanulmányozzuk.

Illusztrációt adunk ezekre a tételekre:

Jelöljünk még egy tételpárt, amely az egyenesek párhuzamosságát bizonyítja.

5. tétel

Egy síkban két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Fogalmazzunk meg egy hasonlót egy háromdimenziós térre.

6. tétel

A háromdimenziós térben két, a harmadikra ​​merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Illusztráljuk:

A fenti tételek, előjelek és feltételek mindegyike lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságának kényelmes bizonyítását a geometriai módszerekkel. Vagyis az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására be lehet mutatni, hogy a megfelelő szögek egyenlőek, vagy azt, hogy két adott egyenes merőleges a harmadikra, és így tovább. De megjegyezzük, hogy gyakran kényelmesebb a koordináta-módszer használata az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására síkban vagy háromdimenziós térben.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben

Egy adott téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenest a lehetséges típusok egyik síkján lévő egyenes egyenlete határozza meg. Hasonlóképpen, egy téglalap alakú koordinátarendszerben adott egyenes háromdimenziós térben megfelel a térbeli egyenes néhány egyenletének.

Írjuk fel az egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételeit egy téglalap alakú koordinátarendszerben, attól függően, hogy az adott egyeneseket milyen egyenlet írja le.

Kezdjük a síkban lévő párhuzamos egyenesek feltételével. Az egyenes irányvektorának és a síkban lévő egyenes normálvektorának definícióin alapul.

7. tétel

Ahhoz, hogy két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen egy síkon, szükséges és elegendő, hogy az adott egyenesek irányvektorai kollineárisak legyenek, vagy az adott egyenesek normálvektorai kollineárisak legyenek, vagy az egyik egyenes irányvektora merőleges legyen a másik egyenes normálvektora.

Nyilvánvalóvá válik, hogy a síkon a párhuzamos egyenesek feltétele a kollineáris vektorok feltételén vagy két vektor merőlegességének feltételén alapul. Vagyis ha a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az a és b egyenesek irányvektorai;

és n b → = (n b x , n b y) az a és b egyenesek normálvektorai, akkor a fenti szükséges és elégséges feltételt a következőképpen írjuk fel: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y vagy n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y vagy a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , ahol t valamilyen valós szám. Az irányító vagy direkt vektorok koordinátáit az egyenesek adott egyenletei határozzák meg. Nézzük a főbb példákat.

1. Az a egyenest egy téglalap alakú koordinátarendszerben az egyenes általános egyenlete határozza meg: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 vonal. Ekkor az adott egyenesek normálvektorainak (A 1 , B 1 ) és (A 2 , B 2) koordinátái lesznek. A párhuzamosság feltételét a következőképpen írjuk fel:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Az a egyenest az y = k 1 x + b 1 alakú meredekségű egyenes egyenlete írja le. Egyenes b - y \u003d k 2 x + b 2. Ekkor az adott egyenesek normálvektorainak (k 1 , - 1) és (k 2 , - 1) koordinátái lesznek, és a párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Így ha egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben párhuzamos egyeneseket meredekségi együtthatós egyenletekkel adunk meg, akkor az adott egyenesek meredekségi együtthatói egyenlők lesznek. És igaz a fordított állítás: ha egy téglalap alakú koordináta-rendszerben egy síkon nem egybeeső egyeneseket egy azonos meredekségi együtthatójú egyenes egyenlete határozza meg, akkor ezek az adott egyenesek párhuzamosak.

1. Az a és b egyeneseket egy téglalap alakú koordinátarendszerben a síkon lévő egyenes kanonikus egyenletei adják meg: x - x 1 a x = y - y 1 a y és x - x 2 b x = y - y 2 b y vagy a parametrikus egyenletek a síkon lévő egyenesnek: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y és x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Ekkor az adott egyenesek irányvektorai: a x , a y és b x , b y lesznek, és a párhuzamossági feltételt a következőképpen írjuk fel:

a x = t b x a y = t b y

Nézzünk példákat.

1. példa

Adott két egyenes: 2 x - 3 y + 1 = 0 és x 1 2 + y 5 = 1 . Meg kell határozni, hogy párhuzamosak-e.

Megoldás

Az egyenes egyenletét szakaszokban írjuk fel általános egyenlet formájában:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Látjuk, hogy n a → = (2, - 3) a 2 x - 3 y + 1 = 0 egyenes normálvektora, n b → = 2, 1 5 pedig az x 1 2 + y 5 egyenes normálvektora. = 1.

A kapott vektorok nem kollineárisak, mert nincs olyan t értéke, amelyre az egyenlőség igaz lenne:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Így a síkon lévő egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele nem teljesül, ami azt jelenti, hogy az adott egyenesek nem párhuzamosak.

Válasz: adott egyenesek nem párhuzamosak.

2. példa

Adott y = 2 x + 1 és x 1 = y - 4 2 egyenesek. Párhuzamosak?

Megoldás

Alakítsuk át az x 1 \u003d y - 4 2 egyenes kanonikus egyenletét egy meredekségű egyenes egyenletévé:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Látjuk, hogy az y = 2 x + 1 és az y = 2 x + 4 egyenesek egyenletei nem azonosak (ha másként lenne, az egyenesek ugyanazok lennének), és az egyenesek meredeksége egyenlő, ami azt jelenti, hogy a megadott egyenesek párhuzamosak.

Próbáljuk meg másképp megoldani a problémát. Először ellenőrizzük, hogy a megadott sorok egybeesnek-e. Az y \u003d 2 x + 1 egyenes bármely pontját használjuk, például (0, 1) , ennek a pontnak a koordinátái nem felelnek meg az x 1 \u003d y - 4 2 egyenes egyenletének, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem esnek egybe.

A következő lépésben meg kell határozni a párhuzamossági feltétel teljesülését az adott egyenesekre.

Az y = 2 x + 1 egyenes normálvektora az n a → = (2 , - 1) vektor, a második adott egyenes irányvektora pedig b → = (1 , 2) . Ezen vektorok skaláris szorzata nulla:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Tehát a vektorok merőlegesek: ez bizonyítja számunkra az eredeti egyenesek párhuzamosságához szükséges és elégséges feltétel teljesülését. Azok. adott egyenesek párhuzamosak.

Válasz: ezek a vonalak párhuzamosak.

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására a következő szükséges és elégséges feltételt alkalmazzuk.

8. tétel

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben két nem egybeeső egyenes párhuzamos legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek irányvektorai kollineárisak legyenek.

Azok. a háromdimenziós térben adott egyenesek egyenleteire az adott egyenesek irányvektorainak koordinátáinak meghatározásával, valamint kollinearitásuk feltételének ellenőrzésével adjuk meg a választ arra a kérdésre: párhuzamosak vagy sem. Más szóval, ha a → = (a x, a y, a z) és b → = (b x, b y, b z) az a és b egyenesek irányvektorai, akkor ahhoz, hogy párhuzamosak legyenek, a létezés egy ilyen t valós szám szükséges ahhoz, hogy az egyenlőség teljesüljön:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3. példa

Adott egyenesek x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 és x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Bizonyítani kell ezen egyenesek párhuzamosságát.

Megoldás

A feladat feltétele egy térbeli egyenes kanonikus egyenlete és egy másik térbeli egyenes paraméteres egyenlete. Irányvektorok a → és b → adott egyenesek koordinátái: (1 , 0 , - 3) és (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, akkor a → = 1 2 b → .

Ezért a térben párhuzamos vonalak szükséges és elégséges feltétele teljesül.

Válasz: az adott egyenesek párhuzamossága igazolt.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Először nézzük meg a különbséget az attribútum, a tulajdonság és az axióma fogalma között.

1. definíció

jel egy bizonyos ténynek nevezzük, amellyel meg lehet határozni egy érdeklődés tárgyára vonatkozó ítélet igazságtartalmát.

1. példa

Az egyenesek párhuzamosak, ha metszőjük egyenlő keresztirányú szöget zár be.

2. definíció

Ingatlan abban az esetben fogalmazódik meg, ha bizalom van az ítélet érvényességében.

2. példa

Párhuzamos vonalaknál a metszésük egyenlő keresztirányú szögeket alkot.

3. definíció

alapigazság nevezzük az ilyen állítást, amely nem igényel bizonyítást, és enélkül is igaznak fogadjuk el.

Minden tudománynak vannak axiómái, amelyekre a későbbi ítéletek és azok bizonyításai épülnek.

Párhuzamos egyenesek axiómája

Néha a párhuzamos egyenesek axiómáját tekintik a párhuzamos egyenesek egyik tulajdonságának, ugyanakkor más geometriai bizonyítások is épülnek az érvényességére.

1. tétel

Egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy egyenes húzható a síkon, amely párhuzamos lesz az adott egyenessel.

Az axióma nem igényel bizonyítást.

Párhuzamos egyenesek tulajdonságai

2. tétel

Tulajdonság1. Párhuzamos vonalak tranzitivitásának tulajdonsága:

Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik párhuzamos a harmadikkal, akkor a második egyenes is párhuzamos lesz vele.

A tulajdonságok bizonyítást igényelnek.

Bizonyíték:

Legyen két párhuzamos $a$ és $b$ egyenes. A $c$ egyenes párhuzamos az $a$ egyenessel. Vizsgáljuk meg, hogy ebben az esetben a $с$ egyenes párhuzamos-e a $b$ egyenessel.

A bizonyításhoz az ellenkező állítást használjuk:

Képzeljük el, hogy van egy olyan változat, amelyben a $c$ egyenes párhuzamos az egyik egyenessel, például az $a$ egyenessel, és a másik $b$ egyenes egy $K$ pontban metszi.

Ellentmondást kapunk a párhuzamos egyenesek axiómája szerint. Kiderül egy olyan helyzet, amelyben két egyenes egy pontban metszi egymást, ráadásul párhuzamosak ugyanazzal az $a$ egyenessel. Ilyen helyzet lehetetlen, ezért a $b$ és a $c$ egyenesek nem metszik egymást.

Így bebizonyosodott, hogy ha a két párhuzamos egyenes közül az egyik párhuzamos a harmadik egyenessel, akkor a második egyenes is párhuzamos a harmadik egyenessel.

3. tétel

2. tulajdonság.

Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik metszi a harmadikat, akkor a második egyenes is metszi azt.

Bizonyíték:

Legyen két párhuzamos $a$ és $b$ egyenes. Legyen olyan $c$ egyenes is, amely metszi az egyik párhuzamos egyenest, például az $a$ egyenes. Meg kell mutatni, hogy a $c$ egyenes metszi a második egyenest, a $b$ egyenest is.

Konstruáljunk egy bizonyítást ellentmondásból.

Képzelje el, hogy a $c$ egyenes nem metszi a $b$ egyenest. Ekkor két $a$ és $c$ egyenes átmegy a $K$ ponton, és nem metszi a $b$ egyenest, azaz párhuzamosak vele. De ez a helyzet ellentmond a párhuzamos egyenesek axiómájának. Ezért a feltételezés téves volt, és a $c$ egyenes metszi a $b$ egyenest.

A tétel bizonyítást nyert.

Sarok tulajdonságai, amelyek két párhuzamos egyenest és egy szekánst alkotnak: a keresztirányú szögek egyenlőek, a megfelelő szögek egyenlőek, * az egyoldali szögek összege $180^(\circ)$.

3. példa

Adott két párhuzamos egyenes és az egyikre merőleges harmadik egyenes. Bizonyítsuk be, hogy ez az egyenes merőleges egy másik párhuzamos egyenesre.

Bizonyíték.

Legyen $a \parallel b$ és $c \perp a$ sorunk.

Mivel a $c$ egyenes metszi az $a$ egyenest, ezért a párhuzamos egyenesek tulajdonságának megfelelően a $b$ egyenest is metszi.

Az $a$ és $b$ párhuzamos egyeneseket metsző $c$ szekáns egyenlő belső keresztirányú szöget zár be velük.

Mert $c \perp a$, akkor a szögek $90^(\circ)$ lesznek.

Ezért $c \perp b$.

A bizonyítás kész.