Սահմանում. եթե բոլորը n є Ն, հավասարեցված x n є N,հետո ասում են

ձեւը թվային հաջորդականություն.

- անդամներ հաջորդականություններ

- ընդհանուր անդամ հաջորդականություններ

Ներկայացված սահմանումը ենթադրում է, որ ցանկացած թվային հաջորդականություն պետք է լինի անվերջ, բայց չի նշանակում, որ բոլոր տերմինները պետք է լինեն տարբեր թվեր։

Համարվում է թվերի հաջորդականությունը տրված, եթե նշված է օրենք, որով կարելի է գտնել հաջորդականության որևէ անդամ։

Հերթականության անդամներ կամ տարրեր (1) համարակալված բոլոր բնական թվերով՝ թվերի աճման կարգով: n+1 > n-1-ի համար տերմինը հաջորդում է (նախորդում է) տերմինին, անկախ նրանից, թե թիվն ինքնին մեծ է, փոքր կամ նույնիսկ հավասար է թվին։

Սահմանում. x փոփոխական, որը վերցնում է որոշակի հաջորդականություն (1) արժեքներ, մենք՝ հետևելով Չ.Մերային, կկանչենք տարբերակ.

IN դպրոցական դասընթացՄաթեմատիկա, դուք կարող եք հանդիպել հենց այս տեսակի փոփոխականների, ինչպիսիք են տարբերակները:

Օրինակ, նման հաջորդականություն

(թվաբանական) կամ ձևի

(երկրաչափական առաջընթաց)

Այս կամ այն ​​առաջընթացի փոփոխական տերմինն է տարբերակ.

Շրջանակի շրջագծի սահմանման հետ կապված սովորաբար դիտարկվում է շրջանագծի մեջ ներգծված կանոնավոր բազմանկյան պարագիծը, որը ստացվում է վեցանկյունից՝ հաջորդաբար կրկնապատկելով կողմերի թիվը։ Այսպիսով, այս տարբերակը վերցնում է արժեքների հաջորդականությունը.

Մենք նշում ենք նաև տասնորդական մոտարկումը (բացակայությամբ) դեպի՝ անընդհատ աճող ճշգրտությամբ։ Այն պահանջում է արժեքների հաջորդականություն.

և նաև ներկայացնում է տարբերակ.

(1) հաջորդականության միջով անցնող x փոփոխականը հաճախ նշվում է՝ նույնացնելով այն այս հաջորդականության փոփոխականի («ընդհանուր») անդամի հետ:

Երբեմն x n տարբերակը տրվում է նրանով, ինչ ուղղակիորեն ցույց է տալիս x n արտահայտությունը. այսպես, թվաբանության դեպքում կամ երկրաչափական առաջընթացունենք, համապատասխանաբար, x n =a+(n-1) d կամ x n =aq n-1: Օգտագործելով այս արտահայտությունը, դուք կարող եք անմիջապես հաշվարկել տարբերակների ցանկացած արժեք իր տրված թվով, առանց նախորդ արժեքները հաշվարկելու:

Կանոնավոր ներգծված բազմանկյունի պարագծի համար նման ընդհանուր արտահայտություն հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե ներմուծենք p թիվը; Ընդհանուր առմամբ, կանոնավոր ներգծված m-gon-ի p m պարագիծը տրվում է բանաձևով

Սահմանում 1. Թվային հաջորդականությունը ( x n ) կոչվում է սահմանափակված վերևից (ներքևից), եթե այդպիսի թիվ կա Մ (T)որ այս հաջորդականության ցանկացած տարրի համար կա անհավասարություն, մինչդեռ M (m) թիվը կոչվում է գագաթ (ավելի ցածր) եզր.

Սահմանում 2. Թվային հաջորդականությունը (x n) կոչվում է սահմանափակված, եթե այն սահմանափակված է ինչպես վերևում, այնպես էլ ներքևում, այսինքն. կան M, m այնպիսին, որ ցանկացածի համար

Նշեք A = max (|M|, |m|), ապա ակնհայտ է, որ թվային հաջորդականությունը սահմանափակված կլինի, եթե |x n |?A հավասարությունը պահպանվի ցանկացածի համար, վերջին անհավասարությունը թվային հաջորդականության սահմանափակության պայմանն է: .

Սահմանում 3. թվերի հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ մեծհաջորդականություն, եթե որևէ A>0-ի համար կարող եք նշել N թիվ այնպես, որ բոլոր n>N-ի համար ||>A-ն ճիշտ լինի:

Սահմանում 4. թվային հաջորդականությունը (b n ) կոչվում է անվերջ փոքրհաջորդականություն, եթե որևէ նախապես սահմանված e > 0-ի համար կարող եք նշել այնպիսի N(e) թիվ, որ ցանկացած n > N(e) անհավասարությունը | b n |< е.

Սահմանում 5. կոչվում է թվային հաջորդականություն ( x n ): համընկնող, եթե կա այնպիսի թիվ a, որ հաջորդականությունը (x n - a) անվերջ փոքր հաջորդականություն է։ Միևնույն ժամանակ, ա- սահման սկզբնական թվային հաջորդականություններ.

Այս սահմանումից հետևում է, որ բոլոր անվերջ փոքր հաջորդականությունները կոնվերգենտ են, և այդ հաջորդականությունների սահմանը = 0:

Շնորհիվ այն բանի, որ կոնվերգենտ հաջորդականության հասկացությունը կապված է անվերջ փոքր հաջորդականության հասկացության հետ, կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանումը կարող է տրվել մեկ այլ ձևով.

Սահմանում 6. թվային հաջորդականությունը ( x n ) կոչվում է համընկնող a թվի նկատմամբ, եթե որևէ կամայականորեն փոքրի համար գոյություն ունի այնպիսին, որ բոլորի համար n > N անհավասարությունը

ա - հաջորդականության սահմանը

Որովհետեւ համարժեք է, և դա նշանակում է, որ պատկանում է x n є (a - e; a + e) ​​միջակայքին կամ, ինչ նույնն է, պատկանում է e - a կետի հարևանությանը: Այնուհետև մենք կարող ենք տալ կոնվերգենտ թվային հաջորդականության մեկ այլ սահմանում:

Սահմանում 7. կոչվում է թվային հաջորդականություն ( x n ): համընկնող, եթե կա այնպիսի կետ, որ այս կետի ցանկացած բավական փոքր էլեկտրոնային հարևանությամբ կան այս հաջորդականության կամայական տարրեր՝ սկսած ինչ-որ N թվից։

Նշում. համաձայն (5) և (6) սահմանումների, եթե a-ն (x n ) հաջորդականության սահմանն է, ապա x n - a-ն անսահման փոքր հաջորդականության տարր է, այսինքն. x n - a = b n, որտեղ b n-ը անվերջ փոքր հաջորդականության տարր է: Հետևաբար, x p \u003d a + b n, և այնուհետև մենք իրավունք ունենք պնդելու, որ եթե թվային հաջորդականությունը (x n) համընկնում է, ապա այն միշտ կարող է ներկայացվել որպես դրա սահմանի գումար և անսահման փոքր հաջորդականության տարր:

Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե (x n) հաջորդականության որևէ տարր կարող է ներկայացվել որպես հաստատուն թվի և անսահման փոքր հաջորդականության տարրի գումար, ապա սա հաստատուն է և սահման տրված հաջորդականություններ.

Սահմանում 8. Հերթականություն Ոչ ավելանում է (ոչ նվազում), եթե համար.

Սահմանում 9. Հերթականություն ավելանում է (նվազում է), եթե համար.

Սահմանում 10. Խիստ աճող կամ խիստ նվազող հաջորդականություն է կոչվում միապաղաղ հաջորդականությունը.

Տրված է Վայերշտրասի թեորեմի ապացույցը միատոն հաջորդականության սահմանի վերաբերյալ։ Դիտարկվում են սահմանափակ և անսահմանափակ հաջորդականությունների դեպքերը: Դիտարկված է օրինակ, որտեղ անհրաժեշտ է Վայերշտրասի թեորեմի միջոցով ապացուցել հաջորդականության սերտաճումը և գտնել դրա սահմանը։

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Միապաղաղ ֆունկցիաների սահմանները

Ցանկացած միատոն սահմանափակ հաջորդականություն ( x n )ունի վերջավոր սահման, որը հավասար է ճշգրիտ վերին սահմանին, ճաշ (x n)չնվազող և ճշգրիտ ստորին սահմանի համար, inf (x n)չաճող հաջորդականության համար։
Ցանկացած միապաղաղ անսահմանափակ հաջորդականություն ունի անսահման սահման, որը հավասար է գումարած անվերջությանը չնվազող հաջորդականության համար և մինուս անվերջությանը չնվազող հաջորդականության համար:

Ապացույց

1) չնվազող սահմանափակ հաջորդականություն.

(1.1) .

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակված է, այն ունի վերջավոր ճշգրիտ վերին սահման
.
Դա նշանակում է որ:

• բոլորի համար n,
  (1.2) ;
• ցանկացած դրական թվի համար գոյություն ունի ε-ից կախված թիվ, այնպես որ
  (1.3) .

.
Այստեղ մենք նաև օգտագործել ենք (1.3): Համակցելով (1.2) հետ՝ մենք գտնում ենք.
ժամը .
Որովհետև, ուրեմն
,
կամ
ժամը .
Ապացուցված է թեորեմի առաջին մասը.

2) Հիմա թող հաջորդականությունը լինի չաճող սահմանափակ հաջորդականություն:
(2.1) բոլորի համար n.

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակված է, այն ունի վերջավոր ճշգրիտ ստորին սահման
.
Սա նշանակում է հետևյալը.

• բոլոր n-ի համար գործում են հետևյալ անհավասարությունները.
  (2.2) ;
• ցանկացած դրական թվի համար կա մի թիվ, որը կախված է ε-ից, որի համար
  (2.3) .

.
Այստեղ մենք նաև օգտագործել ենք (2.3): Հաշվի առնելով (2.2)՝ մենք գտնում ենք.
ժամը .
Որովհետև, ուրեմն
,
կամ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ թիվը հաջորդականության սահմանն է։
Ապացուցված է թեորեմի երկրորդ մասը.

Այժմ դիտարկենք անսահմանափակ հաջորդականությունները:
3) Թող հաջորդականությունը լինի անսահմանափակ չնվազող հաջորդականություն.

Քանի որ հաջորդականությունը նվազող չէ, բոլոր n-ի համար գործում են հետևյալ անհավասարությունները.
(3.1) .

Քանի որ հաջորդականությունն աննվազող է և անսահմանափակ, աջ կողմում այն ​​անսահմանափակ է: Այնուհետև ցանկացած M թվի համար գոյություն ունի մի թիվ՝ կախված M-ից, որի համար
(3.2) .

Քանի որ հաջորդականությունը չի նվազում, ապա մենք ունենք.
.
Այստեղ մենք նաև օգտագործել ենք (3.2):

.
Սա նշանակում է, որ հաջորդականության սահմանը գումարած անսահմանություն է.
.
Ապացուցված է թեորեմի երրորդ մասը.

4) Վերջապես, հաշվի առեք այն դեպքը, երբ անսահմանափակ չաճող հաջորդականություն.

Ինչպես վերևում, քանի որ հաջորդականությունը չի աճում, ուրեմն
(4.1) բոլորի համար n.

Քանի որ հաջորդականությունը ոչ աճող է և անսահմանափակ, ձախ կողմում այն ​​անսահմանափակ է: Այնուհետև ցանկացած M թվի համար գոյություն ունի մի թիվ՝ կախված M-ից, որի համար
(4.2) .

Քանի որ հաջորդականությունը աճող չէ, ուրեմն մենք ունենք.
.

Այսպիսով, ցանկացած M թվի համար կա այդպիսին բնական թիվ, կախված M-ից, այնպես որ բոլոր թվերի համար պահպանվեն հետևյալ անհավասարությունները.
.
Սա նշանակում է, որ հաջորդականության սահմանը մինուս անսահմանությունն է.
.
Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդրի լուծման օրինակ

Բոլոր օրինակները Օգտագործելով Վայերշտրասի թեորեմը, ապացուցեք հաջորդականության կոնվերգենցիան.
, , . . . , , . . .
Հետո գտեք դրա սահմանը:

Ներկայացնենք հաջորդականությունը կրկնվող բանաձևերի տեսքով.
,
.

Փաստենք, որ տրված հաջորդականությունը վերևից սահմանափակված է արժեքով
(P1) .
Ապացուցումն իրականացվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։
.
Թող . Հետո
.
Ապացուցված է անհավասարությունը (A1):

Փաստենք, որ հաջորդականությունը միապաղաղ աճում է։
;
(P2) .
Քանի որ , ուրեմն կոտորակի հայտարարը և համարիչի առաջին գործակիցը դրական են։ Քանի որ հաջորդականության անդամները սահմանափակված են անհավասարությամբ (P1), երկրորդ գործոնը նույնպես դրական է։ Ահա թե ինչու
.
Այսինքն, հաջորդականությունը խիստ աճում է։

Քանի որ հաջորդականությունը մեծանում և սահմանափակվում է վերևից, այն սահմանափակ հաջորդականություն է: Հետևաբար, Վայերշտրասի թեորեմով այն ունի սահման:

Եկեք գտնենք այս սահմանը: Նշենք այն հետևյալով.
.
Եկեք օգտագործենք ինչ
.
Մենք սա կիրառում ենք (P2)՝ օգտագործելով կոնվերգենտ հաջորդականությունների սահմանների թվաբանական հատկությունները.
.
Արմատը բավարարում է պայմանը։

Տես նաեւ: