1. Ավելի դժվար է գտնել շրջագիծը տրամագծովԱյսպիսով, եկեք նախ նայենք այս տարբերակին:

Օրինակ: Գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, որի տրամագիծը 6 սմ է. Մենք օգտագործում ենք վերը նշված բանաձևը շրջանագծի շրջագծի համար, բայց նախ պետք է գտնել շառավիղը։ Դրա համար 6 սմ տրամագիծը բաժանում ենք 2-ի և ստանում շրջանագծի շառավիղը 3 սմ։

Դրանից հետո ամեն ինչ չափազանց պարզ է՝ մենք Pi թիվը բազմապատկում ենք 2-ով և ստացված 3 սմ շառավղով։
2*3.14*3սմ=6.28*3սմ=18.84սմ.

2. Իսկ հիմա նորից նայենք պարզ տարբերակին գտե՛ք 5 սմ շառավղով շրջանագծի շրջագիծը

Լուծում. 5 սմ շառավիղը բազմապատկվում է 2-ով և բազմապատկվում է 3,14-ով: Մի անհանգստացեք, քանի որ գործոնների վերադասավորումը չի ազդում արդյունքի վրա, և շրջագծի բանաձևըկարող է կիրառվել ցանկացած կարգով:

Գտնվում է 5սմ*2*3,14=10սմ*3,14=31,4սմ շրջապատ 5 սմ շառավղով!

Օնլայն շրջագծի հաշվիչ

Մեր շրջագծի հաշվիչը ակնթարթորեն կկատարի այս բոլոր ոչ բարդ հաշվարկները և կգրի լուծումը մեկնաբանություններով: Մենք կհաշվարկենք 3, 5, 6, 8 կամ 1 սմ շառավղի շրջագիծը, կամ տրամագիծը 4, 10, 15, 20 դմ է, մեր հաշվիչին չի հետաքրքրում, թե շառավղի որ արժեքի համար պետք է գտնել շրջագիծը:

Բոլոր հաշվարկները կլինեն ճշգրիտ՝ ստուգված մաթեմատիկոսների կողմից։ Արդյունքները կարող են օգտագործվել երկրաչափության կամ մաթեմատիկայի դպրոցական խնդիրների լուծման, ինչպես նաև շինարարության կամ տարածքների վերանորոգման և հարդարման աշխատանքներում, երբ ճշգրիտ հաշվարկներ են պահանջվում՝ օգտագործելով այս բանաձևը:

Այսպիսով, շրջագիծը ( Գ) կարելի է հաշվարկել հաստատունը բազմապատկելով π մեկ տրամագծով ( Դ), կամ բազմապատկելով π երկու անգամ շառավղով, քանի որ տրամագիծը հավասար է երկու շառավիղի։ Հետևաբար, շրջագծի բանաձևըկունենա հետևյալ տեսքը.

Գ = πD = 2πR

Որտեղ Գ- շրջագիծ, π - մշտական, Դ- շրջանագծի տրամագիծը, Ռշրջանագծի շառավիղն է։

Քանի որ շրջանագիծը շրջանագծի սահմանն է, շրջանագծի շրջագիծը կարելի է անվանել նաև շրջանագծի երկարություն կամ շրջանագծի պարագիծ։

Խնդիրներ շրջագծի համար

Առաջադրանք 1.Գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, եթե նրա տրամագիծը 5 սմ է։

Քանի որ շրջագիծն է π բազմապատկելով տրամագծով, ապա 5 սմ տրամագծով շրջանագծի շրջագիծը հավասար կլինի.

Գ≈ 3,14 5 = 15,7 (սմ)

Առաջադրանք 2.Գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, որի շառավիղը 3,5 մ է:

Նախ՝ գտե՛ք շրջանագծի տրամագիծը՝ շառավիղի երկարությունը 2-ով բազմապատկելով.

Դ= 3,5 2 = 7 (մ)

Այժմ գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը բազմապատկելով π մեկ տրամագծով:

Գ≈ 3,14 7 = 21,98 (մ)

Առաջադրանք 3.Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, որի երկարությունը 7,85 մ է:

Շրջանակի երկարությամբ տրված շառավիղը գտնելու համար շրջագիծը բաժանեք 2-ի: π

Շրջանի տարածքը

Շրջանակի մակերեսը հավասար է թվի արտադրյալին π դեպի շառավիղի քառակուսին։ Շրջանակի մակերեսը գտնելու բանաձևը:

Ս = պր 2

Որտեղ Սշրջանագծի մակերեսն է և rշրջանագծի շառավիղն է։

Քանի որ շրջանագծի տրամագիծը կրկնակի է շառավղից, շառավիղը հավասար է տրամագծին, որը բաժանվում է 2-ի.

Խնդիրներ շրջանագծի տարածքի համար

Առաջադրանք 1.Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը 2 սմ է։

Քանի որ շրջանագծի մակերեսը կազմում է π բազմապատկված շառավղով քառակուսիով, ապա 2 սմ շառավղով շրջանագծի մակերեսը հավասար կլինի.

Ս≈ 3,14 2 2 \u003d 3,14 4 \u003d 12,56 (սմ 2)

Առաջադրանք 2.Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը, եթե նրա տրամագիծը 7 սմ է։

Նախ՝ գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը՝ նրա տրամագիծը բաժանելով 2-ի.

7:2=3.5 (սմ)

Այժմ մենք հաշվարկում ենք շրջանագծի տարածքը բանաձևով.

Ս = պր 2 ≈ 3,14 3,5 2 \u003d 3,14 12,25 \u003d 38,465 (սմ 2)

Այս առաջադրանքըկարելի է լուծել այլ կերպ. Շառավիղը նախ գտնելու փոխարեն կարող եք օգտագործել շրջանագծի տարածքը տրամագծի առումով գտնելու բանաձևը.

Ս = π	Դ 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	\u003d 38,465 (սմ 2)
	4		4		4		4

Առաջադրանք 3.Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, եթե նրա մակերեսը 12,56 մ 2 է։

Շրջանակի շառավիղը տրված նրա տարածքը գտնելու համար բաժանեք շրջանագծի մակերեսը π , այնուհետև քաղել արդյունքից Քառակուսի արմատ:

r = √Ս : π

Այսպիսով, շառավիղը կլինի.

r≈ √12.56: 3.14 = √4 = 2 (մ)

Թիվ π

Մեզ շրջապատող առարկաների շրջագիծը կարելի է չափել սանտիմետր ժապավենի կամ պարանի (թելի) միջոցով, որի երկարությունը կարելի է այնուհետև առանձին չափել։ Բայց որոշ դեպքերում դժվար է կամ գրեթե անհնար է չափել շրջագիծը, օրինակ՝ շշի ներքին շրջագիծը կամ պարզապես թղթի վրա գծված շրջագիծը։ Նման դեպքերում դուք կարող եք հաշվարկել շրջանագծի շրջագիծը, եթե գիտեք նրա տրամագծի կամ շառավիղի երկարությունը։

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է դա անել, եկեք վերցնենք մի քանի կլոր առարկաներ, որոնցից կարող եք չափել և՛ շրջագիծը, և՛ տրամագիծը։ Մենք հաշվարկում ենք երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը, արդյունքում ստանում ենք թվերի հետևյալ շարքը.

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերակցությունը հաստատուն արժեք է յուրաքանչյուր առանձին շրջանագծի և բոլոր շրջանների համար որպես ամբողջություն: Այս հարաբերությունը նշվում է տառով π .

Օգտագործելով այս գիտելիքները՝ դուք կարող եք օգտագործել շրջանագծի շառավիղը կամ տրամագիծը՝ նրա երկարությունը գտնելու համար: Օրինակ, 3 սմ շառավղով շրջանագծի շրջագիծը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է շառավիղը բազմապատկել 2-ով (այսպես մենք ստանում ենք տրամագիծը), իսկ ստացված տրամագիծը բազմապատկել π . Ի վերջո, թվով π իմացանք, որ 3 սմ շառավղով շրջանագծի շրջագիծը 18,84 սմ է։

Շատ հաճախ ֆիզիկայի կամ ֆիզիկայի դպրոցական առաջադրանքները լուծելիս հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս գտնել շրջանագծի շրջագիծը՝ իմանալով տրամագիծը։ Փաստորեն, այս խնդիրը լուծելու համար դժվարություններ չկան, պարզապես պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ բանաձեւեր, դրա համար պահանջվում են հասկացություններ և սահմանումներ։

հետ շփման մեջ

Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

1. Շառավիղը միացնող գիծն է շրջանագծի կենտրոնը և նրա կամայական կետը. Այն նշվում է լատիներեն r տառով։
2. Ակորդը երկու կամայական միացնող գիծ է կետերը շրջանագծի վրա.
3. Տրամագիծը միացնող գիծն է շրջանագծի երկու կետ և անցնելով նրա կենտրոնով. Նշվում է լատինական d տառով։
4. - սա մի գիծ է, որը բաղկացած է բոլոր կետերից, որոնք գտնվում են ընտրված մեկ կետից հավասար հեռավորության վրա, որը կոչվում է իր կենտրոն: Դրա երկարությունը կնշանակվի լատինական l տառով։

Շրջանի տարածքը ամբողջ տարածքն է շրջապատված շրջանակի մեջ. Չափված է Վ քառակուսի միավորներ և նշվում է լատիներեն s տառով:

Օգտագործելով մեր սահմանումները՝ մենք եզրակացնում ենք, որ շրջանագծի տրամագիծը հավասար է նրա ամենամեծ ակորդին։

Ուշադրություն.Շրջանակի շառավիղը սահմանելուց կարելի է պարզել, թե որն է շրջանագծի տրամագիծը: Սրանք երկու շառավիղներ են, որոնք դրված են հակառակ ուղղություններով:

Շրջանակի տրամագիծը.

Գտեք շրջանագծի շրջագիծը և դրա մակերեսը

Եթե ​​մեզ տրված է շրջանագծի շառավիղը, ապա շրջանագծի տրամագիծը նկարագրվում է բանաձևով d = 2 * r. Այսպիսով, հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես կարելի է գտնել շրջանագծի տրամագիծը՝ իմանալով նրա շառավիղը, բավական է վերջինը բազմապատկել երկուսով.

Շրջանակի շրջագծի բանաձևը, որն արտահայտված է նրա շառավղով, հետևյալն է l \u003d 2 * P * r.

Ուշադրություն.Լատինական P (Pi) տառը նշանակում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը, և սա ոչ պարբերական է: տասնորդական. Դպրոցական մաթեմատիկայի մեջ այն համարվում է հայտնի աղյուսակային արժեք, որը հավասար է 3,14-ի:

Այժմ եկեք վերագրենք նախորդ բանաձեւը՝ շրջանագծի շրջագիծը տրամագծով գտնելու համար՝ հիշելով, թե որն է նրա տարբերությունը շառավիղի նկատմամբ։ Ստանալ: l \u003d 2 * P * r \u003d 2 * r * P \u003d P * d.

Մաթեմատիկայի դասընթացից հայտնի է, որ շրջանագծի մակերեսը նկարագրող բանաձևն ունի ձև՝ s \u003d P * r ^ 2:

Այժմ եկեք վերագրենք նախորդ բանաձևը, որպեսզի գտնենք շրջանագծի տարածքը տրամագծի առումով: Մենք ստանում ենք

s = P*r^2 = P*d^2/4:

Ամենաներից մեկը դժվար առաջադրանքներայս թեմայում շրջանագծի տարածքի սահմանումն է շրջագծով և հակառակը: Մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ s = P*r^2 և l = 2*P*r: Այստեղից ստանում ենք r = l/(2*П): Ստացված արտահայտությունը շառավղով փոխարինում ենք տարածքի բանաձևով, ստանում ենք. s = l^2/(4P). Շրջանակի շրջագիծը ճիշտ նույն կերպ որոշվում է շրջանագծի տարածքի առումով:

Շառավիղի երկարության և տրամագծի որոշում

Կարևոր.Առաջին հերթին մենք կսովորենք, թե ինչպես չափել տրամագիծը: Դա շատ պարզ է. գծեք ցանկացած շառավիղ, երկարացրեք այն հակառակ կողմընախքան աղեղն անցնելը. Ստացված հեռավորությունը չափում ենք կողմնացույցով և ցանկացած մետրիկ գործիքի օգնությամբ պարզում ենք, թե ինչ ենք փնտրում։

Եկեք պատասխանենք այն հարցին, թե ինչպես կարելի է պարզել շրջանագծի տրամագիծը՝ իմանալով դրա երկարությունը։ Դա անելու համար մենք այն արտահայտում ենք l \u003d P * d բանաձևից: Մենք ստանում ենք d = l / P:

Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է գտնել նրա տրամագիծը շրջանագծի շրջագծից, և մենք նույն կերպ կգտնենք շառավիղը։

l \u003d 2 * P * r, հետևաբար r \u003d l / 2 * P: Ընդհանուր առմամբ, շառավիղը պարզելու համար այն պետք է արտահայտվի տրամագծով և հակառակը։

Թող հիմա պահանջվի որոշել տրամագիծը՝ իմանալով շրջանագծի տարածքը: Մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ s \u003d P * d ^ 2/4: Այստեղից արտահայտում ենք դ. Պարզվում է d^2 = 4*s/P. Տրամագիծը ինքնին որոշելու համար անհրաժեշտ է արդյունահանել աջ կողմի քառակուսի արմատը. Ստացվում է d \u003d 2 * sqrt (s / P):

Տիպիկ առաջադրանքների լուծում

1. Իմացեք, թե ինչպես գտնել տրամագիծը՝ հաշվի առնելով շրջանագծի շրջագիծը: Թող այն հավասար լինի 778,72 կիլոմետրի։ Պետք է գտնել դ. d \u003d 778,72 / 3,14 \u003d 248 կիլոմետր: Հիշենք, թե որն է տրամագիծը և անմիջապես որոշենք շառավիղը, դրա համար վերևում սահմանված d արժեքը կիսում ենք կիսով չափ։ Պարզվում է r=248/2=124կիլոմետր։
2. Մտածեք, թե ինչպես կարելի է գտնել տվյալ շրջանագծի երկարությունը՝ իմանալով նրա շառավիղը: Թող r-ն ունենա 8 դմ 7 սմ արժեք, այս ամենը թարգմանենք սանտիմետրերի, ապա r-ը հավասար կլինի 87 սանտիմետրի։ Օգտագործենք բանաձևը՝ գտնելու շրջանագծի անհայտ երկարությունը։ Այդ դեպքում մեր ցանկությունը կհավասարվի l=2*3.14*87=546.36սմ. Եկեք թարգմանենք մեր ստացված արժեքը մետրային արժեքների ամբողջ թվերով l \u003d 546,36 սմ \u003d 5 մ 4 դմ 6 սմ 3,6 մմ:
3. Ենթադրենք, որ մենք պետք է որոշենք տվյալ շրջանագծի մակերեսը՝ օգտագործելով բանաձևը նրա հայտնի տրամագծի առումով: Թող d = 815 մետր: Հիշեք շրջանագծի մակերեսը գտնելու բանաձևը. Տրված արժեքները փոխարինելով այստեղ՝ մենք ստանում ենք s \u003d 3,14 * 815 ^ 2/4 \u003d 521416,625 քառ. մ.
4. Այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել շրջանագծի տարածքը՝ իմանալով նրա շառավիղի երկարությունը: Թող շառավիղը լինի 38 սմ:Օգտագործում ենք մեզ հայտնի բանաձևը. Փոխարինեք այստեղ մեզ տրված արժեքը պայմանով: Դուք ստանում եք հետևյալը. s \u003d 3.14 * 38 ^ 2 \u003d 4534.16 քառակուսի մետր: սմ.
5. Վերջին խնդիրն է որոշել շրջանագծի տարածքը հայտնի շրջագծից: Թող l = 47 մետր: s \u003d 47 ^ 2 / (4P) \u003d 2209 / 12,56 \u003d 175,87 քառ. մ.

Շրջագիծ

Մենք շրջապատված ենք շատ բաներով։ Եվ նրանցից շատերը կլոր են: Այն տրված է նրանց հեշտ օգտագործման համար։ Վերցրեք, օրինակ, անիվը: Եթե ​​այն պատրաստված լիներ քառակուսու տեսքով, ինչպե՞ս կգլորվեր ճանապարհի երկայնքով:

Կլոր առարկա պատրաստելու համար դուք պետք է իմանաք, թե ինչպիսին է շրջանագծի շրջագծի բանաձևը տրամագծի միջոցով: Դա անելու համար մենք նախ սահմանում ենք, թե որն է այս հասկացությունը:

Շրջան և շրջագիծ

Շրջանակը կետերի մի շարք է, որոնք տեղադրված են հիմնական կետից՝ կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա: Այս հեռավորությունը կոչվում է շառավիղ:

Տրված գծի երկու կետերի միջև հեռավորությունը կոչվում է ակորդ: Բացի այդ, եթե ակորդը անցնում է հիմնական կետով (կենտրոն), ապա այն կոչվում է տրամագիծ։

Հիմա հաշվի առեք, թե ինչ է շրջանը: Բոլոր կետերի հավաքածուն, որոնք գտնվում են ուրվագծի ներսում, կոչվում են շրջան:

Ինչ է պատահել շրջապատ?

Բոլոր սահմանումները դիտարկելուց հետո կարող ենք հաշվարկել շրջանակի տրամագիծը.Բանաձևը կքննարկվի մի փոքր ուշ:

Սկզբից մենք կփորձենք չափել ապակու ուրվագծի երկարությունը: Դա անելու համար այն թելով փաթաթում ենք, ապա քանոնով չափում ու պարզում ապակու շուրջ երեւակայական գծի մոտավոր երկարությունը։ Քանի որ չափը կախված է իրի ճիշտ չափումից, և այս մեթոդը հուսալի չէ: Այնուամենայնիվ, միանգամայն հնարավոր է ճշգրիտ չափումներ կատարել։

Դա անելու համար կրկին հիշեք անիվը: Մենք բազմիցս տեսել ենք, որ եթե անիվի (շառավղով) շառավիղը մեծանա, ապա անիվի եզրի երկարությունը (շրջագիծը) նույնպես կավելանա։ Եվ ինչպես շրջանագծի շառավիղը փոքրանում է, այնպես էլ պակասում է եզրի երկարությունը։

Եթե ​​ուշադիր հետևենք այս փոփոխություններին, ապա կտեսնենք, որ երևակայական շրջանաձև գծի երկարությունը համաչափ է նրա շառավղին։ Եվ այս թիվը հաստատուն է: Հաջորդը, հաշվի առեք, թե ինչպես է որոշվում շրջանագծի տրամագիծը. դրա բանաձևը կկիրառվի ստորև բերված օրինակում: Եկեք քայլ առ քայլ նայենք դրան:

Շրջանակի բանաձևը տրամագծով

Քանի որ ուրվագծի երկարությունը համաչափ է շառավղին, այն նույնպես համաչափ է տրամագծին: Ուստի դրա երկարությունը պայմանականորեն կնշենք C տառով, տրամագիծը՝ d։ Քանի որ եզրագծի երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը հաստատուն թիվ է, այն կարելի է որոշել:

Բոլոր հաշվարկները կատարելուց հետո մենք կորոշենք մի թիվ, որը մոտավորապես հավասար է 3,1415-ի... Այն պատճառով, որ հաշվարկներով կոնկրետ թիվ չի ստացվել, մենք այն կնշենք տառով։ π . Այս պատկերակը մեզ համար օգտակար է տրամագծով շրջանագծի շրջագծի բանաձևը ստանալու համար:

Եկեք երևակայական գիծ գծենք կենտրոնական կետի միջով և չափենք երկու ծայրահեղությունների միջև եղած հեռավորությունը։ Սա կլինի տրամագիծը: Եթե ​​մենք գիտենք շրջանագծի տրամագիծը, ապա դրա երկարությունը որոշելու բանաձևն ինքնին կունենա հետևյալ տեսքը. C=d*π.

Եթե ​​որոշենք տարբեր ուրվագծերի երկարությունը, ապա եթե հայտնի է դրանց տրամագիծը, ապա կկիրառվի նույն բանաձևը։ Քանի որ նշանը π - սա մոտավոր հաշվարկ է, այնուհետև որոշվեց տրամագիծը բազմապատկել 3,14-ով (համարը կլորացված էմինչև հարյուրերորդական):

Ինչպես հաշվարկել տրամագիծը. բանաձև

Այս անգամ փորձենք օգտագործել այս բանաձևը՝ ուրվագծի երկարությունից բացի այլ արժեքներ հաշվարկելու համար: Տրամագիծը շրջագծից հաշվարկելու համար օգտագործվում է նույն բանաձևը. Դրա համար մենք դրա երկարությունը բաժանում ենք π . Այն այսպիսի տեսք կունենա d=C/π.

Տեսնենք, թե ինչպես է այս բանաձեւը գործում գործնականում։ Օրինակ, մենք գիտենք ջրհորի ուրվագծի երկարությունը, պետք է հաշվարկել դրա տրամագիծը։ Չափել այն անհնար է, քանի որ եղանակային պայմանների պատճառով հասանելիություն չկա։ Իսկ մեր խնդիրն է ծածկոց պատրաստելը։ Ի՞նչ ենք անելու այս դեպքում։

Դուք պետք է օգտագործեք բանաձևը. Վերցնենք ջրհորի ուրվագծի երկարությունը, օրինակ՝ 600 սմ: Բանաձևում մենք դնում ենք որոշակի թիվ, այն է՝ C \u003d 600 / 3.14: Արդյունքում կստանանք մոտավորապես 191սմ:Արդյունքը կլորացրեք 200սմ:Այնուհետև կողմնացույցի օգնությամբ գծեք կլոր գիծ 100սմ շառավղով:

Քանի որ մեծ տրամագծով ուրվագիծը պետք է գծվի համապատասխան կողմնացույցով, նման գործիք կարելի է պատրաստել ինքներդ: Դա անելու համար վերցրեք ցանկալի երկարության ռելս և մեխեք յուրաքանչյուր ծայրում: Մենք մեկ մեխը տեղադրում ենք աշխատանքային մասի մեջ և թեթև ներս ենք խցնում, որպեսզի այն չշարժվի նախատեսված տեղից: Իսկ երկրորդի օգնությամբ գիծ ենք քաշում։ Սարքը շատ պարզ է և հարմար։

Ժամանակակից տեխնոլոգիաները թույլ են տալիս օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ ուրվագծի երկարությունը հաշվարկելու համար։ Դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել շրջանագծի տրամագիծը: Բանաձևը կկիրառվի ավտոմատ կերպով: Դուք կարող եք նաև հաշվարկել շրջանագծի շրջագիծը՝ օգտագործելով շառավիղը: Բացի այդ, եթե դուք գիտեք շրջանագծի շրջագիծը, առցանց հաշվիչը հաշվարկում է շառավիղը և տրամագիծը՝ օգտագործելով այս բանաձևը: