Վերջին դասին մենք սովորեցինք, թե ինչպես գումարել և հանել տասնորդական կոտորակները (տե՛ս «Տասնորդական կոտորակների գումարում և հանում» դասը): Միաժամանակ նրանք գնահատել են, թե որքանով են պարզեցված հաշվարկները սովորական «երկհարկանի» կոտորակների համեմատ։

Ցավոք, բազմապատկմամբ ու բաժանմամբ տասնորդական կոտորակներնման ազդեցություն չի լինում: Որոշ դեպքերում տասնորդական նշումը նույնիսկ բարդացնում է այդ գործողությունները:

Նախ, եկեք ներկայացնենք նոր սահմանում. Նրան բավականին հաճախ ենք հանդիպելու, և ոչ միայն այս դասին։

Թվի զգալի մասն այն ամենն է, ինչ առաջին և վերջին ոչ զրոյական թվանշանների միջև ընկած է, ներառյալ թրեյլերը: Խոսքը միայն թվերի մասին է, տասնորդական կետը հաշվի չի առնվում։

Թվի նշանակալի մասում ներառված թվանշանները կոչվում են նշանակալի թվանշաններ։ Դրանք կարող են կրկնվել և նույնիսկ հավասար լինել զրոյի։

Օրինակ, հաշվի առեք մի քանի տասնորդական կոտորակներ և դուրս գրեք դրանց համապատասխան նշանակալի մասերը.

1. 91.25 → 9125 (զգալի թվեր՝ 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (զգալի թվեր՝ 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (զգալի թվեր՝ 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (զգալի թվեր՝ 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (կա միայն մեկ նշանակալի թիվ. 3):

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. թվի զգալի մասի ներսում զրոները ոչ մի տեղ չեն գնում: Մենք արդեն հանդիպել ենք նման բանի, երբ սովորեցինք տասնորդական կոտորակները վերածել սովորականի (տե՛ս «Տասնորդական կոտորակներ» դասը):

Այս կետն այնքան կարևոր է, և այստեղ այնքան հաճախ են սխալներ թույլ տալիս, որ ես մոտ ապագայում կհրապարակեմ թեստ այս թեմայով: Համոզվեք, որ պարապեք: Իսկ մենք, զգալի մասի հայեցակարգով զինված, կանցնենք, ըստ էության, դասի թեմային։

Տասնորդական բազմապատկում

Բազմապատկման գործողությունը բաղկացած է երեք հաջորդական քայլերից.

1. Յուրաքանչյուր կոտորակի համար գրի՛ր նշանակալի մասը։ Դուք կստանաք երկու սովորական ամբողջ թիվ՝ առանց որևէ հայտարարի և տասնորդական միավորների;
2. Բազմապատկեք այս թվերը ցանկացած հարմար եղանակով: Ուղիղ, եթե թվերը փոքր են, կամ սյունակում: Մենք ստանում ենք ցանկալի կոտորակի զգալի մասը.
3. Պարզեք, թե որտեղ և քանի նիշով է տասնորդական կետը տեղաշարժվել սկզբնական կոտորակներում՝ ստանալով համապատասխան նշանակալի մասը: Կատարեք հակադարձ տեղաշարժեր նախորդ քայլում ձեռք բերված զգալի մասի վրա:

Եվս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ զգալի մասի կողմերում զրոները երբեք հաշվի չեն առնվում։ Այս կանոնի անտեսումը հանգեցնում է սխալների:

1. 0,28 12,5;
2. 6.3 1.08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10000.

Աշխատում ենք առաջին արտահայտությամբ՝ 0,28 12,5:

1. Դուրս գրենք այս արտահայտությունից թվերի նշանակալի մասերը՝ 28 և 125;
2. Նրանց արտադրանքը `28 125 = 3500;
3. Առաջին բազմապատկիչում տասնորդական կետը տեղափոխվում է 2 նիշ դեպի աջ (0,28 → 28), իսկ երկրորդում՝ ևս 1 նիշով: Ընդհանուր առմամբ, անհրաժեշտ է երեք նիշով անցում դեպի ձախ՝ 3500 → 3.500 = 3.5:

Այժմ անդրադառնանք 6.3 1.08 արտահայտությանը։

1. Դուրս գրենք էական մասերը՝ 63 և 108;
2. Նրանց արտադրանքը `63 108 = 6804;
3. Կրկին երկու տեղաշարժ դեպի աջ՝ համապատասխանաբար 2 և 1 թվանշաններով: Ընդհանուր առմամբ՝ կրկին 3 նիշ դեպի աջ, այնպես որ հակառակ տեղաշարժը կլինի 3 նիշ դեպի ձախ՝ 6804 → 6.804: Այս անգամ վերջում զրոներ չկան։

Հասանք երրորդ արտահայտությանը` 132,5 0,0034:

1. Նշանակալից մասեր՝ 1325 և 34;
2. Նրանց արտադրանքը՝ 1325 34 = 45,050;
3. Առաջին կոտորակի մեջ տասնորդական կետը աջ է գնում 1 թվանշանով, իսկ երկրորդում՝ 4-ով: Ընդհանուր՝ 5 աջ: Մենք կատարում ենք 5-ով տեղաշարժ դեպի ձախ՝ 45050 → .45050 = 0.4505: Զրոն հեռացվեց վերջում և ավելացվեց առջևում, որպեսզի «մերկ» տասնորդական կետ չմնա:

Հետևյալ արտահայտությունը՝ 0.0108 1600.5.

1. Գրում ենք նշանակալի մասեր՝ 108 և 16 005;
2. Մենք բազմապատկում ենք դրանք՝ 108 16 005 = 1 728 540;
3. Թվերը հաշվում ենք տասնորդական կետից հետո՝ առաջին թվում կա 4, երկրորդում՝ 1։ Ընդհանուր առմամբ՝ կրկին 5։ Ունենք՝ 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854։ Վերջում հանվեց «լրացուցիչ» զրոն։

Վերջապես, վերջին արտահայտությունը՝ 5,25 10,000։

1. Նշանակալից մասեր՝ 525 և 1;
2. Մենք բազմապատկում ենք դրանք՝ 525 1 = 525;
3. Առաջին կոտորակը 2 նիշով տեղափոխվում է աջ, իսկ երկրորդ կոտորակը 4 նիշով տեղափոխվում է ձախ (10000 → 1.0000 = 1): Ընդհանուր 4 − 2 = 2 նիշ դեպի ձախ: Մենք կատարում ենք հակառակ տեղաշարժ 2 թվանշանով դեպի աջ՝ 525, → 52 500 (պետք է զրոներ ավելացնեինք)։

Ուշադրություն դարձրեք վերջին օրինակին. քանի որ տասնորդական կետը շարժվում է տարբեր ուղղություններով, ընդհանուր տեղաշարժը կատարվում է տարբերության միջով: Սա շատ կարևոր կետ! Ահա ևս մեկ օրինակ.

Դիտարկենք 1.5 և 12500 թվերը: Մենք ունենք՝ 1.5 → 15 (1-ով շեղվել դեպի աջ); 12 500 → 125 (2-րդ տեղաշարժ դեպի ձախ): Մենք «քայլում» ենք 1 նիշ աջ, իսկ հետո 2 նիշ դեպի ձախ: Արդյունքում մենք 2 − 1 = 1 նիշ քայլ արեցինք դեպի ձախ։

Տասնորդական բաժանում

Բաժանումը, թերեւս, ամենադժվար գործողությունն է։ Իհարկե, այստեղ դուք կարող եք գործել անալոգիայով բազմապատկման հետ՝ բաժանել նշանակալի մասերը, այնուհետև «տեղափոխել» տասնորդական կետը: Բայց այս դեպքում կան բազմաթիվ նրբություններ, որոնք ժխտում են հնարավոր խնայողությունները:

Այսպիսով, եկեք նայենք ընդհանուր ալգորիթմին, որը մի փոքր ավելի երկար է, բայց շատ ավելի հուսալի.

1. Բոլոր տասնորդականները վերածեք սովորական կոտորակների: Մի փոքր պրակտիկայի դեպքում այս քայլը ձեզ մի քանի վայրկյան կտանի.
2. Ստացված կոտորակները բաժանե՛ք դասական եղանակով։ Այլ կերպ ասած, առաջին կոտորակը բազմապատկեք «շրջված» երկրորդով (տե՛ս «Թվային կոտորակների բազմապատկում և բաժանում» դասը);
3. Հնարավորության դեպքում վերադարձրեք արդյունքը որպես տասնորդական: Այս քայլը նույնպես արագ է, քանի որ հաճախ հայտարարն արդեն ունի տասի հզորություն։

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Մենք համարում ենք առաջին արտահայտությունը. Նախ, եկեք obi կոտորակները փոխարկենք տասնորդականների.

Նույնն ենք անում երկրորդ արտահայտության հետ. Առաջին կոտորակի համարիչը կրկին բաժանվում է գործոնների.

Երրորդ և չորրորդ օրինակներում մի կարևոր կետ կա՝ տասնորդական նշումից ազատվելուց հետո հայտնվում են չեղյալ համարվող կոտորակներ։ Սակայն մենք այս կրճատումը չենք կատարի։

Վերջին օրինակը հետաքրքիր է, քանի որ երկրորդ կոտորակի համարիչը պարզ թիվ է։ Այստեղ պարզապես ֆակտորիզացնելու ոչինչ չկա, ուստի մենք այն համարում ենք «դատարկ».

Երբեմն բաժանման արդյունքն է ամբողջ թիվ(Վերջին օրինակի մասին եմ խոսում): Այս դեպքում երրորդ քայլն ընդհանրապես չի կատարվում։

Բացի այդ, բաժանելիս հաճախ հայտնվում են «տգեղ» կոտորակներ, որոնք չեն կարող վերածվել տասնորդականների։ Այստեղ է, որ բաժանումը տարբերվում է բազմապատկումից, որտեղ արդյունքները միշտ արտահայտվում են տասնորդական տեսքով: Իհարկե, այս դեպքում վերջին քայլը կրկին չի կատարվում։

Ուշադրություն դարձրեք նաև 3-րդ և 4-րդ օրինակներին. Դրանցում մենք միտումնավոր չենք կրճատում տասնորդական թվերից ստացված սովորական կոտորակները։ Հակառակ դեպքում, դա կբարդացնի հակադարձ խնդիրը՝ վերջնական պատասխանը կրկին տասնորդական տեսքով ներկայացնելով:

Հիշեք. կոտորակի հիմնական հատկությունը (ինչպես մաթեմատիկայի ցանկացած այլ կանոն) ինքնին չի նշանակում, որ այն պետք է կիրառվի ամենուր և միշտ, ամեն հնարավորության դեպքում:

Այս ձեռնարկում մենք կանդրադառնանք այս գործողություններից յուրաքանչյուրին մեկ առ մեկ:

Դասի բովանդակությունը

Տասնորդական թվերի ավելացում

Ինչպես գիտենք, տասնորդականն ունի ամբողջ և կոտորակային մաս: Տասնորդական թվեր ավելացնելիս ամբողջ և կոտորակային մասերը գումարվում են առանձին։

Օրինակ՝ գումարենք 3.2 և 5.3 տասնորդականները։ Ավելի հարմար է տասնորդական կոտորակներ ավելացնել սյունակում:

Նախ այս երկու կոտորակները գրում ենք սյունակում, մինչդեռ ամբողջ մասերը պետք է լինեն ամբողջ մասերի տակ, իսկ կոտորակները՝ կոտորակային մասերի տակ։ Դպրոցում այս պահանջը կոչվում է «ստորակետը ստորակետի տակ».

Կոտորակները գրենք սյունակում այնպես, որ ստորակետը լինի ստորակետի տակ.

Մենք սկսում ենք ավելացնել կոտորակային մասերը՝ 2 + 3 \u003d 5: Մեր պատասխանի կոտորակային մասում գրում ենք հինգը.

Այժմ մենք գումարում ենք ամբողջ թվային մասերը՝ 3 + 5 = 8: Մեր պատասխանի ամբողջ մասում գրում ենք ութը.

Այժմ ստորակետով բաժանում ենք ամբողջ թվային մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար մենք կրկին հետևում ենք կանոնին «ստորակետը ստորակետի տակ»:

Ստացա պատասխանը 8.5. Այսպիսով, 3.2 + 5.3 արտահայտությունը հավասար է 8.5-ի

Իրականում ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է առաջին հայացքից։ Այստեղ նույնպես կան որոգայթներ, որոնց մասին հիմա կխոսենք։

Տեղերը տասնորդական թվերով

Տասնորդական թվերը, ինչպես սովորական թվերը, ունեն իրենց թվանշանները: Սրանք տասներորդ, հարյուրերորդ, հազարերորդ տեղեր են։ Այս դեպքում թվանշանները սկսվում են տասնորդական կետից հետո:

Տասնորդական կետից հետո առաջին նիշը պատասխանատու է տասներորդական տեղի համար, երկրորդ նիշը տասնորդական կետից հետո՝ հարյուրերորդական տեղի համար, երրորդ նիշը տասնորդական կետից հետո՝ հազարերորդական տեղի համար:

Տասնորդական կոտորակների թվանշանները պահում են մի քանիսը օգտակար տեղեկատվություն. Մասնավորապես, նրանք հայտնում են, թե քանի տասներորդական, հարյուրերորդական և հազարերորդական է տասնորդական:

Օրինակ, հաշվի առեք տասնորդական 0,345

Այն դիրքը, որտեղ գտնվում է եռյակը, կոչվում է տասներորդ տեղը

Այն դիրքը, որտեղ գտնվում է չորսը, կոչվում է հարյուրերորդական տեղը

Այն դիրքը, որտեղ գտնվում է հինգը, կոչվում է հազարերորդական

Եկեք նայենք այս ցուցանիշին: Մենք տեսնում ենք, որ տասներորդների անվանակարգում կա երեք. Սա հուշում է, որ 0,345 տասնորդական կոտորակի մեջ կա երեք տասներորդ:

Եթե ​​գումարենք կոտորակները, ապա կստանանք սկզբնական տասնորդական կոտորակը 0,345

Երևում է, որ սկզբում ստացանք պատասխանը, բայց այն վերածեցինք տասնորդական կոտորակի և ստացանք 0,345։

Տասնորդական կոտորակներ գումարելիս պահպանվում են նույն սկզբունքներն ու կանոնները, ինչ սովորական թվերը գումարելիս։ Տասնորդական կոտորակների գումարումը տեղի է ունենում թվանշաններով՝ տասներորդները գումարվում են տասներորդներին, հարյուրերորդները՝ հարյուրերորդներին, հազարերորդները՝ հազարերորդներին:

Ուստի տասնորդական կոտորակներ ավելացնելիս պահանջվում է պահպանել կանոնը «ստորակետը ստորակետի տակ». Ստորակետի տակ գտնվող ստորակետը տալիս է նույն կարգը, որով տասներորդները գումարվում են տասներորդներին, հարյուրերորդները հարյուրերորդներին, հազարերորդները՝ հազարերորդներին:

Օրինակ 1Գտե՛ք 1,5 + 3,4 արտահայտության արժեքը

Նախ գումարում ենք 5 + 4 = 9 կոտորակային մասերը։ Մեր պատասխանի կոտորակային մասում գրում ենք ինը.

Այժմ մենք գումարում ենք 1 + 3 = 4 ամբողջ թվային մասերը: Մեր պատասխանի ամբողջ մասում գրում ենք չորսը.

Այժմ ստորակետով բաժանում ենք ամբողջ թվային մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար մենք կրկին պահպանում ենք «ստորակետի տակ ստորակետ» կանոնը.

Ստացա պատասխանը 4.9. Այսպիսով, 1.5 + 3.4 արտահայտության արժեքը 4.9 է

Օրինակ 2Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ 3,51 + 1,22

Այս արտահայտությունը գրում ենք սյունակում՝ պահպանելով «ստորակետի տակ ստորակետ» կանոնը.

Նախ գումարում ենք կոտորակային մասը, այն է՝ հարյուրերորդականները 1+2=3։ Մեր պատասխանի հարյուրերորդ մասում գրում ենք եռյակը.

Այժմ ավելացրեք 5+2=7-ի տասներորդները: Յոթը գրում ենք մեր պատասխանի տասներորդ մասում.

Այժմ ավելացրեք ամբողջ մասերը 3+1=4։ Մեր պատասխանի ամբողջ մասում գրում ենք չորսը.

Ամբողջական մասը կոտորակայինից առանձնացնում ենք ստորակետով՝ պահպանելով «ստորակետի տակ» կանոնը.

Ստացա պատասխանը 4.73. Այսպիսով, 3.51 + 1.22 արտահայտության արժեքը 4.73 է

3,51 + 1,22 = 4,73

Ինչպես սովորական թվերի դեպքում, տասնորդական կոտորակներ ավելացնելիս. Այս դեպքում պատասխանում գրվում է մեկ թվանշան, իսկ մնացածը փոխանցվում է հաջորդ թվանշանին։

Օրինակ 3Գտե՛ք 2,65 + 3,27 արտահայտության արժեքը

Մենք գրում ենք այս արտահայտությունը սյունակում.

Ավելացնել հարյուրերորդական 5+7=12. Մեր պատասխանի հարյուրերորդ մասում 12 թիվը չի տեղավորվի։ Հետևաբար հարյուրերորդ մասում գրում ենք 2 թիվը և միավորը փոխանցում հաջորդ բիթին.

Այժմ գումարում ենք 6+2=8-ի տասներորդները գումարած նախորդ գործողությունից ստացած միավորը, ստանում ենք 9: Մեր պատասխանի տասներորդում գրում ենք 9 թիվը.

Այժմ ավելացրեք ամբողջ մասերը 2+3=5։ Մեր պատասխանի ամբողջական մասում գրում ենք 5 թիվը.

Ստացա պատասխանը 5.92. Այսպիսով, 2.65 + 3.27 արտահայտության արժեքը 5.92 է

2,65 + 3,27 = 5,92

Օրինակ 4Գտե՛ք 9,5 + 2,8 արտահայտության արժեքը

Գրի՛ր այս արտահայտությունը սյունակում

Մենք ավելացնում ենք կոտորակային մասերը 5 + 8 = 13։ 13 թիվը չի տեղավորվի մեր պատասխանի կոտորակային մասում, ուստի նախ գրում ենք 3 թիվը և միավորը փոխանցում հաջորդ թվանշանին, ավելի ճիշտ՝ փոխանցում ամբողջ թվին։ մաս:

Այժմ գումարում ենք 9+2=11 ամբողջ թվային մասերը գումարած նախորդ գործողությունից ստացած միավորը, ստանում ենք 12։ Մեր պատասխանի ամբողջական մասում գրում ենք 12 թիվը.

Ամբողջական մասը կոտորակայինից բաժանեք ստորակետով.

Ստացա պատասխանը 12.3. Այսպիսով, 9.5 + 2.8 արտահայտության արժեքը 12.3 է

9,5 + 2,8 = 12,3

Տասնորդական կոտորակներ ավելացնելիս երկու կոտորակներում էլ տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը պետք է նույնը լինի: Եթե ​​թվանշանները բավարար չեն, ապա կոտորակային մասի այս տեղերը լրացվում են զրոներով։

Օրինակ 5. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ 12,725 + 1,7

Այս արտահայտությունը սյունակում գրելուց առաջ երկու կոտորակների տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը դարձնենք նույնը։ 12.725 տասնորդական կոտորակը տասնորդական կետից հետո ունի երեք նիշ, մինչդեռ 1.7 կոտորակը ունի միայն մեկը: Այսպիսով, 1.7 կոտորակի մեջ վերջում պետք է ավելացնել երկու զրո: Հետո ստանում ենք 1700 կոտորակը։ Այժմ դուք կարող եք գրել այս արտահայտությունը սյունակում և սկսել հաշվարկել.

Ավելացնել հազարերորդական 5+0=5. Մեր պատասխանի հազարերորդ մասում գրում ենք 5 թիվը.

Ավելացնել հարյուրերորդական 2+0=2. Մեր պատասխանի հարյուրերորդ մասում գրում ենք 2 թիվը.

Ավելացնել 7+7=14-ի տասներորդները: 14 թիվը մեր պատասխանի տասներորդում չի տեղավորվի։ Հետևաբար, մենք նախ գրում ենք 4 թիվը և միավորը փոխանցում հաջորդ բիթին.

Այժմ գումարում ենք 12+1=13 ամբողջ թվային մասերը գումարած նախորդ գործողությունից ստացած միավորը, ստանում ենք 14։ Մեր պատասխանի ամբողջ մասում գրում ենք 14 թիվը.

Ամբողջական մասը կոտորակայինից բաժանեք ստորակետով.

Պատասխանը ստացել է 14425: Այսպիսով, 12.725+1.700 արտահայտության արժեքը 14.425 է

12,725+ 1,700 = 14,425

Տասնորդական թվերի հանում

Տասնորդական կոտորակները հանելիս պետք է հետևել նույն կանոններին, ինչ գումարելիս՝ «ստորակետը ստորակետի տակ» և «հավասար թվով թվանշաններ տասնորդական կետից հետո»:

Օրինակ 1Գտե՛ք 2,5 − 2,2 արտահայտության արժեքը

Այս արտահայտությունը գրում ենք սյունակում՝ պահպանելով «ստորակետի տակ» կանոնը.

Հաշվում ենք կոտորակային մասը 5−2=3։ Մեր պատասխանի տասներորդ մասում գրում ենք 3 թիվը.

Հաշվի՛ր 2−2=0 ամբողջ թվային մասը։ Մեր պատասխանի ամբողջական մասում զրո ենք գրում.

Ամբողջական մասը կոտորակայինից բաժանեք ստորակետով.

Մենք ստացանք 0.3 պատասխանը։ Այսպիսով, 2,5 − 2,2 արտահայտության արժեքը հավասար է 0,3-ի

2,5 − 2,2 = 0,3

Օրինակ 2Գտե՛ք 7.353 - 3.1 արտահայտության արժեքը

Այս արտահայտության մեջ տարբեր քանակությամբթվեր տասնորդական կետից հետո: 7.353 կոտորակում տասնորդական կետից հետո կա երեք նիշ, իսկ 3.1 կոտորակում՝ մեկ։ Սա նշանակում է, որ 3.1 կոտորակում վերջում պետք է երկու զրո գումարել, որպեսզի երկու կոտորակների թվանշանների թիվը նույնը լինի։ Հետո մենք ստանում ենք 3100:

Այժմ դուք կարող եք գրել այս արտահայտությունը սյունակում և հաշվարկել այն.

Պատասխանը ստացել է 4253: Այսպիսով, 7.353 − 3.1 արտահայտության արժեքը 4.253 է

7,353 — 3,1 = 4,253

Ինչպես սովորական թվերի դեպքում, երբեմն ստիպված կլինեք վերցնել մեկը հարակից բիթից, եթե հանումը դառնում է անհնար:

Օրինակ 3Գտե՛ք 3,46 − 2,39 արտահայտության արժեքը

6−9-ի հարյուրերորդական մասը հանել։ 6 թվից մի հանեք 9 թիվը։ Հետևաբար, հարակից թվանշանից պետք է միավոր վերցնել։ Հարևան թվանշանից մեկը վերցնելով՝ 6 թիվը վերածվում է 16-ի։ Այժմ կարող ենք հաշվել 16−9=7-ի հարյուրերորդականները։ Յոթը գրում ենք մեր պատասխանի հարյուրերորդ մասում.

Այժմ հանեք տասներորդներ: Քանի որ մենք վերցրել ենք մեկ միավոր տասներորդականների անվանակարգում, այնտեղ գտնվող ցուցանիշը նվազել է մեկ միավորով։ Այսինքն, տասներորդ տեղը այժմ ոչ թե 4 թիվն է, այլ 3 թիվը։ Հաշվենք 3−3=0-ի տասներորդները։ Մեր պատասխանի տասներորդ մասում գրում ենք զրո.

Այժմ հանեք 3−2=1 ամբողջ թվային մասերը։ Մեր պատասխանի ամբողջ մասում մենք գրում ենք միավորը.

Ամբողջական մասը կոտորակայինից բաժանեք ստորակետով.

Ստացա պատասխանը 1.07. Այսպիսով, 3,46−2,39 արտահայտության արժեքը հավասար է 1,07-ի

3,46−2,39=1,07

Օրինակ 4. Գտե՛ք 3−1.2 արտահայտության արժեքը

Այս օրինակը ամբողջ թվից հանում է տասնորդական թիվը: Այս արտահայտությունը գրենք սյունակով այնպես, որ ամբողջ մասը 1.23 տասնորդական կոտորակը 3 թվի տակ էր

Այժմ տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը դարձնենք նույնը։ Դա անելու համար 3 ​​թվից հետո դրեք ստորակետ և ավելացրեք մեկ զրո.

Այժմ հանեք տասներորդներ՝ 0−2: Թիվ 2-ը զրոյից մի հանեք, հետևաբար, հարակից թվանշանից պետք է միավոր վերցնել: Հարակից թվանշանից մեկը վերցնելով՝ 0-ը վերածվում է 10-ի։ Այժմ կարող եք հաշվարկել 10−2=8-ի տասներորդները։ Մեր պատասխանի տասներորդ մասում գրում ենք ութը.

Այժմ հանեք ամբողջ մասերը: Նախկինում 3 թիվը գտնվում էր ամբողջ թվի մեջ, բայց մենք նրանից վերցրեցինք մեկ միավոր։ Արդյունքում այն ​​վերածվեց 2 թվի։ Հետևաբար 2-ից հանում ենք 1։ 2−1=1։ Մեր պատասխանի ամբողջ մասում մենք գրում ենք միավորը.

Ամբողջական մասը կոտորակայինից բաժանեք ստորակետով.

Ստացա պատասխանը 1.8. Այսպիսով, 3−1.2 արտահայտության արժեքը 1.8 է

Տասնորդական բազմապատկում

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը հեշտ է և նույնիսկ զվարճալի: Տասնորդականները բազմապատկելու համար հարկավոր է դրանք բազմապատկել սովորական թվերի պես՝ անտեսելով ստորակետերը:

Պատասխանը ստանալուց հետո անհրաժեշտ է ստորակետով անջատել կոտորակային մասի ամբողջական մասը։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է երկու կոտորակներում տասնորդական կետից հետո թվանշանների քանակը հաշվել, ապա պատասխանում հաշվել նույն թվով թվանշանները աջ կողմում և դնել ստորակետ:

Օրինակ 1Գտե՛ք 2,5 × 1,5 արտահայտության արժեքը

Մենք բազմապատկում ենք այս տասնորդական կոտորակները որպես սովորական թվեր՝ անտեսելով ստորակետերը: Ստորակետներն անտեսելու համար կարող եք ժամանակավորապես պատկերացնել, որ դրանք ընդհանրապես բացակայում են.

Ստացանք 375։ Այս թվի մեջ անհրաժեշտ է ստորակետով անջատել ամբողջ մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար հարկավոր է տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը հաշվել 2,5 և 1,5 կոտորակներով: Առաջին կոտորակի մեջ տասնորդական կետից հետո մեկ նիշ է, երկրորդում նույնպես մեկ նիշ։ Ընդամենը երկու թիվ.

Մենք վերադառնում ենք 375 համարին և սկսում ենք շարժվել աջից ձախ։ Պետք է աջից երկու թվանշան հաշվենք և ստորակետ դնենք.

Ստացա պատասխանը 3.75. Այսպիսով, 2,5 × 1,5 արտահայտության արժեքը 3,75 է

2,5 x 1,5 = 3,75

Օրինակ 2Գտե՛ք 12,85 × 2,7 արտահայտության արժեքը

Եկեք բազմապատկենք այս տասնորդականները՝ անտեսելով ստորակետերը.

Ստացանք 34695։ Այս թվում պետք է ստորակետով առանձնացնել ամբողջ մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար հարկավոր է հաշվարկել տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը 12,85 և 2,7 կոտորակներում: 12,85 կոտորակում տասնորդական կետից հետո երկու նիշ է, 2,7 կոտորակում՝ մեկ նիշ՝ ընդհանուր երեք նիշ։

Մենք վերադառնում ենք 34695 համարին և սկսում ենք շարժվել աջից ձախ։ Աջից պետք է հաշվենք երեք թվանշան և ստորակետ դնենք.

Պատասխանը ստացել է 34695: Այսպիսով, 12,85 × 2,7 արտահայտության արժեքը 34,695 է

12,85 x 2,7 = 34,695

Տասնորդականի բազմապատկումը կանոնավոր թվով

Երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ անհրաժեշտ է տասնորդական թիվը բազմապատկել ընդհանուր համարը.

Տասնորդական և սովորական թիվը բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է դրանք բազմապատկել՝ անկախ տասնորդականի ստորակետից: Պատասխանը ստանալուց հետո անհրաժեշտ է ստորակետով անջատել կոտորակային մասի ամբողջական մասը։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է տասնորդական կոտորակի տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը հաշվել, ապա պատասխանում հաշվել նույն թվով թվանշաններ դեպի աջ և դնել ստորակետ։

Օրինակ, 2.54-ը բազմապատկեք 2-ով

2.54 տասնորդական կոտորակը բազմապատկում ենք սովորական 2 թվով՝ անտեսելով ստորակետը.

Ստացանք 508 թիվը։ Այս թվի մեջ պետք է ստորակետով առանձնացնել ամբողջ մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար հարկավոր է հաշվել 2.54 կոտորակի տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը: 2.54 կոտորակը տասնորդական կետից հետո ունի երկու նիշ։

Մենք վերադառնում ենք 508 համարին և սկսում ենք շարժվել աջից ձախ։ Պետք է աջից երկու թվանշան հաշվենք և ստորակետ դնենք.

Պատասխանը ստացել է 5.08. Այսպիսով, 2,54 × 2 արտահայտության արժեքը 5,08 է

2,54 x 2 = 5,08

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը 10, 100, 1000-ով

Տասնորդականները 10-ով, 100-ով կամ 1000-ով բազմապատկելը կատարվում է այնպես, ինչպես տասնորդականները բազմապատկելը կանոնավոր թվերով: Պետք է կատարել բազմապատկում՝ անտեսելով տասնորդական կոտորակի ստորակետը, այնուհետև պատասխանում ամբողջ թիվն առանձնացնել կոտորակային մասից՝ աջ կողմում հաշվելով նույնքան թվանշաններ, որքան կային տասնորդական կետից հետո թվանշաններ։ մաս.

Օրինակ, 2.88-ը բազմապատկեք 10-ով

Եկեք 2.88 տասնորդական կոտորակը բազմապատկենք 10-ով՝ անտեսելով տասնորդական կոտորակի ստորակետը.

Ստացանք 2880։ Այս թվի մեջ պետք է ստորակետով անջատել ամբողջ մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար հարկավոր է հաշվել 2.88 կոտորակի տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը: Մենք տեսնում ենք, որ 2.88 կոտորակի մեջ տասնորդական կետից հետո երկու նիշ կա։

Մենք վերադառնում ենք 2880 համարին և սկսում ենք շարժվել աջից ձախ։ Պետք է աջից երկու թվանշան հաշվենք և ստորակետ դնենք.

Պատասխանը ստացել է 28.80: Մենք հրաժարվում ենք վերջին զրոյից՝ ստանում ենք 28,8: Այսպիսով, 2,88 × 10 արտահայտության արժեքը 28,8 է

2,88 x 10 = 28,8

Տասնորդական կոտորակները 10, 100, 1000-ով բազմապատկելու երկրորդ եղանակ կա։ Այս մեթոդը շատ ավելի պարզ է և հարմար։ Այն բաղկացած է նրանից, որ տասնորդական կոտորակի ստորակետը շարժվում է դեպի աջ այնքան թվանշաններով, որքան զրոները բազմապատկիչում:

Օրինակ, եկեք լուծենք նախորդ օրինակը 2.88×10 այս կերպ. Առանց որևէ հաշվարկ տալու՝ մենք անմիջապես նայում ենք 10 գործակցին, մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ այն ունի մեկ զրո։ Այժմ 2,88 կոտորակի մեջ տասնորդական կետը մեկ նիշով տեղափոխում ենք աջ, ստանում ենք 28,8։

2,88 x 10 = 28,8

Փորձենք 2,88-ը բազմապատկել 100-ով, անմիջապես նայում ենք 100 գործակիցը, մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ: Մենք տեսնում ենք, որ այն ունի երկու զրո։ Այժմ 2.88 կոտորակի մեջ տասնորդական կետը երկու նիշով տեղափոխում ենք աջ, ստանում ենք 288։

2,88 x 100 = 288

Փորձենք 2,88-ը բազմապատկել 1000-ով, անմիջապես նայում ենք 1000 գործակիցը, մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ այն ունի երեք զրո։ Այժմ 2.88 կոտորակի մեջ մենք տասնորդական կետը երեք նիշով տեղափոխում ենք աջ։ Երրորդ նիշը չկա, ուստի մենք ավելացնում ենք ևս մեկ զրո: Արդյունքում ստանում ենք 2880։

2,88 x 1000 = 2880

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը 0,1 0,01 և 0,001-ով

Տասնորդականները 0.1-ով, 0.01-ով և 0.001-ով բազմապատկելը գործում է այնպես, ինչպես տասնորդականը տասնորդականով բազմապատկելը: Անհրաժեշտ է սովորական թվերի նման կոտորակները բազմապատկել, իսկ պատասխանում դնել ստորակետ՝ աջ կողմում հաշվելով այնքան թվանշան, որքան երկու կոտորակների տասնորդական կետից հետո թվանշան կա։

Օրինակ, 3,25-ը բազմապատկեք 0,1-ով

Մենք բազմապատկում ենք այս կոտորակները սովորական թվերի նման՝ անտեսելով ստորակետերը.

Ստացանք 325։ Այս թվի մեջ պետք է ստորակետով անջատել ամբողջ մասը կոտորակայինից։ Դա անելու համար հարկավոր է հաշվարկել տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը 3,25 և 0,1 կոտորակներում: 3.25 կոտորակում տասնորդական կետից հետո երկու նիշ է, 0.1 կոտորակում՝ մեկ նիշ։ Ընդամենը երեք թիվ.

Մենք վերադառնում ենք 325 համարին և սկսում ենք շարժվել աջից ձախ։ Աջ կողմում պետք է հաշվենք երեք թվանշան և ստորակետ դնենք։ Երեք թվանշանը հաշվելուց հետո մենք գտնում ենք, որ թվերն ավարտված են: Այս դեպքում անհրաժեշտ է ավելացնել մեկ զրո և դնել ստորակետ.

Պատասխանը ստացանք 0,325։ Այսպիսով, 3,25 × 0,1 արտահայտության արժեքը 0,325 է

3,25 x 0,1 = 0,325

Տասնորդական թվերը 0.1-ով, 0.01-ով և 0.001-ով բազմապատկելու երկրորդ եղանակ կա: Այս մեթոդը շատ ավելի հեշտ և հարմար է։ Այն բաղկացած է նրանից, որ տասնորդական կոտորակի ստորակետը դեպի ձախ է շարժվում այնքան թվանշաններով, որքան զրոները բազմապատկիչում:

Օրինակ, եկեք լուծենք նախորդ օրինակը 3,25 × 0,1 այս կերպ. Առանց որևէ հաշվարկ տալու, մենք անմիջապես նայում ենք 0.1 գործակցին։ Մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ այն ունի մեկ զրո։ Այժմ 3.25 կոտորակի մեջ տասնորդական կետը մեկ նիշով տեղափոխում ենք ձախ։ Ստորակետը մեկ նիշ տեղափոխելով ձախ՝ տեսնում ենք, որ երեքից առաջ այլևս թվեր չկան։ Այս դեպքում ավելացրեք մեկ զրո և դրեք ստորակետ։ Արդյունքում ստանում ենք 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Փորձենք 3,25-ը բազմապատկել 0,01-ով: Անմիջապես նայեք 0.01-ի բազմապատկիչին: Մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ այն ունի երկու զրո։ Այժմ 3.25 կոտորակի մեջ երկու նիշով ստորակետը տեղափոխում ենք ձախ, ստանում ենք 0.0325։

3,25 x 0,01 = 0,0325

Փորձենք 3,25-ը բազմապատկել 0,001-ով: Անմիջապես նայեք 0,001-ի բազմապատկիչին: Մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ այն ունի երեք զրո։ Այժմ 3.25 կոտորակի մեջ երեք նիշով տասնորդական կետը տեղափոխում ենք ձախ, ստանում ենք 0.00325:

3,25 × 0,001 = 0,00325

Մի շփոթեք տասնորդական թվերը 0.1-ով, 0.001-ով և 0.001-ով բազմապատկելը 10, 100, 1000-ով բազմապատկելու հետ: Ընդհանուր սխալշատ մարդիկ.

10, 100, 1000-ով բազմապատկելիս ստորակետը տեղափոխվում է աջ այնքան թվանշաններով, որքան զրոները բազմապատկիչում:

Իսկ 0,1-ով, 0,01-ով և 0,001-ով բազմապատկելիս ստորակետը տեղափոխվում է ձախ այնքան թվանշաններով, որքան զրոները բազմապատկիչում:

Եթե ​​սկզբում դժվար է հիշել, կարող եք օգտագործել առաջին մեթոդը, որում բազմապատկումը կատարվում է ինչպես սովորական թվերի դեպքում։ Պատասխանում ձեզ հարկավոր է ամբողջ թիվն առանձնացնել կոտորակայինից՝ աջ կողմում հաշվելով այնքան թվանշան, որքան երկու կոտորակների տասնորդական կետից հետո թվանշաններ կան:

Փոքր թվի բաժանումը մեծի վրա: Ընդլայնված մակարդակ.

Նախորդ դասերից մեկում ասացինք, որ փոքր թիվն ավելի մեծի վրա բաժանելիս ստացվում է կոտորակ, որի համարիչում դիվիդենտն է, իսկ հայտարարում՝ բաժանարարը։

Օրինակ՝ մեկ խնձորը երկուսի բաժանելու համար պետք է համարիչի մեջ գրել 1 (մեկ խնձոր), իսկ հայտարարում՝ 2 (երկու ընկեր): Արդյունքը կոտորակ է: Այսպիսով, յուրաքանչյուր ընկեր կստանա մեկ խնձոր: Այսինքն՝ կես խնձոր։ Կոտորակը խնդրի պատասխանն է ինչպես բաժանել մեկ խնձոր երկուսի միջև

Ստացվում է, որ այս խնդիրը կարող եք հետագայում լուծել, եթե 1-ը բաժանեք 2-ի: Ի վերջո, ցանկացած կոտորակի մեջ կոտորակային բարը նշանակում է բաժանում, ինչը նշանակում է, որ այս բաժանումը նույնպես թույլատրված է կոտորակի մեջ: Բայց ինչպես? Մենք սովոր ենք, որ դիվիդենտը միշտ ավելի մեծ է, քան բաժանարարը։ Իսկ այստեղ, ընդհակառակը, դիվիդենտն ավելի քիչ է, քան բաժանարարը։

Ամեն ինչ պարզ կդառնա, եթե հիշենք, որ կոտորակ նշանակում է ջախջախել, բաժանել, բաժանել։ Սա նշանակում է, որ միավորը կարելի է բաժանել այնքան մասերի, որքան ցանկանում եք, և ոչ միայն երկու մասի:

Փոքր թիվն ավելի մեծի վրա բաժանելիս ստացվում է տասնորդական կոտորակ, որում ամբողջ թիվը կլինի 0 (զրո): Կոտորակի մասը կարող է լինել ցանկացած բան:

Այսպիսով, եկեք 1-ը բաժանենք 2-ի: Եկեք այս օրինակը լուծենք անկյունով.

Չի կարելի հենց այնպես երկուսի բաժանել։ Եթե ​​հարց տաք «Քանի՞ երկու կա մեկում» , ապա պատասխանը կլինի 0։ Հետևաբար մասնավորում գրում ենք 0 և դնում ենք ստորակետ.

Այժմ, ինչպես միշտ, մենք բազմապատկում ենք քանորդը բաժանարարով, որպեսզի դուրս հանենք մնացորդը.

Եկել է պահը, երբ միավորը կարելի է բաժանել երկու մասի։ Դա անելու համար ստացվածի աջ կողմում ավելացրեք ևս մեկ զրո.

Ստացանք 10: 10-ը բաժանում ենք 2-ի, ստանում ենք 5: Մեր պատասխանի կոտորակային մասում գրում ենք հինգը.

Այժմ մենք վերցնում ենք վերջին մնացորդը, որպեսզի ավարտենք հաշվարկը: Բազմապատկենք 5-ը 2-ով, կստանանք 10

Պատասխանը ստացանք 0.5. Այսպիսով, կոտորակը 0,5 է

Կես խնձոր կարելի է գրել նաև 0,5 տասնորդական կոտորակի միջոցով: Եթե ​​ավելացնենք այս երկու կեսերը (0,5 և 0,5), ապա նորից կստանանք օրիգինալ մեկ ամբողջական խնձոր.

Այս կետը կարելի է հասկանալ նաև, եթե պատկերացնենք, թե ինչպես է 1 սմ-ը բաժանվում երկու մասի։ Եթե ​​1 սանտիմետրը բաժանեք 2 մասի, կստանաք 0,5 սմ

Օրինակ 2Գտե՛ք 4:5 արտահայտության արժեքը

Քանի՞ հնգյակ կա չորսում: Ընդհանրապես. Մենք գրում ենք մասնավոր 0 և դնում ենք ստորակետ.

0-ը բազմապատկում ենք 5-ով, ստանում ենք 0։ Չորսի տակ գրում ենք զրո։ Անմիջապես հանեք այս զրո շահաբաժինից.

Այժմ սկսենք չորսը բաժանել (բաժանել) 5 մասի։ Դրա համար 4-ի աջ կողմում ավելացնում ենք զրո և 40-ը բաժանում ենք 5-ի, ստանում ենք 8: Ութն ենք գրում մասնավոր:

Օրինակը լրացնում ենք 8-ը 5-ով բազմապատկելով և ստանում 40.

Մենք ստացանք պատասխանը 0.8. Այսպիսով, 4:5 արտահայտության արժեքը 0,8 է

Օրինակ 3Գտե՛ք 5 արտահայտության արժեքը՝ 125

Քանի՞ 125 թիվ կա հինգում: Ընդհանրապես. Գրում ենք 0 մասնավոր և դնում ենք ստորակետ.

0-ը բազմապատկում ենք 5-ով, ստանում ենք 0։ Հինգի տակ գրում ենք 0։ Հինգից անմիջապես հանեք 0-ը

Հիմա սկսենք հինգը բաժանել (բաժանել) 125 մասի։ Դա անելու համար այս հինգից աջ մենք գրում ենք զրո.

50-ը բաժանե՛ք 125-ի։Քանի՞ թիվ է 125-ը 50-ի մեջ։ Ընդհանրապես. Այսպիսով, քանորդում մենք կրկին գրում ենք 0

0-ը բազմապատկում ենք 125-ով, ստանում ենք 0։ Այս զրոն գրում ենք 50-ի տակ։ 50-ից անմիջապես հանում ենք 0։

Այժմ 50 թիվը բաժանում ենք 125 մասի։ Դա անելու համար 50-ի աջ կողմում մենք գրում ենք ևս մեկ զրո.

500-ը բաժանեք 125-ի։Քանի՞ թիվ է 125-ը 500 թվի մեջ։500 թվի մեջ կա չորս 125։Չորսը գրում ենք մասնավոր.

Օրինակը լրացնում ենք 4-ը 125-ով բազմապատկելով և ստանում ենք 500

Պատասխանը ստացանք 0.04. Այսպիսով, 5:125 արտահայտության արժեքը 0,04 է

Թվերի բաժանում առանց մնացորդի

Այսպիսով, միավորից հետո եկեք ստորակետ դնենք՝ դրանով իսկ նշելով, որ ամբողջ թվային մասերի բաժանումն ավարտված է, և անցնում ենք կոտորակային.

Մնացած 4-ին ավելացրեք զրո

Այժմ 40-ը բաժանում ենք 5-ի, ստանում ենք 8։ Ութն առանձին գրում ենք.

40−40=0։ Մնացածում ստացել է 0: Այսպիսով, բաժանումն ամբողջությամբ ավարտված է: 9-ը 5-ի բաժանելուց ստացվում է տասնորդական 1,8:

9: 5 = 1,8

Օրինակ 2. Առանց մնացորդի 84-ը բաժանեք 5-ի

Սկզբում 84-ը բաժանում ենք 5-ի, ինչպես միշտ, մնացորդով.

Ստացել է մասնավոր 16 և ևս 4 հաշվեկշռում։ Այժմ այս մնացորդը բաժանում ենք 5-ի: Ստորակետ ենք դնում մասնավորի մեջ, իսկ մնացած 4-ին ավելացնում ենք 0:

Այժմ 40-ը բաժանում ենք 5-ի, ստանում ենք 8: Տասնորդական կետից հետո ութը գրում ենք քանորդի մեջ.

և լրացրեք օրինակը՝ ստուգելով, թե արդյոք դեռ մնացորդ կա.

Տասնորդական թվի բաժանումը կանոնավոր թվի վրա

Տասնորդական կոտորակը, ինչպես գիտենք, բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից։ Տասնորդական կոտորակը կանոնավոր թվի վրա բաժանելիս առաջին հերթին անհրաժեշտ է.

• տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասը բաժանեք այս թվի վրա.
• ամբողջ թիվը բաժանվելուց հետո անհրաժեշտ է անհապաղ ստորակետ դնել մասնավոր մասում և շարունակել հաշվարկը, ինչպես սովորական բաժանման դեպքում։

Օրինակ՝ 4,8-ը բաժանենք 2-ի

Եկեք այս օրինակը գրենք որպես անկյուն.

Հիմա եկեք ամբողջ մասը բաժանենք 2-ի: Չորսը բաժանված երկուսի վրա երկու է: Մենք գրում ենք դյուզը մասնավոր և անմիջապես դնում ենք ստորակետ.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք քանորդը բաժանարարով և տեսնում ենք, թե արդյոք բաժանումից մնացորդ կա.

4−4=0։ Մնացածը զրո է։ Մենք դեռ զրո չենք գրում, քանի որ լուծումը ավարտված չէ։ Այնուհետև մենք շարունակում ենք հաշվարկել, ինչպես սովորական բաժանման դեպքում։ Վերցրեք 8-ը և բաժանեք այն 2-ի

8: 2 = 4. Չորսը գրում ենք քանորդի մեջ և անմիջապես բազմապատկում ենք բաժանարարով.

Ստացա պատասխանը 2.4. Արտահայտման արժեքը 4.8՝ 2 հավասար է 2.4

Օրինակ 2Գտե՛ք 8.43:3 արտահայտության արժեքը

8-ը բաժանում ենք 3-ի, ստանում ենք 2: Երկուսից հետո անմիջապես ստորակետ դրեք.

Այժմ մենք բազմապատկում ենք քանորդը բաժանարարով 2 × 3 = 6: Վեցը գրում ենք ութի տակ և գտնում մնացորդը.

24-ը բաժանում ենք 3-ի, ստանում ենք 8. Ութն առանձին գրում ենք։ Մենք անմիջապես այն բազմապատկում ենք բաժանարարով՝ գտնելու բաժանման մնացորդը.

24−24=0։ Մնացածը զրո է։ Զրո դեռ չի արձանագրվել։ Վերցրեք շահաբաժնի վերջին երեքը և բաժանեք 3-ի, կստանանք 1: Անմիջապես 1-ը բազմապատկեք 3-ով այս օրինակը ավարտելու համար.

Ստացա պատասխանը 2.81. Այսպիսով, 8.43:3 արտահայտության արժեքը հավասար է 2.81-ի

Տասնորդականի բաժանումը տասնորդականի

Տասնորդական կոտորակը տասնորդական կոտորակի բաժանելու համար դիվիդենտում և բաժանարարում ստորակետը տեղափոխեք աջ նույն թվով թվանշաններով, ինչ կան բաժանարարի տասնորդական կետից հետո, այնուհետև բաժանեք կանոնավոր թվի վրա:

Օրինակ՝ 5,95-ը բաժանեք 1,7-ի

Այս արտահայտությունը գրենք որպես անկյուն

Այժմ, դիվիդենտում և բաժանարարում, մենք ստորակետը տեղափոխում ենք աջ նույն թվով թվանշաններով, որքան կան բաժանարարի տասնորդական կետից հետո: Տասնորդական կետից հետո բաժանարարն ունի մեկ նիշ։ Այսպիսով, մենք պետք է ստորակետը տեղափոխենք աջ մեկ նիշով դիվիդենտում և բաժանարարում: Փոխանցում:

Տասնորդական կետը մեկ նիշով աջ տեղափոխելուց հետո 5,95 տասնորդական կոտորակը վերածվեց 59,5 կոտորակի։ Իսկ տասնորդական կոտորակը 1.7, տասնորդական կետը մեկ նիշով դեպի աջ տեղափոխելուց հետո վերածվեց սովորական 17 թվի։ Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է բաժանել տասնորդական կոտորակը սովորական թվի վրա։ Հետագա հաշվարկը դժվար չէ.

Ստորակետը տեղափոխվում է աջ՝ բաժանումը հեշտացնելու համար։ Դա թույլատրվում է այն պատճառով, որ շահաբաժինն ու բաժանարարը նույն թվով բազմապատկելիս կամ բաժանելիս գործակիցը չի փոխվում։ Ինչ է դա նշանակում?

Սա մեկն է հետաքրքիր առանձնահատկություններբաժանում. Այն կոչվում է մասնավոր սեփականություն։ Դիտարկենք 9 արտահայտությունը՝ 3 = 3: Եթե այս արտահայտության մեջ շահաբաժինն ու բաժանարարը բազմապատկվում կամ բաժանվում են նույն թվով, ապա 3 գործակիցը չի փոխվի:

Եկեք բազմապատկենք շահաբաժինն ու բաժանարարը 2-ով և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում.

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Ինչպես երևում է օրինակից, գործակիցը չի փոխվել։

Նույնը տեղի է ունենում, երբ մենք ստորակետ ենք դնում դիվիդենտում և բաժանարարում: Նախորդ օրինակում, որտեղ 5,91-ը բաժանեցինք 1,7-ի, ստորակետը մեկ նիշ տեղափոխեցինք աջ դիվիդենտի և բաժանարարի մեջ: Ստորակետը տեղափոխելուց հետո 5,91 կոտորակը վերածվեց 59,1 կոտորակի, իսկ 1,7 կոտորակը վերածվեց սովորական 17 թվի։

Փաստորեն, այս գործընթացի ներսում տեղի ունեցավ բազմապատկում 10-ով: Ահա թե ինչ տեսք ուներ.

5,91 × 10 = 59,1

Հետևաբար, բաժանարարում տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը կախված է նրանից, թե ինչով կբազմապատկվեն շահաբաժինն ու բաժանարարը: Այլ կերպ ասած, բաժանարարում տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը կորոշի, թե դիվիդենտում և բաժանարարում քանի թվանշան կտեղափոխվի ստորակետը աջ:

Տասնորդական բաժանում 10-ի, 100-ի, 1000-ի

Տասնորդականը 10-ի, 100-ի կամ 1000-ի բաժանելը կատարվում է այնպես, ինչպես . Օրինակ՝ 2.1-ը բաժանենք 10-ի, այս օրինակը լուծենք անկյունով.

Բայց կա նաև երկրորդ ճանապարհը. Ավելի թեթև է։ Այս մեթոդի էությունն այն է, որ դիվիդենտում ստորակետը տեղափոխվում է ձախ այնքան թվանշաններով, որքան զրոներ կան բաժանարարում:

Նախորդ օրինակը լուծենք այսպես. 2.1: 10. Մենք նայում ենք բաժանարարին: Մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ կա մեկ զրո։ Այսպիսով, բաժանվող 2.1-ում պետք է ստորակետը մեկ նիշով տեղափոխել ձախ: Ստորակետը մեկ նիշով տեղափոխում ենք ձախ և տեսնում ենք, որ այլ թվանշաններ չեն մնացել։ Այս դեպքում թվից առաջ ավելացնում ենք ևս մեկ զրո։ Արդյունքում ստանում ենք 0.21

Փորձենք 2.1-ը բաժանել 100-ի, 100 թվի մեջ կա երկու զրո։ Այսպիսով, բաժանելի 2.1-ում դուք պետք է ստորակետը տեղափոխեք ձախ երկու թվանշանով.

2,1: 100 = 0,021

Փորձենք 2.1-ը բաժանել 1000-ի, 1000 թվի մեջ կա երեք զրո։ Այսպիսով, բաժանելի 2.1-ում դուք պետք է ստորակետը տեղափոխեք ձախ երեք նիշով.

2,1: 1000 = 0,0021

Տասնորդական բաժանում 0,1, 0,01 և 0,001

Տասնորդականը 0.1-ի, 0.01-ի և 0.001-ի բաժանելը կատարվում է այնպես, ինչպես . Դիվիդենտում և բաժանարարում պետք է ստորակետը տեղափոխել աջ այնքան թվանշաններով, որքան կան բաժանարարի տասնորդական կետից հետո:

Օրինակ՝ 6,3-ը բաժանենք 0,1-ի։ Նախ, ստորակետները դիվիդենտում և բաժանարարի մեջ տեղափոխում ենք աջ նույն թվով թվանշաններով, ինչ կան բաժանարարի տասնորդական կետից հետո: Տասնորդական կետից հետո բաժանարարն ունի մեկ նիշ։ Այսպիսով, ստորակետները դիվիդենտում և բաժանարարի մեջ մեկ նիշով տեղափոխում ենք աջ:

Տասնորդական կետը մեկ նիշով դեպի աջ տեղափոխելուց հետո 6.3 տասնորդական կոտորակը վերածվում է սովորական 63 թվի, իսկ տասնորդական կոտորակը 0.1, տասնորդական կետը մեկ նիշով աջ տեղափոխելուց հետո վերածվում է մեկի։ Իսկ 63-ը 1-ի բաժանելը շատ պարզ է.

Այսպիսով, 6.3: 0.1 արտահայտության արժեքը հավասար է 63-ի

Բայց կա նաև երկրորդ ճանապարհը. Ավելի թեթև է։ Այս մեթոդի էությունն այն է, որ դիվիդենտում ստորակետը փոխանցվում է աջ այնքան թվանշաններով, որքան զրոներ կան բաժանարարում:

Նախորդ օրինակը լուծենք այսպես. 6.3:0.1. Եկեք նայենք բաժանարարին: Մեզ հետաքրքրում է, թե քանի զրո կա դրա մեջ։ Մենք տեսնում ենք, որ կա մեկ զրո։ Այսպիսով, բաժանվող 6.3-ում դուք պետք է ստորակետը տեղափոխեք աջ մեկ նիշով: Ստորակետը մեկ նիշով տեղափոխում ենք աջ և ստանում 63

Փորձենք 6,3-ը բաժանել 0,01-ի։ 0.01 բաժանարարն ունի երկու զրո: Այսպիսով, բաժանվող 6.3-ում դուք պետք է ստորակետը տեղափոխեք աջ երկու նիշով: Բայց դիվիդենտում տասնորդական կետից հետո կա միայն մեկ թվանշան: Այս դեպքում վերջում պետք է ավելացվի ևս մեկ զրո։ Արդյունքում ստանում ենք 630

Փորձենք 6.3-ը բաժանել 0.001-ի: 0,001-ի բաժանարարն ունի երեք զրո։ Այսպիսով, բաժանելի 6.3-ում դուք պետք է ստորակետը տեղափոխեք աջ երեք նիշով.

6,3: 0,001 = 6300

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

Ձեզ դուր եկավ դասը:
Միացե՛ք մեր նոր Vkontakte խմբին և սկսե՛ք ստանալ նոր դասերի մասին ծանուցումներ

Տասնորդականով բաժանումը կրճատվում է բաժանման վրա բնական թիվ.

Թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու կանոն

Թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում անհրաժեշտ է ստորակետը տեղափոխել աջ այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետից հետո կա բաժանարարում։ Դրանից հետո բաժանեք բնական թվի վրա։

Օրինակներ.

Կատարեք բաժանումը տասնորդականով.

Տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է ստորակետը աջ տեղափոխել այնքան թվանշան, որքան բաժանարարի տասնորդական կետից հետո, այսինքն՝ մեկ նշանով: Մենք ստանում ենք՝ 35.1: 1.8 \u003d 351: 18: Այժմ մենք կատարում ենք բաժանում անկյունով: Արդյունքում մենք ստանում ենք՝ 35.1: 1.8 = 19.5:

2) 14,76: 3,6

Տասնորդական կոտորակների բաժանումն իրականացնելու համար, ինչպես դիվիդենտում, այնպես էլ բաժանարարում, ստորակետը տեղափոխեք աջ մեկ նշանով՝ 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36: Այժմ կատարում ենք բնական թվով: Արդյունք՝ 14.76: 3.6 = 4.1:

Բնական թվի տասնորդական կոտորակի վրա բաժանում կատարելու համար և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում անհրաժեշտ է աջ տեղափոխել այնքան նիշ, որքան տասնորդական կետից հետո կա բաժանարարում։ Քանի որ ստորակետը այս դեպքում բաժանարարում գրված չէ, նիշերի բաց թողած թիվը լրացնում ենք զրոներով՝ 70: 1.75 \u003d 7000: 175: Ստացված բնական թվերը բաժանում ենք անկյունով՝ 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Մի տասնորդական կոտորակը մյուսի բաժանելու համար ստորակետը տեղափոխում ենք աջ և՛ դիվիդենտում, և՛ բաժանարարում այնքան թվանշաններով, որքան կան տասնորդական կետից հետո բաժանարարում, այսինքն՝ երեք նիշով։ Այսպիսով, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58: Տասնորդական կոտորակի վրա բաժանումը փոխարինվեց բնական թվով բաժանմամբ: Մենք կիսում ենք մի անկյուն: Մենք ունենք՝ 0.1218: 0.058 = 121.8: 58 = 2.1:

5) 0,0456: 3,8

§ 107. Տասնորդական կոտորակների գումարում.

Տասնորդական թվերի գումարումը կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերը: Տեսնենք սա օրինակներով։

1) 0,132 + 2,354. Եկեք ստորագրենք պայմանները մեկը մյուսի տակ։

Այստեղ 2 հազարերորդական 4 հազարերորդականի գումարումից ստացվել է 6 հազարերորդական;
3 հարյուրերորդական 5 հարյուրերորդականի գումարումից ստացվել է 8 հարյուրերորդական;
1 տասներորդ գումարելով 3 տասներորդով -4 տասներորդով և
2 ամբողջ թվով 0 ամբողջ թիվ ավելացնելուց - 2 ամբողջ թիվ:

2) 5,065 + 7,83.

Երկրորդ ժամկետում հազարերորդականներ չկան, ուստի կարևոր է չսխալվել պայմանները միմյանց տակ ստորագրելիս։

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Այստեղ հազարերորդականներ ավելացնելիս ստանում ենք 21 հազարերորդական; մենք հազարերորդականների տակ գրեցինք 1, իսկ հարյուրերորդներին ավելացրինք 2, այնպես որ հարյուրերորդ տեղում ստացանք հետևյալ անդամները՝ 2 + 3 + 6 + 8 + 0; գումարով 19 հարյուրերորդական են տալիս, 9-ը հարյուրերորդականի տակ ենք ստորագրել, իսկ 1-ը տասներորդական է հաշվվել եւ այլն։

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները գումարելիս պետք է պահպանել հետևյալ հաջորդականությունը. կոտորակները ստորագրվում են մեկը մյուսի տակ այնպես, որ բոլոր տերմիններով նույն թվանշանները լինեն միմյանց տակ, իսկ բոլոր ստորակետները լինեն նույն ուղղահայաց սյունակում. Որոշ տերմինների տասնորդական վայրերից աջ, նրանք վերագրում են, թեկուզ մտավոր, այնպիսի զրոներ, որ տասնորդական կետից հետո բոլոր անդամներն ունեն նույն թվանշանները։ Այնուհետև գումարումը կատարվում է թվանշաններով՝ սկսած աջ կողմից, և արդյունքում ստացված չափով ստորակետը դրվում է նույն ուղղահայաց սյունակում, ինչ այս տերմիններում է։

§ 108. Տասնորդական կոտորակների հանում.

Տասնորդականների հանումը կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերը հանելը: Սա ցույց տանք օրինակներով։

1) 9,87 - 7,32: Ստորագրենք ենթակետը մինուենդի տակ, որպեսզի նույն թվանշանի միավորները լինեն միմյանց տակ.

2) 16.29 - 4.75: Ստորագրենք ենթակետը մինուենդի տակ, ինչպես առաջին օրինակում.

Տասներորդները հանելու համար պետք է 6-ից վերցնել մեկ ամբողջ միավոր և այն բաժանել տասներորդների:

3) 14.0213-5.350712. Ստորագրենք ենթավերնագիրը մինուենդի տակ.

Հանումն իրականացվել է հետևյալ կերպ. քանի որ մենք չենք կարող 0-ից հանել 2 միլիոներորդական, ապա պետք է նկատի ունենալ դեպի ձախ մոտակա թվանշանը, այսինքն՝ հարյուրհազարերորդականին, բայց հարյուրհազարերորդականի փոխարեն կա նաև զրո, ուստի վերցնում ենք 1։ 3-ից տասը հազարը և բաժանում ենք հարյուրհազարերորդականի, ստանում ենք 10 հարյուրհազարերորդական, որից 9-ը մնում է հարյուրհազարերորդական կատեգորիայի մեջ, իսկ հարյուրհազարերորդը տրորվում է միլիոներորդականների, մենք ստանում ենք 10 միլիոներորդական: Այսպիսով, վերջին երեք թվանշաններով ստացանք՝ միլիոներորդականներ 10, հարյուրհազարերորդականներ 9, տասը հազարերորդներ 2։ Ավելի պարզության և հարմարության համար (չմոռանանք) այս թվերը գրվում են կրճատվածի համապատասխան կոտորակային թվանշանների վրա։ Այժմ մենք կարող ենք սկսել հանել: 10 միլիոներորդականից հանում ենք 2 միլիոներորդական, ստանում ենք 8 միլիոներորդական; 9 հարյուրհազարերորդականից հանում ենք 1 հարյուրհազարերորդական, ստանում ենք 8 հարյուրհազարերորդական և այլն։

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները հանելիս պահպանվում է հետևյալ հաջորդականությունը. հանվածը ստորագրվում է կրճատվածի տակ, որպեսզի նույն թվանշանները լինեն մեկը մյուսի տակ, իսկ բոլոր ստորակետները լինեն նույն ուղղահայաց սյունակում. աջ կողմում նրանք վերագրում են, թեկուզ մտովի, կրճատված կամ հանված այնքան զրո, որ նրանք ունենան նույն թվով թվանշաններ, ապա հանում են թվերով՝ սկսած աջ կողմից, և ստացված տարբերության մեջ ստորակետ են դնում. նույն ուղղահայաց սյունակը, որում այն ​​գտնվում է կրճատված և հանված:

§ 109. Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում.

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկման մի քանի օրինակ:

Այս թվերի արտադրյալը գտնելու համար մենք կարող ենք պատճառաբանել հետևյալ կերպ. եթե գործակիցը մեծացվի 10 անգամ, ապա երկու գործակիցներն էլ կլինեն ամբողջ թվեր, և մենք կարող ենք դրանք բազմապատկել ըստ ամբողջ թվերի բազմապատկման կանոնների։ Բայց մենք գիտենք, որ երբ գործոններից մեկը մի քանի անգամ ավելանում է, արտադրանքը նույն չափով ավելանում է։ Սա նշանակում է, որ այն թիվը, որը կստացվի 28-ը 23-ով բազմապատկելուց, 10 անգամ մեծ է իրական արտադրյալից, և որպեսզի ստացվի. իսկական աշխատանք, անհրաժեշտ է 10 անգամ կրճատել հայտնաբերված ապրանքը։ Հետևաբար, այստեղ պետք է մեկ անգամ կատարել 10-ով բազմապատկելը և մեկ անգամ՝ 10-ով բաժանելը, սակայն բազմապատկումը և 10-ով բաժանումը կատարվում է՝ ստորակետը մեկ նշանով աջ և ձախ տեղափոխելով։ Հետևաբար, դուք պետք է դա անեք. բազմապատկիչում ստորակետը տեղափոխեք աջ մեկ նշանով, դրանից այն հավասար կլինի 23-ի, այնուհետև պետք է բազմապատկեք ստացված ամբողջ թվերը.

Այս ապրանքը 10 անգամ ավելի մեծ է, քան իրականը: Հետեւաբար, այն պետք է կրճատվի 10 անգամ, ինչի համար մենք ստորակետը տեղափոխում ենք մեկ նիշ դեպի ձախ։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք

28 2,3 = 64,4.

Ստուգման նպատակով դուք կարող եք գրել տասնորդական կոտորակ հայտարարով և կատարել գործողություն սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն, այսինքն.

2) 12,27 0,021.

Այս օրինակի և նախորդի տարբերությունն այն է, որ այստեղ երկու գործակիցներն էլ ներկայացված են տասնորդական կոտորակներով։ Բայց այստեղ բազմապատկման գործընթացում մենք ուշադրություն չենք դարձնի ստորակետներին, այսինքն՝ ժամանակավորապես կավելացնենք բազմապատկիչը 100 անգամ, իսկ բազմապատկիչը՝ 1000 անգամ, ինչը կմեծացնի արտադրյալը 100000 անգամ։ Այսպիսով, 1227-ը բազմապատկելով 21-ով, ստանում ենք.

1 227 21 = 25 767.

Հաշվի առնելով, որ ստացված արդյունքը 100.000 անգամ մեծ է իրականից, այժմ մենք պետք է այն կրճատենք 100.000 անգամ՝ դրանում ճիշտ ստորակետ դնելով, ապա ստանում ենք.

32,27 0,021 = 0,25767.

Եկեք ստուգենք.

Այսպիսով, երկու տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու համար բավական է, առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու, դրանք բազմապատկել որպես ամբողջ թվեր, իսկ արտադրյալում աջ կողմում ստորակետով առանձնացնել այնքան տասնորդական, որքան կային բազմապատկիչում և մեջ։ գործոնը միասին.

Վերջին օրինակում արդյունքը հինգ տասնորդական թվերով արտադրյալ է: Եթե ​​նման ավելի մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, ապա կատարվում է տասնորդական կոտորակի կլորացում։ Կլորացնելիս դուք պետք է օգտագործեք նույն կանոնը, որը նշված էր ամբողջ թվերի համար:

§ 110. Բազմապատկում աղյուսակների միջոցով.

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը երբեմն կարելի է անել աղյուսակների միջոցով: Այդ նպատակով կարող եք, օրինակ, օգտագործել այդ բազմապատկման աղյուսակները երկնիշ թվեր, որի նկարագրությունը տրվել է ավելի վաղ։

1) 53-ը բազմապատկել 1,5-ով:

Մենք 53-ը կբազմապատկենք 15-ով: Աղյուսակում այս արտադրյալը հավասար է 795-ի: Մենք գտանք 53-ի արտադրյալը 15-ով, բայց մեր երկրորդ գործակիցը 10 անգամ պակաս էր, ինչը նշանակում է, որ արտադրյալը պետք է կրճատվի 10 անգամ, այսինքն.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3-ը բազմապատկել 4.7-ով:

Նախ, եկեք աղյուսակում գտնենք 53-ի արտադրյալը 47-ով, այն կլինի 2491: Բայց քանի որ բազմապատկիչն ու բազմապատկիչը մեծացրել ենք ընդհանուր 100 անգամ, ուրեմն ստացված արտադրյալը 100 անգամ ավելի մեծ է, քան պետք է լինի. Այսպիսով, մենք պետք է կրճատենք այս ապրանքը 100 գործակցով.

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53-ը բազմապատկել 7,4-ով:

Սկզբում մենք աղյուսակում գտնում ենք 53-ի 74-ի արտադրյալը. սա կլինի 3922։ Բայց քանի որ մենք բազմապատկիչն ավելացրել ենք 100 անգամ, իսկ բազմապատկիչը՝ 10 անգամ, արտադրյալն աճել է 1000 անգամ. այնպես որ մենք այժմ պետք է այն կրճատենք 1000-ով.

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Տասնորդականների բաժանում.

Մենք կդիտարկենք տասնորդական բաժանումը հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Տասնորդական կոտորակի բաժանում ամբողջ թվի վրա,

1. Տասնորդական կոտորակի բաժանում ամբողջ թվի վրա:

1) 2.46-ը բաժանեք 2-ի:

Սկզբում բաժանեցինք 2-ի, հետո տասներորդների և վերջապես հարյուրերորդների:

2) 32,46-ը բաժանեք 3-ի:

32,46: 3 = 10,82.

3 տասնյակը բաժանեցինք 3-ի, հետո սկսեցինք 2 միավորը բաժանել 3-ի; քանի որ շահաբաժնի միավորների թիվը (2) փոքր է բաժանարարից (3), մենք պետք է 0 դնեինք քանորդի մեջ. այնուհետև, մնացածը մենք քանդեցինք 4 տասներորդը և 24 տասներորդը բաժանեցինք 3-ի. ստացել է մասնավոր 8 տասներորդական և վերջապես բաժանել 6 հարյուրերորդը:

3) 1,2345-ը բաժանեք 5-ի:

1,2345: 5 = 0,2469.

Այստեղ առաջին հերթին զրոյական թվեր են ստացվել, քանի որ մեկ ամբողջ թիվը չի բաժանվում 5-ի։

4) 13.58-ը բաժանեք 4-ի:

Այս օրինակի առանձնահատկությունն այն է, որ երբ մասնավորում ստացանք 9 հարյուրերորդական, այնուհետև գտնվեց 2 հարյուրերորդականի հավասար մնացորդ, այս մնացորդը բաժանեցինք հազարերորդականների, ստացանք 20 հազարերորդական և բաժանումը հասցրինք վերջ։

Կանոն.Տասնորդական կոտորակի բաժանումն ամբողջ թվի վրա կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերի բաժանումը, և ստացված մնացորդները վերածվում են տասնորդական կոտորակների՝ ավելի ու ավելի փոքր. բաժանումը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև մնացորդը զրոյանա:

2. Տասնորդական կոտորակի բաժանումը տասնորդական կոտորակի վրա:

1) 2,46-ը բաժանեք 0,2-ի:

Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է տասնորդական կոտորակը բաժանել ամբողջ թվի: Մտածենք՝ կարելի՞ է արդյոք բաժանման այս նոր դեպքը նույնպես կրճատել նախորդի վրա։ Ժամանակին մենք դիտարկել ենք գործակիցի ուշագրավ հատկությունը, որը կայանում է նրանում, որ այն մնում է անփոփոխ՝ միաժամանակ ավելացնելով կամ նվազեցնելով շահաբաժինն ու բաժանարարը նույնքան անգամ: Մենք հեշտությամբ կկատարեինք մեզ առաջարկվող թվերի բաժանումը, եթե բաժանարարը լիներ ամբողջ թիվ։ Դա անելու համար բավական է այն ավելացնել 10 անգամ, իսկ ճիշտ գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է շահաբաժինն ավելացնել նույնքան անգամ, այսինքն՝ 10 անգամ։ Այնուհետև այս թվերի բաժանումը կփոխարինվի հետևյալ թվերի բաժանմամբ.

և առանձնապես որևէ փոփոխություն կատարելու կարիք չկա։

Եկեք կատարենք այս բաժանումը.

Այսպիսով, 2.46: 0.2 = 12.3:

2) 1,25-ը բաժանեք 1,6-ի:

Մենք բաժանարարը (1.6) ավելացնում ենք 10 անգամ; որպեսզի գործակիցը չփոխվի, շահաբաժինն ավելացնում ենք 10 անգամ. 12 ամբողջ թվերը չեն բաժանվում 16-ի, ուստի մենք գրում ենք 0-ով և 125 տասներորդը բաժանում ենք 16-ի, ստացվում է 7 տասներորդ, իսկ մնացածը 13 է։ Ուշադրություն դարձրեք հետևյալին.

ա) երբ ամբողջ թվերը չեն ստացվում քանորդում, ապա դրանց տեղում գրվում են զրո ամբողջ թվեր.

բ) երբ դիվիդենտի թվանշանը մնացորդին վերցնելուց հետո ստացվում է բաժանարարի վրա չբաժանվող թիվ, ապա քանորդում գրվում է զրո.

գ) երբ շահաբաժնի վերջին նիշը հանելուց հետո բաժանումը չի ավարտվում, ապա մնացորդներին զրոներ տալով` բաժանումը շարունակվում է.

դ) եթե շահաբաժինն ամբողջ թիվ է, ապա այն տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելիս դրա աճն իրականացվում է նրան զրոներ վերագրելով։

Այսպիսով, թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար հարկավոր է բաժանարարում բաց թողնել ստորակետը, այնուհետև ավելացնել դիվիդենտը այնքան անգամ, որքան մեծացել է բաժանարարը, երբ ստորակետը հանվել է դրանում, այնուհետև կատարել բաժանումը ըստ տասնորդական կոտորակը ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոնը.

§ 112. Մոտավոր քանորդ.

Նախորդ պարբերությունում մենք դիտարկել ենք տասնորդական կոտորակների բաժանումը, և մեր լուծած բոլոր օրինակներում բաժանումը հասցվել է մինչև վերջ, այսինքն՝ ստացվել է ճշգրիտ գործակից։ Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում ճշգրիտ գործակիցը հնարավոր չէ ստանալ, անկախ նրանից, թե որքան հեռու ենք բաժանումը: Ահա այսպիսի մի դեպք՝ 53-ը բաժանեք 101-ի։

Մենք արդեն ստացել ենք գործակիցի հինգ նիշ, բայց բաժանումը դեռ չի ավարտվել, և հույս չկա, որ այն երբևէ կավարտվի, քանի որ այն թվերը, որոնք նախկինում հանդիպել ենք, սկսում են երևալ մնացածի մեջ: Թվերը նույնպես կկրկնվեն քանորդում՝ ակնհայտորեն, 7 թվից հետո կհայտնվի 5 թիվը, հետո 2, և այդպես անվերջ։ Նման դեպքերում բաժանումն ընդհատվում է և սահմանափակվում գործակիցի առաջին մի քանի թվանշաններով։ Այս մասնավորը կոչվում է մոտավոր.Ինչպես կատարել բաժանումը այս դեպքում, մենք ցույց կտանք օրինակներով:

Թող պահանջվի 25-ը բաժանել 3-ի: Ակնհայտ է, որ ճշգրիտ քանորդը, որն արտահայտվում է որպես ամբողջ թիվ կամ տասնորդական կոտորակ, չի կարող ստացվել նման բաժանումից: Հետևաբար, մենք կփնտրենք մոտավոր գործակից.

25: 3 = 8, իսկ մնացորդը 1

Մոտավոր գործակիցը 8 է; այն, իհարկե, ճշգրիտ գործակիցից փոքր է, քանի որ կա 1-ի մնացորդ: Ճշգրիտ գործակիցը ստանալու համար անհրաժեշտ է գտնված մոտավոր գործակիցին, այսինքն՝ 8-ին ավելացնել այն կոտորակը, որը ստացվում է մնացորդը բաժանելուց: , հավասար է 1-ի, 3-ով; դա կլինի կոտորակ 1/3: Սա նշանակում է, որ ճշգրիտ գործակիցը կհայտնվի որպես խառը թիվ 8 1/3: Քանի որ 1/3-ը պատշաճ կոտորակ է, այսինքն՝ կոտորակ, մեկից պակաս, ապա, դեն նետելով այն, ենթադրում ենք սխալ, որը մեկից պակաս. Մասնավոր 8 կամք մոտավոր գործակից մինչև մեկ թերություն ունեցող:Եթե ​​8-ի փոխարեն վերցնենք 9, ապա թույլ ենք տալիս նաև սխալ, որը մեկից պակաս է, քանի որ կավելացնենք ոչ թե ամբողջ միավոր, այլ 2/3: Նման մասնավոր կամք մոտավոր գործակից մինչև մեկ՝ ավելցուկով։

Հիմա մեկ այլ օրինակ բերենք. Թող պահանջվի 27-ը բաժանել 8-ի: Քանի որ այստեղ մենք չենք ստանա ճշգրիտ գործակից՝ արտահայտված որպես ամբողջ թիվ, մենք կփնտրենք մոտավոր գործակից.

27: 8 = 3, իսկ մնացորդը 3:

Այստեղ սխալը 3/8 է, այն մեկից պակաս է, ինչը նշանակում է, որ մոտավոր գործակիցը (3) գտնվել է մինչև մեկ թերություն ունեցող: Շարունակում ենք բաժանումը. 3-ի մնացած մասը բաժանում ենք տասներորդների, ստանում ենք 30 տասներորդ; Բաժանենք դրանք 8-ի։

Տեղում առանձնացրինք տասներորդ, իսկ մնացած բ տասներորդները։ Եթե ​​սահմանափակվենք հատկապես 3.3 թվով, իսկ մնացած 6-ը դեն նետենք, ապա թույլ կտանք մեկ տասներորդից պակաս սխալ: Ինչո՞ւ։ Որովհետև ճշգրիտ գործակիցը կստացվեր, երբ 3.3-ին գումարեինք 6 տասներորդը 8-ի բաժանելու արդյունքը. այս բաժանումից կլինի 6/80, ինչը մեկ տասներորդից պակաս է: (Ստուգե՜ ճշգրիտ մինչև մեկ տասներորդը(թերություն ունեցող):

Շարունակենք բաժանումը ևս մեկ տասնորդական տեղ գտնելու համար։ Դա անելու համար մենք 6 տասներորդը բաժանում ենք հարյուրերորդի և ստանում ենք 60 հարյուրերորդական; Բաժանենք դրանք 8-ի։

Մասնավոր երրորդ տեղում ստացվել է 7, մնացածում՝ 4 հարյուրերորդական; եթե դրանք դեն նետենք, ապա թույլ ենք տալիս հարյուրերորդից պակաս սխալ, քանի որ 8-ի բաժանված 4 հարյուրերորդը հարյուրերորդից փոքր է: Նման դեպքերում ասում են, որ գործակիցը գտնված է: ճշգրիտ մինչև հարյուրերորդը(թերություն ունեցող):

Օրինակ, որը մենք այժմ դիտարկում ենք, կարող եք ստանալ ճշգրիտ գործակիցը, որն արտահայտված է որպես տասնորդական կոտորակ: Դա անելու համար բավական է վերջին մնացորդը՝ 4 հարյուրերորդականը, բաժանել հազարերորդականի և բաժանել 8-ի։

Այնուամենայնիվ, դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում անհնար է ստույգ գործակից ստանալ, և պետք է սահմանափակվել դրա մոտավոր արժեքներով: Այժմ մենք կքննարկենք նման օրինակ.

40: 7 = 5,71428571...

Թվի վերջում գտնվող կետերը ցույց են տալիս, որ բաժանումը ավարտված չէ, այսինքն՝ հավասարությունը մոտավոր է։ Սովորաբար մոտավոր հավասարությունը գրվում է այսպես.

40: 7 = 5,71428571.

Մենք վերցրել ենք ութ տասնորդական թվերով գործակիցը: Բայց եթե այդքան մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, կարելի է սահմանափակվել գործակիցի ամբողջ մասով, այսինքն՝ 5 (ավելի ճիշտ՝ 6) թվով. ավելի մեծ ճշգրտության համար կարելի է հաշվի առնել տասներորդները և գործակիցը հավասար լինել 5,7; Եթե ​​ինչ-ինչ պատճառներով այս ճշգրտությունը բավարար չէ, ապա մենք կարող ենք կանգ առնել հարյուրերորդականների վրա և վերցնել 5,71 և այլն: Եկեք դուրս գրենք առանձին գործակիցները և անվանենք դրանք:

Առաջին մոտավոր գործակիցը մինչև մեկ 6:

Երկրորդ » » » մեկ տասներորդը 5.7.

Երրորդ » » » մինչև հարյուրերորդական 5.71.

Չորրորդ » » » 5.714-ի մինչև հազարերորդականը.

Այսպիսով, մինչև որոշների մոտավոր գործակից գտնելու համար, օրինակ՝ 3-րդ տասնորդական թիվը (այսինքն՝ մինչև հազարերորդական), բաժանումը դադարեցվում է հենց այս նշանը գտնելուն պես։ Այս դեպքում պետք է հիշել § 40-ում ամրագրված կանոնը.

§ 113. Ամենապարզ խնդիրները հետաքրքրության համար.

Տասնորդական կոտորակներն ուսումնասիրելուց հետո կլուծենք ևս մի քանի տոկոսային խնդիր։

Այս խնդիրները նման են այն խնդիրներին, որոնք մենք լուծեցինք սովորական կոտորակների բաժնում. բայց հիմա հարյուրերորդականները կգրենք տասնորդական կոտորակների տեսքով, այսինքն՝ առանց հստակ նշանակված հայտարարի։

Առաջին հերթին, դուք պետք է կարողանաք հեշտությամբ անցնել սովորական կոտորակից տասնորդական կոտորակի, որի հայտարարը 100 է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է համարիչը բաժանել հայտարարի.

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս, թե ինչպես է % (տոկոս) նշանով թիվը փոխարինվում 100 հայտարարով տասնորդականով.

Այժմ դիտարկենք մի քանի խնդիր.

1. Տրված թվի տոկոսների հայտնաբերում.

Առաջադրանք 1.Մեկ գյուղում ապրում է ընդամենը 1600 մարդ։ Երեխաների քանակը դպրոցական տարիքկազմում է 25%-ը ընդհանուր թիվըբնակիչներ. Քանի՞ դպրոցահասակ երեխա կա այս գյուղում։

Այս հարցում պետք է գտնել 1600-ի 25%-ը կամ 0.25-ը: Խնդիրը լուծվում է բազմապատկելով.

1600 0.25 = 400 (երեխաներ):

Հետեւաբար, 1600-ի 25%-ը 400 է:

Այս առաջադրանքը հստակ հասկանալու համար օգտակար է հիշել, որ բնակչության յուրաքանչյուր հարյուրին բաժին է ընկնում դպրոցահասակ 25 երեխա: Հետևաբար, բոլոր դպրոցահասակ երեխաների թիվը գտնելու համար նախ կարող եք պարզել, թե քանի հարյուր կա 1600 (16) թվի մեջ, այնուհետև 25-ը բազմապատկել հարյուրավոր թվով (25 x 16 = 400): Այս կերպ Դուք կարող եք ստուգել լուծման վավերականությունը:

Առաջադրանք 2.Խնայբանկերը ավանդատուներին տալիս են տարեկան եկամտի 2%-ը։ Տարեկան որքա՞ն եկամուտ կստանա ավանդատուն, ով ավանդ է ներդրել. ա) 200 ռուբլի: բ) 500 ռուբլի? գ) 750 ռուբլի: դ) 1000 ռուբլի:

Բոլոր չորս դեպքերում խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ կլինի հաշվարկել նշված գումարներից 0,02-ը, այսինքն՝ այս թվերից յուրաքանչյուրը պետք է բազմապատկվի 0,02-ով։ Եկեք անենք դա:

ա) 200 0,02 = 4 (ռուբլի),

բ) 500 0,02 = 10 (ռուբլի),

գ) 750 0,02 = 15 (ռուբլի),

դ) 1000 0.02 = 20 (ռուբլի):

Այս դեպքերից յուրաքանչյուրը կարող է ստուգվել հետևյալ նկատառումներով. Խնայբանկերը ավանդատուներին տալիս են եկամտի 2%-ը, այսինքն՝ խնայողությունների մեջ դրված գումարի 0,02-ը։ Եթե ​​գումարը լիներ 100 ռուբլի, ապա դրանից 0,02-ը կլիներ 2 ռուբլի: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր հարյուրը ավանդատուին բերում է 2 ռուբլի։ եկամուտ։ Հետևաբար, դիտարկված յուրաքանչյուր դեպքում բավական է պարզել, թե քանի հարյուր է տրված թվով, և 2 ռուբլին բազմապատկել այս հարյուրավորներով։ Օրինակ ա) հարյուրավոր 2, այսպես

2 2 \u003d 4 (ռուբլի):

Օրինակ դ) հարյուրավորները 10 են, ինչը նշանակում է

2 10 \u003d 20 (ռուբլի):

2. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Առաջադրանք 1.Գարնանը դպրոցն ավարտել է 54 աշակերտ, որը կազմում է աշակերտների ընդհանուր թվի 6%-ը։ Քանի՞ աշակերտ է եղել դպրոցում նախկինում ուսումնական տարին?

Նախ պարզաբանենք այս խնդրի իմաստը։ Դպրոցն ավարտել է 54 աշակերտ, որը կազմում է ընդհանուր սովորողների 6%-ը կամ, այլ կերպ ասած, դպրոցի բոլոր աշակերտների 6 հարյուրերորդականը (0,06): Սա նշանակում է, որ մենք գիտենք աշակերտների (54) թվով և կոտորակով (0,06) արտահայտված մասը, և այս կոտորակից պետք է գտնել ամբողջ թիվը։ Այսպիսով, մեր առջև դրված է թիվ իր կոտորակով գտնելու սովորական խնդիր (§ 90, էջ 6): Այս տեսակի խնդիրները լուծվում են բաժանման միջոցով.

Սա նշանակում է, որ դպրոցում սովորել է 900 աշակերտ։

Օգտակար է ստուգել նման խնդիրները՝ լուծելով հակադարձ խնդիրը, այսինքն՝ խնդիրը լուծելուց հետո պետք է գոնե ձեր մտքում լուծել առաջին տիպի խնդիրը (գտնելով տրված թվի տոկոսը). վերցրեք գտնված թիվը ( 900) ինչպես տրված է և դրանից գտե՛ք լուծված խնդրի մեջ նշված տոկոսը, այն է՝

900 0,06 = 54.

Առաջադրանք 2.Ընտանիքը մեկ ամսվա ընթացքում սննդի վրա ծախսում է 780 ռուբլի, որը կազմում է հոր ամսական եկամտի 65%-ը։ Որոշեք նրա ամսական եկամուտը.

Այս առաջադրանքն ունի նույն նշանակությունը, ինչ նախորդը: Այն տալիս է ամսական վաստակի մի մասը՝ արտահայտված ռուբլով (780 ռուբլի) և ցույց է տալիս, որ այդ մասը կազմում է ընդհանուր շահույթի 65%-ը կամ 0,65-ը։ Եվ ցանկալին ամբողջ վաստակն է.

780: 0,65 = 1 200.

Հետեւաբար, ցանկալի եկամուտը 1200 ռուբլի է:

3. Գտնելով թվերի տոկոսը.

Առաջադրանք 1.Դպրոցի գրադարանն ընդհանուր առմամբ ունի 6000 գիրք: Դրանց թվում են մաթեմատիկայի 1200 գիրք։ Մաթեմատիկայի գրքերի քանի՞ տոկոսն է կազմում գրադարանի գրքերի ընդհանուր թիվը:

Մենք արդեն քննարկել ենք (§97) այս տեսակի խնդիրը և եկել ենք այն եզրակացության, որ երկու թվերի տոկոսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել այս թվերի հարաբերակցությունը և այն բազմապատկել 100-ով:

Մեր առաջադրանքում մենք պետք է գտնենք 1200 և 6000 թվերի տոկոսը։

Մենք նախ գտնում ենք նրանց հարաբերակցությունը, այնուհետև այն բազմապատկում ենք 100-ով.

Այսպիսով, 1200 և 6000 թվերի տոկոսը կազմում է 20։ Այսինքն՝ մաթեմատիկայի գրքերը կազմում են բոլոր գրքերի ընդհանուր թվի 20%-ը։

Ստուգելու համար մենք լուծում ենք հակադարձ խնդիրը՝ գտնել 6000-ի 20%-ը.

6 000 0,2 = 1 200.

Առաջադրանք 2.Գործարանը պետք է ստանա 200 տոննա ածուխ։ Արդեն մատակարարվել է 80 տոննա, քանի՞ տոկոս ածուխ է մատակարարվել գործարան.

Այս խնդիրը հարցնում է, թե քանի տոկոս է կազմում մի թիվը (80) մյուսին (200): Այս թվերի հարաբերակցությունը կլինի 80/200։ Եկեք այն բազմապատկենք 100-ով.

Սա նշանակում է, որ ածուխի 40%-ը մատակարարվել է։

Դպրոցում այս գործողությունները ուսումնասիրվում են պարզից մինչև բարդ: Հետևաբար, բացարձակապես անհրաժեշտ է լավ տիրապետել այդ գործողությունների կատարման ալգորիթմին պարզ օրինակներ. Որպեսզի հետագայում տասնորդական կոտորակները սյունակի բաժանելու դժվարություններ չլինեն: Ի վերջո, սա նման առաջադրանքների ամենադժվար տարբերակն է:

Այս առարկան պահանջում է հետևողական ուսումնասիրություն: Գիտելիքի բացերն այստեղ անընդունելի են։ Այս սկզբունքը պետք է սովորի յուրաքանչյուր աշակերտ արդեն առաջին դասարանում։ Հետեւաբար, եթե մի քանի դաս անընդմեջ բաց եք թողնում, ապա ստիպված կլինեք ինքներդ տիրապետել նյութին։ Հակառակ դեպքում հետագայում խնդիրներ կառաջանան ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլեւ դրա հետ կապված այլ առարկաների հետ կապված։

Մաթեմատիկայի հաջող ուսումնասիրության երկրորդ նախապայմանը սյունակում բաժանման օրինակներին անցնելն է միայն գումարումը, հանումը և բազմապատկումը յուրացնելուց հետո:

Երեխայի համար դժվար կլինի բաժանել, եթե նա չի սովորել բազմապատկման աղյուսակը: Ի դեպ, ավելի լավ է դա սովորել Պյութագորասի աղյուսակից։ Ավելորդ բան չկա, իսկ բազմապատկումն այս դեպքում ավելի հեշտ է մարսվում։

Ինչպե՞ս են բնական թվերը բազմապատկվում սյունակում:

Եթե ​​դժվարանում է օրինակներ լուծել սյունակում բաժանման և բազմապատկման համար, ապա անհրաժեշտ է սկսել խնդիրը լուծել բազմապատկմամբ։ Քանի որ բաժանումը բազմապատկման հակադարձ է.

1. Նախքան երկու թվերը բազմապատկելը, դուք պետք է ուշադիր նայեք դրանք: Ընտրեք ավելի շատ թվանշան ունեցողը (ավելի երկար), նախ գրեք այն: Երկրորդը դրեք դրա տակ։ Ընդ որում, համապատասխան կատեգորիայի համարները պետք է լինեն նույն կատեգորիայի տակ։ Այսինքն՝ առաջին թվի ամենաաջ թվանշանը պետք է լինի երկրորդի ամենաաջ թվանշանից վեր։
2. Բազմապատկեք ներքևի թվի ամենաաջ թվանշանը վերևի թվի յուրաքանչյուր թվով՝ սկսած աջից: Պատասխանը գրի՛ր տողի տակ, որպեսզի վերջին թվանշանը լինի այն թվանշանի տակ, որով այն բազմապատկվել է։
3. Նույնը կրկնեք ներքևի համարի մյուս թվանշանի հետ։ Բայց բազմապատկման արդյունքը պետք է մեկ նիշ տեղափոխել ձախ: Այս դեպքում նրա վերջին թվանշանը կլինի այն թվի տակ, որով այն բազմապատկվել է:

Շարունակեք այս բազմապատկումը սյունակում մինչև երկրորդ բազմապատկիչի թվերը սպառվեն: Այժմ դրանք պետք է ծալել: Սա կլինի ցանկալի պատասխանը։

Տասնորդական կոտորակների սյունակի մեջ բազմապատկելու ալգորիթմ

Նախ, պետք է պատկերացնել, որ տրված են ոչ թե տասնորդական կոտորակներ, այլ բնական։ Այսինքն՝ հեռացրեք ստորակետները դրանցից և անցեք այնպես, ինչպես նկարագրված է նախորդ դեպքում։

Տարբերությունը սկսվում է այն պահից, երբ գրվում է պատասխանը: Այս պահին անհրաժեշտ է հաշվել բոլոր այն թվերը, որոնք գտնվում են երկու կոտորակների տասնորդական կետերից հետո: Դրանցից քանիսն է պետք պատասխանի վերջից հաշվել և ստորակետ դնել այնտեղ։

Հարմար է այս ալգորիթմը նկարազարդել օրինակով՝ 0,25 x 0,33:

Ինչպե՞ս սկսել սովորել բաժանել:

Նախքան սյունակում բաժանման օրինակներ լուծելը, ենթադրվում է, որ պետք է հիշել այն թվերի անունները, որոնք առկա են բաժանման օրինակում։ Դրանցից առաջինը (բաժանողը) բաժանելին է։ Երկրորդը (բաժանված է դրանով) բաժանարար է։ Պատասխանը մասնավոր է։

Դրանից հետո, օգտագործելով պարզ ամենօրյա օրինակ, մենք կբացատրենք այս մաթեմատիկական գործողության էությունը: Օրինակ, եթե դուք վերցնում եք 10 քաղցրավենիք, ապա հեշտ է դրանք հավասարապես բաժանել մայրիկի և հայրիկի միջև։ Բայց ի՞նչ, եթե անհրաժեշտ լինի դրանք բաժանել ձեր ծնողներին և եղբորը:

Դրանից հետո դուք կարող եք ծանոթանալ բաժանման կանոններին և յուրացնել դրանք կոնկրետ օրինակներ. Սկզբում պարզ, իսկ հետո անցնելով ավելի ու ավելի բարդի:

Թվերը սյունակի բաժանելու ալգորիթմ

Նախ ներկայացնում ենք բնական թվերի կարգը, որոնք բաժանվում են միանիշ թվի։ Դրանք հիմք են հանդիսանալու նաև բազմանիշ բաժանարարների կամ տասնորդական կոտորակների համար: Միայն դրանից հետո ենթադրվում է փոքր փոփոխություններ կատարել, բայց դրա մասին ավելի ուշ.

• Նախքան սյունակում բաժանումը կատարելը, դուք պետք է պարզեք, թե որտեղ են շահաբաժինն ու բաժանարարը:
• Դիվիդենտը գրեք: Նրանից աջ բաժանարար է։
• Ձախ և ներքևի անկյունը նկարեք վերջին անկյունի մոտ:
• Որոշեք թերի դիվիդենտը, այսինքն՝ այն թիվը, որը կլինի նվազագույնը բաժանման համար։ Սովորաբար այն բաղկացած է մեկ թվանշանից, առավելագույնը՝ երկու։
• Ընտրեք այն թիվը, որը առաջինը գրվելու է պատասխանում։ Այն պետք է լինի բաժանարարի տեղավորվող դիվիդենտի քանակի քանակը:
• Գրի՛ր այս թիվը բաժանարարով բազմապատկելու արդյունքը։
• Գրի՛ր այն թերի բաժանարարի տակ։ Կատարել հանում.
• Մնացածին տեղափոխեք արդեն բաժանված մասից հետո առաջին թվանշանը:
• Կրկին ընտրեք պատասխանի համարը:
• Կրկնել բազմապատկում և հանում: Եթե ​​մնացորդը զրո է, իսկ շահաբաժինը ավարտված է, ապա օրինակը կատարված է: Հակառակ դեպքում կրկնել քայլերը՝ քանդել թիվը, վերցնել թիվը, բազմապատկել, հանել։

Ինչպե՞ս լուծել երկար բաժանումը, եթե բաժանարարում մեկից ավելի թվանշան կա:

Ալգորիթմն ինքնին լիովին համընկնում է վերը նկարագրվածի հետ: Տարբերությունը կլինի թերի դիվիդենտի թվանշանների թիվը: Հիմա դրանք պետք է լինեն առնվազն երկուսը, բայց եթե պարզվի, որ դրանք բաժանարարից պակաս են, ապա ենթադրվում է, որ այն աշխատում է առաջին երեք թվանշաններով։

Այս բաժանման մեջ կա ևս մեկ նրբերանգ. Փաստն այն է, որ մնացորդը և դրան տեղափոխվող գործիչը երբեմն բաժանարարով չեն բաժանվում։ Այնուհետև ենթադրվում է հերթականությամբ վերագրել ևս մեկ գործիչ։ Բայց միեւնույն ժամանակ պատասխանը պետք է լինի զրո։ Եթե ​​բաժանում է կատարվում եռանիշ թվերսյունակում կարող է անհրաժեշտ լինել քանդել ավելի քան երկու թվանշան: Այնուհետև ներմուծվում է կանոնը՝ պատասխանում զրոները պետք է լինեն մեկով պակաս, քան հանված թվանշանները։

Նման բաժանումը կարող եք դիտարկել՝ օգտագործելով օրինակը՝ 12082: 863:

• Նրա մեջ կիսատ բաժանվողը 1208 թիվն է։ 863 թիվը դրվում է միայն մեկ անգամ։ Ուստի ի պատասխան ենթադրվում է դնել 1, իսկ 1208-ի տակ գրել 863։
• Հանելուց հետո մնացորդը 345 է։
• Նրան պետք է քանդել 2 համարը:
• 3452 թվի մեջ չորս անգամ տեղավորվում է 863-ը։
• Ի պատասխան պետք է գրվի չորսը. Ընդ որում, 4-ով բազմապատկելիս ստացվում է այս թիվը։
• Հանելուց հետո մնացածը զրո է։ Այսինքն՝ բաժանումն ավարտված է։

Օրինակի պատասխանը 14 է:

Իսկ եթե շահաբաժինն ավարտվի զրոյով:

Թե՞ մի քանի զրո։ Այս դեպքում ստացվում է զրոյական մնացորդ, իսկ շահաբաժնի մեջ դեռ զրոներ կան։ Մի հուսահատվեք, ամեն ինչ ավելի հեշտ է, քան կարող է թվալ: Բավական է միայն պատասխանին վերագրել բոլոր այն զրոները, որոնք մնացել են չբաժանված։

Օրինակ, պետք է 400-ը բաժանել 5-ի: Թերի շահաբաժինը 40 է: Դրա մեջ հինգը դրվում է 8 անգամ: Սա նշանակում է, որ պատասխանը պետք է գրվի 8։ Հանեցնելիս մնացորդ չի մնում։ Այսինքն՝ բաժանումն ավարտված է, բայց դիվիդենտում մնում է զրոն։ Այն պետք է ավելացվի պատասխանին։ Այսպիսով, 400-ը 5-ի բաժանելով՝ ստացվում է 80։

Իսկ եթե ձեզ անհրաժեշտ է տասնորդական թիվը բաժանել:

Կրկին այս թիվը բնական թվի տեսք ունի, եթե ոչ ամբողջ թիվը կոտորակայինից բաժանող ստորակետը։ Սա հուշում է, որ տասնորդական կոտորակների բաժանումը սյունակի նման է վերը նկարագրվածին:

Միակ տարբերությունը կլինի ստորակետը: Ենթադրվում է, որ այն պետք է անմիջապես պատասխանել, հենց որ կոտորակային մասի առաջին նիշը հանվի։ Մեկ այլ կերպ կարելի է այսպես ասել՝ ավարտվել է ամբողջական մասի բաժանումը, դրե՛ք ստորակետ և շարունակե՛ք լուծումը։

Տասնորդական կոտորակներով սյունակի բաժանման օրինակներ լուծելիս պետք է հիշել, որ տասնորդական կետից հետո մասին կարող է վերագրվել ցանկացած թվով զրո: Երբեմն դա անհրաժեշտ է թվերը մինչև վերջ ավարտելու համար։

Երկու տասնորդականների բաժանում

Դա կարող է բարդ թվալ: Բայց միայն սկզբում։ Չէ՞ որ կոտորակների սյունակի բաժանումը բնական թվով արդեն պարզ է։ Այսպիսով, մենք պետք է կրճատենք այս օրինակը արդեն ծանոթ ձևի:

Դյուրին դարձրեք: Դուք պետք է բազմապատկեք երկու կոտորակները 10-ով, 100-ով, 1000-ով կամ 10000-ով, կամ գուցե մեկ միլիոնով, եթե առաջադրանքը դա պահանջում է: Ենթադրվում է, որ բազմապատկիչն ընտրվի՝ ելնելով այն բանից, թե քանի զրո կա բաժանարարի տասնորդական մասում: Այսինքն՝ արդյունքում ստացվում է, որ ստիպված կլինեք կոտորակը բաժանել բնական թվի։

Եվ դա կլինի վատագույն դեպքում։ Ի վերջո, կարող է պարզվել, որ այս գործառնությունից ստացված դիվիդենտը դառնում է ամբողջ թիվ։ Այնուհետև կոտորակների սյունակի բաժանման օրինակի լուծումը կվերածվի ամենապարզ տարբերակի՝ բնական թվերով գործողություններ:

Որպես օրինակ՝ 28.4 բաժանված 3.2-ի.

• Նախ, դրանք պետք է բազմապատկվեն 10-ով, քանի որ երկրորդ թվի մեջ տասնորդական կետից հետո կա միայն մեկ նիշ: Բազմապատկելով կստացվի 284 և 32:
• Ենթադրվում է, որ դրանք բաժանված են։ Եվ միանգամից ամբողջ թիվը 284 է 32-ով։
• Պատասխանի առաջին համընկնող թիվը 8-ն է։ Այն բազմապատկելով՝ ստացվում է 256։ Մնացածը՝ 28։
• Ամբողջական մասի բաժանումն ավարտված է, և պատասխանում ենթադրվում է ստորակետ դնել։
• Քանդել մինչև մնացորդը 0:
• Կրկին վերցրեք 8-ը:
• Մնացածը՝ 24. Դրան ավելացրո՛ւ ևս 0։
• Այժմ դուք պետք է վերցնեք 7-ը:
• Բազմապատկման արդյունքը 224 է, մնացորդը՝ 16։
• Քանդեք ևս 0։ Վերցրեք 5 և ստացեք ուղիղ 160։ Մնացածը 0 է։

Բաժանումն ավարտված է. 28.4:3.2 օրինակի արդյունքը 8.875 է:

Իսկ եթե բաժանարարը լինի 10, 100, 0,1 կամ 0,01:

Ինչպես բազմապատկման դեպքում, այստեղ էլ երկար բաժանման կարիք չկա։ Բավական է միայն ստորակետը տեղափոխել ճիշտ ուղղությամբ որոշակի թվանշանների համար։ Ընդ որում, այս սկզբունքով կարելի է օրինակներ լուծել ինչպես ամբողջ թվերով, այնպես էլ տասնորդական կոտորակներով։

Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է բաժանել 10-ի, 100-ի կամ 1000-ի, ապա ստորակետը տեղափոխվում է ձախ այնքան թվանշաններով, որքան զրոներ կան բաժանարարում: Այսինքն, երբ թիվը բաժանվում է 100-ի, ստորակետը պետք է երկու նիշով տեղափոխվի ձախ: Եթե ​​դիվիդենտը բնական թիվ է, ապա ենթադրվում է, որ ստորակետը նրա վերջում է:

Այս գործողությունը տալիս է նույն արդյունքը, կարծես թիվը բազմապատկվի 0.1-ով, 0.01-ով կամ 0.001-ով: Այս օրինակներում ստորակետը նույնպես տեղափոխվում է ձախ՝ թվանշանների քանակով, երկարությանը հավասարկոտորակային մաս.

0,1-ով (և այլն) բաժանելիս կամ 10-ով (և այլն) բազմապատկելիս ստորակետը պետք է շարժվի աջ մեկ նիշով (կամ երկու, երեք՝ կախված զրոների քանակից կամ կոտորակային մասի երկարությունից):

Հարկ է նշել, որ դիվիդենտում տրված թվանշանների թիվը կարող է բավարար չլինել: Այնուհետև բացակայող զրոները կարող են վերագրվել ձախ (ամբողջական մասում) կամ աջ (տասնորդական կետից հետո):

Պարբերական կոտորակների բաժանում

Այս դեպքում դուք չեք կարողանա ստույգ պատասխան ստանալ սյունակի բաժանելիս։ Ինչպե՞ս լուծել օրինակ, եթե հանդիպում է կետ ունեցող կոտորակ: Այստեղ անհրաժեշտ է անցնել սովորական կոտորակներին։ Եվ հետո կատարեք դրանց բաժանումը նախկինում ուսումնասիրված կանոնների համաձայն:

Օրինակ, դուք պետք է բաժանեք 0, (3) 0,6-ի: Առաջին կոտորակը պարբերական է։ Այն վերածվում է 3/9 կոտորակի, որը կրճատումից հետո կտա 1/3։ Երկրորդ կոտորակը վերջնական տասնորդականն է: Նույնիսկ ավելի հեշտ է գրել սովորականը` 6/10, որը հավասար է 3/5-ի: Սովորական կոտորակների բաժանման կանոնը նախատեսում է բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ, իսկ բաժանարարը՝ թվի փոխադարձով։ Այսինքն, օրինակը հանգում է նրան, որ 1/3-ը բազմապատկենք 5/3-ով: Պատասխանը 5/9 է:

Եթե ​​օրինակն ունի տարբեր կոտորակներ...

Այնուհետեւ կան մի քանի հնարավոր լուծումներ. Նախ, ընդհանուր կոտորակԴուք կարող եք փորձել փոխարկել տասնորդական: Այնուհետև բաժանեք արդեն երկու տասնորդական՝ ըստ վերը նշված ալգորիթմի։

Երկրորդ, յուրաքանչյուր վերջնական տասնորդական կոտորակ կարող է գրվել որպես ընդհանուր կոտորակ: Դա պարզապես միշտ չէ, որ հարմար է: Ամենից հաճախ նման ֆրակցիաները հսկայական են: Այո, և պատասխանները ծանր են: Ուստի առաջին մոտեցումն առավել նախընտրելի է համարվում։