Նույնիսկ գործառույթ:

ՆույնիսկԱյն ֆունկցիան, որի նշանը չի փոխվում, երբ նշանը փոխվում է, կոչվում է x.

xհավասարություն զ(–x) = զ(x) Նշան xչի ազդում նշանի վրա y.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքի նկատմամբ (նկ. 1):

Նույնիսկ ֆունկցիայի օրինակներ.

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Բացատրություն:
Եկեք մի ֆունկցիա վերցնենք y = x 2 կամ y = –x 2 .
Ցանկացած արժեքի համար xֆունկցիան դրական է։ Նշան xչի ազդում նշանի վրա y. Գրաֆիկը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքի նկատմամբ։ Սա հավասարաչափ գործառույթ է:

տարօրինակ գործառույթ.

տարօրինակֆունկցիա է, որի նշանը փոխվում է, երբ նշանը փոխվում է x.

Այսինքն՝ ցանկացած արժեքի համար xհավասարություն զ(–x) = –զ(x).

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ (նկ. 2):

Կենտ ֆունկցիայի օրինակներ.

y= մեղք x

y = x 3

y = –x 3

Բացատրություն:

Վերցրեք y = - ֆունկցիան x 3 .
Բոլոր արժեքները ժամըայն կունենա մինուս նշան: Դա նշանն է xազդում է նշանի վրա y. Եթե ​​անկախ փոփոխականը դրական թիվ է, ապա ֆունկցիան դրական է, եթե անկախ փոփոխականը բացասական թիվ է, ապա ֆունկցիան բացասական է. զ(–x) = –զ(x).
Ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Սա տարօրինակ գործառույթ է:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաների հատկությունները.

ՆՇՈՒՄ:

Ոչ բոլոր հատկանիշներն են զույգ կամ կենտ: Կան գործառույթներ, որոնք ենթակա չեն նման աստիճանավորման։ Օրինակ՝ արմատային ֆունկցիան ժամը = √Xչի կիրառվում ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ ֆունկցիաների վրա (նկ. 3): Նման ֆունկցիաների հատկությունները թվարկելիս պետք է տրվի համապատասխան նկարագրություն՝ ոչ զույգ, ոչ կենտ։

Պարբերական ֆունկցիաներ.

Ինչպես գիտեք, պարբերականությունը որոշակի գործընթացների կրկնությունն է որոշակի ընդմիջումով: Այս գործընթացները նկարագրող գործառույթները կոչվում են պարբերական գործառույթներ. Այսինքն՝ սրանք ֆունկցիաներ են, որոնց գրաֆիկներում կան որոշակի թվային ընդմիջումներով կրկնվող տարրեր։

Գործառույթմաթեմատիկական ամենակարևոր հասկացություններից է։ Ֆունկցիա - փոփոխական կախվածություն ժամըփոփոխականից x, եթե յուրաքանչյուր արժեք Xհամապատասխանում է մեկ արժեքի ժամը. փոփոխական Xկոչվում է անկախ փոփոխական կամ արգումենտ: փոփոխական ժամըկոչվում է կախյալ փոփոխական: Անկախ փոփոխականի բոլոր արժեքները (փոփոխական x) ձևավորել ֆունկցիայի տիրույթը: Բոլոր արժեքները, որոնք ընդունում է կախված փոփոխականը (փոփոխական y), ձևավորել ֆունկցիայի տիրույթը:

Ֆունկցիայի գրաֆիկնրանք անվանում են կոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունը, որոնց աբսցիսաները հավասար են փաստարկի արժեքներին, իսկ օրդինատները հավասար են ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներին, այսինքն՝ արժեքներին։ փոփոխականները գծագրված են աբսցիսայի առանցքի երկայնքով x, և փոփոխականի արժեքները գծագրվում են y առանցքի երկայնքով y. Ֆունկցիան գծագրելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ֆունկցիայի հատկությունները: Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները կքննարկվեն ստորև:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեր ծրագիրը՝ Graphing Functions Online: Եթե ​​այս էջի նյութն ուսումնասիրելիս հարցեր ունեք, միշտ կարող եք դրանք ուղղել մեր ֆորումում: Նաև ֆորումում ձեզ կօգնեն լուծել խնդիրներ մաթեմատիկայի, քիմիայի, երկրաչափության, հավանականությունների տեսության և շատ այլ առարկաներից:

Ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները.

1) Ֆունկցիայի շրջանակը և գործառույթի տիրույթը.

Ֆունկցիայի շրջանակը փաստարկի բոլոր վավեր արժեքների բազմությունն է x(փոփոխական x) որի համար ֆունկցիան y = f(x)սահմանված.
Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական արժեքների բազմությունն է yոր ֆունկցիան ընդունում է.

Տարրական մաթեմատիկայի մեջ ֆունկցիաները ուսումնասիրվում են միայն իրական թվերի բազմության վրա։

2) ֆունկցիայի զրոներ.

Արժեքներ X, որը y=0, կոչվում է ֆունկցիայի զրոներ. Սրանք ֆունկցիայի գրաֆիկի x առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսներն են։

3) ֆունկցիայի նշանի կայունության միջակայքերը.

Գործառույթի նշանի կայունության միջակայքերը արժեքների այդպիսի միջակայքեր են x, որի վրա նշվում են ֆունկցիայի արժեքները yկոչվում են կա՛մ միայն դրական, կա՛մ միայն բացասական ֆունկցիայի նշանի կայունության միջակայքերը:

4) ֆունկցիայի միապաղաղություն.

Աճող ֆունկցիա (որոշ ընդմիջումով) - ֆունկցիա, որում այս ինտերվալից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:

Նվազող ֆունկցիա (որոշ ընդմիջումով) - ֆունկցիա, որում այս ինտերվալից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

5) Զույգ (կենտ) ֆունկցիաներ.

Զույգ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման և ցանկացածի նկատմամբ X f(-x) = f(x). Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման և ցանկացածի նկատմամբ Xսահմանման տիրույթից՝ հավասարությունը f(-x) = - f(x) Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Նույնիսկ գործառույթ
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ, այսինքն, եթե կետը. ապատկանում է սահմանման տիրույթին, ապա կետին -անույնպես պատկանում է սահմանման տիրույթին։
2) ցանկացած արժեքի համար x f(-x)=f(x)
3) Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ:

տարօրինակ գործառույթունի հետևյալ հատկությունները.
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ:
2) ցանկացած արժեքի համար x, որը պատկանում է սահմանման, հավասարության տիրույթին f(-x)=-f(x)
3) Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ (0; 0):

Ամեն ֆունկցիա չէ, որ զույգ է կամ կենտ: Գործառույթներ ընդհանուր տեսարանոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:

6) Սահմանափակ և անսահմանափակ գործառույթներ.

Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M դրական թիվ, որ |f(x)| ≤ M x-ի բոլոր արժեքների համար: Եթե ​​նման թիվ չկա, ապա ֆունկցիան անսահմանափակ է:

7) ֆունկցիայի պարբերականությունը.

F(x) ֆունկցիան պարբերական է, եթե գոյություն ունի ոչ զրոյական T թիվ, որ ֆունկցիայի տիրույթից ցանկացած x-ի համար f(x+T) = f(x): Այս ամենափոքր թիվը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։ Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են։ (Եռանկյունաչափական բանաձևեր):

Գործառույթ զկոչվում է պարբերական, եթե կա այնպիսի թիվ, որ որևէ մեկի համար xսահմանման տիրույթից՝ հավասարությունը f(x)=f(x-T)=f(x+T). Տֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։

Յուրաքանչյուր պարբերական ֆունկցիա ունի անսահման թվով պարբերություններ: Գործնականում սովորաբար համարվում է ամենափոքր դրական շրջանը:

Պարբերական ֆունկցիայի արժեքները կրկնվում են ժամանակաշրջանին հավասար ընդմիջումից հետո: Սա օգտագործվում է գրաֆիկների գծագրման ժամանակ:

Գործառույթների զրոներ
Ֆունկցիայի զրոն արժեքն է X, որի դեպքում ֆունկցիան դառնում է 0, այսինքն՝ f(x)=0։

Զրոները ֆունկցիայի գրաֆիկի առանցքի հետ հատման կետերն են Օ՜

Ֆունկցիայի հավասարություն
Ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե որևէ մեկի համար Xսահմանման տիրույթից՝ f(-x) = f(x) հավասարությունը

Զույգ ֆունկցիան սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ OU

Կենտ ֆունկցիա
Ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե այդպիսիք կան Xսահմանման տիրույթից բավարարվում է f(-x) = -f(x) հավասարությունը։

Կենտ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:
Այն ֆունկցիան, որը ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, կոչվում է ընդհանուր ֆունկցիա:

Գործառույթի ավելացում
F(x) ֆունկցիան կոչվում է աճող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին, այսինքն. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Նվազող գործառույթ
F(x) ֆունկցիան կոչվում է նվազող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքին, այսինքն. x 2 >x 1 → f(x 2)
Այն ինտերվալները, որոնց վրա ֆունկցիան կա՛մ միայն նվազում է, կա՛մ միայն մեծանում, կոչվում են միապաղաղության ընդմիջումներով. f(x) ֆունկցիան ունի միապաղաղության 3 միջակայք.
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3 ; +∞)

Գտե՛ք միապաղաղության ինտերվալներ՝ օգտագործելով Աճող և նվազող ֆունկցիաների միջակայքերը

Տեղական առավելագույնը
Կետ x 0կոչվում է տեղական առավելագույն կետ, եթե այդպիսիք կան Xմի կետի հարևանությամբ x 0գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) > f(x)

Տեղական նվազագույն
Կետ x 0կոչվում է տեղական նվազագույն կետ, եթե այդպիսիք կան Xմի կետի հարևանությամբ x 0գործում է հետևյալ անհավասարությունը՝ f(x 0)< f(x).

Տեղական առավելագույն միավորները և տեղական նվազագույն միավորները կոչվում են տեղական ծայրահեղ կետեր:

x 1, x 2 - տեղական ծայրահեղ կետեր:

Ֆունկցիայի պարբերականությունը
f(x) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական՝ կետով Տ, եթե որևէ մեկի համար X f(x+T) = f(x) .

Մշտական ​​ընդմիջումներ
Այն ինտերվալները, որոնց վրա ֆունկցիան կա՛մ միայն դրական է, կա՛մ միայն բացասական, կոչվում են հաստատուն նշանի միջակայքեր:

f(x)>0 x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Գործառույթների շարունակականություն
f(x) ֆունկցիան կոչվում է շարունակական x 0 կետում, եթե x → x 0 ֆունկցիայի սահմանը հավասար է այս կետի ֆունկցիայի արժեքին, այսինքն. .

ընդմիջման կետեր
Այն կետերը, որոնցում խախտվում է շարունակականության պայմանը, կոչվում են ֆունկցիայի դադարման կետեր։

x0- բեկման կետ.

Գործառույթների գծագրման ընդհանուր սխեման

1. Գտե՛ք D(y) ֆունկցիայի տիրույթը։
2. Գտե՛ք ֆունկցիաների գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով:
3. Հետազոտեք զույգի կամ կենտի ֆունկցիան:
4. Հետազոտել ֆունկցիան պարբերականության համար:
5. Գտի՛ր ֆունկցիայի միապաղաղության և ծայրահեղ կետերի միջակայքերը:
6. Գտե՛ք ֆունկցիայի ուռուցիկության և թեքման կետերի միջակայքերը:
7. Գտե՛ք ֆունկցիայի ասիմպտոտները:
8. Ուսումնասիրության արդյունքների հիման վրա կառուցիր գրաֆիկ:

Օրինակ:Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և կառուցեք դրա գրաֆիկը՝ y = x 3 - 3x
8) Ուսումնասիրության արդյունքների հիման վրա մենք կկառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Սահմանում 1. Ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ (տարօրինակ ) եթե փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի հետ միասին
իմաստ - Xնույնպես պատկանում է
և հավասարությունը

Այսպիսով, ֆունկցիան կարող է լինել զույգ կամ կենտ միայն այն դեպքում, երբ նրա սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է իրական գծի կոորդինատների սկզբնավորման նկատմամբ (թվեր XԵվ - Xմիաժամանակ պատկանել
) Օրինակ՝ ֆունկցիան
ոչ զույգ է, ոչ էլ տարօրինակ, քանի որ դրա սահմանման տիրույթն է
ոչ սիմետրիկ ծագման վերաբերյալ:

Գործառույթ
նույնիսկ, քանի որ
սիմետրիկ՝ կապված կոորդինատների ծագման և.

Գործառույթ
տարօրինակ, քանի որ
Եվ
.

Գործառույթ
ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, քանի որ չնայած
և սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, հավասարությունները (11.1) չեն բավարարվում: Օրինակ,.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ OU, քանի որ եթե կետը

նույնպես պատկանում է գրաֆիկին: Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, քանի որ եթե
պատկանում է գրաֆիկին, ապա կետին
նույնպես պատկանում է գրաֆիկին:

Գործառույթի զույգ կամ կենտ լինելն ապացուցելիս օգտակար են հետևյալ պնդումները.

Թեորեմ 1. ա) Երկու զույգ (կենտ) ֆունկցիաների գումարը զույգ (կենտ) ֆունկցիա է։

բ) Երկու զույգ (կենտ) ֆունկցիաների արտադրյալը զույգ ֆունկցիա է:

գ) Զույգ և կենտ ֆունկցիայի արտադրյալը կենտ ֆունկցիա է:

դ) Եթե զհավասարաչափ ֆունկցիա է հավաքածուի վրա Xև ֆունկցիան է սահմանված է նկարահանման հրապարակում
, ապա ֆունկցիան
- նույնիսկ.

ե) Եթե զկենտ ֆունկցիա է հավաքածուի վրա Xև ֆունկցիան է սահմանված է նկարահանման հրապարակում
և զույգ (կենտ), ապա ֆունկցիան
- զույգ (կենտ):

Ապացույց. Եկեք ապացուցենք, օրինակ, բ) և դ):

բ) Թող
Եվ
նույնիսկ գործառույթներ են: Հետո, հետևաբար. Նմանապես դիտարկվում է կենտ ֆունկցիաների դեպքը
Եվ
.

դ) Թող զ հավասարաչափ ֆունկցիա է: Հետո.

Նմանապես ապացուցված են թեորեմի մյուս պնդումները։ Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 2. Ցանկացած գործառույթ
, սահմանված նկարահանման հրապարակում X, որը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, կարող է ներկայացվել որպես զույգ և կենտ ֆունկցիայի գումար։

Ապացույց. Գործառույթ
կարելի է գրել ձևով

.

Գործառույթ
հավասար է, քանի որ
և ֆունկցիան
տարօրինակ է, քանի որ. Այսպիսով,
, Որտեղ
- նույնիսկ, և
կենտ ֆունկցիա է: Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում 2. Գործառույթ
կանչեց պարբերական եթե կա թիվ
, այնպիսին, որ ցանկացածի համար
թվեր
Եվ
նույնպես պատկանում են սահմանման տիրույթին
և հավասարությունները

Նման թիվ Տկանչեց ժամանակաշրջան գործառույթները
.

Սահմանում 1-ը ենթադրում է, որ եթե Տ- գործառնական ժամանակահատվածը
, ապա համարը ՏՆույնը ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է
(որովհետև փոխարինելիս Տվրա - Տհավասարությունը պահպանվում է): Օգտագործելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը, կարելի է ցույց տալ, որ եթե Տ- գործառնական ժամանակահատվածը զ, ապա և
, նույնպես ժամանակաշրջան է։ Հետևում է, որ եթե ֆունկցիան ունի կետ, ապա այն ունի անսահման շատ պարբերաշրջաններ։

Սահմանում 3. Ֆունկցիայի դրական ժամանակաշրջաններից ամենափոքրը կոչվում է նրա հիմնական ժամանակաշրջան.

Թեորեմ 3. Եթե Տֆունկցիայի հիմնական շրջանն է զ, ապա մնացած ժամանակաշրջանները դրա բազմապատիկն են։

Ապացույց. Ենթադրենք հակառակը, այսինքն՝ ժամանակաշրջան կա գործառույթները զ (>0), ոչ բազմակի Տ. Հետո՝ բաժանելով վրա Տմնացածով մենք ստանում ենք
, Որտեղ
. Ահա թե ինչու

այն է - գործառնական ժամանակահատվածը զ, և
, ինչը հակասում է այն փաստին, որ Տֆունկցիայի հիմնական շրջանն է զ. Ստացված հակասությունից բխում է թեորեմի պնդումը. Թեորեմն ապացուցված է.

Հայտնի է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են։ Հիմնական ժամանակաշրջան
Եվ
հավասար է
,
Եվ
. Գտեք ֆունկցիայի ժամկետը
. Թող
այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է: Հետո

(որովհետեւ
.

օրորոր
.

Իմաստը Տ, որը որոշվում է առաջին հավասարությունից, չի կարող լինել ժամանակաշրջան, քանի որ դա կախված է X, այսինքն. -ի ֆունկցիա է X, ոչ հաստատուն թիվ։ Ժամանակահատվածը որոշվում է երկրորդ հավասարությունից.
. Անսահման շատ ժամանակաշրջաններ կան
ամենափոքր դրական շրջանը ստացվում է, երբ
:
. Սա ֆունկցիայի հիմնական շրջանն է
.

Ավելի բարդ պարբերական ֆունկցիայի օրինակ է Դիրիխլեի ֆունկցիան

Նշենք, որ եթե Տռացիոնալ թիվ է, ուրեմն
Եվ
ռացիոնալ թվեր են ռացիոնալի տակ Xիսկ իռացիոնալ, երբ իռացիոնալ X. Ահա թե ինչու

ցանկացած ռացիոնալ թվի համար Տ. Հետեւաբար, ցանկացած ռացիոնալ թիվ ՏԴիրիխլեի ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։ Հասկանալի է, որ այս ֆունկցիան չունի հիմնական ժամանակաշրջան, քանի որ կան դրական ռացիոնալ թվեր կամայականորեն մոտ զրոյին (օրինակ՝ ռացիոնալ թիվ կարելի է կազմել՝ ընտրելով. nկամայականորեն մոտ զրոյին):

Թեորեմ 4. Եթե ֆունկցիան զ set on set Xև ունի շրջան Տև ֆունկցիան է set on set
, ապա կոմպլեքս ֆունկցիան
ունի նաև շրջան Տ.

Ապացույց. Ուստի մենք ունենք

այսինքն թեորեմի պնդումն ապացուցված է։

Օրինակ, քանի որ cos x ժամանակաշրջան ունի
, ապա ֆունկցիաները
ժամանակաշրջան ունենալ
.

Սահմանում 4. Այն ֆունկցիաները, որոնք պարբերական չեն, կոչվում են ոչ պարբերական .

Թաքցնել Ցուցադրել

Գործառույթ սահմանելու եղանակներ

Թող ֆունկցիան տրվի y=2x^(2)-3 բանաձևով։ x անկախ փոփոխականին ցանկացած արժեք վերագրելով՝ կարող եք օգտագործել այս բանաձևը՝ y կախված փոփոխականի համապատասխան արժեքները հաշվարկելու համար: Օրինակ, եթե x=-0.5 , ապա օգտագործելով բանաձեւը, ստանում ենք, որ y-ի համապատասխան արժեքը y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 է։

Հաշվի առնելով y=2x^(2)-3 բանաձևում x արգումենտով վերցված ցանկացած արժեք, կարելի է հաշվարկել միայն մեկ ֆունկցիայի արժեք, որը համապատասխանում է դրան։ Ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես աղյուսակ.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Օգտագործելով այս աղյուսակը, կարող եք պարզել, որ -1 փաստարկի արժեքի համար կհամապատասխանի -3 ֆունկցիայի արժեքը. իսկ x=2 արժեքը կհամապատասխանի y=0, և այլն։ Կարևոր է նաև իմանալ, որ աղյուսակի յուրաքանչյուր արգումենտի արժեքը համապատասխանում է միայն մեկ ֆունկցիայի արժեքին:

Ավելի շատ գործառույթներ կարող են սահմանվել գրաֆիկների միջոցով: Գրաֆիկի օգնությամբ սահմանվում է, թե ֆունկցիայի որ արժեքն է փոխկապակցված x-ի որոշակի արժեքի հետ։ Ամենից հաճախ սա կլինի ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը:

Զույգ և կենտ ֆունկցիա

Ֆունկցիան է նույնիսկ գործառույթ, երբ f(-x)=f(x) տիրույթից ցանկացած x-ի համար: Նման ֆունկցիան սիմետրիկ կլինի Oy առանցքի նկատմամբ։

Ֆունկցիան է տարօրինակ գործառույթերբ f(-x)=-f(x) տիրույթի ցանկացած x-ի համար: Նման ֆունկցիան սիմետրիկ կլինի O (0;0) ծագման նկատմամբ:

Ֆունկցիան է ոչ նույնիսկ, ոչ էլ տարօրինակև կանչեց ընդհանուր գործառույթերբ այն չունի սիմետրիա առանցքի կամ ծագման նկատմամբ։

Մենք ուսումնասիրում ենք հետևյալ գործառույթը հավասարության համար.

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) ծագման վերաբերյալ սահմանման սիմետրիկ տիրույթով: f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Այսպիսով, f(x)=3x^(3)-7x^(7) ֆունկցիան կենտ է:

Պարբերական ֆունկցիա

y=f(x) ֆունկցիան, որի տիրույթում f(x+T)=f(x-T)=f(x) ճշմարիտ է ցանկացած x-ի համար, կոչվում է. պարբերական ֆունկցիաժամանակաշրջանով T \neq 0 .

Ֆունկցիայի գրաֆիկի կրկնությունը աբսցիսային առանցքի ցանկացած հատվածի վրա, որն ունի T երկարություն:

Ընդմիջումներ, որտեղ ֆունկցիան դրական է, այսինքն՝ f (x) > 0 - աբսցիսային առանցքի հատվածներ, որոնք համապատասխանում են ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետերին, որոնք գտնվում են աբսցիսային առանցքի վերևում։

f(x) > 0 միացված (x_(1); x_(2)) \գավաթ (x_(3); +\infty)

Բացեր, որտեղ ֆունկցիան բացասական է, այսինքն՝ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \գավաթ (x_(2); x_(3))

Գործառույթների սահմանափակում

սահմանափակված ներքևիցընդունված է անվանել y=f(x), x \-ում X ֆունկցիան, երբ կա A թիվ, որի համար f(x) \geq A անհավասարությունը գործում է ցանկացած x \-ում X-ի համար:

Ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ՝ y=\sqrt(1+x^(2)) քանի որ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ցանկացած x-ի համար:

վերևից սահմանափակված y=f(x), x \in X ֆունկցիան կանչվում է, եթե կա B թիվ, որի համար f(x) \neq B անհավասարությունը գործում է ցանկացած x \ին X-ի համար:

Ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ. y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]քանի որ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ցանկացած x \in [-1;1] համար:

Սահմանափակընդունված է անվանել y=f(x), x \ի ֆունկցիան, երբ կա K > 0 թիվ, որի անհավասարությունը \left | f(x) \աջ | \neq K ցանկացած x \ի X-ի համար:

Սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ. y=\sin x-ը սահմանափակված է ամբողջ թվային տողի վրա, քանի որ \ձախ | \sin x \ճիշտ | \nq 1.

Աճող և նվազող գործառույթ

Ընդունված է խոսել մի ֆունկցիայի մասին, որն աճում է դիտարկվող միջակայքում որպես ֆունկցիայի ավելացումերբ x-ի ավելի մեծ արժեքը կհամապատասխանի y=f(x) ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին: Այստեղից պարզվում է, որ դիտարկված միջակայքից վերցնելով արգումենտի երկու կամայական արժեք x_(1) և x_(2) և x_(1) > x_(2) կլինի y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Այն ֆունկցիան, որը նվազում է դիտարկվող միջակայքում, կոչվում է նվազող գործառույթերբ x-ի ավելի մեծ արժեքը կհամապատասխանի y(x) ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին: Այստեղից պարզվում է, որ դիտարկված միջակայքից վերցնելով արգումենտի երկու կամայական արժեք x_(1) և x_(2) և x_(1) > x_(2) կլինի y(x_(1))< y(x_{2}) .

Գործառույթների արմատներըընդունված է անվանել այն կետերը, որոնցում F=y(x) ֆունկցիան հատում է աբսցիսային առանցքը (դրանք ստացվում են y(x)=0 հավասարումը լուծելու արդյունքում):

ա) Եթե զույգ ֆունկցիան մեծանում է x > 0-ով, ապա այն նվազում է x-ի համար< 0

բ) Երբ զույգ ֆունկցիան նվազում է x > 0-ով, ապա այն մեծանում է x-ի համար< 0

գ) Երբ կենտ ֆունկցիան մեծանում է x > 0-ով, ապա այն նույնպես մեծանում է x-ի համար< 0

դ) Երբ կենտ ֆունկցիան նվազում է x > 0-ով, ապա այն նույնպես կնվազի x-ի համար< 0

Ֆունկցիոնալ ծայրահեղություններ

Գործառույթի նվազագույն միավոր y=f(x) ընդունված է անվանել x=x_(0) այնպիսի կետ, որում նրա հարևանությունը կունենա այլ կետեր (բացի x=x_(0) կետից), իսկ նրանց համար՝ f( անհավասարություն: x) > f (x_(0)) . y_(min) - ֆունկցիայի նշանակումը min կետում:

Ֆունկցիայի առավելագույն կետը y=f(x) ընդունված է անվանել x=x_(0) այնպիսի կետ, որում նրա հարևանությունը կունենա այլ կետեր (բացի x=x_(0) կետից), իսկ հետո՝ f(x) անհավասարությունը: գոհ կլինի նրանց համար< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Անհրաժեշտ պայման

Ըստ Ֆերմայի թեորեմի՝ f"(x)=0, ապա երբ x_(0) կետում տարբերվող f(x) ֆունկցիան այս կետում կհայտնվի ծայրահեղություն:

Բավարար պայման

1. Երբ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի, ապա x_(0) կլինի նվազագույն կետը;
2. x_(0) - կլինի առավելագույն կետ միայն այն դեպքում, երբ ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից պլյուսի, երբ անցնում է անշարժ կետով x_(0) .

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը

Հաշվարկման քայլեր.

1. Փնտրում եմ f "(x) ածանցյալ;
2. Գտնվում են ֆունկցիայի անշարժ և կրիտիկական կետերը և ընտրվում են ինտերվալին պատկանող կետերը.
3. F(x) ֆունկցիայի արժեքները հայտնաբերվում են հատվածի անշարժ և կրիտիկական կետերում և ծայրերում: Արդյունքներից ամենափոքրը կլինի ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը, եւ ավելին - մեծագույն.