Արտադրանք ստանալու համար բազմանդամների ընդլայնումը երբեմն շփոթեցնող է թվում: Բայց դա այնքան էլ դժվար չէ, եթե դուք քայլ առ քայլ հասկանաք գործընթացը։ Հոդվածը մանրամասնում է, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը:

Շատերը չեն հասկանում, թե ինչպես կարելի է ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը և ինչու է դա արվում: Սկզբում կարող է թվալ, որ սա անօգուտ վարժություն է։ Բայց մաթեմատիկայում ոչինչ հենց այնպես չի արվում։ Փոխակերպումն անհրաժեշտ է արտահայտությունը պարզեցնելու և հաշվարկի հարմարության համար:

Բազմանդամ, որն ունի ax² + bx + c ձև, կոչվում է քառակուսի եռանդամ:«ա» տերմինը պետք է լինի բացասական կամ դրական: Գործնականում այս արտահայտությունը կոչվում է քառակուսի հավասարում: Հետեւաբար, երբեմն նրանք այլ կերպ են ասում՝ ինչպես ընդլայնել քառակուսի հավասարումը:

Հետաքրքիր է!Քառակուսի բազմանդամը կոչվում է իր ամենամեծ աստիճանի պատճառով՝ քառակուսի: Եվ եռանկյուն՝ 3 բաղադրիչ տերմինների պատճառով։

Բազմանդամների մի քանի այլ տեսակներ.

• գծային երկանդամ (6x+8);
• խորանարդ քառանկյուն (x³+4x²-2x+9):

Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

Նախ, արտահայտությունը հավասար է զրոյի, ապա պետք է գտնել x1 և x2 արմատների արժեքները: Կարող է արմատներ չլինեն, կարող են լինել մեկ կամ երկու արմատ: Արմատների առկայությունը որոշվում է տարբերակիչով: Դրա բանաձեւը պետք է անգիր հայտնի լինի՝ D=b²-4ac:

Եթե ​​D-ի արդյունքը բացասական է, արմատներ չկան։ Եթե ​​դրական է, ապա երկու արմատ կա. Եթե ​​արդյունքը զրոյական է, ապա արմատը մեկ է: Արմատները նույնպես հաշվարկվում են բանաձևով.

Եթե ​​դիսկրիմինանտի հաշվարկը զրոյի է բերում, կարող եք կիրառել բանաձևերից որևէ մեկը: Գործնականում բանաձևը պարզապես կրճատ է՝ -b / 2a:

Տարբերակիչի տարբեր արժեքների բանաձևերը տարբեր են:

Եթե ​​D-ն դրական է.

Եթե ​​D-ն զրո է.

Առցանց հաշվիչներ

Ինտերնետում կա առցանց հաշվիչ: Այն կարող է օգտագործվել ֆակտորիզացիայի համար: Որոշ ռեսուրսներ լուծումը քայլ առ քայլ տեսնելու հնարավորություն են տալիս։ Նման ծառայություններն օգնում են ավելի լավ հասկանալ թեման, բայց պետք է փորձել լավ հասկանալ։

Օգտակար տեսանյութ՝ քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգ

Օրինակներ

Առաջարկում ենք դիտարկել քառակուսի հավասարումը ֆակտորիզացնելու պարզ օրինակներ:

Օրինակ 1

Այստեղ հստակ ցույց է տրվում, որ արդյունքը կլինի երկու x, քանի որ D-ն դրական է։ Նրանք պետք է փոխարինվեն բանաձևով: Եթե ​​արմատները բացասական են, ապա բանաձևի նշանը հակադարձվում է:

Մենք գիտենք քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը՝ a(x-x1)(x-x2): Արժեքները դնում ենք փակագծերում՝ (x+3)(x+2/3): Ցուցանիշում տերմինից առաջ թիվ չկա: Սա նշանակում է, որ կա միավոր, այն իջեցված է։

Օրինակ 2

Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է լուծել մեկ արմատ ունեցող հավասարումը:

Փոխարինեք ստացված արժեքը.

Օրինակ 3

Տրված է՝ 5x²+3x+7

Նախ, մենք հաշվարկում ենք խտրականությունը, ինչպես նախորդ դեպքերում:

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Խտրականը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներ չկան:

Արդյունքը ստանալուց հետո արժե բացել փակագծերը և ստուգել արդյունքը։ Բնօրինակ եռանկյունը պետք է հայտնվի:

Այլընտրանքային լուծում

Որոշ մարդիկ երբեք չեն կարողացել ընկերանալ խտրականի հետ։ Քառակուսի եռանկյունը ֆակտորիզացնելու մեկ այլ եղանակ կա: Հարմարության համար մեթոդը ներկայացված է օրինակով:

Տրված է՝ x²+3x-10

Մենք գիտենք, որ պետք է ավարտենք 2 փակագծով՝ (_)(_): Երբ արտահայտությունն այսպիսի տեսք ունի՝ x² + bx + c, յուրաքանչյուր փակագծի սկզբում դնում ենք x՝ (x_) (x_): Մնացած երկու թվերն այն արտադրյալն են, որը տալիս է «c», այսինքն՝ -10 այս դեպքում: Պարզելու համար, թե որոնք են այս թվերը, կարող եք օգտագործել միայն ընտրության մեթոդը: Փոխարինված թվերը պետք է համապատասխանեն մնացած ժամկետին:

Օրինակ՝ հետևյալ թվերը բազմապատկելով՝ ստացվում է -10.

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ոչ
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ոչ
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ոչ
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Տեղավորվում է.

Այսպիսով, x2+3x-10 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (x-2)(x+5):

Կարևոր.Դուք պետք է զգույշ լինեք, որպեսզի չշփոթեք նշանները:

Բարդ եռանդամի տարրալուծում

Եթե ​​«ա»-ն մեկից մեծ է, դժվարություններ են սկսվում։ Բայց ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է։

Ֆակտորիզացնելու համար նախ պետք է տեսնել, թե հնարավո՞ր է ինչ-որ բան հանել:

Օրինակ՝ տրված է 3x²+9x-30 արտահայտությունը: Այստեղ փակագծերից հանված է 3 թիվը.

3 (x²+3x-10): Արդյունքը արդեն հայտնի եռանդամն է։ Պատասխանն ունի հետևյալ տեսքը՝ 3(x-2)(x+5)

Ինչպե՞ս տարրալուծվել, եթե քառակուսի տերմինը բացասական է: Այս դեպքում փակագծից հանվում է -1 թիվը։ Օրինակ՝ -x²-10x-8: Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սխեման քիչ է տարբերվում նախորդից: Միայն մի քանի նոր բան կա։ Ենթադրենք տրված է արտահայտությունը՝ 2x²+7x+3: Պատասխանը գրված է նաև 2 փակագծերում, որոնք պետք է լրացվեն (_) (_): 2-րդ փակագծում գրված է X, իսկ 1-ինում մնացածը։ Կարծես հետևյալն է՝ (2x_)(x_): Հակառակ դեպքում կրկնվում է նախորդ սխեման։

3 համարը տալիս է թվերը.

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Հավասարումները լուծում ենք՝ փոխարինելով տրված թվերը։ Վերջին տարբերակը տեղավորվում է. Այսպիսով, 2x²+7x+3 արտահայտության փոխակերպումն ունի հետևյալ տեսքը՝ (2x+1)(x+3):

Այլ դեպքեր

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխակերպել արտահայտությունը: Երկրորդ մեթոդով հավասարման լուծումը պարտադիր չէ։ Բայց տերմինները ապրանքի վերածելու հնարավորությունը ստուգվում է միայն դիսկրիմինատորի միջոցով։

Արժե զբաղվել քառակուսի հավասարումների լուծումով, որպեսզի բանաձևեր օգտագործելիս դժվարություններ չլինեն։

Օգտակար տեսանյութ՝ եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եզրակացություն

Դուք կարող եք այն օգտագործել ցանկացած ձևով: Բայց ավելի լավ է աշխատել երկուսն էլ դեպի ավտոմատիզմ: Նաև նրանք, ովքեր պատրաստվում են իրենց կյանքը կապել մաթեմատիկայի հետ, պետք է սովորեն, թե ինչպես լավ լուծել քառակուսի հավասարումները և բազմանդամները տարրալուծել գործոնների։ Բոլոր հետևյալ մաթեմատիկական թեմաները կառուցված են սրա վրա։

հետ շփման մեջ

Բազմանդամների ֆակտորիզացիան նույնական փոխակերպումն է, որի արդյունքում բազմանդամը վերածվում է մի քանի գործոնների՝ բազմանդամների կամ միանդամների արտադրյալի։

Բազմանդամները ֆակտորիզացնելու մի քանի եղանակ կա.

Մեթոդ 1. Ընդհանուր գործոնի փակագծում:

Այս փոխակերպումը հիմնված է բազմապատկման բաշխիչ օրենքի վրա՝ ac + bc = c(a + b): Փոխակերպման էությունը դիտարկվող երկու բաղադրիչներում առանձնացնելն է ընդհանուր գործոնը և այն «դուրս հանել» փակագծերից։

Եկեք գործոնացնենք 28x 3 - 35x 4 բազմանդամը:

Լուծում.

1. Մենք ընդհանուր բաժանարար ենք գտնում 28x3 և 35x4 տարրերի համար: 28-ի և 35-ի համար դա կլինի 7; x 3-ի և x 4 - x 3-ի համար: Այսինքն՝ մեր ընդհանուր գործակիցը 7x3 է։

2. Տարրերից յուրաքանչյուրը ներկայացնում ենք որպես գործոնների արտադրյալ, որոնցից մեկը
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x:

3. Ընդհանուր գործոնի փակագծում
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x):

Մեթոդ 2. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Այս մեթոդին տիրապետելու «վարպետությունը» արտահայտության մեջ կրճատ բազմապատկման բանաձեւերից մեկը նկատելն է։

Եկեք գործոնացնենք x 6 - 1 բազմանդամը:

Լուծում.

1. Այս արտահայտության վրա կարող ենք կիրառել քառակուսիների տարբերությունը: Դա անելու համար մենք x 6-ը ներկայացնում ենք որպես (x 3) 2, իսկ 1-ը որպես 1 2, այսինքն. 1. Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1):

2. Ստացված արտահայտության վրա մենք կարող ենք կիրառել խորանարդների գումարի և տարբերության բանաձևը.
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1):

Այսպիսով,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1):

Մեթոդ 3. Խմբավորում. Խմբավորման մեթոդը բաղկացած է բազմանդամի բաղադրիչների այնպես համակցումից, որ դրանց վրա հեշտ լինի գործողություններ կատարել (գումարում, հանում, ընդհանուր գործակից հանում):

Մենք գործոնացնում ենք x 3 - 3x 2 + 5x - 15 բազմանդամը:

Լուծում.

1. Բաղադրիչները խմբավորել այսպես՝ 1-ինը՝ 2-րդի հետ, իսկ 3-րդը՝ 4-րդի հետ.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15):

2. Ստացված արտահայտության մեջ փակագծերից հանում ենք ընդհանուր գործակիցները՝ x 2 առաջին դեպքում, իսկ երկրորդում՝ 5:
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3):

3. Հանում ենք x - 3 ընդհանուր գործակիցը և ստանում.
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5):

Այսպիսով,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5):

Եկեք շտկենք նյութը:

Գործոնավորեք a 2 - 7ab + 12b 2 բազմանդամը:

Լուծում.

1. 7ab միանդամը ներկայացնում ենք որպես 3ab + 4ab գումար: Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2:

Բացենք փակագծերը և ստանանք.
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2:

2. Բազմանդամի բաղադրիչները խմբավորի՛ր այսպես՝ 1-ինը՝ 2-րդի, իսկ 3-րդը՝ 4-րդի հետ: Մենք ստանում ենք.
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2):

3. Դուրս բերենք ընդհանուր գործոնները.
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b):

4. Դուրս բերենք ընդհանուր գործակիցը (a - 3b).
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Այսպիսով,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (а – 3 բ) ∙ (а – 4b).

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Ֆակտորիզացնելու համար անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունները։ Սա անհրաժեշտ է, որպեսզի հետագայում կարողանանք կրճատել։ Բազմանդամի տարրալուծումը իմաստ ունի, երբ նրա աստիճանը երկրորդից ցածր չէ։ Առաջին աստիճանով բազմանդամը կոչվում է գծային:

Հոդվածում կբացահայտվեն տարրալուծման բոլոր հասկացությունները, տեսական հիմքերը և բազմանդամի ֆակտորինգի մեթոդները։

Տեսություն

Թեորեմ 1

Երբ n աստիճանով ցանկացած բազմանդամ, որն ունի P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձև: . . + a 1 x + a 0 , ներկայացված են որպես հաստատուն գործակից ունեցող արտադրյալ՝ ամենաբարձր աստիճանով a n և n գծային գործակիցներով (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , ապա P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , որտեղ x i , i = 1 , 2 , … , n - սրանք բազմանդամի արմատներն են:

Թեորեմը նախատեսված է x i, i = 1, 2, …, n բարդ տիպի արմատների համար և a k, k = 0, 1, 2,…, n բարդ գործակիցների համար: Սա ցանկացած տարրալուծման հիմքն է։

Երբ a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n ձևի գործակիցները իրական թվեր են, ապա բարդ արմատները կառաջանան խոնարհված զույգերով: Օրինակ, x 1 և x 2 արմատները կապված են P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամի հետ: . . + a 1 x + a 0 համարվում են բարդ խոնարհված, ապա մյուս արմատները իրական են, հետևաբար մենք ստանում ենք, որ բազմանդամը ստանում է P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) ձևը: . . (x - x 3) x 2 + p x + q, որտեղ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Մեկնաբանություն

Բազմանդամի արմատները կարող են կրկնվել։ Դիտարկենք հանրահաշվի թեորեմի ապացույցը, Բեզուտի թեորեմի հետևանքները։

Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ

Թեորեմ 2

n աստիճան ունեցող ցանկացած բազմանդամն ունի առնվազն մեկ արմատ:

Բեզուտի թեորեմը

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի բազմանդամը բաժանելուց հետո: . . + a 1 x + a 0 on (x - s), ապա ստանում ենք մնացորդը, որը հավասար է s կետի բազմանդամին, ապա ստանում ենք.

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , որտեղ Q n - 1 (x) բազմանդամ է n - 1 աստիճանով:

Եզրակացություն Բեզութի թեորեմից

Երբ P n (x) բազմանդամի արմատը համարվում է s , ապա P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Այս եզրակացությունը բավարար է, երբ օգտագործվում է լուծումը նկարագրելու համար:

Քառակուսի եռանդամի գործոնացում

a x 2 + b x + c ձևի քառակուսի եռանկյունը կարող է վերագրվել գծային գործակիցների: ապա մենք ստանում ենք, որ a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , որտեղ x 1 և x 2 արմատներ են (բարդ կամ իրական):

Սա ցույց է տալիս, որ տարրալուծումն ինքնին կրճատվում է մինչև ավելի ուշ քառակուսի հավասարումը լուծելու համար:

Օրինակ 1

Գործոնացնել քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է գտնել 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 հավասարման արմատները: Դա անելու համար դուք պետք է գտնեք տարբերակիչի արժեքը ըստ բանաձևի, այնուհետև մենք ստանում ենք D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9: Ուստի մենք ունենք դա

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1:

Ստուգումն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է բացել փակագծերը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն.

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Ստուգումից հետո մենք հասնում ենք սկզբնական արտահայտությանը: Այսինքն՝ կարելի է եզրակացնել, որ ընդլայնումը ճիշտ է։

Օրինակ 2

Գործոնացրեք 3 x 2 - 7 x - 11 ձևի քառակուսի եռանկյունը:

Լուծում

Մենք ստանում ենք, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ձևի քառակուսի հավասարումը:

Արմատները գտնելու համար անհրաժեշտ է որոշել դիսկրիմինանտի արժեքը: Մենք դա հասկանում ենք

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 թ

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6:

Օրինակ 3

Գործոնացնել 2 x 2 + 1 բազմանդամը:

Լուծում

Այժմ դուք պետք է լուծեք 2 x 2 + 1 = 0 քառակուսի հավասարումը և գտնեք դրա արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Այս արմատները կոչվում են բարդ խոնարհված, ինչը նշանակում է, որ տարրալուծումն ինքնին կարող է ներկայացվել որպես 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i:

Օրինակ 4

Ընդարձակեք քառակուսի եռանկյունը x 2 + 1 3 x + 1:

Լուծում

Նախ պետք է լուծել x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը և գտնել դրա արմատները:

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Արմատները ձեռք բերելով՝ գրում ենք

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Մեկնաբանություն

Եթե ​​դիսկրիմինանտի արժեքը բացասական է, ապա բազմանդամները կմնան երկրորդ կարգի բազմանդամներ։ Այստեղից հետևում է, որ մենք դրանք չենք տարրալուծելու գծային գործոնների։

Երկրորդից բարձր աստիճանի բազմանդամի գործակցման մեթոդներ

Քայքայումը ենթադրում է ունիվերսալ մեթոդ. Բոլոր դեպքերի մեծ մասը հիմնված է Բեզութի թեորեմի հետևանքի վրա: Դա անելու համար հարկավոր է ընտրել x 1 արմատի արժեքը և իջեցնել դրա աստիճանը՝ բազմանդամի վրա 1-ի բաժանելով՝ բաժանելով (x - x 1) . Ստացված բազմանդամը պետք է գտնի x 2 արմատը, և որոնման գործընթացը ցիկլային է, մինչև մենք ստանանք ամբողջական տարրալուծում:

Եթե ​​արմատը չի հայտնաբերվել, ապա օգտագործվում են ֆակտորացման այլ մեթոդներ՝ խմբավորում, լրացուցիչ տերմիններ։ Այս թեման ենթադրում է ավելի մեծ հզորություններով և ամբողջ թվային գործակիցներով հավասարումների լուծում։

Ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, ապա բազմանդամի ձևը դառնում է P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ։ . . + a 1 x.

Կարելի է տեսնել, որ նման բազմանդամի արմատը հավասար կլինի x 1 \u003d 0, այնուհետև կարող եք բազմանդամը ներկայացնել P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + արտահայտության տեսքով: . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Համարվում է, որ այս մեթոդը ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանում է:

Օրինակ 5

Գործոնացնել երրորդ աստիճանի բազմանդամը 4 x 3 + 8 x 2 - x:

Լուծում

Մենք տեսնում ենք, որ x 1 \u003d 0 տրված բազմանդամի արմատն է, այնուհետև մենք կարող ենք x-ը փակել ամբողջ արտահայտությունից: Մենք ստանում ենք.

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Անցնենք քառակուսի եռանկյունի 4 x 2 + 8 x - 1 արմատները գտնելուն։ Գտնենք տարբերակիչն ու արմատները.

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Այնուհետեւ հետեւում է, որ

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Սկզբից եկեք դիտարկենք տարրալուծման մեթոդը, որը պարունակում է P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ: . . + a 1 x + a 0, որտեղ ամենաբարձր հզորության գործակիցը 1 է:

Երբ բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք համարվում են ազատ անդամի բաժանարարներ։

Օրինակ 6

Ընդարձակեք f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 արտահայտությունը:

Լուծում

Մտածեք, թե արդյոք կան ամբողջ թվային արմատներ: Պետք է դուրս գրել 18 թվի բաժանարարները։ Մենք ստանում ենք, որ ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18: Հետևում է, որ այս բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ։ Դուք կարող եք ստուգել Horner սխեմայի համաձայն: Այն շատ հարմար է և թույլ է տալիս արագորեն ստանալ բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Հետևում է, որ x \u003d 2 և x \u003d - 3 սկզբնական բազմանդամի արմատներն են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես ձևի արտադրյալ.

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մենք դիմում ենք x 2 + 2 x + 3 ձևի քառակուսի եռանդամի տարրալուծմանը:

Քանի որ դիսկրիմինանտը բացասական է, նշանակում է իրական արմատներ չկան։

Պատասխան. f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Մեկնաբանություն

Հորների սխեմայի փոխարեն թույլատրվում է օգտագործել արմատային ընտրություն և բազմանդամի բաժանում բազմանդամի վրա։ Եկեք դիտարկենք P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ձևի ամբողջ թվային գործակիցներ պարունակող բազմանդամի ընդլայնումը: . . + a 1 x + a 0, որոնցից ամենաբարձրը հավասար չէ մեկի:

Այս դեպքը տեղի է ունենում կոտորակային ռացիոնալ կոտորակների համար:

Օրինակ 7

Գործոնացնել f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15:

Լուծում

Անհրաժեշտ է փոխել y = 2 x փոփոխականը, պետք է անցնել 1-ին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի ամենաբարձր աստիճանի։ Դուք պետք է սկսեք արտահայտությունը 4-ով բազմապատկելով: Մենք դա հասկանում ենք

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Երբ g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանց գտածոն ազատ անդամի բաժանարարների թվում է: Մուտքը կունենա հետևյալ տեսքը.

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Անցնենք այս կետերում g (y) ֆունկցիայի հաշվարկին, որպեսզի արդյունքում ստանանք զրո։ Մենք դա հասկանում ենք

գ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 գ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 գ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 գ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 գ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 գ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 գ (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 գ (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 գ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 գ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Մենք ստանում ենք, որ y \u003d - 5-ը y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ձևի հավասարման արմատն է, ինչը նշանակում է, որ x \u003d y 2 \u003d - 5 2 բնօրինակ ֆունկցիայի արմատն է:

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է բաժանել 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 սյունակով x + 5 2-ով:

Լուծում

Մենք գրում և ստանում ենք.

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Բաժանարարների ստուգումը շատ ժամանակ կխլի, ուստի ավելի շահավետ է վերցնել x 2 + 7 x + 3 ձևի ստացված քառակուսի եռանկյունի ֆակտորիզացիան: Հավասարեցնելով զրոյի՝ գտնում ենք դիսկրիմինատորը։

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Այստեղից հետևում է, որ

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Արհեստական ​​հնարքներ բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ

Ռացիոնալ արմատները բնորոշ չեն բոլոր բազմանդամներին: Դա անելու համար դուք պետք է օգտագործեք հատուկ մեթոդներ՝ գործոններ գտնելու համար: Բայց ոչ բոլոր բազմանդամները կարող են քայքայվել կամ ներկայացվել որպես արտադրյալ:

Խմբավորման մեթոդ

Լինում են դեպքեր, երբ կարելի է բազմանդամի տերմինները խմբավորել՝ ընդհանուր գործակից գտնելու և փակագծերից հանելու համար։

Օրինակ 9

Գործոնավորե՛ք x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 բազմանդամը:

Լուծում

Քանի որ գործակիցները ամբողջ թվեր են, ուրեմն արմատները ենթադրաբար կարող են լինել նաև ամբողջ թվեր։ Ստուգելու համար մենք վերցնում ենք 1, - 1, 2 և - 2 արժեքները, որպեսզի հաշվարկենք բազմանդամի արժեքը այս կետերում: Մենք դա հասկանում ենք

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Սա ցույց է տալիս, որ արմատներ չկան, անհրաժեշտ է օգտագործել տարրալուծման և լուծման այլ եղանակ:

Պահանջվում է խմբավորում.

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Սկզբնական բազմանդամը խմբավորելուց հետո անհրաժեշտ է այն ներկայացնել որպես երկու քառակուսի եռանդամի արտադրյալ։ Դա անելու համար մենք պետք է ֆակտորիզացնենք: մենք դա ստանում ենք

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Մեկնաբանություն

Խմբավորման պարզությունը չի նշանակում, որ տերմիններ ընտրելը բավական հեշտ է։ Այն լուծելու հստակ ճանապարհ չկա, հետևաբար անհրաժեշտ է օգտագործել հատուկ թեորեմներ և կանոններ։

Օրինակ 10

Գործոնավորե՛ք x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 բազմանդամը:

Լուծում

Տրված բազմանդամը չունի ամբողջ թվային արմատներ։ Պայմանները պետք է խմբավորվեն: Մենք դա հասկանում ենք

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Ֆակտորինգից հետո մենք ստանում ենք դա

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Օգտագործելով կրճատ բազմապատկման և Նյուտոնի երկանդամների բանաձևերը՝ բազմանդամը ֆակտորիզացնելու համար

Արտաքին տեսքը հաճախ միշտ չէ, որ պարզ է դարձնում, թե որ ճանապարհն օգտագործել տարրալուծման ժամանակ: Փոխակերպումները կատարելուց հետո դուք կարող եք կառուցել Պասկալի եռանկյունից բաղկացած գիծ, ​​հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են Նյուտոնի երկանդամ:

Օրինակ 11

Գործոնավորե՛ք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 բազմանդամը:

Լուծում

Անհրաժեշտ է արտահայտությունը վերածել ձևի

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Փակագծերում նշված գումարի գործակիցների հաջորդականությունը նշվում է x + 1 4 արտահայտությամբ:

Այսպիսով, մենք ունենք x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3:

Քառակուսիների տարբերությունը կիրառելուց հետո ստանում ենք

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Դիտարկենք երկրորդ փակագծում գտնվող արտահայտությունը։ Հասկանալի է, որ այնտեղ ձիեր չկան, ուստի պետք է նորից կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձեւը։ Մենք ստանում ենք նման արտահայտություն

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Օրինակ 12

Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Լուծում

Փոխենք արտահայտությունը. Մենք դա հասկանում ենք

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք.

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Բազմանդամի ֆակտորինգի ժամանակ փոփոխականը փոխարինելու մեթոդ

Փոփոխական փոխելիս աստիճանը կրճատվում է, իսկ բազմանդամը գործոնացվում է:

Օրինակ 13

Գործոնացնել x 6 + 5 x 3 + 6 ձևի բազմանդամը:

Լուծում

Պայմանով պարզ է, որ անհրաժեշտ է փոխարինել y = x 3: Մենք ստանում ենք.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Ստացված քառակուսային հավասարման արմատներն են y = - 2 և y = - 3, ապա

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Անհրաժեշտ է կիրառել խորանարդների գումարի կրճատ բազմապատկման բանաձեւը. Մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություններ.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Այսինքն՝ մենք ստացել ենք ցանկալի ընդլայնումը։

Վերևում քննարկված դեպքերը կօգնեն բազմանդամը տարբեր ձևերով դիտարկել և գործակցել:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ընդհանուր դեպքում այս խնդիրը ներառում է ստեղծագործական մոտեցում, քանի որ դրա լուծման ունիվերսալ մեթոդ գոյություն չունի։ Այնուամենայնիվ, փորձենք մի քանի հուշում տալ.

Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների հիմնված է Բեզուտի թեորեմի հետևանքով, այսինքն՝ արմատը գտնվել կամ ընտրվել է, և բազմանդամի աստիճանը կրճատվում է մեկով՝ բաժանելով։ Ստացված բազմանդամը փնտրում է արմատ և գործընթացը կրկնվում է մինչև ամբողջական ընդլայնումը:

Եթե ​​արմատը հնարավոր չէ գտնել, ապա օգտագործվում են տարրալուծման հատուկ մեթոդներ՝ խմբավորումից մինչև լրացուցիչ փոխադարձ բացառող տերմինների ներմուծում։

Հետագա ներկայացումը հիմնված է ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ ամբողջ թվային գործակիցներով լուծելու հմտությունների վրա:

Ընդհանուր գործոնի փակագծում:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից, երբ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, այսինքն՝ բազմանդամն ունի .

Ակնհայտ է, որ նման բազմանդամի արմատը , այսինքն՝ բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես .

Այս մեթոդը ոչ այլ ինչ է, քան փակագծերից հանելով ընդհանուր գործոնը.

Օրինակ.

Երրորդ աստիճանի բազմանդամը տարրալուծել գործոնների.

Լուծում.

Ակնհայտ է, որ բազմանդամի արմատն է, այսինքն. Xկարելի է փակագծել՝

Գտե՛ք քառակուսի եռանդամի արմատները

Այսպիսով,

Էջի վերևում

Ռացիոնալ արմատներով բազմանդամի գործոնացում.

Նախ դիտարկենք ձևի ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի ընդլայնման մեթոդը, ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը հավասար է մեկի:

Այս դեպքում, եթե բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք ազատ անդամի բաժանիչներ են։

Օրինակ.

Լուծում.

Եկեք ստուգենք, արդյոք կան ամբողջ թվային արմատներ: Դա անելու համար մենք դուրս ենք գրում թվի բաժանարարները -18 : Այսինքն, եթե բազմանդամն ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք դուրս գրված թվերի թվում են։ Եկեք ստուգենք այս թվերը հաջորդաբար՝ ըստ Հորների սխեմայի։ Դրա հարմարությունը կայանում է նրանում, որ վերջում մենք կստանանք նաև բազմանդամի ընդլայնման գործակիցները.

Այն է, x=2Եվ x=-3սկզբնական բազմանդամի արմատներն են և այն կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ.

Մնում է ընդլայնել քառակուսի եռանկյունը։

Այս եռանդամի տարբերակիչը բացասական է, հետևաբար այն չունի իրական արմատներ։

Պատասխան.

Մեկնաբանություն:

Հորների սխեմայի փոխարեն կարելի էր օգտագործել արմատի ընտրությունը և բազմանդամի հետագա բաժանումը բազմանդամի վրա։

Այժմ դիտարկենք ձևի ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամի ընդլայնումը, և ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը հավասար չէ մեկի:

Այս դեպքում բազմանդամը կարող է ունենալ կոտորակային ռացիոնալ արմատներ։

Օրինակ.

Գործոնացնել արտահայտությունը:

Լուծում.

Փոփոխականը փոխելով y=2x, անցնում ենք ամենաբարձր աստիճանի մեկին հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի։ Դա անելու համար մենք նախ բազմապատկում ենք արտահայտությունը 4 .

Եթե ​​ստացված ֆունկցիան ունի ամբողջ թվային արմատներ, ապա դրանք ազատ անդամի բաժանարարների թվում են։ Եկեք գրենք դրանք.

Հաջորդաբար հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքները g(y)այս կետերում մինչև զրոյի հասնելը:

Այն է, y=-5արմատն է , հետևաբար, սկզբնական ֆունկցիայի արմատն է։ Կատարենք բազմանդամի սյունակով (անկյունով) բաժանումը երկանդամի.

Այսպիսով,

Ցանկալի չէ շարունակել ստուգել մնացած բաժանարարները, քանի որ ստացված քառակուսի եռանկյունը ավելի հեշտ է ֆակտորիզացնել։

Հետևաբար,

Անհայտ բազմանդամներ. Բազմանդամի բաշխման թեորեմը dobutok-ում անգիտակցաբար. Բազմանդամի կանոնական դասավորությունը:

Բազմանդամը միանդամների գումարից բաղկացած արտահայտություն է։ Վերջիններս k աստիճանի արտահայտության հաստատունի (թվի) և արմատի (կամ արմատների) արտադրյալն են։ Այս դեպքում խոսվում է k աստիճանի բազմանդամի մասին։ Բազմանդամի տարրալուծումը ներառում է արտահայտության փոխակերպումը, որում տերմինները փոխարինվում են գործակիցներով։ Դիտարկենք այս տեսակի փոխակերպման իրականացման հիմնական ուղիները։

Բազմանդամի ընդլայնման մեթոդ՝ ընդհանուր գործակից հանելով

Այս մեթոդը հիմնված է բաշխման օրենքի օրենքների վրա: Այսպիսով, mn + mk = m * (n + k):

• Օրինակ:ընդլայնել 7y 2 + 2uy և 2m 3 – 12m 2 + 4lm:

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l):

Այնուամենայնիվ, գործակիցը, որն անպայմանորեն առկա է յուրաքանչյուր բազմանդամում, միշտ չէ, որ կարող է գտնվել, ուստի այս մեթոդը համընդհանուր չէ:

Բազմանդամների ընդլայնման մեթոդ՝ հիմնված կրճատված բազմապատկման բանաձևերի վրա

Կրճատված բազմապատկման բանաձևերը վավեր են ցանկացած աստիճանի բազմանդամի համար: Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպման արտահայտությունը հետևյալն է.

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), որտեղ k-ի ներկայացուցիչն է. բնական թվեր.

Ամենից հաճախ գործնականում օգտագործվում են երկրորդ և երրորդ կարգի բազմանդամների բանաձևերը.

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2):

• Օրինակ:ընդլայնել 25p 2 - 144b 2 և 64m 3 - 8l 3:

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)(4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Բազմանդամ տարրալուծման մեթոդ - արտահայտության տերմինների խմբավորում

Այս մեթոդը ինչ-որ կերպ կրկնում է ընդհանուր գործոնի հայտնաբերման տեխնիկան, սակայն ունի որոշ տարբերություններ: Մասնավորապես, ընդհանուր գործոնը առանձնացնելուց առաջ պետք է խմբավորել միանդամները։ Խմբավորումը հիմնված է ասոցիատիվ և կոմուտատիվ օրենքների կանոնների վրա:

Արտահայտության մեջ ներկայացված բոլոր միանունները բաժանվում են խմբերի, որոնցից յուրաքանչյուրում հանվում է ընդհանուր արժեք այնպես, որ երկրորդ գործոնը բոլոր խմբերում նույնը կլինի։ Ընդհանուր առմամբ, տարրալուծման նման մեթոդը կարող է ներկայացվել որպես արտահայտություն.

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s):

• Օրինակ:ընդլայնել 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7):

Բազմանդամների տարրալուծման մեթոդ - լրիվ քառակուսի ձևավորում

Այս մեթոդն ամենաարդյունավետներից մեկն է բազմանդամների տարրալուծման ժամանակ։ Նախնական փուլում անհրաժեշտ է որոշել միանշանակները, որոնք կարելի է «ծալել» տարբերության կամ գումարի քառակուսու մեջ։ Դրա համար օգտագործվում է հետևյալ հարաբերություններից մեկը.

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Օրինակ:ընդլայնել u 4 + 4u 2 – 1 արտահայտությունը:

Նրա միանուններից առանձնացնում ենք ամբողջական քառակուսի կազմող տերմինները՝ u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5:

Կատարեք փոխակերպումը` օգտագործելով կրճատ բազմապատկման կանոնները. (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5):

Դա. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5):