Թող գործառույթը y = զ(x) սահմանվում է միջակայքում [ ա, բ ], ա < բ. Եկեք կատարենք հետևյալ գործողությունները.

1) բաժանել [ ա, բ] միավոր ա = x 0 < x 1 < ... < x ես- 1 < x ես < ... < x n = բ վրա nմասնակի հատվածներ [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ես- 1 , x ես ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) մասնակի հատվածներից յուրաքանչյուրում [ x ես- 1 , x ես ], ես = 1, 2, ... n, ընտրեք կամայական կետ և հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքը այս կետում. զ(z i ) ;

3) գտնել աշխատանքները զ(z i ) · Δ x ես , որտեղ է մասնակի հատվածի երկարությունը [ x ես- 1 , x ես ], ես = 1, 2, ... n;

4) կազմել ինտեգրալ գումարգործառույթները y = զ(x) հատվածում [ ա, բ ]:

Երկրաչափական տեսանկյունից այս գումարը σ-ն ուղղանկյունների մակերեսների գումարն է, որոնց հիմքերը մասնակի հատվածներ են [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ես- 1 , x ես ], ..., [x n- 1 , x n ], իսկ բարձունքներն են զ(զ 1 ) , զ(զ 2 ), ..., զ(z n) համապատասխանաբար (նկ. 1): Նշել ըստ λ ամենամեծ մասնակի հատվածի երկարությունը.

5) գտե՛ք ինտեգրալ գումարի սահմանը, երբ λ → 0.

Սահմանում.Եթե ​​կա ինտեգրալ գումարի (1) վերջավոր սահման, և դա կախված չէ հատվածի բաժանման եղանակից [ ա, բ] մասնակի հատվածների, ոչ էլ կետերի ընտրությունից z iդրանց մեջ, ապա այս սահմանը կոչվում է որոշակի ինտեգրալֆունկցիայից y = զ(x) հատվածում [ ա, բ] և նշվում է

Այսպիսով,

Այս դեպքում գործառույթը զ(x) կոչվում է ինտեգրելիվրա [ ա, բ]. Թվեր աԵվ բկոչվում են համապատասխանաբար ինտեգրման ստորին և վերին սահմաններ. զ(x) ինտեգրալն է, զ(x ) dx- ինտեգրալ, x- ինտեգրման փոփոխական; գծի հատված [ ա, բ] կոչվում է ինտեգրման միջակայք։

Թեորեմ 1.Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ], ապա այն ինտեգրելի է այս միջակայքում:

Ինտեգրման միևնույն սահմաններով որոշակի ինտեգրալը հավասար է զրոյի.

Եթե ա > բ, ապա, ըստ սահմանման, մենք սահմանում ենք

2. Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը

Թող հատվածը [ ա, բ] շարունակական ոչ բացասական ֆունկցիա y = զ(x ) . Curvilinear trapezoidկոչվում է ֆունկցիա, որը վերևից սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով y = զ(x), ներքևից՝ Օքսի առանցքով, դեպի ձախ և աջ՝ ուղիղ գծերով x = aԵվ x = b(նկ. 2):

Ոչ բացասական ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ y = զ(x) երկրաչափական տեսանկյունից մակերեսին հավասարկորագիծ տրապիզոիդ՝ վերևից սահմանափակված ֆունկցիայի գրաֆիկով y = զ(x) , ձախ և աջ կողմում՝ ըստ տողերի հատվածների x = aԵվ x = b, ներքևից՝ Ox առանցքի հատվածով։

3. Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

1. Իմաստը որոշակի ինտեգրալկախված չէ ինտեգրման փոփոխականի նշումից.

2. Որոշակի ինտեգրալի նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործոն.

3. Երկու ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի որոշակի ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիաների որոշակի ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

4.եթե ֆունկցիան y = զ(x) ինտեգրելի է [ ա, բ] Եվ ա < բ < գ, Դա

5. (միջին արժեքի թեորեմ). Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ], ապա այս հատվածի վրա կա այնպիսի կետ, որ

4. Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւ

Թեորեմ 2.Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ] Եվ Ֆ(x) այս հատվածում նրա հակաածանցյալներից որևէ մեկն է, ապա ճշմարիտ է հետևյալ բանաձևը.

որը կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.Տարբերություն Ֆ(բ) - Ֆ(ա) գրված է հետևյալ կերպ.

որտեղ նիշը կոչվում է կրկնակի նիշ:

Այսպիսով, բանաձևը (2) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Օրինակ 1Հաշվարկել ինտեգրալը

Լուծում. Համար ինտեգրանդ զ(x ) = x 2 կամայական հակաածանցյալն ունի ձև

Քանի որ ցանկացած հակաածանցյալ կարող է օգտագործվել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևում, ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք վերցնում ենք հակաածանցյալը, որն ունի ամենապարզ ձևը.

5. Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում

Թեորեմ 3.Թող գործառույթը y = զ(x) շարունակական է [ ա, բ]. Եթե:

1) գործառույթ x = φ ( տ) և դրա ածանցյալ φ "( տ) շարունակական են համար;

2) ֆունկցիայի արժեքների մի շարք x = φ ( տ) համար է հատվածը [ ա, բ ];

3) φ ( ա) = ա, φ ( բ) = բ, ապա բանաձեւը

որը կոչվում է փոփոխական բանաձևի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում .

Ի տարբերություն անորոշ ինտեգրալ, այս դեպքում ոչ անհրաժեշտվերադառնալ սկզբնական ինտեգրման փոփոխականին - բավական է միայն գտնել ինտեգրման նոր սահմաններ α և β (դրա համար անհրաժեշտ է լուծել փոփոխականի համար տհավասարումներ φ ( տ) = աև φ ( տ) = բ).

Փոխարինման փոխարեն x = φ ( տ) կարող եք օգտագործել փոխարինումը տ = է(x) . Այս դեպքում փոփոխականի նկատմամբ ինտեգրման նոր սահմաններ գտնելը տպարզեցնում է՝ α = է(ա) , β = է(բ) .

Օրինակ 2. Հաշվարկել ինտեգրալը

Լուծում. Ներկայացնենք նոր փոփոխական՝ ըստ բանաձևի. Հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դնելով՝ մենք ստանում ենք 1 + x= տ 2 , որտեղ x= տ 2 - 1, dx = (տ 2 - 1)"dt= 2tdt. Մենք գտնում ենք ինտեգրման նոր սահմաններ: Դա անելու համար մենք փոխարինում ենք հին սահմանները բանաձևի մեջ x= 3 և x= 8. Ստանում ենք՝ , որտեղից տ= 2 և α = 2; , որտեղ տ= 3 և β = 3: Այսպիսով,

Օրինակ 3Հաշվիր

Լուծում. Թող u=ln x, Հետո, v = x. Ըստ բանաձևի (4)

Այս հոդվածում մանրամասն խոսվում է որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունների մասին: Դրանք ապացուցված են՝ օգտագործելով Ռիմանի և Դարբուի ինտեգրալի հայեցակարգը: Որոշակի ինտեգրալների հաշվարկը անցնում է 5 հատկությունների շնորհիվ։ Մնացածը օգտագործվում են տարբեր արտահայտություններ գնահատելու համար:

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկություններին անցնելուց առաջ անհրաժեշտ է համոզվել, որ a-ն չի գերազանցում b-ը։

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

Սահմանում 1

y \u003d f (x) ֆունկցիան, որը սահմանված է x \u003d a-ի համար, նման է արդար հավասարությանը ∫ a a f (x) d x \u003d 0:

Ապացույց 1

Այստեղից տեսնում ենք, որ համընկնող սահմաններով ինտեգրալի արժեքը հավասար է զրոյի։ Սա Ռիմանի ինտեգրալի հետևանքն է, քանի որ յուրաքանչյուր ինտեգրալ գումար σ ցանկացած բաժանման համար [a; a ] և ζ i կետերի ցանկացած ընտրություն հավասար է զրոյի, քանի որ x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2, . . . , n , ուրեմն ստանում ենք, որ ինտեգրալ ֆունկցիաների սահմանը զրո է։

Սահմանում 2

[a; b ] , ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x պայմանը բավարարված է։

Ապացույց 2

Այլ կերպ ասած, եթե դուք փոխում եք ինտեգրման վերին և ստորին սահմանները տեղերում, ապա ինտեգրալի արժեքը կփոխի արժեքը հակառակը: Այս հատկությունը վերցված է Ռիմանի ինտեգրալից։ Սակայն հատվածի բաժանման համարակալումը սկսվում է x = b կետից։

Սահմանում 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x օգտագործվում է y = f (x) և y = g (x) տիպի ինտեգրելի ֆունկցիաների համար, որոնք սահմանված են [ a ; բ] .

Ապացույց 3

Գրեք y = f (x) ± g (x) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը ζ i կետերի տրված ընտրությամբ հատվածների բաժանելու համար. σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

որտեղ σ f և σ g y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաների ինտեգրալ գումարներն են հատվածը բաժանելու համար: Սահմանին անցնելուց հետո λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 ստանում ենք, որ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Ռիմանի սահմանումից այս արտահայտությունը համարժեք է։

Սահմանում 4

Որոշակի ինտեգրալի նշանից հանելով հաստատուն գործոնը։ Ինտեգրելի ֆունկցիա [a; b ] k-ի կամայական արժեքով ունի ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ձևի վավեր անհավասարություն:

Ապացույց 4

Որոշակի ինտեգրալի հատկության ապացույցը նման է նախորդին.

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Սահմանում 5

Եթե ​​y = f (x) ձևի ֆունկցիան ինտեգրելի է x միջակայքում a ∈ x, b ∈ x-ի հետ, մենք ստանում ենք ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x:

Ապացույց 5

Գույքը համարվում է վավեր c ∈ a ; b , c ≤ a և c ≥ b համար: Ապացուցումն իրականացվում է նույն կերպ, ինչպես նախորդ հատկությունները:

Սահմանում 6

Երբ ֆունկցիան կարող է ինտեգրվել սեգմենտից [a; b], ապա դա հնարավոր է ցանկացած ներքին հատվածի համար c; d ∈ a; բ.

Ապացույց 6

Ապացույցը հիմնված է Darboux հատկության վրա. եթե կետերը ավելացվեն հատվածի գոյություն ունեցող բաժանմանը, ապա ստորին Darboux-ի գումարը չի նվազի, իսկ վերինը՝ չի ավելանա:

Սահմանում 7

Երբ ֆունկցիան ինտեգրելի է [a; b ] f (x)-ից ≥ 0 f (x) ≤ 0 x ∈ a-ի ցանկացած արժեքի համար; b , ապա մենք ստանում ենք, որ ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 :

Հատկությունը կարելի է ապացուցել՝ օգտագործելով Ռիմանի ինտեգրալի սահմանումը. հատվածի և ζ i կետերի բաժանման կետերի ցանկացած ընտրության ինտեգրալ գումար՝ պայմանով, որ f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ոչ բացասական է:

Ապացույց 7

Եթե ​​y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրելի են [a; b ] , ապա վավեր են համարվում հետևյալ անհավասարությունները.

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; բ

Պնդման շնորհիվ գիտենք, որ ինտեգրումն ընդունելի է։ Այս եզրակացությունը կօգտագործվի այլ հատկությունների ապացուցման համար:

Սահմանում 8

Ինտեգրելի ֆունկցիայի համար y = f (x) հատվածից [ a ; b ] մենք ունենք ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ձևի վավեր անհավասարություն:

Ապացույց 8

Մենք ունենք, որ - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Նախորդ հատկությունից մենք ստացանք, որ անհավասարությունը կարող է ինտեգրվել տերմին առ անդամ և այն համապատասխանում է անհավասարության՝ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x : Այս կրկնակի անհավասարությունը կարելի է գրել մեկ այլ ձևով՝ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x:

Սահմանում 9

Երբ y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրված են [a; b ] g (x)-ի համար ≥ 0 ցանկացած x ∈ a ; b , մենք ստանում ենք m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, որտեղ m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Ապացույց 9

Ապացույցը կատարվում է նույն կերպ. Մ–ը և մ–ը համարվում են ամենամեծ և ամենափոքր արժեքըֆունկցիա y = f (x) , սահմանված [a; b ] , ապա m ≤ f (x) ≤ M . Անհրաժեշտ է կրկնակի անհավասարությունը բազմապատկել y = g (x) ֆունկցիայով, որը կտա m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ձևի կրկնակի անհավասարության արժեքը։ Անհրաժեշտ է այն ինտեգրել հատվածի վրա [a; b ] , ապա մենք ստանում ենք ապացուցման ենթակա պնդումը:

Հետևանք. g (x) = 1-ի համար անհավասարությունը դառնում է m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Առաջին միջին բանաձևը

Սահմանում 10

y = f (x) համար ինտեգրելի [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) կա μ ∈ m թիվ; M , որը համապատասխանում է ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Հետևանք. Երբ y = f (x) ֆունկցիան շարունակական է [ a ; b ] , ապա կա այսպիսի c ∈ a ; b , որը բավարարում է ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Միջին արժեքի առաջին բանաձևը ընդհանրացված ձևով

Սահմանում 11

Երբ y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրելի են [a; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) , և g (x) > 0 x ∈ a-ի ցանկացած արժեքի համար; բ. Այսպիսով, մենք ունենք, որ կա μ ∈ m թիվ; M , որը բավարարում է ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x.

Երկրորդ միջին արժեքի բանաձևը

Սահմանում 12

Երբ y = f (x) ֆունկցիան ինտեգրելի է [ a ; b ] , և y = g (x) միապաղաղ է, ապա կա մի թիվ, որը c ∈ a ; b , որտեղ մենք ստանում ենք ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հակածանցյալ ֆունկցիա և անորոշ ինտեգրալ

Փաստ 1. Ինտեգրումը տարբերակման հակառակն է, այն է՝ ֆունկցիայի վերականգնումը այս ֆունկցիայի հայտնի ածանցյալից: Գործառույթը վերականգնվել է այս կերպ Ֆ(x) կոչվում է պարզունակֆունկցիայի համար զ(x).

Սահմանում 1. Ֆունկցիա Ֆ(x զ(x) որոշ ընդմիջումով X, եթե բոլոր արժեքների համար xայս միջակայքից հավասարությունը Ֆ "(x)=զ(x), այսինքն՝ այս ֆունկցիան զ(x) հակաածանցյալ ֆունկցիայի ածանցյալն է Ֆ(x). .

Օրինակ՝ ֆունկցիան Ֆ(x) = մեղք x ֆունկցիայի հակաածանցյալն է զ(x) = cos x ամբողջ թվային տողի վրա, քանի որ x-ի ցանկացած արժեքի համար (մեղ x)» = (cos x) .

Սահմանում 2. Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ զ(x) նրա բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն է. Սա օգտագործում է նշումը

∫

զ(x)dx

,

որտեղ է նշանը ∫ կոչվում է ինտեգրալ նշան, ֆունկցիա զ(x) ինտեգրանտ է, և զ(x)dx ինտեգրալն է։

Այսպիսով, եթե Ֆ(x) որոշ հակաածանցյալ է զ(x), Դա

∫

զ(x)dx = Ֆ(x) +Գ

Որտեղ Գ - կամայական հաստատուն (հաստատուն):

Որպես անորոշ ինտեգրալ ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմության իմաստը հասկանալու համար տեղին է հետևյալ անալոգիան. Թող լինի դուռ (ավանդական փայտե դուռ): Նրա գործառույթը «դուռ լինելն» է։ Ինչի՞ց է պատրաստված դուռը։ Ծառից. Սա նշանակում է, որ «լինել դուռ» ինտեգրանդի հակաածանցյալների բազմությունը, այսինքն՝ նրա անորոշ ինտեգրալը, «լինել ծառ + C» ֆունկցիան է, որտեղ C-ն հաստատուն է, որն այս համատեքստում կարող է նշանակել. օրինակ՝ ծառատեսակ։ Ինչպես դուռը փայտից է պատրաստված որոշ գործիքներով, այնպես էլ ֆունկցիայի ածանցյալն է «պատրաստված» հակաածանցյալ ֆունկցիայի հետ. բանաձև, որը մենք սովորել ենք՝ ուսումնասիրելով ածանցյալը .

Այնուհետև սովորական առարկաների և դրանց համապատասխան պրիմիտիվների գործառույթների աղյուսակը («դուռ լինել»՝ «ծառ լինել», «գդալ լինել»՝ «մետաղ լինել» և այլն) նման է աղյուսակին. հիմնական անորոշ ինտեգրալներ, որոնք կներկայացվեն ստորև: Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակը թվարկում է ընդհանուր ֆունկցիաները՝ նշելով հակաածանցյալները, որոնցից «պատրաստված» են այդ ֆունկցիաները։ Որպես անորոշ ինտեգրալ գտնելու խնդիրների մաս՝ տրված են այնպիսի ինտեգրանդներ, որոնք կարող են ուղղակիորեն ինտեգրվել առանց հատուկ ջանքերի, այսինքն՝ ըստ անորոշ ինտեգրալների աղյուսակի։ Ավելի բարդ խնդիրների դեպքում ինտեգրանդը նախ պետք է փոխակերպվի այնպես, որ կարողանան օգտագործել աղյուսակային ինտեգրալներ։

Փաստ 2. Վերականգնելով ֆունկցիան որպես հակաածանցյալ՝ մենք պետք է հաշվի առնենք կամայական հաստատուն (հաստատուն) Գ, և որպեսզի չգրեք հակաածանցյալների ցանկ 1-ից մինչև անվերջ տարբեր հաստատուններով, դուք պետք է գրեք հակաածանցյալների մի շարք կամայական հաստատունով: Գ, այսպես՝ 5 x³ + C. Այսպիսով, կամայական հաստատուն (հաստատուն) ներառված է հակաածանցյալի արտահայտման մեջ, քանի որ հակաածանցյալը կարող է լինել ֆունկցիա, օրինակ՝ 5. x³+4 կամ 5 x³+3 և 4-ը կամ 3-ը կամ որևէ այլ հաստատուն տարբերակելիս անհետանում է:

Մենք սահմանել ենք ինտեգրման խնդիրը՝ տվյալ ֆունկցիայի համար զ(x) գտնել նման գործառույթ Ֆ(x), որի ածանցյալըհավասար է զ(x).

Օրինակ 1Գտե՛ք ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի համար հակաածանցյալը ֆունկցիան է

Գործառույթ Ֆ(x) ֆունկցիայի համար կոչվում է հակաածանցյալ զ(x) եթե ածանցյալը Ֆ(x) հավասար է զ(x), կամ, որը նույնն է, դիֆերենցիալը Ֆ(x) հավասար է զ(x) dx, այսինքն.

(2)

Հետևաբար, ֆունկցիան հակաածանցյալ է ֆունկցիայի համար: Այնուամենայնիվ, դա միակ հակաածանցյալը չէ . Դրանք նույնպես ֆունկցիաներ են

Որտեղ ՀԵՏկամայական հաստատուն է: Սա կարելի է ստուգել տարբերակման միջոցով:

Այսպիսով, եթե ֆունկցիայի համար կա մեկ հակաածանցյալ, ապա նրա համար կա հակաածանցյալների անսահման բազմություն, որոնք տարբերվում են հաստատուն գումարելիով։ Ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալները գրված են վերը նշված ձևով: Սա բխում է հետևյալ թեորեմից.

Թեորեմ (փաստի պաշտոնական շարադրանք 2):Եթե Ֆ(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է զ(x) որոշ ընդմիջումով X, ապա ցանկացած այլ հակաածանցյալ համար զ(x) նույն միջակայքում կարող է ներկայացվել որպես Ֆ(x) + Գ, Որտեղ ՀԵՏկամայական հաստատուն է:

Հետևյալ օրինակում մենք արդեն դիմում ենք ինտեգրալների աղյուսակին, որը տրվելու է 3-րդ պարբերությունում՝ անորոշ ինտեգրալի հատկություններից հետո։ Մենք դա անում ենք նախքան ամբողջ աղյուսակին ծանոթանալը, որպեսզի վերը նշվածի էությունը պարզ լինի։ Իսկ աղյուսակից և հատկություններից հետո մենք դրանք ամբողջությամբ կօգտագործենք ինտեգրվելիս:

Օրինակ 2Գտեք հակաածանցյալների հավաքածուներ.

Լուծում. Մենք գտնում ենք հակաածանցյալ ֆունկցիաների մի շարք, որոնցից «պատրաստված» են այդ ֆունկցիաները։ Ինտեգրալների աղյուսակից բանաձևեր նշելիս, առայժմ, պարզապես ընդունեք, որ կան այդպիսի բանաձևեր, իսկ անորոշ ինտեգրալների աղյուսակն ամբողջությամբ կուսումնասիրենք մի փոքր առաջ։

1) (7) բանաձևի կիրառում ինտեգրալների աղյուսակից n= 3, մենք ստանում ենք

2) Օգտագործելով բանաձևը (10) ինտեգրալների աղյուսակից n= 1/3, մենք ունենք

3) Քանի որ

ապա ըստ բանաձևի (7) ժամը n= -1/4 գտնել

Ինտեգրալ նշանի տակ նրանք գործառույթն ինքնին չեն գրում զ, և դրա արտադրանքը դիֆերենցիալով dx. Սա արվում է հիմնականում՝ ցույց տալու համար, թե որ փոփոխականն է որոնվում հակաածանցյալը: Օրինակ,

, ;

այստեղ երկու դեպքում էլ ինտեգրանդը հավասար է , բայց նրա անորոշ ինտեգրալները դիտարկված դեպքերում տարբեր են լինում։ Առաջին դեպքում այս ֆունկցիան դիտարկվում է որպես փոփոխականի ֆունկցիա x, իսկ երկրորդում՝ որպես ֆունկցիա զ .

Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը գտնելու գործընթացը կոչվում է այդ ֆունկցիայի ինտեգրում։

Անորոշ ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը

Թող պահանջվի գտնել կոր y=F(x)և մենք արդեն գիտենք, որ շոշափողի լանջի շոշափողը նրա յուրաքանչյուր կետում է տրված գործառույթը f(x)այս կետի աբսցիսա:

Ըստ ածանցյալի երկրաչափական նշանակության՝ շոշափողի թեքության շոշափողը կորի տվյալ կետում. y=F(x)հավասար է ածանցյալի արժեքին F"(x). Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք նման գործառույթ F(x), ինչի համար F"(x)=f(x). Պահանջվող գործառույթը առաջադրանքում F(x)բխում է f(x). Խնդրի պայմանը բավարարվում է ոչ թե մեկ կորով, այլ կորերի ընտանիքով։ y=F(x)- այս կորերից մեկը և ցանկացած այլ կոր կարելի է ստանալ դրանից առանցքի երկայնքով զուգահեռ փոխադրման միջոցով Օյ.

Անվանենք հակաածանցյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը f(x)ինտեգրալ կոր. Եթե F"(x)=f(x), ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը y=F(x)ինտեգրալ կոր է:

Փաստ 3. Անորոշ ինտեգրալը երկրաչափորեն ներկայացված է բոլոր ինտեգրալ կորերի ընտանիքով։ ինչպես ստորև նկարում: Յուրաքանչյուր կորի հեռավորությունը սկզբնակետից որոշվում է ինտեգրման կամայական հաստատունով (հաստատուն): Գ.

Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները

Փաստ 4. Թեորեմ 1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին, իսկ դիֆերենցիալը՝ ինտեգրանդին։

Փաստ 5. Թեորեմ 2. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը զ(x) հավասար է ֆունկցիային զ(x) մինչև հաստատուն ժամկետ , այսինքն.

(3)

1-ին և 2-րդ թեորեմները ցույց են տալիս, որ տարբերակումը և ինտեգրումը փոխադարձ հակադարձ գործողություններ են:

Փաստ 6. Թեորեմ 3. Ինտեգրանդի հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել անորոշ ինտեգրալի նշանից. , այսինքն.

Այս հատկությունները օգտագործվում են ինտեգրալի փոխակերպումներ իրականացնելու համար՝ այն տարրական ինտեգրալներից մեկին հասցնելու և հետագա հաշվարկի համար։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանտին.

3. Որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի գումարին և կամայական հաստատունի.

4. Ինտեգրալ նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործոն.

Ավելին, a ≠ 0

5. Գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

6. Գույքը 4 և 5 հատկությունների համակցություն է.

Ավելին, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Անորոշ ինտեգրալի ինվարիանտության հատկությունը.

Եթե, ապա

8. Գույք:

Եթե, ապա

Փաստորեն, այս հատկությունը փոփոխական փոփոխության մեթոդի օգտագործմամբ ինտեգրման հատուկ դեպք է, որն ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ բաժնում։

Դիտարկենք մի օրինակ.

Սկզբում կիրառեցինք հատկությունը 5, հետո հատկություն 4, հետո օգտագործեցինք հակաածանցյալների աղյուսակը և ստացանք արդյունքը։

Մեր առցանց ինտեգրալ հաշվիչի ալգորիթմը աջակցում է վերը թվարկված բոլոր հատկություններին և հեշտությամբ կգտնի ձեր ինտեգրալի մանրամասն լուծումը:

Այս հատկությունները օգտագործվում են ինտեգրալի փոխակերպումներ իրականացնելու համար՝ այն տարրական ինտեգրալներից մեկին հասցնելու և հետագա հաշվարկի համար։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանտին.

3. Որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի գումարին և կամայական հաստատունի.

4. Ինտեգրալ նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործոն.

Ավելին, a ≠ 0

5. Գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

6. Գույքը 4 և 5 հատկությունների համակցություն է.

Ավելին, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Անորոշ ինտեգրալի ինվարիանտության հատկությունը.

Եթե, ապա

8. Գույք:

Եթե, ապա

Փաստորեն, այս հատկությունը փոփոխական փոփոխության մեթոդի օգտագործմամբ ինտեգրման հատուկ դեպք է, որն ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ բաժնում։

Դիտարկենք մի օրինակ.

Սկզբում կիրառեցինք հատկությունը 5, հետո հատկություն 4, հետո օգտագործեցինք հակաածանցյալների աղյուսակը և ստացանք արդյունքը։

Մեր առցանց ինտեգրալ հաշվիչի ալգորիթմը աջակցում է վերը թվարկված բոլոր հատկություններին և հեշտությամբ կգտնի ձեր ինտեգրալի մանրամասն լուծումը: