Այս հատկությունները օգտագործվում են ինտեգրալի փոխակերպումներ իրականացնելու համար՝ այն տարրական ինտեգրալներից մեկին հասցնելու և հետագա հաշվարկի համար։

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրանտին.

3. Որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի գումարին և կամայական հաստատունի.

4. Ինտեգրալ նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործոն.

Ավելին, a ≠ 0

5. Գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

6. Գույքը 4 և 5 հատկությունների համակցություն է.

Ավելին, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Անորոշ ինտեգրալի ինվարիանտության հատկությունը.

Եթե, ապա

8. Գույք:

Եթե, ապա

Փաստորեն, այս հատկությունը փոփոխական փոփոխության մեթոդի օգտագործմամբ ինտեգրման հատուկ դեպք է, որն ավելի մանրամասն կքննարկվի հաջորդ բաժնում։

Դիտարկենք մի օրինակ.

Սկզբում կիրառեցինք հատկությունը 5, հետո հատկություն 4, հետո օգտագործեցինք հակաածանցյալների աղյուսակը և ստացանք արդյունքը։

Մեր առցանց ինտեգրալ հաշվիչի ալգորիթմը աջակցում է վերը թվարկված բոլոր հատկություններին և հեշտությամբ կգտնի ձեր ինտեգրալի մանրամասն լուծումը:

Դիֆերենցիալ հաշվարկում խնդիրը լուծվում է. Տրված ƒ(x) ֆունկցիայի տակ գտե՛ք դրա ածանցյալը(կամ դիֆերենցիալ): Ինտեգրալ հաշվարկը լուծում է հակադարձ խնդիրը՝ գտնել F (x) ֆունկցիան՝ իմանալով դրա ածանցյալը F "(x) \u003d ƒ (x) (կամ դիֆերենցիալ): F (x) ցանկալի ֆունկցիան կոչվում է ƒ (x) ֆունկցիայի հակաածանցյալ:

Կանչվում է F(x) ֆունկցիան պարզունակƒ(x) ֆունկցիան (a; b), եթե որևէ x-ի համար (a; b) հավասարությունը

F "(x)=ƒ(x) (կամ dF(x)=ƒ(x)dx):

Օրինակ, հակաածանցյալ ֆունկցիան y \u003d x 2, x є R, ֆունկցիա է, քանի որ

Ակնհայտ է, որ հակաածանցյալները նույնպես կլինեն ցանկացած գործառույթ

որտեղ C-ն հաստատուն է, քանի որ

Թեորեմ 29. 1. Եթե F(x) ֆունկցիան (a;b) ƒ(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է, ապա ƒ(x)-ի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը տրվում է F(x)+C բանաձեւով, որտեղ C-ն հաստատուն թիվ է։

▲ F(x)+C ֆունկցիան ƒ(x) հակաածանցյալն է:

Իրոք, (F(x)+C) «=F» (x)=ƒ(x):

Թող F(x) լինի մեկ այլ, տարբերվող F(x), հակաածանցյալ ֆունկցիա ƒ(x), այսինքն, Ф "(x)=ƒ(x): Այնուհետև ցանկացած x є (a; b) մենք ունենք

Իսկ սա նշանակում է (տես Հետևություն 25.1), որ

որտեղ C-ն հաստատուն թիվ է: Հետևաբար, Ф(х)=F(x)+С.▼

Բոլոր պարզունակ ֆունկցիաների բազմությունը F(x)+C ƒ(x)-ի համար կոչվում է ƒ(x) ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալև նշանակվում է ∫ ƒ(x) dx նշանով։

Այսպիսով, ըստ սահմանման

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Այստեղ կոչվում է ƒ(x): ինտեգրանդ, ƒ(x)dx — ինտեգրալ, X - ինտեգրման փոփոխական, ∫ -նշան անորոշ ինտեգրալ .

Ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալ գտնելու գործողությունը կոչվում է այս ֆունկցիայի ինտեգրում։

Երկրաչափորեն անորոշ ինտեգրալը «զուգահեռ» կորերի ընտանիք է y \u003d F (x) + C (C-ի յուրաքանչյուր թվային արժեքը համապատասխանում է ընտանիքի որոշակի կորին) (տես Նկար 166): Յուրաքանչյուր հակաածանցյալի (կորի) գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալ կոր.

Արդյո՞ք յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի անորոշ ինտեգրալ:

Կա մի թեորեմ, ըստ որի «(a;b)-ի վրա շարունակվող յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի հակաածանցյալ այս միջակայքում», և, հետևաբար, անորոշ ինտեգրալ:

Մենք նշում ենք անորոշ ինտեգրալի մի շարք հատկություններ, որոնք բխում են դրա սահմանումից:

1. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը հավասար է ինտեգրալին, իսկ անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրալին.

դ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) «=ƒ(x).

Իրոք, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x):

Այս հատկության շնորհիվ ինտեգրման ճիշտությունը ստուգվում է տարբերակմամբ։ Օրինակ՝ հավասարությունը

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

ճիշտ է, քանի որ (x 3 + 4x + C) «= 3x 2 +4.

2. Որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիայի և կամայական հաստատունի գումարին.

∫dF(x)=F(x)+C.

Իսկապես,

3. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

α ≠ 0 հաստատուն է:

Իսկապես,

(դնել C 1 / a \u003d C.)

4. Վերջավոր թվով շարունակական ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի անորոշ ինտեգրալը հավասար է ֆունկցիաների տերմինների ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

Թող F"(x)=ƒ(x) և G"(x)=g(x): Հետո

որտեղ C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Ինտեգրման բանաձեւի անփոփոխություն):

Եթե , որտեղ u=φ(x) կամայական ֆունկցիա է, որն ունի շարունակական ածանցյալ։

▲ Թող x լինի անկախ փոփոխական, ƒ(x) - շարունակական գործառույթիսկ F(x)-ը նրա հակաածանցյալն է: Հետո

Այժմ սահմանենք u=φ(x), որտեղ φ(x)-ը շարունակաբար տարբերվող ֆունկցիա է: Դիտարկենք բարդ ֆունկցիա F(u)=F(φ(x)): Ֆունկցիայի առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխության պատճառով (տե՛ս էջ 160) ունենք.

Այստեղից ▼

Այսպիսով, անորոշ ինտեգրալի բանաձևը մնում է ուժի մեջ՝ անկախ նրանից՝ ինտեգրացիոն փոփոխականը անկախ փոփոխական է, թե նրա որևէ ֆունկցիա, որն ունի շարունակական ածանցյալ։

Այսպիսով, բանաձեւից x-ը u-ով (u=φ(x)) փոխարինելով՝ ստանում ենք

Մասնավորապես,

Օրինակ 29.1.Գտե՛ք ինտեգրալը

որտեղ C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Օրինակ 29.2.Գտեք ամբողջական լուծում.

• 29.3. Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

Օգտվելով այն հանգամանքից, որ ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ է, կարելի է ստանալ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ՝ շրջելով դիֆերենցիալ հաշվարկի համապատասխան բանաձևերը (դիֆերենցիալների աղյուսակ) և օգտագործելով անորոշ ինտեգրալի հատկությունները։

Օրինակ, որովհետեւ

d(sin u)=cos u . դու,

Մի շարք աղյուսակների բանաձևերի ածանցումը կտրվի ինտեգրման հիմնական մեթոդները դիտարկելիս:

Ստորև բերված աղյուսակի ինտեգրալները կոչվում են աղյուսակային ինտեգրալներ: Նրանք պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ինտեգրալ հաշվարկում հակաածանցյալներ գտնելու պարզ և համընդհանուր կանոններ չկան տարրական գործառույթներ, ինչպես դիֆերենցիալ հաշվարկում։ Հակաածանցյալներ գտնելու մեթոդները (այսինքն՝ ֆունկցիայի ինտեգրում) կրճատվում են՝ ցույց տալու մեթոդներ, որոնք տվյալ (ցանկալի) ինտեգրալը բերում են աղյուսակայինին: Ուստի անհրաժեշտ է իմանալ աղյուսակային ինտեգրալները և կարողանալ ճանաչել դրանք։

Նկատի ունեցեք, որ հիմնական ինտեգրալների աղյուսակում ինտեգրման փոփոխականը և կարող է նշանակել ինչպես անկախ փոփոխական, այնպես էլ անկախ փոփոխականի ֆունկցիա (ըստ ինտեգրման բանաձևի ինվարիանտության հատկության):

Ստորև բերված բանաձևերի վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ վերցնելով աջ կողմի դիֆերենցիալը, որը հավասար կլինի բանաձևի ձախ կողմի ինտեգրմանը:

Եկեք ապացուցենք, օրինակ, 2-րդ բանաձևի վավերականությունը: 1/u ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է u-ի բոլոր ոչ զրոյական արժեքների համար:

Եթե ​​u > 0, ապա ln|u|=lnu, ապա Ահա թե ինչու

Եթե ​​դու<0, то ln|u|=ln(-u). НоՄիջոցներ

Այսպիսով, բանաձև 2-ը ճիշտ է: Նմանապես, եկեք ստուգենք 15-րդ բանաձևը.

Հիմնական ինտեգրալների աղյուսակ

Ընկերներ! Հրավիրում ենք քննարկելու։ Եթե ​​ունեք կարծիք, գրեք մեզ մեկնաբանություններում։

Այս հոդվածում մենք թվարկում ենք որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները: Այս հատկությունների մեծ մասն ապացուցված է որոշակի ինտեգրալի մասին Ռիմանի և Դարբուի հասկացությունների հիման վրա։

Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկը շատ հաճախ կատարվում է օգտագործելով առաջին հինգ հատկությունները, ուստի անհրաժեշտության դեպքում մենք կանդրադառնանք դրանց: Որոշակի ինտեգրալի մնացած հատկությունները հիմնականում օգտագործվում են տարբեր արտահայտություններ գնահատելու համար։

Նախքան անցնելը Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները, համաձայն ենք, որ a-ն չի գերազանցում b-ն:

x = a-ի համար սահմանված y = f(x) ֆունկցիայի համար հավասարությունը ճշմարիտ է:

Այսինքն՝ միևնույն ինտեգրման սահմաններով որոշակի ինտեգրալի արժեքը զրո է։ Այս հատկությունը Ռիմանի ինտեգրալի սահմանման հետևանք է, քանի որ այս դեպքում յուրաքանչյուր ինտեգրալ գումար ինտերվալի ցանկացած բաժանման և կետերի ցանկացած ընտրության համար հավասար է զրոյի, քանի որ, հետևաբար, ինտեգրալ գումարների սահմանը զրո է։

Սեգմենտի վրա ինտեգրվող ֆունկցիայի համար մենք ունենք .

Այլ կերպ ասած, երբ ինտեգրման վերին և ստորին սահմանները հակադարձվում են, որոշակի ինտեգրալի արժեքը հակադարձվում է: Որոշակի ինտեգրալի այս հատկությունը բխում է նաև Ռիմանի ինտեգրալի հասկացությունից, միայն հատվածի բաժանման համարակալումը պետք է սկսվի x = b կետից։

y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների համար, որոնք ինտեգրելի են ինտերվալի վրա:

Ապացույց.

Գրում ենք ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը հատվածի տրված բաժանման և կետերի տվյալ ընտրության համար.

որտեղ և են y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների ինտեգրալ գումարները համապատասխանաբար հատվածի տվյալ բաժանման համար:

Անցնելով սահմանին ժամը մենք ստանում ենք, որ Ռիմանի ինտեգրալի սահմանմամբ համարժեք է ապացուցվող սեփականության պնդմանը:

Որոշակի ինտեգրալի նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը։ Այսինքն՝ y = f(x) հատվածի և կամայական k թվի վրա ինտեգրվող ֆունկցիայի համար հավասարությունը .

Որոշակի ինտեգրալի այս հատկության ապացույցը բացարձակապես նման է նախորդին.


Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի X միջակայքում, և եւ հետո .

Այս գույքը վավեր է և՛ և՛ համար, և՛ համար:

Ապացուցումը կարող է իրականացվել որոշիչ ինտեգրալի նախորդ հատկությունների հիման վրա։

Եթե ​​ֆունկցիան ինտեգրելի է սեգմենտի վրա, ապա այն նաև ինտեգրելի է ցանկացած ներքին հատվածի վրա:

Ապացույցը հիմնված է Դարբուի գումարների հատկության վրա. եթե հատվածի առկա բաժանմանը ավելացվեն նոր կետեր, ապա ստորին Դարբուի գումարը չի պակասի, իսկ վերինը՝ չի ավելանա։

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է արգումենտի միջակայքում և ցանկացած արժեքի համար, ապա .

Այս հատկությունն ապացուցվում է Ռիմանի ինտեգրալի սահմանման միջոցով. հատվածի բաժանման կետերի և կետերի ցանկացած ընտրության ինտեգրալ գումարը կլինի ոչ բացասական (ոչ դրական):

Հետևանք.

y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաների համար, որոնք ինտեգրվում են ինտերվալի վրա, գործում են հետևյալ անհավասարությունները.


Այս հայտարարությունը նշանակում է, որ անհավասարությունների ինտեգրումը թույլատրելի է։ Մենք կօգտագործենք այս եզրակացությունը՝ ապացուցելու հետևյալ հատկությունները.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի հատվածի վրա, ապա անհավասարությունը .

Ապացույց.

Ակնհայտ է, որ . Նախորդ հատկության մեջ պարզեցինք, որ անհավասարությունը կարող է ինտեգրվել տերմին առ տերմին, հետևաբար, դա ճիշտ է. . Այս կրկնակի անհավասարությունը կարելի է գրել այսպես .

Թող y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաները ինտեգրելի լինեն արգումենտի միջակայքում և ցանկացած արժեքի համար, ապա , Որտեղ Եվ .

Ապացուցումն իրականացվում է նույն ձևով. Քանի որ m-ը և M-ը y = f(x) ֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքներն են հատվածի վրա, ապա . Կրկնակի անհավասարությունը բազմապատկելով ոչ բացասական y = g(x) ֆունկցիայով մեզ տանում է հետևյալ կրկնակի անհավասարությունը. Ինտեգրելով այն հատվածի վրա՝ մենք հասնում ենք ապացուցման ենթակա պնդմանը:

Հետևանք.

Եթե ​​վերցնենք g(x) = 1, ապա անհավասարությունը ստանում է ձև .

Միջինի առաջին բանաձևը.

Թող y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի լինի հատվածի վրա, և , ապա կա այնպիսի թիվ, որ .

Հետևանք.

Եթե ​​y = f(x) ֆունկցիան շարունակական է հատվածի վրա, ապա կա այնպիսի թիվ, որ .

Միջին արժեքի առաջին բանաձևը ընդհանրացված ձևով.

Թող y = f(x) և y = g(x) ֆունկցիաները ինտեգրելի լինեն ինտերվալի վրա, և , և g(x) > 0 փաստարկի ցանկացած արժեքի համար: Հետո կա այնպիսի թիվ, որ .

Երկրորդ բանաձևը միջինի համար.

Եթե ​​հատվածի վրա y = f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է, իսկ y = g(x) միատոն է, ապա գոյություն ունի այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը .

Այս հոդվածում մանրամասն խոսվում է որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունների մասին: Դրանք ապացուցված են՝ օգտագործելով Ռիմանի և Դարբուի ինտեգրալի հայեցակարգը: Որոշակի ինտեգրալների հաշվարկը անցնում է 5 հատկությունների շնորհիվ։ Մնացածը օգտագործվում են տարբեր արտահայտություններ գնահատելու համար:

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկություններին անցնելուց առաջ անհրաժեշտ է համոզվել, որ a-ն չի գերազանցում b-ը։

Որոշակի ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

Սահմանում 1

y \u003d f (x) ֆունկցիան, որը սահմանված է x \u003d a-ի համար, նման է արդար հավասարությանը ∫ a a f (x) d x \u003d 0:

Ապացույց 1

Այստեղից տեսնում ենք, որ համընկնող սահմաններով ինտեգրալի արժեքը հավասար է զրոյի։ Սա Ռիմանի ինտեգրալի հետևանքն է, քանի որ յուրաքանչյուր ինտեգրալ գումար σ ցանկացած բաժանման համար [a; a ] և ζ i կետերի ցանկացած ընտրություն հավասար է զրոյի, քանի որ x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2, . . . , n , ուրեմն ստանում ենք, որ ինտեգրալ ֆունկցիաների սահմանը զրո է։

Սահմանում 2

[a; b ] , ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x պայմանը բավարարված է։

Ապացույց 2

Այլ կերպ ասած, եթե դուք փոխում եք ինտեգրման վերին և ստորին սահմանները տեղերում, ապա ինտեգրալի արժեքը կփոխի արժեքը հակառակը: Այս հատկությունը վերցված է Ռիմանի ինտեգրալից։ Սակայն հատվածի բաժանման համարակալումը սկսվում է x = b կետից։

Սահմանում 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x օգտագործվում է y = f (x) և y = g (x) տիպի ինտեգրելի ֆունկցիաների համար, որոնք սահմանված են [ a ; բ] .

Ապացույց 3

Գրե՛ք y = f (x) ± g (x) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը՝ ζ i կետերի տրված ընտրությամբ հատվածների բաժանելու համար. σ f ± σ g.

որտեղ σ f և σ g y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաների ինտեգրալ գումարներն են հատվածը բաժանելու համար: Սահմանին անցնելուց հետո λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 ստանում ենք, որ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Ռիմանի սահմանումից այս արտահայտությունը համարժեք է։

Սահմանում 4

Որոշակի ինտեգրալի նշանից հանելով հաստատուն գործոնը։ Ինտեգրելի ֆունկցիա [a; b ] k-ի կամայական արժեքով ունի ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ձևի վավեր անհավասարություն:

Ապացույց 4

Որոշակի ինտեգրալի հատկության ապացույցը նման է նախորդին.

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f) = k lim λ ∑ 0 σ f. (x) d x

Սահմանում 5

Եթե ​​y = f (x) ձևի ֆունկցիան ինտեգրելի է x միջակայքում a ∈ x, b ∈ x-ի հետ, մենք ստանում ենք ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x:

Ապացույց 5

Գույքը համարվում է վավեր c ∈ a ; b , c ≤ a և c ≥ b համար: Ապացուցումն իրականացվում է նույն կերպ, ինչպես նախորդ հատկությունները:

Սահմանում 6

Երբ ֆունկցիան կարող է ինտեգրվել սեգմենտից [a; b], ապա դա հնարավոր է ցանկացած ներքին հատվածի համար c; d ∈ a; բ.

Ապացույց 6

Ապացույցը հիմնված է Darboux հատկության վրա. եթե կետերը ավելացվեն հատվածի գոյություն ունեցող բաժանմանը, ապա ստորին Darboux-ի գումարը չի նվազի, իսկ վերինը՝ չի ավելանա:

Սահմանում 7

Երբ ֆունկցիան ինտեգրելի է [a; b ] f (x)-ից ≥ 0 f (x) ≤ 0 x ∈ a-ի ցանկացած արժեքի համար; b , ապա մենք ստանում ենք, որ ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 :

Հատկությունը կարելի է ապացուցել՝ օգտագործելով Ռիմանի ինտեգրալի սահմանումը. հատվածի և ζ i կետերի բաժանման կետերի ցանկացած ընտրության ինտեգրալ գումար՝ պայմանով, որ f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ոչ բացասական է:

Ապացույց 7

Եթե ​​y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրելի են [a; b ] , ապա վավեր են համարվում հետևյալ անհավասարությունները.

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; բ

Պնդման շնորհիվ գիտենք, որ ինտեգրումն ընդունելի է։ Այս եզրակացությունը կօգտագործվի այլ հատկությունների ապացուցման համար:

Սահմանում 8

Ինտեգրելի ֆունկցիայի համար y = f (x) հատվածից [ a ; b ] մենք ունենք ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ձևի վավեր անհավասարություն:

Ապացույց 8

Մենք ունենք, որ - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Նախորդ հատկությունից մենք ստացանք, որ անհավասարությունը կարող է ինտեգրվել տերմին առ անդամ և այն համապատասխանում է անհավասարության՝ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x : Այս կրկնակի անհավասարությունը կարելի է գրել մեկ այլ ձևով՝ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x:

Սահմանում 9

Երբ y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրված են [a; b ] g (x)-ի համար ≥ 0 ցանկացած x ∈ a ; b , մենք ստանում ենք m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, որտեղ m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Ապացույց 9

Ապացույցը կատարվում է նույն կերպ. Մ–ը և մ–ը համարվում են ամենամեծ և ամենափոքր արժեքըֆունկցիա y = f (x) , սահմանված [a; b ] , ապա m ≤ f (x) ≤ M . Անհրաժեշտ է կրկնակի անհավասարությունը բազմապատկել y = g (x) ֆունկցիայով, որը կտա m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ձևի կրկնակի անհավասարության արժեքը։ Անհրաժեշտ է այն ինտեգրել հատվածի վրա [a; b ] , ապա մենք ստանում ենք ապացուցման ենթակա պնդումը:

Հետևանք. g (x) = 1-ի համար անհավասարությունը դառնում է m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Առաջին միջին բանաձևը

Սահմանում 10

y = f (x) համար ինտեգրելի [ a ; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) կա μ ∈ m թիվ; M , որը համապատասխանում է ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Հետևանք. Երբ y = f (x) ֆունկցիան շարունակական է [ a ; b ] , ապա կա այսպիսի c ∈ a ; b , որը բավարարում է ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Միջին արժեքի առաջին բանաձևը ընդհանրացված ձևով

Սահմանում 11

Երբ y = f (x) և y = g (x) ֆունկցիաները ինտեգրելի են [a; b ] m = m i n x ∈ a ; b f (x) և M = m a x x ∈ a ; b f (x) , և g (x) > 0 x ∈ a-ի ցանկացած արժեքի համար; բ. Այսպիսով, մենք ունենք, որ կա μ ∈ m թիվ; M , որը բավարարում է ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x.

Երկրորդ միջին արժեքի բանաձևը

Սահմանում 12

Երբ y = f (x) ֆունկցիան ինտեգրելի է [ a ; b ] , և y = g (x) միապաղաղ է, ապա կա մի թիվ, որը c ∈ a ; b , որտեղ մենք ստանում ենք ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter