I. Հեղափոխության մարմինների հատորներ. Նախնական ուսումնասիրություն ըստ Գ.Մ.Ֆիխտենգոլցի դասագրքի գլուխ XII, p ° p ° 197, 198 * Մանրամասն վերլուծեք p ° 198-ում բերված օրինակները։

508. Հաշվի՛ր x առանցքի շուրջ էլիպսի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը։

Այսպիսով,

530. Գտեք մակերեսի մակերեսը, որը ձևավորվում է y \u003d sin x սինուսոիդի աղեղի Ox առանցքի շուրջ պտտմամբ X \u003d 0 կետից մինչև X \u003d Այն կետը:

531. Հաշվե՛ք h բարձրությամբ և r շառավղով կոնի մակերեսը։

532. Հաշվիր առաջացած մակերեսը

astroid x3 -) - y* - a3 ռոտացիան x առանցքի շուրջ:

533. Հաշվե՛ք x առանցքի շուրջ 18 y-x(6-x)r կորի օղակի շրջադարձից առաջացած մակերեսի մակերեսը։

534. Գտե՛ք X2 - j - (y-3)2 = 4 շրջանագծի պտույտից առաջացած տորսի մակերեսը x առանցքի շուրջ:

535. Հաշվե՛ք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվում է շրջանագծի պտույտից X = ծախս, y = ասինտ Ox առանցքի շուրջ:

536. Հաշվե՛ք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվում է կորի օղակի պտույտից x = 9t2, y = St - 9t3 Ox առանցքի շուրջ:

537. Գտեք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվել է կորի աղեղի պտույտից x = e * sint, y = el արժեքը Ox առանցքի շուրջ

t = 0-ից t = -.

538. Ցույց տվեք, որ x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) Oy առանցքի շուրջ ցիկլոիդի աղեղի պտույտից առաջացած մակերեսը հավասար է 16 u2 o2:

539. Գտի՛ր բևեռային առանցքի շուրջ կարդիոիդը պտտելով ստացված մակերեսը։

540. Գտեք մակերևույթի մակերեսը, որը ձևավորվել է լեմնիսկատի պտույտից բևեռային առանցքի շուրջ.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ IV գլխի համար

Ինքնաթիռների ֆիգուրների տարածքները

541. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի ամբողջ մակերեսը Եվ առանցքը Oh.

542. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Եվ առանցքը Oh.

543. Գտե՛ք շրջանի տարածքի այն մասը, որը գտնվում է առաջին քառորդում և սահմանափակված է կորով

լ կոորդինատային առանցքներ.

544. Գտեք ներսում պարունակվող տարածքի տարածքը

հանգույցներ:

545. Գտե՛ք կորի մեկ օղակով սահմանափակված շրջանի մակերեսը.

546. Գտե՛ք օղակի ներսում պարունակվող տարածքի մակերեսը.

547. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Եվ առանցքը Oh.

548. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Եվ առանցքը Oh.

549. Գտե՛ք Oxr առանցքով սահմանափակված շրջանի տարածքը

ուղիղ և կոր

Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Բանաձևում ինտեգրալից առաջ պետք է լինի թիվ։ Այդպես էլ եղավ. այն ամենը, ինչ պտտվում է կյանքում, կապված է այս հաստատունի հետ։

Ինչպես սահմանել «a»-ի և «be»-ի ինտեգրման սահմանները, կարծում եմ, հեշտ է կռահել ավարտված գծագրից։

Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևից պարաբոլային գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:

Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ֆունկցիան քառակուսի է Հեղափոխության մարմնի ծավալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը միանգամայն տրամաբանական է։

Հաշվիր հեղափոխության մարմնի ծավալը օգտագործելով այս բանաձեւը:

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխան.

Պատասխանում անհրաժեշտ է նշել չափը՝ խորանարդ միավորներ։ Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու հենց խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել Խորանարդ մետր, գուցե խորանարդ կիլոմետր եւ այլն, ահա թե որքան փոքրիկ կանաչ տղամարդիկ կարող են տեղավորել ձեր երեւակայությունը թռչող ափսեի մեջ։

Օրինակ 2

Գտեք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց,

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Դիտարկենք ևս երկուսը դժվար առաջադրանքներորոնք հաճախ հանդիպում են գործնականում։

Օրինակ 3

Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է գծերով, և

Լուծում:Ցույց տալ նկարի վրա հարթ գործիչ, սահմանափակված գծերով , , , առանց մոռանալու, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.

Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է չորս անկյուններով այսպիսի սյուրռեալիստական բլիթ։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է որպես մարմնի ծավալների տարբերությունը.

Նախ, եկեք նայենք նկարին, որը շրջագծված է կարմիրով: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Այս կտրված կոնի ծավալը նշենք որպես .

Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչի մեջ. Եթե այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նշենք դրա ծավալը .

Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջանցված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխան.

Հետաքրքիր է, որ այս դեպքում լուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով դպրոցական բանաձևը՝ կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու համար:

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է ընդունվում, նման բան.

Հիմա եկեք ընդմիջենք և խոսենք երկրաչափական պատրանքների մասին:

Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում հատորների հետ կապված, ինչը Պերելմանը (նույնը չէ) նկատել է գրքում Հետաքրքիր երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 սենյակի ծավալով հեղուկ։ քառակուսի մետր, որը, ընդհակառակը, շատ փոքր է թվում։

Ընդհանուր առմամբ, ԽՍՀՄ-ում կրթական համակարգն իսկապես ամենալավն էր։ Պերելմանի նույն գիրքը, որը գրվել է նրա կողմից դեռ 1950 թվականին, շատ լավ է զարգանում, ինչպես հումորիստն ասաց, պատճառաբանում և սովորեցնում է փնտրել խնդիրների օրիգինալ ոչ ստանդարտ լուծումներ։ Վերջերս մեծ հետաքրքրությամբ վերընթերցեցի որոշ գլուխներ, խորհուրդ եմ տալիս, այն հասանելի է նույնիսկ մարդասերների համար։ Ոչ, պետք չէ ժպտալ, որ ես առաջարկել եմ հատուկ ժամանց, էրուդիցիան և հաղորդակցության լայն հայացքը հիանալի բան է:

Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է պտտվելով հարթ պատկերի առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է ուղիղներով, , որտեղ .

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բենդում ամեն ինչ տեղի է ունենում, այլ կերպ ասած՝ տրված են գրեթե պատրաստի ինտեգրման սահմանափակումներ։ Փորձեք նաև ճիշտ գծել գրաֆիկները: եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, եթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի՝ , ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Փորձեք գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակներիև ավելի ճշգրիտ դարձնել գծագրությունը: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։

Պտույտով առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկ
հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Y-առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին հաճախակի հյուր է. վերահսկողական աշխատանք. Անցում կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիրերկրորդ ճանապարհը` ինտեգրում առանցքի երկայնքով, սա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի ձեզ գտնել առավել շահավետ լուծում: Ունի նաև գործնական կյանքի իմաստը! Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շրջանավարտներից շատերը շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակային նպատակի համար =):

Օրինակ 5

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , .

1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը:
2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ պարբերությունը, առաջինը Պարտադիրկարդա առաջինը!

Լուծում:Առաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք կատարենք գծագիրը.

Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան սահմանում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքի վրա է ընկած»։

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:

Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Դա կարելի է գտնել «սովորական» եղանակով, որը դիտարկվել է դասում։ Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը. Ավելին, գործչի մակերեսը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար.
- հատվածի վրա ;
- հատվածի վրա.

Ահա թե ինչու:

Ի՞նչն է սխալ այս դեպքում սովորական լուծման մեջ: Նախ, կան երկու ինտեգրալներ. Երկրորդ, արմատները ինտեգրալների տակ, իսկ արմատները ինտեգրալներում նվեր չեն, ավելին, կարելի է շփոթել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս։ Իրականում, ինտեգրալները, իհարկե, մահացու չեն, բայց գործնականում ամեն ինչ շատ ավելի տխուր է, ես պարզապես ընտրեցի «ավելի լավ» գործառույթներ առաջադրանքի համար:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում. այն բաղկացած է անցումից դեպի հակադարձ գործառույթներև առանցքի երկայնքով ինտեգրում:

Ինչպե՞ս անցնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x» արտահայտել «y»-ի միջոցով։ Նախ, եկեք զբաղվենք պարաբոլայի հետ.

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ներքևի ճյուղից.

Ուղիղ գծի դեպքում ամեն ինչ ավելի հեշտ է.

Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Ավելին, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. . Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Միայն նամակ, և ոչ ավելին։

! Նշում. Պետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմանները խստորեն ներքեւից վերեւ!

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է սկզբնական ինտեգրանդը, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվում։

Պատասխան.

2) Հաշվի՛ր առանցքի շուրջ այս գործչի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը.

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:

Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ հեղափոխության մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն։

Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Նշենք այս ծավալը .

Մենք պտտում ենք կանաչով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք առաջացած հեղափոխության մարմնի ծավալով:

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ինչո՞վ է այն տարբերվում նախորդ պարբերության բանաձեւից: Միայն տառերով։

Եվ ահա ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես քիչ առաջ խոսում էի, շատ ավելի հեշտ է գտնել քան նախապես կանգնեցված ինտեգրանդմինչև 4-րդ աստիճան։

Պատասխան.

Այնուամենայնիվ, հիվանդ թիթեռ:

Նկատի ունեցեք, որ եթե նույն հարթ պատկերը պտտվի առանցքի շուրջ, ապա կստացվի հեղափոխության բոլորովին այլ մարմին՝ այլ, բնականաբար, ծավալով։

Օրինակ 6

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով:

1) Գնացեք հակադարձ ֆունկցիաներ և գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի տարածքը՝ ինտեգրվելով փոփոխականի վրա:
2) Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է այս ուղիղներով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով:

Ինչպես սահմանել «a»-ի և «be»-ի ինտեգրման սահմանները, կարծում եմ, հեշտ է կռահել ավարտված գծագրից։

Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևում գտնվող պարաբոլիկ գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:

Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ինտեգրանդը քառակուսի է ինտեգրալը միշտ ոչ բացասական է , ինչը միանգամայն տրամաբանական է։

Հաշվեք հեղափոխության մարմնի ծավալը հետևյալ բանաձևով.

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխանել:

Պատասխանում անհրաժեշտ է նշել չափը՝ խորանարդ միավորներ։ Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու հենց խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան փոքրիկ կանաչ տղամարդիկ կարող են տեղավորել ձեր երևակայությունը թռչող ափսեի մեջ:

Օրինակ 2

Գտե՛ք գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը,

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։

Օրինակ 3

Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջը, որը սահմանափակված է գծերով, և

ԼուծումԳծագրում գծենք հարթ պատկեր՝ սահմանափակված ,,, գծերով՝ չմոռանալով, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է որպես մարմնի ծավալների տարբերությունը.

Նախ, եկեք նայենք նկարին, որը շրջագծված է կարմիրով: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Նշեք այս կտրված կոնի ծավալը:

Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչով: Եթե այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նշենք դրա ծավալը .

Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջանցված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխանել:

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է ընդունվում, նման բան.

Հիմա եկեք ընդմիջենք և խոսենք երկրաչափական պատրանքների մասին:

Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում հատորների հետ կապված, ինչը Պերելմանը (մյուսը) նկատել է գրքում Հետաքրքիր երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 քառակուսի մետր սենյակի ծավալ ունեցող հեղուկ, որը, ընդհակառակը, շատ փոքր է թվում։

Ընդհանուր առմամբ, ԽՍՀՄ-ում կրթական համակարգն իսկապես ամենալավն էր։ Պերելմանի նույն գիրքը, որը հրատարակվել է դեռևս 1950 թվականին, շատ լավ է զարգանում, ինչպես հումորիստն ասաց, պատճառաբանում և սովորեցնում է փնտրել խնդիրների օրիգինալ ոչ ստանդարտ լուծումներ։ Վերջերս մեծ հետաքրքրությամբ վերընթերցեցի որոշ գլուխներ, խորհուրդ եմ տալիս, այն հասանելի է նույնիսկ մարդասերների համար։ Ոչ, պետք չէ ժպտալ, որ ես առաջարկել եմ հատուկ ժամանց, էրուդիցիան և հաղորդակցության լայն հայացքը հիանալի բան է:

Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է գծերով սահմանափակված հարթ պատկերի առանցքի շուրջ պտույտով, որտեղ.

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Նկատի ունեցեք, որ ամեն ինչ տեղի է ունենում նվագախմբում, այլ կերպ ասած, իրականում տրված են պատրաստի ինտեգրման սահմանափակումներ: Ճիշտ գծե՛ք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, կհիշեցնեմ դասի նյութը գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումներ եթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի՝ , ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Ցանկալի է գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակների գծանկարն ավելի ճշգրիտ ավարտելու համար: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։

Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը
օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ?

Ընդհանրապես, ինտեգրալ հաշվարկում շատ հետաքրքիր կիրառումներ կան, որոշակի ինտեգրալի օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել գործչի մակերեսը, պտույտի մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, պտտման մակերեսը և շատ ավելին: Այնպես որ, զվարճալի կլինի, խնդրում եմ լավատես եղեք:

Պատկերացրեք ինչ-որ ինքնաթիռի ֆիգուր կոորդինատային հարթություն. Ներկայացրե՞լ է: ... Հետաքրքիր է, թե ով ինչ է ներկայացրել ... =))) Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.

- x առանցքի շուրջ;
- y առանցքի շուրջ:

Այս հոդվածում երկու դեպքերն էլ կքննարկվեն: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն առաջացնում է ամենամեծ դժվարությունները, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ x-առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտույտում։ Որպես բոնուս՝ ես կվերադառնամ գործչի տարածքը գտնելու խնդիրը, և պատմել ձեզ, թե ինչպես գտնել տարածքը երկրորդ ճանապարհով՝ առանցքի երկայնքով։ Նույնիսկ այնքան բոնուս չէ, որքան նյութը լավ տեղավորվում է թեմայի մեջ:

Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:

հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ գծերով սահմանափակված պատկերը պտտելով ստացված մարմնի ծավալը:

ԼուծումԻնչպես տարածքի խնդրի դեպքում, լուծումը սկսվում է հարթ գործչի գծագրով. Այսինքն՝ հարթության վրա անհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված պատկեր՝ չմոռանալով, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը։ Ինչպես ավելի ռացիոնալ և արագ նկարել, կարելի է գտնել էջերում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկություններըԵվ . Սա չինական հիշեցում է, և ես այս կետով կանգ չեմ առնում:

Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.

Ցանկալի հարթ ֆիգուրը ստվերվում է կապույտով, և հենց այս կերպարանքն է պտտվում առանցքի շուրջը, պտտման արդյունքում ստացվում է նման մի փոքր ձվաձև թռչող ափսե, որը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ։ Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, բայց տեղեկատու գրքում ինչ-որ բան նշելը չափազանց ծույլ է, ուստի մենք առաջ ենք շարժվում:

Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով:

Ինչպես սահմանել «a»-ի և «be»-ի ինտեգրման սահմանները, կարծում եմ, հեշտ է կռահել ավարտված գծագրից։

Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ինտեգրանդը քառակուսի է ինտեգրալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը միանգամայն տրամաբանական է։

Հաշվեք հեղափոխության մարմնի ծավալը հետևյալ բանաձևով.

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխանել:

Պատասխանում անհրաժեշտ է նշել չափը՝ խորանարդ միավորներ։ Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու հենց խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան փոքրիկ կանաչ տղամարդիկ կարող են տեղավորել ձեր երևակայությունը թռչող ափսեի մեջ:

Գտեք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց,

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։

Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է գծերով, և

ԼուծումԳծագրում գծե՛ք հարթ պատկեր, որը սահմանափակված է , , , գծերով, միևնույն ժամանակ չմոռանալով, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է որպես մարմնի ծավալների տարբերությունը.

Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջանցված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևից սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխանել:

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է ընդունվում, նման բան.

Հիմա եկեք ընդմիջենք և խոսենք երկրաչափական պատրանքների մասին:

Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Նկատի ունեցեք, որ ամեն ինչ տեղի է ունենում նվագախմբում, այլ կերպ ասած, իրականում տրված են պատրաստի ինտեգրման սահմանափակումներ: Ճիշտ գծե՛ք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, կհիշեցնեմ դասի նյութը գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումներեթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի՝ , ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Ցանկալի է գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակներիգծանկարն ավելի ճշգրիտ ավարտելու համար: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։

Պտույտով առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկ
հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Y-առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին հաճախակի այցելու է թեստերում: Անցում կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիրերկրորդ ճանապարհը՝ առանցքի երկայնքով ինտեգրվելով, դա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի ձեզ գտնել առավել շահավետ լուծումը: Այն նաև գործնական նշանակություն ունի։ Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շրջանավարտներից շատերը շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակային նպատակի համար =):

Ես խորհուրդ եմ տալիս բոլորին կարդալ, նույնիսկ ամբողջական կեղծիքներ: Ավելին, երկրորդ պարբերության յուրացված նյութը անգնահատելի կօգնի կրկնակի ինտեգրալները հաշվարկելիս..

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , .

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ պարբերությունը, համոզվեք, որ նախ կարդացեք առաջինը:

ԼուծումԱռաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք կատարենք գծագիրը.

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:

Ահա թե ինչու:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցումից և առանցքի երկայնքով ինտեգրումից:

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ներքևի ճյուղից.

Ուղիղ գծի դեպքում ամեն ինչ ավելի հեշտ է.

! ՆշումՊետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմանները խստորեն ներքեւից վերեւ!

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է սկզբնական ինտեգրանդը, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվում։

Պատասխանել:

2) Հաշվի՛ր առանցքի շուրջ այս գործչի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը.

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Մենք պտտում ենք կանաչով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք առաջացած հեղափոխության մարմնի ծավալով:

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ինչո՞վ է այն տարբերվում նախորդ պարբերության բանաձեւից: Միայն տառերով։

Եվ ահա ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես քիչ առաջ խոսում էի, շատ ավելի հեշտ է գտնել քան ինտեգրանդը նախապես բարձրացնել 4-րդ իշխանության։

Պատասխանել:

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ցանկացողները կարող են նաև գտնել գործչի տարածքը «սովորական» եղանակով՝ դրանով իսկ լրացնելով 1-ին կետի թեստը): Բայց եթե, կրկնում եմ, հարթ ֆիգուր եք պտտում առանցքի շուրջ, ապա ստանում եք լրիվ այլ պտտման մարմին՝ այլ ծավալով, ի դեպ՝ ճիշտ պատասխան (նաև լուծել սիրողների համար)։

Առաջադրանքի երկու առաջարկված կետերի ամբողջական լուծումը դասի վերջում.

Օ՜, և մի մոռացեք ձեր գլուխը թեքել դեպի աջ՝ հասկանալու պտտվող մարմինները և ինտեգրումը:

Ուզում էի, արդեն հոդվածն ավարտեմ, բայց այսօր հետաքրքիր օրինակ բերեցին հենց y առանցքի շուրջ հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար։ Թարմ:

Հաշվե՛ք կորերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը և .

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Ճանապարհին մենք ծանոթանում ենք մի քանի այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներին։ Սա այնքան հետաքրքիր աղյուսակ է: նույնիսկ գործառույթ ….

Սահմանում 3. Հեղափոխության մարմինը այն մարմինն է, որը ստացվում է հարթ պատկերը առանցքի շուրջը պտտելով, որը չի հատում պատկերը և ընկած է նրա հետ նույն հարթության վրա:

Պտտման առանցքը կարող է հատել նաև պատկերը, եթե դա պատկերի համաչափության առանցքն է։

Թեորեմ 2.
, առանցք
և ուղիղ հատվածներ
Եվ

պտտվում է առանցքի շուրջ
. Այնուհետև ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

(2)

Ապացույց. Նման մարմնի համար աբսցիսով հատվածը շառավղով շրջան է
, Նշանակում է
և (1) բանաձևը տալիս է ցանկալի արդյունքը:

Եթե թիվը սահմանափակվում է երկու շարունակական ֆունկցիաների գրաֆիկներով
Եվ
, և գծերի հատվածներ
Եվ
, ընդ որում
Եվ
, ապա աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելիս ստանում ենք մարմին, որի ծավալը

Օրինակ 3 Հաշվե՛ք տորուսի ծավալը, որը ստացվում է շրջանով սահմանափակված շրջանի պտտմամբ

x առանցքի շուրջ:

Ռ լուծում. Նշված շրջանակը ներքևից սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով
և վերևում -
. Այս ֆունկցիաների քառակուսիների տարբերությունը.

Ցանկալի ծավալ

(Ինտեգրանդի գրաֆիկը վերին կիսաշրջանն է, ուստի վերևում գրված ինտեգրալը կիսաշրջանի մակերեսն է):

Օրինակ 4 Պարաբոլիկ հատված՝ հիմքով
, և բարձրությունը , պտտվում է հիմքի շուրջ։ Հաշվե՛ք ստացված մարմնի ծավալը (Կավալիերիի «կիտրոն»)։

Ռ լուծում. Տեղադրեք պարաբոլան, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Այնուհետև դրա հավասարումը
, և
. Գտնենք պարամետրի արժեքը :
. Այսպիսով, ցանկալի ծավալը.

Թեորեմ 3. Թող կորագիծ տրապիզը սահմանափակված լինի շարունակական ոչ բացասական ֆունկցիայի գրաֆիկով
, առանցք
և ուղիղ հատվածներ
Եվ
, ընդ որում
, պտտվում է առանցքի շուրջ
. Այնուհետև ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է գտնել բանաձևով

(3)

ապացույց գաղափար. Սեգմենտի բաժանում
կետեր

, մասերի և ուղիղ գծեր քաշեք
. Ամբողջ trapezoid-ը կքայքայվի շերտերի, որոնք կարելի է համարել մոտավորապես ուղղանկյուններ՝ հիմքով։
և բարձրությունը
.

Նման ուղղանկյունի պտույտի արդյունքում առաջացող գլանը կտրվում է գեներատրիքսով և բացվում: Մենք ստանում ենք «գրեթե» զուգահեռաչափ՝ չափերով.
,
Եվ
. Դրա ծավալը
. Այսպիսով, հեղափոխության մարմնի ծավալի համար մենք կունենանք մոտավոր հավասարություն

Ճշգրիտ հավասարություն ստանալու համար մենք պետք է անցնենք սահմանին
. Վերևում գրված գումարը ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարն է
, հետևաբար, սահմանում մենք ստանում ենք ինտեգրալը (3) բանաձևից։ Թեորեմն ապացուցված է.

Դիտողություն 1. 2-րդ և 3-րդ թեորեմներում պայմանը
կարելի է բաց թողնել. բանաձևը (2) ընդհանուր առմամբ անզգայուն է նշանի նկատմամբ
, և (3) բանաձևում դա բավարար է
փոխարինվել է
.

Օրինակ 5 Պարաբոլիկ հատված (հիմք
, բարձրություն ) պտտվում է բարձրության շուրջ։ Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում. Դասավորեք պարաբոլան այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Եվ չնայած պտտման առանցքը հատում է գործիչը, այն՝ առանցքը, համաչափության առանցքն է: Հետեւաբար, պետք է հաշվի առնել միայն հատվածի աջ կեսը: Պարաբոլայի հավասարում
, և
, Նշանակում է
. Ծավալի համար ունենք.

Դիտողություն 2. Եթե կորագիծ տրապիզոնի կորագիծ սահմանը տրված է պարամետրային հավասարումներով.
,
,
Եվ
,
ապա (2) և (3) բանաձևերը կարող են օգտագործվել փոխարինման հետ միասին վրա
Եվ
վրա
երբ այն փոխվում է տ-ից
նախքան .

Օրինակ 6 Նկարը սահմանափակված է ցիկլոիդի առաջին աղեղով
,
,
, իսկ աբսցիսային առանցքը։ Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս ցուցանիշը պտտելով՝ 1) առանցքի շուրջը
; 2) առանցքներ
.

Լուծում. 1) Ընդհանուր բանաձեւ
Մեր դեպքում.

2) Ընդհանուր բանաձեւ
Մեր գործչի համար.

Մենք խրախուսում ենք ուսանողներին ինքնուրույն կատարել բոլոր հաշվարկները:

Դիտողություն 3. Թող կորագիծ հատվածը սահմանափակված լինի շարունակական գծով
և ճառագայթներ
,

, պտտվում է բևեռային առանցքի շուրջ։ Ստացված մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Օրինակ 7 Կարդիոիդով սահմանափակված գործչի մի մասը
, շրջանից դուրս պառկած
, պտտվում է բևեռային առանցքի շուրջ։ Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում. Երկու գծերն էլ, և, հետևաբար, սահմանած գործիչը սիմետրիկ են բևեռային առանցքի նկատմամբ: Ուստի անհրաժեշտ է դիտարկել միայն այն մասը, որի համար
. Կորերը հատվում են ժամը
Եվ

ժամը
. Ավելին, թիվը կարելի է համարել որպես երկու հատվածների տարբերություն, և, հետևաբար, ծավալը կարող է հաշվարկվել որպես երկու ինտեգրալների տարբերություն: Մենք ունենք: