Մենք ուսումնասիրում ենք ածանցյալը: Իսկապե՞ս դա այդքան կարևոր է կյանքում: «Դիֆերենցիալ հաշվարկը մեզ շրջապատող աշխարհի նկարագրությունն է՝ արված մաթեմատիկական լեզվով։ Ածանցյալն օգնում է մեզ հաջողությամբ լուծել ոչ միայն մաթեմատիկական, այլ նաև գիտության և տեխնիկայի տարբեր ոլորտների գործնական խնդիրները»:

Հայեցակարգը քիմիայի լեզվով Նշանակում Հայեցակարգը մաթեմատիկայի լեզվով Նյութերի քանակը t 0 p \u003d p (t 0) Ֆունկցիան Ժամանակային միջակայքը t \u003d t– t 0 Փաստարկի աճ Նյութերի քանակի փոփոխություն p \u003d p (t 0 + t increment of aversion) - p. Գործառույթի io ավելացում դեպի արգումենտի աճ V (t) \u003d p (t) Լուծում.

Պոպուլյացիան տվյալ տեսակի անհատների ամբողջությունն է, որոնք զբաղեցնում են տարածքի որոշակի տարածք տեսակների միջակայքում, ազատորեն խառնվում են միմյանց և մասամբ կամ ամբողջությամբ մեկուսացված են այլ պոպուլյացիաներից, ինչպես նաև հանդիսանում է էվոլյուցիայի տարրական միավոր:

Լուծում. Հայեցակարգ կենսաբանության լեզվով Նշանակում Հայեցակարգը մաթեմատիկայի լեզվով Համարը t 1 x \u003d x (t) Ֆունկցիան Ժամանակային միջակայքը t \u003d t 2 - t 1 Փաստարկի ավելացում Բնակչության չափի փոփոխություն x \u003d x (t 2) - x (t 1) Պոպուլյացիայի չափի փոփոխության (t 1) ֆունկցիայի աճը (t 1) փաստարկի հարաբերական աճ այս պահին Lim x / t t 0 ածանցյալ Р \u003d x (t)

Ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ (y=f(x) ֆունկցիայի համար) Ամրագրել x-ի արժեքը, գտել f(x): x արգումենտին տվեք Dx աճ, (x+Dx տեղափոխեք նոր կետ), գտեք f(x+Dx): Գտեք ֆունկցիայի աճը. Dy= f(x+Dx)-f(x) Կազմեք ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը արգումենտի ավելացմանը Հաշվեք այս հարաբերակցության սահմանը (այս սահմանը f`(x):)

FGOU SPO

Նովոսիբիրսկի գյուղատնտեսական քոլեջ

Շարադրություն

«մաթեմատիկա» առարկայից

«Ածանցյալի կիրառումը գիտության և տեխնիկայի մեջ»

S. Razdolnoe 2008 թ

Ներածություն

1. Տեսական մաս

1.1 Ածանցյալ հասկացությանը տանող խնդիրներ

1.2 Ածանցյալ սահմանում

1.3 Ածանցյալը գտնելու ընդհանուր կանոն

1.4 Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

1.5 Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը

1.6 Երկրորդ կարգի ածանցյալը և դրա մեխանիկական նշանակությունը

1.7 Դիֆերենցիալի սահմանումը և երկրաչափական նշանակությունը

2. Գործառույթների ուսումնասիրություն ածանցյալի օգնությամբ

Եզրակացություն

գրականություն

Ներածություն

Էսսեիս առաջին գլխում կխոսենք ածանցյալ հասկացության, դրա կիրառման կանոնների, ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակության մասին։ Իմ շարադրության երկրորդ գլխում մենք կխոսենք գիտության և տեխնիկայի մեջ ածանցյալի օգտագործման և այս ոլորտում խնդիրների լուծման մասին:

1. Տեսական մաս

1.1 Ածանցյալ հասկացությանը տանող խնդիրներ

Որոշ գործընթացներ և երևույթներ ուսումնասիրելիս հաճախ խնդիր է առաջանում այդ գործընթացների արագությունը որոշելու համար։ Դրա լուծումը հանգեցնում է ածանցյալ հասկացության, որը դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական հասկացությունն է:

Դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդը ստեղծվել է 17-18-րդ դարերում։ Երկու մեծ մաթեմատիկոսների՝ Ի.Նյուտոնի և Գ.Վ. Լայբնիցը։

Նյուտոնը հայտնաբերեց դիֆերենցիալ հաշվարկը ժամանակի տվյալ պահին (ակնթարթային արագություն) նյութական կետի արագության վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս:

Ինչպես հայտնի է, միասնական շարժումշարժում է, որի ժամանակ մարմինը անցնում է ճանապարհի հավասար երկարություններ ժամանակի հավասար ընդմիջումներով: Մարմնի անցած տարածությունը ժամանակի միավորում կոչվում է արագությունմիասնական շարժում.

Այնուամենայնիվ, ամենից հաճախ գործնականում գործ ունենք անհավասար շարժման հետ։ Ճանապարհով ընթացող մեքենան անցումներում դանդաղեցնում է արագությունը և արագացնում այն ​​այն հատվածներում, որտեղ ճանապարհը պարզ է. ինքնաթիռը դանդաղում է վայրէջքի ժամանակ և այլն: Հետևաբար, ամենից հաճախ մենք պետք է գործ ունենանք այն փաստի հետ, որ մարմինը հավասար ժամանակային ընդմիջումներով անցնում է տարբեր երկարությունների ճանապարհի հատվածներ: Նման շարժումը կոչվում է անհավասար.Նրա արագությունը չի կարող բնութագրվել մեկ թվով:

Հաճախ անհավասար շարժումը բնութագրելու համար օգտագործվում է հայեցակարգը Միջին արագությունըշարժում ∆t ժամանակի ընթացքում, որը որոշվում է այն հարաբերությամբ, որտեղ ∆s-ն մարմնի անցած ճանապարհն է ∆t ժամանակի ընթացքում:

Այսպիսով, ազատ անկման մեջ գտնվող մարմնի դեպքում առաջին երկու վայրկյանում նրա շարժման միջին արագությունը կազմում է

Գործնականում շարժման այնպիսի հատկանիշը, ինչպիսին է միջին արագությունը, շատ քիչ բան է ասում շարժման մասին: Իրոք, 4,9 մ/վ-ում, իսկ 2-րդի համար՝ 14,7 մ/վրկ, մինչդեռ առաջին երկու վայրկյանի միջին արագությունը 9,8 մ/վ է: Առաջին երկու վայրկյանների ընթացքում միջին արագությունը որևէ պատկերացում չի տալիս այն մասին, թե ինչպես է տեղի ունեցել շարժումը. երբ մարմինը շարժվեց ավելի արագ, և երբ ավելի դանդաղ: Եթե ​​յուրաքանչյուր վայրկյանի համար շարժման միջին արագությունները սահմանենք առանձին, ապա կիմանանք, օրինակ, որ 2-րդ վայրկյանում մարմինը շատ ավելի արագ է շարժվել, քան 1-ին։ Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում շատ ավելի արագ, քան մենք չենք բավարարվում: Ի վերջո, հեշտ է հասկանալ, որ այս 2-րդ վայրկյանում մարմինը նույնպես տարբեր կերպ է շարժվում՝ սկզբում ավելի դանդաղ է, վերջում՝ ավելի արագ։ Իսկ ինչպե՞ս է այն շարժվում ինչ-որ տեղ այս 2-րդ վայրկյանի մեջտեղում։ Այսինքն՝ ինչպե՞ս որոշել ակնթարթային արագությունը։

Օրենքով թող նկարագրվի մարմնի շարժումը ∆t-ին հավասար ժամանակի համար։ t0 պահին մարմինն անցել է ճանապարհը, տվյալ պահին՝ ճանապարհը։ Հետևաբար, ∆t ժամանակի ընթացքում մարմինը անցել է մի տարածություն, և մարմնի միջին արագությունը այս ժամանակահատվածում կլինի:

Որքան կարճ է ∆t ժամանակային միջակայքը, այնքան ավելի ճշգրիտ է հնարավոր պարզել, թե ինչ արագությամբ է շարժվում մարմինը t0 պահին, քանի որ շարժվող մարմինը չի կարող էապես փոխել արագությունը կարճ ժամանակահատվածում: Հետևաբար, միջին արագությունը, քանի որ ∆t-ը հակված է զրոյի, մոտենում է շարժման իրական արագությանը և սահմանի մեջ տալիս է շարժման արագությունը տվյալ պահին t0 (ակնթարթային արագություն):

Այսպիսով ,

Սահմանում 1. Ակնթարթային արագությունմարմնի ուղղագիծ շարժման տրված t0 ժամանակում կոչվում է միջին արագության սահման t0-ից t0+ ∆t ժամանակի ընթացքում, երբ ∆t ժամանակային միջակայքը ձգտում է զրոյի:

Այսպիսով, ուղղագիծ անհավասարաչափ շարժման արագությունը տվյալ պահին գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ուղու աճի Δ-ի ժամանակի աճի հարաբերակցության սահմանը` պայմանով, այ. Լայբնիցը հայտնաբերեց դիֆերենցիալ հաշվարկը՝ լուծելով իր հավասարմամբ տրված ցանկացած կորի շոշափող շոշափող խնդիրը։

Այս խնդրի լուծումը մեծ նշանակություն ունի։ Ի վերջո, շարժվող կետի արագությունն ուղղված է իր հետագծին շոշափող երկայնքով, ուստի իր հետագծի վրա արկի արագությունը, նրա ուղեծրի ցանկացած մոլորակի արագությունը որոշելը կրճատվում է մինչև կորի շոշափողի ուղղությունը որոշելու համար:

Շոշափողի սահմանումը որպես ուղիղ գիծ, ​​որն ունի կորի հետ միայն մեկ ընդհանուր կետ, որը վավեր է շրջանագծի համար, պիտանի չէ շատ այլ կորերի համար:

Կորին շոշափողի հետևյալ սահմանումը ոչ միայն համապատասխանում է դրա մասին ինտուիտիվ գաղափարին, այլև թույլ է տալիս իրականում գտնել դրա ուղղությունը, այսինքն. հաշվարկել շոշափողի թեքությունը.

Սահմանում 2. Շոշափողդեպի M կետի կորը կոչվում է MT ուղիղ գիծ, ​​որը MM1 հատվածի սահմանային դիրքն է, երբ M1 կետը, շարժվելով կորի երկայնքով, անորոշ ժամանակով մոտենում է M կետին։

1.2 Ածանցյալ սահմանում

Նկատի ունեցեք, որ կորի շոշափումը և անհավասար շարժման ակնթարթային արագությունը որոշելիս, ըստ էության, կատարվում են նույն մաթեմատիկական գործողությունները.

1. Փաստարկի տրված արժեքը ավելացվում է և արգումենտի նոր արժեքին համապատասխան ֆունկցիայի նոր արժեք է հաշվարկվում։

2. Որոշեք ընտրված արգումենտի ավելացմանը համապատասխանող ֆունկցիայի աճը:

3. Ֆունկցիայի աճը բաժանվում է փաստարկի աճի վրա։

4. Հաշվի՛ր այս հարաբերակցության սահմանը՝ պայմանով, որ փաստարկի աճը հակված է զրոյի:

Բազմաթիվ խնդիրների լուծումները հանգեցնում են այս տեսակի սահմանափակ անցումների: Անհրաժեշտ է դառնում ընդհանրացում կատարել և այս հատվածին մինչև վերջ անուն տալ։

Գործառույթի փոփոխության արագությունը՝ կախված փաստարկի փոփոխությունից, ակնհայտորեն կարելի է բնութագրել հարաբերակցությամբ։ Այս հարաբերությունը կոչվում է Միջին արագությունըֆունկցիան փոխվում է մինչև ինտերվալով: Այժմ մենք պետք է դիտարկենք կոտորակի սահմանը:Այս հարաբերակցության սահմանը, քանի որ արգումենտի աճը հակված է զրոյի (եթե այս սահմանը գոյություն ունի) որոշ նոր ֆունկցիա է: Այս ֆունկցիան նշվում է y' խորհրդանիշներով, որոնք կոչվում են ածանցյալայս ֆունկցիան, քանի որ այն ստացվում է (արտադրվում է) ֆունկցիայից պարզունակֆունկցիան իր ածանցյալի նկատմամբ

Սահմանում 3. ածանցյալֆունկցիաները տվյալ կետում անվանում են ∆y ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը ∆x արգումենտի համապատասխան աճին, պայմանով, որ ∆x→0, այսինքն.

1.3 Ածանցյալը գտնելու ընդհանուր կանոն

Որոշ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակումֆունկցիաները, իսկ մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որն ուսումնասիրում է այս գործողության հատկությունները դիֆերենցիալ հաշվարկ.

Եթե ​​ֆունկցիան ունի x=a ածանցյալ, ապա այն կոչվում է տարբերակելիայս պահին: Եթե ​​ֆունկցիան ունի ածանցյալ տվյալ միջակայքի յուրաքանչյուր կետում, ապա այն կոչվում է տարբերակելիԱյս մասին ընդմիջում .

Ածանցյալի սահմանումը ոչ միայն ամբողջությամբ բնութագրում է արգումենտի փոփոխման ժամանակ ֆունկցիայի փոփոխության արագության հայեցակարգը, այլև հնարավորություն է տալիս իրականում հաշվարկել տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալը։ Դա անելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ չորս գործողությունները (չորս քայլ), որոնք նշված են հենց ածանցյալի սահմանման մեջ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի նոր արժեք՝ x-ի փոխարեն նոր արգումենտ արժեք ներկայացնելով այս ֆունկցիային.

2. Ֆունկցիայի աճը որոշվում է ֆունկցիայի տրված արժեքը նրա նոր արժեքից հանելով՝ .

3. Կազմե՛ք ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի ավելացմանը՝ .

4. Գնացեք մինչև սահմանաչափը և գտեք ածանցյալը.

Ընդհանուր առմամբ, ածանցյալը «նոր» ֆունկցիա է, որը ստացվում է տվյալ ֆունկցիայից՝ ըստ սահմանված կանոնի:

1.4 Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Ածանցյալի երկրաչափական մեկնաբանությունը, որն առաջին անգամ տրվել է 17-րդ դարի վերջին։ Լայբնիցը հետևյալն է. ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x կետում հավասար է նույն x կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքությանը,դրանք.

Շոշափողի հավասարումը, ինչպես ցանկացած ուղիղ, որն անցնում է տվյալ կետով տվյալ ուղղությամբ, ունի ձև՝ ընթացիկ կոորդինատներ: Բայց շոշափող հավասարումը նույնպես կգրվի հետևյալ կերպ. Նորմալ հավասարումը կգրվի ձևով

1.5 Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը

Ածանցյալի մեխանիկական մեկնաբանությունն առաջին անգամ տվել է Ի.Նյուտոնը։ Այն բաղկացած է հետևյալից. նյութական կետի շարժման արագությունը ժամանակի տվյալ պահին հավասար է ուղու ածանցյալին ժամանակի նկատմամբ, այսինքն. Այսպիսով, եթե նյութական կետի շարժման օրենքը տրված է հավասարմամբ, ապա ժամանակի որոշակի պահի կետի ակնթարթային արագությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ածանցյալը և դրանում փոխարինել t-ի համապատասխան արժեքը։

1.6 Երկրորդ կարգի ածանցյալը և դրա մեխանիկական նշանակությունը

Մենք ստանում ենք (հավասարում այն ​​ամենից, ինչ արվել է Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. «Մաթեմատիկա» էջ 240 դասագրքում).

Այսպիսով, մարմնի ուղղագիծ շարժման արագացումը տվյալ պահին հավասար է ուղու երկրորդ ածանցյալին ժամանակի նկատմամբ՝ հաշվարկված տվյալ պահի համար։Սա երկրորդ ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունն է։

1.7 Դիֆերենցիալի սահմանումը և երկրաչափական նշանակությունը

Սահմանում 4.Ֆունկցիայի աճի հիմնական մասը՝ գծային՝ ֆունկցիայի աճի նկատմամբ, գծային՝ անկախ փոփոխականի աճի նկատմամբ, կոչվում է. դիֆերենցիալգործառույթներ և նշանակվում է d-ով, այսինքն. .

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ երկրաչափորեն ներկայացված է կետում գծված շոշափողի օրդինատի աճով Մ ( x ; y ) x-ի և ∆x-ի տրված արժեքների համար:

հաշվարկ դիֆերենցիալ – .

Դիֆերենցիալի կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում – , ֆունկցիայի աճի մոտավոր արժեքը համընկնում է նրա դիֆերենցիալի հետ։

Թեորեմ 1. Եթե ​​դիֆերենցիալ ֆունկցիան մեծանում (նվազում է) տվյալ միջակայքում, ապա այս ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական չէ (ոչ դրական) այս միջակայքում։

Թեորեմ 2. Եթե ​​ածանցյալ ֆունկցիան ինչ-որ միջակայքում դրական է (բացասական), ապա այս ինտերվալում ֆունկցիան միապաղաղ աճում է (միապաղաղ նվազում):

Այժմ ձևակերպենք ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը գտնելու կանոնը

1. Հաշվիր այս ֆունկցիայի ածանցյալը:

2. Գտեք այն կետերը, որտեղ զրո է կամ գոյություն չունի: Այս կետերը կոչվում են քննադատականֆունկցիայի համար

3. Գտնված կետերով ֆունկցիայի տիրույթը բաժանվում է ընդմիջումների, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա ածանցյալը պահպանում է իր նշանը։ Այս ինտերվալները միապաղաղության միջակայքեր են։

4. Քննեք հայտնաբերված միջակայքներից յուրաքանչյուրի նշանը: Եթե ​​դիտարկված միջակայքում, ապա այս միջակայքում ավելանում է. եթե, ապա այն նվազում է նման ընդմիջումով:

Կախված խնդրի պայմաններից՝ միապաղաղության միջակայքերը գտնելու կանոնը կարող է պարզեցվել։

Սահմանում 5.Կետը կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետ, եթե անհավասարությունը համապատասխանաբար պահպանվում է կետի ինչ-որ հարևանությամբ գտնվող ցանկացած x-ի համար:

Եթե ​​ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետն է, ապա ասում ենք (նվազագույն)կետում։ Առավելագույն և նվազագույն գործառույթները միավորում են վերնագիրը ծայրահեղությունֆունկցիաները, և կոչվում են առավելագույն և նվազագույն միավորներ ծայրահեղ կետեր (ծայրահեղ կետեր):

Թեորեմ 3.(էքստրեմումի անհրաժեշտ նշան): Եթե և ածանցյալը գոյություն ունի այս կետում, ապա այն հավասար է զրոյի. .

Թեորեմ 4.(ծայրահեղության բավարար նշան): Եթե ​​ածանցյալը երբ x անցնում է միջով ա փոխում է նշանը, ապա ա ֆունկցիայի ծայրահեղ կետն է .

Ածանցյալի ուսումնասիրության հիմնական կետերը.

1. Գտի՛ր ածանցյալը:

2. Գտեք բոլոր կրիտիկական կետերը ֆունկցիայի տիրույթից:

3. Սահմանե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալի նշանները կրիտիկական կետերով անցնելիս և դուրս գրե՛ք ծայրահեղ կետերը։

4. Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքները յուրաքանչյուր ծայրահեղ կետում:

2. Գործառույթների ուսումնասիրություն ածանցյալի հետ

Առաջադրանք թիվ 1 . Մատյանների ծավալը:Ճիշտ ձևի գերանները, առանց փայտի թերությունների, հաստ և բարակ ծայրերի տրամագծերի համեմատաբար փոքր տարբերությամբ կոչվում են արդյունաբերական կլոր փայտ: Արդյունաբերական կլոր փայտանյութի ծավալը որոշելիս սովորաբար օգտագործվում է պարզեցված բանաձև, որտեղ գտնվում է գերանի երկարությունը, նրա միջին հատվածի տարածքն է: Պարզեք, թե իրական ծավալը ավարտվում է, թե թերագնահատում; գնահատել հարաբերական սխալը.

Լուծում. Կլոր բիզնես փայտանյութի ձևը մոտ է կտրված կոնին: Թող լինի գերանի ավելի մեծ, փոքր ծայրի շառավիղը: Այնուհետեւ նրա գրեթե ճշգրիտ ծավալը (կտրված կոնի ծավալը), ինչպես հայտնի է, կարելի է գտնել բանաձեւով. Թող լինի պարզեցված բանաձևով հաշվարկված ծավալի արժեքը: Հետո;

Նրանք. . Սա նշանակում է, որ պարզեցված բանաձեւը տալիս է ծավալի թերագնահատում։ Եկեք հիմա դնենք: Հետո. Սա ցույց է տալիս, որ հարաբերական սխալը կախված չէ գրանցամատյանի երկարությունից, այլ որոշվում է հարաբերակցությամբ: Երբվանից ինտերվալով ավելանում է: Հետեւաբար, ինչը նշանակում է, որ հարաբերական սխալը չի ​​գերազանցում 3,7%-ը։ Անտառագիտության պրակտիկայում նման սխալը համարվում է միանգամայն ընդունելի։ Ավելի մեծ ճշգրտությամբ գործնականում անհնար է չափել կամ ծայրերի տրամագծերը (քանի որ դրանք որոշակիորեն տարբերվում են շրջանակներից), կամ գերանի երկարությունը, քանի որ չափում են ոչ թե բարձրությունը, այլ կոնի գեներատորը (գերանի երկարությունը տասնյակ անգամ ավելի մեծ է, քան տրամագիծը, և դա չի հանգեցնում մեծ սխալների): Այսպիսով, առաջին հայացքից իրական իրավիճակում կտրված կոնի ծավալի ոչ ճիշտ, բայց ավելի պարզ բանաձեւը միանգամայն իրավաչափ է ստացվում։ Ստուգման հատուկ մեթոդների օգնությամբ բազմիցս իրականացվածը ցույց է տվել, որ արդյունաբերական անտառի զանգվածային հաշվառման դեպքում դիտարկվող բանաձևի օգտագործման հարաբերական սխալը չի ​​գերազանցում 4%-ը։

Առաջադրանք թիվ 2 . Կտրված կոնի ձև ունեցող փոսերի, դույլերի խրամուղիների և այլ տարաների ծավալները որոշելիս գյուղատնտեսական պրակտիկայում երբեմն օգտագործվում է պարզեցված բանաձև, որտեղ բարձրությունն է, կոնի հիմքերի տարածքներն են: Պարզեք՝ իրական ծավալը գերագնահատված է, թե թերագնահատված, գնահատեք հարաբերական սխալը գործնականում բնական պայմանով. (- բազային շառավիղներ, .

Լուծում. Նշելով կտրված կոնի ծավալի իրական արժեքով և պարզեցված բանաձևով հաշվարկված արժեքով, մենք ստանում ենք. . Սա նշանակում է, որ պարզեցված բանաձեւը տալիս է ծավալի գերագնահատում։ Հետագա կրկնելով նախորդ խնդրի լուծումը, մենք գտնում ենք, որ հարաբերական սխալը կլինի ոչ ավելի, քան 6,7%: Հավանաբար, նման ճշգրտությունը ընդունելի է պեղումների աշխատանքների ռացիոնալացման ժամանակ. ի վերջո, փոսերը իդեալական կոններ չեն լինի, իսկ իրական պայմաններում համապատասխան պարամետրերը չափվում են շատ կոպիտ:

Առաջադրանք թիվ 3 . Հատուկ գրականության մեջ ֆրեզերային մեքենայի լիսեռի պտտման β անկյունը որոշելու համար ագույցները ատամներով ֆրեզերելիս ստացվում է բանաձև, որտեղ. Քանի որ այս բանաձևը բարդ է, խորհուրդ է տրվում հրաժարվել դրա հայտարարից և օգտագործել պարզեցված բանաձև: Ո՞ր դեպքում (- ամբողջ թվով) կարող է օգտագործվել այս բանաձևը, եթե անկյունը որոշելիս սխալ է թույլատրվում:

Լուծում.Պարզ միանման փոխակերպումներից հետո ճշգրիտ բանաձևը կարող է վերածվել ձևի: Ուստի մոտավոր բանաձեւ օգտագործելիս բացարձակ սխալ է թույլատրվում, որտեղ. Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիան ինտերվալի վրա: Այս դեպքում 0.06, այսինքն. անկյունը պատկանում է առաջին քառորդին։ Մենք ունենք: . Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող միջակայքում, հետևաբար, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում: Հետագայում, բոլորի համար: Նշանակում է, . Քանի որ դա ռադիան է, բավական է լուծել անհավասարությունը։ Այս անհավասարությունը լուծելով ընտրությամբ՝ մենք գտնում ենք, որ, . Քանի որ ֆունկցիան նվազում է, հետևում է

Եզրակացություն

Ածանցյալի օգտագործումը բավականին լայն է և կարող է ամբողջությամբ լուսաբանվել այս տեսակի աշխատանքում, բայց ես փորձել եմ լուսաբանել հիմնական կետերը: Մեր ժամանակներում, գիտական ​​և տեխնոլոգիական առաջընթացի, մասնավորապես հաշվողական համակարգերի արագ էվոլյուցիայի հետ կապված, դիֆերենցիալ հաշվարկը գնալով ավելի ու ավելի է արդիականանում ինչպես պարզ, այնպես էլ գերբարդ խնդիրների լուծման համար:

գրականություն

1. Վ.Ա. Պետրով «Մաթեմատիկական վերլուծություն արտադրական առաջադրանքներում»

2. Սոլովեյչիկ Ի.Լ., Լիսիչկին Վ.Տ. "Մաթեմատիկա"

Այս հոդվածում ես կքննարկեմ ածանցյալի կիրառությունները տարբեր գիտությունների և արդյունաբերության մեջ: Աշխատանքը բաժանված է գլուխների, որոնցից յուրաքանչյուրը վերաբերում է դիֆերենցիալ հաշվարկի ասպեկտներից մեկին (երկրաչափական, ֆիզիկական իմաստ և այլն):

1. Ածանցյալ հասկացությունը

1-1. Պատմական տեղեկություններ

Դիֆերենցիալ հաշվարկը ստեղծվել է Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից 17-րդ դարի վերջին երկու խնդիրների հիման վրա.
1) կամայական գծին շոշափող գտնելու մասին
2) շարժման կամայական օրենքով արագության որոնման մասին
Նույնիսկ ավելի վաղ, ածանցյալ հասկացությունը հանդիպում էր իտալացի մաթեմատիկոս Տարթալիայի աշխատություններում (մոտ 1500 - 1557 թթ.) - այստեղ հրացանի թեքության անկյան հարցի ուսումնասիրության ընթացքում հայտնվեց շոշափողություն, որն ապահովում է արկի ամենամեծ հեռահարությունը:
17-րդ դարում Գ.Գալիլեոյի շարժման տեսության հիման վրա ակտիվորեն զարգացել է ածանցյալի կինեմատիկական հայեցակարգը։ Տարբեր ներկայացումներ սկսեցին հայտնվել Դեկարտի, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ռոբերվալի և անգլիացի գիտնական Լ.Գրիգորիի աշխատություններում։ Լոպիտալը, Բեռնուլին, Լագրանժը, Էյլերը, Գաուսը մեծ ներդրում են ունեցել դիֆերենցիալ հաշվարկի ուսումնասիրության մեջ։

1-2. Ածանցյալ հասկացությունը

Թող y \u003d f (x) լինի x արգումենտի շարունակական ֆունկցիան, որը սահմանված է (a; b) միջակայքում, իսկ x 0-ն այս միջակայքի կամայական կետն է:
Եկեք x արգումենտին տանք աճ?x, ապա y = f(x) ֆունկցիան կստանա աճ?y = f(x + ?x) - f(x): Այն սահմանը, որին ձգտում է?y /?x հարաբերակցությունը, երբ?x > 0, կոչվում է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալ:
y"(x)=

1-3. Ածանցյալների տարբերակման կանոններ և աղյուսակ

C" = 0	(x n) = nx n-1	(մեղք x)» = cos x
x» = 1	(1 / x)" = -1 / x2	(cos x)» = -sin x
(Cu)"=Cu"	(vx)" = 1 / 2vx	(tg x)" = 1 / cos 2 x
(UV)" = u"v + uv"	(a x)" = a x log x	(ctg x)» = 1 / մեղք 2 x
(u / v)"=(u"v - uv") / v 2	(նախկին)» = նախկին	(arcsin x)" = 1 / v (1- x 2)
	(log a x)" = (log a e) / x	(arccos x)" = -1 / v (1- x 2)
	(ln x)» = 1 / x	(arctg x)" = 1 / v (1+ x 2)
		(arcctg x)" = -1 / v (1+ x 2)

2. Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

2-1. Շոշափող կորին

Թող ունենանք կոր և հաստատուն M կետ և N կետ, M կետին շոշափողն ուղիղ գիծ է, որի դիրքը հակված է զբաղեցնելու MN ակորդը, եթե կորի երկայնքով N կետին անորոշ ժամանակով մոտենում է M-ին:

Դիտարկենք այս ֆունկցիային համապատասխան f(x) ֆունկցիան և y = f(x) կորը։ Որոշ x արժեքի համար ֆունկցիան ունի y = f(x) արժեքը: Այս արժեքները կորի վրա համապատասխանում են M կետին (x 0, y 0): Ներկայացնենք նոր արգումենտ x 0 + ?x, դրա արժեքը համապատասխանում է y 0 + ?y = f(x 0 + ?x) ֆունկցիայի արժեքին։ Համապատասխան կետն է N(x 0 + ?x, y 0 + ?y): Գծի՛ր սական MN և նշի՛ր: Ox առանցքի դրական ուղղության հետ սեկանտով ձևավորված անկյունը։ Նկարից երևում է, որ ?y / ?x = tg ?. Եթե ​​հիմա x-ը կմոտենա 0-ին, ապա N կետը կշարժվի կորի երկայնքով, MN հատվածը կպտտվի M կետի շուրջ, իսկ անկյունը. - փոփոխություն. Եթե ​​x > 0 անկյունում. հակված է որոշ ?-ի, ապա M-ով անցնող և աբսցիսային առանցքի դրական ուղղությամբ անկյունագիծը կազմելով ուղիղ գիծը կլինի ցանկալի շոշափողը: Միևնույն ժամանակ, դրա թեքության գործակիցը.

Այսինքն՝ x արգումենտի տրված արժեքի համար f «(x) ածանցյալի արժեքը հավասար է M կետում f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող Ox առանցքի դրական ուղղությամբ ձևավորված անկյան շոշափմանը։

Տիեզերական գծի շոշափողն ունի հարթ կորի շոշափողի սահմանում: Այս դեպքում, եթե ֆունկցիան տրված է z = f(x, y) հավասարմամբ, ապա OX և OY առանցքների թեքությունները հավասար կլինեն f-ի մասնակի ածանցյալներին x-ի և y-ի նկատմամբ:

2-2. Մակերեւույթին շոշափող հարթություն

M կետում մակերևույթին շոշափող հարթությունն այն հարթությունն է, որը պարունակում է շոշափողներ M-ով անցնող մակերեսի բոլոր տարածական կորերին՝ շփման կետ:
Վերցրեք F(x, y, z) = 0 հավասարման տրված մակերեսը և դրա վրա գտնվող մի սովորական կետ M(x 0, y 0, z 0): Մակերեւույթի վրա դիտարկենք M-ի միջով անցնող L կորը: Թող կորը տրվի հավասարումներով
x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Եկեք այս արտահայտությունները փոխարինենք մակերեսի հավասարման մեջ: Հավասարումը կվերածվի նույնականության, քանի որ կորը ամբողջությամբ գտնվում է մակերեսի վրա: Օգտագործելով դիֆերենցիալի ձևի ինվարիանտության հատկությունը՝ մենք տարբերում ենք ստացված հավասարումը t-ի նկատմամբ.

M կետում L կորի շոշափողի հավասարումները ունեն ձև.

Քանի որ x - x 0, y - y 0, z - z 0 տարբերությունները համաչափ են համապատասխան դիֆերենցիալներին, ինքնաթիռի վերջնական հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը.
F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0) + F" z (z - z 0)=0
իսկ կոնկրետ դեպքի համար z = f(x, y):
Z - z 0 \u003d F "x (x - x 0) + F" y (y - y 0)
Օրինակ:Գտե՛ք շոշափող հարթության հավասարումը հիպերբոլիկ պարաբոլոիդի (2a; a; 1,5a) կետում.

Լուծում:
Z" x \u003d x / a \u003d 2; Z" y \u003d -y / a \u003d -1
Ցանկալի հարթության հավասարումը.
Z - 1.5a = 2 (x - 2a) - (Y - a) կամ Z = 2x - y - 1.5a

3. Ածանցյալի օգտագործումը ֆիզիկայում

3-1. Նյութական կետի արագություն

Թող s ուղու կախվածությունը t ժամանակից նյութական կետի տրված ուղղագիծ շարժումով արտահայտվի s = f(t) հավասարումով, իսկ t 0-ը ժամանակի ինչ-որ պահ է: Դիտարկենք մեկ այլ ժամանակ t, նշանակենք?t = t - t 0 և հաշվարկենք ճանապարհի աճը՝ ?s = f(t 0 + ?t) - f(t 0): s /?t հարաբերակցությունը կոչվում է շարժման միջին արագություն t 0 սկզբնական պահից անցած ժամանակի համար: Արագությունը կոչվում է այս հարաբերակցության սահմանը, երբ t\u003e 0:

Անհավասար շարժման միջին արագացումը միջակայքում (t; t + ?t) արժեքն է. =?v / ?t. Նյութական կետի ակնթարթային արագացումը t ժամանակում կլինի միջին արագացման սահմանը.

Այսինքն՝ առաջին անգամ ածանցյալը (v «(t)):

Օրինակ:Մարմնի անցած ճանապարհի կախվածությունը ժամանակից տրված է s \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3 հավասարմամբ (C \u003d 0,1 մ / վ, D \u003d 0,03 մ / վ 2): Որոշեք շարժումը սկսելուց հետո ժամանակը, որից հետո մարմնի արագացումը հավասար կլինի 2 մ/վրկ 2-ի:

Լուծում:
v(t) = s "(t) = B + 2Ct + 3Dt 2; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0.2 + 0.18t = 2;
1,8 = 0,18 տ; t = 10 վ

3-2. Նյութի ջերմունակությունը տվյալ ջերմաստիճանում

T տարբեր ջերմաստիճանները նույն արժեքով բարձրացնելու համար, որը հավասար է T 1 - T, 1 կգ-ի դիմաց: տվյալ նյութին անհրաժեշտ է տարբեր քանակությամբ ջերմություն Q 1 - Q, և հարաբերակցությունը

քանի որ այս նյութը հաստատուն չէ: Այսպիսով, տվյալ նյութի համար Q ջերմության քանակը T ջերմաստիճանի ոչ գծային ֆունկցիան է՝ Q = f(T): Ապա?Q = f(t + ?T) - f(T): Վերաբերմունք

կոչվում է հատվածի միջին ջերմունակություն, իսկ այս արտահայտության սահմանը T > 0-ում կոչվում է տվյալ նյութի ջերմունակություն T ջերմաստիճանում։

3-3. Ուժ

Մարմնի մեխանիկական շարժման փոփոխությունը պայմանավորված է այլ մարմիններից նրա վրա ազդող ուժերով։ Փոխազդող մարմինների միջև էներգիայի փոխանակման գործընթացը քանակականորեն բնութագրելու համար մեխանիկայում ներդրվում է ուժի աշխատանքի հասկացությունը։ Աշխատանքի կատարման արագությունը բնութագրելու համար ներկայացվում է ուժ հասկացությունը.

4. Դիֆերենցիալ հաշվարկը տնտեսագիտության մեջ

4-1. Ֆունկցիոնալ հետազոտություն

Դիֆերենցիալ հաշվարկը մաթեմատիկական ապարատ է, որը լայնորեն օգտագործվում է տնտեսական վերլուծության համար: Տնտեսական վերլուծության հիմնական խնդիրն է ուսումնասիրել տնտեսական մեծությունների հարաբերությունները, որոնք գրված են որպես գործառույթ: Ի՞նչ ուղղությամբ կփոխվեն կառավարության եկամուտները, եթե հարկերը բարձրացվեն կամ ներմուծվեն մաքսատուրքեր։ Արդյո՞ք ընկերության եկամուտը կավելանա կամ կնվազի, երբ իր արտադրանքի գինը բարձրանա: Ի՞նչ համամասնությամբ լրացուցիչ սարքավորումները կարող են փոխարինել թոշակառու աշխատողներին: Նման խնդիրներ լուծելու համար պետք է կառուցվեն դրանցում ներառված փոփոխականների միացման ֆունկցիաները, որոնք այնուհետեւ ուսումնասիրվում են դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդներով։ Տնտեսագիտության մեջ հաճախ պահանջվում է գտնել ցուցիչի լավագույն կամ օպտիմալ արժեքը. աշխատանքի ամենաբարձր արտադրողականությունը, առավելագույն շահույթը, առավելագույն արդյունքը, նվազագույն ծախսերը և այլն: Յուրաքանչյուր ցուցանիշ մեկ կամ մի քանի փաստարկների ֆունկցիա է: Այսպիսով, ցուցիչի օպտիմալ արժեքը գտնելը կրճատվում է ֆունկցիայի ծայրահեղության հայտնաբերման վրա:
Ֆերմայի թեորեմի համաձայն, եթե կետը ֆունկցիայի ծայրահեղություն է, ապա ածանցյալը կամ գոյություն չունի դրանում, կամ հավասար է 0-ի: Ծայրահեղության տեսակը կարող է որոշվել ծայրահեղության համար բավարար պայմաններից մեկով.
1) Եկեք f(x) ֆունկցիան տարբերվող լինի x 0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ: Եթե ​​f "(x) ածանցյալը x 0 կետով անցնելիս փոխում է նշանը +-ից -, ապա x 0-ը առավելագույն կետն է, եթե --ից +, ապա x 0-ը նվազագույն կետն է, եթե այն չի փոխում նշանը, ապա այս կետում ծայրահեղություն չկա:
2) Թող f (x) ֆունկցիան երկու անգամ տարբերելի լինի x 0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ, և f "(x 0) \u003d 0, f "" (x 0) ? 0, ապա x 0 կետում f (x 0) ֆունկցիան ունի առավելագույնը, եթե f "" (x 0)< 0 и минимум, если f ""(x 0) > 0.
Բացի այդ, երկրորդ ածանցյալը բնութագրում է ֆունկցիայի ուռուցիկությունը (ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է ուռուցիկ վերև [ներքև] (a, b) միջակայքի վրա, եթե այն գտնվում է այս ինտերվալի վրա ոչ ավելի բարձր [ոչ ցածր], քան նրա շոշափողներից որևէ մեկը):

Օրինակ:ընտրել ընկերության կողմից արտադրության օպտիմալ ծավալը, որի շահույթի ֆունկցիան կարելի է մոդելավորել կախվածությամբ.
?(q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10
Լուծում:
?"(ք) = R"(q) - C"(q) = 2q - 8 = 0 > q extr = 4
Ք–ի համար< q extr = 4 >?» (ք)< 0 и прибыль убывает
q > q extr = 4 > ?(q) > 0-ի համար և շահույթը մեծանում է
Երբ q = 4, շահույթը վերցնում է նվազագույն արժեքը:
Ո՞րն է ընկերության համար օպտիմալ արդյունքը: Եթե ​​վերանայվող ժամանակահատվածում ընկերությունը չի կարող արտադրել ավելի քան 8 միավոր արտադրանք (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), ապա օպտիմալ լուծումը կլինի ընդհանրապես ոչինչ արտադրելը, այլ տարածքների և/կամ սարքավորումների վարձակալությունից եկամուտ ստանալը: Եթե ​​ֆիրման ի վիճակի է արտադրել ավելի քան 8 միավոր, ապա ֆիրմայի համար օպտիմալը կլինի իր արտադրական հզորությունների սահմաններում արտադրել:

4-2. Պահանջարկի առաձգականություն

f (x) ֆունկցիայի առաձգականությունը x 0 կետում կոչվում է սահման

Պահանջարկը գնորդի կողմից պահանջվող ապրանքի քանակությունն է: Պահանջարկի գնային առաձգականությունը E D-ն չափում է, թե ինչպես է պահանջարկը արձագանքում գների փոփոխություններին: Եթե ​​¦E D ¦>1, ապա պահանջարկը կոչվում է առաձգական, եթե ¦E D ¦<1, то неэластичным. В случае E D =0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

4-3. Սահմանային վերլուծություն

Տնտեսագիտության մեջ օգտագործվող դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդների կարևոր բաժինը սահմանափակման վերլուծության մեթոդներն են, այսինքն՝ ծախսերի կամ արդյունքների փոփոխվող արժեքների ուսումնասիրման մեթոդների մի շարք՝ արտադրության, սպառման և այլնի փոփոխություններով, դրանց սահմանափակող արժեքների վերլուծության հիման վրա: Ֆունկցիայի սահմանափակող ցուցիչը (ներ)ն է նրա ածանցյալը (մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում) կամ մասնակի ածանցյալները (մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքում)
Տնտեսագիտության մեջ հաճախ օգտագործվում են միջիններ՝ միջին աշխատուժի արտադրողականություն, միջին ծախսեր, միջին եկամուտ, միջին շահույթ և այլն։ Բայց հաճախ պահանջվում է պարզել, թե ինչ չափով կավելանա արդյունքը, եթե ծախսերը մեծանան կամ հակառակը, որքանով կնվազի արդյունքը, եթե ծախսերը կրճատվեն։ Այս հարցին հնարավոր չէ պատասխանել միջին արժեքների օգնությամբ։ Նման խնդիրների դեպքում պահանջվում է որոշել արդյունքի և ծախսերի աճի հարաբերակցության սահմանը, այսինքն՝ գտնել սահմանային էֆեկտը։ Ուստի դրանք լուծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդները։

5. Ածանցյալը մոտավոր հաշվարկներում
և այլն.................

Ներկայացման նկարագրությունը առանձին սլայդների վրա.

1 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Դասի թեման՝ Ածանցյալի կիրառումը գիտելիքների տարբեր ոլորտներում Մաթեմատիկայի ուսուցիչ ՄԲՈՒ «Թիվ 74 դպրոց» Զագումեննովա Մարինա Վլադիմիրովնա

2 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Դասի նպատակը. Սովորել ածանցյալի կիրառման հիմնական ոլորտները գիտության և տեխնիկայի տարբեր ոլորտներում; Դիտարկենք, օգտագործելով գործնական խնդիրների լուծման օրինակներ, թե ինչպես է ածանցյալն օգտագործվում քիմիայի, ֆիզիկայի, կենսաբանության, աշխարհագրության և տնտեսագիտության մեջ:

3 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

«Չկա մաթեմատիկայի ոչ մի ոլորտ, որքան էլ այն վերացական լինի, որը մի օր կիրառելի չի լինի իրական աշխարհի երևույթների համար»: Ն.Ի. Լոբաչևսկին

4 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Տարբերակման կանոններ Գումարի ածանցյալը հաստատուն գործոնի մասին Արտադրանքի ածանցյալ Կոտորակի ածանցյալ Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը.

5 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Ածանցյալը ֆիզիկայում Խնդիր. Արգելակման ժամանակ մեքենայի շարժումը նկարագրվում է s(t) = 30t - 5t2 բանաձևով (s-ը կանգառի հեռավորությունն է մետրերով, t-ն արգելակման սկզբից մինչև մեքենայի լրիվ կանգառը վայրկյաններով ժամանակն է)։ Գտեք, թե քանի վայրկյան է մեքենան շարժման մեջ այն պահից, երբ այն սկսում է արգելակել մինչև ամբողջովին կանգ առնելը: Որքա՞ն է մեքենայի անցած ճանապարհը արգելակման սկզբից մինչև լրիվ կանգառը: Լուծում. Քանի որ արագությունը ժամանակի ընթացքում շարժման առաջին ածանցյալն է, ապա v = S'(t) = 30 - 10t, քանի որ արգելակելիս արագությունը զրոյական է, ապա 0=30–10տ; 10տ=30; t=3 (վրկ): Կանգառի հեռավորությունը S(t) = 30t - 5t2 = 30∙3-5∙32 = 90-45 = 45(m): Պատասխան՝ դանդաղեցման ժամանակը 3 վրկ, արգելակման հեռավորությունը 45 մ։

6 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Հետաքրքիր է «Չելյուսկին» շոգենավը 1934 թվականի փետրվարին հաջողությամբ անցել է հյուսիսային ծովային ամբողջ ճանապարհը, սակայն Բերինգի նեղուցում հայտնվել է սառույցի մեջ: Սառույցը Չելյուսկինին հասցրեց հյուսիս և ջախջախեց այն։ Ահա աղետի նկարագրությունը. «Կորպուսի ամուր մետաղը անմիջապես չի ընկել», - ռադիոյով հայտնել է արշավախմբի ղեկավար Օ.Յու. Շմիդտ. - Տեսանելի էր, թե ինչպես է սառցաբեկորը սեղմվում կողքի մեջ, և ինչպես են դրա վերևում գտնվող պատյանները ուռչում, թեքվում դեպի դուրս: Սառույցը շարունակեց իր դանդաղ, բայց անդիմադրելի առաջխաղացումը: Կորպուսի պատվածքի ուռած երկաթե թիթեղները կարի մոտ պատռվել էին։ Գետերը թռչում էին ճեղքով։ Մի ակնթարթում նավի նավահանգստային կողմը պոկվեց աղեղից մինչև տախտակամածի հետևի ծայրը… «Ինչու՞ տեղի ունեցավ աղետը:

7 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Սառույցի ճնշման ուժը Р քայքայվում է երկու մասի՝ F և R. R-ն ուղղահայաց է տախտակին, F-ն ուղղված է շոշափելի։ P-ի և R-ի միջև անկյունը - α - կողմի անկյունը դեպի ուղղահայաց: Q-ն սառույցի շփման ուժն է տախտակի դեմ: Q = 0,2 R (0,2-ը շփման գործակիցն է): Եթե ​​Ք< F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q >F, այնուհետև շփումը թույլ չի տալիս սառցաբեկորը սահել, և սառույցը կարող է ջախջախել և մղել կողքի միջով: 0.2R< R tgα , tgα >0.2; Ք< F, если α >1100. Նավի կողմերի թեքությունը դեպի ուղղահայաց α > 1100 անկյան տակ ապահովում է անվտանգ նավարկություն սառույցի մեջ:

8 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Ածանցյալը քիմիայում Ածանցյալը քիմիայում օգտագործվում է քիմիական ռեակցիայի արագությունը որոշելու համար: Սա անհրաժեշտ է. պրոցեսի ինժեներների համար՝ որոշելու քիմիական արտադրության արդյունավետությունը, քիմիկոսներին, որոնք դեղամիջոցներ են մշակում բժշկության և գյուղատնտեսության համար, ինչպես նաև բժիշկների և գյուղատնտեսների համար, ովքեր օգտագործում են այդ դեղամիջոցները մարդկանց բուժման և հողի վրա կիրառելու համար: Բժշկական, գյուղատնտեսական և քիմիական արդյունաբերության արտադրական խնդիրները լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է իմանալ քիմիական նյութերի ռեակցիայի արագությունը:

9 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Խնդիր քիմիայում Քիմիական ռեակցիայի մեջ մտած նյութի քանակությունը տրվի կախվածությամբ՝ р(t) = t2/2 + 3t –3 (մոլ): Գտեք քիմիական ռեակցիայի արագությունը 3 վայրկյան հետո: Հղում. Քիմիական ռեակցիայի արագությունը ռեակտիվների կոնցենտրացիայի փոփոխությունն է մեկ միավոր ժամանակում կամ ռեակտիվների կոնցենտրացիայի ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ (մաթեմատիկայի լեզվով կոնցենտրացիան կլինի ֆունկցիա, իսկ ժամանակը` փաստարկ)

10 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Լուծման հայեցակարգը քիմիայի լեզվով Նշում Հայեցակարգը մաթեմատիկայի լեզվով Նյութի քանակությունը t0 p = p(t0) Ֆունկցիա Ժամանակի միջակայքը ∆t = t – t0 Փաստարկային աճող նյութի քանակի փոփոխություն ∆p = p(t0+ ∆t) – p(t0) Ֆունկցիա աճի բարձրացում (միջին արգումենտի ավելացում) (Քիմիական ռեակցիայի աճի արագություն) (t)

11 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Ածանցյալ կենսաբանության մեջ Խնդիր կենսաբանության մեջ. հիմնվելով բնակչության x(t) չափի հայտնի կախվածության վրա՝ որոշեք հարաբերական աճը t ժամանակում: Պոպուլյացիան տվյալ տեսակի անհատների հավաքածու է, որը զբաղեցնում է տարածքի որոշակի տարածք տեսակների միջակայքում, ազատորեն խառնվում են միմյանց և մասամբ կամ ամբողջությամբ մեկուսացված այլ պոպուլյացիաներից, ինչպես նաև էվոլյուցիայի տարրական միավոր է:

12 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Լուծում Հայեցակարգը կենսաբանության լեզվով Նշում Հայեցակարգը մաթեմատիկայի լեզվով Բնակչություն t x = x(t) Ֆունկցիա Ժամանակային միջակայք ∆t = t – t0 Փաստարկի ավելացում Պոպուլյացիայի չափի փոփոխություն ∆x = x(t) – x(t0) Ֆունկցիայի աճ Պոպուլյացիայի չափի փոփոխության արագություն ∆x/∆t Տրված է արգումենտի աճման պահի ավելացման արագություն ∆x/∆t Տրված է արգումենտի աճման պահի հարաբերակցությունը →l. 0 ածանցյալ P \u003d x "(t)

13 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

14 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Ածանցյալ աշխարհագրության մեջ Ածանցյալն օգնում է հաշվարկել. Որոշ արժեքներ սեյսմոգրաֆիայում Երկրի էլեկտրամագնիսական դաշտի առանձնահատկությունները Միջուկային երկրաֆիզիկական ցուցանիշների ռադիոակտիվությունը Տնտեսական աշխարհագրության մեջ Բազմաթիվ արժեքներ Ստացվում է տարածքի բնակչության թվաքանակի հաշվարկման բանաձև t.

15 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Աշխարհագրության խնդիր Ստացեք բանաձև սահմանափակ տարածքում բնակչության թվաքանակը t ժամանակում հաշվարկելու համար:

16 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Լուծում Թող y=y(t) լինի բնակչությունը: Հաշվի առեք բնակչության աճը ∆t = t – t0 ∆у = k∙y∙∆t-ի համար, որտեղ k = kр – kс-ը բնակչության աճի տեմպն է, (kр-ը ծնելիության մակարդակն է, kс-ը՝ մահացության մակարդակը): ∆у/∆t = k∙y որպես ∆t → 0 մենք ստանում ենք lim ∆у/∆t = у’: Բնակչության աճ - y’ = k∙y: ∆t → 0 Եզրակացություն. աշխարհագրության մեջ ածանցյալը համակցված է նրա բազմաթիվ ճյուղերի (սեյսմոգրաֆիա, տեղաբաշխում և բնակչություն), ինչպես նաև տնտեսական աշխարհագրության հետ: Այս ամենը հնարավորություն է տալիս ավելի լիարժեք ուսումնասիրել աշխարհի բնակչության և երկրների զարգացումը։

17 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Ածանցյալը տնտեսագիտության մեջ Ածանցյալը լուծում է կարևոր հարցեր. ի՞նչ ուղղությամբ կփոխվեն կառավարության եկամուտները հարկերի ավելացմամբ, թե մաքսատուրքերի ներդրմամբ: Արդյո՞ք ընկերության եկամուտը կավելանա կամ կնվազի, երբ իր արտադրանքի գինը բարձրանա: Այս հարցերը լուծելու համար անհրաժեշտ է կառուցել մուտքային փոփոխականների միացման ֆունկցիաները, որոնք այնուհետեւ ուսումնասիրվում են դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդներով։ Նաև, օգտագործելով տնտեսության մեջ ֆունկցիայի էքստրեմումը, կարելի է գտնել աշխատանքի ամենաբարձր արտադրողականությունը, առավելագույն շահույթը, առավելագույն արտադրանքը և նվազագույն ծախսերը:

18 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

Խնդիր թիվ 1 տնտեսագիտության մեջ (արտադրական ծախսեր) Թող y-ը լինի արտադրության ծախսերը, իսկ x-ը՝ արտադրության քանակությունը, ապա x1-ը արտադրության աճն է, իսկ y1-ը՝ արտադրության ծախսերի աճը։

19 սլայդ

Սլայդի նկարագրությունը.

20 սլայդ

Նախագծային գործունեություն մաթեմատիկայի դասերին

Նախագծի թեման. Ածանցյալի կիրառում

Անդամներ: «SKSiS» պետական ​​ուսումնական հաստատության 1-ին կուրսի ուսանողներ.

Հիմնարար հարց Ինչպես չափել արագությունը:

Խնդրահարույց հարցեր

Ո՞վ է աշխատել «տարբերակման» հարցի վրա։

Ինչպե՞ս է օգտագործվում ածանցյալը ֆունկցիան ուսումնասիրելիս:

Ինչպե՞ս է ածանցյալն օգնում կենսաբաններին, քիմիկոսներին:

Ֆիզիկայի ո՞ր խնդիրներն են լուծվում ածանցյալի օգնությամբ:

Ինչպե՞ս է օգտագործվում ածանցյալը տնտեսագիտության մեջ:

Ի՞նչ կապ կա ածանցյալի և աշխարհագրության միջև:

Թիրախ: Անալիզի, ֆիզիկայի, տնտեսագիտության, կենսաբանության, քիմիայի և աշխարհագրության սկզբունքներում խնդիրների լուծման համար ածանցյալի օգտագործման ուսումնասիրություն. «Ածանցյալ» թեմայով գիտելիքների խորացում և ընդլայնում.

Առաջադրանքներ.

Գտի՛ր ածանցյալի ծագման պատմության մասին տեղեկություն, ուսումնասիրի՛ր և համակարգի՛ր։

Միապաղաղության, ծայրահեղության, ուռուցիկության-գոգավորության ֆունկցիաների ուսումնասիրություն՝ օգտագործելով ածանցյալ:

Կենսաբանության տարբեր ճյուղերից առաջադրանքների ընտրություն, որոնք լուծվում են ածանցյալի միջոցով

Պարզեք, թե ինչ գործընթացներ է կարգավորում աշխարհագրության ածանցյալը: Դիտարկենք աշխարհագրության առաջադրանքները, որոնք լուծվում են ածանցյալի միջոցով

Ընտրեք խնդիրներ ֆիզիկայի տարբեր բաժիններից, որոնք լուծվում են ածանցյալի միջոցով:

Ընտրեք տնտեսական խնդիրները, որոնք լուծվում են ածանցյալի միջոցով:

Դիտարկենք ածանցյալի հաշվարկման կանոնների կիրառումը տնտեսական բովանդակությամբ գործնական խնդիրների լուծման համար:

«Ես զգուշացնում եմ ձեզ, որ զգույշ եղեք dx-ը գցելուց, սա հաճախ արվող սխալ է և խանգարում է առաջընթացին»:

Գ.Վ.Լայբնից

Խնդիրները լուծելու համար ածանցյալի օգտագործումը պահանջում է ուսանողներից մտածել շրջանակից դուրս: Հարկ է նշել, որ խնդիրների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդների և տեխնիկայի իմացությունը նպաստում է նոր, ոչ ստանդարտ մտածողության զարգացմանը, որը կարող է հաջողությամբ կիրառվել նաև մարդու գործունեության այլ ոլորտներում (տնտեսագիտություն, ֆիզիկա, քիմիա, կենսաբանություն և այլն): Սա ապացուցում է այս աշխատանքի արդիականությունը: Նախագծի վրա աշխատանքում պարտադիր կերպով պահպանվում են սովորողների գործունեության որոշակի փուլեր. Նրանցից յուրաքանչյուրը նպաստում է անձնական որակների ձեւավորմանը։

Նախապատրաստական ​​փուլ

Այս փուլում ես և սովորողները խորասուզվում ենք նախագծի մեջ՝ մոտիվացվում է գործունեությունը, սահմանվում է թեման, խնդիրը և նպատակները։ Նախագծի թեման պետք է լինի ոչ միայն մտերիմ ու հետաքրքիր, այլև հասանելի աշակերտին։ Ծրագրի այս փուլը ժամանակային առումով ամենակարճն է, սակայն շատ կարևոր է ակնկալվող արդյունքներին հասնելու համար։Զրույց է անցկացվում ներածական ներկայացման ցուցադրման ժամանակ. թեմայի վերաբերյալ առկա գիտելիքների ակտուալացում, նախագծի գլխավոր պլանի քննարկում, նախագծի վրա աշխատանքների պլանավորում։ Տարբեր աղբյուրներում տեղեկատվության որոնման ուղղության որոշում.

«Ածանցյալ» թեման մաթեմատիկական վերլուծության դասընթացի ամենակարևոր բաժիններից մեկն է, քանի որ այս հայեցակարգը հիմնականն է դիֆերենցիալ հաշվարկում և ծառայում է որպես ինտեգրալ հաշվարկի կառուցման սկզբնական հիմք: Բայց հաճախ ուսանողները, առաջին անգամ բախվելով այս հասկացությանը, չեն հասկանում, թե ինչու է անհրաժեշտ այն ուսումնասիրել: Նրանք չեն տեսնում այս թեմայի գործնական կիրառումը։ Հետևաբար, այս «Ածանցյալի կիրառումը» նախագիծը միտված է ապահովելու, որ ուսանողները պարզեն, թե ինչու է անհրաժեշտ ուսումնասիրել ածանցյալը, որտեղ կարող եք օգտագործել ածանցյալի հետ կապված գիտելիքները կյանքում, ինչպես նաև այլ առարկաներում:

Գործունեության պլանավորման և կազմակերպման փուլ.

Այս փուլում մենք խմբերը սահմանում ենք ըստ գործունեության ոլորտների, առանձնացնում յուրաքանչյուր խմբի նպատակներն ու խնդիրները: Առաջարկվող թեմաներ խմբի ընտրության համար.

Խումբ 1 - «Դիֆերենցիալ հաշվարկի պատմական տեղեկատվություն»;

Խումբ 2 - «Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը»

խումբ 4 - «Ածանցյալի կիրառումը ֆիզիկական խնդիրների լուծման մեջ»;

Խումբ 3 - «Գտնել լավագույն լուծումը կիրառական, այդ թվում՝ սոցիալ-տնտեսական առաջադրանքներում»

Խումբ 4 - «Ածանցյալի կիրառումը քիմիայի և կենսաբանության մեջ»

Խումբ 5 - «Ածանցյալի օգտագործումը աշխարհագրական բովանդակությամբ խնդիրների լուծման ժամանակ».

Խմբում ընդգրկված էին սովորելու տարբեր կարողություններով սովորողներ: Յուրաքանչյուր խմբի հանձնարարվեց վերլուծել ընտրված թեման, գտնել տեղեկատվություն: Պլանավորվում է խմբերի աշխատանքը՝ ուսանողների միջև բաշխվում են պարտականություններ, որոշվում են տեղեկատվության աղբյուրները, տեղեկատվության հավաքման և վերլուծության մեթոդները, գործունեության արդյունքների ներկայացման եղանակները (մեր դեպքում՝ պրեզենտացիաներ և գրքույկներ):

Որոնման փուլ.

Այս փուլում կատարվում է նրանց ընտրած թեմայի վերաբերյալ տեղեկատվության որոնում և հավաքում, միջանկյալ խնդիրների լուծում։ Հավաքված նյութի վերլուծություն և ընդհանրացում: Արդյունքների գրավոր ներկայացում և ուսուցչի կողմից ստացված արդյունքների միջանկյալ հսկողություն: Անցկացվել են խորհրդակցություններ PowerPoint, Publisher, Word ծրագրերի վերաբերյալ, այն ուսանողների համար, ովքեր խնդիրներ են ունեցել գործնական աշխատանքում՝ արդյունքները պաշտոնականացնելու համար։ Եզրակացությունների ձևակերպում.

Արդյունքների ներկայացման փուլ, հաշվետվություն.

Ներկայացման փուլն անհրաժեշտ է աշխատանքն ավարտելու, արվածը վերլուծելու, դրսից ինքնագնահատման և գնահատման, արդյունքները ցուցադրելու համար։ Արդյունքների ներկայացման ձևը մեր նախագծում՝ բանավոր զեկույց՝ պրեզենտացիայի, գրքույկի, ռեֆերատի ձևով ստեղծված նյութերի ցուցադրմամբ:

Արդյունքների գնահատում, արտացոլում

Նախագծի վրա աշխատանքի ավարտական ​​փուլերից է արդյունքների գնահատումը, արտացոլումը։ Նախագիծը պաշտպանվում է դասի կամ շրջանաձեւ դասի ժամանակ։

Հավելվածները պարունակում են նախագծային գործունեության շրջանակներում պատրաստված ուսանողների աշխատանքները՝ շնորհանդեսների և գրքույկի տեսքով:

Նախագծի վրա ուսանողների աշխատանքը գնահատելիս հաշվի է առնվում բովանդակությունը (թեմայի ամբողջական բացահայտում, թեմայի ասպեկտների ներկայացում, խնդրի լուծման ռազմավարության ներկայացում, տեղեկատվության ներկայացման տրամաբանություն, տարբեր ռեսուրսների օգտագործում), խմբի անկախ աշխատանքի աստիճանը (խմբում համակարգված աշխատանք, դերերի բաշխում խմբում, հեղինակի ձևավորում ներ և տառասխալներ), պաշտպանություն (զեկույցի որակը, թեմայի վերաբերյալ գիտելիքների ծավալն ու խորությունը, խոսքի մշակույթը, հանդիսատեսին կառչելու, հարցերին պատասխանելու ձևը):