Pirms mēs detalizēti aprakstam visas naturālo skaitļu dalīšanas ar atlikumu algoritma darbības, mēs atbildēsim uz trim jautājumiem: ko mēs sākotnēji zinām, kas mums jāatrod, un, pamatojoties uz kādiem apsvērumiem, mēs to darīsim? Sākotnēji mēs zinām dividendi a un dalītāju b . Mums jāatrod nepilnais koeficients c un atlikums d . Vienādība a=b c+d nosaka attiecības starp dividendi, dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. No rakstītās vienādības izriet, ka, ja mēs attēlosim dividendi a kā summu b c + d, kurā d ir mazāks par b (jo atlikums vienmēr ir mazāks par dalītāju), tad mēs redzēsim gan nepilno koeficientu c, gan atlikums d.

Atliek tikai izdomāt, kā dividendi a attēlot kā summu b c + d. Šīs darbības algoritms ir ļoti līdzīgs naturālu skaitļu dalīšanas algoritmam bez atlikuma. Mēs aprakstīsim visas darbības, un tajā pašā laikā mēs veiksim piemēra risinājumu lielākas skaidrības labad. Sadaliet 899 ar 47.

Pirmie pieci algoritma punkti ļaus jums attēlot dividendi kā vairāku terminu summu. Jāpiebilst, ka darbības no šiem punktiem tiek cikliski atkārtotas atkal un atkal, līdz tiek atrasti visi termini, kas summē dividendi. Pēdējā sestajā rindkopā iegūto summu pārvērš formā b c + d (ja iegūtajai summai jau nav šīs formas), no kuras kļūst redzams vēlamais nepilnīgais koeficients un atlikums.

Tātad, mēs pārejam pie dividenžu 899 attēlojuma kā vairāku terminu summas.

Vispirms mēs aprēķinām, cik daudz rakstzīmju skaits dividenžu ierakstā ir lielāks par rakstzīmju skaitu dalītāja ierakstā, un atceramies šo skaitli.

Mūsu piemērā dividendes ierakstā ir 3 rakstzīmes (899 - trīsciparu skaitlis), un dalītāja ierakstā - divas rakstzīmes (47 - divciparu skaitlis), tāpēc dividenžu ierakstā ir par vienu zīmi vairāk, un mēs atceramies skaitli 1.

Tagad labajā pusē esošajā dalītāja ierakstā mēs pievienojam skaitļus 0 tādā daudzumā, ko nosaka iepriekšējā punktā iegūtais skaitlis. Turklāt, ja uzrakstītais skaitlis ir lielāks par dividendi, tad no iepriekšējā punktā iegaumētā skaitļa atņemiet 1.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Dalītāja 47 ierakstā mēs pievienojam vienu ciparu labajā 0, un mēs iegūstam skaitli 470. Kopš 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Pēc tam labajā pusē esošajam skaitlim 1 mēs attiecinām skaitļus 0 tādā daudzumā, ko nosaka iepriekšējā punktā iegaumētais skaitlis. Šajā gadījumā mēs iegūstam izlādes vienību, ar kuru mēs strādāsim tālāk.

Mūsu piemērā skaitlim 1 mēs piešķiram skaitli 0, šajā gadījumā mēs iegūstam skaitli 10, tas ir, mēs strādāsim ar desmitiem ciparu.

Tagad mēs secīgi reizinām dalītāju ar darba cipara vienībām 1, 2, 3, ..., līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks vai vienāds ar dalāmo.

Mēs noskaidrojām, ka mūsu piemērā darba cipars ir desmiti cipars. Tāpēc mēs vispirms reizinām dalītāju ar vienu desmitu vietas vienību, tas ir, mēs reizinām 47 ar 10, iegūstam 47 10 \u003d 470 . Iegūtais skaitlis 470 ir mazāks par dividendi 899, tāpēc mēs turpinām reizināt dalītāju ar divām desmitcipara vienībām, tas ir, mēs reizinām 47 ar 20. Mums ir 47 20=940. Mēs saņēmām skaitli, kas ir lielāks par 899.

Skaitlis, kas iegūts secīgās reizināšanas priekšpēdējā solī, ir pirmais no nepieciešamajiem vārdiem.

Analizējamajā piemērā vēlamais vienums ir skaitlis 470 (šis skaitlis ir vienāds ar reizinājumu 47 100, mēs izmantosim šo vienādību vēlāk).

Pēc tam mēs atrodam atšķirību starp dividendi un pirmo atrasto termiņu. Ja iegūtais skaitlis ir lielāks par dalītāju, turpiniet atrast otro vārdu. Lai to izdarītu, atkārtojam visas aprakstītās algoritma darbības, bet šeit iegūto skaitli jau ņemam kā dividendi. Ja šajā brīdī atkal tiek iegūts skaitlis, kas ir lielāks par dalītāju, tad mēs pārejam pie trešā vārda atrašanas, vēlreiz atkārtojot algoritma darbības, iegūstot iegūto skaitli kā dividendi. Un tā mēs ejam tālāk, atrodot ceturto, piekto un nākamos vārdus, līdz šajā punktā iegūtais skaitlis ir mazāks par dalītāju. Tiklīdz tas ir noticis, šeit iegūto skaitli ņemam par pēdējo nepieciešamo terminu (skatoties uz priekšu, pieņemsim, ka tas ir vienāds ar atlikumu) un pārejam uz pēdējo posmu.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Šajā solī mums ir 899–470=429 . Tā kā 429>47 , mēs šo skaitli ņemam kā dividendi un atkārtojam ar to visas algoritma darbības.

Skaitļa 429 ierakstā ir par vienu zīmi vairāk nekā skaitļa 47 ierakstā, tāpēc atcerieties ciparu 1.

Tagad labajā pusē esošās dividendes ierakstā pievienojam vienu ciparu 0, iegūstam skaitli 470, kas vairāk numuru 429 . Tāpēc no iepriekšējā rindkopā iegaumētā skaitļa 1 atņemam 1, iegūstam skaitli 0, kuru atceramies.

Tā kā iepriekšējā rindkopā mēs atcerējāmies skaitli 0, tad skaitlim 1 jums nav jāpiešķir viens cipars 0 labajā pusē. Šajā gadījumā mums ir skaitlis 1, tas ir, darba cipars ir vienību cipars.

Tagad mēs secīgi reizinām dalītāju 47 ar 1, 2, 3, ... Mēs par to sīkāk nepakavēsimies. Teiksim tā, ka 47 9=423<429 , а 47·10=470>429 . Otrais nepieciešamais termins ir skaitlis 423 (kas ir vienāds ar 47 9, ko mēs izmantosim tālāk).

Atšķirība starp 429 un 423 ir 6 . Šis skaitlis ir mazāks par dalītāju 47 , tāpēc tas ir trešais (un pēdējais) termins, ko mēs meklējam. Tagad mēs varam pāriet uz pēdējo posmu.

Nu, mēs nonākam pie pēdējā posma. Visas iepriekšējās darbības bija vērstas uz dividendes uzrādīšanu kā vairāku termiņu summu. Tagad atliek iegūto summu pārvērst formā b·c+d . Reizināšanas sadales īpašība attiecībā uz saskaitīšanu palīdzēs mums tikt galā ar šo uzdevumu. Pēc tam būs redzams vēlamais nepilnīgais koeficients un atlikums.

Mūsu piemērā dividende 899 ir vienāda ar trīs terminu 470, 423 un 6 summu. Summu 470+423+6 var pārrakstīt kā 47 10+47 9+6 (atcerieties, mēs pievērsām uzmanību vienādībām 470=47 10 un 423=47 9 ). Tagad pielietojam īpašību naturālu skaitli reizināt ar summu, un iegūstam 47 10+47 9+6= 47 (10+9)+6= 47 19+6 . Tādējādi dividende ir pārvērsta mums vajadzīgajā formā 899=47 19+6 , no kuras viegli atrast nepilno koeficientu 19 un atlikušo daļu 6 .

Tātad, 899:47=19 (6. rez.) .

Protams, risinot piemērus, dalīšanas procesu ar atlikumu neaprakstīsiet tik detalizēti.

Apsveriet vienkāršu piemēru:
15:5=3
Šajā piemērā mēs sadalījām naturālo skaitli 15 pilnībā 3, bez atlikuma.

Dažreiz naturālu skaitli nevar pilnībā sadalīt. Piemēram, apsveriet problēmu:
Skapī bija 16 rotaļlietas. Grupā bija pieci bērni. Katrs bērns paņēma vienādu skaitu rotaļlietu. Cik rotaļlietu ir katram bērnam?

Risinājums:
Sadaliet skaitli 16 ar 5 ar kolonnu un iegūstiet:

Mēs zinām, ka 16 reiz 5 nav dalāmi. Tuvākais mazākais skaitlis, kas dalās ar 5, ir 15, bet atlikums ir 1. Skaitli 15 varam rakstīt kā 5⋅3. Rezultātā (16 - dividende, 5 - dalītājs, 3 - daļējais koeficients, 1 - atlikums). Sapratu formula sadalīšana ar atlikumu ko var izdarīt risinājuma pārbaude.

a= b⋅ c+ d
a - dalāms
b - dalītājs,
c - nepilnīgs koeficients,
d - atlikums.

Atbilde: Katrs bērns paņems 3 rotaļlietas un viena rotaļlieta paliks.

Divīzijas atlikums

Atlikumam vienmēr jābūt mazākam par dalītāju.

Ja dalot atlikums ir nulle, tad dividende ir dalāma. pilnībā vai bez atlikuma katram dalītājam.

Ja, dalot, atlikums ir lielāks par dalītāju, tas nozīmē, ka atrastais skaitlis nav lielākais. Ir lielāks skaitlis, kas sadalīs dividendi, un atlikums būs mazāks par dalītāju.

Jautājumi par tēmu “Sadalīšana ar atlikumu”:
Vai atlikums var būt lielāks par dalītāju?
Atbilde: nē.

Vai atlikums var būt vienāds ar dalītāju?
Atbilde: nē.

Kā atrast dividendi ar nepilnīgo koeficientu, dalītāju un atlikumu?
Atbilde: mēs aizstājam formulā nepilnā koeficienta, dalītāja un atlikuma vērtības un atrodam dividendi. Formula:
a=b⋅c+d

1. piemērs:
Veiciet dalīšanu ar atlikumu un pārbaudiet: a) 258:7 b) 1873:8

Risinājums:
a) Sadaliet kolonnā:

258 — dalāms,
7 - dalītājs,
36 - nepilnīgs koeficients,
6 - atlikums. Atlikums ir mazāks par dalītāju 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Sadaliet kolonnā:

1873 - dalāms,
8 - dalītājs,
234 - nepilnīgs koeficients,
1 ir atlikums. Atlikums ir mazāks par dalītāju 1<8.

Aizstājiet formulu un pārbaudiet, vai mēs pareizi atrisinājām piemēru:
8⋅234+1=1872+1=1873

2. piemērs:
Kādus atlikumus iegūst, dalot naturālus skaitļus: a) 3 b) 8?

Atbilde:
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 3. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1 vai 2.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 8. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vai 7.

3. piemērs:
Kāds ir lielākais atlikums, ko var iegūt, dalot naturālus skaitļus: a) 9 b) 15?

Atbilde:
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 9. Bet mums jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, dalītājam tuvākais skaitlis. Šis skaitlis ir 8.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 15. Bet mums ir jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, dalītājam tuvākais skaitlis. Šis skaitlis ir 14.

4. piemērs:
Atrodiet dividendi: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Risinājums:
a) Atrisiniet, izmantojot formulu:
a=b⋅c+d
(a ir dividende, b ir dalītājs, c ir daļējais koeficients, d ir atlikums.)
a:6=3(pārējais.4)
(a ir dividende, 6 ir dalītājs, 3 ir nepilnīgais koeficients, 4 ir atlikums.) Formulā aizstājiet skaitļus:
a=6⋅3+4=22
Atbilde: a=22

b) Atrisiniet, izmantojot formulu:
a=b⋅c+d
(a ir dividende, b ir dalītājs, c ir daļējais koeficients, d ir atlikums.)
s:24=4(atpūt.11)
(c ir dividende, 24 ir dalītājs, 4 ir daļējais koeficients, 11 ir atlikums.) Formulā aizstājiet skaitļus:
c=24⋅4+11=107
Atbilde: s=107

Uzdevums:

Vads 4m. jāsagriež 13 cm gabalos. Cik no šiem gabaliem būs?

Risinājums:
Vispirms jums jāpārvērš metri uz centimetriem.
4m.=400cm.
Varat dalīt ar kolonnu vai jūsu prātā mēs iegūstam:
400:13 = 30 (pārējais 10)
Pārbaudīsim:
13⋅30+10=390+10=400

Atbilde: iznāks 30 gabali un paliks 10 cm stieples.

Rakstā analizēts veselo skaitļu dalīšanas jēdziens ar atlikumu. Teorēmu par veselu skaitļu dalāmību pierādīsim ar atlikumu un aplūkosim dalāmo un dalītāju, nepilnīgo koeficientu un atlikumu kopsakarības. Apsveriet noteikumus, kad tiek veikta veselu skaitļu sadalīšana ar atlikumiem, detalizēti izpētot ar piemēriem. Risinājuma beigās mēs veiksim pārbaudi.

Vispārīga izpratne par veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumiem

Veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu tiek uzskatīta par vispārinātu dalījumu ar naturālo skaitļu atlikumu. Tas tiek darīts, jo naturālie skaitļi ir veselu skaitļu sastāvdaļa.

Dalīšana ar patvaļīga skaitļa atlikumu saka, ka vesels skaitlis a dalās ar skaitli b , kas atšķiras no nulles. Ja b = 0, tad dalīšana ar atlikumu netiek veikta.

Tāpat kā naturālu skaitļu dalīšana ar atlikumu, tiek veikta veselu skaitļu a un b dalīšana, kur b atšķiras no nulles, ar c un d. Šajā gadījumā a un b sauc par dividendi un dalītāju, un d ir dalījuma atlikums, c ir vesels skaitlis vai daļējs koeficients.

Ja pieņemam, ka atlikums ir nenegatīvs vesels skaitlis, tad tā vērtība nav lielāka par skaitļa b moduli. Rakstīsim šādi: 0 ≤ d ≤ b . Šo nevienādību ķēdi izmanto, salīdzinot 3 vai vairāk skaitļus.

Ja c ir nepilnīgs koeficients, tad d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar b atlikums, varat īsi salabot: a: b \u003d c (paliek d).

Atlikums, dalot skaitļus a ar b, ir iespējams nulle, tad viņi saka, ka a tiek dalīts ar b pilnībā, tas ir, bez atlikuma. Dalīšana bez atlikuma tiek uzskatīta par īpašu sadalīšanas gadījumu.

Ja mēs dalām nulli ar kādu skaitli, mēs iegūstam nulli. Atlikušais sadalījums arī būs nulle. To var redzēt no teorijas par nulles dalīšanu ar veselu skaitli.

Tagad apsveriet veselo skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi.

Zināms, ka pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli, tad, dalot ar atlikumu, iegūs tādu pašu nozīmi kā naturālus skaitļus dalot ar atlikumu.

Ir jēga dalīt negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu veselu skaitli b. Apskatīsim piemēru. Iedomājieties situāciju, kad mums ir priekšmetu parāds par summu a, kas jāatmaksā b cilvēkiem. Lai to izdarītu, visiem ir jāiegulda vienāds ieguldījums. Lai noteiktu parāda summu katram, ir jāpievērš uzmanība privāto c. Atlikušais d norāda, ka ir zināms vienību skaits pēc parādu nomaksas.

Ņemsim piemēru ar āboliem. Ja 2 cilvēkiem vajag 7 ābolus. Ja parēķinām, ka katram jāatdod 4 āboli, tad pēc pilna aprēķina paliks 1 ābols. Uzrakstīsim šo kā vienādību: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

Jebkuru skaitli a dalīt ar veselu skaitli nav jēgas, taču tas ir iespējams kā opcija.

Dalāmības teorēma veseliem skaitļiem ar atlikumu

Mēs noskaidrojām, ka a ir dividende, tad b ir dalītājs, c ir daļējais koeficients un d ir atlikums. Tie ir savstarpēji saistīti. Mēs parādīsim šo sakarību, izmantojot vienādību a = b · c + d . Attiecības starp tām raksturo dalāmības teorēma ar atlikumu.

Teorēma

Jebkuru veselu skaitli var attēlot tikai ar veselu skaitli un skaitli, kas nav nulle, šādi: a = b · q + r , kur q un r ir daži veseli skaitļi. Šeit mums ir 0 ≤ r ≤ b.

Pierādīsim a = b · q + r pastāvēšanas iespējamību.

Pierādījums

Ja ir divi skaitļi a un b, un a dalās ar b bez atlikuma, tad no definīcijas izriet, ka ir skaitlis q, ka vienādība a = b · q būs patiesa. Tad vienādību var uzskatīt par patiesu: a = b q + r, ja r = 0.

Tad jāņem q tāds, kas dots ar nevienādību b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Mums ir, ka izteiksmes a − b · q vērtība ir lielāka par nulli un nav lielāka par skaitļa b vērtību, no tā izriet, ka r = a − b · q . Iegūstam, ka skaitli a var attēlot kā a = b · q + r.

Tagad mums jāapsver iespēja attēlot a = b · q + r negatīvām b vērtībām.

Skaitļa modulis izrādās pozitīvs, tad iegūstam a = b q 1 + r, kur vērtība q 1 ir kāds vesels skaitlis, r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumam 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Unikalitātes pierādījums

Pieņemsim, ka a = b q + r , q un r ir veseli skaitļi ar nosacījumu 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Un r1 ir daži skaitļi, kur q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Ja nevienādību atņem no kreisās un labās puses, tad iegūstam 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , kas ir vienāds ar r - r 1 = b · q 1 - q . Tā kā modulis tiek izmantots, mēs iegūstam vienādību r - r 1 = b · q 1 - q.

Dotais nosacījums saka, ka 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Un q 1- vesels, un q ≠ q 1, tad q 1 - q ≥ 1 . Tādējādi mēs iegūstam, ka b · q 1 - q ≥ b . Rezultātā iegūtās nevienādības r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

No tā izriet, ka skaitli a nevar attēlot citādi, kā vien ar šādu apzīmējumu a = b · q + r.

Attiecība starp dividendi, dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu

Izmantojot vienādību a \u003d b c + d, jūs varat atrast nezināmo dividendi a, ja dalītājs b ir zināms ar nepilnīgu koeficientu c un atlikumu d.

1. piemērs

Nosakiet dividendi, ja, dalot, iegūstam - 21, nepilnu koeficientu 5 un atlikumu 12.

Risinājums

Jāaprēķina dividende a ar zināmu dalītāju b = − 21, nepilnu koeficientu c = 5 un atlikumu d = 12. Mums ir jāatsaucas uz vienādību a = b c + d, no šejienes mēs iegūstam a = (− 21) 5 + 12. Ievērojot darbību secību, mēs reizinām - 21 ar 5, pēc tam iegūstam (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.

Atbilde: - 93 .

Sakarību starp dalītāju un parciālo koeficientu un atlikumu var izteikt, izmantojot vienādības: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b un d = a − b · c . Ar viņu palīdzību mēs varam aprēķināt dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. Tas nozīmē, ka pastāvīgi jāatrod vesela skaitļa a dalīšanas ar b atlikums ar zināmu dividendi, dalītāju un daļējo koeficientu. Tiek piemērota formula d = a − b · c. Apskatīsim risinājumu sīkāk.

2. piemērs

Atrodiet atlikušo daļu, dalot veselu skaitli -19 ar veselu skaitli 3 ar zināmu nepilnīgo koeficientu, kas vienāds ar -7.

Risinājums

Lai aprēķinātu dalījuma atlikumu, mēs izmantojam formulu formā d = a − b c . Pēc nosacījuma ir pieejami visi dati a = −19, b = 3, c = −7. No šejienes mēs iegūstam d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (starpība - 19 - (- 21)... Šis piemērs tiek aprēķināts, izmantojot atņemšanas noteikumu, vesels negatīvs skaitlis.

Atbilde: 2 .

Visi pozitīvie veselie skaitļi ir dabiski. No tā izriet, ka dalīšana tiek veikta saskaņā ar visiem dalīšanas noteikumiem ar naturālo skaitļu atlikumu. Dalīšanas ātrums ar naturālo skaitļu atlikumu ir svarīgs, jo uz to balstās ne tikai pozitīvo dalīšana, bet arī noteikumi par patvaļīgu veselu skaitļu dalīšanu.

Ērtākā dalīšanas metode ir kolonna, jo vienkāršāk un ātrāk ir iegūt nepilnu vai tikai koeficientu ar atlikumu. Apskatīsim risinājumu sīkāk.

3. piemērs

Sadaliet 14671 ar 54.

Risinājums

Šis dalījums jāveic kolonnā:

Tas ir, nepilnīgais koeficients ir vienāds ar 271, bet atlikums ir 37.

Atbilde: 14671: 54 = 271. (pārējais 37)

Noteikums dalīšanai ar pozitīva vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, piemēri

Lai veiktu dalīšanu ar pozitīvā skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, ir jāformulē noteikums.

1. definīcija

Pozitīva vesela skaitļa a dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli b nepilnīgais koeficients dod skaitli, kas ir pretējs nepilnīgajam skaitļu a moduļu dalījumam ar b. Tad atlikums ir atlikums, kad a tiek dalīts ar b.

Tādējādi mēs esam sapratuši, ka nepilnīgais koeficients, kas dala pozitīvu veselu skaitli ar negatīvu veselu skaitli, tiek uzskatīts par nepozitīvu veselu skaitli.

Mēs iegūstam algoritmu:

• sadalām dividendes moduli ar dalītāja moduli, tad iegūstam nepilnu koeficientu un
• atlikums;
• pierakstiet pretējo numuru.

Apsveriet algoritma piemēru pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli.

4. piemērs

Veiciet dalīšanu ar atlikušo daļu 17 ar 5.

Risinājums

Pielietosim dalīšanas algoritmu ar pozitīvā veselā skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli. Ir nepieciešams sadalīt 17 ar - 5 modulo. No šejienes mēs iegūstam, ka nepilnīgais koeficients ir 3, bet atlikums ir 2.

Mēs iegūstam vēlamo skaitli, dalot 17 ar - 5 \u003d - 3 ar atlikumu, kas vienāds ar 2.

Atbilde: 17: (- 5) = - 3 (atlikušais 2).

5. piemērs

Sadaliet 45 ar 15.

Risinājums

Ir nepieciešams sadalīt skaitļus modulo. Skaitli 45 sadalām ar 15, iegūstam koeficientu 3 bez atlikuma. Tātad skaitlis 45 dalās ar 15 bez atlikuma. Atbildē mēs saņemam - 3, jo sadalīšana tika veikta modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Atbilde: 45: (− 15) = − 3 .

Sadalīšanas noteikuma formulējums ar atlikumu ir šāds.

2. definīcija

Lai iegūtu nepilnu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli   a ar pozitīvu b, jāpiemēro šī skaitļa pretējs un no tā jāatņem 1, tad atlikumu d aprēķina pēc formulas: d = a − b · c.

Pamatojoties uz noteikumu, mēs varam secināt, ka dalot mēs iegūstam nenegatīvu veselu skaitli. Risinājuma precizitātei tiek izmantots algoritms a dalīšanai ar b ar atlikumu:

• atrast dividendes un dalītāja moduļus;
• sadalīt modulo;
• uzrakstiet dotā skaitļa pretēju un atņemiet 1 ;
• izmantojiet formulu atlikumam d = a − b c .

Apsveriet risinājuma piemēru, kurā tiek izmantots šis algoritms.

6. piemērs

Atrodiet nepilnīgo koeficientu un dalījuma atlikušo daļu - 17 ar 5.

Risinājums

Dotos skaitļus sadalām modulo. Mēs iegūstam, ka, dalot, koeficients ir 3, bet atlikums ir 2. Tā kā mums ir 3 , pretējais ir 3 . Ir nepieciešams atņemt 1 .

− 3 − 1 = − 4 .

Vēlamā vērtība ir vienāda ar -4.

Lai aprēķinātu atlikumu, jums ir nepieciešams a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , tad d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Tas nozīmē, ka dalīšanas nepilnīgais koeficients ir skaitlis - 4 ar atlikumu, kas vienāds ar 3.

Atbilde:(− 17) : 5 = − 4 (atlikušais 3).

7. piemērs

Sadaliet negatīvo veselo skaitli - 1404 ar pozitīvo 26 .

Risinājums

Ir nepieciešams dalīt ar kolonnu un moduli.

Mēs saņēmām skaitļu moduļu sadalījumu bez atlikuma. Tas nozīmē, ka dalīšana tiek veikta bez atlikuma, un vēlamais koeficients = - 54.

Atbilde: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Dalīšanas noteikums ar negatīvo veselo skaitļu atlikumu, piemēri

Ir nepieciešams formulēt dalīšanas noteikumu ar veselu negatīvu skaitļu atlikumu.

3. definīcija

Lai iegūtu nepilnu koeficientu, dalot negatīvu veselu skaitli a ar negatīvu veselu skaitli b, nepieciešams veikt moduļu aprēķinus, pēc kuriem saskaita 1, tad varam aprēķināt, izmantojot formulu d = a − b · c.

No tā izriet, ka negatīvo veselo skaitļu dalījuma nepilnīgais koeficients būs pozitīvs skaitlis.

Mēs formulējam šo noteikumu algoritma veidā:

• atrast dividendes un dalītāja moduļus;
• sadaliet dividendes moduli ar dalītāja moduli, lai iegūtu nepilnu koeficientu ar
• atlikums;
• nepilnajam koeficientam pievienojot 1;
• atlikuma aprēķins, pamatojoties uz formulu d = a − b c .

Apskatīsim šo algoritmu ar piemēru.

8. piemērs

Atrodiet daļējo koeficientu un atlikumu, dalot -17 ar -5.

Risinājums

Risinājuma pareizības labad mēs izmantojam algoritmu dalīšanai ar atlikumu. Vispirms sadaliet skaitļus modulo. No šejienes mēs iegūstam, ka nepilnīgais koeficients \u003d 3, bet atlikums ir 2. Saskaņā ar noteikumu, ir nepieciešams pievienot nepilnīgo koeficientu un 1. Mēs iegūstam, ka 3 + 1 = 4. No šejienes mēs iegūstam, ka nepilnais koeficients no doto skaitļu dalīšanas ir 4.

Lai aprēķinātu atlikumu, mēs izmantosim formulu. Pēc nosacījuma mums ir, ka a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, tad, izmantojot formulu, mēs iegūstam d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3 . Vēlamā atbilde, tas ir, atlikums, ir 3, un nepilnīgais koeficients ir 4.

Atbilde:(− 17) : (− 5) = 4 (atlikušais 3).

Veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultāta pārbaude

Pēc skaitļu dalīšanas ar atlikumu ir jāveic pārbaude. Šī pārbaude ietver 2 posmus. Vispirms pārbauda atlikumu d attiecībā uz nenegatīvismu, nosacījums 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Apskatīsim piemērus.

9. piemērs

Ražots dalījums - 521 līdz - 12. Koeficients ir 44, atlikums ir 7. Palaidiet pārbaudi.

Risinājums

Tā kā atlikums ir pozitīvs skaitlis, tā vērtība ir mazāka par dalītāja moduli. Dalītājs ir -12, tātad tā modulis ir 12. Jūs varat pāriet uz nākamo kontrolpunktu.

Pēc nosacījuma mums ir, ka a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . No šejienes mēs aprēķinām b c + d , kur b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . No tā izriet, ka vienlīdzība ir patiesa. Pārbaude nokārtota.

10. piemērs

Pārbaudes iedalījums (− 17): 5 = − 3 (atlikušais − 2). Vai vienlīdzība ir patiesa?

Risinājums

Pirmā posma nozīme ir tāda, ka ir jāpārbauda veselo skaitļu dalījums ar atlikumu. Tas parāda, ka darbība tika veikta nepareizi, jo atlikums ir vienāds ar - 2. Atlikušais nav negatīvs skaitlis.

Mums ir, ka otrais nosacījums ir izpildīts, bet nepietiekams šim gadījumam.

Atbilde: Nē.

11. piemērs

Skaitlis - 19 dalīts ar - 3 . Daļējais koeficients ir 7, bet atlikums ir 1. Pārbaudiet, vai šis aprēķins ir pareizs.

Risinājums

Ņemot vērā atlikumu 1. Viņš ir pozitīvs. Vērtība ir mazāka par dalītāja moduli, kas nozīmē, ka tiek veikts pirmais posms. Pārejam uz otro posmu.

Aprēķināsim izteiksmes vērtību b · c + d . Pēc nosacījuma mums ir b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, tāpēc, aizstājot skaitliskās vērtības, mēs iegūstam b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. No tā izriet, ka a = b · c + d vienādība nav izpildīta, jo nosacījumam ir dots a = - 19 .

Tas nozīmē, ka dalījums tika veikts ar kļūdu.

Atbilde: Nē.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Daudzciparu skaitļu sadalīšana ir visvieglāk izdarāma kolonnā. Tiek saukts arī par kolonnu dalīšanu stūra sadalījums.

Pirms sākam veikt dalīšanu ar kolonnu, sīkāk apsvērsim pašu dalīšanas ar kolonnu ierakstīšanas veidu. Pirmkārt, mēs pierakstām dividendi un novietojam vertikālu joslu pa labi no tās:

Aiz vertikālās līnijas, pretī dividendei, mēs rakstām dalītāju un zem tā novelkam horizontālu līniju:

Zem horizontālās līnijas aprēķinu rezultātā iegūtais koeficients tiks rakstīts pa posmiem:

Zem dividendes tiks rakstīti starpaprēķini:

Pilna dalījuma forma ar kolonnu ir šāda:

Kā sadalīt ar kolonnu

Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 780 ar 12, jāieraksta darbība kolonnā un jāsāk dalīt:

Sadalīšana ar kolonnu tiek veikta pa posmiem. Pirmā lieta, kas mums jādara, ir definēt nepilnīgo dividendi. Apskatiet dividendes pirmo ciparu:

šis skaitlis ir 7, jo tas ir mazāks par dalītāju, tad mēs nevaram sākt dalīt no tā, tāpēc mums ir jāņem vēl viens cipars no dividendes, skaitlis 78 ir lielāks par dalītāju, tāpēc mēs sākam dalīt no tā:

Mūsu gadījumā skaitlis 78 būs nepilnīgi dalāms, to sauc par nepilnīgu, jo tā ir tikai daļa no dalāmā.

Nosakot nepilnīgo dividendi, mēs varam uzzināt, cik ciparu būs koeficientā, lai to izdarītu, mums jāaprēķina, cik ciparu paliek dividendē pēc nepilnīgās dividendes, mūsu gadījumā ir tikai viens cipars - 0, kas nozīmē, ka koeficients sastāvēs no 2 cipariem.

Uzzinājis, cik ciparu vajadzētu parādīties privātajā, varat to vietā ievietot punktus. Ja dalījuma beigās ciparu skaits izrādījās lielāks vai mazāks par norādītajiem punktiem, tad kaut kur tika pieļauta kļūda:

Sāksim dalīt. Mums ir jānosaka, cik reižu 12 ir ietverts skaitlis 78. Lai to izdarītu, mēs secīgi reizinām dalītāju ar naturāliem skaitļiem 1, 2, 3, ..., līdz iegūstam skaitli, kas ir pēc iespējas tuvāks nepilnīgajam dalāmajam vai vienāds ar to, bet nepārsniedz to. Tādējādi mēs iegūstam skaitli 6, ierakstām to zem dalītāja un no 78 atņemam 72 (saskaņā ar kolonnas atņemšanas noteikumiem) (12 6 \u003d 72). Pēc tam, kad no 78 mēs atņēmām 72, mēs saņēmām atlikumu 6:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atlikušā dalījuma daļa parāda, vai esam izvēlējušies pareizo numuru. Ja atlikums ir vienāds ar dalītāju vai lielāks par to, tad mēs neizvēlējāmies pareizo skaitli un mums ir jāņem lielāks skaitlis.

Uz iegūto atlikumu - 6, mēs nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Rezultātā mēs saņēmām nepilnīgu dividendi - 60. Nosakām, cik reizes 12 ir ietverts skaitlis 60. Iegūstam skaitli 5, ierakstiet ieskaitiet to koeficientā aiz skaitļa 6 un no 60 atņemiet 60 (12 5 = 60). Atlikušais ir nulle:

Tā kā dividendēs vairs nav palicis neviens cipars, tas nozīmē, ka 780 ir pilnībā dalīts ar 12. Veicot dalīšanu ar kolonnu, mēs atradām koeficientu - tas ir rakstīts zem dalītāja:

Apsveriet piemēru, kur koeficientā tiek iegūtas nulles. Pieņemsim, ka mums ir jādala 9027 ar 9.

Mēs nosakām nepilnīgo dividendi - tas ir skaitlis 9. Mēs to ierakstām koeficientā 1 un atņemam 9 no 9. Atlikums izrādījās nulle. Parasti, ja starpaprēķinos atlikums ir nulle, tas netiek pierakstīts:

Mēs nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Atgādinām, ka, dalot nulli ar jebkuru skaitli, būs nulle. Mēs rakstām uz privāto nulli (0: 9 = 0) un starpaprēķinos no 0 atņemam 0. Parasti, lai nesakrautu starpaprēķinus, aprēķinu ar nulli nepieraksta:

Dividendes nākamo ciparu nojaucam - 2. Starpaprēķinos izrādījās, ka nepilnā dividende (2) ir mazāka par dalītāju (9). Šajā gadījumā koeficientā tiek ierakstīta nulle un tiek noņemts nākamais dividendes cipars:

Mēs nosakām, cik reižu 9 ir ietverts skaitlis 27. Iegūstam skaitli 3, ierakstām to koeficientā un no 27 atņemam 27. Atlikums ir nulle:

Tā kā dividendē vairs nav palicis neviens cipars, tas nozīmē, ka skaitlis 9027 ir pilnībā dalīts ar 9:

Apsveriet piemēru, kur dividendes beidzas ar nullēm. Pieņemsim, ka mums ir jādala 3000 ar 6.

Nosakām nepilnīgo dividendi - tas ir skaitlis 30. Mēs to ierakstām koeficientā 5 un no 30 atņemam 30. Atlikums ir nulle. Kā jau minēts, starpposma aprēķinos nav nepieciešams pierakstīt nulli atlikušajā daļā:

Nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Tā kā, dalot nulli ar jebkuru skaitli, būs nulle, mēs to rakstām uz privāto nulli un starpaprēķinos no 0 atņemam 0:

Dividendes nākamo ciparu nojaucam - 0. Datumā ierakstām vēl vienu nulli un starpaprēķinos no 0 atņemam 0. pašās aprēķina beigās parasti raksta, lai parādītu, ka dalīšana ir pabeigta:

Tā kā dividendēs vairs nav palicis neviens cipars, tas nozīmē, ka 3000 ir pilnībā dalīts ar 6:

Dalījums ar kolonnu ar atlikumu

Pieņemsim, ka mums ir jādala 1340 ar 23.

Mēs nosakām nepilnīgo dividendi - tas ir skaitlis 134. Mēs ierakstām koeficientu 5 un atņemam 115 no 134. Atlikums izrādījās 19:

Mēs nojaucam nākamo dividendes ciparu - 0. Nosakiet, cik reizes 23 ir ietverts skaitlis 190. Iegūstam skaitli 8, ierakstām to koeficientā un no 190 atņemam 184. Iegūstam atlikušo 6:

Tā kā dividendē vairs nav palicis neviens cipars, dalīšana ir beigusies. Rezultāts ir nepilnīgs koeficients 58 un atlikums 6:

1340: 23 = 58 (atlikušais 6)

Atliek apsvērt piemēru dalīšanai ar atlikumu, kad dividende ir mazāka par dalītāju. Pieņemsim, ka mums ir jādala 3 ar 10. Mēs redzam, ka skaitlis 3 nekad nav ietverts 10, tāpēc mēs to ierakstām koeficientā 0 un no 3 atņemam 0 (10 0 = 0). Mēs novelkam horizontālu līniju un pierakstām atlikušo daļu - 3:

3: 10 = 0 (atlikušais 3)

Kolonnu dalīšanas kalkulators

Šis kalkulators palīdzēs jums veikt dalīšanu ar kolonnu. Vienkārši ievadiet dividendi un dalītāju un noklikšķiniet uz pogas Aprēķināt.

Izlasiet nodarbības tēmu: "Sadalīšana ar atlikumu". Ko jūs jau zināt par šo tēmu?

Vai var sadalīt 8 plūmes vienādi uz diviem šķīvjiem (1. att.)?

Rīsi. 1. Piemēram, ilustrācija

Katrā šķīvī var likt 4 plūmes (2. att.).

Rīsi. 2. Piemēram, ilustrācija

Darbību, ko veicām, var uzrakstīt šādi.

8: 2 = 4

Kā jūs domājat, vai ir iespējams 8 plūmes vienādi sadalīt 3 šķīvjos (3. att.)?

Rīsi. 3. Piemēram, ilustrācija

Rīkosimies šādi. Vispirms katrā šķīvī liek vienu plūmi, tad otru plūmi. Mums paliks 2 plūmes, bet 3 šķīvji. Tāpēc mēs nevaram to sadalīt vienmērīgi. Katrā šķīvī ieliekam 2 plūmes, un mums paliek 2 plūmes (4. att.).

Rīsi. 4. Piemēram, ilustrācija

Turpināsim uzraudzību.

Izlasi skaitļus. No dotajiem skaitļiem atrodiet tos, kas dalās ar 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Pārbaudi sevi.

Atlikušie skaitļi (11, 13, 14, 16, 17, 19) nedalās ar 3, vai arī tie saka "dalīt ar atlikušo".

Noskaidrosim privāto vērtību.

Noskaidrosim, cik reižu 3 ietverts skaitlis 17 (5. att.).

Rīsi. 5. Piemēram, ilustrācija

Redzam, ka 3 ovāli iederas 5 reizes un palikuši 2 ovāli.

Veikto darbību var uzrakstīt šādi.

17: 3 = 5 (pārējais 2)

To var rakstīt arī kolonnā (6. att.)

Rīsi. 6. Piemēram, ilustrācija

Pārskatiet zīmējumus. Izskaidrojiet šo attēlu parakstus (7. att.).

Rīsi. 7. Piemēram, ilustrācija

Apsveriet pirmo attēlu (8. att.).

Rīsi. 8. Piemēram, ilustrācija

Redzam, ka 15 ovāli tika dalīti ar 2. 2 atkārtojās 7 reizes, pārējā - 1 ovāls.

Apsveriet otro attēlu (9. att.).

Rīsi. 9. Piemēram, ilustrācija

Šajā attēlā 15 kvadrāti tika dalīti ar 4. 4 tika atkārtots 3 reizes, pārējā - 3 kvadrāti.

Apsveriet trešo attēlu (10. att.).

Rīsi. 10. Piemēram, ilustrācija

Var teikt, ka 15 ovāli tika sadalīti 3. 3 atkārtojās 5 reizes vienādi. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka atlikums ir 0.

Veiksim sadalīšanu.

Mēs sadalām septiņus kvadrātus trīs. Mēs iegūstam divas grupas, un paliek viens kvadrāts. Pierakstīsim risinājumu (11. att.).

Rīsi. 11. Piemēram, ilustrācija

Veiksim sadalīšanu.

Noskaidrojam, cik reižu četri ir ietverti skaitlī 10. Redzam, ka skaitlī 10 četri ir ietverti 2 reizes un paliek 2 kvadrāti. Pierakstīsim risinājumu (12. att.).

Rīsi. 12. Piemēram, ilustrācija

Veiksim sadalīšanu.

Noskaidrojam, cik reižu divi ir ietverti skaitlī 11. Redzam, ka skaitlī 11 divi ir ietverti 5 reizes un paliek 1 kvadrāts. Pierakstīsim risinājumu (13. att.).

Rīsi. 13. Piemēram, ilustrācija

Izdarīsim secinājumu. Dalīt ar atlikumu nozīmē noskaidrot, cik reizes dalītājs ir ietverts dividendē un cik vienību paliek.

Dalīšanu ar atlikumu var veikt arī skaitļa rindā.

Uz skaitļu līnijas atzīmējam 3 dalījumu segmentus un redzēsim, ka trīs dalījumi izrādījās trīs reizes un palika viens dalījums (14. att.).

Rīsi. 14. Piemēram, ilustrācija

Pierakstīsim risinājumu.

10: 3 = 3 (pārējais 1)

Veiksim sadalīšanu.

Uz skaitliskā stara iezīmējam 3 dalījumu segmentus un redzēsim, ka trīs dalījumi izrādījās trīs reizes un palika divi dalījumi (15. att.).

Rīsi. 15. Piemēram, ilustrācija

Pierakstīsim risinājumu.

11: 3 = 3 (pārējais 2)

Veiksim sadalīšanu.

Uz skaitliskā stara atzīmējam 3 dalījumu segmentus un redzēsim, ka saņēmām tieši 4 reizes, atlikuma nav (16. att.).

Rīsi. 16. Piemēram, ilustrācija

Pierakstīsim risinājumu.

12: 3 = 4

Šodien nodarbībā iepazināmies ar dalīšanu ar atlikumu, mācījāmies veikt nosaukto darbību, izmantojot attēlu un skaitļu staru, praktizējāmies piemēru risināšanu par nodarbības tēmu.

Bibliogrāfija

1. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 1. daļa. - M .: "Apgaismība", 2012.g.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 2. daļa. - M .: "Apgaismība", 2012.g.
3. M.I. Moreau. Matemātikas stundas: Vadlīnijas skolotājiem. 3. pakāpe - M.: Izglītība, 2012.
4. Normatīvais dokuments. Mācību rezultātu uzraudzība un novērtēšana. - M.: "Apgaismība", 2011. gads.
5. "Krievijas skola": programmas pamatskolai. - M.: "Apgaismība", 2011. gads.
6. S.I. Volkovs. Matemātika: Pārbaudes darbs. 3. pakāpe - M.: Izglītība, 2012.
7. V.N. Rudņicka. Pārbaudes. - M.: "Eksāmens", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Mājasdarbs

1. Pierakstiet skaitļus, kas dalās ar 2 bez atlikuma.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Izmantojot zīmējumu, veiciet sadalīšanu ar atlikumu.

3. Veiciet dalīšanu ar atlikumu, izmantojot skaitļu līniju.

4. Izveidojiet uzdevumu saviem biedriem par stundas tēmu.