Statistikas metodoloģijas pirmā elementa būtība ir primāro datu vākšana par pētāmo objektu. Piemēram: valsts iedzīvotāju skaitīšanas laikā par katru tās teritorijā dzīvojošo tiek apkopoti dati, kas tiek ievadīti īpašā formā.

Otrais elements: kopsavilkums un grupēšana ir novērošanas posmā iegūto datu kopuma sadalīšana viendabīgās grupās pēc vienas vai vairākām pazīmēm. Piemēram, materiālu grupēšanas rezultātā tautas skaitīšana tiek sadalīta grupās (pēc dzimuma, vecuma, iedzīvotāju skaita, izglītības utt.).

Trešā statistikas metodoloģijas elementa būtība ir vispārināšanas aprēķinos un sociāli ekonomiskajā interpretācijā. statistikas rādītāji:

1. Absolūts

2. Radinieks

3. Vidēja

4. Izmaiņu rādītāji

5. Skaļruņi

Trīs galvenie statistikas metodoloģijas elementi veido arī jebkura statistikas pētījuma trīs posmus.

3. Likums lieli skaitļi un statistiskā regularitāte.

Lielo skaitļu likumam ir liela nozīme statistikas metodoloģijā. Visvairāk vispārējs skats to var formulēt šādi:

Lielo skaitļu likums ir vispārējs princips, saskaņā ar kuru notiek kumulatīvās darbības liels skaits nejaušības faktori noteiktos vispārīgos apstākļos noved pie rezultāta, kas gandrīz nav atkarīgs no nejaušības.

Lielo skaitļu likumu ģenerē īpašas masas parādību īpašības. Savukārt pēdējo masu parādības, no vienas puses, savas individualitātes dēļ atšķiras viena no otras, no otras puses, tām ir kaut kas kopīgs, kas nosaka viņu piederību noteiktai šķirai.

Viena parādība ir vairāk pakļauta nejaušu un nenozīmīgu faktoru ietekmei nekā parādību masa kopumā. Noteiktos apstākļos atsevišķas vienības pazīmes vērtību var uzskatīt par gadījuma lielumu, ņemot vērā, ka tā pakļaujas ne tikai vispārējam modelim, bet arī veidojas tādu apstākļu ietekmē, kas nav atkarīgi no šī modeļa. Tieši šī iemesla dēļ statistikā plaši tiek izmantoti vidējie rādītāji, kas ar vienu skaitli raksturo visu iedzīvotāju skaitu. Tikai ar lielu novērojumu skaitu nejaušas novirzes no galvenā attīstības virziena tiek līdzsvarotas, atceltas un skaidrāk izpaužas statistiskā likumsakarība. Tātad lielo skaitļu likuma būtība slēpjas apstāklī, ka skaitļos, kas apkopo masveida statistiskā novērojuma rezultātu, sociāli ekonomisko parādību attīstības modelis atklājas skaidrāk nekā ar nelielu statistisko pētījumu.

4. Statistikas nozares.

Notiek vēsturiskā attīstība Kā daļa no statistikas kā vienotas zinātnes ir radušās un ieguvušas zināmu neatkarību šādas nozares:

1. Vispārējā teorija statistika, kas attīsta kategoriju koncepciju un metodes sociālās dzīves kvantitatīvo modeļu mērīšanai.

2. Ekonomiskā statistika, kas pēta reprodukcijas procesu kvantitatīvos modeļus dažādos līmeņos.

3. Sociālā statistika, kas pēta sabiedrības sociālās infrastruktūras attīstības kvantitatīvo pusi (veselības aprūpes, izglītības, kultūras, morāles, tiesu u.c. statistika).

4. Nozares statistika (rūpniecības, agroindustriālā kompleksa, transporta, sakaru uc statistika).

Visas statistikas nozares, attīstot un pilnveidojot savu metodoloģiju, veicina statistikas zinātnes attīstību kopumā.

5. Statistikas zinātnes pamatjēdzieni un kategorijas kopumā.

Statistikas apkopojums ir tāda paša veida elementu kopa, kas dažos aspektos ir līdzīgi viens otram, bet citos atšķiras. Piemēram: tas ir ekonomikas nozaru kopums, universitāšu kopums, sadarbības kopums starp dizaina birojiem utt.

Atsevišķus statistiskās kopas elementus sauc par tās vienībām. Iepriekš aplūkotajos piemēros iedzīvotāju vienības ir attiecīgi nozare, universitāte (viena) un darbinieks.

Iedzīvotāju vienībām parasti ir daudz pazīmju.

Zīme ir iedzīvotāju vienību īpašība, kas izsaka to būtību un kam piemīt spēja variēt, t.i. mainīt. Pazīmes, kurām ir viena vērtība atsevišķās populācijas vienībās, sauc par mainīgām, un pašas vērtības ir izvēles iespējas.

Mainīgās zīmes tiek iedalītas atribūtīvās vai kvalitatīvās. Atribūtu sauc par atribūtīvu vai kvalitatīvu, ja tā atsevišķā vērtība (varianti) ir izteikta kā parādībai raksturīgs stāvoklis vai īpašības. Atribūtīvo pazīmju varianti tiek izteikti verbālā formā. Šādu zīmju piemēri var kalpot - ekonomiski.

Atribūtu sauc par kvantitatīvu, ja tā individuālā vērtība ir izteikta skaitļu veidā. Piemēram: alga, stipendija, vecums, OF lielums.

Saskaņā ar variācijas raksturu kvantitatīvās zīmes iedala diskrētās un nepārtrauktās.

Diskrēts - tādas kvantitatīvās zīmes, kas var iegūt tikai labi definētu, kā likums, veselu skaitli.

Nepārtraukts - ir tādas zīmes, kas noteiktās robežās var iegūt gan vesela skaitļa, gan daļskaitļa vērtību. Piemēram: valsts NKP utt.

Ir arī primārās un sekundārās pazīmes.

Galvenās pazīmes raksturo pētāmās parādības vai procesa galveno saturu un būtību.

Sekundārās zīmes dod Papildus informācija un ir tieši saistīti ar parādības iekšējo saturu.

Atkarībā no konkrēta pētījuma mērķiem vienas un tās pašas pazīmes tajos pašos gadījumos var būt primāras, bet citos sekundāras.

Statistiskais rādītājs ir kategorija, kas atspoguļo sociāli ekonomisko parādību pazīmju dimensijas un kvantitatīvos rādītājus un to kvalitatīvo noteiktību konkrētos vietas un laika apstākļos. Ir jānošķir statistiskā rādītāja saturs un tā specifiskā skaitliskā izteiksme. Saturs, t.i. kvalitatīvā noteiktība slēpjas apstāklī, ka rādītāji vienmēr raksturo sociāli ekonomiskās kategorijas (iedzīvotāji, ekonomika, finanšu institūcijas utt.). Statistisko rādītāju kvantitatīvās dimensijas, t.i. to skaitliskās vērtības galvenokārt ir atkarīgas no statistikas izpētei pakļautā objekta laika un vietas.

Sociāli ekonomiskās parādības, kā likums, nevar raksturot ar vienu rādītāju, piemēram: iedzīvotāju dzīves līmeni. Zinātniski pamatota statistisko rādītāju sistēma ir nepieciešama visaptverošam un vispusīgam pētāmo parādību raksturojumam. Šāda sistēma nav pastāvīga. Tas tiek pastāvīgi uzlabots, pamatojoties uz sociālās attīstības vajadzībām.

6. Statistikas zinātnes un prakses uzdevumi tirgus ekonomikas attīstības apstākļos.

Galvenie statistikas uzdevumi tirgus attiecību attīstības kontekstā Krievijā ir šādi:

1. Grāmatvedības un atskaišu uzlabošana un dokumentu plūsmas samazināšana uz šī pamata.

Jums ir jāizpēta šādas tēmas galvenās tēmas:

Statistikas saistība ar tirgus ekonomikas teoriju un praksi

Statistikas uzdevumi

Statistikas jēdzieni un metodes

Lielo skaitļu likums, statistiskā likumsakarība

Nodarbība 1. Ievads

1. Statistikas vēsture

Statistika ir neatkarīga sociālā zinātne, kurai ir savs pētījuma priekšmets un metode. Tas radās no sociālās dzīves praktiskajām vajadzībām. Jau iekšā senā pasaule radās nepieciešamība saskaitīt valsts iedzīvotāju skaitu, ņemt vērā militārām lietām piemērotus cilvēkus, noteikt mājlopu skaitu, zemes un citu īpašumu lielumu. Šāda veida informācija bija nepieciešama nodokļu iekasēšanai, karu vadīšanai utt. Nākotnē, attīstoties sociālajai dzīvei, vērā ņemamo parādību loks pamazām paplašinās.

Apkopotās informācijas apjoms īpaši pieaudzis līdz ar kapitālisma un pasaules ekonomisko saišu attīstību. Šī perioda vajadzības piespieda valdības iestādes un kapitālisma uzņēmumus praktiskos nolūkos vākt plašu un daudzveidīgu informāciju par darba tirgiem un preču un izejvielu pārdošanu.

17. gadsimta vidū Anglijā radās zinātnisks virziens, ko sauca par "politisko aritmētiku". Šo tendenci aizsāka Viljams Petits (1623-1687) un Džons Graunts (1620-1674). "Politiskā aritmētika", kas balstīta uz informācijas izpēti par masu sociālajām parādībām, centās atklāt sabiedriskās dzīves modeļus un tādējādi norādīt uz jautājumiem, kas radās saistībā ar kapitālisma attīstību.

Līdzās "politiskās aritmētikas" skolai Anglijā attīstījās aprakstošās statistikas jeb "valsts studiju" skola. Šīs zinātnes rašanās aizsākās 1660. gadā.

Politiskās aritmētikas un valsts zinātnes attīstība noveda pie statistikas zinātnes rašanās.

Jēdziens "statistika" cēlies no latīņu vārda "statuss", kas tulkojumā nozīmē stāvokli, stāvokli, parādību secību.

Terminu "statistika" zinātniskajā apritē ieviesa Getingenes universitātes profesors Gotfrīds Ahenvals (1719-1772).

Statistiku kā zinātni atkarībā no pētījuma objekta iedala sociālajā, demogrāfiskajā, ekonomiskajā, rūpnieciskajā, komerciālajā, banku, finanšu, medicīnas u.c. Vispārējās īpašības statistikas dati neatkarīgi no to veida un analīzes metodēm tiek uzskatīti par matemātisko statistiku un vispārējo statistikas teoriju.

Statistikas priekšmets . Statistika galvenokārt attiecas uz sabiedriskās dzīves parādību un procesu kvantitatīvo pusi. Viena no statistikas raksturīgajām iezīmēm ir tā, ka, pētot sociālo parādību un procesu kvantitatīvo pusi, tā vienmēr atspoguļo pētāmo parādību kvalitatīvās pazīmes, t.i. pēta kvantitāti nedalāmā saistībā, vienotību ar kvalitāti.

Kvalitāte zinātniskajā un filozofiskajā izpratnē ir objektam vai parādībai raksturīgās īpašības, kas atšķir šo objektu vai parādību no citiem. Kvalitāte ir tā, kas padara objektus un parādības noteiktus. Izmantojot filozofisko terminoloģiju, varam teikt, ka statistika pēta sociālās parādības kā to kvalitatīvās un kvantitatīvās noteiktības vienotību, t.i. pēta sociālo parādību mēru.

Statistikas metodoloģija . Svarīgākie statistikas metodoloģijas elementi ir:

masu novērošana

grupēšana, vispārinošu (kopsavilkuma) raksturlielumu pielietošana;

statistisko faktu analīze un vispārināšana un pētāmo parādību likumsakarību noteikšana.

Apskatīsim šos elementus tuvāk.

Lai raksturotu jebkuru masu parādību no kvantitatīvā viedokļa, vispirms ir apkopot informāciju par tās sastāvdaļām. Tas tiek panākts ar masu novērošanas palīdzību, ko veic, pamatojoties uz statistikas zinātnes izstrādātajiem noteikumiem un metodēm.

Statistikas novērošanas procesā savāktā informācija tiek pakļauta turpmākai informācijai kopsavilkums (primārā zinātniskā apstrāde), kuras laikā no visa apsekojamo vienību kopuma tiek izdalītas raksturīgās daļas (grupas) Vienību grupu un apakšgrupu atlasi no visas apsekojamās masas sauc statistikā. grupēšana . Grupēšana statistikā ir apkopotās informācijas apstrādes un analīzes pamats. To veic, pamatojoties uz noteiktiem principiem un noteikumiem.

Statistiskās informācijas apstrādes procesā apsekojamo vienību kopumu un tās atlasītās daļas, pamatojoties uz grupēšanas metodes izmantošanu, raksturo digitālo rādītāju sistēma: absolūtās un vidējās vērtības, relatīvās vērtības, dinamikas rādītāji u.c.

3. Statistikas uzdevumi

Pilnīga un uzticama statistiskā informācija ir nepieciešamais pamats, uz kura balstās ekonomikas vadības process. Vadības lēmumu pieņemšana visos līmeņos, sākot no valsts vai reģionālā līmeņa līdz atsevišķas korporācijas vai privāta uzņēmuma līmenim, nav iespējama bez oficiālas statistikas atbalsta.

Tieši statistikas dati ļauj noteikt iekšzemes kopprodukta un nacionālā ienākuma apjomu, identificēt galvenās tautsaimniecības nozaru attīstības tendences, novērtēt inflācijas līmeni, analizēt finanšu un preču tirgu stāvokli, pētīt iedzīvotāju dzīves līmeni un citas sociāli ekonomiskās parādības un procesus.

Statistika ir zinātne, kas pēta masu parādību un procesu kvantitatīvo pusi ciešā saistībā ar to kvalitatīvo pusi, sabiedrības attīstības likumu kvantitatīvu izpausmi konkrētos vietas un laika apstākļos.

Par iegūšanu statistiskā informācija valsts un departamentu statistikas iestādes, kā arī komercstruktūras veic dažāda veida statistikas pētījumus. Kā jau minēts, statistiskās izpētes process ietver trīs galvenos posmus: datu vākšanu, to apkopošanu un grupēšanu, vispārinošo rādītāju analīzi un aprēķināšanu.

Visu turpmāko darbu rezultāti un kvalitāte lielā mērā ir atkarīgi no tā, kā primārais statistikas materiāls tiek savākts, kā tas tiek apstrādāts un grupēts. Nepietiekama statistiskās novērošanas programma-metodisko un organizatorisko aspektu izstrāde, savākto datu loģiskās un aritmētiskās kontroles trūkums, grupu veidošanas principu neievērošana galu galā var novest pie absolūti kļūdainiem secinājumiem.

Ne mazāk sarežģīts, laikietilpīgs un atbildīgs ir pētījuma pēdējais, analītiskais posms. Šajā posmā tiek aprēķināti vidējie rādītāji un sadalījuma rādītāji, analizēta populācijas struktūra, pētīta dinamika un sakarības starp pētāmajām parādībām un procesiem.

Visos pētījuma posmos izmantotās datu vākšanas, apstrādes un analīzes metodes un metodes ir vispārējās statistikas teorijas, kas ir statistikas zinātnes pamatnozare, izpētes priekšmets. Izstrādātā metodika tiek izmantota makroekonomikas statistikā, nozaru statistikā (rūpniecība, lauksaimniecība, pārējā tirdzniecība), iedzīvotāju statistikā, sociālajā statistikā un citās statistikas jomās. Statistikas lielā nozīme sabiedrībā tiek skaidrota ar to, ka tā ir viens no elementārākajiem, viens no svarīgākajiem līdzekļiem, ar kuru saimnieciskā vienība veic uzskaiti ekonomikā.

Grāmatvedība ir veids, kā sistemātiski mērīt un pētīt vispārinātas parādības, izmantojot kvantitatīvās metodes.

Katram kvantitatīvo attiecību pētījumam ir savs konts. Dažādas kvantitatīvās attiecības starp parādībām var attēlot noteiktu matemātisko formulu veidā, un tas pats par sevi vēl nebūs pārskats. Viena no grāmatvedības raksturīgajām iezīmēm ir INDIVIDUĀLO elementu, INDIVIDUĀLU vienību aprēķins, kas veido to vai citu parādību. Grāmatvedībā tiek izmantotas dažādas matemātiskās formulas, taču to pielietojums obligāti ir saistīts ar elementu skaitīšanu.

Grāmatvedība ir vispārinātās attīstības procesā iegūto rezultātu kontroles un vispārināšanas līdzeklis.

Tādējādi statistika ir vissvarīgākais instruments ekonomikas un citu sociālās attīstības likumu izpratnei un izmantošanai.

Ekonomikas reforma statistikas zinātnei un praksei izvirza kvalitatīvi jaunus uzdevumus. Saskaņā ar valsts programmu Krievijas pārejai uz starptautiski pieņemto grāmatvedības un statistikas sistēmu, tiek reorganizēta statistiskās informācijas vākšanas sistēma un pilnveidota tirgus procesu un parādību analīzes metodika.

Pasaules praksē plaši izmantotā Nacionālo kontu sistēma (NNS) atbilst tirgus attiecību īpatnībām un prasībām. Līdz ar to pāreja uz tirgus ekonomiku ļāva SNA ieviest statistikas un grāmatvedības uzskaitē, atspoguļojot tirgus ekonomikas nozaru darbību.

Tas nepieciešams vispusīgai ekonomikas analīzei makro līmenī un informācijas sniegšanai starptautiskajām ekonomiskajām organizācijām, ar kurām Krievija sadarbojas.

Statistikai ir liela nozīme informācijas un analītiskā atbalsta nodrošināšanā attīstībai ekonomikas reforma. Šī procesa vienīgais mērķis ir ekonomikas stāvokļa un attīstības pašreizējā posmā novērtēšana, analīze un prognozēšana.

Lielo skaitļu likumam ir liela nozīme statistikas metodoloģijā. Vispārīgākajā formā to var formulēt šādi:

Lielo skaitļu likums ir vispārējs princips, saskaņā ar kuru liela skaita nejaušu faktoru kumulatīvā darbība noteiktos vispārīgos apstākļos noved pie rezultāta, kas gandrīz nav atkarīgs no nejaušības.

Lielo skaitļu likumu ģenerē īpašas masas parādību īpašības. Savukārt pēdējo masu parādības, no vienas puses, savas individualitātes dēļ atšķiras viena no otras, no otras puses, tām ir kaut kas kopīgs, kas nosaka viņu piederību noteiktai šķirai.

Viena parādība ir vairāk pakļauta nejaušu un nenozīmīgu faktoru ietekmei nekā parādību masa kopumā. Noteiktos apstākļos atsevišķas vienības pazīmes vērtību var uzskatīt par gadījuma lielumu, ņemot vērā, ka tā pakļaujas ne tikai vispārējam modelim, bet arī veidojas tādu apstākļu ietekmē, kas nav atkarīgi no šī modeļa. Tieši šī iemesla dēļ statistikā plaši tiek izmantoti vidējie rādītāji, kas ar vienu skaitli raksturo visu iedzīvotāju skaitu. Tikai ar lielu novērojumu skaitu nejaušas novirzes no galvenā attīstības virziena tiek līdzsvarotas, atceltas un skaidrāk izpaužas statistiskā likumsakarība. Tādējādi lielo skaitļu likuma būtība slēpjas faktā, ka masveida statistisko novērojumu rezultātu apkopojošajos skaitļos skaidrāk nekā ar nelielu statistikas pētījumu atklājas sociāli ekonomisko parādību attīstības modelis.

LIELO SKAITĻU LIKUMS

Ekonomika. Vārdnīca. - M.: "INFRA-M", Izdevniecība "Ves Mir". J. Bleks. Galvenā redakcija: ekonomikas doktors Osadčaja I.M. . 2000 .

Raizbergs B.A., Lozovskis L.Š., Starodubceva E.B. . Mūsdienu ekonomikas vārdnīca. - 2. izdevums, labots. Maskava: INFRA-M. 479 lpp. . 1999. gads

Ekonomikas vārdnīca. 2000 .

Skatiet, kas ir "Lielo skaitļu likums" citās vārdnīcās:

LIELO SKAITĻU LIKUMS- skatiet LIELO CIPARU LIKUMU. Antinazi. Socioloģijas enciklopēdija, 2009 ... Socioloģijas enciklopēdija

Lielo skaitļu likums- princips, saskaņā ar kuru masu sociālajām parādībām raksturīgie kvantitatīvie modeļi visspilgtāk izpaužas ar pietiekami lielu novērojumu skaitu. Atsevišķas parādības ir vairāk pakļautas nejaušībai un ... ... Uzņēmējdarbības terminu vārdnīca

LIELO SKAITĻU LIKUMS- norāda, ka ar varbūtību tuvu vienam, liela skaitļa vidējais aritmētiskais nejaušie mainīgie aptuveni viena lieluma kārta maz atšķirsies no konstantes, kas vienāda ar šo lielumu matemātisko gaidu vidējo aritmētisko. Atšķirība ... ... Ģeoloģiskā enciklopēdija

lielo skaitļu likums- - [Ja.N. Luginskis, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirovs. Angļu krievu elektrotehnikas un enerģētikas vārdnīca, Maskava, 1999] Elektrotehnikas tēmas, pamatjēdzieni EN likums par vidējo lielo skaitļu likumu ... Tehniskā tulka rokasgrāmata

Lielo skaitļu likums- varbūtības teorijā apgalvo, ka pietiekami lielas ierobežotas izlases empīriskais vidējais (vidējais aritmētiskais) no fiksēta sadalījuma ir tuvu šī sadalījuma teorētiskajam vidējam (gaidāmajam). Atkarībā no ... Wikipedia

lielo skaitļu likums- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. lielo skaitļu likums vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. lielo skaitļu likums, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

LIELO SKAITĻU LIKUMS- vispārējs princips, kura dēļ nejaušu faktoru kombinācija noteiktos ļoti vispārīgos apstākļos noved pie rezultāta, kas ir gandrīz neatkarīgs no nejaušības. Nejauša notikuma rašanās biežuma konverģence ar tā varbūtību, palielinoties skaitam ... ... Krievijas socioloģiskā enciklopēdija

Lielo skaitļu likums- likums, kas nosaka, ka liela skaita nejaušu faktoru kumulatīvā darbība dažos ļoti vispārīgos apstākļos noved pie rezultāta, kas ir gandrīz neatkarīgs no nejaušības ... Socioloģija: vārdnīca

LIELO SKAITĻU LIKUMS- statistikas likums, kas izsaka izlases un kopas statistisko rādītāju (parametru) saistību. No noteikta izlases iegūto statistisko rādītāju faktiskās vērtības vienmēr atšķiras no t.s. teorētiskā ... ... Socioloģija: Enciklopēdija

LIELO SKAITĻU LIKUMS- princips, ka noteikta veida finansiālo zaudējumu biežumu var prognozēt ar augstu precizitāti, ja ir liels skaits līdzīga veida zaudējumu ... enciklopēdiskā vārdnīca ekonomika un tiesības

Lielo skaitļu likums

Ikdienā darbā vai mācībās sadarbojoties ar skaitļiem un skaitļiem, daudzi no mums pat nenojauš, ka pastāv kāds ļoti interesants lielo skaitļu likums, ko izmanto, piemēram, statistikā, ekonomikā un pat psiholoģiskajos un pedagoģiskos pētījumos. Tas attiecas uz varbūtības teoriju un saka, ka jebkuras lielas izlases vidējais aritmētiskais no fiksēta sadalījuma ir tuvu šī sadalījuma matemātiskajam sagaidāmajam.

Droši vien pamanījāt, ka nav viegli izprast šī likuma būtību, īpaši tiem, kas nav īpaši draudzīgi ar matemātiku. Pamatojoties uz to, mēs vēlētos par to runāt vienkārša valoda(protams iespēju robežās), lai katrs vismaz aptuveni pats saprastu, kas tas ir. Šīs zināšanas palīdzēs labāk izprast dažus matemātiskos modeļus, kļūt erudītākam un pozitīvi ietekmēt domāšanas attīstību.

Lielo skaitļu likuma jēdzieni un tā interpretācija

Papildus iepriekšminētajai lielo skaitļu likuma definīcijai varbūtību teorijā, mēs varam sniegt tā ekonomisko interpretāciju. Šajā gadījumā tas atspoguļo principu, pēc kura var paredzēt noteikta veida finansiālo zaudējumu biežumu augsta pakāpe uzticamība, ja tiek novērota augsts līmenisšāda veida zaudējumiem kopumā.

Turklāt, atkarībā no pazīmju konverģences līmeņa, mēs varam atšķirt lielo skaitļu vājos un pastiprinātos likumus. Mēs runājam par vāju, ja iespējams, ka konverģence pastāv, un par spēcīgu, ja konverģence pastāv gandrīz visā.

Ja mēs to interpretējam nedaudz savādāk, tad jāsaka tā: vienmēr ir iespējams atrast tik ierobežotu skaitu izmēģinājumu, kur ar jebkuru iepriekš ieprogrammētu varbūtību, kas ir mazāka par vienu, kāda notikuma relatīvais rašanās biežums ļoti maz atšķirsies no tā varbūtības.

Tādējādi lielo skaitļu likuma vispārējo būtību var izteikt šādi: liela skaita identisku un neatkarīgu nejaušības faktoru kompleksās darbības rezultāts būs tāds rezultāts, kas nav atkarīgs no nejaušības. Un runājot vēl vienkāršākā valodā, tad lielo skaitļu likumā masu parādību kvantitatīvie likumi skaidri izpaudīsies tikai tad, kad to būs liels skaits (tāpēc arī lielo skaitļu likumu sauc par likumu).

No tā mēs varam secināt, ka likuma būtība ir tāda, ka skaitļos, kas iegūti ar masu novērojumiem, ir kāda pareizība, kuru nav iespējams atklāt nelielā skaitā faktu.

Lielo skaitļu likuma būtība un tā piemēri

Lielo skaitļu likums izsaka visvispārīgākos nejaušības un vajadzīgās shēmas. Kad nejaušas novirzes viena otru "dzēš", vienai un tai pašai struktūrai noteiktie vidējie lielumi iegūst tipisku formu. Tie atspoguļo būtisku un pastāvīgu faktu darbību konkrētos laika un vietas apstākļos.

Lielo skaitļu likumā noteiktās likumsakarības ir spēcīgas tikai tad, ja tās atspoguļo masu tendences, un tās nevar būt likumi atsevišķiem gadījumiem. Tādējādi princips matemātiskā statistika, kurā teikts, ka vairāku nejaušu faktoru sarežģīta darbība var izraisīt nejaušu rezultātu. Un visspilgtākais šī principa darbības piemērs ir nejauša notikuma rašanās biežuma un tā varbūtības konverģence, kad palielinās izmēģinājumu skaits.

Atcerēsimies parasto monētu mešanu. Teorētiski galvas un astes var izkrist ar tādu pašu varbūtību. Tas nozīmē, ka, piemēram, ja monēta tiek izmesta 10 reizes, 5 no tām jāpaceļas ar galvām un 5 jāpaceļas uz augšu. Bet visi zina, ka tas gandrīz nekad nenotiek, jo galvas un astes biežuma attiecība var būt 4 pret 6 un 9 pret 1, un 2 pret 8 utt. Taču, palielinoties monētu metienu skaitam, piemēram, līdz 100, varbūtība, ka galvas vai astes izkritīs, sasniedz 50%. Ja teorētiski tiek veikts bezgalīgs skaits šādu eksperimentu, varbūtība, ka monēta izkritīs no abām pusēm, vienmēr būs 50%.

To, kā tieši monēta nokritīs, ietekmē milzīgs skaits nejaušu faktoru. Tas ir monētas novietojums plaukstā un spēks, ar kādu tiek izdarīts metiens, un kritiena augstums un ātrums utt. Bet, ja ir daudz eksperimentu, neatkarīgi no tā, kā faktori darbojas, vienmēr var apgalvot, ka praktiskā varbūtība ir tuvu teorētiskajai varbūtībai.

Un šeit ir vēl viens piemērs, kas palīdzēs izprast lielo skaitļu likuma būtību: pieņemsim, ka mums ir jānovērtē cilvēku ienākumu līmenis noteiktā reģionā. Ja mēs ņemam vērā 10 novērojumus, kur 9 cilvēki saņem 20 tūkstošus rubļu, bet 1 persona - 500 tūkstošus rubļu, vidējais aritmētiskais būs 68 tūkstoši rubļu, kas, protams, ir maz ticams. Bet, ja ņem vērā 100 novērojumus, kur 99 cilvēki saņem 20 tūkstošus rubļu, bet 1 cilvēks - 500 tūkstošus rubļu, tad, aprēķinot vidējo aritmētisko, mēs iegūstam 24,8 tūkstošus rubļu, kas jau ir tuvāk reālajam stāvoklim. Palielinot novērojumu skaitu, mēs piespiedīsim vidējo vērtību virzīties uz patieso vērtību.

Tieši šī iemesla dēļ, lai piemērotu lielo skaitļu likumu, vispirms ir jāsavāc statistikas materiāls, lai, izpētot lielu skaitu novērojumu, iegūtu patiesus rezultātus. Tāpēc ir ērti izmantot šo likumu, atkal, statistikā vai sociālajā ekonomikā.

Summējot

Lielo skaitļu likuma darbības nozīmi ir grūti pārvērtēt jebkurā zinātnes atziņu jomā, un jo īpaši zinātnes attīstībai statistikas teorijas un statistikas zināšanu metožu jomā. Liela nozīme likuma darbībai ir arī pašiem pētāmajiem objektiem ar to masu likumsakarībām. Gandrīz visas statistiskās novērošanas metodes ir balstītas uz lielo skaitļu likumu un matemātiskās statistikas principu.

Bet, pat neņemot vērā zinātni un statistiku kā tādu, mēs varam droši secināt, ka lielo skaitļu likums nav tikai parādība no varbūtības teorijas jomas, bet gan parādība, ar kuru mēs sastopamies gandrīz katru dienu savā dzīvē.

Mēs ceram, ka tagad jums ir kļuvusi skaidrāka lielo skaitļu likuma būtība, un jūs varat to viegli un vienkārši izskaidrot kādam citam. Un, ja matemātikas un varbūtību teorijas tēma jums principā ir interesanta, tad iesakām izlasīt par Fibonači skaitļiem un Monty Hall paradoksu. Skatiet arī aptuvenos aprēķinus dzīves situācijas un populārākie numuri. Un, protams, pievērsiet uzmanību mūsu kognitīvo zinātņu kursam, jo ​​pēc tā nokārtošanas jūs ne tikai apgūsit jaunas domāšanas tehnikas, bet arī uzlabosiet savas kognitīvās spējas kopumā, arī matemātiskās.

1.1.4. Statistikas metode

Statistikas metode ietver šādu darbību secību:

statistiskās hipotēzes izstrāde,

statistikas datu kopsavilkums un grupēšana,

Katra posma pāreja ir saistīta ar īpašu metožu izmantošanu, ko izskaidro veiktā darba saturs.

1.1.5. Statistikas uzdevumi

Sociāli ekonomisko parādību attīstību, dinamiku, stāvokli raksturojošu hipotēžu sistēmas izstrāde.

Statistikas darbības organizēšana.

Analīzes metodoloģijas izstrāde.

Rādītāju sistēmas izstrāde tautsaimniecības vadīšanai makro un mikro līmenī.

Popularizēt statistisko novērojumu datus.

1.1.6. Lielo skaitļu likums un tā loma statistisko likumsakarību izpētē

Sociālo likumu masveida raksturs un to darbību oriģinalitāte nosaka nepieciešamību pēc apkopoto datu izpētes.

Lielo skaitļu likumu ģenerē īpašas masas parādību īpašības. Pēdējie savas individualitātes dēļ, no vienas puses, atšķiras viens no otra, un, no otras puses, tiem ir kaut kas kopīgs, pateicoties piederībai noteiktai klasei, sugai. Turklāt atsevišķas parādības ir vairāk pakļautas nejaušu faktoru ietekmei nekā to kopums.

Lielo skaitļu likums savā vienkāršākajā formā nosaka, ka masu parādību kvantitatīvās likumsakarības skaidri izpaužas tikai pietiekami lielā skaitā.

Tātad tās būtība slēpjas apstāklī, ka masveida novērošanas rezultātā iegūtajos skaitļos parādās noteiktas likumsakarības, kuras nav konstatējamas nelielā skaitā faktu.

Lielo skaitļu likums izsaka nejaušā un vajadzīgā dialektiku. Savstarpējas nejaušu noviržu atcelšanas rezultātā viena veida vērtībai aprēķinātās vidējās vērtības kļūst tipiskas, atspoguļojot pastāvīgu un nozīmīgu faktu darbību noteiktos vietas un laika apstākļos.

Lielo skaitļu likuma atklātās tendences un likumsakarības ir spēkā tikai kā masu tendences, bet ne kā likumi katram atsevišķam gadījumam.

Lielo skaitļu likuma darbības izpausmi var redzēt daudzās statistikas pētītās sabiedriskās dzīves parādību jomās. Piemēram, vidējā izlaide uz vienu strādnieku, produkta vidējās vienības izmaksas, vidējā alga un citi statistiskie raksturlielumi izsaka konkrētai masas parādībai kopīgus modeļus. Tādējādi lielo skaitļu likums veicina masu parādību modeļu izpaušanu kā objektīvu nepieciešamību to attīstībai.

1.1.7. Galvenās statistikas kategorijas un jēdzieni: statistiskā kopa, populācijas vienība, zīme, variācija, statistiskais rādītājs, rādītāju sistēma

Tā kā statistika attiecas uz masu parādībām, galvenais jēdziens ir statistikas kopums.

Populācija - tas ir statistikas pētītu objektu vai parādību kopums, kam ir viena vai vairākas kopīgas pazīmes un kas atšķiras viena no otras citos veidos. Tā, piemēram, nosakot mazumtirdzniecības apgrozījuma apjomu, visi tirdzniecības uzņēmumi, kas pārdod preces iedzīvotājiem, tiek uzskatīti par vienotu statistikas agregātu - “mazumtirdzniecība”.

E iedzīvotāju vienība – tas ir primārais statistiskās kopas elements, kas ir reģistrējamo pazīmju nesējs un apsekojuma laikā uzturētā konta pamats.

Piemēram, komerciekārtu skaitīšanā novērojamā vienība ir tirdzniecības uzņēmums, bet iedzīvotāju vienība ir to aprīkojums (skaitītāji, saldēšanas iekārtas utt.).

zīme — Šis raksturīga īpašība pētāmā parādība, kas to atšķir no citām parādībām. Pazīmes var raksturot ar vairākām statistiskām vērtībām.

Dažādās statistikas nozarēs tiek pētītas dažādas pazīmes. Tātad, piemēram, pētījuma objekts ir uzņēmums, un tā pazīmes ir produkta veids, produkcijas apjoms, darbinieku skaits utt. Vai arī objekts ir atsevišķa persona, un pazīmes ir dzimums, vecums, tautība, augums, svars utt.

Tādējādi statistikas pazīmes, t.i. novērošanas objektiem ir ļoti daudz īpašību, īpašību. Visu to daudzveidību parasti iedala divās lielās grupās: kvalitātes pazīmes un kvantitātes pazīmes.

Kvalitatīva zīme (atribūtīvs) - zīme, kuras individuālās nozīmes tiek izteiktas jēdzienu, nosaukumu formā.

Profesija - virpotājs, atslēdznieks, tehnologs, skolotājs, ārsts u.c.

Kvantitatīvā zīme - zīme, kuras noteiktām vērtībām ir kvantitatīvās izteiksmes.

Augstums - 185, 172, 164, 158.

Svars - 105, 72, 54, 48.

Katram pētījuma objektam var būt vairākas statistiskas pazīmes, taču no objekta uz objektu dažas pazīmes mainās, citas paliek nemainīgas. Pazīmju maiņa no viena objekta uz citu tiek saukta par mainīgo. Tieši šīs pazīmes tiek pētītas statistikā, jo nav interesanti pētīt nemainīgu pazīmi. Pieņemsim, ka jūsu grupā ir tikai vīrieši, katram ir viens atribūts (dzimums – vīrietis) un uz šī pamata vairs nav ko teikt. Un ja ir sievietes, tad jau var aprēķināt viņu procentuālo daļu grupā, sieviešu skaita izmaiņu dinamiku pa mēnešiem skolas gads un utt.

Variācija zīme - tā ir daudzveidība, atribūta vērtības mainīgums novērojamās populācijas atsevišķās vienībās.

Pazīmes variācija - dzimums - vīrietis, sieviete.

Algas variācijas - 10000, 100000, 1000000.

Tiek sauktas individuālās raksturīgās vērtības iespējasšī zīme.

Parādības un procesus sabiedrības dzīvē pēta statistika caur statistikas rādītājiem.

statistika - tas ir vispārinošs raksturlielums kādai statistiskās kopas vai tās daļas īpašībai. Ar to tas atšķiras no zīmes (īpašuma, kas raksturīga iedzīvotāju vienībai). Piemēram, GPA semestrī studentu grupai ir statistisks rādītājs. Rezultāts kādā konkrētā studenta priekšmetā ir zīme.

Statistisko rādītāju sistēma ir savstarpēji saistītu statistisko rādītāju kopums, kas vispusīgi atspoguļo sabiedriskās dzīves procesus noteiktos vietas un laika apstākļos.

Lielo skaitļu likums. statistiskā regularitāte

Statistikas jēdziens un galvenie tās noteikumi

Statistika kā iedzīvotāju parametrs

Lielo skaitļu likums. statistiskā regularitāte

Zēns vai meitene

Iedzīvotāju statistikā izmantotās pētījumu metodes

Bibliogrāfija

Vārds statistika V astoņpadsmitā vidus V. sāka apzīmēt dažāda veida faktiskās informācijas kopumu par stāvokļiem (no latīņu valodas “statuss” - valsts). Šāda informācija ietvēra datus par valstu iedzīvotāju skaitu un kustību, to teritoriālo iedalījumu un administratīvo struktūru, ekonomiku utt.

Pašlaik terminam "statistika" ir vairākas saistītas nozīmes. Viens no tiem cieši atbilst iepriekšminētajam. Statistika bieži tiek saukta par faktu kopumu par konkrētu valsti. Galvenie tiek sistemātiski publicēti īpašos izdevumos noteiktajā formā.

Tomēr mūsdienu statistika šī vārda aplūkotajā nozīmē atšķiras no pagājušo gadsimtu “atskaites stāvokļa” ne tikai ar tajā ietvertās informācijas ievērojami palielināto pilnīgumu un daudzpusību. Runājot par informācijas būtību, tagad tā ietver tikai saņemto kvantitatīvi izteiksme. Tātad statistika neietver informāciju par to, vai konkrētā valsts ir monarhija vai republika. Kāda valoda tajā pieņemta par valsts valodu utt.

Bet tajā ir iekļauti kvantitatīvi dati par to cilvēku skaitu, kuri lieto šo vai citu valodu kā savu runu. Statistika neietver personu sarakstu un atrašanās vietu kartē teritoriālās vienībasštatos, bet ietver kvantitatīvus datus par iedzīvotāju sadalījumu, nozari utt.

Informācijai, kas veido statistiku, kopīga iezīme ir tā, ka tā vienmēr attiecas nevis uz vienu atsevišķu (atsevišķu) parādību, bet aptver kopsavilkuma raksturlielumus. visa rindašādas parādības, vai, kā saka, viņu kopums. Atsevišķa parādība no kopuma atšķiras ar tās nesadalāmību neatkarīgi eksistējošos un līdzīgos veidojošos elementos. Kopums sastāv tikai no šādiem elementiem. Viena no agregāta elementiem pazušana to kā tādu neiznīcina.

Tādējādi pilsētas iedzīvotāji paliek tās iedzīvotāji arī pēc tam, kad viens no tās locekļiem ir miris vai pārcēlies uz citu.

Dažādi agregāti un to vienības patiesībā ir apvienoti un savīti viens ar otru, dažkārt ļoti sarežģītos kompleksos. Statistikas īpatnība ir tā, ka visos gadījumos tās dati attiecas uz iedzīvotājiem. Atsevišķu atsevišķo parādību īpašības ietilpst tās redzeslokā tikai kā pamats kopuma kopsavilkuma raksturlielumu iegūšanai.

Piemēram, laulības reģistrācijai ir noteikta nozīme konkrētam pārim, kas to noslēdz, no tā izriet noteiktas tiesības un pienākumi katram laulātajam. Statistika ietver tikai kopsavilkuma datus par laulību skaitu, par laulību slēdzēju sastāvu - pēc vecuma, pēc iztikas avotiem u.c. Atsevišķi laulību gadījumi statistikā interesē tikai tiktāl, ciktāl, pamatojoties uz informāciju par tiem, ir iespējams iegūt kopsavilkuma datus.

Statistika kā iedzīvotāju parametrs

Pēdējā laikā jēdziens "statistika" bieži tiek saprasts nedaudz šaurākā, bet precīzāk definētā nozīmē, kas saistīta ar atsevišķu novērojumu sērijas rezultātu apstrādi.

Iedomāsimies, ka novērojumu rezultātā ieguvām skaitļus x 1 , x 2 . x n. Šie skaitļi tiek uzskatīti par vienu no iespējamām kopas realizācijām n daudzumus to kombinācijā.

Statistika ir parametrs f atkarībā no x 1 , x 2 . x n. Tā kā šie lielumi, kā minēts, ir viena no to iespējamajām realizācijām, šī parametra vērtība arī izrādās viena no daudzajām iespējamām vērtībām. Tāpēc katrai statistikai šajā ziņā ir savs varbūtības sadalījums (tas ir, jebkurai dotais numurs a pastāv iespēja, ka f būs ne vairāk kā a).

Salīdzinot ar termina “statistika” saturu iepriekš apskatītajā izpratnē, šeit, pirmkārt, tiek domāts tā sašaurināšanās katru reizi līdz vienai vērtībai - parametram, kas neizslēdz vairāku parametru (vairāku statistiku) kopīgu izskatīšanu vienā sarežģītā problēmā. Otrkārt, tas uzsver matemātiskā noteikuma (algoritma) klātbūtni parametra vērtības iegūšanai no novērojumu rezultātu kopuma: aprēķina to vidējo aritmētisko, ņem maksimālo no piegādātajām vērtībām, aprēķina dažu viņu īpašās grupas skaita attiecību pret kopējais skaits utt.

Visbeidzot norādītajā nozīmē termins "statistika" tiek attiecināts uz parametru, kas iegūts no novērojumu rezultātiem jebkurā parādību jomā - sociālajā un citās. Tā varētu būt vidējā raža vai meža priežu vidējais laidums, vai kādas zvaigznes atkārtotu paralakses mērījumu vidējais rezultāts utt. šajā nozīmē termins "statistika" galvenokārt tiek lietots matemātiskajā statistikā, kas, tāpat kā jebkura matemātikas nozare, nevar aprobežoties ar vienu vai otru parādību jomu.

Ar statistiku saprot arī tās “turēšanas” procesu, t.i. informācijas vākšanas un apstrādes process par faktiem, kas nepieciešami statistikas iegūšanai abās aplūkotajās nozīmēs.

Tajā pašā laikā statistikai nepieciešamo informāciju var vākt tikai ar mērķi iegūt vispārīgus raksturlielumus noteikta veida lietu masai, t.i. Statistikas vajadzībām tas ir dabiski. Tāda, piemēram, ir tautas skaitīšanas laikā savāktā informācija.

Lielo skaitļu likums. Statistiskā regularitāte.

Jebkuru masu parādību izpētes pieredzes galvenais vispārinājums ir lielo skaitļu likums. Atsevišķa individuāla parādība, kas tiek uzskatīta par vienu no šāda veida parādībām, satur nejaušības elementu: tā var būt vai nebūt, tā vai tā. Kad liels skaits šādu parādību tiek apvienotas vispārīgās īpašības visā to masā jo lielākā mērā izzūd nejaušība, jo vairāk tiek saistītas atsevišķas parādības.

Matemātika, jo īpaši varbūtības teorija, aplūkota tīri kvantitatīvā aspektā, lielo skaitļu likums, to izsaka ar veselu matemātisko teorēmu ķēdi. Tie parāda, kādos apstākļos un cik lielā mērā var rēķināties ar nejaušības neesamību masu aptverošajos raksturlielumos, kā tas ir saistīts ar tajos ietverto atsevišķo parādību skaitu. Statistika balstās uz šīm teorēmām katras konkrētas masas parādības izpētē.

regularitāte, kas izpaudās tikai lielā parādību masā, pārvarot tās atsevišķiem elementiem raksturīgo nejaušību, sauc par statistiskā regularitāte .

Dažos gadījumos statistika saskaras ar uzdevumu izmērīt tās izpausmes, savukārt pati tās esamība teorētiski ir skaidra jau iepriekš.

Citos gadījumos likumsakarību var atrast empīriski, izmantojot statistiku. Tādā veidā, piemēram, tika konstatēts, ka, palielinoties ģimenes ienākumiem tās budžetā, samazinās izdevumu procents pārtikai.

Tātad, kad vien statistika kādas parādības izpētē sasniedz vispārinājumus un atrod tajā funkcionējošu likumsakarību, tā uzreiz kļūst par tās konkrētās zinātnes īpašumu, kuras interešu lokā šī parādība ietilpst. Tāpēc katrai statistikai darbojas kā metode.

Ņemot vērā masu novērošanas rezultātus, statistika atrod tajos līdzības un atšķirības, apvieno elementus grupās, atklājot dažādus tipus, diferencējot visu novēroto masu pēc šiem tipiem. Atsevišķu masas elementu novērošanas rezultāti tiek izmantoti tālāk, lai iegūtu visas populācijas un tajā izdalīto speciālo daļu raksturlielumus, t.i. lai iegūtu vispārīgus rādītājus.

Masu novērošana, tās rezultātu grupēšana un apkopošana, vispārinošo rādītāju aprēķināšana un analīze - tās ir statistikas metodes galvenās iezīmes.

Statistika kā zinātne rūpējas un tiek reducēta uz matemātisko statistiku. Matemātikā masu parādību raksturošanas uzdevumi tiek aplūkoti tikai tīri kvantitatīvā aspektā, šķirti no kvalitatīvā satura (kas ir obligāts matemātikai, kā zinātnei kopumā). Statistika, pat pētot masu parādību vispārējos likumus, balstās ne tikai no šo parādību kvantitatīviem vispārinājumiem, bet galvenokārt no pašas masu parādības rašanās mehānisma.

Tajā pašā laikā no teiktā par kvantitatīvo mērījumu lomu statistikas jomā izriet liela nozīme tai matemātiskās metodes kopumā, īpaši pielāgotas tādu problēmu risināšanai, kas rodas masu parādību izpētē (varbūtību teorija un matemātiskā statistika). Turklāt matemātisko metožu loma šeit ir tik liela, ka mēģinājums tās izslēgt no statistikas kursa (atsevišķa priekšmeta - matemātiskās statistikas - klātbūtnes plānos) statistiku būtiski noplicina.

Tomēr šī mēģinājuma noraidīšana nedrīkst nozīmēt pretējo galējību, proti, visas varbūtības teorijas un matemātiskās statistikas absorbciju ar statistiku. Ja, piemēram, matemātikā sadalījumu virknei (varbūtību vai empīrisko frekvenču) ņem vērā vidējo vērtību, tad arī statistika nevar apiet atbilstošos paņēmienus, taču šeit tas ir viens no aspektiem, līdz ar kuru rodas virkne citu (vispārējie un grupu vidējie rādītāji, vidējo rašanās un nozīme informācijas sistēmā, vidējais relatīvo svaru sistēmas materiālais saturs, vidējās vērtības utt.).

Vai cits piemērs: izlases matemātiskā teorija visu uzmanību pievērš reprezentativitātes kļūdai - dažādām atlases sistēmām, dažādiem raksturlielumiem utt. Sistēmas kļūda, t.i. kļūdu, kas nav absorbēta vidējā vērtībā, tā novērš iepriekš, konstruējot tā sauktās objektīvās aplēses bez tās. Statistikā, iespējams, galvenais jautājums šajā jautājumā ir jautājums par to, kā izvairīties no šīs sistēmiskās kļūdas.

Pētot masu parādību kvantitatīvo pusi, rodas vairākas matemātiskas dabas problēmas. Lai tos atrisinātu, matemātika izstrādā atbilstošus paņēmienus, taču šim nolūkam tie ir jāaplūko vispārīgā veidā, kam masu fenomena kvalitatīvais saturs ir vienaldzīgs. Tātad lielo skaitļu likuma izpausme vispirms tika pamanīta tieši sociāli ekonomiskajā jomā un gandrīz vienlaikus azartspēlēs (kuru izplatība tika izskaidrota ar to, ka tās bija no ekonomikas, it īpaši, attīstot preču un naudas attiecības). Taču no brīža, kad lielo skaitļu likums kļūst par matemātikas eksaktās izpētes objektu, tas saņem pilnīgi vispārīgu interpretāciju, kas neierobežo tā darbību nevienā īpašā jomā.

Pamatojoties uz to, statistikas priekšmetu parasti nošķir no matemātikas priekšmeta. Objektu norobežošana nevar nozīmēt visu, kas ir nonācis citas zinātnes redzeslokā, izraidīšanu no vienas zinātnes. Būtu nepareizi, piemēram, no fizikas prezentācijas izslēgt visu, kas saistīts ar izmantošanu diferenciālvienādojumi pamatojoties uz to, ka matemātika nodarbojas ar tiem.

Kāpēc dzimumu attiecībai dzimšanas brīdī ir noteiktas proporcijas, kas daudzus gadsimtus nav tikušas būtiski novērotas?

Lai cik paradoksāli tas izklausītos, tieši nāve ir galvenais bioloģiskais vairošanās un jauno paaudžu vairošanās nosacījums. Lai paildzinātu sugas pastāvēšanu, tās indivīdiem ir jāatstāj pēcnācēji; pretējā gadījumā skats pazudīs uz visiem laikiem.

Dzimuma problēma (kurš piedzims zēns vai meitene) ietver daudzus jautājumus, kas saistīti ne tikai ar bioloģisko attīstību, medicīnas ģenētiskajām īpašībām, demogrāfiskajiem datiem, bet arī plašākā aspektā saistībā ar dzimuma psiholoģiju, pretējā dzimuma indivīdu uzvedību un centieniem, ar harmoniju vai konfliktiem starp viņiem.

Jautājums par to, kurš piedzims - zēns vai meitene - un kāpēc tas notiek, ir tikai šaurs jautājumu loks, kas izriet no lielākas problēmas. Īpaši svarīgs teorētiskais un praktisks ir jautājuma noskaidrošana, kāpēc vīriešu dzīves ilgums ir mazāks nekā sieviešu mūža ilgums. Šī parādība ir izplatīta ne tikai cilvēkiem, bet arī daudzām dzīvnieku pasaules sugām.

Nepietiek to izskaidrot tikai ar to, ka tēviņu pārsvars dzimšanas brīdī ir saistīts ar viņu palielināto aktivitāti, un tā rezultātā nepietiek ar mazāku “dzīves spēku”. Biologi jau sen ir pievērsuši uzmanību tam, ka vairumā pētīto dzīvnieku tēviņi ir īsāki nekā mātītes. Dzīves ilgums ir pretstatā tā augstajam tempam, un tam ir bioloģisks pamatojums.

Angļu pētnieks A. Komforts norāda: "Organismam ir jāiziet noteikta virkne vielmaiņas procesu vai attīstības stadiju, un to pārvietošanās ātrums nosaka novēroto dzīves ilgumu."

Č.Darvins uzskatīja, ka vīriešu dzīves ilgums ir īsāks "par dabisku un konstitucionālu īpašumu, kas saistīts tikai ar dzimumu".

Iespēja dzemdēt viena vai otra dzimuma bērnu katrā konkrētajā gadījumā ir atkarīga ne tikai no šai parādībai raksturīgajiem modeļiem, kas atklāti daudzos novērojumos, bet arī no nejaušiem apstākļiem. Tāpēc statistiski nav iespējams iepriekš noteikt, kāda dzimuma būs katrs atsevišķi dzimušais bērns. To nedara ne varbūtības teorija, ne statistika, lai gan daudzos gadījumos viena notikuma rezultāts ir ļoti interesants. Varbūtības teorija sniedz diezgan konkrētas atbildes, ja runa ir par lielu dzimušo skaitu. Nejauši, ārējie cēloņi ir nejauši, bet to kopums atspoguļo stabilus modeļus. Veidojot dzimumu, kā zināms, pat pirms ieņemšanas nejauši cēloņi dažos gadījumos var veicināt vīriešu, bet citos - sieviešu embriju rašanos. Bet tas neizpaužas kaut kādā regulārā kārtībā, bet gan haotiski, nejauši. Faktoru kopums, kas veido noteiktas dzimumu attiecības dzimšanas brīdī, izpaužas tikai pietiekami lielā skaitā novērojumu; un jo vairāk to ir, jo tuvāk teorētiskā varbūtība tuvojas faktiskajiem rezultātiem.

Zēnu piedzimšanas varbūtība ir nedaudz lielāka par 0,5 (tuvu 0,51), un meiteņu ir mazāka par 0,5 (tuvu 0,49). Šis ļoti interesants fakts radīja sarežģītu uzdevumu biologiem un statistiķiem - izskaidrot iemeslu, kāpēc zēna vai meitenes ieņemšana un piedzimšana nav vienlīdz iespējama un atbilst ģenētiskajiem priekšnosacījumiem (Mendeļejeva likums par šķelšanos pēc dzimuma).

Uz šiem jautājumiem apmierinošas atbildes vēl nav saņemtas; ir tikai zināms, ka jau no ieņemšanas brīža zēnu īpatsvars ir lielāks par meiteņu īpatsvaru un ka intrauterīnās attīstības periodā šīs proporcijas pakāpeniski izlīdzinās pat līdz dzimšanas brīdim, tomēr nesasniedzot līdzvērtīgas vērtības. Zēni dzimst par aptuveni 5-6% vairāk nekā meitenes.

Lielākajai daļai sugu, par kurām biologi ir sastādījuši dzīvības tabulas, vīriešu mirstība ir augstāka. Ģenētiķi to skaidro ar atšķirību kopējā hromosomu kompleksā starp sievietēm un vīriešiem.

C. Darvins uzskata, ka veidojusies skaitliskā dzimumu attiecība no dažādu sugu pārstāvjiem evolucionārās dabiskās atlases rezultātā, kas balstīta uz dzimumatlases principiem. Dzimuma veidošanās ģenētiskie likumi tika atklāti vēlāk, un tie ir trūkstošais posms Č.Darvina teorētiskajās koncepcijās. Č.Darvina mērķtiecīgie novērojumi ir pelnījuši šeit citēt. Autore atzīmē, ka seksuālā atlase būtu vienkārša lieta, ja tēviņu skaits ievērojami pārsniegtu mātītes. Ir svarīgi zināt dzimumu attiecību ne tikai dzimšanas, bet arī brieduma laikā, un tas sarežģī attēlu. Attiecībā uz cilvēkiem ir konstatēts fakts, ka pirms dzimšanas, dzemdībās un pirmajos bērnības gados mirst daudz vairāk zēnu nekā meiteņu.

Var nosaukt divas lielas faktoru grupas, kas ietekmē mirstības attiecību pēc dzimuma un kopumā nosaka vīriešu lieko mirstību. Tie ir eksogēni, t.i. sociāli ekonomiskie faktori un endogēnie faktori, kas saistīti ar vīrieša un sievietes organisma dzīvotspējas ģenētisko programmu. Mirstības atšķirības pēc dzimuma ir izskaidrojamas ar šo divu faktoru grupu pastāvīgu mijiedarbību. Šīs atšķirības palielinās tieši proporcionāli paredzamā mūža ilguma pieaugumam. Vīriešu un sieviešu dzīvotspējas tīri bioloģiskās atšķirības pārklāj sociāli ekonomisko dzīves apstākļu ietekme, reakcija uz kuru vīriešu un sieviešu organismi atšķiras pēc spējas tos pārvarēt. slikta ietekme dažādos vecuma periodos.

Lielākajā daļā pasaules valstu, kur tiek veikta vairāk vai mazāk uzticama un pilnīga mirstības reģistrācija, rādītāju attiecību pēc dzimuma apstiprina prakse vairākkārt apstiprinātā nostāja par vīriešu mirstības pieaugumu - šis modelis, kā minēts iepriekš, ir raksturīgs cilvēku populācijai un ne tikai tai, bet arī daudzām citām bioloģiskām sugām.

Iedzīvotāju statistika- zinātne, kas pēta populācijā notiekošo parādību un procesu kvantitatīvos modeļus nepārtrauktā saistībā ar to kvalitatīvo pusi.

Populācija- izpētes un demogrāfijas objekts, kas nosaka to attīstības vispārējos modeļus, ņemot vērā tā dzīvi visos aspektos: vēsturiskajā, politiskajā, ekonomiskajā, sociālajā, juridiskajā, medicīniskajā un statistiskajā. Vienlaikus jāpatur prātā, ka, attīstoties zināšanām par objektu, tajā paveras jauni aspekti, kļūstot par atsevišķu zināšanu objektu.

Iedzīvotāju statistika pēta savu objektu specifiskos vietas un laika apstākļos, atklājot visus jaunos tā pārvietošanās veidus: dabisko, migrējošo, sociālo.

Zem dabiska kustība iedzīvotāju skaits attiecas uz iedzīvotāju skaita izmaiņām dzimstības un mirstības dēļ, t.i. rodas dabiski. Tas ietver arī laulības un šķiršanos, jo tās tiek uzskaitītas tādā pašā secībā kā dzimšanas un nāves gadījumu skaits.

migrācijas kustība jeb vienkārši iedzīvotāju migrācija nozīmē cilvēku pārvietošanos pāri noteiktu teritoriju robežām, parasti ar dzīvesvietas maiņu uz ilgu laiku vai uz visiem laikiem.

sociālā kustība iedzīvotāju skaits tiek saprasts kā iedzīvotāju sociālo dzīves apstākļu maiņa. To izsaka skaita un sastāva izmaiņās sociālās grupas cilvēki, kuriem ir kopīgas intereses, vērtības un uzvedības normas, kas veidojas vēsturiski noteiktas sabiedrības ietvaros.

Iedzīvotāju statistika atrisina vairākas problēmas:

Viņas svarīgākais uzdevums- iedzīvotāju skaita noteikšana. Bet bieži vien ir jāzina atsevišķu kontinentu un to daļu populācija, dažādas valstis, valstu ekonomiskie reģioni, administratīvie reģioni. Tajā pašā laikā tiek uzturēts nevis vienkārša aritmētika, bet gan īpašs - statistiskais konts - iedzīvotāju kategoriju uzskaite. Statistiski tiek noteikts dzimušo, mirušo, laulību, šķiršanās gadījumu skaits, ieceļojošo un izceļojošo migrantu skaits, t.i. tiek noteikts iedzīvotāju skaits.

Otrais uzdevums- iedzīvotāju struktūras, demogrāfisko procesu noteikšana. Šeit pirmām kārtām tiek pievērsta uzmanība iedzīvotāju dalījumam pēc dzimuma, vecuma, izglītības līmeņa, profesionālajām, ražošanas īpašībām, pēc piederības pilsētām un laukiem.

Iedzīvotāju struktūra pēc dzimuma var raksturot ar vienādu dzimumu skaitu, vīriešu vai sieviešu pārsvaru un šī pārsvara pakāpi.

Iedzīvotāju struktūra pēc vecuma var attēlot ar viena gada datiem un vecuma grupām, kā arī vecuma sastāva tendenci, piemēram, novecošanos vai atjaunošanos.

Izglītības struktūra parāda rakstpratīgo iedzīvotāju īpatsvaru ar noteiktu izglītības pakāpi dažādās teritorijās un dažādās vidēs.

Profesionāls- Cilvēku sadalījums pēc apmācības procesā iegūtajām profesijām, pēc nodarbošanās.

Ražošana- pa tautsaimniecības nozarēm.

Teritoriālā iedzīvotāju atrašanās vieta vai to pārvietošana. Šeit izšķir urbanizācijas pakāpi, visas iedzīvotāju blīvuma definīciju, atšķirīgu izpratni par blīvumu un tā stāvokli.

Trešais uzdevums sastāv no savstarpējo attiecību izpētes, kas notiek pašā populācijā starp dažādām tās grupām un pētījumos par populācijā notiekošo procesu atkarību no vides faktoriem, kuros šie procesi notiek.

Ceturtais uzdevums sastāv no demogrāfisko procesu dinamikas apsvēršanas. Šajā gadījumā dinamikas raksturlielumus var dot kā populācijas lieluma izmaiņas un kā populācijā notiekošo procesu intensitātes izmaiņas laikā un telpā.

Piektais uzdevums- Tiek atvērta iedzīvotāju statistika ar prognozēm par tās lielumu un sastāvu nākotnē. Datu sniegšana par iedzīvotāju skaita prognozi tuvākai un tālākai nākotnei.

Iedzīvotāju statistikā izmantotās pētījumu metodes

Metode visvispārīgākajā nozīmē nozīmē veidu, kā sasniegt mērķi, darbības regulēšanu. Konkrētās zinātnes metode ir realitātes teorētisko un praktisko zināšanu metožu kopums. Neatkarīgai zinātnei ir nepieciešama ne tikai citu zinātņu īpaša pētījuma priekšmeta klātbūtne, bet arī sava esamība. savas metodes studējot šo priekšmetu. Jebkurā zinātnē izmantoto pētījumu metožu kopums ir metodoloģija šī zinātne.

Tā kā iedzīvotāju statistika ir nozaru statistika, tās metodoloģijas pamatā ir statistikas metodoloģija.

Svarīgākā statistikas metodoloģijā iekļautā metode ir informācijas iegūšana par pētāmajiem procesiem un parādībām - statistiskais novērojums . Tas kalpo par pamatu datu vākšanai gan aktuālajā statistikā, gan tautas skaitīšanā, monogrāfiskajos un izlases pētījumos. Šeit pilnībā tiek izmantoti teorētiskās statistikas nosacījumi par novērošanas vienības objekta izveidi, reģistrācijas datuma un brīža jēdzienu ieviešana, programma, novērošanas organizatoriskie jautājumi, tā rezultātu sistematizēšana un publicēšana. Statistikas metodoloģija satur arī katras uzskaitītās personas patstāvīgas iedalīšanas noteiktai grupai principu - pašnoteikšanās principu.

Nākamais solis sociāli ekonomisko parādību statistiskajā izpētē ir to struktūras noteikšana, t.i. detaļu un elementu izvēle, kas veido kopumu. Mēs runājam par grupēšanas un klasifikācijas metodi, ko iedzīvotāju statistikā sauc par tipoloģisko un strukturālo.

Lai izprastu populācijas struktūru, vispirms ir jāizceļ grupēšanas un klasifikācijas zīme. Jebkura novērotā pazīme var kalpot arī kā grupēšanas pazīme. Piemēram, jautājumā par attieksmi pret skaitīšanas veidlapā pirmo reģistrēto personu var noteikt uzskaitāmo iedzīvotāju struktūru, kurā šķietami izšķir ievērojamu skaitu grupu. Šis atribūts ir atribūtīvs, tāpēc, veidojot uz tā tautas skaitīšanas anketas, ir nepieciešams iepriekš sastādīt analīzei nepieciešamo klasifikāciju (grupējumus pēc atribūtu pazīmēm) sarakstu. Sastādot klasifikācijas ar lielu skaitu atribūtu ierakstu, piešķiršana noteiktām grupām ir iepriekš pamatota. Tātad populācija pēc nodarbošanās ir sadalīta vairākos tūkstošos sugu, kuras statistika reducē uz noteiktām klasēm, kas ierakstītas tā saucamajā profesiju vārdnīcā.

Pētot struktūru pēc kvantitatīviem raksturlielumiem, dažādu populācijas parametru raksturošanai rodas iespēja izmantot tādus statistiski vispārinošus rādītājus kā vidējais, režīms un mediāna, attāluma mēri vai variācijas rādītāji. Aplūkotās parādību struktūras kalpo par pamatu, lai pētītu saikni tajās. Statistikas teorijā izšķir funkcionālās un statistiskās attiecības. Pēdējās izpēte nav iespējama, nesadalot populāciju grupās un pēc tam nesalīdzinot efektīvās pazīmes vērtību.

Grupēšana pēc faktora atribūta un to salīdzināšana ar efektīvā atribūta izmaiņām ļauj noteikt attiecību virzienu: tieša vai apgriezta, kā arī sniegt priekšstatu par to formu. salauzta regresija . Šīs grupas ļauj izveidot vienādojumu sistēmu, kas nepieciešama, lai atrastu regresijas vienādojuma parametri un savienojuma blīvuma noteikšana, aprēķinot korelācijas koeficientus. Grupējumi un klasifikācijas kalpo par pamatu, lai izmantotu dispersijas analīzi attiecībā uz iedzīvotāju kustības rādītājiem un faktoriem, kas tos izraisa.

Populācijas izpētē plaši tiek izmantotas statistikas metodes. dinamikas pētījumi , parādību grafiskā izpēte , rādītājs , selektīvs Un līdzsvaru . Var teikt, ka iedzīvotāju statistika izmanto visu arsenālu sava objekta izpētei. statistikas metodes un piemēri. Turklāt tiek izmantotas arī metodes, kas izstrādātas tikai populācijas izpētei. Šīs ir metodes reālā paaudze (kohortas) Un nosacītā paaudze . Pirmais ļauj apsvērt izmaiņas vienaudžu (dzimušo tajā pašā gadā) dabiskajā kustībā - longitudinālā analīze; otrajā tiek aplūkota vienaudžu dabiskā kustība (dzīvo vienlaikus) - šķērsgriezuma analīze.

Interesanti ir izmantot vidējos rādītājus un indeksus, ņemot vērā raksturlielumus un salīdzinot populācijā notiekošos procesus, kad datu salīdzināšanas nosacījumi nav vienādi. Izmantojot dažādus svērumus, aprēķinot vispārējos vidējos, ir izstrādāta standartizācijas metode, kas ļauj novērst dažādu iedzīvotāju vecuma pazīmju ietekmi.

Varbūtību teorija kā matemātikas zinātne pēta objektīvās pasaules īpašības ar palīdzību abstrakcijas , kuras būtība ir pilnīga abstrakcija no kvalitatīvās noteiktības un to kvantitatīvās puses izcelšana. Abstrakcija ir garīgās abstrakcijas process no daudziem objektu īpašību aspektiem un tajā pašā laikā jebkuru mūs interesējošo aspektu, pētāmo objektu īpašību un attiecību izolēšanas, izolēšanas process. Abstraktu matemātisko metožu izmantošana iedzīvotāju statistikā ļauj to izmantot statistiskā modelēšana procesi, kas notiek populācijā. Nepieciešamība pēc modelēšanas rodas, ja nav iespējams izpētīt pašu objektu.

Tās dinamikas raksturošanai ir izstrādāts lielākais populācijas statistikā izmantoto modeļu skaits. Starp tiem izceļas eksponenciāls Un loģistika. Īpaša nozīme iedzīvotāju prognozēšanā nākamajiem periodiem ir modeļiem stacionārs Un stabils iedzīvotāju skaits, kas nosaka populācijas veidu, kas izveidojies šajos apstākļos.

Ja eksponenciālās un loģistikas populācijas modeļu konstruēšanā tiek izmantoti dati par absolūtās populācijas dinamiku pagājušajā periodā, tad stacionārās un stabilās populācijas modeļi tiek veidoti, pamatojoties uz tās attīstības intensitātes pazīmēm.

Tātad iedzīvotāju izpētes statistiskās metodoloģijas rīcībā ir vairākas vispārējās statistikas teorijas metodes, matemātiskās metodes un īpašas metodes, kas izstrādātas pašu iedzīvotāju statistikā.

Iedzīvotāju statistika, izmantojot iepriekš apskatītās metodes, izstrādā vispārinošu rādītāju sistēmu, norāda nepieciešamo informāciju, to aprēķināšanas metodes, šo rādītāju kognitīvās spējas, lietošanas nosacījumus, ierakstīšanas kārtību un jēgpilnu interpretāciju.

Statistikas rādītāju vispārināšanas nozīme svarīgāko problēmu risināšanā, izskatot demogrāfisko politiku, ir nepieciešama sabalansētai iedzīvotāju skaita izaugsmei, iedzīvotāju migrācijas pētīšanai, kas veido pamatu darbaspēka starprajonu pārdalei un tā sadalījuma vienveidības sasniegšanai.

Tā kā iedzīvotāji noteiktā aspektā studē daudzas citas zinātnes - veselības aprūpi, pedagoģiju, socioloģiju u.c., tad ir nepieciešams izmantot šo zinātņu pieredzi, izstrādāt to metodes saistībā ar statistikas vajadzībām.

Atjaunošanas uzdevumiem, kas jārisina mūsu valstij, būtu jāietekmē arī demogrāfisko problēmu risināšana. Visaptverošu programmu izstrāde ekonomikas un sociālā attīstība jāiekļauj sadaļas par demogrāfiskajām programmām, to risinājumam būtu jāveicina to iedzīvotāju attīstība, kuriem ir vismazākie demogrāfiskie zaudējumi.

Bibliogrāfija

Kildishev et al. “Iedzīvotāju statistika ar demogrāfijas pamatiem” M .: Finanses un statistika, 1990 - 312 lpp.

Nabaga M.S. “Zēni, meitenes? Mediko-demogrāfiskā analīze” M.: Statistika, 1980 – 120 lpp.

Andreeva B.M., Višņevskis A.G. “Ilgmūžība. Analīze un modelēšana” M.: Statistika, 1979 – 157 lpp.

Boyarsky A.Ya., Gromyko G.L. “Vispārīgā statistikas teorija” M.: ed. Maskavas universitātes, 1985 - 372 lpp.

Vasiļjeva E.K. “Skolēna sociāldemogrāfiskais portrets” M.: Doma, 1986 - 96 lpp.

Bestuževs-Lada I.V. “Mūsu rītdienas pasaule” M.: Doma, 1986 – 269 lpp.

Populārs:

• Mantojuma likuma galvenais saturs Mantojuma likums regulē īpašu kārtību, kas nosaka mirušā pilsoņa tiesību un pienākumu, kā arī mantas nodošanu viņa radiniekiem vai citām personām, tai skaitā […]
• Ja bērnudārza vadītāja nav apmierināta... Jautājums: Labdien! G. Kaļiņingrada. Sakiet, lūdzu, ja vecāki nav pilnībā apmierināti ar bērnudārza vadītāju, vai viņi var prasīt no bērnudārza vadītājas […]
• Kā izveidot pieteikumu ārvalstu pilsonis vai bezvalstnieks par reģistrāciju dzīvesvietā Citas valsts iedzīvotājam, kurš ieradies Krievijas Federācijā, jāiesniedz iesniegums ārvalsts pilsoņa migrācijas dienestā vai […]
• Auto kredīta tiesa – jurista padoms Ja ņemat mērķkredītu automašīnas iegādei, tad iegādātā automašīna tiks reģistrēta kā ķīla. Aptuveni runājot, auto kredīta nemaksāšanas gadījumā bankai ir tiesības paņemt tavu automašīnu […]
• Krievijas Federācijas prezidents atcēla gāzes skaitītāju obligāto uzstādīšanu Prezidents Vladimirs Putins parakstīja likumu, kas groza Likumu Nr. 261-FZ “Par enerģijas taupīšanu”.
• KAS IR SVARĪGI ZINĀT PAR JAUNO PENSIJU PROJEKTU Pierakstīties jaunumiem Uz Jūsu norādīto e-pastu ir nosūtīta vēstule, lai apstiprinātu abonementu. 2013. gada 27. decembris Pensiju, ikmēneša ienākumu un citu sociālo pabalstu izmaksas grafiks 2014. gada janvārim […]
• Kā mantot mantojuma atstājēja pensijas uzkrājumus? Testatoram savas dzīves laikā ir tiesības jebkurā laikā iesniegt pieteikumu Krievijas Federācijas Pensiju fonda teritoriālajai iestādei un noteikt konkrētās personas (pārņēmējus) un līdzekļu daļu, kas […]
• Īpašumtiesību jēdziens un galvenās iezīmes dabas objekti un resursiem. CK 209. pants. Īpašumtiesību saturs. Īpašumtiesības nozīmē likumīgu iespēju iegūt dabas objektu faktiskā valdījumā […]

Lielo skaitļu likums

Nejaušo parādību izpētes prakse liecina, ka, lai gan atsevišķu novērojumu rezultāti, pat tādi, kas veikti vienādos apstākļos, var ievērojami atšķirties, tajā pašā laikā vidējie rezultāti pietiekami lielam novērojumu skaitam ir stabili un vāji atkarīgi no atsevišķu novērojumu rezultātiem. Teorētiskais pamatojums šai ievērojamajai nejaušo parādību īpašībai ir lielu skaitļu likums. Lielo skaitļu likuma vispārējā nozīme ir tāda, ka liela skaita nejaušu faktoru kopīga darbība noved pie rezultāta, kas ir gandrīz neatkarīgs no nejaušības.

Centrālās robežas teorēma

Ļapunova teorēma izskaidro normālā sadalījuma likuma plašo sadalījumu un izskaidro tā veidošanās mehānismu. Teorēma ļauj apgalvot, ka ikreiz, kad liela skaita neatkarīgu gadījuma lielumu saskaitīšanas rezultātā veidojas gadījuma lielums, kuru dispersijas ir nelielas, salīdzinot ar summas dispersiju, šī gadījuma lieluma sadalījuma likums izrādās praktiski normāls likums. Un tā kā gadījuma lielumus vienmēr ģenerē bezgalīgi daudz iemeslu, un visbiežāk nevienam no tiem nav dispersijas, kas būtu salīdzināma ar paša nejaušā lieluma dispersiju, lielākā daļa praksē sastopamo nejaušo mainīgo ir pakļauti normālā sadalījuma likumam.

Pakavēsimies sīkāk pie katras šīs grupas teorēmu satura.

Praktiskajos pētījumos ir ļoti svarīgi zināt, kādos gadījumos ir iespējams garantēt, ka notikuma iespējamība būs vai nu pietiekami maza, vai patvaļīgi tuvu vienotībai.

Zem lielo skaitļu likums un tiek saprasts kā teikumu kopums, kurā teikts, ka ar varbūtību, kas ir patvaļīgi tuvu vienam (vai nullei), notiks notikums, kas ir atkarīgs no ļoti liela, bezgalīgi pieaugoša nejaušu notikumu skaita, no kuriem katram ir tikai neliela ietekme uz to.

Precīzāk, lielu skaitļu likums tiek saprasts kā teikumu kopums, kurā teikts, ka ar varbūtību, kas ir patvaļīgi tuvu vienam, pietiekami liela skaita gadījuma lielumu vidējā aritmētiskā novirze no nemainīgas vērtības, to matemātisko gaidu vidējā aritmētiskā, nepārsniegs doto patvaļīgi mazu skaitli.

Atsevišķas, atsevišķas parādības, kuras novērojam dabā un sociālajā dzīvē, bieži parādās kā nejaušas (piemēram, reģistrēta nāve, dzimuša bērna dzimums, gaisa temperatūra u.c.), jo šādas parādības ietekmē daudzi faktori, kas nav saistīti ar parādības rašanās vai attīstības raksturu. To kopējo ietekmi uz novēroto parādību nav iespējams paredzēt, un atsevišķās parādībās tās izpaužas dažādi. Pamatojoties uz vienas parādības rezultātiem, neko nevar teikt par daudzām šādām parādībām raksturīgiem modeļiem.

Taču jau sen ir atzīmēts, ka noteiktu pazīmju (notikuma rašanās relatīvais biežums, mērījumu rezultāti u.c.) skaitlisko raksturlielumu vidējais aritmētiskais ar lielu eksperimenta atkārtojumu skaitu ir pakļauts ļoti nelielām svārstībām. Pa vidu it kā izpaužas parādību būtībai raksturīgā likumsakarība, tajā savstarpēji tiek izslēgta atsevišķu faktoru ietekme, kas padarīja atsevišķu novērojumu rezultātus nejaušus. Teorētiski šo vidējā uzvedību var izskaidrot, izmantojot lielo skaitļu likumu. Ja ir izpildīti daži ļoti vispārīgi nosacījumi attiecībā uz gadījuma lielumiem, tad vidējā aritmētiskā stabilitāte būs praktiski drošs notikums. Šie nosacījumi veido vissvarīgāko lielo skaitļu likuma saturu.

Pirmais šī principa darbības piemērs var būt nejauša notikuma rašanās biežuma konverģence ar tā varbūtību, palielinoties izmēģinājumu skaitam - fakts, kas noteikts Bernulli teorēmā (Šveices matemātiķis Jēkabs Bernulli(1654-1705)).Bernula teorēma ir viena no vienkāršākajām lielo skaitļu likuma formām, un to bieži izmanto praksē. Piemēram, jebkuras respondenta kvalitātes sastopamības biežums izlasē tiek pieņemts kā atbilstošās varbūtības novērtējums).

Izcils franču matemātiķis Simeons Denijs Puasons(1781-1840) vispārināja šo teorēmu un attiecināja to uz gadījumu, kad notikumu iespējamība izmēģinājumā mainās neatkarīgi no iepriekšējo izmēģinājumu rezultātiem. Viņš arī bija pirmais, kurš lietoja terminu "lielo skaitļu likums".

Lielisks krievu matemātiķis Pafnutijs Ļvovičs Čebiševs(1821 - 1894) pierādīja, ka lielo skaitļu likums darbojas parādībās ar jebkādām variācijām un attiecas arī uz vidējā regularitāti.

Tālākais lielo skaitļu likuma teorēmu vispārinājums ir saistīts ar nosaukumiem A.A.Markovs, S.N.Bernšteins, A.Ja.Hinčins un A.N.Kolmlgorovs.

Vispārīgais mūsdienu problēmas formulējums, lielo skaitļu likuma formulēšana, ideju un metožu izstrāde ar šo likumu saistīto teorēmu pierādīšanai pieder krievu zinātniekiem. P. L. Čebiševs, A. A. Markovs un A. M. Ļapunovs.

ČEBIŠEVA NEvienlīdzība

Vispirms apskatīsim palīgteorēmas: lemmu un Čebiševa nevienādību, ar kurām var viegli pierādīt lielo skaitļu likumu Čebiševa formā.

Lemma (Čebiševs).

Ja nejaušajam lielumam X nav negatīvu vērtību, tad varbūtība, ka tas iegūs kādu vērtību, kas pārsniedz pozitīvo skaitli A, nav lielāka par daļskaitli, kuras skaitītājs ir nejaušā lieluma matemātiskā cerība, bet saucējs ir skaitlis A:

Pierādījums.Lai ir zināms nejaušā lieluma X sadalījuma likums:

(i = 1, 2, ..., ), un mēs uzskatām, ka nejaušā lieluma vērtības ir sakārtotas augošā secībā.

Saistībā ar skaitli A nejaušā lieluma vērtības ir sadalītas divās grupās: dažas nepārsniedz A, bet citas ir lielākas par A. Pieņemsim, ka pirmajā grupā ietilpst nejaušā lieluma () pirmās vērtības.

Kopš , tad visi summas nosacījumi nav negatīvi. Tāpēc, atmetot pirmos izteiksmes terminus, mēs iegūstam nevienlīdzību:

Tāpēc ka

,

Tas

Q.E.D.

Nejaušiem mainīgajiem var būt dažādi sadalījumi ar vienādām matemātiskajām cerībām. Tomēr viņiem Čebiševa lemma dos tādu pašu novērtējumu par viena vai otra testa rezultāta varbūtību. Šis lemmas trūkums ir saistīts ar tās vispārīgumu: nav iespējams panākt labāku novērtējumu visiem nejaušajiem mainīgajiem uzreiz.

Čebiševa nevienlīdzība .

Varbūtība, ka nejauša lieluma novirze no tā matemātiskās cerības absolūtā vērtībā pārsniegs pozitīvu skaitli

Pierādījums.Tā kā gadījuma mainīgais, kas nepieņem negatīvas vērtības, mēs izmantojam nevienādību no Čebiševa lemmas nejaušam mainīgajam :

Q.E.D.

Sekas. Tāpēc ka

,

Tas

- vēl viena Čebiševa nevienlīdzības forma

Mēs bez pierādījumiem pieņemam faktu, ka lemma un Čebiševa nevienādība ir patiesa arī nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem.

Čebiševa nevienlīdzība ir lielo skaitļu likuma kvalitatīvo un kvantitatīvo apgalvojumu pamatā. Tas definē augšējo robežu varbūtībai, ka nejauša lieluma vērtības novirze no tā matemātiskās cerības ir lielāka par noteiktu skaitli. Zīmīgi, ka Čebiševa nevienādība sniedz notikuma varbūtības novērtējumu nejaušam mainīgajam, kura sadalījums nav zināms, ir zināma tikai tā matemātiskā cerība un dispersija.

Teorēma. (Lielu skaitļu likums Čebiševa formā)

Ja neatkarīgo gadījuma lielumu dispersijas ir ierobežotas ar vienu konstanti C un to skaits ir pietiekami liels, tad varbūtība ir patvaļīgi tuvu vienībai, ka šo gadījuma lielumu vidējā aritmētiskā novirze no to matemātisko gaidu vidējā aritmētiskā nepārsniegs doto pozitīvo skaitli absolūtā vērtībā, lai cik maza tā būtu:

.

Mēs pieņemam teorēmu bez pierādījumiem.

Sekas 1. Ja neatkarīgiem gadījuma lielumiem ir vienādas, vienādas, matemātiskas cerības, to dispersijas ierobežo viena un tā pati konstante C un to skaits ir pietiekami liels, tad neatkarīgi no tā, cik mazs ir dotais pozitīvais skaitlis, varbūtība ir patvaļīgi tuvu vienībai, ka šo gadījuma lielumu vidējā aritmētiskā novirze no absolūtā vērtībā nepārsniegs.

To, ka nezināma lieluma aptuvenā vērtība tiek ņemta par vidējo aritmētisko no pietiekami liela skaita mērījumu rezultātiem, kas veikti vienādos apstākļos, var pamatot ar šo teorēmu. Patiešām, mērījumu rezultāti ir nejauši, jo tos ietekmē daudzi nejauši faktori. Sistemātisku kļūdu trūkums nozīmē, ka atsevišķu mērījumu rezultātu matemātiskās cerības ir vienādas un vienādas. Līdz ar to saskaņā ar lielo skaitļu likumu pietiekami liela mērījumu skaita vidējais aritmētiskais praktiski patvaļīgi maz atšķirsies no vēlamās vērtības patiesās vērtības.

(Atgādināt, ka kļūdas sauc par sistemātiskām, ja tās izkropļo mērījumu rezultātu vienā virzienā pēc vairāk vai mazāk skaidra likuma. Tie ietver kļūdas, kas parādās instrumentu nepilnības (instrumentālās kļūdas), novērotāja personisko īpašību dēļ (personiskās kļūdas) u.c.)

Sekas 2 . (Bernulli teorēma.)

Ja notikuma A iestāšanās iespējamība katrā no neatkarīgajiem izmēģinājumiem ir nemainīga un to skaits ir pietiekami liels, tad varbūtība ir patvaļīgi tuvu vienībai, ka notikuma rašanās biežums patvaļīgi maz atšķiras no tā iestāšanās varbūtības:

Bernulli teorēma apgalvo, ka, ja notikuma iespējamība visos izmēģinājumos ir vienāda, tad, palielinoties izmēģinājumu skaitam, notikuma biežums tiecas uz notikuma varbūtību un pārstāj būt nejaušs.

Praksē salīdzinoši reti sastopami eksperimenti, kuros notikuma iespējamība jebkurā eksperimentā ir nemainīga, biežāk tā atšķiras dažādas pieredzes. Puasona teorēma attiecas uz šāda veida testa shēmu:

Secinājums 3 . (Puasona teorēma.)

Ja notikuma iestāšanās varbūtība -testā nemainās, kad kļūst zināmi iepriekšējo izmēģinājumu rezultāti un to skaits ir pietiekami liels, tad varbūtība, ka notikuma rašanās biežums patvaļīgi maz atšķiras no aritmētiskās vidējās varbūtības, ir patvaļīgi tuvu vienībai:

Puasona teorēma nosaka, ka notikuma biežums neatkarīgu izmēģinājumu sērijā tiecas uz tā varbūtību vidējo aritmētisko un pārstāj būt nejaušs.

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka neviena no aplūkotajām teorēmām nesniedz ne precīzu, ne pat aptuvenu vēlamās varbūtības vērtību, bet ir norādīta tikai tās apakšējā vai augšējā robeža. Tāpēc, ja nepieciešams noteikt precīzu vai vismaz aptuvenu atbilstošo notikumu varbūtību vērtību, šo teorēmu iespējas ir ļoti ierobežotas.

Aptuvenās varbūtības lielām vērtībām var iegūt, tikai izmantojot robežu teorēmas. Tajos vai nu nejaušajiem mainīgajiem tiek uzlikti papildu ierobežojumi (kā tas ir, piemēram, Ļapunova teorēmā), vai arī tiek apskatīti noteikta veida gadījuma lielumi (piemēram, Moivre-Laplasa integrāļa teorēmā).

Čebiševa teorēmas, kas ir ļoti vispārīgs lielo skaitļu likuma formulējums, teorētiskā nozīme ir liela. Tomēr, ja mēs to attiecinām uz jautājumu, vai ir iespējams piemērot lielu skaitļu likumu neatkarīgu gadījuma lielumu secībai, tad, ja atbilde ir jā, teorēma bieži prasīs, lai nejaušo lielumu būtu daudz vairāk, nekā nepieciešams, lai lielo skaitļu likums stātos spēkā. Šis Čebiševa teorēmas trūkums ir izskaidrots vispārējs raksturs viņu. Tāpēc ir vēlams, lai būtu teorēmas, kas precīzāk norādītu vēlamās varbūtības apakšējo (vai augšējo) robežu. Tos var iegūt, nejaušiem mainīgajiem uzliekot dažus papildu ierobežojumus, kas parasti tiek izpildīti praksē sastopamajiem nejaušajiem mainīgajiem.

PIEZĪMES PAR LIELO SKAITĻU LIKUMA SATURU

Ja nejaušo lielumu skaits ir pietiekami liels un tie apmierina dažus ļoti vispārīgus nosacījumus, tad neatkarīgi no tā, kā tie ir sadalīti, ir praktiski droši, ka to vidējais aritmētiskais patvaļīgi maz atšķiras no konstantas vērtības - to matemātisko gaidu vidējais aritmētiskais, t.i., ir praktiski nemainīga vērtība. Tāds ir to teorēmu saturs, kas attiecas uz lielo skaitļu likumu. Līdz ar to lielo skaitļu likums ir viena no nejaušības un nepieciešamības dialektiskās saiknes izpausmēm.

Var minēt daudzus piemērus par jaunu kvalitatīvu stāvokļu rašanos kā lielu skaitļu likuma izpausmēm, galvenokārt fizisko parādību vidū. Apskatīsim vienu no tiem.

Autors modernas idejas gāzes sastāv no atsevišķiem daļiņas – molekulas, kas atrodas haotiskā kustībā, un nav iespējams precīzi pateikt, kur tas konkrētajā brīdī atradīsies un ar kādu ātrumu tā vai cita molekula pārvietosies. Tomēr novērojumi liecina, ka kopējā molekulu ietekme, piemēram, gāzes spiediens uz

kuģa siena, izpaužas ar pārsteidzošu noturību. To nosaka sitienu skaits un katra no tiem stiprums. Lai gan pirmais un otrais ir nejaušības jautājums, normālos apstākļos instrumenti nekonstatē gāzes spiediena svārstības. Tas izskaidrojams ar to, ka milzīgā molekulu skaita dēļ pat vismazākajos apjomos

spiediena izmaiņas par ievērojamu daudzumu ir gandrīz neiespējamas. Tāpēc fiziskais likums, kas nosaka gāzes spiediena noturību, ir lielu skaitļu likuma izpausme.

Spiediena noturība un dažas citas gāzes īpašības vienā reizē kalpoja kā smags arguments pret vielas struktūras molekulāro teoriju. Pēc tam viņi iemācījās izolēt salīdzinoši nelielu skaitu molekulu, nodrošinot, ka atsevišķu molekulu ietekme joprojām saglabājas, un līdz ar to lielo skaitļu likums nevarēja pietiekami izpausties. Tad bija iespējams novērot gāzes spiediena svārstības, apstiprinot hipotēzi par vielas molekulāro struktūru.

Lielo skaitļu likums ir dažādu apdrošināšanas veidu pamatā (cilvēku dzīvības apdrošināšana dažādiem periodiem, īpašuma, mājlopu, labības u.c.).

Plānojot patēriņa preču klāstu, tiek ņemts vērā iedzīvotāju pieprasījums pēc tām. Šajā pieprasījumā izpaužas lielo skaitļu likuma darbība.

Statistikā plaši izmantotā izlases metode savu zinātnisko pamatojumu atrod lielo skaitļu likumā. Piemēram, no kolhoza uz sagādes punktu atvesto kviešu kvalitāti vērtē pēc nejauši mazā mērķī satverto graudu kvalitātes. Mērā ir maz graudu, salīdzinot ar visu partiju, bet jebkurā gadījumā mērs ir izvēlēts tāds, lai tajā būtu pietiekami daudz graudu priekš

lielo skaitļu likuma izpausme ar precizitāti, kas apmierina vajadzību. Mums ir tiesības ņemt atbilstošos rādītājus paraugā kā nezāles, mitruma satura un graudu vidējā svara rādītājus visai ienākošo graudu partijai.

Zinātnieku turpmākie centieni padziļināt lielo skaitļu likuma saturu bija vērsti uz vispārīgāko nosacījumu iegūšanu šī likuma piemērojamībai gadījuma lielumu secībai. Ilgu laiku šajā virzienā nebija fundamentālu panākumu. Pēc P. L. Čebiševa un A. A. Markova tikai 1926. gadā padomju akadēmiķim A. N. Kolmogorovam izdevās iegūt nepieciešamos un pietiekamus nosacījumus, lai lielo skaitļu likums būtu piemērojams neatkarīgu gadījuma lielumu secībai. 1928. gadā padomju zinātnieks A. Ya. Khinchin to parādīja pietiekamā stāvoklī lielo skaitļu likuma piemērojamība neatkarīgu identiski sadalītu gadījuma lielumu secībai ir to matemātiskās cerības esamība.

Praksei ir ārkārtīgi svarīgi pilnībā noskaidrot jautājumu par lielu skaitļu likuma piemērojamību atkarīgiem gadījuma lielumiem, jo ​​parādības dabā un sabiedrībā ir savstarpēji atkarīgas un savstarpēji nosaka viena otru. Liels darbs ir veltīts, lai noskaidrotu, kādi ierobežojumi ir jāievieš

atkarīgos gadījuma lielumos, lai tiem varētu piemērot lielo skaitļu likumu, no kuriem svarīgākie ir izcilā krievu zinātnieka A. A. Markova un izcilo padomju zinātnieku S. N. Bernšteina un A. Ja. Khinčina.

Šo darbu galvenais rezultāts ir tāds, ka lielu skaitļu likums ir piemērojams atkarīgiem gadījuma lielumiem, ja tikai liela atkarība pastāv starp nejaušiem lielumiem ar tuviem skaitļiem un starp nejaušiem mainīgajiem ar attāliem skaitļiem, atkarība ir pietiekami vāja. Šāda veida gadījuma lielumu piemēri ir klimata skaitliskās īpašības. Katras dienas laikapstākļus manāmi ietekmē iepriekšējo dienu laikapstākļi, un ietekme manāmi vājinās, dienām attālinoties vienai no otras. Līdz ar to konkrētā apgabala vidējai temperatūrai, spiedienam un citiem klimata raksturlielumiem ilgtermiņā saskaņā ar lielo skaitļu likumu praktiski vajadzētu būt tuvu viņu matemātiskajām cerībām. Pēdējās ir objektīvas vietējā klimata pazīmes.

Lai eksperimentāli pārbaudītu lielo skaitļu likumu atšķirīgs laiks tika veikti šādi eksperimenti.

1. Pieredze Bufons. Monēta ir apmesta 4040 reizes. Ģerbonis kritis 2048 reizes. Tās rašanās biežums bija vienāds ar 0,50694 =

2. Pieredze Pīrsons. Monēta tiek uzmesta 12 000 un 24 000 reižu. Ģerboņa zaudēšanas biežums pirmajā gadījumā izrādījās 0,5016, otrajā - 0,5005.

H. Pieredze Vestergārds. No urnas, kurā vienādi bija baltas un melnas bumbiņas, ar 10 000 izvilkumiem (ar nākamās izvilktās bumbiņas atgriešanu urnā) iegūtas 5011 baltas un 4989 melnas bumbiņas. Balto bumbiņu biežums bija 0,50110 = (), bet melno - 0,49890.

4. Pieredze V.I. Romanovskis. Četras monētas tiek izmestas 21160 reizes. Dažādu ģerboņa un režģa kombināciju frekvences un frekvences tika sadalītas šādi:

Ģerboņa un astes skaita kombinācijas	Frekvences	Frekvences
		empīrisks	Teorētiski
4 un 0	1 181	0,05858	0,0625
3 un 1	4909	0,24350	0,2500
2. un 2	7583	0,37614	0,3750
1 un 3	5085	0,25224	0,2500
1 un 4		0,06954	0,0625
Kopā	20160	1,0000	1,0000

Lielo skaitļu likuma eksperimentālo pārbaužu rezultāti mūs pārliecina, ka eksperimentālās frekvences ir tuvas varbūtībām.

CENTRĀLĀS ROBEŽAS TEORĒMA

Ir viegli pierādīt, ka jebkura ierobežota skaita neatkarīgu normāli sadalītu gadījuma lielumu summa arī tiek sadalīta saskaņā ar normālo likumu.

Ja neatkarīgie gadījuma mainīgie netiek sadalīti saskaņā ar parasto likumu, tad tiem var tikt uzlikti daži ļoti brīvi ierobežojumi, un to summa joprojām tiks sadalīta normāli.

Šo problēmu izvirzīja un risināja galvenokārt krievu zinātnieki P. L. Čebiševs un viņa skolēni A. A. Markovs un A. M. Ļapunovs.

Teorēma (Ļapunovs).

Ja neatkarīgiem gadījuma mainīgajiem ir ierobežotas matemātiskās cerības un ierobežotas dispersijas , to skaits ir pietiekami liels un ar neierobežotu pieaugumu

,

kur ir trešās kārtas absolūtie centrālie momenti, tad to summai ar pietiekamu precizitātes pakāpi ir sadalījums

(Patiesībā mēs piedāvājam nevis Ļapunova teorēmu, bet gan vienu no tās izrietošajām sekām, jo ​​praktiski pielietojumam ar šo secinājumu pilnīgi pietiek. Tāpēc nosacījums , ko sauc par Ļapunova nosacījumu, ir stingrāka prasība, nekā nepieciešams pašas Ļapunova teorēmas pierādīšanai.)

Nosacījuma nozīme ir tāda, ka katra termina (gadījuma mainīgā) darbība ir maza, salīdzinot ar visu to kopējo darbību. Daudzas nejaušas parādības, kas notiek dabā un sociālajā dzīvē, notiek tieši saskaņā ar šo modeli. Šajā sakarā Ļapunova teorēmai ir ārkārtīgi liela nozīme, un normāls likums sadalījums ir viens no varbūtības teorijas pamatlikumiem.

Ļaujiet, piemēram, mērīšana kāds izmērs. Dažādas novēroto vērtību novirzes no tās patiesās vērtības (matemātiskās cerības) tiek iegūtas ļoti daudzu faktoru ietekmes rezultātā, no kuriem katrs rada nelielu kļūdu un . Tad kopējā mērījumu kļūda ir gadījuma lielums, kas saskaņā ar Ļapunova teorēmu ir jāsadala saskaņā ar parasto likumu.

Plkst šaušana ar ieročiemļoti daudzu nejaušu cēloņu ietekmē čaumalas tiek izkaisītas noteiktā apgabalā. Nejaušus efektus uz šāviņa trajektoriju var uzskatīt par neatkarīgiem. Katrs cēlonis rada tikai nelielas izmaiņas trajektorijā, salīdzinot ar kopējām izmaiņām visu cēloņu dēļ. Tāpēc jārēķinās, ka šāviņa pārrāvuma vietas novirze no mērķa būs nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu.

Pēc Ļapunova teorēmas mums ir tiesības sagaidīt, ka, piemēram, pieauguša vīrieša augums ir nejaušs lielums, kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu. Šī hipotēze, kā arī iepriekšējos divos piemēros aplūkotās, labi saskan ar novērojumiem. Apstiprinājumam mēs sniedzam 1000 pieaugušu vīriešu kārtas strādnieku sadalījumu pēc auguma un atbilstošo vīriešu teorētisko skaitu, t.i., vīriešu skaitu, kuriem vajadzētu palielināties šajās grupās, pamatojoties uz pieņēmumu par vīriešu garuma sadalījumu atbilstoši normālajam likumam.

Augstums, cm	vīriešu skaits
	eksperimentālie dati	teorētiski prognozes
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Precīzāku sakritību starp eksperimentālajiem un teorētiskajiem datiem būtu grūti sagaidīt.

Kā izriet no Ļapunova teorēmas var viegli pierādīt priekšlikumu, kas turpmāk būs vajadzīgs, lai pamatotu izlases metodi.

Piedāvājums.

Pietiekami liela skaita vienādi sadalītu gadījuma lielumu ar trešās kārtas absolūtajiem centrālajiem momentiem summa tiek sadalīta saskaņā ar normālo likumu.

Varbūtības teorijas robežteorēmas, Moivra-Laplasa teorēmas izskaidro notikuma rašanās biežuma stabilitātes raksturu. Šis raksturs sastāv no tā, ka notikuma gadījumu skaita ierobežojošais sadalījums ar neierobežotu izmēģinājumu skaita pieaugumu (ja notikuma iespējamība visos izmēģinājumos ir vienāda) ir normāls sadalījums.

Nejaušo lielumu sistēma.

Iepriekš aplūkotie nejaušie mainīgie bija viendimensionāli, t.i. tika noteikti ar vienu skaitli, tomēr ir arī gadījuma lielumi, kurus nosaka divi, trīs utt. cipariem. Šādus nejaušus lielumus sauc par divdimensiju, trīsdimensiju utt.

Atkarībā no sistēmā iekļauto nejaušo lielumu veida sistēmas var būt diskrētas, nepārtrauktas vai jauktas, ja sistēma ietver dažāda veida nejaušos lielumus.

Sīkāk aplūkosim divu nejaušu lielumu sistēmas.

Definīcija. sadales likums gadījuma lielumu sistēmu sauc par sakarību, kas nosaka sakarību starp nejaušo lielumu sistēmas iespējamo vērtību apgabaliem un sistēmas rašanās varbūtībām šajās jomās.

Piemērs. No urnas, kurā ir 2 baltas un 3 melnas bumbiņas, tiek izvilktas divas bumbiņas. Ļaut ir izvilkto balto bumbiņu skaits, un nejaušo lielumu definē šādi:

Izveidosim nejaušo lielumu sistēmas sadalījuma tabulu:

Tā kā ir varbūtība, ka netiks izņemta neviena balta bumbiņa (tātad tiek izņemtas divas melnās bumbiņas), kamēr , tad

.

Varbūtība

.

Varbūtība

Varbūtība ir varbūtība, ka netiks izņemta neviena balta bumbiņa (un līdz ar to tiek izņemtas divas melnās bumbiņas), kamēr , tad

Varbūtība ir varbūtība, ka tiek novilkta viena balta bumbiņa (un līdz ar to viena melna), savukārt , Tad

Varbūtība - varbūtība, ka tiks izvilktas divas baltas bumbiņas (un līdz ar to nevienas melnas), savukārt , tad

.

Tādējādi divdimensiju gadījuma lieluma sadalījuma sērijai ir šāda forma:

Definīcija. sadales funkcija Divu nejaušu mainīgo sistēmu sauc par divu argumentu funkcijuF( x, y) , vienāds ar divu nevienādību kopīgas izpildes varbūtībuX< x, Y< y.

Mēs atzīmējam šādas divu nejaušu lielumu sistēmas sadalījuma funkcijas īpašības:

1) ;

2) Sadales funkcija ir nesamazināma funkcija attiecībā uz katru argumentu:

3) Sekojošais ir patiess:

4)

5) Varbūtība trāpīt nejaušā punktā ( X, Y ) patvaļīgā taisnstūrī, kura malas ir paralēlas koordinātu asīm, aprēķina pēc formulas:

Divu nejaušu lielumu sistēmas sadalījuma blīvums.

Definīcija. Savienojuma sadalījuma blīvums divdimensiju gadījuma lieluma varbūtības ( X, Y ) sauc par sadalījuma funkcijas otro jaukto daļējo atvasinājumu.

Ja ir zināms sadalījuma blīvums, tad sadalījuma funkciju var atrast pēc formulas:

Divdimensiju sadalījuma blīvums nav negatīvs, un dubultais integrālis ar bezgalīgām divdimensiju blīvuma robežām ir vienāds ar vienu.

No zināmā kopīgā sadalījuma blīvuma var atrast katras divdimensiju gadījuma lieluma komponentes sadalījuma blīvumu.

; ;

Nosacīti sadales likumi.

Kā parādīts iepriekš, zinot kopīgo sadalījuma likumu, var viegli atrast sadalījuma likumus katram nejaušajam mainīgajam, kas iekļauts sistēmā.

Taču praksē biežāk ir apgrieztā problēma – pēc zināmajiem gadījuma lielumu sadalījuma likumiem atrast to kopīgo sadalījuma likumu.

Vispārīgā gadījumā šī problēma nav atrisināma, jo nejauša lieluma sadalījuma likums neko nesaka par šī mainīgā saistību ar citiem gadījuma lielumiem.

Turklāt, ja nejaušie mainīgie ir atkarīgi viens no otra, tad sadalījuma likumu nevar izteikt ar komponentu sadalījuma likumiem, jo jāizveido savienojums starp komponentiem.

Tas viss noved pie nepieciešamības apsvērt nosacījumu sadales likumus.

Definīcija. Sistēmā iekļauta viena gadījuma lieluma sadalījumu, kas atrasts ar nosacījumu, ka cits gadījuma mainīgais ir ieguvis noteiktu vērtību, sauc nosacītās sadales likums.

Nosacītā sadalījuma likumu var norādīt gan pēc sadalījuma funkcijas, gan pēc sadalījuma blīvuma.

Nosacītā sadalījuma blīvumu aprēķina pēc formulām:

Nosacītajam sadalījuma blīvumam ir visas viena gadījuma lieluma sadalījuma blīvuma īpašības.

Nosacīta matemātiskā cerība.

Definīcija. nosacīti matemātiskās cerības diskrētais gadījuma mainīgais Y pie X = x (x ir noteikta X iespējamā vērtība) sauc par visu iespējamo vērtību reizinājumu Y par to nosacītajām varbūtībām.

Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem:

,

Kur f( y/ x) ir nejaušā mainīgā nosacītais blīvums Y, kad X = x .

Nosacīta cerībaM( Y/ x)= f( x) ir funkcija X un piezvanīja regresijas funkcija X ieslēgta Y.

Piemērs.Atrodiet komponenta nosacīto cerību Y plkst

X=x1 =1 diskrētam divdimensiju gadījuma mainīgajam, kas norādīts tabulā:

Y
	x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

Gadījuma lielumu sistēmas nosacītā dispersija un nosacījuma momenti tiek definēti līdzīgi.

Atkarīgie un neatkarīgie gadījuma lielumi.

Definīcija. Tiek saukti nejaušie mainīgie neatkarīgs, ja viena no tiem sadalījuma likums nav atkarīgs no tā, kādu vērtību iegūst otrs nejaušais mainīgais.

Nejaušo lielumu atkarības jēdziens varbūtību teorijā ir ļoti svarīgs.

Neatkarīgo gadījuma mainīgo nosacītie sadalījumi ir vienādi ar to beznosacījumu sadalījumiem.

Definēsim nepieciešamos un pietiekamos nosacījumus gadījuma lielumu neatkarībai.

Teorēma. Y ir neatkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas sadales funkcija ( X, Y) bija vienāds ar komponentu sadalījuma funkciju reizinājumu.

Līdzīgu teorēmu var formulēt sadalījuma blīvumam:

Teorēma. Lai nejaušie mainīgie X un Y ir neatkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas kopīgais sadalījuma blīvums ( X, Y) bija vienāds ar komponentu sadalījuma blīvuma reizinājumu.

Praktiski tiek izmantotas šādas formulas:

Diskrētajiem nejaušajiem mainīgajiem:

Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem:

Korelācijas moments kalpo, lai raksturotu sakarību starp nejaušajiem mainīgajiem. Ja nejaušie mainīgie ir neatkarīgi, tad to korelācijas moments ir nulle.

Korelācijas momentam ir dimensija, kas vienāda ar nejaušo lielumu X un izmēru reizinājumu Y . Šis fakts ir šī skaitliskā raksturlieluma trūkums, jo ar dažādām mērvienībām tiek iegūti dažādi korelācijas momenti, kas apgrūtina dažādu gadījuma lielumu korelācijas momentu salīdzināšanu.

Lai novērstu šo trūkumu, tiek izmantots cits raksturlielums - korelācijas koeficients.

Definīcija. Korelācijas koeficients rxy nejaušie mainīgie X un Y ir korelācijas momenta attiecība pret šo lielumu standartnoviržu reizinājumu.

Korelācijas koeficients ir bezizmēra lielums. Neatkarīgiem gadījuma mainīgajiem korelācijas koeficients ir nulle.

Īpašums: Divu gadījuma lielumu X un Y korelācijas momenta absolūtā vērtība nepārsniedz to dispersiju ģeometrisko vidējo.

Īpašums: Korelācijas koeficienta absolūtā vērtība nepārsniedz vienību.

Tiek saukti nejaušie mainīgie korelēja ja to korelācijas moments nav nulle, un nekorelēts ja to korelācijas moments ir nulle.

Ja gadījuma mainīgie ir neatkarīgi, tad tie nav korelēti, bet no nekorelācijas nevar secināt, ka tie ir neatkarīgi.

Ja divi lielumi ir atkarīgi, tad tie var būt vai nu korelēti, vai nekorelēti.

Bieži vien pēc gadījuma lielumu sistēmas noteiktā sadalījuma blīvuma var noteikt šo mainīgo atkarību vai neatkarību.

Līdzās korelācijas koeficientam gadījuma lielumu atkarības pakāpi var raksturot arī ar citu lielumu, ko sauc kovariācijas koeficients. Kovariācijas koeficientu nosaka pēc formulas:

Piemērs. Gadījuma lielumu sistēmas sadalījuma blīvums X unneatkarīgs. Protams, tie arī nebūs korelēti.

Lineārā regresija.

Apsveriet divdimensiju gadījuma lielumu ( X , Y ), kur X un Y ir atkarīgi nejauši mainīgie.

Atveidosim aptuveni vienu gadījuma mainīgo kā cita funkciju. Precīza atbilstība nav iespējama. Mēs pieņemam, ka šī funkcija ir lineāra.

Lai noteiktu šo funkciju, atliek tikai atrast konstantās vērtības a Un b.

Definīcija. Funkcijag( X) sauca labākais tuvinājums nejaušais mainīgais Y mazāko kvadrātu metodes izpratnē, ja matemātiskā cerība

Pieņem mazāko iespējamo vērtību. Arī funkcijag( x) sauca vidējā kvadrātiskā regresija Y uz X.

Teorēma. Lineārā vidējā kvadrāta regresija Y uz X aprēķina pēc formulas:

šajā formulā m x= M( X nejaušais mainīgais Yattiecībā pret nejaušo mainīgo X.Šī vērtība raksturo kļūdas lielumu, kas rodas nejauša lieluma aizstāšanas rezultātāYlineārā funkcijag( X) = aX +b.

Ir redzams, ka, ja r= ± 1, tad atlikušā dispersija ir nulle, un līdz ar to kļūda ir nulle un nejaušais mainīgaisYir precīzi attēlots ar nejaušā lieluma lineāru funkciju X.

Tiešā saknes vidējā kvadrāta regresija X ieslēgtsYtiek noteikts līdzīgi pēc formulas: X un Yir lineāras regresijas funkcijas attiecībā pret otru, tad mēs sakām, ka lielumi X UnYsavienots lineārās korelācijas atkarība.

Teorēma. Ja divdimensiju gadījuma lielums ( X, Y) ir normāli sadalīts, tad X un Y ir savienoti ar lineārās korelācijas atkarību.

E.G. Ņikiforova

Lielo skaitļu likums varbūtības teorijā apgalvo, ka pietiekami lielas ierobežotas izlases empīriskais vidējais (vidējais aritmētiskais) no fiksēta sadalījuma ir tuvu šī sadalījuma teorētiskajam vidējam (gaidāmajam). Atkarībā no konverģences veida izšķir lielo skaitļu vājo likumu, kad notiek varbūtības konverģence, un stipro lielo skaitļu likumu, kad konverģence notiek gandrīz visur.

Vienmēr ir ierobežots skaits izmēģinājumu, kuriem ar jebkuru doto varbūtību ir mazāks par 1 kāda notikuma relatīvais rašanās biežums patvaļīgi maz atšķirsies no tā varbūtības.

Lielo skaitļu likuma vispārējā nozīme: liela skaita identisku un neatkarīgu nejaušības faktoru kopīga darbība noved pie rezultāta, kas robežās nav atkarīgs no nejaušības.

Uz šo īpašību ir balstītas metodes varbūtības noteikšanai, pamatojoties uz ierobežota parauga analīzi. labs piemērs ir vēlēšanu rezultātu prognoze, kas balstīta uz vēlētāju izlases aptauju.

Enciklopēdisks YouTube

1 / 5

✪ Lielo skaitļu likums

✪ 07 — varbūtību teorija. Lielo skaitļu likums

✪ 42 Lielo skaitļu likums

✪ 1 - Čebiševa lielo skaitļu likums

✪ 11. klase, 25. stunda, Gausa līkne. Lielo skaitļu likums

Subtitri

Apskatīsim lielo skaitļu likumu, kas, iespējams, ir visintuitīvākais likums matemātikā un varbūtību teorijā. Un, tā kā tas attiecas uz tik daudzām lietām, tas dažreiz tiek izmantots un pārprasts. Ļaujiet man vispirms sniegt tai precizitātes definīciju, un tad mēs runāsim par intuīciju. Pieņemsim gadījuma lielumu, piemēram, X. Pieņemsim, ka mēs zinām tā matemātisko cerību jeb populācijas vidējo lielumu. Lielo skaitļu likums vienkārši saka, ka, ja mēs ņemam piemēru ar nejauša lieluma n-to novērojumu skaitu un vidējo visu šo novērojumu skaitu... Ņemsim mainīgo. Sauksim to par X ar apakšindeksu n un domuzīmi augšpusē. Šis ir mūsu nejaušā mainīgā lieluma n-tā novērojumu skaita vidējais aritmētiskais. Šeit ir mans pirmais novērojums. Es veicu eksperimentu vienu reizi un veicu šo novērojumu, tad es to daru vēlreiz un veicu šo novērojumu, es to daru vēlreiz un es saņemu šo. Es izpildu šo eksperimentu n reizes un pēc tam dalu ar manu novērojumu skaitu. Šeit ir mans vidējais paraugs. Šeit ir visu manu veikto novērojumu vidējais rādītājs. Lielo skaitļu likums mums saka, ka mana izlases vidējā vērtība tuvosies nejaušā mainīgā vidējam. Vai arī es varu uzrakstīt, ka mans izlases vidējais tuvinās populācijas vidējam n-tajam skaitlim, kas iet uz bezgalību. Es nenošķiršu skaidru atšķirību starp "tuvināšanu" un "konverģenci", bet es ceru, ka jūs intuitīvi saprotat, ka, ja es šeit ņemu diezgan lielu izlasi, tad es iegūstu paredzamo vērtību visai populācijai. Es domāju, ka lielākā daļa no jums intuitīvi saprot, ka, ja es veicu pietiekami daudz testu ar lielu piemēru izlasi, galu galā testi man dos vērtības, kuras es gaidu, ņemot vērā matemātisko cerību, varbūtību un visu to. Bet es domāju, ka bieži vien nav skaidrs, kāpēc tas notiek. Un pirms es sāku skaidrot, kāpēc tas tā ir, ļaujiet man sniegt jums konkrētu piemēru. Lielo skaitļu likums mums saka, ka... Pieņemsim, ka mums ir nejaušs lielums X. Tas ir vienāds ar galviņu skaitu 100 pareizās monētas metienos. Pirmkārt, mēs zinām šī nejaušā mainīgā matemātiskās cerības. Šis ir monētu mešanas vai izmēģinājumu skaits, kas reizināts ar izredzēm uz veiksmīgu izmēģinājumu. Tātad tas ir vienāds ar 50. Tas ir, lielo skaitļu likums saka, ka, ja mēs ņemam paraugu vai ja es novērtēju šo izmēģinājumu vidējo vērtību, es saņemšu. .. Pirmo reizi veicot testu, es metu monētu 100 reizes vai paņemu kastīti ar simts monētām, sakratu to un tad saskaitu, cik galvu man sanāk, un iegūstu, teiksim, skaitli 55. Tas būs X1. Tad es vēlreiz sakratu kastīti un es saņemu skaitli 65. Tad atkal - un es saņemu 45. Un es to daru n reizes, un tad es to sadalu ar izmēģinājumu skaitu. Lielo skaitļu likums mums saka, ka šis vidējais (visu manu novērojumu vidējais rādītājs) būs 50, bet n - līdz bezgalībai. Tagad es gribētu nedaudz parunāt par to, kāpēc tas notiek. Daudzi uzskata, ka, ja pēc 100 izmēģinājumiem mans rezultāts ir virs vidējā, tad pēc varbūtības likumiem man vajadzētu būt vairāk vai mazāk galvas, lai, tā teikt, kompensētu starpību. Tas nenotiks tieši tā. To bieži dēvē par "spēļu maldiem". Ļaujiet man parādīt atšķirību. Es izmantošu šādu piemēru. Ļaujiet man uzzīmēt grafiku. Mainīsim krāsu. Tas ir n, mana x ass ir n. Šis ir testu skaits, ko es izpildīšu. Un mana y ass būs izlases vidējais rādītājs. Mēs zinām, ka šī patvaļīgā mainīgā vidējā vērtība ir 50. Ļaujiet man uzzīmēt šo. Tas ir 50. Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Ja n ir... Pirmajā pārbaudē es saņēmu 55, kas ir mans vidējais rādītājs. Man ir tikai viens datu ievades punkts. Tad pēc diviem izmēģinājumiem es saņemu 65. Tātad mans vidējais rādītājs būtu 65+55 dalīts ar 2. Tas ir 60. Un mans vidējais rādītājs nedaudz pieauga. Tad saņēmu 45, kas atkal pazemināja manu vidējo aritmētisko. Es diagrammā neuzzīmēšu 45. Tagad man tas viss ir jāizvērtē vidēji. Ar ko ir vienāds 45+65? Ļaujiet man aprēķināt šo vērtību, lai attēlotu punktu. Tas ir 165 dalīts ar 3. Tas ir 53. Nē, 55. Tātad vidējais rādītājs atkal samazinās līdz 55. Mēs varam turpināt šos testus. Pēc tam, kad esam veikuši trīs izmēģinājumus un nonākuši pie šī vidējā daudzuma, daudzi domā, ka varbūtības dievi to izdarīs tā, ka nākotnē mums būs mazāk galvu, ka nākamie izmēģinājumi būs zemāki, lai samazinātu vidējo. Taču ne vienmēr tā ir. Nākotnē varbūtība vienmēr paliek nemainīga. Varbūtība, ka es ripināšu galvu, vienmēr būs 50%. Ne tas, ka sākumā saņemu noteiktu skaitu galvu, vairāk nekā gaidu, un tad pēkšņi astes vajadzētu izkrist. Tā ir "spēlētāja maldīšanās". Ja tev sanāk nesamērīgi daudz galvu, tas nenozīmē, ka kādā brīdī tev sāks krist nesamērīgi daudz astes. Tā nav gluži taisnība. Lielo skaitļu likums mums saka, ka tam nav nozīmes. Teiksim, pēc noteikta ierobežota izmēģinājumu skaita jūsu vidējais... Tā varbūtība ir diezgan maza, bet, tomēr... Pieņemsim, ka jūsu vidējais sasniedz šo atzīmi - 70. Jūs domājat: "Oho, mēs esam pārsnieguši cerības." Taču lielo skaitļu likums saka, ka ir vienalga, cik daudz testu mēs veicam. Mums vēl priekšā bezgalīgi daudz pārbaudījumu. Matemātiskās cerības uz šo bezgalīgo izmēģinājumu skaitu, īpaši tādā situācijā kā šī, būs šādas. Kad jūs izdomājat ierobežotu skaitli, kas izsaka kādu lielu vērtību, bezgalīgs skaitlis, kas tam saplūst, atkal novedīs pie paredzamās vērtības. Tā, protams, ir ļoti brīva interpretācija, taču to mums saka lielo skaitļu likums. Tas ir svarīgi. Viņš mums nesaka, ka, ja mums būs daudz galvu, tad kaut kādā veidā palielināsies izredzes iegūt astes, lai to kompensētu. Šis likums mums saka, ka nav nozīmes tam, kāds ir rezultāts ar ierobežotu skaitu izmēģinājumu, ja vien jums priekšā vēl ir bezgalīgs izmēģinājumu skaits. Un, ja jūs tos pagatavosit pietiekami daudz, jūs atkal atgriezīsities pie gaidītā. Šis svarīgs punkts. Padomā par to. Bet tas netiek ikdienā lietots praksē ar loterijām un kazino, lai gan zināms, ka, veicot pietiekami daudz testu... Varam pat aprēķināt... kāda ir iespējamība, ka mēs nopietni novirzīsimies no normas? Bet kazino un loterijas katru dienu strādā pēc principa, ja ņem pietiekami daudz cilvēku, protams, par īstermiņa, ar nelielu izlasi, tad daži cilvēki sitīs džekpotu. Taču ilgtermiņā kazino vienmēr gūs labumu no to spēļu parametriem, kuras viņi aicina spēlēt. Šis ir svarīgs varbūtības princips, kas ir intuitīvs. Lai gan dažreiz, kad tas jums formāli tiek izskaidrots ar nejaušiem mainīgajiem, tas viss izskatās nedaudz mulsinoši. Šis likums saka, ka jo vairāk paraugu ir, jo vairāk šo paraugu vidējais aritmētiskais tuvosies patiesajam vidējam. Un, lai būtu precīzāk, jūsu izlases vidējais aritmētiskais saplūdīs ar nejaušā mainīgā lieluma matemātisko cerību. Tas ir viss. Tiekamies nākamajā video!

Vājš lielu skaitļu likums

Vājais lielo skaitļu likums tiek saukts arī par Bernulli teorēmu Jēkaba Bernulli vārdā, kurš to pierādīja 1713. gadā.

Lai ir bezgalīga secība (secīga uzskaitīšana) identiski sadalītiem un nekorelētiem gadījuma mainīgajiem . Tas ir, viņu kovariācija c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displeja stils \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\visiem i\not =j). Ļaujiet . Apzīmē ar pirmās izlases vidējo n (\displaystyle n) biedri:

.

Tad X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Tas ir, par katru pozitīvu ε (\displaystyle \varepsilon )

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Spēcīgs lielu skaitļu likums

Lai ir bezgalīga neatkarīgu identiski sadalītu gadījuma lielumu secība (X i ) i = 1 ∞ (\displeja stils \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) definēts vienā varbūtības telpā (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Ļaujiet E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Apzīmē ar X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n)) pirmā parauga vidējais rādītājs n (\displaystyle n) biedri:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i),\;n\in \math.

Tad X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) gandrīz vienmēr.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \right)=1.) .

Tāpat kā jebkuru matemātisko likumu, lielo skaitļu likumu var piemērot reālajai pasaulei tikai ar zināmiem pieņēmumiem, kurus var izpildīt tikai ar zināmu precizitāti. Tātad, piemēram, secīgu testu nosacījumus bieži nevar uzturēt bezgalīgi un ar absolūtu precizitāti. Turklāt lielo skaitļu likums runā tikai par varbūtība ievērojama vidējās vērtības novirze no matemātiskās cerības.