Kas ir logaritms?

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kas ir logaritms? Kā atrisināt logaritmus? Šie jautājumi mulsina daudzus absolventus. Tradicionāli logaritmu tēma tiek uzskatīta par sarežģītu, nesaprotamu un biedējošu. Īpaši - vienādojumi ar logaritmiem.

Tā absolūti nav taisnība. Pilnīgi noteikti! Vai neticat? Labi. Tagad kādas 10–20 minūtes jūs:

1. Saprast kas ir logaritms.

2. Iemācīties atrisināt visu klasi eksponenciālie vienādojumi. Pat ja jūs par tiem neesat dzirdējuši.

3. Iemācieties aprēķināt vienkāršus logaritmus.

Turklāt, lai to izdarītu, jums būs jāzina tikai reizināšanas tabula un tas, kā skaitlis tiek palielināts līdz pakāpei ...

Es jūtu, ka šaubāties... Nu, paturiet laiku! Aiziet!

Vispirms savā prātā atrisiniet šādu vienādojumu:

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Primitīvu tabula.

Nenoteiktā integrāļa īpašības ļauj mums atrast tā antiatvasinājumu no zināmās funkcijas diferenciāļa. Tādējādi, izmantojot vienādības un var būt no galvenās atvasinājumu tabulas elementāras funkcijas izveidojiet primitīvu tabulu.

Atsaukt atvasinājumu tabula, mēs to rakstām diferenciāļu veidā.

Piemēram, atradīsim jaudas funkcijas nenoteikto integrāli.

Izmantojot diferenciālo tabulu , tāpēc ar nenoteiktā integrāļa īpašībām mums ir . Tāpēc vai citā ierakstā

Atrodiet jaudas funkcijas antiatvasinājumu kopu p = -1 . Mums ir . Atsaucoties uz naturālā logaritma diferenciāļu tabulu , tātad, . Tāpēc .

Ceru, ka saprati domu.

Antiatvasinājumu tabula (nenoteiktie integrāļi).

Formulas no tabulas kreisās kolonnas sauc par pamata antiatvasinājumiem. Formulas no labās kolonnas nav pamata, bet ļoti bieži tiek izmantotas, meklējot nenoteiktus integrāļus. Tos var pārbaudīt, diferencējot.

Tieša integrācija.

Tiešā integrācija ir balstīta uz nenoteiktu integrāļu īpašību izmantošanu , , integrācijas noteikumi un primitīvu tabulas.

Parasti integrālists vispirms ir nedaudz jāpārveido, lai varētu izmantot pamata integrāļu tabulu un integrāļu īpašības.

Piemērs.

Atrodiet integrāli .

Risinājums.

Koeficientu 3 var izņemt no integrālās zīmes, pamatojoties uz īpašību:

Pārveidosim integrand(saskaņā ar trigonometrijas formulām):

Tā kā summas integrālis ir vienāds ar integrāļu summu, tad

Ir pienācis laiks pievērsties primitīvu tabulai:

Atbilde:

.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu kopu

Risinājums.

Mēs pievēršamies eksponenciālās funkcijas antiatvasinājumu tabulai: . Tas ir, .

Ja mēs izmantojam integrācijas noteikumu , tad mums ir:

Tādējādi antiatvasinājumu tabula kopā ar īpašībām un integrācijas likumu ļauj atrast daudz nenoteiktu integrāļu. Tomēr ne vienmēr ir iespējams pārveidot integrandu, lai izmantotu antiatvasinājumu tabulu.

Piemēram, antiatvasinājumu tabulā nav logaritma funkcijas integrāļa, arkosīna, arkosīna, arktangensas un arkotangensas funkcijas, pieskares un kotangentes funkcijas. Lai tos atrastu, tiek izmantotas īpašas metodes. Bet vairāk par to nākamajā sadaļā:

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Integrāļu tabula. Tabulas nav noteikti integrāļi. (Vienkāršie integrāļi un integrāļi ar parametru). Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.

Antiderivatīvu ("integrāļu") tabula. Tabulas nenoteiktie integrāļi. (Vienkāršie integrāļi un integrāļi ar parametru).
Jaudas funkcijas neatņemama sastāvdaļa.	Jaudas funkcijas neatņemama sastāvdaļa.
Integrālis, kas reducējas par jaudas funkcijas integrāli, ja x tiek virzīts zem diferenciāļa zīmes.
	Eksponenciālais integrālis, kur a ir nemainīgs skaitlis.
Sarežģītas eksponenciālās funkcijas integrālis.	Eksponenciālās funkcijas integrālis.
Integrālis, kas vienāds ar naturālo logaritmu.	Integrālis: "Garais logaritms".
	Integrālis: "Garais logaritms".
Integrālis: "Augsts logaritms".	Rezultātā integrālis, kur x skaitītājā ir novietots zem diferenciāļa zīmes (konstante zem zīmes var būt gan saskaitāma, gan atņemta), ir līdzīgs integrālim, kas vienāds ar naturālo logaritmu.
Integrālis: "Augsts logaritms".
Kosinusa integrālis.	Sinusa integrālis.
Integrālis, kas vienāds ar tangensu.	Integrālis, kas vienāds ar kotangensu.
Integrālis, kas vienāds gan ar arcsinusu, gan arsinusu
Integrālis, kas vienāds gan ar apgriezto, gan ar apgriezto kosinusu.	Integrālis, kas vienāds gan ar loka tangensu, gan loka kotangensu.
Integrālis ir vienāds ar kosekantu.	Integrālis vienāds ar sekantu.
Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.	Integrālis, kas vienāds ar loka kosekantu.
Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.	Integrālis, kas vienāds ar arkekantu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sinusu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosinusu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodā.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodas versijā.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko tangensu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kotangensu.
Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko sekantu.	Integrālis, kas vienāds ar hiperbolisko kosekantu.

Formulas integrēšanai pa daļām. Integrācijas noteikumi.

Formulas integrēšanai pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.Integrācijas noteikumi.
Produkta (funkcijas) integrācija ar konstanti:
Funkciju summas integrācija:
nenoteiktie integrāļi:
Integrācija pēc detaļu formulas noteikti integrāļi:
Ņūtona-Leibnica formula noteikti integrāļi:	Kur F(a), F(b) ir antiatvasinājumu vērtības attiecīgi punktos b un a.

Atvasinājumu tabula. Tabulu atvasinājumi. Produkta atvasinājums. Privātā atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Ja x ir neatkarīgs mainīgais, tad:

Atvasinājumu tabula. Tabulu atvasinājumi. "tabulas atvasinājums" - jā, diemžēl, tie tiek meklēti internetā
	Jaudas funkcijas atvasinājums
	Eksponenta atvasinājums
Saliktas eksponenciālās funkcijas atvasinājums	Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Logaritmiskās funkcijas atvasinājums	Dabiskā logaritma atvasinājums
	Funkcijas naturālā logaritma atvasinājums
Sinusa atvasinājums	kosinusa atvasinājums
Kosekanta atvasinājums	Sekants atvasinājums
Arksīna atvasinājums	Loka kosinusa atvasinājums
Arksīna atvasinājums	Loka kosinusa atvasinājums
Pieskares atvasinājums	Kotangentes atvasinājums
Loka tangentes atvasinājums	Apgrieztās tangensas atvasinājums
Loka tangentes atvasinājums	Apgrieztās tangensas atvasinājums
Arcsekanta atvasinājums	Loka kosekanta atvasinājums
Arcsekanta atvasinājums	Loka kosekanta atvasinājums
Hiperboliskā sinusa atvasinājums Hiperboliskā sinusa atvasinājums angļu valodas versijā	Hiperboliskā kosinusa atvasinājums Hiperboliskā kosinusa atvasinājums angļu valodas versijā
Hiperboliskās tangensas atvasinājums	Hiperboliskā kotangenta atvasinājums
Hiperboliskā sekanta atvasinājums	Hiperboliskā kosekanta atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi. Produkta atvasinājums. Privātā atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.
Produkta (funkcijas) atvasinājums no konstantes:
Summas atvasinājums (funkcijas):
Produkta (funkciju) atvasinājums:
Koeficienta (funkciju) atvasinājums:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Logaritmu īpašības. Logaritmu pamatformulas. Decimālskaitļi (lg) un naturālie logaritmi (ln).

Pamatlogaritmiskā identitāte
Parādīsim, kā jebkuru formas a b funkciju var padarīt eksponenciālu. Tā kā funkciju ar formu e x sauc par eksponenciālu, tad
Jebkuru formas a b funkciju var attēlot kā desmit pakāpju

Naturālais logaritms ln (logaritma bāze e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Teilora sērija. Funkcijas paplašināšana Teilora sērijā.

Izrādās, ka lielākā daļa praktiski notiek matemātiskās funkcijas var attēlot ar jebkuru precizitāti noteikta punkta tuvumā pakāpju rindas veidā, kas satur mainīgā pakāpes augošā secībā. Piemēram, punkta x=1 tuvumā:

Lietojot rindas sauc Teilors rindas, jauktas funkcijas, kas satur, piemēram, algebriskas, trigonometriskas un eksponenciālas funkcijas, var izteikt kā tīri algebriskas funkcijas. Ar sēriju palīdzību bieži vien var ātri veikt diferenciāciju un integrāciju.

Teilora sērijai punkta a tuvumā ir šādas formas:

1) , kur f(x) ir funkcija, kurai ir visu secību atvasinājumi pie x=a. R n — Teilora sērijas atlikušo terminu nosaka izteiksme

2)

rindas k-to koeficientu (pie x k) nosaka pēc formulas

3) Īpašs Teilora sērijas gadījums ir Maclaurin sērija (= McLaren) (sadalīšanās notiek ap punktu a=0)

ja a=0

sērijas dalībniekus nosaka pēc formulas

Teilora sērijas piemērošanas nosacījumi.

1. Lai funkcija f(x) tiktu izvērsta Teilora sērijā uz intervāla (-R;R), ir nepieciešams un pietiekami, ka Teilora formulas (Maklaurīns (=McLaren)) atlikušais termins. funkcijai ir tendence uz nulli pie k →∞ norādītajā intervālā (-R;R).

2. Nepieciešams, lai vietā, kuras tuvumā mēs veidosim Teilora sēriju, būtu šīs funkcijas atvasinājumi.

Teilora sērijas īpašības.

Ja f ir analītiska funkcija, tad tās Teilora sērija jebkurā f apgabala punktā a saplūst ar f kādā a apkārtnē.

Ir bezgalīgi diferencējamas funkcijas, kuru Teilora rinda saplūst, bet atšķiras no funkcijas jebkurā a apkārtnē. Piemēram:

Teilora sērijas tiek izmantotas aproksimācijā (tuvinājums - zinātniska metode, kas sastāv no dažu objektu aizstāšanas ar citiem, vienā vai otrā nozīmē tuvu oriģinālam, bet vienkāršākām) funkcijām ar polinomiem. Jo īpaši linearizācija ((no linearis - lineāra), viena no slēgtu nelineāro sistēmu aptuvenās attēlošanas metodēm, kurā nelineāras sistēmas izpēte tiek aizstāta ar lineāras sistēmas analīzi, kas savā ziņā ir līdzvērtīga oriģinālajai. .) vienādojumu izvēršana notiek, izvēršot Teilora sēriju un nogriežot visus terminus, kas minēti pirmajā secībā.

Tādējādi gandrīz jebkuru funkciju var attēlot kā polinomu ar noteiktu precizitāti.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijās (=McLaren,Taylor 0 punkta tuvumā) un Teilors 1. punkta tuvumā. Taylor un MacLaren sēriju galveno funkciju paplašināšanas pirmie termini.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijā (= MacLaren, Taylor 0 punkta tuvumā)

Dažu izplatītu Teilora sērijas paplašinājumu piemēri ap 1. punktu