Lineāra funkcija ir forma y=kx+b, kur x ir neatkarīgs mainīgais, k un b ir jebkuri skaitļi.
Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija.

1. Lai attēlotu funkciju grafiku, mums ir vajadzīgas divu punktu koordinātas, kas pieder funkcijas grafikam. Lai tās atrastu, jāņem divas x vērtības, jāaizstāj tās funkcijas vienādojumā un no tām jāaprēķina atbilstošās y vērtības.

Piemēram, lai attēlotu funkciju y= x+2, ir ērti ņemt x=0 un x=3, tad šo punktu ordinātas būs vienādas ar y=2 un y=3. Iegūstam punktus A(0;2) un B(3;3). Savienosim tos un iegūstam funkcijas y= x+2 grafiku:

2. Formulā y=kx+b skaitli k sauc par proporcionalitātes koeficientu:
ja k>0, tad funkcija y=kx+b palielinās
ja k
Koeficients b parāda funkcijas grafika nobīdi pa OY asi:
ja b>0, tad funkcijas y=kx+b grafiku iegūst no funkcijas y=kx grafika, nobīdot b vienības uz augšu pa OY asi
ja b
Zemāk redzamajā attēlā parādīti funkciju y=2x+3 grafiki; y = ½x+3; y=x+3

Ņemiet vērā, ka visās šajās funkcijās koeficients k Virs nulles, un funkcijas ir pieaug. Turklāt, jo lielāka ir k vērtība, jo lielāks ir taisnes slīpuma leņķis pret OX ass pozitīvo virzienu.

Visās funkcijās b=3 - un mēs redzam, ka visi grafiki krustojas ar OY asi punktā (0;3)

Tagad aplūkosim funkciju grafikus y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Šoreiz visās funkcijās koeficients k mazāks par nulli un funkcijas samazināt. Koeficients b=3, un grafiki, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, šķērso OY asi punktā (0;3)

Aplūkosim funkciju grafikus y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Tagad visos funkciju vienādojumos koeficienti k ir vienādi ar 2. Un mēs saņēmām trīs paralēlas taisnes.

Bet koeficienti b ir atšķirīgi, un šie grafiki krustojas ar OY asi dažādos punktos:
Funkcijas y=2x+3 (b=3) grafiks šķērso OY asi punktā (0;3)
Funkcijas y=2x (b=0) grafiks šķērso OY asi punktā (0;0) - sākuma punktā.
Funkcijas y=2x-3 (b=-3) grafiks šķērso OY asi punktā (0;-3)

Tātad, ja zinām koeficientu k un b zīmes, tad uzreiz varam iedomāties, kā izskatās funkcijas y=kx+b grafiks.
Ja k 0

Ja k>0 un b>0, tad funkcijas y=kx+b grafiks izskatās šādi:

Ja k>0 un b, tad funkcijas y=kx+b grafiks izskatās šādi:

Ja k, tad funkcijas y=kx+b grafiks izskatās šādi:

Ja k=0, tad funkcija y=kx+b pārvēršas par funkciju y=b un tās grafiks izskatās šādi:

Funkcijas y=b grafika visu punktu ordinātas ir vienādas ar b Ja b=0, tad funkcijas y=kx (tiešā proporcionalitāte) grafiks iet caur izcelsmi:

3. Atsevišķi atzīmējam vienādojuma x=a grafiku.Šī vienādojuma grafiks ir OY asij paralēla taisne, kuras visiem punktiem ir abscisa x=a.

Piemēram, vienādojuma x=3 grafiks izskatās šādi:
Uzmanību! Vienādojums x=a nav funkcija, jo viena argumenta vērtība atbilst dažādām funkcijas vērtībām, kas neatbilst funkcijas definīcijai.

4. Divu līniju paralēlisma nosacījums:

Funkcijas y=k 1 x+b 1 grafiks ir paralēls funkcijas y=k 2 x+b 2 grafikam, ja k 1 =k 2

5. Nosacījums, lai divas taisnas līnijas būtu perpendikulāras:

Funkcijas y=k 1 x+b 1 grafiks ir perpendikulārs funkcijas y=k 2 x+b 2 grafikam, ja k 1 *k 2 =-1 vai k 1 =-1/k 2

6. Funkcijas y=kx+b grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm.

ar OY asi. Jebkura punkta, kas pieder pie OY ass, abscisa ir vienāda ar nulli. Tāpēc, lai atrastu krustošanās punktu ar OY asi, funkcijas vienādojumā x vietā jāaizstāj nulle. Mēs iegūstam y=b. Tas nozīmē, ka krustpunktam ar OY asi ir koordinātas (0;b).

Ar x asi: jebkura punkta, kas pieder pie x asi, ordināta ir nulle. Tāpēc, lai atrastu krustošanās punktu ar OX asi, funkcijas vienādojumā y vietā jāaizstāj nulle. Mēs iegūstam 0=kx+b. Tādējādi x=-b/k. Tas nozīmē, ka krustošanās punktam ar OX asi ir koordinātas (-b / k; 0):

1. Lineāra daļfunkcija un tās grafiks

Funkciju formā y = P(x) / Q(x), kur P(x) un Q(x) ir polinomi, sauc par daļēju racionālu funkciju.

Jūs droši vien jau esat iepazinies ar racionālo skaitļu jēdzienu. Līdzīgi racionālas funkcijas ir funkcijas, kuras var attēlot kā divu polinomu koeficientu.

Ja daļēja racionāla funkcija ir divu lineāru funkciju - pirmās pakāpes polinomu - koeficients, t.i. skatīšanas funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tad to sauc par daļēju lineāru.

Ņemiet vērā, ka funkcijā y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (pretējā gadījumā funkcija kļūst lineāra y = ax/d + b/d) un ka a/c ≠ b/d (pretējā gadījumā funkcija ir nemainīga). Lineāri daļskaitļu funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem, izņemot x = -d/c. Lineāri daļskaitļu funkciju grafiki pēc formas neatšķiras no diagrammas, kuru jūs zināt, y = 1/x. Tiek izsaukta līkne, kas ir funkcijas y = 1/x grafiks hiperbola. Ar neierobežotu x absolūtās vērtības pieaugumu, funkcija y = 1/x absolūtā vērtībā bezgalīgi samazinās un abi grafika zari tuvojas abscisu asij: labais tuvojas no augšas, bet kreisais tuvojas no apakšas. Līnijas, kurām tuvojas hiperbolas zari, sauc par tās asimptoti.

1. piemērs

y = (2x + 1) / (x - 3).

Risinājums.

Atlasīsim vesela skaitļa daļu: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Tagad ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas grafiks ir iegūts no funkcijas y = 1/x grafika ar sekojošām transformācijām: nobīdīt par 3 vienību segmentiem pa labi, izstiept pa Oy asi 7 reizes un nobīdīt par 2 vienību segmentiem uz augšu.

Jebkuru daļu y = (ax + b) / (cx + d) var uzrakstīt tādā pašā veidā, izceļot “visu daļu”. Līdz ar to visu lineāri frakcionētu funkciju grafiki ir hiperbolas, kas dažādos veidos nobīdītas pa koordinātu asīm un izstieptas pa Oy asi.

Lai izveidotu grafiku dažu patvaļīgu lineāra daļēja funkcija nemaz nav nepieciešams pārveidot daļu, kas nosaka šo funkciju. Tā kā mēs zinām, ka grafiks ir hiperbola, tad pietiks, lai atrastu taisnes, kurām tuvojas tā zari - hiperbolas asimptotes x = -d/c un y = a/c.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas y = (3x + 5)/(2x + 2) grafika asimptotus.

Risinājums.

Funkcija nav definēta, ja x = -1. Tādējādi līnija x = -1 kalpo kā vertikāla asimptote. Lai atrastu horizontālo asimptotu, noskaidrosim, kam tuvojas funkcijas y(x) vērtības, kad argumentam x palielinās absolūtā vērtība.

Lai to izdarītu, mēs dalām frakcijas skaitītāju un saucēju ar x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kā x → ∞ daļai ir tendence uz 3/2. Tādējādi horizontālā asimptote ir taisna līnija y = 3/2.

3. piemērs

Uzzīmējiet funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Risinājums.

Mēs izvēlamies frakcijas “visu daļu”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Tagad ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas grafiku iegūst no funkcijas y = 1/x grafika, veicot šādas transformācijas: 1 vienības nobīde pa kreisi, simetrisks displejs attiecībā pret Ox un 2 vienību intervālu nobīde uz augšu pa Oy asi.

Definīcijas apgabals D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Vērtību diapazons E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Krustošanās punkti ar asīm: c Oy: (0; 1); c Vērsis: (-1/2; 0). Funkcija palielinās katrā definīcijas domēna intervālā.

Atbilde: 1. attēls.

2. Frakcionāli-racionālā funkcija

Aplūkosim daļēju racionālu funkciju formā y = P(x) / Q(x), kur P(x) un Q(x) ir polinomi, kuru pakāpe ir augstāka par pirmo.

Šādu racionālu funkciju piemēri:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vai y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ja funkcija y = P(x) / Q(x) ir divu polinomu, kuru pakāpe ir augstāka par pirmo, koeficients, tad tās grafiks, kā likums, būs sarežģītāks, un dažreiz var būt grūti to precīzi izveidot ar visām detaļām. Tomēr bieži vien pietiek ar paņēmieniem, kas ir līdzīgi tiem, ar kuriem mēs jau tikāmies iepriekš.

Lai daļa ir pareiza (n< m). Известно, что любую несократимую racionālā daļa var attēlot, turklāt unikālā veidā, kā galīga skaita elementārdaļskaitļu summu, kuru formu nosaka, paplašinot daļskaitļa Q(x) saucēju par reālu faktoru reizinājumu:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Acīmredzot daļskaitļu racionālās funkcijas grafiku var iegūt kā elementāro daļu grafiku summu.

Daļējo racionālo funkciju uzzīmēšana

Apsveriet vairākus veidus, kā attēlot daļēju-racionālu funkciju.

4. piemērs

Uzzīmējiet funkciju y = 1/x 2 .

Risinājums.

Mēs izmantojam funkcijas y \u003d x 2 grafiku, lai attēlotu grafiku y \u003d 1 / x 2, un izmantojam grafiku "dalīšanas" metodi.

Domēns D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vērtību diapazons E(y) = (0; +∞).

Nav krustošanās punktu ar asīm. Funkcija ir vienmērīga. Palielinās visiem x no intervāla (-∞; 0), samazinās x no 0 līdz +∞.

Atbilde: 2. attēls.

5. piemērs

Atzīmējiet funkciju y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Risinājums.

Domēns D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Šeit mēs izmantojām faktoringa, samazināšanas un samazināšanas paņēmienu līdz lineārai funkcijai.

Atbilde: 3. attēls.

6. piemērs

Uzzīmējiet funkciju y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Risinājums.

Definīcijas apgabals ir D(y) = R. Tā kā funkcija ir pāra, grafiks ir simetrisks pret y asi. Pirms zīmēšanas mēs vēlreiz pārveidojam izteiksmi, izceļot veselo skaitļu daļu:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Ņemiet vērā, ka, veidojot grafikus, veselā skaitļa daļas izvēle daļskaitļu-racionālas funkcijas formulā ir viena no galvenajām.

Ja x → ±∞, tad y → 1, t.i., līnija y = 1 ir horizontāla asimptote.

Atbilde: 4. attēls.

7. piemērs

Aplūkosim funkciju y = x/(x 2 + 1) un mēģiniet atrast tieši tās lielāko vērtību, t.i. lielākā daļa augstākais punkts diagrammas labā puse. Lai precīzi izveidotu šo grafiku, ar mūsdienu zināšanām nepietiek. Ir skaidrs, ka mūsu līkne nevar "uzkāpt" ļoti augstu, jo saucējs ātri sāk “apdzīt” skaitītāju. Apskatīsim, vai funkcijas vērtība var būt vienāda ar 1. Lai to izdarītu, jums jāatrisina vienādojums x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Šim vienādojumam nav reālu sakņu. Tātad mūsu pieņēmums ir nepareizs. Lai atrastu visvairāk liela nozīme funkciju, jums jānoskaidro, kuram lielākajam A vienādojumam A \u003d x / (x 2 + 1) būs risinājums. Aizstāsim sākotnējo vienādojumu ar kvadrātvienādojumu: Ax 2 - x + A = 0. Šim vienādojumam ir risinājums, ja 1 - 4A 2 ≥ 0. No šejienes mēs atrodam augstākā vērtība A = 1/2.

Atbilde: 5. attēls, max y(x) = ½.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā izveidot funkciju grafikus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Zināšanas elementāras pamatfunkcijas, to īpašības un grafiki ne mazāk svarīgi kā zināt reizināšanas tabulu. Tie ir kā pamats, viss balstās uz tiem, viss ir no tiem būvēts, un viss nonāk līdz viņiem.

Šajā rakstā mēs uzskaitām visas galvenās elementārās funkcijas, sniedzam to grafikus un sniedzam tos bez atvasinājumiem un pierādījumiem. elementāru pamatfunkciju īpašības saskaņā ar shēmu:

• funkcijas uzvedība uz definīcijas apgabala robežām, vertikālās asimptotes (ja nepieciešams, skatiet rakstu funkcijas pārtraukuma punktu klasifikāciju);
• pāra un nepāra;
• izliekuma (izliekuma uz augšu) un ieliekuma (izliekuma uz leju) intervāli, lēciena punkti (ja nepieciešams, skatiet rakstu funkciju izliekums, izliekuma virziens, lēciena punkti, izliekuma un lēciena nosacījumi);
• slīpi un horizontāli asimptoti;
• funkciju vienskaitļa punkti;
• īpašas īpašības dažas funkcijas (piemēram, mazākais pozitīvais periods trigonometriskām funkcijām).

Ja jūs interesē vai, tad varat doties uz šīm teorijas sadaļām.

Pamata elementāras funkcijas ir: konstante funkcija (konstante), n-tās pakāpes sakne, pakāpju funkcija, eksponenciālā, logaritmiskā funkcija, trigonometriskās un apgrieztās trigonometriskās funkcijas.

Lapas navigācija.

Pastāvīga funkcija.

Konstanta funkcija visu reālo skaitļu kopai tiek dota pēc formulas , kur C ir kāds reāls skaitlis. Konstantes funkcija katrai neatkarīgā mainīgā x reālajai vērtībai piešķir vienu un to pašu atkarīgā mainīgā y vērtību - vērtību С. Pastāvīgu funkciju sauc arī par konstanti.

Konstantas funkcijas grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla x asij un iet caur punktu ar koordinātām (0,C) . Piemēram, parādīsim konstantu funkciju y=5 , y=-2 un grafikus, kas attēlā zemāk atbilst attiecīgi melnajai, sarkanajai un zilajai līnijai.

Pastāvīgas funkcijas īpašības.

• Definīcijas joma: visa reālo skaitļu kopa.
• Pastāvīgā funkcija ir vienmērīga.
• Vērtību diapazons: komplekts, kas sastāv no vienskaitlis AR .
• Pastāvīga funkcija ir nepalielinoša un nesamazinās (tāpēc tā ir nemainīga).
• Nav jēgas runāt par konstantes izliekumu un ieliekumu.
• Nav asimptota.
• Funkcija iet caur koordinātu plaknes punktu (0,C).

N-tās pakāpes sakne.

Apsveriet elementāro pamatfunkciju, ko dod formula , kur n ir dabiskais skaitlis, lielāks par vienu.

N-tās pakāpes sakne n ir pāra skaitlis.

Sāksim ar n-to saknes funkciju saknes eksponenta n pāra vērtībām.

Piemēram, mēs sniedzam attēlu ar funkciju grafiku attēliem un , tie atbilst melnām, sarkanām un zilām līnijām.

Funkciju saknes grafikiem ir līdzīga forma. vienmērīgs grāds pie citām indikatora vērtībām.

N-tās pakāpes saknes īpašības pāra n .

N-tās pakāpes sakne n ir nepāra skaitlis.

N-tās pakāpes saknes funkcija ar nepāra saknes n eksponentu ir noteikta visai reālo skaitļu kopai. Piemēram, mēs piedāvājam funkciju grafikus un , tiem atbilst melnā, sarkanā un zilā līkne.

Citām saknes eksponenta nepāra vērtībām funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Nepāra n n-tās pakāpes saknes īpašības.

Jaudas funkcija.

Jaudas funkciju uzrāda formas formula .

Apsveriet jaudas funkcijas grafiku veidu un jaudas funkcijas īpašības atkarībā no eksponenta vērtības.

Sāksim ar jaudas funkciju ar vesela skaitļa eksponentu a . Šajā gadījumā jaudas funkciju grafiku forma un funkciju īpašības ir atkarīgas no pāra vai nepāra eksponenta, kā arī no tā zīmes. Tāpēc mēs vispirms apsveram jaudas funkcijas nepāra pozitīvajām eksponenta a vērtībām, pēc tam pāra pozitīvajām vērtībām, tad nepāra negatīvajiem eksponentiem un, visbeidzot, pāra negatīvajām a vērtībām.

Pakāpju funkciju īpašības ar daļskaitļiem un iracionāliem eksponentiem (kā arī šādu pakāpju funkciju grafiku veids) ir atkarīgas no eksponenta a vērtības. Mēs tos aplūkosim, pirmkārt, kad a ir no nulles līdz vienam, otrkārt, kad a ir lielāks par vienu, treškārt, kad a ir no mīnus viens līdz nullei un ceturtkārt, kad a ir mazāks par mīnus viens.

Šīs apakšnodaļas noslēgumā pilnības labad mēs aprakstām jaudas funkciju ar nulles eksponentu.

Jaudas funkcija ar nepāra pozitīvu eksponentu.

Apsveriet jaudas funkciju ar nepāra pozitīvu eksponentu, tas ir, ar a=1,3,5,….

Zemāk redzamajā attēlā parādīti jaudas funkciju grafiki - melna līnija, - zila līnija, - sarkana līnija, - zaļa līnija. Mums ir a=1 lineārā funkcija y=x.

Jaudas funkcijas ar nepāra pozitīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar pat pozitīvu eksponentu.

Apsveriet jaudas funkciju ar vienmērīgu pozitīvu eksponentu, tas ir, ja a=2,4,6,… .

Kā piemēru ņemsim jaudas funkciju grafikus - melna līnija, - zila līnija, - sarkana līnija. Ja a=2 mums ir kvadrātiskā funkcija, kuras grafiks ir kvadrātiskā parabola.

Jaudas funkcijas ar vienmērīgu pozitīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar nepāra negatīvu eksponentu.

Apskatiet eksponenciālās funkcijas grafikus eksponenta nepāra negatīvajām vērtībām, tas ir, \u003d -1, -3, -5, ....

Attēlā parādīti eksponenciālo funkciju grafiki kā piemēri - melna līnija, - zila līnija, - sarkana līnija, - zaļa līnija. Mums ir a=-1 apgrieztā proporcionalitāte , kura grafiks ir hiperbola.

Jaudas funkcijas ar nepāra negatīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar vienmērīgu negatīvu eksponentu.

Pārejam uz jaudas funkciju pie a=-2,-4,-6,….

Attēlā parādīti jaudas funkciju grafiki - melna līnija, - zila līnija, - sarkana līnija.

Jaudas funkcijas ar vienmērīgu negatīvu eksponentu īpašības.

Jaudas funkcija ar racionālu vai iracionālu eksponentu, kuras vērtība ir lielāka par nulli un mazāka par vienu.

Piezīme! Ja a ir pozitīva daļa ar nepāra saucēju, tad daži autori uzskata, ka intervāls ir pakāpju funkcijas domēns. Tajā pašā laikā ir noteikts, ka eksponents a ir nereducējama daļa. Tagad daudzu algebras mācību grāmatu un analīzes sākuma autori NEDEFINĒ pakāpju funkcijas ar eksponentu daļskaitļa formā ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Mēs pieturēsimies tieši pie šāda skatījuma, tas ir, par kopu uzskatīsim pakāpju funkciju domēnus ar daļējiem pozitīviem eksponentiem. Lai izvairītos no domstarpībām, mēs mudinām skolēnus uzzināt jūsu skolotāja skatījumu uz šo smalko punktu.

Apsveriet jaudas funkciju ar racionālu vai iracionālu eksponentu a , un .

Mēs piedāvājam jaudas funkciju grafikus a=11/12 (melna līnija), a=5/7 (sarkana līnija), (zila līnija), a=2/5 (zaļa līnija).

Jaudas funkcija, kuras racionālais vai iracionālais eksponents ir lielāks par vienu.

Apsveriet jaudas funkciju ar racionālu vai iracionālu eksponentu a , un .

Iesniegsim ar formulām doto pakāpju funkciju grafikus (attiecīgi melnas, sarkanas, zilas un zaļas līnijas).

>

Citām eksponenta a vērtībām funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Jaudas funkcijas īpašības .

Jaudas funkcija ar reālo eksponentu, kas ir lielāks par mīnus viens un mazāks par nulli.

Piezīme! Ja a ir negatīva daļa ar nepāra saucēju, daži autori uzskata intervālu . Tajā pašā laikā ir noteikts, ka eksponents a ir nereducējama daļa. Tagad daudzu algebras mācību grāmatu un analīzes sākuma autori NEDEFINĒ pakāpju funkcijas ar eksponentu daļskaitļa formā ar nepāra saucēju argumenta negatīvajām vērtībām. Mēs pieturēsimies tieši pie šāda skatījuma, tas ir, par kopu uzskatīsim attiecīgi pakāpju funkciju domēnus ar daļējiem negatīviem eksponentiem. Lai izvairītos no domstarpībām, mēs mudinām skolēnus uzzināt jūsu skolotāja skatījumu uz šo smalko punktu.

Mēs pārejam uz jaudas funkciju , kur .

Lai iegūtu labu priekšstatu par jaudas funkciju grafiku veidiem, mēs sniedzam funkciju grafiku piemērus (attiecīgi melnas, sarkanas, zilas un zaļas līknes).

Pakāpju funkcijas ar eksponentu a , īpašības.

Jaudas funkcija ar reālo eksponentu, kas nav vesels skaitlis un ir mazāks par mīnus viens.

Sniegsim jaudas funkciju grafiku piemērus for , tie ir attēloti attiecīgi melnās, sarkanās, zilās un zaļās līnijās.

Jaudas funkcijas īpašības ar negatīvu eksponentu, kas nav vesels skaitlis, mazāks par mīnus viens.

Kad a=0 un mums ir funkcija - tā ir taisne, no kuras punkts (0; 1) ir izslēgts (izteiksmei 0 0 tika nolemts nepiešķirt nekādu nozīmi).

Eksponenciālā funkcija.

Viena no pamatelementārajām funkcijām ir eksponenciālā funkcija.

Grafiks eksponenciālā funkcija, kur un ņem dažāda veida atkarībā no bāzes vērtības a. Izdomāsim.

Pirmkārt, apsveriet gadījumu, kad eksponenciālās funkcijas bāze iegūst vērtību no nulles līdz vienam, tas ir, .

Piemēram, mēs piedāvājam eksponenciālās funkcijas grafikus a = 1/2 - zilā līnija, a = 5/6 - sarkanā līnija. Eksponenciālās funkcijas grafikiem ir līdzīgs izskats citām bāzes vērtībām no intervāla .

Eksponenciālas funkcijas īpašības, kuru bāze ir mazāka par vienu.

Mēs pievēršamies gadījumam, kad eksponenciālās funkcijas bāze ir lielāka par vienu, tas ir, .

Kā ilustrāciju mēs piedāvājam eksponenciālo funkciju grafikus - zilo līniju un - sarkano līniju. Citām bāzes vērtībām, kas ir lielākas par vienu, eksponenciālās funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Eksponenciālas funkcijas īpašības, kuru bāze ir lielāka par vienu.

Logaritmiskā funkcija.

Nākamā pamatfunkcija ir logaritmiskā funkcija , kur , . Logaritmiskā funkcija ir definēta tikai argumenta pozitīvajām vērtībām, tas ir, .

Grafiks logaritmiskā funkcija iegūst atšķirīgu formu atkarībā no bāzes vērtības a.

Sāksim ar gadījumu, kad .

Piemēram, mēs piedāvājam logaritmiskās funkcijas grafikus a = 1/2 - zilā līnija, a = 5/6 - sarkanā līnija. Citām bāzes vērtībām, kas nepārsniedz vienu, logaritmiskās funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Logaritmiskas funkcijas īpašības, kuru bāze ir mazāka par vienu.

Pāriesim pie gadījuma, kad logaritmiskās funkcijas bāze ir lielāka par vienu ().

Parādīsim logaritmisko funkciju grafikus - zila līnija, - sarkana līnija. Citām bāzes vērtībām, kas ir lielākas par vienu, logaritmiskās funkcijas grafikiem būs līdzīgs izskats.

Logaritmiskas funkcijas īpašības, kuru bāze ir lielāka par vienu.

Trigonometriskās funkcijas, to īpašības un grafiki.

Visas trigonometriskās funkcijas (sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss) ir pamatelementāras funkcijas. Tagad mēs apsvērsim to grafikus un uzskaitīsim to īpašības.

Trigonometriskajām funkcijām ir jēdziens periodiskums(funkciju vērtību atkārtošanās plkst dažādas vērtības argumenti, kas atšķiras viens no otra ar perioda vērtību , kur T ir punkts), tāpēc trigonometrisko funkciju īpašību sarakstam ir pievienots vienums "mazākais pozitīvais periods". Tāpat katrai trigonometriskajai funkcijai mēs norādīsim argumenta vērtības, pie kurām atbilstošā funkcija pazūd.

Tagad tiksim galā ar visiem trigonometriskās funkcijas kārtībā.

Sinusa funkcija y = sin(x) .

Uzzīmēsim sinusa funkcijas grafiku, to sauc par "sinusoīdu".

Sinusa funkcijas y = sinx īpašības.

Kosinusa funkcija y = cos(x) .

Kosinusa funkcijas grafiks (to sauc par "kosinusu") izskatās šādi:

Kosinusa funkcijas īpašības y = cosx .

Pieskares funkcija y = tg(x) .

Pieskares funkcijas grafiks (to sauc par "tangentoīdu") izskatās šādi:

Funkcijas īpašību tangenss y = tgx .

Kotangentes funkcija y = ctg(x) .

Uzzīmēsim kotangentes funkcijas grafiku (to sauc par "kotangentoīdu"):

Kotangentes funkcijas īpašības y = ctgx .

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas, to īpašības un grafiki.

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas (arksīns, arkosīns, arktangenss un arkotangenss) ir pamata elementārās funkcijas. Bieži vien prefiksa "loka" dēļ apgrieztās trigonometriskās funkcijas sauc par loka funkcijām. Tagad mēs apsvērsim to grafikus un uzskaitīsim to īpašības.

Arcsine funkcija y = arcsin(x) .

Uzzīmēsim arcsinusa funkciju:

Funkcijas īpašības arkotangents y = arcctg(x) .

Bibliogrāfija.

• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. izglītības iestādēm.
• Vigodskis M.Ya. Elementārās matemātikas rokasgrāmata.
• Novoselovs S.I. Algebra un elementārās funkcijas.
• Tumanovs S.I. Elementāra algebra. Ceļvedis pašizglītībai.

Nacionālā pētniecības universitāte

Lietišķās ģeoloģijas katedra

Eseja par augstāko matemātiku

Par tēmu: "Pamatelementāras funkcijas,

to īpašības un grafiki"

Pabeigts:

Pārbaudīts:

skolotājs

Definīcija. Funkciju, kas dota ar formulu y=a x (kur a>0, a≠1), sauc par eksponenciālu funkciju ar bāzi a.

Formulēsim eksponenciālās funkcijas galvenās īpašības:

1. Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa (R).

2. Vērtību diapazons ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa (R+).

3. Ja a > 1, funkcija palielinās visā reālajā rindā; pie 0<а<1 функция убывает.

4. Ir vispārēja funkcija.

, uz intervāla xО [-3;3] , uz intervāla xО [-3;3]

Funkciju formā y(х)=х n , kur n ir skaitlis ОR, sauc par pakāpju funkciju. Skaitlim n var būt dažādas vērtības: gan vesels skaitlis, gan daļskaitlis, gan pāra, gan nepāra. Atkarībā no tā jaudas funkcijai būs cita forma. Consider special cases that are power functions and reflect the main properties of this type of curves in the following order: power function y=x² (a function with an even exponent - a parabola), a power function y=x³ (a function with an odd exponent - a cubic parabola) and a function y=√x (x to the power of ½) (a function with a fractional exponent), a function with a negative integer exponent (hyperbola).

Jaudas funkcija y=x²

1. D(x)=R – funkcija definēta uz visas skaitliskās ass;

2. E(y)= un intervālā palielinās

Jaudas funkcija y=x³

1. Funkcijas y \u003d x³ grafiku sauc par kubisko parabolu. Jaudas funkcijai y=x³ ir šādas īpašības:

2. D(x)=R – funkcija definēta uz visas skaitliskās ass;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija ņem visas vērtības savā definīcijas jomā;

4. Ja x=0 y=0 – funkcija iet caur izcelsmi O(0;0).

5. Funkcija palielinās visā definīcijas jomā.

6. Funkcija ir nepāra (simetriska attiecībā pret izcelsmi).

, intervālā xн [-3;3]

Atkarībā no skaitliskā faktora x³ priekšā, funkcija var būt stāva / plakana un palielināta / samazināta.

Jaudas funkcija ar veselu negatīvu eksponentu:

Ja eksponents n ir nepāra, tad šādas pakāpes funkcijas grafiku sauc par hiperbolu. Jaudas funkcijai ar negatīvu veselu eksponentu ir šādas īpašības:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) jebkuram n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ja n ir nepāra skaitlis; E(y)=(0;∞), ja n ir pāra skaitlis;

3. Funkcija samazinās visā definīcijas jomā, ja n ir nepāra skaitlis; funkcija palielinās uz intervāla (-∞;0) un samazinās uz intervālu (0;∞), ja n ir pāra skaitlis.

4. Funkcija ir nepāra (simetriska attiecībā pret izcelsmi), ja n ir nepāra skaitlis; funkcija ir pat tad, ja n ir pāra skaitlis.

5. Funkcija iet caur punktiem (1;1) un (-1;-1), ja n ir nepāra skaitlis, un caur punktiem (1;1) un (-1;1), ja n ir pāra skaitlis.

, intervālā xн [-3;3]

Jaudas funkcija ar daļskaitli

Jaudas funkcijai ar formas daļēju eksponentu (attēls) ir attēlā redzamās funkcijas grafiks. Jaudas funkcijai ar daļēju eksponentu ir šādas īpašības: (attēls)

1. D(x) ОR, ja n ir nepāra skaitlis un D(x)= , uz intervāla xО , uz intervāla xО [-3;3]

Logaritmiskajai funkcijai y \u003d log a x ir šādas īpašības:

1. Definīcijas apgabals D(x)н (0; + ∞).

2. Vērtību diapazons E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcija nav ne pāra, ne nepāra (vispārīga).

4. Funkcija palielinās par intervālu (0; + ∞), ja a > 1, samazinās uz (0; + ∞) ja 0< а < 1.

Funkcijas y = log a x grafiku var iegūt no funkcijas y = a x grafika, izmantojot simetrijas transformāciju ap taisni y = x. 9. attēlā ir attēlots logaritmiskās funkcijas grafiks a > 1, bet 10. attēlā - 0< a < 1.

; uz intervāla xн ; uz intervāla xО

Funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sauc par trigonometriskām funkcijām.

Funkcijas y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ir nepāra, un funkcija y \u003d cos x ir pāra.

Funkcija y \u003d sin (x).

1. Definīcijas joma D(x) ОR.

2. Vērtību diapazons E(y) О [ - 1; 1].

3. Funkcija ir periodiska; galvenais periods ir 2π.

4. Funkcija ir nepāra.

5. Funkcija palielinās uz intervāliem [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] un samazinās uz intervāliem [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Funkcijas y \u003d sin (x) grafiks parādīts 11. attēlā.

Funkcijas un to grafiki ir viena no aizraujošākajām tēmām skolas matemātikā. Žēl tikai, ka viņa iet... garām stundām un garām skolēniem. Vidusskolā viņai nekad nepietiek laika. Un tās funkcijas, kas notiek 7. klasē - lineārā funkcija un parabola - ir pārāk vienkāršas un nesarežģītas, lai parādītu visu interesanto uzdevumu dažādību.

Spēja veidot funkciju grafikus ir nepieciešama, lai atrisinātu uzdevumus ar parametriem matemātikas eksāmenā. Šis ir viens no pirmajiem universitātes matemātiskās analīzes kursa tematiem. Šī ir tik svarīga tēma, ka mēs Vienotajā valsts eksāmenā-studijā par to veicam īpašus intensīvus kursus vidusskolēniem un skolotājiem Maskavā un tiešsaistē. Un bieži dalībnieki saka: "Žēl, ka mēs to iepriekš nezinājām."

Bet tas vēl nav viss. Tieši ar funkcijas jēdzienu sākas īstā, “pieaugušo” matemātika. Galu galā saskaitīšana un atņemšana, reizināšana un dalīšana, daļdaļas un proporcijas - tā joprojām ir aritmētika. Izteiksmes transformācijas ir algebra. Un matemātika ir zinātne ne tikai par skaitļiem, bet arī par daudzumu attiecībām. Funkciju un grafiku valoda ir saprotama fiziķim, biologam un ekonomistam. Un kā teica Galilejs Galilejs, "Dabas grāmata ir uzrakstīta matemātikas valodā".

Precīzāk, Galileo Galilejs teica šādi: "Matemātika ir alfabēts, ar kuru Kungs uzzīmēja Visumu."

Pārskatāmās tēmas:

1. Grafiksējiet funkciju

Pazīstams izaicinājums! Šie satikās OGE iespējas matemātika. Tur tos uzskatīja par grūtiem. Bet šeit nav nekā sarežģīta.

Vienkāršosim funkcijas formulu:

Funkciju grafiks - taisna līnija ar izspiestu punktu

2. Grafiksējiet funkciju

Funkcijas formulā izvēlamies veselo skaitļa daļu:

Funkcijas grafiks ir hiperbola, kas nobīdīta par 3 pa labi x un par 2 uz augšu y un izstiepta 10 reizes, salīdzinot ar funkcijas grafiku.

Visas daļas izvēle - noderīga tehnika izmanto nevienādību risināšanai, grafiku zīmēšanai un veselu skaitļu novērtēšanai uzdevumos, kas saistīti ar skaitļiem un to īpašībām. Viņu satiksi arī pirmajā gadā, kad jāņem integrāļi.

3. Grafiksējiet funkciju

To iegūst no funkcijas grafika, izstiepjot 2 reizes, pagriežot vertikāli un pārvietojot 1 uz augšu vertikāli

4. Grafiksējiet funkciju

Galvenais ir pareiza darbību secība. Rakstīsim funkcijas formulu ērtākā formā:

Mēs rīkojamies secībā:

1) Nobīdiet funkcijas y=sinx grafiku pa kreisi;

2) saspiediet 2 reizes horizontāli,

3) izstiept 3 reizes vertikāli,

4) pavirzieties uz augšu par 1

Tagad mēs izveidosim vairākus daļēju racionālu funkciju grafikus. Lai labāk izprastu, kā mēs to darām, izlasiet rakstu “Funkciju uzvedība bezgalībā. Asimptotes".

5. Grafiksējiet funkciju

Funkciju darbības joma:

Funkcijas nulles: un

Taisnā līnija x = 0 (y ass) ir funkcijas vertikālā asimptote. Asimptote- taisne, kurai funkcijas grafiks pietuvojas bezgalīgi tuvu, bet nekrustojas un ar to nesaplūst (skat. tēmu "Funkcijas uzvedība bezgalībā. Asimptotes")

Vai mūsu funkcijai ir citi asimptoti? Lai to noskaidrotu, apskatīsim, kā funkcija darbojas, kad x virzās uz bezgalību.

Atvērsim iekavas funkcijas formulā:

Ja x iet uz bezgalību, tad tas iet uz nulli. Taisnā līnija ir slīpa asimptote funkcijas grafikam.

6. Grafiksējiet funkciju

Šī ir daļēja racionāla funkcija.

Funkciju darbības joma

Funkcijas nulles: punkti - 3, 2, 6.

Funkcijas zīmju noturības intervāli tiks noteikti, izmantojot intervālu metodi.

Vertikālās asimptotes:

Ja x tiecas uz bezgalību, tad y tiecas uz 1. Tādējādi ir horizontāla asimptote.

Šeit ir diagrammas skice:

Vēl viens interesants paņēmiens ir grafiku pievienošana.

7. Grafiksējiet funkciju

Ja x tiecas uz bezgalību, tad funkcijas grafiks tuvosies bezgalīgi tuvu slīpajai asimptotei

Ja x tiecas uz nulli, tad funkcija darbojas šādi: Tas ir tas, ko mēs redzam grafikā:

Tātad mēs esam izveidojuši funkciju summas grafiku. Tagad darba grafiks!

8. Grafiksējiet funkciju

Šīs funkcijas domēns ir pozitīvi skaitļi, jo ir definēts tikai pozitīvs x

Funkcijas vērtības ir nulle (kad logaritms ir nulle), kā arī punktos, kur, tas ir, pie

Kad , vērtība (cos x) ir vienāda ar vienu. Funkcijas vērtība šajos punktos būs vienāda ar

9. Grafiksējiet funkciju

Funkcija ir definēta kā Tas ir pāra, jo tā ir divu nepāra funkciju reizinājums, un grafiks ir simetrisks pret y asi.

Funkcijas nulles atrodas punktos, kur, tas ir, pie

Ja x iet uz bezgalību, iet uz nulli. Bet kas notiek, ja x tiecas uz nulli? Galu galā gan x, gan grēks x kļūs arvien mazāki un mazāki. Kā uzvedīsies ierindnieks?

Izrādās, ja x tiecas uz nulli, tad tas tiecas uz vienu. Matemātikā šo apgalvojumu sauc par "Pirmo ievērojamo robežu".

Bet kā ar atvasinājumu? Jā, mēs beidzot tur nokļuvām. Atvasinājums palīdz precīzāk attēlot funkcijas. Šajos punktos atrodiet maksimālos un minimālos punktus, kā arī funkciju vērtības.

10. Grafiksējiet funkciju

Funkcijas darbības joma ir visi reālie skaitļi, jo

Funkcija ir nepāra. Tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Ja x=0, funkcijas vērtība ir vienāda ar nulli. Funkcijas vērtības ir pozitīvas, bet - negatīvas.

Ja x iet uz bezgalību, tad tas iet uz nulli.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu
Saskaņā ar koeficienta atvasinājuma formulu,

Ja vai

Punktā atvasinājums maina zīmi no "mīnus" uz "plus", - funkcijas minimālo punktu.

Punktā atvasinājums maina zīmi no "plus" uz "mīnus", - funkcijas maksimālo punktu.

Atradīsim funkcijas vērtības pie x=2 un pie x=-2.

Funkciju grafikus ir ērti veidot pēc noteikta algoritma vai shēmas. Atcerieties, ka jūs to mācījāties skolā?

Vispārīgā shēma funkcijas grafika konstruēšanai:

1. Funkciju apjoms

2. Funkciju vērtību diapazons

3. Pāra — nepāra (ja ir)

4. Biežums (ja ir)

5. Funkcijas nulles (punkti, kur grafiks šķērso koordinātu asis)

6. Funkcijas noturības intervāli (tas ir, intervāli, kuros tā ir stingri pozitīva vai stingri negatīva).

7. Asimptotes (ja tādas ir).

8. Funkcijas uzvedība bezgalībā

9.Funkcijas atvasinājums

10. Palielinājuma un samazinājuma intervāli. Augstākie un zemākie punkti un vērtības šajos punktos.