Integrāļu risināšanas procesu zinātnē, ko sauc par matemātiku, sauc par integrāciju. Izmantojot integrāciju, jūs varat atrast dažus fiziskos lielumus: laukumu, tilpumu, ķermeņu masu un daudz ko citu.

Integrāļi var būt nenoteikti vai noteikti. Apskatīsim noteiktā integrāļa formu un mēģināsim saprast tā fizisko nozīmi. Tas ir attēlots šādā formā: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Atšķirīga iezīme noteikta integrāļa rakstīšanai no nenoteikta integrāļa ir tā, ka pastāv integrācijas a un b robežas. Tagad mēs uzzināsim, kāpēc tie ir nepieciešami un ko īsti nozīmē noteikts integrālis. Ģeometriskā nozīmē šāds integrālis ir vienāds ar figūras laukumu, ko ierobežo līkne f(x), līnijas a un b un Ox ass.

No 1. attēla ir skaidrs, ka noteiktais integrālis ir tas pats laukums, kas ir iekrāsots pelēkā krāsā. Pārbaudīsim to ar vienkāršu piemēru. Atradīsim attēla laukumu zemāk esošajā attēlā, izmantojot integrāciju, un pēc tam aprēķināsim to parastajā veidā, reizinot garumu ar platumu.

No 2. att. ir skaidrs, ka $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Tagad mēs tos aizstājam integrāļa definīcijā, iegūstam, ka $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(vienības)^2 $$ Veiksim pārbaudi parastajā veidā. Mūsu gadījumā garums = 3, figūras platums = 1. $$ S = \teksts(garums) \cpunkts \teksts(platums) = 3 \cpunkts 1 = 3 \teksts(vienības)^2 $$ Kā varat redzi, viss sakrīt ideāli.

Rodas jautājums: kā atrisināt nenoteiktos integrāļus un kāda ir to nozīme? Šādu integrāļu risināšana ir antiderivatīvu funkciju atrašana. Šis process ir pretējs atvasinājuma atrašanai. Lai atrastu antiatvasinājumu, var izmantot mūsu palīdzību matemātikas uzdevumu risināšanā vai arī patstāvīgi jāiegaumē integrāļu īpašības un vienkāršāko elementāru funkciju integrācijas tabula. Rezultāts izskatās šādi: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kur) F(x) $ ir $ f(x) antiatvasinājums, C = const $.

Lai atrisinātu integrāli, ir jāintegrē funkcija $ f(x) $ virs mainīgā. Ja funkcija ir tabulas veidā, tad atbilde tiek uzrakstīta atbilstošā formā. Ja nē, tad process ir saistīts ar tabulas funkcijas iegūšanu no funkcijas $ f(x) $, izmantojot sarežģītas matemātiskas transformācijas. Tam ir dažādas metodes un īpašības, kuras mēs apsvērsim tālāk.

Tātad, tagad izveidosim algoritmu manekenu integrāļu risināšanai?

Integrāļu aprēķināšanas algoritms

1. Noskaidrosim noteikto integrāli vai nē.
2. Ja nav definēts, tad ir jāatrod integrandas $ f(x) $ antiatvasinājuma funkcija $ F(x) $, izmantojot matemātiskas transformācijas, kas ved uz funkcijas $ f(x) $ tabulas formu.
3. Ja tas ir definēts, jums jāveic 2. darbība un pēc tam ierobežojumi $ a $ un $ b $ jāaizstāj ar antiatvasinājuma funkciju $ F(x) $. Kādu formulu izmantot, lai to izdarītu, uzzināsiet rakstā “Ņūtona-Leibnica formula”.

Risinājumu piemēri

Tātad, jūs esat iemācījušies atrisināt integrāļus manekeniem, ir sakārtoti integrāļu risināšanas piemēri. Mēs uzzinājām to fizisko un ģeometrisko nozīmi. Risinājuma metodes tiks aprakstītas citos rakstos.

Ja mācību grāmatas definīcijas ir pārāk sarežģītas un neskaidras, izlasiet mūsu rakstu. Mēs centīsimies pēc iespējas vienkāršāk, “uz pirkstiem”, izskaidrot šādas matemātikas nozares galvenos punktus kā noteiktus integrāļus. Kā aprēķināt integrāli, lasiet šajā rokasgrāmatā.

No ģeometriskā viedokļa funkcijas integrālis ir figūras laukums, ko veido dotās funkcijas grafiks un ass integrācijas robežās. Pierakstiet integrāli, analizējiet funkciju zem integrāļa: ja integrādu var vienkāršot (samazināt, iekļaut integrāļa zīmē, sadalīt divos vienkāršos integrāļos), dariet to. Atveriet integrāļu tabulu, lai noteiktu, kura funkcijas atvasinājums atrodas zem integrāļa. Vai atradāt atbildi? Pierakstiet integrālim pievienoto koeficientu (ja tas notika), pierakstiet tabulā atrasto funkciju un aizvietojiet integrāļa robežas.

Lai aprēķinātu integrāļa vērtību, aprēķiniet tā vērtību pie augšējās robežas un atņemiet tās vērtību pie apakšējās robežas. Atšķirība ir vēlamā vērtība.

Lai pārbaudītu sevi vai vismaz izprastu integrālproblēmas risināšanas procesu, ir ērti izmantot integrāļu atrašanas tiešsaistes servisu, bet pirms sāc risināt, iepazīsties ar funkciju ievadīšanas noteikumiem. Tā lielākā priekšrocība ir tā, ka šeit soli pa solim ir aprakstīts viss problēmas risinājums ar integrāli.

Protams, šeit tiek aplūkotas tikai visvienkāršākās integrāļu versijas - atsevišķas; patiesībā integrāļu ir ļoti daudz dažādu veidu, tos apgūst augstākās matemātikas, matemātiskās analīzes un diferenciālvienādojumu kursā universitātēs tehnisko specialitāšu studentiem. .

Nenoteiktu integrāļu aprēķināšanas piemēri

Integrāļa aprēķins no tabulas

Integrācija ar aizstāšanu:

Integrāļu aprēķinu piemēri

Ņūtona-Leibnica pamatformula

Aizstāšanas aprēķini

4. nodaļa Diferenciālvienādojumi.

Diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas saista neatkarīgu mainīgo viens ar otru X , nepieciešamo funkciju plkst un tā atvasinājumi vai diferenciāļi.

Simboliski diferencētais vienādojums ir uzrakstīts šādi:

Diferenciālvienādojumu sauc parasts, ja vajadzīgā funkcija ir atkarīga no viena neatkarīga mainīgā.

Kārtībā diferenciālvienādojuma vērtība ir šajā vienādojumā iekļautā augstākā atvasinājuma (vai diferenciāļa) secība.

Ar lēmumu(vai neatņemama) no diferenciālvienādojuma ir funkcija, kas pārvērš šo vienādojumu par identitāti.

Vispārējs risinājums(vai vispārējais integrālis) no diferenciālvienādojuma ir risinājums, kas ietver tikpat daudz neatkarīgu patvaļīgu konstantu, cik vienādojuma secība. Tādējādi pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums satur vienu patvaļīgu konstanti.

Privāts lēmums Diferenciālvienādojums ir risinājums, kas iegūts no vispārēja risinājuma dažādām patvaļīgu konstantu skaitliskām vērtībām. Patvaļīgu konstantu vērtības tiek atrastas pie noteiktām argumenta un funkcijas sākotnējām vērtībām.

Tiek saukts diferenciālvienādojuma konkrēta risinājuma grafiks integrālā līkne.

Diferenciālvienādojuma vispārējais atrisinājums atbilst visu integrāllīkņu kopai (saimei).

Pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas ietver atvasinājumus (vai diferenciāļus), kas nav augstāki par pirmās kārtas.

Diferenciālvienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem sauc par formas vienādojumu

Lai atrisinātu šo vienādojumu, vispirms ir jāatdala mainīgie:

un pēc tam integrējiet iegūtās vienlīdzības abas puses:

1. Atrodiet vienādojuma vispārīgo risinājumu

o mums esošo mainīgo dalīšana

Integrējot iegūtā vienādojuma abas puses:

Tā kā patvaļīga konstante AR var ņemt jebkuras skaitliskas vērtības, tad turpmāko pārveidojumu ērtībai, nevis C mēs rakstījām (1/2) ln C. Pastiprinot pēdējo iegūto vienlīdzību

Šis ir šī vienādojuma vispārējais risinājums.

Literatūra

V. G. Boltjanskis, Kas ir diferenciācija, “Populāras matemātikas lekcijas”,

17. izdevums, Gostekhizdat 1955, 64 lpp.

V. A. Gusevs, A. G. Mordkovičs “Matemātika”

G. M. Fihtengolts “Diferenciālrēķina un integrālrēķina kurss”, 1.sējums

V. M. Borodikhins, Augstākā matemātika, mācību grāmata. rokasgrāmata, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikolsky S. M. 9. nodaļa. Rīmaņa noteiktais integrālis // Matemātiskās analīzes kurss. - 1990. - T. 1.

Iļjins V. A., Pozņaks, E. G. 6. nodaļa. Nenoteikts integrālis // Matemātiskās analīzes pamati. - 1998. - T. 1. - (Augstākās matemātikas un matemātiskās fizikas kurss).

Demidovičs B.P. 3. sadaļa. Nenoteikts integrālis // Matemātiskās analīzes uzdevumu un uzdevumu krājums. - 1990. - (Augstākās matemātikas un matemātiskās fizikas kurss).

Valutse I.I., Diligul G.D. Matemātika tehnikumiem, kuru pamatā ir vidusskolas: Mācību grāmata-2.izdevums, pārstrādāts. un papildu M.6 Zinātne. 1989. gads

Koļagins Ju.M. Jakovļevs G.N. matemātika tehnikumiem. Algebra un analīzes sākums, 1. un 2. daļa. Izdevniecība "Naukka" M., 1981.g.

Ščipačovs V.S. Augstākās matemātikas uzdevumi: Proc. Rokasgrāmata universitātēm. Augstāks Shk. 1997. gads

Bogomolova N.V. praktiskās nodarbības matemātikā: mācību grāmata. Rokasgrāmata tehnikumiem. Augstāks Shk 1997. gads

Ievadiet funkciju, kurai jāatrod integrālis

Kalkulators sniedz DETALIZĒtus risinājumus noteiktiem integrāļiem.

Šis kalkulators atrod risinājumu funkcijas f(x) noteiktajam integrālim ar noteiktām augšējām un apakšējām robežām.

Piemēri

Izmantojot grādu
(kvadrāts un kubs) un frakcijas

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadrātsakne

Sqrt(x)/(x + 1)

Kuba sakne

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Izmantojot sinusu un kosinusu

2*sin(x)*cos(x)

arcsīns

X*arcsin(x)

loka kosinuss

X*arccos(x)

Logaritma pielietojums

X*log(x, 10)

Dabiskais logaritms

Izstādes dalībnieks

Tg(x)*sin(x)

Kotangenss

Ctg(x)*cos(x)

Iracionālas frakcijas

(sqrt(x) - 1)/sqrt (x^2 - x - 1)

Arktangents

X*arctg(x)

Arkotangents

X*arсctg(x)

Hiperboliskais sinuss un kosinuss

2*sh(x)*ch(x)

Hiperboliskais tangenss un kotangenss

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperboliskais arkosīns un arkosīns

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberboliskais arkotangents un arkotangents

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Izteikumu un funkciju ievadīšanas noteikumi

Izteiksmes var sastāvēt no funkcijām (apzīmējumi doti alfabētiskā secībā): absolūtais (x) Absolūtā vērtība x
(modulis x vai |x|) arccos(x) Funkcija - loka kosinuss no x arccosh(x) Loka kosinuss hiperbolisks no x arcsin(x) Arcsine no x arcsinh(x) Arcsine hiperbolisks no x arktāns(x) Funkcija - arktangenss no x arctgh(x) Arktangents hiperbolisks no x e e skaitlis, kas ir aptuveni vienāds ar 2,7 exp(x) Funkcija - eksponents x(kā e^x) žurnāls(x) vai ln(x) Dabiskais logaritms no x
(Iegūt log7(x), jums jāievada log(x)/log(7) (vai, piemēram, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Skaitlis ir "Pi", kas ir aptuveni vienāds ar 3,14 grēks (x) Funkcija — sinusa no x cos(x) Funkcija — kosinuss no x sinh(x) Funkcija – sinusa hiperbolisks no x cosh (x) Funkcija — kosinuss hiperbolisks no x sqrt(x) Funkcija - kvadrātsakne no x kvadrāts(x) vai x^2 Funkcija - kvadrāts x iedegums(x) Funkcija – pieskares no x tgh(x) Funkcija — pieskares hiperbolisks no x cbrt(x) Funkcija - kuba sakne x

Izteiksmēs var izmantot šādas darbības: Reāli skaitļi ievadiet kā 7.5 , Nē 7,5 2*x- reizināšana 3/x- sadalīšana x^3- kāpināšana x+7- papildinājums x - 6- atņemšana
Citas funkcijas: stāvs (x) Funkcija – noapaļošana x uz leju (piemērs grīdas (4.5)==4.0) griesti (x) Funkcija – noapaļošana x uz augšu (piemērs griesti (4.5)==5.0) zīme (x) Funkcija – zīme x erf(x) Kļūdas funkcija (vai varbūtības integrālis) Laplass (x) Laplasa funkcija

Integrāļu atrisināšana ir viegls uzdevums, taču tikai dažiem atlasītajiem. Šis raksts ir paredzēts tiem, kuri vēlas iemācīties saprast integrāļus, bet neko vai gandrīz neko nezina par tiem. Integrāls... Kāpēc tas vajadzīgs? Kā to aprēķināt? Kas ir noteikti un nenoteikti integrāļi?

Ja vienīgā integrāļa izmantošanas iespēja ir izmantot tamboradatu, kas veidota kā integrāla ikona, lai iegūtu kaut ko noderīgu no grūti sasniedzamām vietām, laipni lūdzam! Uzziniet, kā atrisināt vienkāršākos un citus integrāļus un kāpēc jūs nevarat iztikt bez tā matemātikā.

Mēs pētām koncepciju « neatņemama »

Integrācija bija zināma jau Senajā Ēģiptē. Protams, ne mūsdienu formā, bet tomēr. Kopš tā laika matemātiķi ir uzrakstījuši daudzas grāmatas par šo tēmu. Īpaši izcēlās paši Ņūtons Un Leibnica , bet lietu būtība nav mainījusies.

Kā no nulles saprast integrāļus? Nevar būt! Lai saprastu šo tēmu, jums joprojām būs nepieciešamas pamatzināšanas par matemātiskās analīzes pamatiem. Mūsu emuārā jau ir informācija par limitiem un atvasinājumiem, kas nepieciešami integrāļu izpratnei.

Nenoteikts integrālis

Ļaujiet mums veikt kādu funkciju f(x) .

Nenoteikta integrāla funkcija f(x) šo funkciju sauc F(x) , kura atvasinājums ir vienāds ar funkciju f(x) .

Citiem vārdiem sakot, integrālis ir apgrieztais atvasinājums vai antiatvasinājums. Starp citu, izlasiet mūsu rakstu par to, kā aprēķināt atvasinājumus.

Visām nepārtrauktajām funkcijām pastāv antiatvasinājums. Arī antiatvasinājumam bieži tiek pievienota nemainīga zīme, jo funkciju atvasinājumi, kas atšķiras ar konstanti, sakrīt. Integrāļa atrašanas procesu sauc par integrāciju.

Vienkāršs piemērs:

Lai nepārtraukti nerēķinātu elementāro funkciju antiatvasinājumus, ir ērti tos ievietot tabulā un izmantot gatavas vērtības.

Pilnīga integrāļu tabula skolēniem

Noteikts integrālis

Runājot par integrāļa jēdzienu, mēs runājam ar bezgalīgi maziem lielumiem. Integrālis palīdzēs aprēķināt figūras laukumu, nevienmērīga ķermeņa masu, nevienmērīgas kustības laikā nobraukto attālumu un daudz ko citu. Jāatceras, ka integrālis ir bezgalīgi liela skaita bezgalīgi mazu terminu summa.

Kā piemēru iedomājieties kādas funkcijas grafiku.

Kā atrast figūras laukumu, ko ierobežo funkcijas grafiks? Izmantojot integrāli! Sadalīsim līknes trapeci, ko ierobežo koordinātu asis un funkcijas grafiks, bezgalīgi mazos segmentos. Tādā veidā figūra tiks sadalīta plānās kolonnās. Kolonnu laukumu summa būs trapeces laukums. Bet atcerieties, ka šāds aprēķins dos aptuvenu rezultātu. Tomēr, jo mazāki un šaurāki segmenti, jo precīzāks būs aprēķins. Ja mēs tos samazinām tiktāl, ka garums tiecas uz nulli, tad segmentu laukumu summa tiecas uz figūras laukumu. Šis ir noteikts integrālis, kas ir uzrakstīts šādi:

Punktus a un b sauc par integrācijas robežām.

« Integrāls »

Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide jebkura veida darbs

Manekenu integrāļu aprēķināšanas noteikumi

Nenoteiktā integrāļa īpašības

Kā atrisināt nenoteiktu integrāli? Šeit apskatīsim nenoteiktā integrāļa īpašības, kas noderēs piemēru risināšanā.

• Integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrādu:

• Konstanti var izņemt no integrāļa zīmes:

• Summas integrālis ir vienāds ar integrāļu summu. Tas attiecas arī uz atšķirību:

Noteikta integrāļa īpašības

• Linearitāte:

• Integrāļa zīme mainās, ja tiek samainītas integrācijas robežas:

• Plkst jebkura punktus a, b Un Ar:

Mēs jau esam noskaidrojuši, ka noteikts integrālis ir summas robeža. Bet kā iegūt konkrētu vērtību, risinot piemēru? Šim nolūkam ir Ņūtona-Leibnica formula:

Integrāļu risināšanas piemēri

Tālāk aplūkosim nenoteikto integrāli un piemērus ar risinājumiem. Mēs iesakām pašiem izdomāt risinājuma smalkumus un, ja kaut kas nav skaidrs, uzdodiet jautājumus komentāros.

Lai pastiprinātu materiālu, noskatieties video par integrāļu risināšanu praksē. Neesiet izmisumā, ja integrālis netiek dots uzreiz. Sazinieties ar profesionālu servisu studentiem, un jebkurš trīskāršs vai izliekts integrālis virs slēgtas virsmas būs jūsu spēkos.