Daļēji racionālas funkcijas integrācija.
Nenoteikta koeficienta metode

Mēs turpinām strādāt pie frakciju integrēšanas. Nodarbībā jau esam aplūkojuši dažu veidu daļskaitļu integrāļus, un šo nodarbību savā ziņā var uzskatīt par turpinājumu. Lai veiksmīgi izprastu materiālu, ir nepieciešamas elementāras integrācijas prasmes, tādēļ, ja esat tikko sācis mācīties integrāļus, tas ir, esat iesācējs, tad jums jāsāk ar rakstu Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Savādi, bet tagad mēs nodarbosimies ne tik daudz ar integrāļu meklēšanu, bet... ar lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu. Šajā sakarā steidzami Iesaku apmeklēt nodarbību, proti, labi jāpārzina aizstāšanas metodes (“skolas” metode un sistēmu vienādojumu saskaitīšanas (atņemšanas) metode).

Kas ir daļēja racionāla funkcija? Vienkāršiem vārdiem sakot, daļskaitļa-racionāla funkcija ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs satur polinomus vai polinomu reizinājumus. Turklāt frakcijas ir sarežģītākas nekā rakstā aplūkotās Dažu frakciju integrēšana.

Pareizas frakcionētas-racionālas funkcijas integrēšana

Tūlīt piemērs un tipisks algoritms daļskaitļu-racionālas funkcijas integrāļa risināšanai.

1. piemērs

1. darbība. Pirmā lieta, ko mēs VIENMĒR darām, risinot daļējas racionālas funkcijas integrāli, ir noskaidrot šādu jautājumu: vai frakcija ir pareiza?Šis solis tiek veikts mutiski, un tagad es paskaidrošu, kā:

Vispirms skatāmies uz skaitītāju un uzzinām vecākais grāds polinoms:

Skaitītāja vadošais spēks ir divi.

Tagad mēs skatāmies uz saucēju un uzzinām vecākais grāds saucējs. Acīmredzams veids ir atvērt iekavas un pievienot līdzīgus terminus, taču varat to izdarīt vienkāršāk katrs iekavās atrodiet augstāko grādu

un garīgi reiziniet: - tātad saucēja augstākā pakāpe ir vienāda ar trīs. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs patiešām atveram iekavas, mēs nesaņemsim grādu, kas lielāks par trim.

Secinājums: skaitītāja galvenais grāds STINGRI ir mazāks par saucēja lielāko pakāpju, kas nozīmē, ka daļa ir pareiza.

Ja šajā piemērā skaitītājs saturēja polinomu 3, 4, 5 utt. grādiem, tad daļa būtu nepareizi.

Tagad mēs apsvērsim tikai pareizās frakcionētas racionālās funkcijas. Gadījums, kad skaitītāja pakāpe ir lielāka vai vienāda ar saucēja pakāpi, tiks apspriesta nodarbības beigās.

2. darbība. Faktorizēsim saucēju. Apskatīsim mūsu saucēju:

Vispārīgi runājot, tas jau ir faktoru rezultāts, bet tomēr mēs sev uzdodam jautājumu: vai ir iespējams paplašināt kaut ko citu? Spīdzināšanas objekts neapšaubāmi būs kvadrātveida trinomiāls. Kvadrātvienādojuma atrisināšana:

Diskriminants ir lielāks par nulli, kas nozīmē, ka trinomu patiešām var faktorizēt:

Vispārīgs noteikums: VISU saucējā VAR faktorizēt – faktorizēt

Sāksim formulēt risinājumu:

3. darbība. Izmantojot nenoteikto koeficientu metodi, integrandu izvēršam vienkāršu (elementāru) daļskaitļu summā. Tagad būs skaidrāk.

Apskatīsim mūsu integrand funkciju:

Un, ziniet, kaut kā intuitīva doma uznirst, ka būtu jauki pārvērst mūsu lielo daļu vairākās mazās. Piemēram, šādi:

Rodas jautājums, vai tas vispār ir iespējams? Atviegloti uzelposim, atbilstošā matemātiskās analīzes teorēma nosaka – IR IESPĒJAMS. Šāda sadalīšanās pastāv un ir unikāla.

Ir tikai viens nozvejas, izredzes ir Uz redzēšanos Mēs nezinām, tāpēc nosaukums - nenoteikto koeficientu metode.

Kā jūs uzminējāt, turpmākās ķermeņa kustības ir tādas, neķeksējiet! būs vērsta tikai uz to ATZĪŠANU - lai uzzinātu, ar ko viņi ir līdzvērtīgi.

Esiet uzmanīgi, sīkāk paskaidrošu tikai vienu reizi!

Tātad, sāksim dejot no:

Kreisajā pusē mēs samazinām izteiksmi līdz kopsaucējam:

Tagad mēs varam droši atbrīvoties no saucējiem (jo tie ir vienādi):

Kreisajā pusē atveram iekavas, bet pagaidām nepieskaramies nezināmajiem koeficientiem:

Tajā pašā laikā mēs atkārtojam skolas noteikumu polinomu reizināšanai. Kad es biju skolotājs, es iemācījos izrunāt šo noteikumu ar taisnu seju: Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar katru otra polinoma vārdu.

No skaidra skaidrojuma viedokļa labāk ir likt koeficientus iekavās (lai gan es personīgi to nekad nedaru, lai ietaupītu laiku):

Mēs veidojam lineāru vienādojumu sistēmu.
Vispirms mēs meklējam augstākā līmeņa grādus:

Un mēs ierakstām atbilstošos koeficientus sistēmas pirmajā vienādojumā:

Labi atcerieties nākamo punktu. Kas notiktu, ja labajā pusē vispār nebūtu s? Teiksim, vai tas vienkārši parādītos bez kvadrāta? Šajā gadījumā sistēmas vienādojumā labajā pusē būtu jāliek nulle: . Kāpēc nulle? Bet tāpēc, ka labajā pusē vienmēr var piešķirt šo vienu un to pašu kvadrātu ar nulli: Ja labajā pusē nav mainīgo un/vai brīva vārda, tad sistēmas atbilstošo vienādojumu labajās pusēs liekam nulles.

Mēs ierakstām atbilstošos koeficientus sistēmas otrajā vienādojumā:

Un visbeidzot, minerālūdens, mēs izvēlamies bezmaksas biedrus.

Eh...es kaut kā jokoju. Jokus malā - matemātika ir nopietna zinātne. Mūsu institūta grupā neviens nesmējās, kad docente teica, ka viņa izkaisīs terminus pa skaitļu līniju un izvēlēsies lielākos. Kļūsim nopietni. Lai gan... kurš dzīvo līdz šīs nodarbības beigām, tas joprojām klusi pasmaidīs.

Sistēma ir gatava:

Mēs atrisinām sistēmu:

(1) No pirmā vienādojuma mēs to izsakām un aizstājam sistēmas 2. un 3. vienādojumā. Faktiski varēja izteikt (vai citu burtu) no cita vienādojuma, bet šajā gadījumā ir izdevīgi to izteikt no 1. vienādojuma, jo mazākās izredzes.

(2) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus 2. un 3. vienādojumā.

(3) Mēs saskaitām 2. un 3. vienādojumu pa vārdam, iegūstot vienādību , no kā izriet, ka

(4) Mēs aizvietojam ar otro (vai trešo) vienādojumu, no kurienes mēs to atrodam

(5) Aizstāt un pirmajā vienādojumā, iegūstot .

Ja jums ir grūtības ar sistēmas risināšanas metodēm, praktizējiet tās klasē. Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu?

Pēc sistēmas atrisināšanas vienmēr ir lietderīgi pārbaudīt - aizstāt atrastās vērtības katrs sistēmas vienādojums, kā rezultātā visam vajadzētu “saplūst”.

Gandrīz klāt. Tika atrasti koeficienti un:

Gatavajam darbam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Kā redzams, galvenā uzdevuma grūtība bija sastādīt (pareizi!) un atrisināt (pareizi!) lineāro vienādojumu sistēmu. Un pēdējā posmā viss nav tik grūti: mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašības un integrējam. Lūdzu, ņemiet vērā, ka zem katra no trim integrāļiem mums ir “bezmaksas” kompleksā funkcija; par tās integrācijas iezīmēm es runāju nodarbībā. Mainīgo izmaiņu metode nenoteiktā integrālā.

Pārbaudiet: nošķiriet atbildi:

Ir iegūta sākotnējā integrānda funkcija, kas nozīmē, ka integrālis ir atrasts pareizi.
Pārbaudes laikā mums bija jāsamazina izteiksme līdz kopsaucējam, un tas nav nejauši. Nenoteiktu koeficientu metode un izteiksmes samazināšana līdz kopsaucējam ir savstarpēji apgrieztas darbības.

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Atgriezīsimies pie daļskaitļa no pirmā piemēra: . Ir viegli pamanīt, ka saucējā visi faktori ir DAŽĀDI. Rodas jautājums, ko darīt, ja, piemēram, ir dota šāda daļa: ? Šeit mums ir grādi saucējā vai, matemātiski, daudzkārtēji. Turklāt ir kvadrātveida trinomāls, kuru nevar faktorizēt (ir viegli pārbaudīt, vai vienādojuma diskriminants ir negatīvs, tāpēc trinomu nevar faktorizēt). Ko darīt? Izvēršana elementāro daļu summā izskatīsies apmēram tā ar nezināmiem koeficientiem augšā vai kas cits?

3. piemērs

Ieviest funkciju

1. darbība. Pārbauda, ​​vai mums ir pareiza daļa
Galvenais skaitītājs: 2
Augstākā saucēja pakāpe: 8
, kas nozīmē, ka daļa ir pareiza.

2. darbība. Vai ir iespējams kaut ko ieskaitīt saucējā? Acīmredzot nē, viss jau ir izklāstīts. Iepriekš minēto iemeslu dēļ kvadrātveida trinomu nevar izvērst par produktu. Kapuce. Mazāk darba.

3. darbība. Iedomāsimies daļskaitļu-racionālu funkciju kā elementāro daļu summu.
Šajā gadījumā paplašināšanai ir šāda forma:

Apskatīsim mūsu saucēju:
Sadalot daļskaitļu racionālu funkciju elementāro daļu summā, var izdalīt trīs pamatpunktus:

1) Ja saucējā ir “vientuļš” koeficients pirmajai pakāpei (mūsu gadījumā), tad augšpusē (mūsu gadījumā) ievietojam nenoteiktu koeficientu. Piemēri Nr. 1, 2 sastāvēja tikai no šādiem “vientuļiem” faktoriem.

2) Ja saucējam ir vairākas reizinātājs, tad jums tas jāsadala šādi:
- tas ir, secīgi iziet cauri visām “X” pakāpēm no pirmās līdz n-tajai pakāpei. Mūsu piemērā ir divi vairāki faktori: un , vēlreiz apskatiet manis sniegto paplašinājumu un pārliecinieties, vai tie ir izvērsti tieši saskaņā ar šo noteikumu.

3) Ja saucējs satur nesadalāmu otrās pakāpes polinomu (mūsu gadījumā), tad, sadalot skaitītājā, ir jāraksta lineāra funkcija ar nenoteiktiem koeficientiem (mūsu gadījumā ar nenoteiktiem koeficientiem un ).

Faktiski ir vēl viens ceturtais gadījums, bet es par to klusēšu, jo praksē tas ir ārkārtīgi reti.

4. piemērs

Ieviest funkciju kā elementārdaļskaitļu summa ar nezināmiem koeficientiem.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Stingri ievērojiet algoritmu!

Ja saprotat principus, pēc kuriem daļēja-racionāla funkcija ir jāpaplašina summā, varat izkļūt cauri gandrīz jebkuram aplūkojamā veida integrālim.

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

1. darbība. Acīmredzot daļa ir pareiza:

2. darbība. Vai ir iespējams kaut ko ieskaitīt saucējā? Var. Šeit ir kubu summa . Nosakiet saucēju, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu

3. darbība. Izmantojot nenoteikto koeficientu metodi, integrandu izvēršam elementāro daļu summā:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka polinomu nevar faktorizēt (pārbaudiet, vai diskriminants ir negatīvs), tāpēc augšpusē ievietojam lineāru funkciju ar nezināmiem koeficientiem, nevis tikai vienu burtu.

Mēs apvienojam daļu līdz kopsaucējam:

Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:

(1) Mēs izsakām no pirmā vienādojuma un aizstājam to ar otro sistēmas vienādojumu (tas ir racionālākais veids).

(2) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus otrajā vienādojumā.

(3) Sistēmas otro un trešo vienādojumu saskaitām pa vārdam.

Visi turpmākie aprēķini principā ir mutiski, jo sistēma ir vienkārša.

(1) Daļskaitļu summu pierakstām atbilstoši atrastajiem koeficientiem.

(2) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašības. Kas notika otrajā integrālī? Ar šo metodi varat iepazīties nodarbības pēdējā rindkopā. Dažu frakciju integrēšana.

(3) Atkal mēs izmantojam linearitātes īpašības. Trešajā integrālī mēs sākam izolēt visu kvadrātu (nodarbības priekšpēdējā rindkopa Dažu frakciju integrēšana).

(4) Ņemam otro integrāli, trešajā izvēlamies pilno kvadrātu.

(5) Ņem trešo integrāli. Gatavs.

BAŠKORTOSTANAS REPUBLIKAS ZINĀTNES UN IZGLĪTĪBAS MINISTRIJA

SAOU SPO Baškīras Arhitektūras un civilās inženierijas koledža

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

matemātikas skolotājs Baškīrijā

Arhitektūras un būvinženieru koledža

UFA

2014. gads

Ievads _________________________________________________________3

nodaļa es Nenoteikto koeficientu metodes izmantošanas teorētiskie aspekti____________________________________________________4

nodaļa II. Meklē risinājumus uzdevumiem ar polinomiem, izmantojot nenoteikto koeficientu metodi______________________________________7

2.1. Polinoma faktorēšana_________________________ 7

2.2. Problēmas ar parametriem______________________________________ 10

2.3. Vienādojumu risināšana________________________________________________14

2.4. Funkcionālie vienādojumi___________________________________19

Secinājums____________________________________________________________23

Izmantotās literatūras saraksts_______________________________________________24

Pieteikums ________________________________________________25

Ievads.

Šis darbs ir veltīts nenoteikto koeficientu metodes ieviešanas skolas matemātikas kursā teorētiskajiem un praktiskiem aspektiem. Šīs tēmas atbilstību nosaka šādi apstākļi.

Neviens neapstrīdēs, ka matemātika kā zinātne nestāv vienuviet, tā nepārtraukti attīstās, parādās jauni paaugstinātas sarežģītības uzdevumi, kas nereti rada zināmas grūtības, jo šie uzdevumi parasti ir saistīti ar pētniecību. Pēdējos gados šādas problēmas tiek piedāvātas skolu, rajonu un republikas matemātikas olimpiādēs, un tās ir pieejamas arī Vienotā valsts eksāmena versijās. Tāpēc bija nepieciešama īpaša metode, kas ļautu vismaz dažus no tiem atrisināt visātrāk, efektīvāk un izdevīgāk. Šajā darbā uzskatāmi parādīts nenoteikto koeficientu metodes saturs, ko plaši izmanto visdažādākajās matemātikas jomās, sākot no vispārējās izglītības kursā iekļautajiem jautājumiem un beidzot ar tās progresīvākajām daļām. Īpaši interesanti un efektīvi ir nenoteikto koeficientu metodes pielietojumi, risinot uzdevumus ar parametriem, daļējiem racionālajiem un funkcionālajiem vienādojumiem; tās var viegli ieinteresēt ikvienu, kuru interesē matemātika. Piedāvātā darba un problēmu atlases galvenais mērķis ir sniegt plašas iespējas noslīpēt un attīstīt spēju rast īsus un nestandarta risinājumus.

Šis darbs sastāv no divām nodaļām. Pirmajā tiek apspriesti izmantošanas teorētiskie aspekti

nenoteikto koeficientu metode un, otrkārt, šādas izmantošanas praktiskie un metodoloģiskie aspekti.

Darba pielikumā sniegti nosacījumi konkrētu uzdevumu veikšanai patstāvīgam risinājumam.

nodaļa es . Lietošanas teorētiskie aspekti nenoteikto koeficientu metode

"Cilvēks... dzimis, lai būtu meistars,

valdnieks, dabas karalis, bet gudrība,

ar ko viņam jāvalda, viņam nav dots

no dzimšanas: to iegūst mācoties"

Ņ.I.Lobačevskis

Problēmu risināšanai ir dažādi veidi un metodes, taču viena no ērtākajām, efektīvākajām, oriģinālākajām, elegantākajām un tajā pašā laikā ļoti vienkāršākajām un ikvienam saprotamākajām ir nenoteikto koeficientu metode. Nenoteikto koeficientu metode ir metode, ko izmanto matemātikā, lai atrastu izteiksmju koeficientus, kuru forma ir iepriekš zināma.

Pirms apsvērt nenoteikto koeficientu metodes pielietojumu dažāda veida problēmu risināšanā, mēs sniedzam virkni teorētisku informāciju.

Lai tie tiek doti

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polinomi relatīvi X ar jebkādām izredzēm.

Teorēma. Divi polinomi atkarībā no viena un viens un tas pats arguments ir identiski vienādi tad un tikai tadn = m un to atbilstošie koeficienti ir vienādia 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m Un T. d.

Acīmredzot visām vērtībām ir vienādi polinomi X vienādas vērtības. Un otrādi, ja divu polinomu vērtības ir vienādas visām vērtībām X, tad polinomi ir vienādi, tas ir, to koeficienti vienādās pakāpēsX sakrīt.

Tāpēc ideja par nenoteikto koeficientu metodes pielietošanu problēmu risināšanā ir šāda.

Ļaujiet mums zināt, ka dažu transformāciju rezultātā tiek iegūta noteikta veida izteiksme un nav zināmi tikai koeficienti šajā izteiksmē. Tad šie koeficienti tiek apzīmēti ar burtiem un tiek uzskatīti par nezināmiem. Pēc tam tiek izveidota vienādojumu sistēma, lai noteiktu šos nezināmos.

Piemēram, polinomu gadījumā šie vienādojumi ir izveidoti no nosacījuma, ka koeficienti ir vienādi vienādām pakāpēm X diviem vienādiem polinomiem.

Demonstrēsim iepriekš teikto, izmantojot šādus konkrētus piemērus, un sāksim ar vienkāršāko.

Tā, piemēram, pamatojoties uz teorētiskiem apsvērumiem, daļa

var attēlot kā summu

, Kur a , b Un c - koeficienti, kas jānosaka. Lai tos atrastu, mēs pielīdzinām otro izteiksmi pirmajai:

=

un atbrīvot sevi no saucēja un savākt terminus ar tādām pašām pilnvarām kreisajā pusē X, mēs iegūstam:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Tā kā pēdējai vienlīdzībai ir jābūt patiesai visām vērtībām X, tad koeficienti ar tādām pašām pakāpēmX pa labi un pa kreisi jābūt vienādiem. Tādējādi tiek iegūti trīs vienādojumi, lai noteiktu trīs nezināmos koeficientus:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1, no kurienes a = 1 , b = - 2 , c = 3

Tāpēc

=
,

šīs vienlīdzības derīgumu ir viegli pārbaudīt tieši.

Pieņemsim, ka jums ir jāattēlo arī daļa

kā a + b
+ c
+ d
, Kur a , b , c Un d- nezināmi racionālie koeficienti. Mēs pielīdzinām otro izteiksmi pirmajai:

a + b
+ c
+ d
=
vai, Atbrīvojoties no saucēja, noņemot, kur iespējams, racionālos faktorus zem sakņu zīmēm un ienesot līdzīgus terminus kreisajā pusē, iegūstam:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Bet šāda vienlīdzība ir iespējama tikai tad, ja abu daļu racionālie nosacījumi un to pašu radikāļu koeficienti ir vienādi. Tādējādi tiek iegūti četri vienādojumi nezināmo koeficientu atrašanai a , b , c Un d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, no kurienes a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , tas ir
= -
+
.

II nodaļa. Meklē risinājumus problēmām ar polinomiem nenoteikto koeficientu metode.

“Nekas neveicina priekšmeta apguvi labāk kā

veids, kā rīkoties ar viņu dažādās situācijās"

Akadēmiķis B.V.Gņedenko

2. 1. Polinoma faktorēšana.

Polinomu faktoringa metodes:

1) kopfaktora izlikšana iekavās 2) grupēšanas metode; 3) reizināšanas pamatformulu pielietošana; 4) palīgterminu ievadīšana 5) dotā polinoma sākotnējā transformācija, izmantojot noteiktas formulas; 6) paplašināšana, atrodot dotā polinoma saknes; 7) parametra ievadīšanas metode; 8)nenoteikto koeficientu metode.

Problēma 1. Faktorizēt polinomu reālos faktoros X 4 + X 2 + 1 .

Risinājums. Starp šī polinoma brīvā termiņa dalītājiem nav sakņu. Mēs nevaram atrast polinoma saknes ar citiem elementāriem līdzekļiem. Tāpēc nav iespējams veikt nepieciešamo izvēršanu, vispirms atrodot šī polinoma saknes. Atliek meklēt problēmas risinājumu vai nu ieviešot palīgterminus, vai arī ar nenoteikto koeficientu metodi. Ir skaidrs, ka X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Iegūtajiem kvadrātveida trinomiem nav sakņu, un tāpēc tie nav sadalāmi reālos lineāros faktoros.

Aprakstītā metode ir tehniski vienkārša, taču sarežģīta tās mākslīguma dēļ. Patiešām, ir ļoti grūti izdomāt nepieciešamos palīgnosacījumus. Tikai minējums mums palīdzēja atrast šo sadalījumu. Bet

Ir uzticamāki veidi, kā atrisināt šādas problēmas.

Varētu rīkoties šādi: pieņemt, ka dotais polinoms sadalās reizinājumā

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

divi kvadrātveida trinomi ar veselu skaitļu koeficientiem.

Tādējādi mums tas būs

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Atliek noteikt koeficientusa , b , c Un d .

Reizinot polinomus pēdējās vienādības labajā pusē, iegūstam:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (reklāma + bc ) x + bd .

Bet, tā kā mums ir nepieciešams, lai šīs vienādības labā puse pārvērstos par to pašu polinomu, kas atrodas kreisajā pusē, mums būs jāievēro šādi nosacījumi:

a + c = 0

b + A c + d = 1

reklāma + bc = 0

bd = 1 .

Rezultāts ir četru vienādojumu sistēma ar četriem nezināmajiema , b , c Un d . No šīs sistēmas ir viegli atrast koeficientusa = 1 , b = 1 , c = -1 Un d = 1.

Tagad problēma ir pilnībā atrisināta. Mēs saņēmām:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

2. uzdevums. Faktorizēt polinomu reālos faktoros X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Risinājums. Attēlosim šo polinomu formā

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), Kur a , b Un Ar - koeficienti vēl nav noteikti. Tā kā divi polinomi ir identiski vienādi tad un tikai tad, ja ir vienādu pakāpju koeficientiX ir vienādi, attiecīgi pielīdzinot koeficientusX 2 , X un brīvos terminus, mēs iegūstam trīs vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Šīs sistēmas risinājums tiks ievērojami vienkāršots, ja ņemsim vērā, ka skaitlis 3 (brīvā vārda dalītājs) ir šī vienādojuma sakne, un tāpēca = - 3 ,

b = - 3 Un Ar = 5 .

Tad X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Pielietotā nenoteikto koeficientu metode, salīdzinot ar iepriekš minēto palīgterminu ieviešanas metodi, nesatur neko mākslīgu, taču tā prasa daudzu teorētisku principu pielietošanu un to pavada diezgan apjomīgi aprēķini. Augstākas pakāpes polinomiem šī nenoteikto koeficientu metode rada apgrūtinošas vienādojumu sistēmas.

2.2.Uzdevumi un ar parametriem.

Pēdējos gados Vienotā valsts eksāmena versijas piedāvā uzdevumus ar parametriem. To risinājums bieži rada zināmas grūtības. Risinot problēmas ar parametriem, kopā ar citām metodēm diezgan efektīvi var izmantot nenoteikto koeficientu metodi. Tieši šī metode ļauj ievērojami vienkāršot to risinājumu un ātri saņemt atbildi.

3. uzdevums. Nosakiet, pie kādām parametra vērtībām A 2. vienādojums X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 ir tieši divas saknes.

Risinājums. 1 veids. Izmantojot atvasinājumu.

Attēlosim šo vienādojumu divu funkciju veidā

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x3–3 X 2 – 36 X– 3 un φ( X ) = – A .

Izpētīsim funkcijuf (x) = 2x3–3 X 2 – 36 X – 3 izmantojot atvasinājumu un shematiski konstruēt tā grafiku (1. att.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

3. Atradīsim funkcijas kritiskos punktus, tās pieauguma un samazināšanās intervālus, ekstremitātes. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , tāpēc visus funkcijas kritiskos punktus atradīsim, atrisinot vienādojumu f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 pēc teorēmas apgriezti Vietas teorēmai.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maks - min +

2 3 x

f / (x) > 0 visiem X< – 2 un X > 3 un funkcija ir nepārtraukta punktosx =– 2 un X = 3, tāpēc tas palielinās katrā no intervāliem (- ; - 2] un [3; ).

f / (x ) < 0 pie - 2 < X< 3, tāpēc tas samazinās intervālā [- 2; 3 ].

X = - 2. maksimālais punkts, jo šajā brīdī atvasinājuma zīme mainās no"+" uz "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16–12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimālais punkts, jo šajā brīdī mainās atvasinājuma zīme"-" uz "+".

f (3) = 2,27 – 3,9 – 36,3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Funkcijas φ(X ) = – A ir taisna līnija, kas ir paralēla x asij un iet caur punktu ar koordinātām (0; – A ). Diagrammām ir divi kopīgi punkti -A= 41, t.i. a =– 41 un – A= – 84, t.i. A = 84 .

plkst

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2. metode. Nenoteikto koeficientu metode.

Tā kā saskaņā ar problēmas nosacījumiem šim vienādojumam jābūt tikai divām saknēm, vienlīdzība ir acīmredzama:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Tagad pielīdzinot koeficientus vienādās pakāpēs X, mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

No pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem mēs atrodamb 2 + b – 6 = 0, no kurienes b 1 = - 3 vai b 2 = 2. Atbilstošās vērtībasAr 1 un Ar 2 viegli atrast no pirmā sistēmas vienādojuma:Ar 1 = 9 vai Ar 2 = - 11 . Visbeidzot, vēlamo parametra vērtību var noteikt no pēdējā sistēmas vienādojuma:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 vai a 2 = 84.

Atbilde: šim vienādojumam ir tieši divi dažādi

saknes pie A= - 41 un A= 84 .

4. uzdevums. Atrodiet parametra lielāko vērtībuA , kuram vienādojumsX 3 + 5 X 2 + Ak + b = 0

ar veselu skaitļu koeficientiem ir trīs dažādas saknes, no kurām viena ir vienāda ar – 2.

Risinājums. 1 veids. Aizstāšana X= - 2 vienādojuma kreisajā pusē, mēs iegūstam

8 + 20 – 2 A + b= 0, kas nozīmē b = 2 a – 12 .

Tā kā skaitlis 2 ir sakne, mēs varam izņemt kopējo koeficientu X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Ak + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Ak + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Ak + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Pēc nosacījuma ir vēl divas vienādojuma saknes. Tas nozīmē, ka otrā faktora diskriminants ir pozitīvs.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, tas ir A < 8,25 .

Šķiet, ka atbilde būtu a = 8 . Bet, aizstājot skaitli 8 sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam:

X 3 + 5 X 2 + Ak + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

tas ir, vienādojumam ir tikai divas dažādas saknes. Bet, kad a = 7 faktiski rada trīs dažādas saknes.

2. metode. Nenoteikto koeficientu metode.

Ja vienādojums X 3 + 5 X 2 + Ak + b = 0 ir sakne X = - 2, tad jūs vienmēr varat izvēlēties skaitļusc Un d tā ka visu priekšāX vienlīdzība bija taisnība

X 3 + 5 X 2 + Ak + b = (X + 2)(X 2 + Ar x + d ).

Lai atrastu skaitļusc Un d Atvērsim labajā pusē esošās iekavas, pievienosim līdzīgus terminus un iegūsim

X 3 + 5 X 2 + Ak + b = X 3 + (2 + Ar ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Koeficientu pielīdzināšana atbilstošajām pakāpēm X mums ir sistēma

2 + Ar = 5

2 Ar + d = a

2 d = b , kur c = 3 .

Tāpēc X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 vai

d < 2.25, tātad d (- ; 2 ].

Problēmas nosacījumus apmierina vērtība d = 1 . Parametra galīgā vēlamā vērtībaA = 7.

ATBILDE: kad a = 7 šim vienādojumam ir trīs dažādas saknes.

2.3. Vienādojumu risināšana.

“Atcerieties to, risinot nelielas problēmas

sagatavojiet sevi lielam un grūtam risinājumam

jauni uzdevumi."

Akadēmiķis S.L. Soboļevs

Atrisinot dažus vienādojumus, jūs varat un vajadzētu parādīt atjautību un asprātību, kā arī izmantot īpašus paņēmienus. Matemātikā liela nozīme ir dažādu transformācijas paņēmienu apguvei un prasmei veikt loģisku spriešanu. Viens no šiem trikiem ir saskaitīt un atņemt kādu labi izvēlētu izteiksmi vai skaitli. Pats nosauktais fakts, protams, visiem ir labi zināms - galvenā grūtība ir saskatīt konkrētā konfigurācijā tās vienādojumu transformācijas, kurām to ir ērti un lietderīgi piemērot.

Izmantojot vienkāršu algebrisko vienādojumu, mēs ilustrēsim vienu nestandarta paņēmienu vienādojumu risināšanai.

5. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

=
.

Risinājums. Reizināsim abas šī vienādojuma puses ar 5 un pārrakstīsim to šādi

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 vai
= 0

Atrisināsim iegūtos vienādojumus, izmantojot nenoteikto koeficientu metodi

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ak + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (reklāma + bc ) x++ bd

Koeficientu pielīdzināšana pie X 3 , X 2 , X un bezmaksas noteikumi, mēs saņemam sistēmu

a + c = -1

b + A c + d = 0

reklāma + bc = -7

bd = -3, no kurienes mēs atrodam:A = -2 ; b = - 1 ;

Ar = 1 ; d = 3 .

Tātad X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 vai X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
nav sakņu.

Līdzīgi ir arī mums

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

kur X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Atbilde: X 1,2 =

6. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

= 10.

Risinājums. Lai atrisinātu šo vienādojumu, jums jāizvēlas skaitļiA Un b lai abu daļskaitļu skaitītāji būtu vienādi. Tāpēc mums ir šāda sistēma:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Tātad uzdevums ir atrast skaitļusA Un b , uz kuriem attiecas vienlīdzība

(a + 6) X 2 + ak - 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Tagad, saskaņā ar teorēmu par polinomu vienādību, ir nepieciešams, lai šīs vienādības labā puse pārvērstos par to pašu polinomu, kas atrodas kreisajā pusē.

Citiem vārdiem sakot, attiecībām jābūt apmierinātām

a + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , no kurienes mēs atrodam vērtībasA = - 5 ;

b = - 5 .

Pie šīm vērtībāmA Un b vienlīdzība A + b = - 10 arī ir godīgi.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 vai X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Atbilde: X 1,2 =
, X 3,4 =

7. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

= 4

Risinājums. Šis vienādojums ir sarežģītāks nekā iepriekšējie, tāpēc mēs to sagrupēsim šādi: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

No divu polinomu vienādības nosacījuma

Ak 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

iegūstam un atrisinām vienādojumu sistēmu nezināmiem koeficientiemA Un b :

A = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , kur a = 1 , b = - 4 .

Polinomi - 3-6X + cx 2 + 8 cx Un X 2 + 21 + 12 d – dx ir vienādi viens ar otru tikai tad, kad

Ar = 1

8 Ar - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Ar = 1 , d = - 2 .

Ar vērtībāma = 1 , b = - 4 , Ar = 1 , d = - 2

vienlīdzība
= - 4 ir pareizi.

Rezultātā šis vienādojums iegūst šādu formu:

= 0 vai
= 0 vai
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

No aplūkotajiem piemēriem ir skaidrs, kā prasmīga nenoteikto koeficientu metodes izmantošana,

palīdz vienkāršot diezgan sarežģīta, neparasta vienādojuma risinājumu.

2.4. Funkcionālie vienādojumi.

“Matemātikas augstākais mērķis... ir

ir atrast slēpto kārtību

haoss, kas mūs ieskauj"

N. Viners

Funkcionālie vienādojumi ir ļoti vispārīga vienādojumu klase, kurā nezināmā funkcija ir noteikta funkcija. Funkcionāls vienādojums vārda šaurā nozīmē tiek saprasts kā vienādojums, kurā vajadzīgās funkcijas ir saistītas ar zināmām viena vai vairāku mainīgo funkcijām, izmantojot kompleksas funkcijas veidošanas operāciju. Funkcionālo vienādojumu var uzskatīt arī par īpašu funkciju izteiksmi, kas raksturo noteiktu funkciju klasi

[piemēram, funkcionāls vienādojums f ( x ) = f (- x ) raksturo pāra funkciju klasi, funkcionālo vienādojumuf (x + 1) = f (x ) – funkciju klase ar 1. periodu utt.].

Viens no vienkāršākajiem funkcionālajiem vienādojumiem ir vienādojumsf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Šī funkcionālā vienādojuma nepārtrauktiem risinājumiem ir forma

f (x ) = Cx . Tomēr pārtraukto funkciju klasē šim funkcionālajam vienādojumam ir citi risinājumi. Saistīti ar aplūkoto funkcionālo vienādojumu ir

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

nepārtraukti risinājumi, kuriem attiecīgi ir forma

e cx , ARlnx , x α (x > 0).

Tādējādi šos funkcionālos vienādojumus var izmantot, lai definētu eksponenciālās, logaritmiskās un jaudas funkcijas.

Visplašāk izmantotie vienādojumi ir sarežģītās funkcijās, kurās nepieciešamās funkcijas ir ārējās funkcijas. Teorētiskie un praktiskie pielietojumi

Tieši šie vienādojumi pamudināja izcilus matemātiķus tos izpētīt.

Piemēram, plkst izlīdzināšana

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

Ņ.I.Lobačevskisizmanto, lai noteiktu paralēlisma leņķi manā ģeometrijā.

Pēdējos gados matemātikas olimpiādēs diezgan bieži tiek piedāvāti uzdevumi, kas saistīti ar funkcionālo vienādojumu risināšanu. To risināšanai nav nepieciešamas zināšanas, kas pārsniedz vidusskolu matemātikas mācību programmu. Tomēr funkcionālo vienādojumu risināšana bieži rada zināmas grūtības.

Viens no veidiem, kā atrast funkcionālo vienādojumu risinājumus, ir nenoteikto koeficientu metode. To var izmantot, ja vajadzīgās funkcijas vispārējo formu var noteikt pēc vienādojuma izskata. Tas, pirmkārt, attiecas uz gadījumiem, kad vienādojumu risinājumi jāmeklē starp veselām vai daļējām racionālām funkcijām.

Ieskicēsim šīs tehnikas būtību, atrisinot šādas problēmas.

8. uzdevums. Funkcijaf (x ) ir definēts visiem reālajiem x un atbilst visiemX R stāvokli

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Atrastf (x ).

Risinājums. Tā kā šī vienādojuma kreisajā pusē virs neatkarīgā mainīgā x un funkcijas vērtībāmf Tiek veiktas tikai lineāras darbības, un vienādojuma labā puse ir kvadrātfunkcija, tad ir dabiski pieņemt, ka vēlamā funkcija ir arī kvadrātiskā:

f (X) = cirvis 2 + bx + c , Kura, b, c – nosakāmie koeficienti, tas ir, nenoteiktie koeficienti.

Aizvietojot funkciju vienādojumā, mēs nonākam pie identitātes:

3(cirvis 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

cirvis 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Divi polinomi būs identiski vienādi, ja tie būs vienādi

koeficienti tām pašām mainīgā pakāpēm:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

No šīs sistēmas mēs atrodam koeficientus

a = 1 , b = - , c = , Arīapmierinavienlīdzība

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 uz visu reālo skaitļu kopas. Tajā pašā laikā ir arī tādsx 0 Uzdevums 9. Funkcijay =f(x) visiem x ir definēts, nepārtraukts un atbilst nosacījumamf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Atrodiet divas šādas funkcijas.

Risinājums. Ar vēlamo funkciju tiek veiktas divas darbības - sarežģītas funkcijas sastādīšanas operācija un

atņemšana. Ņemot vērā, ka vienādojuma labā puse ir lineāra funkcija, ir dabiski pieņemt, ka arī vēlamā funkcija ir lineāra:f(x) = ah +b , KurA Unb – nenoteikti koeficienti. Šīs funkcijas aizstāšana arf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , kas ir funkcionālā vienādojuma risinājumif (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Secinājums.

Noslēgumā jāatzīmē, ka šis darbs noteikti veicinās turpmāku oriģinālas un efektīvas metodes izpēti dažādu matemātisko problēmu risināšanai, kas ir paaugstinātas grūtības problēmas un kurām nepieciešamas padziļinātas zināšanas par skolas matemātikas kursu un augstu loģiku. kultūra.Ikviens, kurš vēlas patstāvīgi padziļināt savas zināšanas matemātikā, atradīs arī Šajā darbā ir materiāls pārdomām un interesanti uzdevumi, kuru risināšana nesīs labumu un gandarījumu.

Darbā esošās skolas mācību programmas ietvaros un efektīvai uztverei pieejamā formā ir noteikta nenoteikto koeficientu metode, kas palīdz padziļināt skolas kursu matemātikā.

Protams, visas nenoteikto koeficientu metodes iespējas nevar demonstrēt vienā darbā. Faktiski metode joprojām prasa papildu izpēti un izpēti.

Izmantotās literatūras saraksts.

Glezers G.I..Matemātikas vēsture skolā.-M.: Izglītība, 1983.g.

Gomonov S.A. Funkcionālie vienādojumi skolas matemātikas kursā // Matemātika skolā. -2000. –№10 .

Dorofejevs G.V., Potapovs M.K., Rozovs N.H.. Matemātikas rokasgrāmata. - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Patvaļīgu grādu algebriskie vienādojumi. - M.: Nauka, 1983.

Likhtarņikovs L.M.. Elementārs ievads funkcionālajos vienādojumos. - Sanktpēterburga. : Lan, 1997.

Manturovs O.V., Solncevs Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Matemātikas terminu skaidrojošā vārdnīca.-M.: Izglītība, 1971

Modenovs V.P.. Matemātikas rokasgrāmata. 1. daļa.-M.: Maskavas Valsts universitāte, 1977. gads.

Modenovs V.P.. Problēmas ar parametriem.- M.: Eksāmens, 2006.g.

Potapovs M.K., Aleksandrovs V.V., Pasičenko P.I.. Algebra un elementāro funkciju analīze. - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Jūs varat to atrisināt vieglāk // Matemātika skolā. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Izvērsiet 2. polinomuX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 reizinātājiem ar veseliem skaitļiem.

5. Par kādu vērtību A X 3 + 6X 2 + Ak+ 12 per X+ 4 ?

6. Pie kādas parametra vērtībasA vienādojumsX 3 +5 X 2 + + Ak + b = 0 ar veselu skaitļu koeficientiem ir divas dažādas saknes, no kurām viena ir 1 ?

7. Starp polinoma saknēm X 4 + X 3 – 18X 2 + Ak + b ar veselu skaitļu koeficientiem ir trīs vienādi veseli skaitļi. Atrodiet vērtību b .

8. Atrodiet parametra lielāko veselo skaitļu vērtību A, pie kura vienādojums X 3 – 8X 2 + ak +b = 0 ar veselu skaitļu koeficientiem ir trīs dažādas saknes, no kurām viena ir vienāda ar 2.

9. Pie kādām vērtībām A Un b sadalīšana tiek veikta bez atlikuma X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Ak + b ieslēgts X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktoru polinomi:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Atrisiniet vienādojumus:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Atrast f (X) .

13. Funkcija plkst= f (X) visu priekšā X definēts, nepārtraukts un apmierina nosacījumu f ( f (X)) = f (X) + X. Atrodiet divas šādas funkcijas.

Metode ir piemērojama jebkura mainīgo skaita loģiskās algebras funkciju samazināšanai.

Apskatīsim trīs mainīgo gadījumu. Būla funkciju DNF var attēlot visu veidu konjunktīvu terminu veidā, ko var iekļaut DNF:

kur kО(0,1) ir koeficienti. Metode sastāv no koeficientu atlases tā, lai iegūtais DNF būtu minimāls.

Ja tagad iestatām visas iespējamās mainīgo vērtības no 000 līdz 111, mēs iegūstam 2 n (2 3 = 8) vienādojumus koeficientu noteikšanai k:

Ņemot vērā kopas, kurām funkcija iegūst nulles vērtību, nosaka koeficientus, kas ir vienādi ar 0, un izsvītro tos no vienādojumiem, kuru labajā pusē ir 1. No atlikušajiem koeficientiem katrā vienādojumā viens koeficients tiek pielīdzināts vienam, kas nosaka zemākā ranga konjunkcija. Atlikušie koeficienti ir vienādi ar 0. Tātad, vienības koeficienti k noteikt atbilstošo minimālo formu.

Piemērs. Minimizēt doto funkciju

ja vērtības ir zināmas:
;
;
;
;
;
;
;
.

Risinājums.

Pēc nulles koeficientu izsvītrošanas mēs iegūstam:

=1;

=1;

=1;

=1.

Pielīdzināsim koeficientu vienotībai , kas atbilst zemākā ranga konjunkcijai un pēdējos četrus vienādojumus pārvērš par 1, un pirmajā vienādojumā ieteicams pielīdzināt koeficientu 1 . Atlikušie koeficienti ir iestatīti uz 0.

Atbilde: minimizētās funkcijas veids.

Jāņem vērā, ka nenoteikto koeficientu metode ir efektīva, ja mainīgo lielumu skaits ir mazs un nepārsniedz 5-6.

Daudzdimensiju kubs

Apskatīsim funkcijas grafisku attēlojumu daudzdimensiju kuba formā. Katra virsotne n-dimensiju kubu var ievietot saskaņā ar vienības sastāvdaļu.

Atzīmēto virsotņu apakškopa ir kartēšana uz n-Būla funkcijas dimensiju kubs no n mainīgie SDNF.

Lai parādītu funkciju no n mainīgajiem lielumiem, kas uzrādīti jebkurā DNF, ir nepieciešams izveidot atbilstību starp tā miniterminiem un elementiem n- dimensiju kubs.

(n-1) ranga minimums
var uzskatīt par divu miniterminu līmēšanas rezultātu n-th rangs, t.i.

=

Ieslēgts n-dimensiju kubs tas atbilst divu virsotņu aizstāšanai, kas atšķiras tikai koordinātu vērtībās X i, savienojot šīs virsotnes ar malu (tiek teikts, ka mala aptver virsotnes, kas uz to attiecas).

Tādējādi minitermi ( n-1) kārta atbilst n-dimensijas kuba malām.

Tāpat miniterminu atbilstība ( n-2) kārtas sejas n-dimensiju kubs, no kuriem katrs aptver četras virsotnes (un četras malas).

Elementi n-dimensiju kubs, ko raksturo S mērījumus sauc S- kubi

Tātad virsotnes ir 0-kubi, malas ir 1-kubi, skaldnes ir 2-kubi utt.

Apkopojot, mēs varam teikt, ka minimālais termiņš ( n-S) funkcijas DNF rangs n parādītie mainīgie S- kubs, katrs S-kubs aptver visus tos zemākas dimensijas kubus, kas ir savienoti tikai ar tā virsotnēm.

Piemērs. Attēlā ņemot vērā kartēšanu

Šeit ir minitermini
Un
atbilst 1 kubiem ( S=3-2=1), un minimālais termiņš X 3 parādīts 2 kubos ( S=3-1=2).

Tātad jebkurš DNF tiek kartēts uz n-dimensiju kubs kopumā S-kubi, kas aptver visas virsotnes, kas atbilst veidojošajām vienībām (0-kubs).

Sastāvdaļas. Mainīgajiem X 1 ,X 2 ,…X n izteiksme
sauc par vienības sastāvdaļu, un
- nulles sastāvdaļa ( nozīmē vai nu , vai ).

Šī viena (nulles) sastāvdaļa pārvēršas par vienu (nulle) tikai ar vienu atbilstošu mainīgo vērtību kopu, ko iegūst, ja visus mainīgos pieņem vienādus ar vienu (nulle), bet to noliegumus – ar nulli (vienu).

Piemēram: veidojošā vienība
atbilst kopai (1011), un sastāvdaļa ir nulle
- komplekts (1001).

Tā kā SD(K)NF ir viena (nulles) sastāvdaļu disjunkcija (konjunkcija), var apgalvot, ka tā attēlo Būla funkciju f(x 1 , x 2 ,…, x n) pagriežas uz vienu (nulle) tikai mainīgo vērtību kopām x 1 , x 2 ,…, x n, kas atbilst šiem līdzdalībniekiem. Citos komplektos šī funkcija kļūst par 0 (vienu).

Patiess ir arī pretējais apgalvojums, uz ko tas ir balstīts veids, kā pārstāvēt jebkuru Būla funkcija, kas norādīta tabulā.

Lai to izdarītu, ir jāraksta viena (nulles) sastāvdaļu disjunkcijas (konjunkcijas), kas atbilst mainīgo vērtību kopām, kurām funkcijai ir vērtība, kas vienāda ar vienu (nulle).

Piemēram, funkcija, ko dod tabula

atbilst

Iegūtās izteiksmes var pārvērst citā formā, pamatojoties uz loģikas algebras īpašībām.

Patiess ir arī pretējais apgalvojums: ja kāda kolekcija S-kubi aptver visu virsotņu kopu, kas atbilst funkcijas vienību vērtībām, tad tām atbilstošo disjunkciju S-miniterminu kubi ir šīs funkcijas izteiksme DNF.

Viņi saka, ka tāda kolekcija S-kubi (vai tiem atbilstošie minitermini) veido funkcijas pārklājumu. Vēlme pēc minimālas formas intuitīvi tiek saprasta kā šāda seguma, skaitļa meklējumi S-kuru kubu būtu mazāk, un to izmēri S- vairāk. Minimālajai formai atbilstošo segumu sauc par minimālo segumu.

Piemēram, funkcijai plkst=
pārklājums atbilst ne-minimālajai formai:

rīsi a) plkst=,

pārklājums uz rīsiem b) plkst=
, rīsi c) plkst=
minimāls.

Rīsi. Funkciju pārklājums plkst=:

a) nav minimāls; b), c) minimums.

Tiek parādīta funkcija ieslēgta n-mērīts skaidri un vienkārši ar n3. Četrdimensiju kubu var attēlot, kā parādīts attēlā. Kurš parāda četru mainīgo funkciju un tā minimālo pārklājumu, kas atbilst izteiksmei. plkst=

Izmantojot šo metodi, kad n>4 prasa tik sarežģītus veidojumus, ka tas zaudē visas priekšrocības.

Vienlīdzība (I) ir identitāte. Reducējot to līdz veselam skaitlim, iegūstam 2 polinomu vienādību. Bet šāda vienlīdzība vienmēr ir izpildīta tikai ar nosacījumu, ka šie polinomi ir vienlīdzīgi.

Pielīdzinot koeficientus vienādām x pakāpēm vienādības kreisajā un labajā pusē, iegūstam lineāru vienādojumu sistēmu nezināmiem koeficientiem, kas jāatrisina.

Tā kā izplešanās (I) vienmēr pastāv jebkurai pareizai racionālai daļai, iegūtā sistēma vienmēr ir konsekventa.

Šo koeficientu atrašanas metodi sauc par nenoteikto koeficientu metodi (koeficientu salīdzināšanas metodi).

Sniegsim piemēru racionālas funkcijas sadalīšanai elementārajās daļās.

Piemērs 6.6.27. Sadaliet frakcijas elementārajās daļās.

aizstāt pēdējo vienādojumu ar otro

Tādējādi
.

x=2 ;

x=3 .

Vajadzētu; .

Daļējās vērtības metode prasa mazāk darbaspēka un tāpēc ir pelnījusi īpašu uzmanību, integrējot racionālās daļas.

Ja saucēja saknes ir tikai reālas, tad vēlams izmantot šo metodi nezināmu koeficientu noteikšanai.

Citos gadījumos abas metodes var apvienot, lai noteiktu nezināmus koeficientus.

komentēt. Daļējo vērtību metode tiek izmantota arī citos gadījumos, taču šeit identitāte ir jānošķir.

Tādējādi, lai integrētu pareizas racionālas daļas, pietiek ar to, ka var:

1) integrēt elementārdaļskaitļus;

2) sadalīt racionālās daļas elementārajās.

3. Racionālo daļskaitļu integrācija

Shēma racionālo daļskaitļu integrēšanai:

Integrēt racionālās daļas ;

Ja P(x) un Q(x) ir polinomi ar reāliem koeficientiem, trīs soļi tiek veikti secīgi.

Pirmais solis. Ja daļa ir nepareiza, tas ir, skaitītāja P(x) pakāpe ir lielāka vai vienāda ar saucēja Q(x) pakāpi, izolē visu racionālās daļas daļu, dalot skaitītāju ar saucēju atbilstoši noteikumam par polinoma dalīšanu ar polinomu. Pēc tam racionālo daļu var uzrakstīt kā summu:

1) izvēlētā veselā skaitļa daļa – polinoms M(x);

2) pareizā atlikuma daļa :

Otrais solis.

Pareiza atlikuma daļa sadalās nākamajās frakcijās.

Lai to izdarītu, atrodiet vienādojuma Q(x)=0 saknes un sadaliet saucēju Q(x) pirmās un otrās pakāpes faktoros ar reāliem koeficientiem:

Šajā saucēja izvērsumā 1. pakāpes faktori atbilst reālajām saknēm, bet 2. pakāpes faktori atbilst paralēlām konjugētajām saknēm.

Koeficientu lielākai x pakāpei saucējā Q(x) var uzskatīt par vienādu ar 1, jo to vienmēr var panākt, dalot P(x) un Q(x) ar to.

Pēc tam pareizā atlikuma frakcija tiek sadalīta vienkāršākajās (elementārajās) frakcijās.

Trešais solis. Atrodiet atlasītās veselās daļas integrāļus un visas elementārās daļas (izmantojot iepriekš aprakstītās metodes), kuras pēc tam tiek pievienotas.

Piemērs6.6.28.

Zem integrāļa zīmes ir nepareiza racionāla daļa, jo skaitītāja pakāpe ir vienāda ar saucēja pakāpi, tāpēc mēs izvēlamies veselo skaitļa daļu.

Sveiciens visiem, dārgie draugi!

Nu ko, apsveicu! Mēs esam droši sasnieguši galveno materiālu racionālo frakciju integrācijā - nenoteikto koeficientu metode. Liels un varens.) Kas ir viņa majestāte un spēks? Un tas slēpjas tā daudzpusībā. Ir jēga to pārbaudīt, vai ne? Brīdinu, ka par šo tēmu būs vairākas nodarbības. Tā kā tēma ir ļoti gara, un materiāls ir ārkārtīgi svarīgs.)

Uzreiz teikšu, ka šodienas nodarbībā (un arī nākamajās) mēs ne tik daudz nodarbosimies ar integrāciju, bet gan... lineāro vienādojumu sistēmu risināšana! Jā jā! Tāpēc tiem, kam ir problēmas ar sistēmām, atkārtojiet matricas, determinantus un Krāmera metodi. Un tiem biedriem, kuriem ir problēmas ar matricām, es aicinu sliktākajā gadījumā atsvaidzināt atmiņu vismaz par "skolas" sistēmu risināšanas metodēm - aizstāšanas metodi un terminu saskaitīšanas/atņemšanas metodi.

Lai sāktu mūsu iepazīšanos, attīsim filmu nedaudz atpakaļ. Īsi atgriezīsimies pie iepriekšējām nodarbībām un analizēsim visas tās frakcijas, kuras mēs integrējām iepriekš. Tieši, bez jebkādas nenoteiktu koeficientu metodes! Šeit viņi ir, šīs frakcijas. Es tos sakārtoju trīs grupās.

1. grupa

saucējā - lineārā funkcija vai nu pats par sevi, vai līdz pakāpei. Vārdu sakot, saucējs ir produkts identisks veidlapas iekavas (ha).

Piemēram:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5) (2x+5) (2x+5)

Un tā tālāk. Starp citu, neļaujiet iekavām jūs mulsināt (4x+5) vai (2x+5) 3 ar koeficientu k iekšā. Tās joprojām ir veidlapas iekavas (ha). Jo tas ir visvairāk k no tādiem kronšteiniem vienmēr var iznest ārā.

Kā šis:

Tas arī viss.) Un nav svarīgi, kas tieši ir skaitītājā – vienkārši dx vai kaut kāds polinoms. Mēs vienmēr paplašinājām skaitītāju iekavas pakāpēs (x-a), pārvērta lielo daļskaitli par mazo summu, ievietoja (ja nepieciešams) iekavas zem diferenciāļa un integrēja.

2. grupa

Kas šīm frakcijām ir kopīgs?

Un kopīgs ir tas, ka visos saucējos ir kvadrātveida trinomālscirvis 2 + bx+ c. Bet ne tikai, proti vienā eksemplārā. Un šeit nav nozīmes tam, vai viņa diskriminētājs ir pozitīvs vai negatīvs.

Šādas daļas vienmēr tika integrētas vienā no diviem veidiem – vai nu paplašinot skaitītāju saucēja pakāpēs, vai arī izdalot saucējā perfekto kvadrātu un pēc tam aizstājot mainīgo. Tas viss ir atkarīgs no konkrētā integranda.

3. grupa

Tās bija vissliktākās integrējamās frakcijas. Saucējs satur nesadalāmu kvadrātveida trinomu un pat līdz pakāpei n. Bet atkal, vienā eksemplārā. Jo bez trinomāla saucējā nav citu faktoru. Šādas frakcijas tika integrētas . Vai nu tieši, vai reducēts līdz tam pēc ideālā kvadrāta izdalīšanas saucējā un sekojošas mainīgā aizstāšanas.

Tomēr diemžēl visa bagātīgā racionālo frakciju dažādība neaprobežojas tikai ar šīm trim aplūkotajām grupām.

Bet ja nu saucējs ir savādāk iekavās? Piemēram, kaut kas līdzīgs:

(x-1) (x+1) (x+2)

Vai tajā pašā laikā iekava (ha) un kvadrātveida trinomāls, kaut kas līdzīgs (x-10) (x 2-2x+17)? Un citos līdzīgos gadījumos? Tieši šādos gadījumos tas nāk palīgā nenoteikto koeficientu metode!

Es teikšu uzreiz: pagaidām mēs strādāsim tikai ar pareizi daļdaļās. Tie, kuru skaitītāja pakāpe ir stingri mazāka par saucēja pakāpi. Kā rīkoties ar nepareizām daļskaitļiem, sīkāk aprakstīts sadaļā Daļskaitļi. Nepieciešams atlasīt visu daļu (polinomu). Dalot skaitītāju ar saucēju ar stūri vai sadalot skaitītāju - kā vēlaties. Un pat piemērs tiek analizēts. Un jūs kaut kā integrēsit polinomu. Tas jau nav mazs.) Bet mēs arī atrisināsim piemērus nepareizajām daļskaitļiem!

Un tagad mēs sākam iepazīties. Atšķirībā no vairuma augstākās matemātikas mācību grāmatu, mēs nesāksim savu iepazīšanos ar sausu un smagu teoriju par algebras fundamentālo teorēmu, Bezout teorēmu, par racionālas daļdaļas sadalīšanu vienkāršāko (vairāk par šīm daļām vēlāk) un citi garlaicīgi, bet mēs sāksim ar vienkāršu piemēru.

Piemēram, mums jāatrod šāds nenoteikts integrālis:

Vispirms apskatiet integrandu. Saucējs ir trīs iekavu reizinājums:

(x-1) (x+3) (x+5)

Un visas iekavas savādāk. Tāpēc mūsu vecā tehnoloģija ar skaitītāja paplašināšanu ar saucēja pakāpēm šoreiz vairs nedarbojas: kura iekava skaitītājā ir jāizceļ? (x-1)? (x+3)? Nav skaidrs... Pilna kvadrāta atlase saucējā arī nav laba ideja: tur ir polinoms trešais grādiem (ja reizinat visas iekavas). Ko darīt?

Skatoties uz mūsu frakciju, rodas pilnīgi dabiska vēlme... Tiešām neatvairāma! No mūsu lielās frakcijas, kas neērti integrēt, kaut kā uztaisīt trīs mazos. Vismaz šādi:

Kāpēc jums vajadzētu meklēt šo konkrēto sugu? Un viss tāpēc, ka šajā formā mūsu sākotnējā daļa jau ir ērti par integrāciju! Apkoposim katras mazās frakcijas saucēju un - uz priekšu.)

Vai vispār ir iespējams iegūt šādu sadalījumu? Labas ziņas! Atbilstošā teorēma matemātikā apgalvo – Jā tu vari! Šāda sadalīšanās pastāv un ir unikāla.

Bet ir viena problēma: koeficienti A, IN Un AR Mēs Uz redzēšanos mēs nezinām. Un tagad mūsu galvenais uzdevums būs precīzi identificēt tos. Uzziniet, ar ko ir vienādi mūsu burti A, IN Un AR. Līdz ar to nosaukums - metode nenoteikts koeficienti Sāksim savu pasakaino ceļojumu!

Tātad, mums ir vienlīdzība, kas liek mums dejot:

Salīdzināsim visas trīs labās puses daļskaitļus līdz kopsaucējam un pievienosim:

Tagad mēs varam droši atmest saucējus (jo tie ir vienādi) un vienkārši pielīdzināt skaitītājus. Viss ir kā parasti

Nākamais solis atveriet visas iekavas(koeficienti A, IN Un AR Uz redzēšanos labāk atstāt ārpusē):

Un tagad (svarīgi!) Mēs sarindojam visu mūsu struktūru labajā pusē pēc grādu stāža: vispirms visus terminus ar x 2 savācam kaudzē, tad tikai ar x un, visbeidzot, savācam brīvos terminus. Patiesībā mēs vienkārši piedāvājam līdzīgus un grupējam terminus pēc x pakāpēm.

Kā šis:

Tagad sapratīsim rezultātu. Kreisajā pusē ir mūsu sākotnējais polinoms. Otrā pakāpe. Mūsu integranda skaitītājs. Arī labajā pusē kāds otrās pakāpes polinoms. Deguns nezināmi koeficienti.Šai vienlīdzībai ir jābūt spēkā, kad visas derīgās x vērtības. Frakcijas pa kreisi un pa labi bija vienādas (pēc mūsu stāvokļa)! Tas nozīmē, ka viņi skaitītājs un (t.i., mūsu polinomi) arī ir vienādi. Tāpēc koeficienti ar tiem pašiem x pakāpēmšiem polinomiem jābūt esi vienlīdzīgs!

Mēs sākam ar augstāko pakāpi. No laukuma. Apskatīsim, kādi koeficienti mums ir X 2 pa kreisi un pa labi. Labajā pusē mums ir koeficientu summa A+B+C, un kreisajā pusē ir deuce. Tā rodas mūsu pirmais vienādojums.

Mēs pierakstām:

A+B+C = 2

Ēst. Pirmais vienādojums ir gatavs.)

Tālāk mēs ejam pa dilstošu trajektoriju – aplūkojam terminus ar X līdz pirmajai pakāpei. Pa labi pie X mums ir 8A+4B+2C. Labi. Un kas mums ir ar X kreisajā pusē? Hm... Kreisajā pusē vispār nav termina ar X! Ir tikai 2x 2 - 3. Ko darīt? Ļoti vienkārši! Tas nozīmē, ka koeficients x kreisajā pusē ir vienāds ar nulli! Mēs varam rakstīt savu kreiso pusi šādi:

Un kas? Mums ir visas tiesības.) Tāpēc otrais vienādojums izskatās šādi:

8 A+4 B+2 C = 0

Nu, tas ir praktiski viss. Atliek pielīdzināt bezmaksas nosacījumus:

15A-5B-3C = -3

Vārdu sakot, koeficientu pielīdzināšana tām pašām x pakāpēm notiek saskaņā ar šādu shēmu:

Jāapmierina visas trīs mūsu vienlīdzības vienlaikus. Tāpēc mēs saliekam sistēmu no mūsu rakstītajiem vienādojumiem:

Sistēma čaklam skolēnam nav pati grūtākā – trīs vienādojumi un trīs nezināmie. Izlemiet, kā vēlaties. Jūs varat izmantot Cramer metodi, izmantojot matricas ar determinantiem, varat izmantot Gausa metodi, jūs pat varat izmantot parasto skolas aizstāšanu.

Sākumā es atrisināšu šo sistēmu tā, kā kultūras studenti parasti risina šādas sistēmas. Proti, Krāmera metode.

Mēs sākam risinājumu ar sistēmas matricas sastādīšanu. Atgādināšu, ka šī matrica ir tikai plāksne, no kuras sastāv koeficienti nezināmajiem.

Šeit viņa ir:

Vispirms parēķināsim sistēmas matricas determinants. Vai, īsumā, sistēmas noteicējs. To parasti apzīmē ar grieķu burtu ∆ (“delta”):

Lieliski, sistēmas noteicošais faktors nav nulle (-48≠0) . No lineāro vienādojumu sistēmu teorijas šis fakts nozīmē, ka mūsu sistēma ir konsekventa un ir unikāls risinājums.

Nākamais solis ir aprēķināt nezināmo noteicošie faktori ∆A, ∆B, ∆C. Atgādināšu, ka katrs no šiem trim determinantiem tiek iegūts no sistēmas galvenā determinanta, aizstājot kolonnas ar koeficientiem attiecīgajiem nezināmajiem ar brīvo terminu kolonnu.

Tātad mēs veidojam noteicošos faktorus un aprēķinām:

Es šeit sīkāk nepaskaidrošu trešās kārtas determinantu aprēķināšanas paņēmienu. Un nejautā. Tā būs pilnīga novirze no tēmas.) Tie, kas ir par tēmu, saprot, par ko ir runa. Un, iespējams, jūs jau precīzi uzminējāt, kā es aprēķināju šos trīs noteicošos faktorus.)

Tas ir viss, viss ir gatavs.)

Šādi parasti sistēmas risina kulturāli skolēni. Bet... Ne visi skolēni ir draugi un kvalificēti. Diemžēl. Dažiem šie vienkāršie augstākās matemātikas jēdzieni uz visiem laikiem paliek kā ķīniešu rakstpratība un noslēpumains briesmonis miglā...

Nu, īpaši šādiem nekulturāliem studentiem es piedāvāju pazīstamāku risinājumu - nezināmo faktoru secīgas likvidēšanas metode. Faktiski šī ir uzlabota "skolas" aizstāšanas metode. Būs tikai vairāk soļu.) Bet būtība ir tā pati. Pirmā lieta, ko es darīšu, ir novērst mainīgo AR. Lai to izdarītu, es izteikšu AR no pirmā vienādojuma un aizstājiet to ar otro un trešo:

Mēs vienkāršojam, atvedam līdzīgus un iegūstam jaunu sistēmu, jau ar divi nezināms:

Tagad šajā jaunajā sistēmā vienu no mainīgajiem ir iespējams izteikt arī ar citu. Bet uzmanīgākie studenti, iespējams, pamanīs, ka koeficienti ir mainīgā priekšā B – pretī. Divi un mīnus divi. Tāpēc būs ļoti ērti abus vienādojumus saskaitīt, lai izslēgtu mainīgo IN un atstājiet tikai vēstuli A.

Mēs pievienojam kreiso un labo daļu, garīgi saīsinām 2B Un -2B un atrisiniet vienādojumu tikai relatīvi A:

Ēst. Pirmais koeficients tika atrasts: A = -1/24.

Nosakiet otro koeficientu IN. Piemēram, no augšējā vienādojuma:

No šejienes mēs iegūstam:

Lieliski. Tika atrasts arī otrs koeficients: B = -15/8 . Vēl ir palikusi vēstule AR. Lai to noteiktu, mēs izmantojam augstāko vienādojumu, kurā mēs to izsakām A Un IN:

Tātad:

Labi, tagad viss ir beidzies. Atrasti nezināmi koeficienti! Nav svarīgi, vai izmantojot Cramer vai aizstāšanu. Galvenais, Pa labi atrasts.)

Tāpēc mūsu lielas daļas sadalīšana mazo daļu summā izskatīsies šādi:

Un nevajag mulsināt no iegūtajiem daļskaitļu koeficientiem: šajā procedūrā (nenoteikto koeficientu metode) šī ir visizplatītākā parādība. :)

Tagad ļoti ieteicams pārbaudīt, vai esam pareizi atraduši savus koeficientus A, B Un AR. Tāpēc tagad ņemam melnrakstu un atceramies astoto klasi – saskaitām atpakaļ visas trīs mūsu mazās daļskaitļus.

Ja iegūstam sākotnējo lielo frakciju, tad viss ir kārtībā. Nē – tas nozīmē, ka sit mani un meklē kļūdu.

Kopsaucējs acīmredzot būs 24(x-1)(x+3)(x+5).

Iet:

Jā!!! Mēs saņēmām sākotnējo daļu. Kas ir tas, kas bija jāpārbauda. Viss ir labi. Tāpēc, lūdzu, nesitiet mani.)

Tagad atgriezīsimies pie sākotnējā integrāļa. Viņam šajā laikā nav kļuvis vieglāk, jā. Bet tagad, kad mūsu frakcija ir sadalīta mazo summā, tās integrēšana ir kļuvusi par patiesu prieku!

Paskaties pats! Mēs ievietojam savu paplašinājumu sākotnējā integrālā.

Mēs iegūstam:

Mēs izmantojam linearitātes īpašības un sadalām savu lielo integrāli mazo summā, visas konstantes novietojot ārpus integrāļa zīmēm.

Mēs iegūstam:

Un iegūtos trīs mazos integrāļus jau ir viegli uzņemt .

Mēs turpinām integrāciju:

Tas arī viss.) Un šajā nodarbībā nejautājiet man, no kurienes nāk logaritmi atbildē! Ikviens, kurš atceras, zina un visu sapratīs. Un tiem, kas neatceras, mēs sekojam saitēm. Es viņus tur nelieku vienkārši.

Galīgā atbilde:

Šeit ir tik skaista trīsvienība: trīs logaritmi - gļēvulis, rūdītais un duncis. :) Un pamēģini, uzreiz uzmini tik viltīgu atbildi! Palīdz tikai nenoteikto koeficientu metode, jā.) Patiesībā mēs to izskatām šim nolūkam. Kas, kā un kur.

Kā apmācību es iesaku praktizēt šo metodi un integrēt šādu daļu:

Trenējies, atrodi integrāli, lai tas nav grūti! Atbildei vajadzētu būt apmēram šādai:

Nenoteikto koeficientu metode ir spēcīga lieta. Tas ietaupa pat bezcerīgākajā situācijā, kad tik un tā pārvēršat daļu. Un šeit dažiem uzmanīgiem un ieinteresētiem lasītājiem var rasties vairāki jautājumi:

- Ko darīt, ja polinoms saucējā nemaz nav faktorizēts?

- KĀ vajadzētu meklēt jebkuras lielas racionālas daļas sadalīšanos mazo summā? Jebkurā formā? Kāpēc tieši tā un ne tā?

- Ko darīt, ja saucēja paplašināšanā ir vairāki faktori? Vai iekavas pakāpēs, piemēram, (x-1) 2? Kādā formā mums vajadzētu meklēt sadalīšanos?

- Ko darīt, ja bez vienkāršām formas (x-a) iekavām saucējs vienlaikus satur nesadalāmu kvadrātveida trinomu? Teiksim, x 2 +4x+5? Kādā formā mums vajadzētu meklēt sadalīšanos?

Nu ir pienācis laiks kārtīgi saprast, no kurienes kājas aug. Nākamajās nodarbībās.)