GRĀDS AR RACIONĀLO INDIKATORU,

JAUDAS FUNKCIJA IV

§ 79. Sakņu izvilkšana no darba un koeficienta

1. teorēma. Sakne P pozitīvo skaitļu reizinājuma jauda ir vienāda ar sakņu reizinājumu P -faktoru pakāpe, tas ir, kad A > 0, b > 0 un dabisks P

n √ab = n √a n √b . (1)

Pierādījums. Atgādināt, ka sakne P pozitīva skaitļa pakāpe ab ir pozitīvs skaitlis P - kura pakāpe ir vienāda ar ab . Tāpēc vienlīdzības (1) pierādīšana ir tas pats, kas vienlīdzības pierādīšana

(n √a n √b ) n = ab .

Pēc produkta pakāpes īpašībām

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Bet pēc saknes definīcijas P grāds ( n √a ) n = A , (n √b ) n = b .

Tāpēc ( n √a n √b ) n = ab . Teorēma ir pierādīta.

Prasība A > 0, b > 0 ir būtiska tikai pāra P , jo par negatīvu A Un b un pat P saknes n √a Un n √b nav definēts. Ja P nepāra, tad formula (1) ir derīga jebkuram A Un b (gan pozitīvi, gan negatīvi).

Piemēri: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formula (1) ir noderīga, aprēķinot saknes, kad saknes izteiksme tiek attēlota kā precīzu kvadrātu reizinājums. Piemēram,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Mēs pierādījām 1. teorēmu gadījumam, kad radikāļu zīme formulas (1) kreisajā pusē ir divu pozitīvu skaitļu reizinājums. Faktiski šī teorēma attiecas uz jebkuru pozitīvu faktoru skaitu, tas ir, uz jebkuru dabisko k > 2:

Sekas. Lasot šo identitāti no labās puses uz kreiso, mēs iegūstam šādu noteikumu sakņu reizināšanai ar vienādiem eksponentiem;

Lai reizinātu saknes ar vienādiem eksponentiem, pietiek ar sakņu izteiksmes reizināšanu, atstājot saknes eksponentu to pašu.

Piemēram, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

2. teorēma. Sakne P daļskaitļa pakāpe, kuras skaitītājs un saucējs ir pozitīvi skaitļi, ir vienāds ar koeficientu, kas dalot tās pašas pakāpes sakni no skaitītāja ar tādas pašas pakāpes sakni no saucēja, tas ir, kad A > 0 un b > 0

(2)

Pierādīt vienlīdzību (2) nozīmē to pierādīt

Saskaņā ar likumu par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē un saknes noteikšanu n grāds mums ir:

Tādējādi teorēma ir pierādīta.

Prasība A > 0 un b > 0 ir būtiska tikai pāra P . Ja P nepāra, tad formula (2) ir patiesa arī negatīvām vērtībām A Un b .

Sekas. Lasīšanas identitāte no labās puses uz kreiso mēs iegūstam šādu noteikumu sakņu dalīšanai ar vienādiem eksponentiem:

Lai sadalītu saknes ar vienādiem eksponentiem, pietiek ar sakņu izteiksmes sadalīšanu, atstājot saknes eksponentu to pašu.

Piemēram,

Vingrinājumi

554. Kur 1. teorēmas pierādījumā izmantojām faktu, ka A Un b pozitīvs?

Kāpēc ar nepāra P formula (1) attiecas arī uz negatīvi skaitļi A Un b ?

Par kādām vērtībām X vienlīdzības dati ir pareizi (Nr. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Aprēķināt:

a) √ 173 2 - 52 2 ; V) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. In taisnleņķa trīsstūris hipotenūza ir 205 cm, un viena no kājām ir 84 cm. Atrodiet otru kāju.

563. Cik reizes:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - jebkurš skaitlis. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - jebkurš skaitlis. 563. a) Trīs reizes.

Priekšmeta informācija: Ieviesiet kvadrātsaknes teorēmu daļskaitļiem. Studentu iegūto zināšanu nostiprināšana par tēmām: „Aritmētiskā kvadrātsakne”, „Grāda kvadrātsakne”, „Produkta kvadrātsakne”. Ātrās skaitīšanas prasmju stiprināšana.

Aktivitāte-saziņa: studentu loģiskās domāšanas, pareizas un kompetentas runas, ātras reakcijas prasmju attīstība un veidošana.

Uz vērtību orientēts: rosināt skolēnos interesi par šīs tēmas un šī priekšmeta izpēti. Spēja pielietot iegūtās zināšanas praktiskās aktivitātes un par citiem priekšmetiem.

1. Atkārtojiet aritmētikas definīciju kvadrātsakne.

2. Atkārtojiet kvadrātsaknes teorēmu no pakāpes.

3. Atkārtojiet kvadrātsaknes teorēmu no reizinājuma.

4. Attīstīt mutvārdu skaitīšanas prasmes.

5. Sagatavot studentus tēmas „daļskaitļa kvadrātsakne” apguvei un ģeometrijas materiāla apguvei.

6. Pastāstiet par aritmētiskās saknes rašanās vēsturi.

Didaktiskie materiāli un aprīkojums: didaktiskās nodarbības karte (1.pielikums), tāfele, krīts, kartītes individuālo uzdevumu veikšanai (ņemot vērā skolēnu individuālās spējas), kartītes mutiskai skaitīšanai, kartītes patstāvīgajam darbam.

Nodarbību laikā:

1. Laika organizēšana: pierakstiet stundas tēmu, izvirzot stundas mērķi un uzdevumus (skolēniem).

Tēmas nodarbība: Daļas kvadrātsakne.

Nodarbības mērķis: šodien nodarbībā atkārtosim aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju, teorēmu par pakāpes kvadrātsakni un reizinājuma kvadrātsakni. Un iepazīsimies ar teorēmu par daļskaitļa kvadrātsakni.

Nodarbības mērķi:

1) atkārtojiet ar mentālās skaitīšanas palīdzību kvadrātsaknes definīcijas un pakāpes un reizinājuma kvadrātsaknes teorēmas;

2) mutvārdu skaitīšanas laikā daži puiši pildīs uzdevumus uz kārtīm;

3) jauna materiāla skaidrojums;

4) vēsturiskais fons;

5) uzdevumu izpilde patstāvīgs darbs(kā tests).

2. Frontālā aptauja:

1) verbālā skaitīšana:ņem kvadrātsakni no šādām izteiksmēm:

a) izmantojot kvadrātsaknes definīciju, aprēķiniet:;;; ;

b) tabulas vērtības: ; ;;;;; ;

c) produkta kvadrātsakne ;;;;

d) pakāpes kvadrātsakne;;;;; ;

e) iekavās izņemt kopējo koeficientu:;; ;.

2) individuālais darbs pēc kartēm: 2.pielikums.

3. Pārbaudiet D/Z:

4. Jaunā materiāla skaidrojums:

Uz tāfeles uzrakstiet uzdevumu skolēniem atbilstoši opcijām “aprēķināt daļskaitļa kvadrātsakni”:

1. iespēja: =

2. iespēja: =

Ja puiši izpildīja pirmo uzdevumu: jautājiet, kā viņi to izdarīja?

1. variants: uzrādīts kvadrāta formā un saņemts. Izdariet secinājumu.

2. iespēja: uzrādīts skaitītājs un saucējs, izmantojot grāda definīciju formā un saņemts.

Sniedziet vairāk piemēru, piemēram, aprēķiniet daļskaitļa kvadrātsakni; ; .

Uzzīmējiet analoģiju burtiskā formā:

Ievadiet teorēmu.

Teorēma. Ja a ir lielāka vai vienāda ar 0, c ir lielāka par 0, tad daļskaitļa a / b sakne ir vienāda ar daļskaitli, kuras skaitītājā ir a sakne un saucējs ir b sakne, t.i. Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja sakni, kas dalīta ar saucēja sakni.

Pierādīsim, ka 1) sakne, kas dalīta ar c sakni, ir lielāka vai vienāda ar 0

Pierādījums. 1) jo a sakne ir lielāka vai vienāda ar 0 un c sakne ir lielāka par 0, tad a sakne, kas dalīta ar c sakni, ir lielāka vai vienāda ar 0.

2)

5. Jaunā materiāla konsolidācija: no Š.A.Alimova mācību grāmatas: Nr.362 (1.3); Nr.363 (2.3.); Nr.364 (2.4); №365 (2.3)

6. Vēsturiskā atsauce.

Aritmētiskā sakne nāk no latīņu vārda radix — sakne, radicalis — sakne

Sākot ar 13. gadsimtu, itāļu un citu Eiropas matemātiķi sakni apzīmēja ar latīņu vārdu radix (saīsināti kā r). 1525. gadā H. Rūdolfa grāmatā "Ātra un skaista skaitīšana ar prasmīgu algebras likumu palīdzību, ko parasti sauc par Kosu" kvadrātsaknei parādījās apzīmējums V; kuba sakne tika apzīmēta ar VVV. 1626. gadā nīderlandiešu matemātiķis A. Žirārs ieviesa apzīmējumus V, VV, VVV u.c., kurus drīz vien aizstāja zīme r, savukārt virs radikālas izteiksmes tika novietota horizontāla līnija. Mūsdienu saknes apzīmējums pirmo reizi parādījās Renē Dekarta grāmatā Ģeometrija, kas publicēta 1637. gadā.

8. Mājasdarbs: № 362 (2,4); № 363 (1,4); № 364 (1,3); №365 (1,4)

Šajā rakstā mēs analizēsim galvenos sakņu īpašības. Sāksim ar aritmētiskās kvadrātsaknes īpašībām, dosim to formulējumus un sniegsim pierādījumus. Pēc tam mēs nodarbosimies ar n-tās pakāpes aritmētiskās saknes īpašībām.

Lapas navigācija.

Kvadrātsaknes īpašības

Šajā sadaļā mēs aplūkosim šādu galveno aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības:

Katrā no rakstītajām vienādībām kreiso un labo daļu var samainīt, piemēram, vienādību var pārrakstīt kā . Šajā "apgrieztajā" formā aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības tiek piemērotas, kad izteicienu vienkāršošana tikpat bieži kā "tiešā" formā.

Pirmo divu īpašību pierādījums ir balstīts uz aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju un uz . Un, lai attaisnotu pēdējo aritmētiskās kvadrātsaknes īpašību, jums ir jāatceras.

Tātad sāksim ar divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības pierādījums: . Lai to izdarītu, saskaņā ar aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju pietiek parādīt, ka tas ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a b . Darīsim to. Izteiksmes vērtība nav negatīva kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Divu skaitļu reizinājuma pakāpes īpašība ļauj uzrakstīt vienādību , Un tā kā pēc aritmētiskās kvadrātsaknes definīcijas un , Tad .

Līdzīgi ir pierādīts, ka k nenegatīvu faktoru reizinājuma a 1 , a 2 , …, a k reizinājuma aritmētiskā kvadrātsakne ir vienāda ar aritmētiskās reizinājumu. kvadrātsaknes no šiem reizinātājiem. Tiešām, . No šīs vienlīdzības izriet, ka .

Šeit ir daži piemēri: un .

Tagad pierādīsim koeficienta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība: . Dabiskā spēka koeficienta īpašība ļauj uzrakstīt vienādību , A , kamēr ir nenegatīvs skaitlis. Šis ir pierādījums.

Piemēram, un .

Ir pienācis laiks izjaukt skaitļa kvadrāta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība, vienlīdzības formā tas ir rakstīts kā . Lai to pierādītu, apsveriet divus gadījumus: a≥0 un a<0 .

Ir skaidrs, ka a≥0 vienādība ir patiesa. Ir arī viegli redzēt, ka a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 un (-a) 2 =a 2 . Tādējādi , kas bija jāpierāda.

Šeit ir daži piemēri: Un .

Tikko pierādītā kvadrātsaknes īpašība ļauj mums pamatot šādu rezultātu, kur a ir jebkurš reāls skaitlis, bet m ir jebkurš. Patiešām, eksponēšanas īpašība ļauj aizstāt pakāpi a 2 m ar izteiksmi (a m) 2 , tad .

Piemēram, Un .

N-tās saknes īpašības

Vispirms uzskaitīsim galvenos n-tās saknes īpašības:

Visas rakstiskās vienādības paliek spēkā, ja tajās tiek apmainītas kreisās un labās puses. Šajā formā tos arī bieži izmanto, galvenokārt vienkāršojot un pārveidojot izteiksmes.

Visu saknes izteikto īpašību pierādījums balstās uz n-tās pakāpes aritmētiskās saknes definīciju, pakāpes īpašībām un skaitļa moduļa definīciju. Pierādīsim tos prioritārā secībā.

Sāksim ar pierādījumu produkta n-tās saknes īpašības . Nenegatīviem a un b izteiksmes vērtība arī nav negatīva, tāpat kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Dabisko spēku produkta īpašība ļauj uzrakstīt vienādību . Pēc n-tās pakāpes aritmētiskās saknes definīcijas un tāpēc . Tas pierāda saknes apsvērto īpašību.

Šī īpašība tiek pierādīta līdzīgi k faktoru reizinājumam: nenegatīviem skaitļiem a 1 , a 2 , …, a n Un .

Šeit ir piemēri produkta n-tās pakāpes saknes rekvizīta izmantošanai: Un .

Pierādīsim koeficienta saknes īpašība. Ja a≥0 un b>0, nosacījums ir izpildīts, un .

Parādīsim piemērus: Un .

Mēs ejam tālāk. Pierādīsim skaitļa n-tās saknes īpašība n pakāpē. Tas ir, mēs to pierādīsim jebkuram reālam a un dabiskajam m . Ja a≥0 mums ir un , kas pierāda vienlīdzību , un vienlīdzību acīmredzot. Priekš<0 имеем и (pēdējā pāreja ir spēkā jaudas īpašības dēļ ar vienmērīgu eksponentu), kas pierāda vienādību , un ir patiesa sakarā ar to, ka, runājot par nepāra pakāpes sakni, mēs ņēmām jebkuram nenegatīvam skaitlim c .

Šeit ir parsētā saknes rekvizīta izmantošanas piemēri: un .

Mēs pārejam pie saknes īpašību pierādīšanas no saknes. Apmainīsim labo un kreiso daļu, tas ir, pierādīsim vienādības derīgumu, kas nozīmēs sākotnējās vienādības derīgumu. Nenegatīvam skaitlim a formas kvadrātsakne ir nenegatīvs skaitlis. Atceroties īpašību palielināt spēku par spēku un izmantojot saknes definīciju, mēs varam uzrakstīt formas vienādību ķēdi . Tas pierāda uzskatīto saknes īpašību no saknes.

Līdzīgi tiek pierādīta saknes īpašība no saknes no saknes utt. Tiešām, .

Piemēram, Un .

Pierādīsim sekojošo saknes eksponenta samazināšanas īpašība. Lai to izdarītu, pamatojoties uz saknes definīciju, pietiek parādīt, ka pastāv nenegatīvs skaitlis, kas, palielinot līdz pakāpei n m, ir vienāds ar m . Darīsim to. Ir skaidrs, ka, ja skaitlis a ir nenegatīvs, tad skaitļa a n-tā sakne ir nenegatīvs skaitlis. Kurā , kas pabeidz pierādījumu.

Šeit ir parsētā saknes rekvizīta izmantošanas piemērs: .

Pierādīsim šādu īpašību, formas pakāpes saknes īpašību . Ir skaidrs, ka a≥0 grāds ir nenegatīvs skaitlis. Turklāt tā n-tā pakāpe ir vienāda ar m , patiešām, . Tas pierāda grāda apsvērto īpašību.

Piemēram, .

Ejam tālāk. Pierādīsim, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b, kuriem nosacījums a , tas ir, a≥b . Un tas ir pretrunā ar nosacījumu a

Piemēram, mēs sniedzam pareizo nevienlīdzību .

Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo n-tās saknes īpašību. Vispirms pierādīsim šīs īpašības pirmo daļu, tas ir, pierādīsim, ka m>n un 0 . Tad pakāpes ar naturālo eksponentu īpašību dēļ nevienādība , tas ir, a n ≤ a m . Un iegūtā nevienādība m>n un 0

Līdzīgi ar pretrunu tiek pierādīts, ka m>n un a>1 nosacījums ir izpildīts.

Sniegsim piemērus pārbaudītās saknes īpašības pielietošanai konkrētos skaitļos. Piemēram, nevienlīdzības un ir patiesas.

Bibliogrāfija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. un citi.Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

A kvadrātsakne ir skaitlis, kura kvadrāts ir a. Piemēram, skaitļi -5 un 5 ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tas ir, vienādojuma x^2=25 saknes ir skaitļa 25 kvadrātsaknes. Tagad jums jāiemācās strādāt ar kvadrātsaknes darbība: izpētiet tās pamatīpašības.

Produkta kvadrātsakne

√(a*b)=√a*√b

Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar šo skaitļu kvadrātsakņu reizinājumu. Piemēram, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Ir svarīgi saprast, ka šī īpašība attiecas arī uz gadījumu, kad radikālā izteiksme ir trīs, četru utt. nenegatīvie reizinātāji.

Dažreiz ir cits šī īpašuma formulējums. Ja a un b ir nenegatīvi skaitļi, tad spēkā ir šāda vienādība: √(a*b) =√a*√b. Starp tiem nav absolūti nekādas atšķirības, varat izmantot vai nu vienu, vai otru formulējumu (kuru ērtāk atcerēties).

Daļas kvadrātsakne

Ja a>=0 un b>0, tad ir patiesa šāda vienādība:

√(a/b)=√a/√b.

Piemēram, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Šim īpašumam ir arī cits formulējums, manuprāt, ērtāk atcerēties.
Koeficienta kvadrātsakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Ir vērts atzīmēt, ka šīs formulas darbojas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso. Tas ir, ja nepieciešams, mēs varam pārstāvēt sakņu produktu kā produkta sakni. Tas pats attiecas uz otro īpašumu.

Kā redzat, šie rekvizīti ir ļoti ērti, un es vēlētos, lai saskaitīšanai un atņemšanai būtu tādas pašas īpašības:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Bet diemžēl šādi īpašumi ir kvadrātveida nav sakņu, līdz ar to to nevar izdarīt aprēķinos..