Divu komplekso skaitļu reizinājums ir līdzīgs divu reālu skaitļu reizinājumam, proti: reizinājumu uzskata par skaitli, kas sastāv no reizinātāja, tāpat kā koeficientu veido viens. Vektoru, kas atbilst kompleksam skaitlim ar moduli r un argumentu j, var iegūt no vienības vektora, kura garums ir viens un kura virziens sakrīt ar OX ass pozitīvo virzienu, pagarinot to r reizes un pagriežot pozitīvā virzienā par leņķis j. Kāda vektora a 1 un vektora a 2 reizinājums ir vektors, kuru iegūsim, ja vektoram a 1 pielietosim pagarināšanu un rotāciju, ar kura palīdzību no vienības vektora iegūst vektoru a 2, bet pēdējais acīmredzami. atbilst reālai vienībai. Ja (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) ir komplekso skaitļu moduļi un argumenti, kas atbilst vektoriem a 1 un a 2 , tad šo vektoru reizinājums acīmredzot atbildīs kompleksam skaitlim ar moduli r 1 r 2 un arguments (j1 + j2). Tātad divu komplekso skaitļu reizinājums ir tāds komplekss skaitlis, kura modulis ir vienāds ar faktoru moduļu reizinājumu un arguments ir faktoru argumentu summa.

Gadījumā, ja kompleksie skaitļi ir uzrakstīti trigonometriskā formā, mums būs

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.

Gadījumā (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = x + yi, izmantojot moduļu apzīmējumus un faktoru argumentus, varam rakstīt:

a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 \u003d r 1 grēks? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 \u003d r 2 grēks? 2;

saskaņā ar reizināšanas definīciju:

x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - grēks? 1 grēks? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 grēks? 1 r 2 grēks? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r1 cos? 1 r 2 grēks? 2 \u003d b 1 a 2 + a 1 b 2,

un visbeidzot mēs iegūstam:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.

Gadījumā, ja b 1 = b 2 = 0, faktori ir reālie skaitļi a 1 un a 2, un reizinājums tiek reducēts līdz šo skaitļu reizinājumam a 1 a 2. Kad

a 1 = a 2 = 0 un b 1 = b 2 = 1,

vienādība (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) I dod: i???i = i 2 = -1, t.i. iedomātās vienības kvadrāts ir -1. Aprēķinot i secīgi pozitīvos veselos skaitļus, mēs iegūstam:

i 2 \u003d -1; i 3 \u003d -i; i4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...

un kopumā jebkuram pozitīvam k:

i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i

Reizināšanas noteikums, kas izteikts ar vienādību (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) es varu jāformulē šādi: kompleksie skaitļi jāreizina kā burtiski polinomi, skaitot i 2 = -1.

No iepriekšminētajām formulām tieši izriet, ka komplekso skaitļu saskaitīšana un reizināšana pakļaujas komutatīvajam likumam, t.i. summa nav atkarīga no terminu secības, un produkts nav atkarīgs no faktoru secības. Nav grūti pārbaudīt asociatīvo un sadales likumu spēkā esamību, ko pauž šādas identitātes:

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

Vairāku faktoru reizinājumam būs modulis, kas vienāds ar faktoru moduļu reizinājumu, un arguments, kas vienāds ar faktoru argumentu summu. Tādējādi komplekso skaitļu reizinājums būs vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs: doti kompleksie skaitļi z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Atrast:

a) z 1 + z 2; b) z1 - z2; c) z 1 z 2 .

a) z 1 + z 2 \u003d (2 + 3i) + (5 - 7i) \u003d 2 + 3i + 5 - 7i \u003d (2 + 5) + (3i - 7i) \u003d 7 - 4i; b) z 1 - z 2 \u003d (2 + 3i) - (5 - 7i) \u003d 2 + 3i - 5 + 7i \u003d (2 - 5) + (3i + 7i) \u003d - 3 + 10i; c) z 1 z 2 \u003d (2 + 3i) (5 - 7i) \u003d 10 - 17i + 15i - 21i 2 \u003d 10 - 14i + 15i + 21 \u003d (10 + 1 i) 4 + 1 ) \u003d 31 + i (šeit tiek ņemts vērā, ka i 2 = - 1).

Piemērs: rīkojieties šādi:

a) (2 + 3i) 2; b) (3 - 5i) 2; c) (5 + 3i) 3.

a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 × 2 × 3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 \u003d 9 - 2H3H5i + 25i 2 \u003d 9 - 30i - 25 \u003d - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 3 × 25 × 3i + 3 × 5 × 9i 2 + 27i 3; tā kā i 2 \u003d - 1 un i 3 \u003d - i, tad mēs iegūstam (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 225i - 135 - - 27i \u003d - 10 + 198i.

Piemērs: veiciet darbības

a) (5 + 3i) (5 - 3i); b) (2 + 5i) (2 - 5i); c) (1 + i) (1 - i).

a) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.

Komplekss skaitlis ir skaitlis formā , kur un ir reāli skaitļi, tā sauktie iedomātā vienība. Numurs tiek izsaukts īstā daļa () kompleksais skaitlis, numurs tiek izsaukts iedomātā daļa () kompleksais skaitlis.

Tiek parādīti kompleksie skaitļi sarežģīta plakne:

Kā minēts iepriekš, reālo skaitļu kopu ir pieņemts apzīmēt ar burtu. ķekars tas pats kompleksie skaitļi ir ierasts to apzīmēt kā "treknrakstu" vai sabiezinātu burtu. Tāpēc burts jāuzliek uz zīmējuma, apzīmējot to, ka mums ir sarežģīta plakne.

Kompleksa skaitļa algebriskā forma. Komplekso skaitļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana

Komplekso skaitļu saskaitīšana

Lai pievienotu divus kompleksos skaitļus, pievienojiet to reālo un iedomāto daļu:

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i* (b 1 + b 2).

Kompleksajiem skaitļiem ir spēkā pirmās klases noteikums: z 1 + z 2 \u003d z 2 + z 1 - summa nemainās no terminu pārkārtošanas.

Komplekso skaitļu atņemšana

Darbība ir līdzīga pievienošanai, vienīgā iezīme ir tāda, ka apakšrinda ir jāņem iekavās un pēc tam parasti jāatver šīs iekavas ar zīmes maiņu:

z 1 + z 2 \u003d (a 1 - a 2) + i * (b 1 - b 2)

Komplekso skaitļu reizināšana

Komplekso skaitļu pamata vienādība:

Komplekso skaitļu reizinājums:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)* (a 2 + i* b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 * b 2 = a 1 * a 2 - b 1 * b 2 + i* (a 1 * b 2 + a 2 * b 1).

Tāpat kā summa, komplekso skaitļu reizinājums ir maināms, tas ir, vienādība ir patiesa: .

Komplekso skaitļu dalīšana

Tiek veikta skaitļu dalīšana reizinot saucēju un skaitītāju ar saucēja konjugēto izteiksmi.

2 Jautājums. sarežģīta plakne. Komplekso skaitļu modulis un argumenti

Katru komplekso skaitli z = a + i*b var saistīt ar punktu ar koordinātām (a;b) un otrādi, katru punktu ar koordinātām (c;d) var saistīt ar komplekso skaitli w = c + i* d . Tādējādi starp plaknes punktiem un komplekso skaitļu kopu tiek noteikta atbilstība viens pret vienu. Tāpēc kompleksos skaitļus var attēlot kā punktus plaknē. Parasti tiek izsaukta plakne, uz kuras tiek zīmēti kompleksie skaitļi sarežģīta plakne.

Tomēr biežāk kompleksie skaitļi tiek attēloti kā vektors ar izcelsmi punktā O, proti, komplekso skaitli z \u003d a + i * b attēlo punkta rādiusa vektors ar koordinātām (a; b). Šajā gadījumā komplekso skaitļu attēls no iepriekšējā piemēra būs šāds:

Divu komplekso skaitļu summas attēls ir vektors, kas vienāds ar to vektoru summu, kas attēlo skaitļus un . Citiem vārdiem sakot, saskaitot kompleksos skaitļus, tiek pievienoti arī tos attēlojošie vektori.

Komplekso skaitli z = a + i*b attēlo ar rādiusa vektoru. Tad tiek izsaukts šī vektora garums modulis skaitlis z un tiek apzīmēts ar |z| .

Tiek saukts leņķis, ko veido skaitļa rādiusa vektors ar asi arguments cipariem un tiek apzīmēts ar arg z . Skaitļa arguments nav definēts unikāli, bet līdz reizinājumam. Tomēr parasti arguments tiek norādīts diapazonā 0 vai diapazonā -to. Turklāt skaitļa arguments nav definēts.

Izmantojot šo sakarību, jūs varat atrast kompleksā skaitļa argumentu:

turklāt pirmā formula ir derīga, ja skaitļa attēls atrodas pirmajā vai ceturtajā ceturksnī, bet otrā, ja tas atrodas otrajā vai trešajā. Ja , tad kompleksais skaitlis tiek attēlots ar vektoru uz Oy ass un tā arguments ir /2 vai 3*/2.

Paņemsim vēl vienu noderīga formula. Pieņemsim, ka z = a + i*b . Tad,

Kompleksie skaitļi- tas ir minimālais mums pazīstamo reālo skaitļu kopas paplašinājums. To būtiskā atšķirība ir tāda, ka parādās elements, kas kvadrātā dod -1, t.i. es, vai .

Jebkurš komplekss skaitlis sastāv no divām daļām: reāls un iedomāts:

Tādējādi ir skaidrs, ka reālo skaitļu kopa sakrīt ar komplekso skaitļu kopu ar nulles iedomāto daļu.

Vispopulārākais komplekso skaitļu kopas modelis ir parastā plakne. Katra punkta pirmā koordināte būs tā reālā daļa, bet otrā - iedomātā. Tad pašu komplekso skaitļu loma būs vektoriem ar sākumu punktā (0,0).

Operācijas ar kompleksajiem skaitļiem.

Faktiski, ja ņemam vērā komplekso skaitļu kopas modeli, ir intuitīvi skaidrs, ka divu komplekso skaitļu saskaitīšana (atņemšana) un reizināšana tiek veikta tāpat kā atbilstošās darbības ar vektoriem. Un tas nozīmē vektora produkts vektori, jo šīs darbības rezultāts atkal ir vektors.

1.1 Papildinājums.

(Kā redzat, šī darbība precīzi atbilst )

1.2. Atņemšana, līdzīgi tiek veikta saskaņā ar šādu noteikumu:

2. Reizināšana.

3. Sadalījums.

To definē vienkārši kā reizināšanas apgriezto darbību.

trigonometriskā forma.

Kompleksā skaitļa z modulis ir šāds lielums:

,

ir skaidrs, ka tas atkal ir vienkārši vektora (a, b) modulis (garums).

Visbiežāk kompleksā skaitļa modulis tiek apzīmēts kā ρ.

Izrādās, ka

z = ρ(cosφ+isinφ).

Sekojošais izriet tieši no kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometriskās formas. formulas :

Pēdējā formula tiek saukta De Moivre formula. Formula ir iegūta tieši no tā. kompleksa skaitļa n-tā sakne:

tātad kompleksajam skaitlim z ir n-tās saknes.

Kamēr komplekso skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu ir ērtāk veikt algebriskā formā, reizināšanu un dalīšanu ir vieglāk izdarīt, izmantojot komplekso skaitļu trigonometrisko formu.

Ņem divus patvaļīgus kompleksos skaitļus, kas doti trigonometriskā formā:

Reizinot šos skaitļus, mēs iegūstam:

Bet pēc trigonometrijas formulām

Tādējādi, reizinot kompleksos skaitļus, tiek reizināti to moduļi un argumenti

saskaitīt. Tā kā šajā gadījumā moduļi tiek konvertēti atsevišķi, bet argumenti - atsevišķi, reizināšanas veikšana trigonometriskā formā ir vienkāršāka nekā algebriskā.

Vienādojums (1) ietver attiecības:

Tā kā dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība, mēs to iegūstam

Citiem vārdiem sakot, koeficienta modulis ir vienāds ar attiecību dividendes un dalītāja moduļi, un koeficienta arguments ir atšķirība starp dividendes un dalītāja argumentiem.

Tagad pakavēsimies pie komplekso skaitļu reizināšanas ģeometriskās nozīmes. Formulas (1) - (3) parāda, ka, lai atrastu reizinājumu, vispirms ir jāpalielina reižu skaita modulis, nemainot tā argumentu, un pēc tam jāpalielina iegūtā skaitļa arguments, nemainot tā moduli. Pirmā no šīm operācijām ģeometriski nozīmē homotitāti attiecībā pret punktu O ar koeficientu, bet otrā - rotāciju attiecībā pret punktu O ar leņķi, kas vienāds ar Ņemot vērā, ka šeit viens faktors ir nemainīgs, bet otrs ir mainīgs, mēs varam formulēt rezultāts ir šāds: formula

Mēs definējam divu komplekso skaitļu reizinājumu tāpat kā reālu skaitļu reizinājumu, proti: reizinājumu uzskata par skaitli, kas sastāv no reizinātāja, tāpat kā koeficientu veido vienotība.

Vektoru, kas atbilst kompleksam skaitlim ar moduli un argumentu, var iegūt no vienības vektora, kura garums ir vienāds ar vienu un kura virziens sakrīt ar OX ass pozitīvo virzienu, pagarinot to par koeficientu un pagriežot pozitīvā virzienā. ar leņķi

Ar noteikta vektora reizinājumu ar vektoru mēs saprotam vektoru, kas tiks iegūts, ja vektoram piemēros augstākminēto pagarinājumu un rotāciju, ar kura palīdzību vektoru iegūst no vienības vektora, un pēdējais acīmredzami atbilst īsta vienība.

Ja būtība ir vektoriem atbilstošu komplekso skaitļu moduļi un argumenti, tad šo vektoru reizinājums acīmredzot atbildīs kompleksam skaitlim ar moduli un argumentu . Tādējādi mēs nonākam pie šādas komplekso skaitļu reizinājuma definīcijas:

Divu komplekso skaitļu reizinājums ir tāds kompleksais skaitlis, kura modulis ir vienāds ar faktoru moduļu reizinājumu un arguments ir faktoru argumentu summa.

Tādējādi gadījumā, ja kompleksie skaitļi ir uzrakstīti trigonometriskā formā, mums būs

Tagad mēs iegūstam reizinājuma sastādīšanas noteikumu gadījumam, kad kompleksie skaitļi nav norādīti trigonometriskā formā:

Izmantojot iepriekš minēto apzīmējumu moduļiem un faktoru argumentiem, mēs varam rakstīt

saskaņā ar reizināšanas definīciju (6):

un beidzot mēs saņemam

Šajā gadījumā faktori ir reāli skaitļi, un reizinājums tiek reducēts līdz šo skaitļu reizinājumam ahag. Gadījumā, vienlīdzība (7) dod

i., iedomātās vienības kvadrāts ir

Aprēķinot secīgi pozitīvos veselus skaitļus, mēs iegūstam

un vispār katram pozitīvam veselam skaitlim

Reizināšanas likumu, kas izteikts ar vienādību (7), var formulēt šādi: kompleksie skaitļi jāreizina kā burtiski polinomi, ņemot vērā

Ja a ir komplekss skaitlis, tad komplekso skaitli sauc par a konjugātu, un to apzīmē ar a. Saskaņā ar formulu (3) no (7) vienādības izriet

un līdz ar to,

i., konjugēto komplekso skaitļu reizinājums ir vienāds ar katra no tiem moduļa kvadrātu.

Ņemsim vērā arī acīmredzamās formulas

No formulām (4) un (7) tieši izriet, ka komplekso skaitļu saskaitīšana un reizināšana pakļaujas komutatīvajam likumam, t.i., summa nav atkarīga no terminu secības, un reizinājums nav atkarīgs no faktoru secības. . Nav grūti pārbaudīt asociatīvo un sadales likumu spēkā esamību, ko pauž šādas identitātes:

Mēs to atstājam lasītāja ziņā.

Visbeidzot, ņemiet vērā, ka vairāku faktoru reizinājumam būs modulis, kas vienāds ar faktoru moduļu reizinājumu, un arguments, kas vienāds ar faktoru argumentu summu. Tādējādi komplekso skaitļu reizinājums būs vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.