Divu skaitļu attiecība

1. definīcija

Divu skaitļu attiecība ir viņu privātais.

1. piemērs

attiecību no USD 18 līdz USD 3 var uzrakstīt šādi:

$18\div 3=\frac(18)(3)=6$.

attiecību no USD 5 līdz USD 15 var uzrakstīt šādi:

$5\div 15=\frac(5)(15)=\frac(1)(3)$.

Izmantojot divu skaitļu attiecība var parādīt:

• cik reizes viens skaitlis ir lielāks par otru;
• kādu daļu attēlo viens skaitlis no cita.

Sastādot divu skaitļu attiecību daļskaitļa saucējā, pierakstiet skaitli, ar kuru veikts salīdzinājums.

Visbiežāk šāds skaitlis seko vārdiem "salīdzinājumā ar ..." vai prievārdam "uz ...".

Atgādiniet daļskaitļa pamatīpašību un pielietojiet to relācijai:

1. piezīme

Reizinot vai dalot abus relācijas nosacījumus ar tādu pašu skaitli, kas nav nulle, mēs iegūstam attiecību, kas ir vienāda ar sākotnējo.

Apsveriet piemēru, kas ilustrē divu skaitļu attiecības jēdziena izmantošanu.

2. piemērs

Nokrišņu daudzums iepriekšējā mēnesī bija $195$ mm, bet šajā mēnesī - $780 $ mm. Cik daudz ir pieaudzis nokrišņu daudzums kārtējā mēnesī, salīdzinot ar iepriekšējo mēnesi?

Risinājums.

Sastādiet kārtējā mēneša nokrišņu daudzuma attiecību pret iepriekšējā mēneša nokrišņu daudzumu:

$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4 $.

Atbilde: nokrišņu daudzums šajā mēnesī ir $4$ reizes vairāk nekā iepriekšējā mēnesī.

3. piemērs

Atrodiet, cik reižu skaitlis $1 \frac(1)(2)$ ir ietverts skaitlī $13 \frac(1)(2)$.

Risinājums.

$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=9$.

Atbilde: $9$ reizes.

Proporcijas jēdziens

2. definīcija

Proporcija sauc par divu attiecību vienādību:

$a\div b=c\div d$

$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.

4. piemērs

3 $\div 6=9\div 18$, 5$\div 15=9\div 27$, 4$\div 2=24\div 12$,

$\frac(8)(2)=\frac(36)(9)$, $\frac(10)(40)=\frac(9)(36)$, $\frac(15)(75)= \frac(1)(5)$.

Proporcijā $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (vai $a:b = c\div d$) tiek izsaukti skaitļi a un d ekstrēmi biedri proporcijas, savukārt skaitļi $b$ un $c$ ir vidējie locekļi proporcijas.

Pareizo proporciju var konvertēt šādi:

2. piezīme

Pareizās proporcijas galējo vārdu reizinājums ir vienāds ar vidējo vārdu reizinājumu:

$a \cdot d=b \cdot c$.

Šis paziņojums ir proporcijas pamatīpašība.

Arī otrādi ir taisnība:

3. piezīme

Ja proporcijas galējo daļu reizinājums ir vienāds ar tās vidējo daļu reizinājumu, tad proporcija ir pareiza.

4. piezīme

Ja vidējie vai galējie termini ir pārkārtoti pareizā proporcijā, tad arī proporcijas, kas tiks iegūtas, būs pareizas.

5. piemērs

6 $\div 3=18\div 9$, 15$\div 5=27\div 9$, 2$\div 4=12\div 24$,

$\frac(2)(8)=\frac(9)(36)$, $\frac(40)(10)=\frac(36)(9)$, $\frac(75)(15)= \frac(5)(1)$.

Izmantojot šo īpašību, ir viegli atrast nezināmu terminu no proporcijas, ja pārējie trīs ir zināmi:

$a=\frac(b \cdot c)(d)$; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.

6. piemērs

$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$;

$16 \cdot a=48$;

$a=\frac(48)(16)$;

7. piemērs

$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$;

$a \cdot 24=168$;

$a=\frac(168)(24)$;

3 $ dārznieks - 108 $ koki;

$x$ dārznieki - $252$ koks.

Izveidosim proporciju:

$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.

Nezināmā proporcijas vārda atrašanai izmantosim noteikumu:

$b=\frac(a \cdot d)(c)$;

$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;

$x=\frac(252)(36)$;

Atbilde: Lai apgrieztu kokus par 252 USD, dārzniekiem būs nepieciešami 7 USD.

Visbiežāk proporcijas īpašības praksē tiek izmantotas matemātiskajos aprēķinos gadījumos, kad ir jāaprēķina nezināma proporcijas locekļa vērtība, ja ir zināmas pārējo trīs locekļu vērtības.

Proporcija – divu attiecību vienādība, t.i., formas vienlīdzība a:b = c:d , vai, citā apzīmējumā, vienlīdzība

Ja a : b = c : d, Tas a Un d sauca ekstrēms, A b Un c - vidējibiedri proporcijas.

No “proporcijas” nevar izvairīties, tā ir neaizstājama daudzos uzdevumos. Ir tikai viena izeja - tikt galā ar šo attiecību un izmantot proporciju kā glābēju.

Pirms turpināt izskatīt proporcijas problēmas, ir svarīgi atcerēties proporcijas pamatnoteikumu:

proporcionāli

galējo terminu reizinājums ir vienāds ar vidējā reizinājumu

Ja kāda proporcijas vērtība nav zināma, to būs viegli atrast, pamatojoties uz šo noteikumu.

Piemēram,

Tas ir, proporcijas nezināmā vērtība - frakcijas vērtība, saucējā kas ir skaitlis, kas ir pretējs nezināmajai vērtībai , skaitītājā - atlikušo proporcijas locekļu reizinājums (neatkarīgi no tā, kur atrodas šī nezināmā vērtība).

1. uzdevums.

No 21 kg kokvilnas sēklu ieguva 5,1 kg eļļas. Cik daudz eļļas iegūs no 7 kg kokvilnas sēklu?

Risinājums:

Mēs saprotam, ka sēklu svara samazināšanās vairākas reizes nozīmē iegūtās eļļas svara samazināšanos par tādu pašu daudzumu. Tas ir, daudzumi ir tieši saistīti.

Aizpildīsim tabulu:

Nezināmā vērtība - daļas vērtība, kuras saucējā - 21 - vērtība, kas ir pretēja tabulā nezināmajam, skaitītājā - tabulas atlikušo daļu reizinājums-proporcija.

Tādējādi mēs iegūstam, ka no 7 kg sēklu iznāks 1,7 kg eļļas.

Uz Pa labi aizpildot tabulu, ir svarīgi atcerēties noteikumu:

Viens zem otra jāraksta identiski nosaukumi. Mēs rakstām procentus zem procentiem, kilogramus zem kilogramiem utt.

2. uzdevums.

Konvertēt uz radiānos.

Risinājums:

Mēs to zinām. Aizpildīsim tabulu:

Atbilde:

3. uzdevums.

Uz rūtainā papīra ir attēlots aplis. Kāds ir apļa laukums, ja iekrāsotā sektora laukums ir 27?

Risinājums:

Skaidri redzams, ka neēnotais sektors atbilst leņķim pie (piemēram, jo ​​sektora malas veido divu blakus esošo taisnleņķu bisektrise). Un tā kā viss aplis ir , tad iekrāsotais sektors veido .

Izveidosim tabulu:

No kurienes nāk apļa laukums?

Atbilde:

4. uzdevums.Pēc tam, kad bija uzarti 82% no visa lauka, bija jāuzar 9 hektāri. Kāda ir visa lauka platība?

Risinājums:

Viss lauks ir 100%, un tā kā 82% ir uzarts, tad 100%-82%=18% lauka paliek uzart.

Aizpildiet tabulu:

Kur mēs ņemam, ka viss lauks ir (ha).

Atbilde:

Un nākamais uzdevums ir ar slazdiņu.

5. uzdevums.

Attālumu starp divām pilsētām pasažieru vilciens ar ātrumu 80 km/h veic 3 stundās. Cik stundas būs nepieciešamas, lai kravas vilciens nobrauktu tādu pašu attālumu ar ātrumu 60 km/h?

Risinājums:

Ja atrisināsit šo problēmu tāpat kā iepriekšējo, jūs iegūsit sekojošo:

laiks, kas nepieciešams, lai kravas vilciens nobrauktu tādu pašu attālumu kā pasažieru vilciens, ir stundas. Tas ir, izrādās, ka, braucot ar mazāku ātrumu, tas pārvar (tajā pašā laikā) distanci ātrāk nekā vilciens ar lielāku ātrumu.

Kāda ir argumentācijas kļūda?

Līdz šim esam apsvēruši problēmas, kur bija daudzumi tieši proporcionāli viens otram , tas ir augstums tāda paša lieluma par noteiktu summu, dod augstums otrais daudzums, kas ar to saistīts tikpat reižu (protams, līdzīgi ar samazinājumu). Un šeit mums ir cita situācija: pasažieru vilciena ātrums vairāk kravas vilciena ātrums vairākas reizes, bet laiks, kas nepieciešams tāda paša attāluma pārvarēšanai, ir vajadzīgs pasažieru vilcienam mazāks tikpat daudz kā kravas vilciens. Tas ir, vērtības viens otram apgriezti proporcionāls .

Shēma, kuru mēs līdz šim izmantojām, šajā gadījumā ir nedaudz jāmaina.

Risinājums:

Mēs domājam šādi:

Pasažieru vilciens brauca 3 stundas ar ātrumu 80 km/h, tātad nobrauca km. Tas nozīmē, ka kravas vilciens tādu pašu attālumu veiks vienas stundas laikā.

Tas ir, ja mēs veidotu proporciju, mums vispirms vajadzēja apmainīt labās kolonnas šūnas. Būtu saņēmis:

Atbilde: .

Tāpēc, lūdzu, esiet uzmanīgi, veidojot proporcijas. Vispirms noskaidrojiet, ar kādu atkarību jūs saskaraties – tiešo vai apgriezto.

Iestatiet proporciju. Šajā rakstā es vēlos runāt ar jums par proporcijām. Saprast, kas ir proporcija, prast to sastādīt - tas ir ļoti svarīgi, tas tiešām ietaupa. Šķiet, ka tas ir mazs un nenozīmīgs “burts” matemātikas lielajā alfabētā, bet bez tā matemātika ir lemta klibošanai un nepilnvērtīgai.Pirmkārt, ļaujiet man jums atgādināt, kas ir proporcija. Šī ir formas vienādība:

kas ir tas pats (šī ir cita apzīmējuma forma).

Piemērs:

Viņi saka, ka viens ir divi, kā četri ir astoņi. Tas ir, šī ir divu attiecību vienādība (šajā piemērā relācijas ir skaitliskas).

Pamata proporcijas noteikums:

a:b=c:d

galējo terminu reizinājums ir vienāds ar vidējā reizinājumu

tas ir

a∙d=b∙c

*Ja kāda vērtība proporcijā nav zināma, to vienmēr var atrast.

Ja ņemam vērā veidlapas ieraksta formu:

tad varat izmantot šādu noteikumu, to sauc par “krusta likumu”: tiek uzrakstīta elementu (skaitļu vai izteiksmju) reizinājumu vienādība, kas stāv pa diagonāli

a∙d=b∙c

Kā redzat, rezultāts ir tāds pats.

Ja ir zināmi trīs proporcijas elementi, tadmēs vienmēr varam atrast ceturto.

Tāda ir ieguvuma un nepieciešamības būtībaproporcijas problēmu risināšanā.

Apskatīsim visus variantus, kur nezināmā vērtība x atrodas proporcijas "jebkurā vietā", kur a, b, c ir skaitļi:

Vērtību, kas atrodas uz diagonāles no x, raksta daļskaitļa saucējā, un zināmās vērtības, kas atrodas uz diagonāles, raksta skaitītājā kā reizinājumu. Nav nepieciešams to iegaumēt, visu pareizi aprēķināsi, ja būsi apguvis proporcijas pamatnoteikumu.

Tagad galvenais jautājums, kas saistīts ar raksta nosaukumu. Kad proporcija ietaupa un kur to izmanto? Piemēram:

1. Pirmkārt, tie ir intereses uzdevumi. Mēs tos izskatījām rakstos "" un "".

2. Daudzas formulas ir dotas kā proporcijas:

> sinusa teorēma

> elementu attiecība trīsstūrī

> tangentes teorēma

> Thales teorēma un citi.

3. Ģeometrijas uzdevumos malu (citu elementu) vai laukumu attiecība bieži tiek iestatīta nosacījumā, piemēram, 1:2, 2:3 un citi.

4. Mērvienību konvertēšana un proporcija tiek izmantota, lai konvertētu mērvienības gan vienā mērvienībā, gan pārrēķinot no viena mēra citā:

stundām līdz minūtēm (un otrādi).

tilpuma vienības, platība.

— garumi, piemēram, jūdzes uz kilometriem (un otrādi).

grādiem līdz radiāniem (un otrādi).

šeit bez proporcijas sastādīšanas ir nepieciešama.

Galvenais ir tas, ka jums ir pareizi jāizveido korespondence, apsveriet vienkāršus piemērus:

Ir nepieciešams noteikt skaitli, kas ir 35% no 700.

Problēmās ar procentiem vērtība, ar kuru mēs salīdzinām, tiek pieņemta kā 100%. Nezināmo skaitli apzīmēsim ar x. Saskaņosim:

Mēs varam teikt, ka septiņi simti trīsdesmit pieci atbilst 100 procentiem.

X atbilst 35 procentiem. nozīmē,

700 – 100%

x - 35%

Mēs izlemjam

Atbilde: 245

Pārvērst 50 minūtes stundās.

Mēs zinām, ka viena stunda atbilst 60 minūtēm. Apzīmēsim korespondenci -x stundas ir 50 minūtes. Līdzekļi

1 – 60

x - 50

Mēs nolemjam:

Tas ir, 50 minūtes ir piecas sestdaļas no stundas.

Atbilde: 5/6

Nikolajs Petrovičs nobrauca 3 kilometrus. Cik tas būs jūdzēs (ņemiet vērā, ka 1 jūdze ir 1,6 km)?

Mēs zinām, ka 1 jūdze ir 1,6 kilometri. Ņemsim Nikolaja Petroviča nobraukto jūdžu skaitu kā x. Mēs varam saskaņot:

Viena jūdze atbilst 1,6 kilometriem.

X jūdzes ir trīs kilometri.

1 – 1,6

x - 3

Atbilde: 1875 jūdzes

Jūs zināt, ka ir formulas, lai pārvērstu grādus radiānos (un otrādi). Es tos nepierakstu, jo, manuprāt, ir lieki tos iegaumēt, un tāpēc daudz informācijas ir jāsaglabā atmiņā. Jūs vienmēr varat pārvērst grādus radiānos (un otrādi), ja izmantojat proporciju.

Konvertējiet 65 grādus radiānos.

Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka 180 grādi ir Pi radiāni.

Apzīmēsim vēlamo vērtību kā x. Iestatiet spēli.

Simt astoņdesmit grādi atbilst Pi radiāniem.

Sešdesmit pieci grādi atbilst x radiāniem. izpēti rakstu par šo emuāra tēmu. Materiāls tiek pasniegts nedaudz savādāk, bet princips ir vienāds. Es pabeigšu ar šo. Noteikti būs kas interesantāks, nepalaid garām!

Ja atceramies pašu matemātikas definīciju, tad tajā ir šādi vārdi: matemātika pēta kvantitatīvās ATTIECĪBAS (RELATIONSHIPS)- atslēgas vārds šeit). Kā redzat, pati matemātikas definīcija satur proporciju. Vispār matemātika bez proporcijas nav matemātika!!!

Visu to labāko!

Ar cieņu Aleksandrs

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Proporciju formula

Proporcija ir divu attiecību vienādība, ja a:b=c:d

attiecība 1 : 10 ir vienāds ar attiecību 7 : 70, ko var uzrakstīt arī kā daļskaitli: 1 10 = 7 70 skan: "viens ir desmit, kā septiņi ir septiņdesmit"

Proporcijas pamatīpašības

Galējo vārdu reizinājums ir vienāds ar vidējo vārdu reizinājumu (šķērsām): ja a:b=c:d , tad a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Proporciju inversija: ja a:b=c:d , tad b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Vidējo locekļu permutācija: ja a:b=c:d , tad a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Galējo locekļu permutācija: ja a:b=c:d , tad d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Proporcijas atrisināšana ar vienu nezināmo | Vienādojums

1 : 10 = x : 70 vai 1 10 = x 70

Lai atrastu x, jums ir jāreizina divi zināmie skaitļi šķērsām un jādala ar pretēju vērtību

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kā aprēķināt proporciju

Uzdevums: Jums jāizdzer 1 tablete aktīvās ogles uz 10 kilogramiem svara. Cik tabletes jālieto, ja cilvēks sver 70 kg?

Izveidosim proporciju: 1 tablete - 10 kg x tabletes - 70 kg Lai atrastu x, jums ir jāreizina divi zināmie skaitļi šķērsām un jādala ar pretēju vērtību: 1 tablete x tabletes✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Atbilde: 7 tabletes

Uzdevums: Vasja piecu stundu laikā uzraksta divus rakstus. Cik rakstus viņš uzrakstīs 20 stundās?

Sastādām proporciju: 2 raksti - 5 stundas x raksti - 20 stundas x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Atbilde: 8 raksti

Topošajiem skolas absolventiem varu teikt, ka prasme veidot proporcijas man noderēja gan bilžu proporcionālai samazināšanai, gan web lapas HTML izkārtojumā, gan ikdienas situācijās.