Ja nepieciešams palielināt noteiktu skaitli līdz pakāpei, varat izmantot . Tagad mēs to aplūkosim tuvāk grādu īpašības.

Eksponenciālie skaitļi paver lielas iespējas, tās ļauj mums pārveidot reizināšanu par saskaitīšanu, un saskaitīšana ir daudz vienkāršāka nekā reizināšana.

Piemēram, mums ir jāreizina 16 ar 64. Šo divu skaitļu reizinājums ir 1024. Bet 16 ir 4x4 un 64 ir 4x4x4. Tas ir, 16 x 64 = 4x4x4x4x4, kas arī ir vienāds ar 1024.

Skaitli 16 var attēlot arī kā 2x2x2x2 un 64 kā 2x2x2x2x2x2, un, reizinot, mēs atkal iegūstam 1024.

Tagad izmantosim noteikumu. 16 = 4 2 vai 2 4, 64 = 4 3 vai 2 6, tajā pašā laikā 1024 = 6 4 = 4 5 vai 2 10.

Tāpēc mūsu uzdevumu var uzrakstīt dažādi: 4 2 x4 3 =4 5 vai 2 4 x2 6 =2 10, un katru reizi mēs iegūstam 1024.

Mēs varam atrisināt vairākus līdzīgus piemērus un redzēt, ka skaitļu reizināšana ar pakāpēm samazina līdz eksponentu pievienošana, vai eksponenciāls, protams, ar nosacījumu, ka faktoru bāzes ir vienādas.

Tādējādi, neveicot reizināšanu, mēs uzreiz varam teikt, ka 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Šis noteikums ir spēkā arī dalot skaitļus ar pakāpēm, bet šajā gadījumā dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta. Tādējādi 2 5:2 3 = 2 2, kas parastajos skaitļos ir vienāds ar 32:8 = 4, tas ir, 2 2. Apkoposim:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kur m un n ir veseli skaitļi.

No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas tā ir skaitļu reizināšana un dalīšana ar pakāpēm nav ļoti ērti, jo vispirms skaitlis ir jāattēlo eksponenciālā formā. Nav grūti attēlot skaitļus 8 un 16, tas ir, 2 3 un 2 4, šajā formā, bet kā to izdarīt ar skaitļiem 7 un 17? Vai arī kā rīkoties gadījumos, kad skaitli var attēlot eksponenciālā formā, bet skaitļu eksponenciālo izteiksmju pamati ir ļoti dažādi. Piemēram, 8x9 ir 2 3 x 3 2, un tādā gadījumā mēs nevaram summēt eksponentus. Ne 2 5, ne 3 5 nav atbilde, un atbilde nav arī intervālā starp šiem diviem skaitļiem.

Vai tad vispār ir vērts mocīties ar šo metodi? Noteikti ir tā vērts. Tas sniedz milzīgas priekšrocības, īpaši sarežģītiem un laikietilpīgiem aprēķiniem.

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija

Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju konvertēšanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp spēka izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas īpaši raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot grādu īpašības utt.

Lapas navigācija.

Kas ir spēka izpausmes?

Jēdziens “spēka izteiksmes” praktiski neparādās skolu matemātikas mācību grāmatās, taču diezgan bieži parādās uzdevumu krājumos, īpaši tajos, kas paredzēti, piemēram, gatavošanai vienotajam valsts eksāmenam un vienotajam valsts eksāmenam. Izanalizējot uzdevumus, kuros nepieciešams veikt jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kas savos ierakstos satur spēkus. Tāpēc jūs varat pieņemt šādu definīciju sev:

Definīcija.

Spēka izpausmes ir izteiksmes, kas satur grādus.

Dosim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos parādīsim atbilstoši tam, kā notiek uzskatu attīstība no pakāpes ar naturālo eksponentu līdz pakāpei ar reālu eksponentu.

Kā zināms, vispirms iepazīstas ar skaitļa pakāpju ar naturālo eksponentu, šajā posmā pirmās vienkāršākās pakāpju izteiksmes tipam 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 parādās −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās pakāpes izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, , a -2 +2 b -3 +c 2 .

Vidusskolā viņi atgriežas pie grādiem. Tur tiek ieviests grāds ar racionālu eksponentu, kas nozīmē atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanos: , , un tā tālāk. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .

Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām pakāpju izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un, piemēram, rodas šādas izteiksmes: 2 x 2 +1 vai . Un pēc iepazīšanās ar , sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2·lgx −5·x lgx.

Tātad, mēs esam risinājuši jautājumu par to, ko pārstāv varas izpausmes. Tālāk mēs iemācīsimies tos pārvērst.

Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi

Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, varat atvērt iekavas, aizstāt skaitliskās izteiksmes ar to vērtībām, pievienot līdzīgus terminus utt. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .

Risinājums.

Atbilstoši darbību izpildes secībai vispirms veiciet darbības iekavās. Tur, pirmkārt, jaudu 4 2 aizstājam ar tās vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4. Mums ir 2 3 · (4 2–12) = 2 3 · (16–12) = 2 3 ·4.

Iegūtajā izteiksmē jaudu 2 3 aizstājam ar tās vērtību 8, pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32. Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Atbilde:

2 3 · (4 2 -12)=32.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteicienus ar pilnvarām 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Risinājums.

Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3·a 4 ·b −7 un 2·a 4 ·b −7 , un mēs varam tos uzrādīt: .

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.

Risinājums.

Jūs varat tikt galā ar uzdevumu, attēlojot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantojot saīsinātās reizināšanas formulu - kvadrātu starpība:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas īpaši raksturīgas spēka izteiksmēm. Mēs tos analizēsim sīkāk.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Ir grādi, kuru bāze un/vai eksponents nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru dodam ierakstus (2+0.3·7) 5−3.7 un (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Strādājot ar šādām izteiksmēm, jūs varat aizstāt gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi tās mainīgo ODZ. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi pārveidot pakāpes bāzi un atsevišķi eksponentu. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiks iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.

Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums nepieciešamos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu piesaistīšanas pakāpes (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bāzei, mēs iegūstam vienkāršākas formas pakāpju izteiksmi a 2·(x+ 1) .

Grāda īpašību izmantošana

Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b un patvaļīgiem reāliem skaitļiem r un s ir patiesas šādas pakāpju īpašības:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajam a, bet arī negatīvajam a un a=0.

Skolā galvenā uzmanība, transformējot spēka izteiksmes, tiek likta uz spēju izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot pakāpju īpašības . Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams izmantot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt izglītojošās vērtības samazināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot spēku īpašības. Šeit mēs aprobežosimies ar dažu vienkāršu piemēru apsvēršanu.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a.

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) -3, izmantojot īpašību palielināt jaudu par jaudu: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5. Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a -5,5 =a -3,5:a -5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Atbilde:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Pakāpju īpašības, transformējot pakāpju izteiksmes, tiek izmantotas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās puses uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas produktu un tālāk. Un, reizinot jaudas ar tām pašām bāzēm, eksponenti summējas: .

Sākotnējo izteiksmi bija iespējams pārveidot citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ņemot vērā jaudas izteiksmi a 1,5 −a 0,5 −6, ievadiet jaunu mainīgo t = a 0,5.

Risinājums.

Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un pēc tam, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpei (a r) s =a r s, piemērojot no labās puses uz kreiso, pārveidot to formā (a 0,5) 3. Tādējādi a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0,5, mēs iegūstam t 3 −t−6.

Atbilde:

t 3 −t−6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Spēka izteiksmes var saturēt vai attēlot daļskaitļus ar pakāpēm. Jebkura no daļskaitļu pamatpārveidojumiem, kas ir raksturīgi jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojama šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur pakāpes, var samazināt, reducēt līdz jaunam saucējam, apstrādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu šos vārdus, apsveriet risinājumus vairākiem piemēriem.

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā mēs atveram iekavas un vienkāršojam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā mēs parādām līdzīgus terminus:

Un mainīsim arī saucēja zīmi, daļskaitļa priekšā ievietojot mīnusu: .

Atbilde:

.

Pakāpju daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā racionālu daļu samazināšana līdz jaunam saucējam. Šajā gadījumā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt VA sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nenonāktu līdz nullei nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

Piemērs.

Samaziniet daļskaitļus līdz jaunam saucējam: a) līdz saucējam a, b) uz saucēju.

Risinājums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kurš papildu reizinātājs palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Tas ir reizinātājs ar 0,3, jo 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieļaujamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) 0,3 jauda nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotā skaitītāju un saucēju. daļa ar šo papildu faktoru:

b) Uzmanīgāk apskatot saucēju, jūs to atradīsit

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.

Tādā veidā mēs atradām papildu faktoru. Mainīgo x un y pieņemamo vērtību diapazonā izteiksme nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:

Atbilde:

A) , b) .

Arī pakāpju daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēloti kā vairāki faktori, un tie paši skaitītāja un saucēja faktori tiek samazināti.

Piemērs.

Samaziniet daļu: a) , b) .

Risinājums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Acīmredzot ir arī iespējams veikt samazināšanu par x 0,5 +1 un par . Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā identiski faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, jums būs jāveic iepriekšējas pārvērtības. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja faktorēšanas, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

Atbilde:

A)

b) .

Daļskaitļu pārvēršana jaunā saucējā un daļskaitļu samazināšana galvenokārt tiek izmantota, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmiem noteikumiem. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tās tiek reducētas līdz kopsaucējam, pēc kā tiek saskaitīti (atņemti) skaitītāji, bet saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar apgriezto.

Piemērs.

Izpildiet norādītās darbības .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir , pēc kura mēs atņemam skaitītājus:

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

Acīmredzot ir iespējams samazināt ar jaudu x 1/2, pēc kura mums ir .

Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmi .

Risinājums.

Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu . Ir skaidrs, ka ar X pilnvarām ir jādara kaut kas cits. Lai to izdarītu, mēs pārveidojam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot iespēju sadalīt pilnvaras ar vienādām bāzēm: . Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.

Atbilde:

.

Un vēl piebildīsim, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .

Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pilnvarām

Bieži vien izteiksmēs, kurās nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar pakāpēm ir arī saknes ar daļskaitļiem. Lai pārveidotu šādu izteiksmi vēlamajā formā, vairumā gadījumu pietiek tikai ar saknēm vai tikai pilnvarām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar pilnvarām, tie parasti pāriet no saknēm uz pilnvarām. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības atsaukties uz moduli vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām raksta pāreja no saknēm uz pakāpēm un atpakaļ Pēc iepazīšanās ar grādu ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālo eksponentu, kas ļauj runāt par pakāpi ar patvaļīgu reālo eksponentu Šajā posmā skola sāk pētījums eksponenciālā funkcija, ko analītiski dod pakāpē, kuras bāze ir skaitlis, bet eksponents ir mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar pakāpju izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpju bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.

Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi Un eksponenciālās nevienlīdzības, un šie reklāmguvumi ir diezgan vienkārši. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un lielākoties ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirmkārt, pakāpes, kuru eksponentos ir noteikta mainīgā lieluma (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tālāk abas vienādības puses tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x, kas mainīgā x ODZ sākotnējam vienādojumam ņem tikai pozitīvas vērtības (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs neesam runājot par to tagad, tāpēc koncentrējieties uz nākamajām izteicienu transformācijām ar pilnvarām ):

Tagad mēs varam atcelt daļskaitļus ar pakāpēm, kas dod .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kā rezultātā tiek iegūts vienādojums , kas ir līdzvērtīgs . Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam

I. V. Bojkovs, L. D. Romanova Uzdevumu krājums, lai sagatavotos vienotajam valsts eksāmenam. 1. daļa. Penza 2003. gads.

Kāpēc nepieciešami grādi?

Kur tev tās būs vajadzīgas?

Kāpēc jums vajadzētu veltīt laiku to izpētei?

Lai uzzinātu VISU PAR GRĀDIEM, izlasiet šo rakstu.

Un, protams, grādu zināšanas tuvinās sekmīgai vienotā valsts eksāmena nokārtošanai.

Un uz uzņemšanu sapņu universitātē!

Ejam... (Ejam!)

PIRMAIS LĪMENIS

Eksponentēšana ir matemātiska darbība, tāpat kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana.

Tagad es visu izskaidrošu cilvēku valodā, izmantojot ļoti vienkāršus piemērus. Esi uzmanīgs. Piemēri ir elementāri, bet izskaidro svarīgas lietas.

Sāksim ar papildinājumu.

Te nav ko skaidrot. Jūs jau visu zināt: mēs esam astoņi. Katram ir divas kolas pudeles. Cik daudz tur ir kolas? Tieši tā – 16 pudeles.

Tagad reizināšana.

To pašu piemēru ar kolu var uzrakstīt dažādi: . Matemātiķi ir viltīgi un slinki cilvēki. Viņi vispirms pamana dažus modeļus un pēc tam izdomā veidu, kā tos ātrāk “skaitīt”. Mūsu gadījumā viņi pamanīja, ka katram no astoņiem cilvēkiem ir vienāds skaits kolas pudeļu, un nāca klajā ar paņēmienu, ko sauc par reizināšanu. Piekrītu, tas tiek uzskatīts par vieglāku un ātrāku nekā.

Tātad, lai skaitītu ātrāk, vieglāk un bez kļūdām, jums vienkārši jāatceras reizināšanas tabula. Protams, visu var darīt lēnāk, grūtāk un ar kļūdām! Bet…

Šeit ir reizināšanas tabula. Atkārtojiet.

Un vēl viens, skaistāks:

Kādus citus gudrus skaitīšanas trikus ir izdomājuši slinki matemātiķi? Pa labi - skaitļa paaugstināšana pakāpē.

Skaitļa paaugstināšana līdz pakāpei

Ja jums ir jāreizina skaitlis ar sevi piecas reizes, tad matemātiķi saka, ka jums šis skaitlis jāpalielina līdz piektajai pakāpei. Piemēram, . Matemātiķi atceras, ka divi līdz piektajai pakāpei ir... Un viņi tādas problēmas risina savās galvās – ātrāk, vieglāk un bez kļūdām.

Viss, kas jums jādara, ir atcerieties, kas skaitļu pakāpju tabulā ir iezīmēts ar krāsu. Ticiet man, tas padarīs jūsu dzīvi daudz vieglāku.

Starp citu, kāpēc to sauc par otro pakāpi? kvadrāts cipari, bet trešais - kubs? Ko tas nozīmē? Ļoti labs jautājums. Tagad jums būs gan kvadrāti, gan kubi.

Reālās dzīves piemērs #1

Sāksim ar kvadrātu vai skaitļa otro pakāpi.

Iedomājieties kvadrātveida baseinu, kura izmēri ir viens metrs reiz viens metrs. Baseins atrodas jūsu vasarnīcā. Ir karsts, un es ļoti gribu peldēt. Bet... baseinam nav dibena! Jums ir jāpārklāj baseina dibens ar flīzēm. Cik flīžu jums vajag? Lai to noteiktu, jums jāzina baseina apakšējā daļa.

Jūs varat vienkārši aprēķināt, norādot ar pirkstu, ka baseina dibens sastāv no metrs pa metram kubiem. Ja jums ir flīzes viens metrs reiz viens metrs, jums būs nepieciešami gabali. Tas ir vienkārši... Bet kur jūs esat redzējuši tādas flīzes? Visticamāk, ka flīze būs cm pa cm. Un tad jūs tiksiet spīdzināts, "skaitot ar pirkstu". Tad jums ir jāreizina. Tātad vienā baseina dibena pusē liksim flīzes (gabalus), bet otrā arī flīzes. Reiziniet ar un iegūsit flīzes ().

Vai pamanījāt, ka, lai noteiktu baseina dibena laukumu, mēs to pašu skaitli reizinām ar sevi? Ko tas nozīmē? Tā kā mēs reizinām vienu un to pašu skaitli, mēs varam izmantot “pastiprināšanas” paņēmienu. (Protams, ja jums ir tikai divi skaitļi, jums tie joprojām ir jāreizina vai jāpalielina pakāpē. Bet, ja jums to ir daudz, tad palielināt tos pakāpē ir daudz vienkāršāk un arī aprēķinos ir mazāk kļūdu Vienotajam valsts eksāmenam tas ir ļoti svarīgi).
Tātad, trīsdesmit līdz otrajai jaudai būs (). Vai arī mēs varam teikt, ka trīsdesmit kvadrātā būs. Citiem vārdiem sakot, skaitļa otro pakāpi vienmēr var attēlot kā kvadrātu. Un otrādi, ja jūs redzat kvadrātu, tas VIENMĒR ir kāda skaitļa otrais pakāpe. Kvadrāts ir skaitļa otrās pakāpes attēls.

Reālās dzīves piemērs #2

Šeit jums ir uzdevums: saskaitiet, cik lauciņu ir uz šaha galdiņa, izmantojot skaitļa kvadrātu... Vienā šūnu pusē un arī otrā. Lai aprēķinātu to skaitu, jums ir jāreizina astoņi ar astoņiem vai... ja pamanāt, ka šaha galds ir kvadrāts ar malu, tad varat kvadrātā astoņi. Jūs saņemsiet šūnas. () Tātad?

Reālās dzīves piemērs #3

Tagad kubs vai skaitļa trešā pakāpe. Tas pats baseins. Bet tagad jānoskaidro, cik daudz ūdens būs jāielej šajā baseinā. Jums jāaprēķina skaļums. (Tilpumus un šķidrumus, starp citu, mēra kubikmetros. Negaidīti, vai ne?) Uzzīmējiet baseinu: dibens ir metra lielumā un metra dziļumā, un mēģiniet saskaitīt, cik kubu būs metrs reiz metrs. iederas savā baseinā.

Vienkārši rādi ar pirkstu un skaita! Viens, divi, trīs, četri...divdesmit divi, divdesmit trīs...Cik tu dabūji? Nav pazudis? Vai ir grūti skaitīt ar pirkstu? Tā ka! Ņemiet piemēru no matemātiķiem. Viņi ir slinki, tāpēc pamanīja, ka, lai aprēķinātu baseina tilpumu, ir jāreizina tā garums, platums un augstums savā starpā. Mūsu gadījumā baseina tilpums būs vienāds ar kubiņiem... Vieglāk, vai ne?

Tagad iedomājieties, cik slinki un viltīgi ir matemātiķi, ja viņi arī to vienkāršotu. Mēs visu samazinājām līdz vienai darbībai. Viņi pamanīja, ka garums, platums un augstums ir vienādi un ka viens un tas pats skaitlis tiek reizināts ar sevi... Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka varat izmantot grādu. Tātad, ko jūs kādreiz saskaitījāt ar pirkstu, viņi izdara vienu darbību: trīs kubi ir vienādi. Tas ir rakstīts šādi: .

Viss, kas paliek, ir atcerieties grādu tabulu. Ja vien jūs, protams, neesat tik slinks un viltīgs kā matemātiķi. Ja jums patīk smagi strādāt un kļūdīties, varat turpināt skaitīt ar pirkstu.

Nu, lai beidzot jūs pārliecinātu, ka grādus izgudroja atmestāji un viltīgi cilvēki, lai atrisinātu savas dzīves problēmas, nevis radītu problēmas jums, šeit ir vēl pāris piemēri no dzīves.

Reālās dzīves piemērs #4

Jums ir miljons rubļu. Katra gada sākumā par katru nopelnīto miljonu jūs nopelnāt vēl vienu miljonu. Tas ir, katrs miljons jums ir dubultojies katra gada sākumā. Cik daudz naudas jums būs pēc gadiem? Ja tu tagad sēdi un “skaiti ar pirkstu”, tad esi ļoti strādīgs cilvēks un... stulbs. Bet visticamāk atbildi sniegsi pāris sekunžu laikā, jo esi gudrs! Tātad pirmajā gadā - divi reizināti ar divi... otrajā gadā - kas notika, vēl ar diviem, trešajā... Stop! Jūs pamanījāt, ka skaitlis tiek reizināts ar sevi reizēs. Tātad divi līdz piektajai pakāpei ir miljons! Tagad iedomājieties, ka jums ir sacensības, un tas, kurš prot saskaitīt visātrāk, iegūs šos miljonus... Ir vērts atcerēties skaitļu spēkus, vai ne?

Reālās dzīves piemērs #5

Tev ir miljons. Katra gada sākumā par katru nopelnīto miljonu jūs nopelnāt vēl divus. Lieliski, vai ne? Katrs miljons tiek trīskāršots. Cik daudz naudas jums būs pēc gada? Skaitīsim. Pirmais gads - reiziniet ar, tad rezultāts ar citu... Tas jau ir garlaicīgi, jo jūs jau visu sapratāt: trīs tiek reizināts ar reizēm. Tātad ceturtajai pakāpei tas ir vienāds ar miljonu. Jums tikai jāatceras, ka trīs līdz ceturtā pakāpe ir vai.

Tagad jūs zināt, ka, paaugstinot skaitli līdz jaudu, jūs ievērojami atvieglosit savu dzīvi. Apskatīsim sīkāk, ko varat darīt ar grādiem un kas jums par tiem jāzina.

Termini un jēdzieni... lai neapjuktu

Tātad, pirmkārt, definēsim jēdzienus. Ko tu domā, kas ir eksponents? Tas ir ļoti vienkārši – tas ir skaitlis, kas atrodas skaitļa jaudas "augšpusē". Nav zinātnisks, bet skaidrs un viegli iegaumējams...

Nu, tajā pašā laikā, ko tāds grādu pamats? Vēl vienkāršāk - tas ir numurs, kas atrodas zemāk, pie pamatnes.

Šeit ir zīmējums labam pasākumam.

Nu, vispārīgi sakot, lai vispārinātu un labāk atcerētos... Grāds ar bāzi “ ” un eksponents “ ” tiek lasīts kā “līdz pakāpei” un rakstīts šādi:

Skaitļa spēks ar naturālo eksponentu

Jūs droši vien jau uzminējāt: jo eksponents ir naturāls skaitlis. Jā, bet kas tas ir dabiskais skaitlis? Elementāri! Naturālie skaitļi ir tie skaitļi, kurus izmanto skaitīšanā, uzskaitot objektus: viens, divi, trīs... Kad mēs saskaitām objektus, mēs nesakām: “mīnus pieci”, “mīnus seši”, “mīnus septiņi”. Mēs arī nesakām: “viena trešdaļa” vai “nulle pieci”. Tie nav dabiski skaitļi. Kādi, jūsuprāt, tie ir skaitļi?

Tādi skaitļi kā “mīnus pieci”, “mīnus seši”, “mīnus septiņi” attiecas uz veseli skaitļi. Kopumā veseli skaitļi ietver visus naturālos skaitļus, skaitļus, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem (tas ir, ņemti ar mīnusa zīmi) un skaitļus. Nulle ir viegli saprotama – tā ir tad, kad nekā nav. Ko nozīmē negatīvie (“mīnus”) skaitļi? Bet tie tika izgudroti galvenokārt, lai norādītu parādus: ja jūsu tālrunī ir atlikums rubļos, tas nozīmē, ka esat parādā operatoram rubļus.

Visas daļas ir racionāli skaitļi. Kā viņi radās, kā tu domā? Ļoti vienkārši. Pirms vairākiem tūkstošiem gadu mūsu senči atklāja, ka viņiem trūkst naturālo skaitļu, lai izmērītu garumu, svaru, laukumu utt. Un viņi izdomāja racionālie skaitļi... Interesanti, vai ne?

Ir arī neracionāli skaitļi. Kādi ir šie skaitļi? Īsāk sakot, tā ir bezgalīga decimāldaļdaļa. Piemēram, sadalot apļa apkārtmēru ar tā diametru, iegūstat neracionālu skaitli.

Kopsavilkums:

Definēsim pakāpes jēdzienu, kura eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).

1. Jebkurš skaitlis ar pirmo pakāpi ir vienāds ar sevi:
2. Skaitli kvadrātā nozīmē reizināt ar sevi:
3. Ciparu kubēšana nozīmē reizināt to ar sevi trīs reizes:

Definīcija. Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm nozīmē skaitļa reizināšanu ar reizinājumu:
.

Pakāpju īpašības

No kurienes radās šie īpašumi? Es jums tagad parādīšu.

Apskatīsim: kas tas ir Un ?

A-prioritāte:

Cik reizinātāju ir kopā?

Tas ir ļoti vienkārši: faktoriem pievienojām reizinātājus, un rezultāts ir reizinātāji.

Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir: , kas ir jāpierāda.

Piemērs: vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums:

Piemērs: Vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums: Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti jābūt tādiem pašiem iemesliem!
Tāpēc mēs apvienojam pilnvaras ar bāzi, bet tas paliek atsevišķs faktors:

tikai spēku produktam!

Nekādā gadījumā to nevar rakstīt.

2. tas arī viss skaitļa pakāpe

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi reizes, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Būtībā to var saukt par "rādītāja izņemšanu no iekavām". Bet jūs nekad nevarat to izdarīt kopumā:

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt?

Bet tā galu galā nav taisnība.

Jauda ar negatīvu bāzi

Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kādam jābūt eksponentam.

Bet kam vajadzētu būt par pamatu?

Pilnvarās dabiskais rādītājs pamats var būt jebkurš skaitlis. Patiešām, mēs varam reizināt jebkurus skaitļus ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat.

Padomāsim, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu spēks?

Piemēram, vai skaitlis ir pozitīvs vai negatīvs? A? ? Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Mēs atceramies vienkāršo likumu no 6. klases: "mīnus par mīnusu dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar, tas darbojas.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vai jums izdevās?

Šeit ir atbildes: Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: galu galā nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs.

Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Bāze nav vienāda, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs) vairs nav tik vienkārši!

6 piemēri praksē

Risinājuma analīze 6 piemēri

Vesels mēs saucam naturālos skaitļus, to pretstati (tas ir, ņemti ar zīmi " ") un skaitli.

pozitīvs vesels skaitlis, un tas ne ar ko neatšķiras no dabīgā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.

Tagad apskatīsim jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu:

Kā vienmēr, jautāsim sev: kāpēc tas tā ir?

Apskatīsim zināmu pakāpi ar bāzi. Ņemiet, piemēram, un reiziniet ar:

Tātad, mēs reizinājām skaitli ar, un mēs saņēmām to pašu, kas bija - . Ar kādu skaitli jāreizina, lai nekas nemainītos? Tieši tā, uz. Līdzekļi.

Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu skaitli:

Atkārtosim noteikumu:

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu.

Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).

No vienas puses, tam jābūt vienādam ar jebkuru grādu - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt nulli ar sevi, jūs joprojām saņemsit nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim ar nulles pakāpi, tam ir jābūt vienādam. Tātad, cik daudz no tā ir patiesība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli uz nulles jaudu. Tas ir, tagad mēs nevaram ne tikai dalīt ar nulli, bet arī palielināt to līdz nulles jaudai.

Ejam tālāk. Papildus naturālajiem skaitļiem un skaitļiem veseli skaitļi ietver arī negatīvus skaitļus. Lai saprastu, kas ir negatīvs spēks, darīsim tāpat kā iepriekšējo reizi: reiziniet kādu normālu skaitli ar to pašu skaitli līdz negatīvam pakāpei:

Šeit ir viegli izteikt to, ko meklējat:

Tagad paplašināsim iegūto noteikumu līdz patvaļīgai pakāpei:

Tātad, formulēsim noteikumu:

Skaitlis ar negatīvu jaudu ir tā paša skaitļa ar pozitīvu pakāpju apgrieztais skaitlis. Bet tajā pašā laikā Bāze nevar būt nulle:(jo nevar dalīt ar).

Apkoposim:

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Kā parasti, neatkarīgu risinājumu piemēri:

Problēmu analīze neatkarīgam risinājumam:

Zinu, zinu, cipari ir biedējoši, bet vienotajā valsts eksāmenā jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumus, ja nevarat tos atrisināt, un eksāmenā jūs iemācīsities ar tiem viegli tikt galā!

Turpināsim paplašināt skaitļu diapazonu, kas “piemērots” kā eksponents.

Tagad apsvērsim racionālie skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?

Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļskaitli, kur un ir veseli skaitļi, un.

Lai saprastu, kas tas ir "daļēja pakāpe", apsveriet daļu:

Paaugstināsim abas vienādojuma puses līdz pakāpei:

Tagad atcerēsimies noteikumu par "no pakāpes līdz pakāpei":

Kāds skaitlis jāpalielina līdz pakāpei, lai iegūtu?

Šis formulējums ir th pakāpes saknes definīcija.

Atgādināšu: skaitļa () th pakāpju sakne ir skaitlis, kas, palielinot līdz pakāpei, ir vienāds ar.

Tas ir, th pakāpju sakne ir apgrieztā darbība, palielinot pakāpē: .

Izrādās, ka. Acīmredzot šo īpašo gadījumu var paplašināt: .

Tagad mēs pievienojam skaitītāju: kas tas ir? Atbildi ir viegli iegūt, izmantojot jaudas-jaudas noteikumu:

Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar izvilkt no visiem skaitļiem.

Neviens!

Atcerēsimies noteikumu: jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz pāra pakāpei, ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, no negatīviem skaitļiem nav iespējams izvilkt pat saknes!

Tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt līdz daļējai pakāpei ar pāra saucēju, tas ir, izteiksmei nav jēgas.

Kā ar izteiksmi?

Bet šeit rodas problēma.

Skaitli var attēlot citu, reducējamu daļu veidā, piemēram, vai.

Un izrādās, ka tā pastāv, bet neeksistē, bet tie ir tikai divi dažādi viena un tā paša numura ieraksti.

Vai cits piemērs: vienreiz, tad varat to pierakstīt. Bet, ja indikatoru pierakstīsim savādāk, mēs atkal nonāksim nepatikšanās: (tas ir, mēs saņēmām pavisam citu rezultātu!).

Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, mēs uzskatām tikai pozitīvs bāzes eksponents ar daļēju eksponentu.

Tātad ja:

• - naturālais skaitlis;
• - vesels skaitlis;

Piemēri:

Racionālie eksponenti ir ļoti noderīgi, lai pārveidotu izteiksmes ar saknēm, piemēram:

5 piemēri praksē

5 apmācību piemēru analīze

Nu, tagad nāk grūtākā daļa. Tagad mēs to izdomāsim pakāpe ar iracionālu eksponentu.

Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādam ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu

Galu galā pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).

Studējot grādus ar naturālajiem, veselajiem un racionālajiem eksponentiem, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos.

Piemēram, pakāpe ar naturālo eksponentu ir skaitlis, kas reizināts pats ar sevi vairākas reizes;

...skaitlis līdz nullei- tas it kā ir skaitlis, kas vienreiz reizināts ar sevi, tas ir, viņi to vēl nav sākuši reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs skaitlis” , proti, skaitlis;

...negatīva vesela skaitļa pakāpe- it kā būtu noticis kāds “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis netika reizināts ar sevi, bet dalīts.

Starp citu, zinātnē bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis.

Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

KUR MĒS ESAM PĀRLIECINĀTI, TU DOSIET! (ja mācēsi risināt šādus piemērus :))

Piemēram:

Izlemiet paši:

Risinājumu analīze:

1. Sāksim ar parasto noteikumu jaudas palielināšanai pakāpē:

PAPILDINĀJUMS

Pakāpes noteikšana

Grāds ir formas izteiksme: , kur:

• — grādu bāze;
• - eksponents.

Grāds ar naturālo rādītāju (n = 1, 2, 3,...)

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm n nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi:

Pakāpe ar veselu eksponentu (0, ±1, ±2,...)

Ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis numurs:

Būvniecība līdz nulles grādiem:

Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē ir tas, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz th pakāpei ir šis.

Ja eksponents ir negatīvs vesels skaitlis numurs:

(jo nevar dalīt ar).

Vēlreiz par nullēm: izteiksme gadījumā nav definēta. Ja tad.

Piemēri:

Jauda ar racionālo eksponentu

• - naturālais skaitlis;
• - vesels skaitlis;

Piemēri:

Pakāpju īpašības

Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes radās šīs īpašības? Pierādīsim tos.

Apskatīsim: kas ir un?

A-prioritāte:

Tātad šīs izteiksmes labajā pusē mēs iegūstam šādu produktu:

Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir:

Q.E.D.

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums : .

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti jābūt tādiem pašiem iemesliem. Tāpēc mēs apvienojam pilnvaras ar bāzi, bet tas paliek atsevišķs faktors:

Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums - tikai spēku reizinājumam!

Nekādā gadījumā to nevar rakstīt.

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Pārgrupēsim šo darbu šādi:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi reizes, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Būtībā to var saukt par "rādītāja izņemšanu no iekavām". Bet jūs nekad to nevarat izdarīt kopumā: !

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet tā galu galā nav taisnība.

Jauda ar negatīvu bāzi.

Līdz šim mēs esam runājuši tikai par to, kādam tam vajadzētu būt rādītājs grādiem. Bet kam vajadzētu būt par pamatu? Pilnvarās dabisks indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .

Patiešām, mēs varam reizināt jebkurus skaitļus ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu spēks?

Piemēram, vai skaitlis ir pozitīvs vai negatīvs? A? ?

Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Mēs atceramies vienkāršo likumu no 6. klases: "mīnus par mīnusu dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam - .

Un tā tālāk bezgalīgi: ar katru nākamo reizināšanu zīme mainīsies. Var formulēt šādus vienkāršus noteikumus:

1. pat grāds, - numurs pozitīvs.
2. Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
3. Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
4. Nulle pret jebkuru jaudu ir vienāda ar nulli.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vai jums izdevās? Šeit ir atbildes:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: galu galā nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Bāze nav vienāda, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs) vairs nav tik vienkāršs. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja mēs to atceramies, tas kļūst skaidrs, kas nozīmē, ka bāze ir mazāka par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. noteikumu: rezultāts būs negatīvs.

Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:

Viss ir kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:

Pirms aplūkojam pēdējo noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

Aprēķiniet izteiksmes:

Risinājumi :

Atgriezīsimies pie piemēra:

Un atkal formula:

Tātad tagad pēdējais noteikums:

Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim to:

Nu, tagad atvērsim iekavas. Cik burtu ir kopā? reizes ar reizinātājiem — ko tas jums atgādina? Tas nav nekas vairāk kā darbības definīcija reizināšana: Tur bija tikai reizinātāji. Tas ir, pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:

Piemērs:

Pakāpe ar iracionālu eksponentu

Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim grādu ar iracionālu eksponentu. Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā pakāpei ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu - galu galā iracionālie skaitļi pēc definīcijas ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir , neracionālie skaitļi ir reāli skaitļi, izņemot racionālos skaitļus).

Studējot grādus ar naturālajiem, veselajiem un racionālajiem eksponentiem, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos. Piemēram, pakāpe ar naturālo eksponentu ir skaitlis, kas reizināts pats ar sevi vairākas reizes; skaitlis līdz nulles pakāpei ir it kā skaitlis, kas reizināts ar sevi vienu reizi, tas ir, viņi to vēl nav sākuši reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl nav pat parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs numurs”, proti, numurs; grāds ar veselu negatīvu eksponentu - it kā būtu noticis kāds “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.

Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā ir grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Tas drīzāk ir tīri matemātisks objekts, ko matemātiķi radīja, lai paplašinātu pakāpes jēdzienu uz visu skaitļu telpu.

Starp citu, zinātnē bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

Tātad, ko mēs darām, ja redzam iracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no tā atbrīvoties! :)

Piemēram:

Izlemiet paši:

1)

2)

3)

Atbildes:

SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS

Grāds sauc par izteiksmi formā: , kur:

Pakāpe ar veselu eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).

Jauda ar racionālo eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir negatīvi un daļskaitļi.

Pakāpe ar iracionālu eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir bezgalīga decimāldaļdaļa vai sakne.

Pakāpju īpašības

Pakāpju pazīmes.

• Negatīvs skaitlis palielināts līdz pat grāds, - numurs pozitīvs.
• Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
• Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
• Nulle ir vienāda ar jebkuru jaudu.
• Jebkurš skaitlis ar nulles pakāpi ir vienāds.

TAGAD JUMS IR VĀRDS...

Kā jums patīk raksts? Rakstiet zemāk komentāros, vai jums tas patika vai nē.

Pastāstiet mums par savu pieredzi, izmantojot grāda rekvizītus.

Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.

Raksti komentāros.

Un veiksmi eksāmenos!

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Viņiem ir vienādas pakāpes, bet pakāpju eksponenti nav vienādi, 2² * 2³, tad rezultāts būs pakāpes bāze ar tādu pašu identisku grādu reizinājuma vārdu bāzi, kas paaugstināta līdz eksponentam, kas vienāds visu reizināto grādu eksponentu summai.

2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Ja pakāpju reizinājuma noteikumiem ir dažādas pakāpes bāzes un eksponenti ir vienādi, piemēram, 2³ * 5³, tad rezultāts būs šo pakāpju bāzu reizinājums, kas palielināts līdz eksponentam, kas vienāds ar šo pašu eksponentu. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Ja reizināmās pakāpes ir vienādas viena ar otru, piemēram, 5³ * 5³, tad rezultāts būs pakāpe ar bāzi, kas vienāda ar šīm identiskajām pakāpju bāzēm, kas palielināta līdz eksponentam, kas vienāds ar pakāpju eksponentu, reizināts ar šo identisko pilnvaru skaits.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Vai cits piemērs ar tādu pašu rezultātu:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Avoti:

• Kas ir grāds ar naturālo eksponentu?
• spēku produkts

Matemātiskās darbības ar pakāpēm var veikt tikai tad, ja eksponentu bāzes ir vienādas un starp tām ir reizināšanas vai dalīšanas zīmes. Eksponenta bāze ir skaitlis, kas tiek palielināts līdz pakāpei.

Instrukcijas

Ja skaitļi dalās viens ar otru (cm 1), tad y (šajā piemērā šis ir skaitlis 3) parādās kā pakāpe, kuru veido, atņemot eksponentus. Turklāt šī darbība tiek veikta tieši: otrais tiek atņemts no pirmā rādītāja. 1. piemērs. Ieviesīsim: (a)b, kur iekavās – a ir bāze, ārējās iekavās – eksponents. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Ja atbilde izrādās skaitlis ar negatīvu pakāpju, tad šāds skaitlis tiek pārvērsts par parastā daļa, kuras skaitītājs ir viens , un saucējā bāze ar eksponentu, kas iegūts no starpības, tikai pozitīvā formā (ar plus zīmi). 2. piemērs. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Pilnvaru sadalījumu var uzrakstīt citā formā, izmantojot daļskaitļa zīmi, nevis kā norādīts šajā solī ar zīmi “:”. Tas nemaina risinājuma principu, viss tiek darīts tieši tāpat, tikai ieraksts tiks veikts ar horizontālu (vai slīpu) daļas zīmi, nevis kolu.Piemērs 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Reizinot identiskas bāzes, kurām ir grādi, grādi tiek pievienoti. Piemērs 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Ja eksponentiem ir dažādas zīmes, tad to saskaitīšanu veic saskaņā ar matemātiskiem likumiem Piemērs 5. (2 )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Ja eksponentu bāzes atšķiras, tad, visticamāk, tos var iegūt vienā formā ar matemātisko pārveidošanu. 6. piemērs. Pieņemsim, ka jāatrod izteiksmes vērtība: (4)2: (2)3. Zinot, ka skaitli četri var attēlot kā divus kvadrātus, šis piemērs tiek atrisināts šādi: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Tālāk, paaugstinot skaitli līdz pakāpei. Ja jau ir grāds, grādu indeksi tiek reizināti viens ar otru: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Noderīgs padoms

Atcerieties, ja dotā bāze šķiet atšķirīga no otrās bāzes, meklējiet matemātisko risinājumu. Tiek doti ne tikai dažādi skaitļi. Ja vien saliktājā nav pieļāvusi drukas kļūdu mācību grāmatā.

Ciparu rakstīšanas jaudas formāts ir saīsināta rakstīšanas forma, kas tiek reizināta ar bāzi. Ar šajā veidlapā uzrādīto skaitli varat veikt tādas pašas darbības kā ar citiem cipariem, tostarp palielināt tos pakāpē. Piemēram, jūs varat paaugstināt skaitļa kvadrātu līdz patvaļīgai pakāpei, un rezultāta iegūšana pašreizējā tehnoloģiju attīstības līmenī nesagādās nekādas grūtības.

Jums būs nepieciešams

• Interneta piekļuve vai Windows kalkulators.

Instrukcijas

Lai palielinātu kvadrātu līdz pakāpei, izmantojiet vispārīgo noteikumu kvadrāta paaugstināšanai līdz pakāpei, kurai jau ir pakāpes eksponents. Ar šo darbību rādītāji tiek reizināti, bet bāze paliek nemainīga. Ja bāze ir apzīmēta ar x, bet sākuma un papildu rādītāji ir a un b, šo noteikumu vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Pakāpju saskaitīšana un atņemšana

Ir skaidrs, ka skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos vienu pēc otra ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2.
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.

Likmes vienādi identisku mainīgo lielumi var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir vienāda ar 5a 2.

Ir arī skaidrs, ka, ja ņem divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāsastāda, pievienojot tos ar to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + 3 summa.

Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divkāršu a kvadrātu, bet gan ar divkāršu a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšrindu zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 — 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Jaudas reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt, tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.

Tādējādi rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot identiskus mainīgos.
Izteiksme būs šādā formā: a 5 b 5 y 3.

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar pakāpju, kas vienāds ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta jauda, ​​kas ir vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summu.

Tātad a n .a m = a m+n .

Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik n jauda;

Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;

Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot pakāpju eksponentus.

Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir negatīvs.

1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.

Ja jūs reizinat divu skaitļu summu un starpību, kas palielināta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grādiem.

Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4.
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8.

Pakāpju dalījums

Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dividendes vai ievietojot tos daļskaitļu formā.

Tādējādi a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.

Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās kā $\frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.

Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..

Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tas ir, $\frac = y$.

Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac = a^n$.

Vai:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus par $\frac $ Atbilde: $\frac $.

2. Samaziniet eksponentus par $\frac$. Atbilde: $\frac$ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 /a 3 un a -3 /a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 /5a 7 un 5a 5 /5a 7 vai 2a 3 /5a 2 un 5/5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.

6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).

7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .

8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/g.

Pakāpju īpašības

Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs sapratīsim grādu īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem eksponentiem un to īpašības tiks apspriestas stundās 8. klasei.

Pakāpei ar naturālo eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus piemēros ar pakāpēm.

Īpašums Nr.1
Spēku produkts

Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un tiek pievienoti pakāpju eksponenti.

a m · a n = a m + n, kur “a” ir jebkurš skaitlis, un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.

Šī pakāpju īpašība attiecas arī uz trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu.

• Vienkāršojiet izteiksmi.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Norādiet to kā grādu.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Norādiet to kā grādu.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru reizināšanu ar vienādām bāzēm. Tas neattiecas uz to pievienošanu.

Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
aprēķināt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243

Īpašums Nr.2
Daļēji grādi

Dalot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.

• Uzrakstiet koeficientu kā pakāpju
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Aprēķināt.

11 3–2 4 2–1 = 11 4 = 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam koeficientu pakāpju īpašību.
3 8: t = 3 4

Atbilde: t = 3 4 = 81

Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.

Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot eksponentu īpašības.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru sadali ar vienādām bāzēm.

Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja jūs aprēķināt (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 = 4

Īpašums Nr.3
Paaugstināt grādu līdz spēkam

Paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, pakāpes bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.

(a n) m = a n · m, kur “a” ir jebkurš skaitlis un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.

Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.

Kā reizināt spēkus

Kā reizināt spēkus? Kuras pilnvaras var reizināt un kuras nevar? Kā reizināt skaitli ar pakāpju?

Algebrā spēku reizinājumu var atrast divos gadījumos:

1) ja grādiem ir vienādas bāzes;

2) ja grādiem ir vienādi rādītāji.

Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze jāatstāj nemainīga un jāsaskaita eksponenti:

Reizinot grādus ar tiem pašiem rādītājiem, kopējo rādītāju var izņemt no iekavām:

Apskatīsim, kā reizināt pilnvaras, izmantojot konkrētus piemērus.

Mērvienība nav rakstīta eksponentā, bet, reizinot pakāpes, tiek ņemta vērā:

Reizinot, var būt jebkurš pakāpju skaits. Jāatceras, ka reizināšanas zīme pirms burta nav jāraksta:

Izteiksmēs vispirms tiek veikta eksponēšana.

Ja jums ir jāreizina skaitlis ar pakāpju, vispirms jāveic kāpināšana un tikai pēc tam reizināšana:

Jaudas reizināšana ar vienādām bāzēm

Šī video apmācība ir pieejama abonējot

Vai jums jau ir abonements? Lai ienāktu

Šajā nodarbībā mēs pētīsim spēku reizināšanu ar līdzīgām bāzēm. Vispirms atcerēsimies pakāpes definīciju un formulēsim teorēmu par vienādības derīgumu . Tad mēs sniegsim piemērus tā pielietojumam uz konkrētiem skaitļiem un pierādīsim to. Teorēmu izmantosim arī dažādu uzdevumu risināšanai.

Tēma: Jauda ar dabisko eksponentu un tā īpašībām

Nodarbība: spēku reizināšana ar vienādām bāzēm (formula)

1. Pamatdefinīcijas

Pamatdefinīcijas:

n- eksponents,

— n skaitļa pakāpe.

2. 1. teorēmas apgalvojums

1. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k vienlīdzība ir patiesa:

Citiem vārdiem sakot: ja A– jebkurš skaitlis; n Un k naturālie skaitļi, tad:

Tātad 1. noteikums:

3. Skaidrojošie uzdevumi

Secinājums:īpaši gadījumi apstiprināja teorēmas Nr.1 ​​pareizību. Pierādīsim to vispārējā gadījumā, tas ir, jebkuram A un jebkura dabiska n Un k.

4. 1. teorēmas pierādījums

Dots skaitlis A- jebkura; cipariem n Un k – dabisks. Pierādīt:

Pierādījums ir balstīts uz pakāpes definīciju.

5. Piemēru risināšana, izmantojot 1. teorēmu

1. piemērs: Uztveriet to kā grādu.

Lai atrisinātu šādus piemērus, mēs izmantosim 1. teorēmu.

un)

6. 1. teorēmas vispārinājums

Šeit izmantots vispārinājums:

7. Piemēru risināšana, izmantojot 1. teorēmas vispārinājumu

8. Dažādu uzdevumu risināšana, izmantojot 1. teorēmu

2. piemērs: Aprēķināt (varat izmantot pamata pilnvaru tabulu).

A) (pēc tabulas)

b)

3. piemērs: Ierakstiet to kā jaudu ar 2. bāzi.

A)

4. piemērs: Nosakiet skaitļa zīmi:

, A - negatīvs, jo eksponents pie -13 ir nepāra.

5. piemērs: Aizstāt (·) ar skaitļa pakāpju ar bāzi r:

Mums ir, tas ir.

9. Rezumējot

1. Dorofejevs G.V., Suvorova S.B., Bunimovičs E.A. un citi Algebra 7. 6. izdevums. M.: Apgaismība. 2010. gads

1. Skolas palīgs (Avots).

1. Parādīt kā spēku:

a B C D E)

3. Ierakstiet kā pakāpju ar 2. bāzi:

4. Nosakiet skaitļa zīmi:

A)

5. Aizstāt (·) ar skaitļa pakāpju ar bāzi r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Pakāpju reizināšana un dalīšana ar vienādiem eksponentiem

Šajā nodarbībā mēs pētīsim pakāpju reizināšanu ar vienādiem eksponentiem. Vispirms atcerēsimies pamata definīcijas un teorēmas par spēku reizināšanu un dalīšanu ar vienādām bāzēm un pilnvaru paaugstināšanu pakāpēs. Pēc tam formulējam un pierādām teorēmas par pakāpju reizināšanu un dalīšanu ar vienādiem eksponentiem. Un tad ar viņu palīdzību mēs atrisināsim vairākas tipiskas problēmas.

Atgādinājums par pamata definīcijām un teorēmām

Šeit a- grāda pamats,

— n skaitļa pakāpe.

1. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k vienlīdzība ir patiesa:

Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, tiek saskaitīti eksponenti, bāze paliek nemainīga.

2. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k, tāds, ka n > k vienlīdzība ir patiesa:

Dalot grādus ar vienādām bāzēm, eksponenti tiek atņemti, bet bāze paliek nemainīga.

3. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k vienlīdzība ir patiesa:

Visas uzskaitītās teorēmas bija par pilnvarām ar vienādām iemeslus, šajā nodarbībā mēs aplūkosim grādus ar to pašu rādītājiem.

Piemēri pakāpju reizināšanai ar vienādiem eksponentiem

Apsveriet šādus piemērus:

Pierakstīsim izteiksmes pakāpes noteikšanai.

Secinājums: No piemēriem var redzēt, ka , bet tas vēl ir jāpierāda. Formulēsim teorēmu un pierādīsim to vispārējā gadījumā, tas ir, jebkuram A Un b un jebkura dabiska n.

4. teorēmas formulēšana un pierādījums

Par jebkuriem cipariem A Un b un jebkura dabiska n vienlīdzība ir patiesa:

Pierādījums 4. teorēma .

Pēc grāda definīcijas:

Tātad mēs to esam pierādījuši .

Lai pakāpju reizinātu ar tiem pašiem eksponentiem, pietiek reizināt bāzes un atstāt eksponentu nemainīgu.

5. teorēmas formulēšana un pierādījums

Formulēsim teorēmu pakāpju dalīšanai ar vienādiem eksponentiem.

Jebkuram numuram A Un b() un jebkura dabiska n vienlīdzība ir patiesa:

Pierādījums 5. teorēma .

Pierakstīsim grāda definīciju:

Teorēmu formulējums vārdos

Tātad, mēs to esam pierādījuši.

Lai sadalītu pakāpes ar vienādiem eksponentiem savā starpā, pietiek sadalīt vienu bāzi ar otru un atstāt eksponentu nemainīgu.

Tipisku problēmu risināšana, izmantojot 4. teorēmu

1. piemērs: Klāt kā spēku produkts.

Lai atrisinātu šādus piemērus, mēs izmantosim 4. teorēmu.

Lai atrisinātu šādu piemēru, atcerieties formulas:

4. teorēmas vispārinājums

4. teorēmas vispārinājums:

Piemēru risināšana, izmantojot vispārinātu 4. teorēmu

Turpinot risināt tipiskas problēmas

2. piemērs: Uzrakstiet to kā produkta jaudu.

3. piemērs: Uzrakstiet to kā pakāpju ar eksponentu 2.

Aprēķinu piemēri

4. piemērs: Aprēķiniet visracionālākajā veidā.

2. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. un citi.Algebra 7.M.: Apgaismība. 2006. gads

2. Skolas palīgs (Avots).

1. Prezentēt kā spēku reizinājumu:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Kā produkta jaudu ierakstiet:

3. Ierakstiet kā pakāpju ar eksponentu 2:

4. Rēķini visracionālākajā veidā.

Matemātikas stunda par tēmu “Varu reizināšana un dalīšana”

Sadaļas: Matemātika

Pedagoģiskais mērķis:

skolēns mācīsies atšķirt spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības ar naturālajiem eksponentiem; piemērot šīs īpašības vienādu bāzu gadījumā;

skolēnam būs iespēja prast veikt pakāpju transformācijas ar dažādām bāzēm un prast veikt transformācijas kombinētos uzdevumos.

Uzdevumi:

organizēt studentu darbu, atkārtojot iepriekš apgūto materiālu;

nodrošināt reprodukcijas līmeni, veicot dažāda veida vingrinājumus;

organizēt skolēnu pašnovērtējuma pārbaudi, izmantojot testus.

Mācību aktivitāšu vienības: pakāpes noteikšana ar naturālo rādītāju; pakāpes sastāvdaļas; privātā definīcija; reizināšanas kombināciju likums.

I. Studentu esošo zināšanu apguves demonstrācijas organizēšana. (1. darbība)

a) Zināšanu atjaunināšana:

2) Formulējiet pakāpes definīciju ar naturālo eksponentu.

a n =a a a a … a (n reizes)

b k =b b b b a… b (k reizes) Pamato atbildi.

II. Studenta pašreizējās pieredzes prasmes pakāpes pašnovērtējuma organizēšana. (2. darbība)

Pašpārbaude: (individuālais darbs divās versijās.)

A1) Norādiet produktu 7 7 7 7 x x x kā jaudu:

A2) Attēlojiet jaudu (-3) 3 x 2 kā produktu

A3) Aprēķiniet: -2 3 2 + 4 5 3

Uzdevumu skaitu ieskaitē izvēlos atbilstoši klases līmeņa sagatavotībai.

Es jums dodu atslēgu pašpārbaudei. Kritēriji: ieskaitīts - nav ieskaitīts.

III. Izglītojošs un praktisks uzdevums (3.solis) + 4.solis (skolēni paši formulēs īpašības)

aprēķināt: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Vienkāršojiet: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Risinot 1) un 2) uzdevumus, skolēni piedāvā risinājumu, un es kā skolotājs organizēju stundu, lai atrastu veidu, kā vienkāršot pilnvaras, reizinot ar vienādām bāzēm.

Skolotājs: izdomājiet veidu, kā vienkāršot pilnvaras, reizinot ar tām pašām bāzēm.

Klasterī tiek parādīts ieraksts:

Nodarbības tēma ir formulēta. Pilnvaru reizināšana.

Skolotājs: izdomājiet likumu, kā sadalīt pilnvaras ar vienādām bāzēm.

Pamatojums: kāda darbība tiek izmantota, lai pārbaudītu sadalīšanu? a 5: a 3 = ? ka a 2 a 3 = a 5

Atgriežos pie diagrammas - klasteris un pievienoju ierakstam - .. dalot atņemam un pievienojam nodarbības tēmu. ...un grādu sadalījums.

IV. Zināšanu robežu paziņošana studentiem (kā minimums un kā maksimums).

Skolotājs: šīsdienas nodarbības minimālais uzdevums ir iemācīties pielietot spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības ar vienādām bāzēm, bet maksimālais uzdevums ir pielietot reizināšanu un dalīšanu kopā.

Mēs rakstām uz tāfeles : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Jauna materiāla apguves organizācija. (5. darbība)

a) Pēc mācību grāmatas: Nr.403 (a, c, e) uzdevumi ar dažādu formulējumu

Nr.404 (a, d, f) patstāvīgais darbs, tad organizēju savstarpējo pārbaudi, dodu atslēgas.

b) Kādai m vērtībai ir spēkā vienādība? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Uzdevums: izdomājiet līdzīgus sadalīšanas piemērus.

c) Nr. 417 (a), Nr. 418 (a) Lamatas skolēniem: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Apgūtā apkopošana, diagnostiskā darba veikšana (kas mudina skolēnu, nevis skolotāju apgūt šo tēmu) (6. solis)

Diagnostikas darbs.

Pārbaude(novietojiet atslēgas mīklas aizmugurē).

Uzdevuma iespējas: attēlot koeficientu x 15 kā pakāpju: x 3; kā jaudu attēlo reizinājumu (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; kuram m ir spēkā vienādība a 16 a m = a 32? atrast izteiksmes vērtību h 0: h 2 pie h = 0,2; aprēķiniet izteiksmes vērtību (5 2 5 0) : 5 2 .

Nodarbības kopsavilkums. Atspulgs. Es sadalu klasi divās grupās.

Atrodiet argumentus I grupā: par labu pakāpes īpašību zināšanai, un II grupa - argumentus, kas teiks, ka jūs varat iztikt bez īpašībām. Mēs uzklausām visas atbildes un izdarām secinājumus. Nākamajās nodarbībās varat piedāvāt statistikas datus un izsaukt rubriku “Tas ir neticami!”

Vidēji cilvēks savas dzīves laikā apēd 32 10 2 kg gurķu.

Lapsene spēj veikt 3,2 10 2 km nepārtrauktu lidojumu.

Stikla plaisāšanas gadījumā plaisa izplatās ar ātrumu aptuveni 5 10 3 km/h.

Varde savas dzīves laikā apēd vairāk nekā 3 tonnas odu. Izmantojot grādu, rakstiet kg.

Par visražīgākajām tiek uzskatītas okeāna zivis – mēness (Mola mola), kas vienā nārsta reizē izdēj līdz 300 000 000 ikru ar diametru aptuveni 1,3 mm. Uzrakstiet šo skaitli, izmantojot jaudu.

VII. Mājasdarbs.

Vēsturiska atsauce. Kādus skaitļus sauc par Fermā skaitļiem.

P.19. Nr.403, Nr.408, Nr.417

Lietotas grāmatas:

Mācību grāmata "Algebra-7", autori Yu.N. Makaričevs, N.G. Mindjuks et al.

Didaktiskais materiāls 7. klasei, L.V. Kuzņecova, L.I. Zvavičs, S.B. Suvorovs.

Matemātikas enciklopēdija.

Žurnāls "Kvant".

Pakāpju īpašības, formulējumi, pierādījumi, piemēri.

Pēc skaitļa jaudas noteikšanas ir loģiski runāt pakāpes īpašības. Šajā rakstā mēs sniegsim skaitļa pakāpju pamatīpašības, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem. Šeit mēs nodrošināsim visu grādu īpašību pierādījumus, kā arī parādīsim, kā šīs īpašības tiek izmantotas, risinot piemērus.

Lapas navigācija.

Pakāpju īpašības ar naturālajiem eksponentiem

Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu, jauda a n ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Pamatojoties uz šo definīciju, un arī izmantojot reālu skaitļu reizināšanas īpašības, mēs varam iegūt un pamatot sekojošo pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu:

pakāpes galvenā īpašība a m ·a n =a m+n, tās vispārinājums a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

koeficientu pakāpju īpašība ar identiskām bāzēm a m:a n =a m−n ;

reizinājuma pakāpes īpašība (a·b) n =a n ·b n, tās paplašinājums (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

koeficienta īpašība naturālajai pakāpei (a:b) n =a n:b n ;

pakāpes paaugstināšana līdz pakāpei (a m) n =a m·n, tās vispārinājums (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·…·n k;

pakāpes salīdzinājums ar nulli:

• ja a>0, tad a n>0 jebkuram naturālam skaitlim n;
• ja a=0, tad a n=0;
• ja a 2·m >0 , ja a 2·m−1 n ;
• ja m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n, tad 0m n un a>0 nevienādība a m >a n ir patiesa.

Tūlīt atzīmēsim, ka visas rakstiskās vienlīdzības ir identisks ievērojot norādītos nosacījumus, var apmainīt gan to labās, gan kreisās daļas. Piemēram, galvenā īpašība daļai a m ·a n =a m+n ar izteicienu vienkāršošana bieži lietots formā a m+n =a m ·a n .

Tagad aplūkosim katru no tiem sīkāk.

Sāksim ar divu pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājuma īpašību, ko sauc grāda galvenais īpašums: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa.

Pierādīsim grāda galveno īpašību. Pēc pakāpju definīcijas ar naturālu eksponentu, kā reizinājumu var uzrakstīt pakāpju reizinājumu ar vienādām formas a m ·a n bāzēm. . Pateicoties reizināšanas īpašībām, iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā , un šis reizinājums ir skaitļa a pakāpe ar naturālo eksponentu m+n, tas ir, a m+n. Tas pabeidz pierādījumu.

Sniegsim piemēru, kas apstiprina grāda galveno īpašību. Ņemsim grādus ar vienādām bāzēm 2 un naturālajām pakāpēm 2 un 3, izmantojot grādu pamatīpašību, varam uzrakstīt vienādību 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Pārbaudīsim tā derīgumu, aprēķinot izteiksmju 2 2 · 2 3 un 2 5 vērtības. Veicot eksponenci, mums ir 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 un 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , jo mēs iegūstam vienādas vērtības, tad vienādība 2 2 · 2 3 =2 5 ir pareizs, un tas apstiprina grāda galveno īpašību.

Pakāpes pamatīpašību, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var vispārināt ar trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem. Tātad jebkuram naturālu skaitļu n 1 , n 2 , …, n k skaitlim k ir patiesa vienādība a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Piemēram, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Mēs varam pāriet uz nākamo spēku īpašību ar dabisko eksponentu - koeficientu pakāpju īpašība ar vienādām bāzēm: jebkuram reālam skaitlim, kas nav nulle, un patvaļīgiem naturāliem skaitļiem m un n, kas apmierina nosacījumu m>n, vienādība a m:a n =a m−n ir patiesa.

Pirms šīs īpašības pierādījuma iesniegšanas, pārrunāsim formulējuma papildu nosacījumu nozīmi. Nosacījums a≠0 ir nepieciešams, lai izvairītos no dalīšanas ar nulli, jo 0 n =0, un, iepazīstoties ar dalīšanu, vienojāmies, ka nevar dalīt ar nulli. Nosacījums m>n tiek ieviests, lai mēs netiktu tālāk par naturālajiem eksponentiem. Patiešām, m>n eksponentam a m-n ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tas būs vai nu nulle (kas notiek m-n), vai negatīvs skaitlis (kas notiek ar m m-n ·a n =a (m-n) +n =a m. No iegūtās vienādības a m−n ·a n =a m un no saiknes starp reizināšanu un dalīšanu izriet, ka m−n ir pakāpju a m un n koeficients. Tas pierāda pakāpju koeficientu īpašību ar tās pašas bāzes.

Sniegsim piemēru. Ņemsim divus grādus ar vienādām bāzēm π un naturālajiem eksponentiem 5 un 2, vienādība π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 atbilst pakāpes aplūkotajai īpašībai.

Tagad apsvērsim produkta jaudas īpašība: jebkuru divu reālu skaitļu a un b reizinājuma naturālā jauda n ir vienāda ar pakāpju a n un b n reizinājumu, tas ir, (a·b) n =a n ·b n .

Patiešām, pēc pakāpes definīcijas ar dabisku eksponentu mums ir . Pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, pēdējo reizinājumu var pārrakstīt kā , kas ir vienāds ar a n · b n .

Šeit ir piemērs: .

Šis īpašums attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājuma jaudu. Tas nozīmē, ka k faktoru reizinājuma naturālās pakāpes īpašību n raksta kā (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Skaidrības labad mēs parādīsim šo īpašumu ar piemēru. Trīs faktoru reizinājumam ar pakāpju 7 mums ir .

Šis īpašums ir koeficienta īpašums natūrā: reālo skaitļu a un b, b≠0 attiecība pret naturālo pakāpju n ir vienāda ar pakāpju a n un b n koeficientu, tas ir, (a:b) n =a n:b n.

Pierādīšanu var veikt, izmantojot iepriekšējo īpašumu. Tātad (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n, un no vienādības (a:b) n ·b n =a n izriet, ka (a:b) n ir koeficients sadalījums a n uz bn.

Uzrakstīsim šo rekvizītu, piemēram, izmantojot konkrētus skaitļus: .

Tagad izteiksim to īpašība paaugstināt varu par varu: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n pakāpē a m līdz n pakāpei ir vienāda ar skaitļa a pakāpju ar eksponentu m·n, tas ir, (a m) n =a m·n.

Piemēram, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Jaudas līdz pakāpei īpašības pierādījums ir šāda vienādību ķēde: .

Aplūkojamo īpašumu var paplašināt līdz pakāpei līdz pakāpei utt. Piemēram, jebkuriem naturāliem skaitļiem p, q, r un s, vienādība . Lai iegūtu lielāku skaidrību, sniegsim piemēru ar konkrētiem skaitļiem: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Atliek pakavēties pie pakāpju salīdzināšanas īpašībām ar dabisko eksponentu.

Sāksim, pierādot nulles un pakāpes salīdzināšanas īpašību ar naturālo eksponentu.

Vispirms pierādīsim, ka a n >0 jebkuram a>0.

Divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kā izriet no reizināšanas definīcijas. Šis fakts un reizināšanas īpašības liecina, ka jebkura skaita pozitīvu skaitļu reizināšanas rezultāts arī būs pozitīvs skaitlis. Un skaitļa a pakāpe ar naturālo eksponentu n pēc definīcijas ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Šie argumenti ļauj mums apgalvot, ka jebkurai pozitīvai bāzei a pakāpe a n ir pozitīvs skaitlis. Pierādītās īpašības dēļ 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 un .

Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkuram naturālam skaitlim n ar a=0 a n pakāpe ir nulle. Patiešām, 0 n =0·0·…·0=0. Piemēram, 0 3 = 0 un 0 762 = 0.

Pāriesim pie negatīvām grādu bāzēm.

Sāksim ar gadījumu, kad eksponents ir pāra skaitlis, apzīmēsim to kā 2·m, kur m ir naturāls skaitlis. Tad . Saskaņā ar negatīvo skaitļu reizināšanas noteikumu katrs no formas a·a reizinājums ir vienāds ar skaitļu a un a absolūto vērtību reizinājumu, kas nozīmē, ka tas ir pozitīvs skaitlis. Tāpēc arī produkts būs pozitīvs un grāds a 2·m. Sniegsim piemērus: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 un .

Visbeidzot, ja bāze a ir negatīvs skaitlis un eksponents ir nepāra skaitlis 2 m−1, tad . Visi reizinājumi a·a ir pozitīvi skaitļi, šo pozitīvo skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs, un to reizinot ar atlikušo negatīvo skaitli a iegūst negatīvu skaitli. Pateicoties šai īpašībai (−5) 3 17 n n ir n patieso nevienādību a kreisās un labās puses reizinājums nevienādību īpašības, arī pierādāma formas a n n nevienādība ir patiesa. Piemēram, šīs īpašības dēļ nevienādības 3 7 7 un .

Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām pilnvaru īpašībām ar dabiskajiem eksponentiem. Formulēsim to. No diviem pakāpēm, kuru naturālie eksponenti un identiskas pozitīvas bāzes ir mazākas par vienu, tas, kura eksponents ir mazāks, ir lielāks; un no diviem pakāpēm, kuru naturālie eksponenti un identiskas bāzes ir lielākas par vienu, tas, kura eksponents ir lielāks, ir lielāks. Pāriesim pie šī īpašuma pierādīšanas.

Pierādīsim, ka m>n un 0m n . Lai to izdarītu, mēs pierakstām starpību a m − a n un salīdzinām ar nulli. Ierakstītā starpība pēc n izņemšanas iekavās būs a n ·(a m−n−1) . Rezultātā iegūtais reizinājums ir negatīvs kā pozitīva skaitļa a n un negatīva skaitļa a m−n −1 reizinājums (a n ir pozitīvs kā pozitīva skaitļa dabiskais spēks, un starpība a m−n −1 ir negatīva, jo m−n >0 sākotnējā nosacījuma m>n dēļ, no kā izriet, ka tad, kad 0m−n ir mazāks par vienību). Tāpēc a m −a n m n , kas ir tas, kas bija jāpierāda. Kā piemēru mēs sniedzam pareizo nevienlīdzību.

Atliek pierādīt īpašuma otro daļu. Pierādīsim, ka m>n un a>1 a m >a n ir patiess. Atšķirība a m −a n pēc n izņemšanas no iekavām iegūst formu a n ·(a m−n −1) . Šis reizinājums ir pozitīvs, jo a>1 grāds a n ir pozitīvs skaitlis, un starpība a m−n −1 ir pozitīvs skaitlis, jo m−n>0 sākotnējā nosacījuma dēļ, un a>1 grāds a m-n ir lielāks par vienu . Līdz ar to a m −a n >0 un a m >a n , kas ir tas, kas bija jāpierāda. Šo īpašību ilustrē nevienlīdzība 3 7 > 3 2.

Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem

Tā kā pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad visas pakāpju īpašības ar pozitīviem veseliem skaitļiem precīzi sakrīt ar pakāpju īpašībām ar naturālajiem eksponentiem, kas uzskaitīti un pierādīti iepriekšējā punktā.

Mēs definējām grādu ar veselu negatīvu eksponentu, kā arī pakāpi ar nulles eksponentu tā, lai visas pakāpes īpašības ar naturālajiem eksponentiem, kas izteiktas ar vienādībām, paliktu spēkā. Tāpēc visas šīs īpašības ir derīgas gan nulles eksponentiem, gan negatīvajiem eksponentiem, savukārt, protams, pakāpju bāzes atšķiras no nulles.

Tātad jebkuriem reāliem skaitļiem un skaitļiem, kas nav nulle, a un b, kā arī veseliem skaitļiem m un n, ir taisnība: Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a · b) n =a n · b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n =a m·n ;
• ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, a un b ir pozitīvi skaitļi, un a n n un a −n >b −n ;
• ja m un n ir veseli skaitļi un m>n, tad 0m n un a>1 pastāv nevienādība a m >a n.

Ja a=0, pakāpēm a m un a n ir jēga tikai tad, ja gan m, gan n ir pozitīvi veseli skaitļi, tas ir, naturāli skaitļi. Tātad tikko uzrakstītās īpašības ir spēkā arī gadījumos, kad a=0 un skaitļi m un n ir pozitīvi veseli skaitļi.

Pierādīt katru no šīm īpašībām nav grūti, lai to izdarītu, pietiek izmantot grādu definīcijas ar naturālo un veselo skaitļu eksponentiem, kā arī darbību īpašības ar reāliem skaitļiem. Piemēram, pierādīsim, ka jauda pret jaudu ir spēkā gan pozitīviem veseliem skaitļiem, gan nepozitīviem veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, jums jāparāda, ka, ja p ir nulle vai naturāls skaitlis un q ir nulle vai naturāls skaitlis, tad vienādības (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) un (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Darīsim to.

Pozitīviem p un q vienādība (a p) q =a p·q tika pierādīta iepriekšējā punktā. Ja p=0, tad mums ir (a 0) q =1 q =1 un a 0·q =a 0 =1, no kurienes (a 0) q =a 0·q. Līdzīgi, ja q=0, tad (a p) 0 =1 un a p·0 =a 0 =1, no kurienes (a p) 0 =a p·0. Ja gan p=0, gan q=0, tad (a 0) 0 =1 0 =1 un a 0·0 =a 0 =1, no kurienes (a 0) 0 =a 0,0.

Tagad mēs pierādīsim, ka (a −p) q =a (−p)·q . Pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu veselu eksponentu . Pēc koeficientu īpašībām, kas mums ir . Tā kā 1 p =1·1·…·1=1 un , tad . Pēdējā izteiksme pēc definīcijas ir formas a −(p·q) pakāpe, kuru reizināšanas noteikumu dēļ var uzrakstīt kā (−p)·q.

Tāpat .

UN .

Izmantojot to pašu principu, visas pārējās pakāpes īpašības var pierādīt ar veselu eksponentu, kas uzrakstīts vienādību formā.

Priekšpēdējā no reģistrētajām īpašībām ir vērts pakavēties pie nevienādības a −n >b −n pierādījuma, kas ir spēkā jebkuram negatīvam veselam skaitlim −n un jebkuram pozitīvam a un b, kuram ir izpildīts nosacījums a. . Pierakstīsim un pārveidosim atšķirību starp šīs nevienlīdzības kreiso un labo pusi: . Tā kā ar nosacījumu a n n , tāpēc b n −a n >0 . Produkts a n · b n ir pozitīvs arī kā pozitīvo skaitļu a n un b n reizinājums. Tad iegūtā daļa ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu b n −a n un a n · b n koeficients. Tāpēc, no kurienes a −n >b −n , kas ir tas, kas bija jāpierāda.

Pēdējais pakāpju īpašība ar veseliem eksponentiem tiek pierādīta tāpat kā līdzīga pakāpju īpašība ar naturālajiem eksponentiem.

Pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem

Mēs definējām grādu ar daļēju eksponentu, paplašinot pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Citiem vārdiem sakot, pakāpēm ar daļskaitļu eksponentiem ir tādas pašas īpašības kā pakāpēm ar veseliem skaitļiem. Proti:

1. īpašība pilnvaru reizinājumam ar vienādām bāzēm ja a>0, un ja un, tad a≥0;
2. koeficientu pakāpju īpašība ar vienādām bāzēm ja a>0;
3. produkta īpašība uz daļskaitli ja a>0 un b>0, un ja un, tad a≥0 un (vai) b≥0;
4. koeficienta īpašība uz daļskaitli ja a>0 un b>0, un, ja , tad a≥0 un b>0;
5. pakāpes īpašība ja a>0, un ja un, tad a≥0;
6. pakāpju salīdzināšanas īpašība ar vienādiem racionālajiem eksponentiem: jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b, a 0 nevienādība a p p ir patiesa, un p p > b p ;
7. pakāpju salīdzināšanas īpašība ar racionālajiem eksponentiem un vienādām bāzēm: racionālajiem skaitļiem p un q, p>q 0p q, bet a>0 – nevienādību a p >a q.

Pakāpju īpašību pierādījums ar daļskaitļa eksponentiem balstās uz pakāpes definīciju ar daļskaitli, uz n-tās pakāpes aritmētiskās saknes īpašībām un pakāpju īpašībām ar veselu eksponentu. Sniegsim pierādījumus.

Pēc jaudas definīcijas ar daļēju eksponentu un , tad . Aritmētiskās saknes īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības. Turklāt, izmantojot pakāpes īpašību ar veselu eksponentu, mēs iegūstam , no kura pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu mēs iegūstam , un iegūtās pakāpes rādītāju var pārveidot šādi: . Tas pabeidz pierādījumu.

Otrā pakāpju īpašība ar daļējiem eksponentiem tiek pierādīta absolūti līdzīgā veidā:


Atlikušās vienādības tiek pierādītas, izmantojot līdzīgus principus:


Pāriesim pie nākamā īpašuma pierādīšanas. Pierādīsim, ka jebkuram pozitīvam a un b, a 0 nevienādība a p p ir patiesa, un p p > b p . Racionālo skaitli p rakstīsim kā m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Nosacījumi p 0 šajā gadījumā būs attiecīgi līdzvērtīgi nosacījumiem m 0. Ja m>0 un am m . No šīs nevienlīdzības pēc sakņu īpašības mēs iegūstam, un, tā kā a un b ir pozitīvi skaitļi, tad, pamatojoties uz pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu, iegūto nevienādību var pārrakstīt kā, tas ir, a p p .

Līdzīgi m m >b m , no kurienes, tas ir, a p >b p .

Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajiem īpašumiem. Pierādīsim, ka racionālajiem skaitļiem p un q, p>q pie 0p q, un a>0 – nevienādība a p >a q. Mēs vienmēr varam samazināt racionālos skaitļus p un q līdz kopsaucējam, pat ja mēs iegūstam parastās daļskaitļus un , kur m 1 un m 2 ir veseli skaitļi, un n ir naturāls skaitlis. Šajā gadījumā nosacījums p>q atbildīs nosacījumam m 1 >m 2, kas izriet no parasto daļskaitļu ar vienādiem saucējiem salīdzināšanas noteikuma. Tad pēc īpašības salīdzināt grādus ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem 0m 1 m 2 un a>1 nevienādība a m 1 >a m 2. Šīs sakņu īpašību nevienlīdzības var attiecīgi pārrakstīt kā Un . Un grāda definīcija ar racionālu eksponentu ļauj pāriet uz nevienlīdzību un attiecīgi. No šejienes izdarām galīgo secinājumu: p>q un 0p q , un a>0 – nevienādību a p >a q .

Pakāpju īpašības ar iracionāliem eksponentiem

No tā, kā tiek definēts grāds ar iracionālu eksponentu, mēs varam secināt, ka tam piemīt visas pakāpes īpašības ar racionāliem eksponentiem. Tātad jebkuram a>0, b>0 un neracionālajiem skaitļiem p un q ir taisnība spēku īpašības ar iracionāliem eksponentiem:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b, a 0 nevienādība a p p ir patiesa, un p p > b p ;
7. iracionāliem skaitļiem p un q, p>q pie 0p q, bet a>0 – nevienādība a p >a q.

No tā mēs varam secināt, ka pakāpēm ar jebkuriem reāliem eksponentiem p un q pie a>0 ir vienādas īpašības.

• Algebra - 10. klase. Trigonometriskie vienādojumi Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšana" Papildu materiāli Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visi materiāli […]
• Atklāts konkurss uz amatu “PĀRDEVĒJS - KONSULTANTS”: Pienākumi: mobilo telefonu un mobilo sakaru piederumu tirdzniecība, klientu apkalpošana Beeline, Tele2, MTS abonentiem, Beeline un Tele2 tarifu plānu un pakalpojumu pieslēgšana, MTS konsultācijas [… ]
• Paralēles formula Paralēlskaldnis ir daudzskaldnis ar 6 skaldnēm, no kurām katra ir paralelograms. Kuboīds ir paralēlskaldnis, kura katra mala ir taisnstūris. Jebkuru paralēlskaldni raksturo 3 […]
• Pieņemt likumu par ģimenes īpašumiem Pieņemt federālo likumu par bezmaksas zemes gabala piešķiršanu katram Krievijas Federācijas pilsonim vai pilsoņu ģimenei ģimenes īpašuma izveidei uz tā ar šādiem nosacījumiem: 1. Zemes gabals ir atvēlēts […]
• Patērētāju tiesību aizsardzības biedrība Astana Lai saņemtu PIN kodu, lai piekļūtu šim dokumentam mūsu mājaslapā, nosūtiet SMS ar tekstu zan uz numuru GSM operatoru (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abonenti līdz plkst. nosūtot SMS uz numuru, […]
• BRjanskas apgabala GOSTEKHNADZORAS PĀRBAUDE Valsts nodevas samaksas kvīts (lejupielāde-12,2 kb) Reģistrācijas pieteikumi fiziskām personām (Lejupielādēt-12 kb) Reģistrācijas pieteikumi juridiskām personām (Lejupielādēt-11,4 kb) 1. Reģistrējot jaunu automašīnu: 1.pieteikums 2.pase […]
• N UN NN RAKSTĪBA DAŽĀDĀS RUNAS DAĻĀS S.G.ZELINSKAJA DIDAKTISKS MATERIĀLS Teorētiskais uzdevums 1. Kad nn raksta īpašības vārdos? 2. Nosauc šo noteikumu izņēmumus. 3. Kā atšķirt verbālo īpašības vārdu ar galotni -n- no divdabja ar […]
• Pivoevs V.M. Zinātnes filozofija un metodoloģija: mācību grāmata maģistrantiem un maģistrantiem Petrozavodska: PetrSU izdevniecība, 2013. - 320 lpp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Mācību grāmata paredzēta vecāko kursu studentiem, maģistrantiem un maģistrantiem sociālo un […]