Nodarbības tēma: Apļa vienādojums

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši: Atvasināt riņķa vienādojumu, uzskatot šī uzdevuma risinājumu kā vienu no koordinātu metodes izmantošanas iespējām.

Būt spējīgam:

– Atpazīt riņķa vienādojumu, izmantojot piedāvāto vienādojumu, iemācīt skolēniem sastādīt apļa vienādojumu, izmantojot gatavu zīmējumu, un konstruēt apli, izmantojot doto vienādojumu.

Izglītojoši : Kritiskās domāšanas veidošanās.

Attīstošs : Attīstīt prasmi sastādīt algoritmiskus norādījumus un spēju rīkoties saskaņā ar piedāvāto algoritmu.

Būt spējīgam:

– Skatiet problēmu un izklāstiet veidus, kā to atrisināt.

– Īsi izsakiet savas domas mutiski un rakstiski.

Nodarbības veids: jaunu zināšanu apguve.

Aprīkojums Kabīne: dators, multimediju projektors, ekrāns.

Nodarbības plāns:

1. Atklāšanas runa – 3 min.

2. Zināšanu papildināšana – 2 min.

3. Problēmas izklāsts un tās risinājums – 10 min.

4. Jauna materiāla frontālā stiprināšana – 7 min.

5. Patstāvīgs darbs grupās – 15 min.

6. Darba prezentācija: diskusija – 5 min.

7. Nodarbības kopsavilkums. Mājasdarbs- 3 min.

Nodarbību laikā

Šī posma mērķis: Skolēnu psiholoģiskais noskaņojums; Iesaistot visus studentus izglītības process, radot veiksmes situāciju.

1. Laika organizēšana.

3 minūtes

Puiši! Ar apli iepazinies 5. un 8. klasē. Ko tu par viņu zini?

Jūs zināt daudz, un šos datus var izmantot, lai atrisinātu ģeometriskās problēmas. Bet, lai atrisinātu problēmas, kurās tiek izmantota koordinātu metode, ar to nepietiek.Kāpēc?

Pilnīga taisnība.

Tāpēc šodienas nodarbības galvenais mērķis ir atvasināt riņķa vienādojumu no dotās taisnes ģeometriskajām īpašībām un izmantot to ģeometrisko uzdevumu risināšanai.

Ļaujiet tai ietnodarbības moto būs Vidusāzijas enciklopēdista Al-Biruni vārdi: “Zināšanas ir izcilākā no mantām. Visi uz to tiecas, bet tas nenāk pats no sevis.

Pierakstiet nodarbības tēmu piezīmju grāmatiņā.

Apļa definīcija.

Rādiuss.

Diametrs.

Akords. utt.

Mēs vēl nezinām vispārējs skats apļa vienādojumi.

Studenti uzskaita visu, ko viņi zina par loku.

2. slaids

3. slaids

Šī posma mērķis ir iegūt priekšstatu par studentu materiāla asimilācijas kvalitāti un noteikt pamatzināšanas.

2. Zināšanu atjaunināšana.

2 minūtes

Atvasinot apļa vienādojumu jums būs nepieciešama jau zināmā apļa definīcija un formula, kas ļauj atrast attālumu starp diviem punktiem, izmantojot to koordinātas.Atcerēsimies šos faktus /Pmateriāla atkārtošana, iepriekš studējis/:

– Pierakstiet formulu, kā atrast segmenta viduspunkta koordinātas.

– Pierakstiet formulu vektora garuma aprēķināšanai.

– Pierakstiet formulu attāluma starp punktiem noteikšanai (segmenta garums).

Labo ierakstus...

Ģeometriskā iesildīšanās.

Tiek doti punktiA (-1;7) UnIn (7; 1).

Aprēķināt nogriežņa AB viduspunkta un tā garuma koordinātas.

Pārbauda izpildes pareizību, labo aprēķinus...

Viens skolēns ir pie tāfeles, bet pārējie raksta formulas kladēs.

Tiek saukts aplis ģeometriskā figūra, kas sastāv no visiem punktiem, kas atrodas noteiktā attālumā no konkrētā punkta.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

Aprēķināt: C (3; 4)

| AB| = 10

AR svins 4

5. slaids

3. Jaunu zināšanu veidošana.

12 minūtes

Mērķis: jēdziena – apļa vienādojuma veidošana.

Atrisiniet problēmu:

IN taisnstūra sistēma koordinātas, tiek izveidots aplis ar centru A(x;y). M(x; y) - patvaļīgs apļa punkts. Atrodiet apļa rādiusu.

Vai jebkura cita punkta koordinātas apmierinās šo vienlīdzību? Kāpēc?

Kvadrātēsim abas vienādojuma puses.Rezultātā mums ir:

r² =(x – x)²+(y – y)²-apļa vienādojums, kur (x;y) ir apļa centra koordinātas, (x;y) ir patvaļīga punkta koordinātas uz apļa r ir apļa rādiuss.

Atrisiniet problēmu:

Kāds būs apļa vienādojums ar tā centru sākuma punktā?

Tātad, kas jums jāzina, lai sastādītu apļa vienādojumu?

Piedāvājiet algoritmu apļa vienādojuma sastādīšanai.

Secinājums: ...pierakstiet to savā piezīmju grāmatiņā.

Rādiuss ir segments, kas savieno apļa centru ar patvaļīgu punktu, kas atrodas uz apļa. Tāpēc r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

Jebkurš apļa punkts atrodas uz šī apļa.

Studenti veic piezīmes piezīmju grāmatiņās.

(0;0) - apļa centra koordinātas.

x²+y²=r², kur r ir apļa rādiuss.

Apļa centra koordinātas, rādiuss, jebkura apļa punkta...

Viņi piedāvā algoritmu ...

Pierakstiet algoritmu piezīmju grāmatiņā.

6. slaids

7. slaids

8. slaids

Skolotājs ieraksta vienlīdzību uz tāfeles.

9. slaids

4. Primārā konsolidācija.

23 minūtes

Mērķis:studentu veiktā tikko apgūtā materiāla reproducēšana, lai novērstu izveidoto ideju un koncepciju zudumu. Jaunu zināšanu, ideju, uz tām balstītu koncepciju nostiprināšanalietojumprogrammas.

SAULES kontrole

Iegūtās zināšanas pielietosim šādu uzdevumu risināšanai.

Uzdevums: No piedāvātajiem vienādojumiem nosauciet skaitļus tiem, kas ir apļa vienādojumi. Un, ja vienādojums ir apļa vienādojums, tad nosauciet centra koordinātas un norādiet rādiusu.

Ne katrs otrās pakāpes vienādojums ar diviem mainīgajiem definē apli.

4x²+y²=4-elipses vienādojums.

x²+y²=0-punkts.

x²+y²=-4-šis vienādojums nedefinē nevienu skaitli.

Puiši! Kas jāzina, lai uzrakstītu apļa vienādojumu?

Atrisiniet problēmu Nr.966 245.lpp (mācību grāmata).

Skolotājs aicina skolēnu pie tāfeles.

Vai problēmas izklāstā sniegtie dati ir pietiekami, lai izveidotu apļa vienādojumu?

Uzdevums:

Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs atrodas sākumā un diametrs 8.

Uzdevums : uzzīmējiet apli.

Vai centram ir koordinātas?

Nosakiet rādiusu... un izveidojiet

Problēma 243. lpp (mācību grāmata) tiek analizēta mutiski.

Izmantojot problēmas risinājuma plānu no 243. lappuses, atrisiniet problēmu:

Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs atrodas punktā A(3;2), ja aplis iet caur punktu B(7;5).

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - apļa vienādojums; (5;3),r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - apļa vienādojums; (1;0),r=7.

3) x²+y²=7 - apļa vienādojums (0;0),r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - apļa vienādojums; (-3;8),r=√2.

5) 4x²+y²=4 nav apļa vienādojums.

6) x²+y²=0- nav apļa vienādojums.

7) x²+y²=-4- nav apļa vienādojums.

Zināt apļa centra koordinātas.

Rādiusa garums.

Apļa vispārējā vienādojumā aizstājiet centra koordinātas un rādiusa garumu.

Atrisināt uzdevumu Nr.966 245.lpp (mācību grāmata).

Ir pietiekami daudz datu.

Viņi atrisina problēmu.

Tā kā apļa diametrs ir divreiz lielāks par tā rādiusu, tad r=8÷2=4. Tāpēc x²+y²=16.

Veidojiet apļus

Darbs pēc mācību grāmatas. Problēma 243. lpp.

Dots: A(3;2) ir apļa centrs; В(7;5)є(А;r)

Atrast: apļa vienādojums

Risinājums: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(x –3)²+(y –2)²=25

Atbilde: (x –3)²+(y –2)²=25

10.-13. slaids

Tipisku problēmu risināšana, risinājuma izrunāšana skaļā runā.

Skolotājs aicina vienu studentu pierakstīt iegūto vienādojumu.

Atgriezties uz 9. slaidu

Šīs problēmas risināšanas plāna apspriešana.

Slidkalniņš. 15. Skolotājs aicina vienu skolēnu pie tāfeles, lai atrisinātu šo problēmu.

16. slaids.

17. slaids.

5. Nodarbības kopsavilkums.

5 minūtes

Pārdomas par aktivitātēm nodarbībā.

Mājas darbs: 3. §, 91. rindkopa, Kontroles jautājumi №16,17.

Uzdevumi Nr.959(b,d,d),967.

Papildu vērtēšanas uzdevums (problēmuzdevums): Izveidojiet apli, kas dots ar vienādojumu

x²+2x+y²-4y=4.

Par ko mēs runājām klasē?

Ko tu gribēji iegūt?

Kāds bija nodarbības mērķis?

Kādas problēmas mums ļauj atrisināt mūsu “atklājums”?

Cik daudzi no jums domā, ka esat sasnieguši skolotāja izvirzīto mērķi stundā 100%, 50%; nesasniedza mērķi...?

Novērtēšana.

Pierakstiet mājasdarbu.

Skolēni atbild uz skolotāja uzdotajiem jautājumiem. Veikt savu darbību pašanalīzi.

Rezultāts un tā sasniegšanas metodes skolēniem jāizsaka vārdos.

Apkārtmērs ir plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru.

Ja punkts C ir apļa centrs, R ir tā rādiuss un M ir patvaļīgs apļa punkts, tad pēc apļa definīcijas

Vienlīdzība (1) ir apļa vienādojums rādiuss R ar centru punktā C.

Pieņemsim taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmu (104. att.) un punktu C( A; b) ir apļa centrs ar rādiusu R. Ļaujiet M( X; plkst) ir patvaļīgs šī apļa punkts.

Kopš |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), tad vienādojumu (1) var uzrakstīt šādi:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Vienādojumu (2) sauc vispārējs apļa vienādojums vai vienādojums aplim ar rādiusu R ar centru punktā ( A; b). Piemēram, vienādojums

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

ir vienādojums aplim ar rādiusu R = 5 ar centru punktā (1; -3).

Ja apļa centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, tad vienādojums (2) iegūst formu

x 2 + plkst 2 = R2. (3)

Vienādojumu (3) sauc apļa kanoniskais vienādojums .

1. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura rādiuss ir R = 7 un kura centrs atrodas sākuma punktā.

Tieši aizvietojot rādiusa vērtību vienādojumā (3), mēs iegūstam

x 2 + plkst 2 = 49.

2. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu aplim ar rādiusu R = 9 ar centru C(3; -6).

Formulā (2) aizstājot punkta C koordinātu vērtību un rādiusa vērtību, iegūstam

(X - 3) 2 + (plkst- (-6)) 2 = 81 vai ( X - 3) 2 + (plkst + 6) 2 = 81.

3. uzdevums. Atrodiet apļa centru un rādiusu

(X + 3) 2 + (plkst-5) 2 =100.

Salīdzinot šo vienādojumu ar vispārējo apļa vienādojumu (2), mēs to redzam A = -3, b= 5, R = 10. Tāpēc C(-3; 5), R = 10.

4. uzdevums. Pierādiet, ka vienādojums

x 2 + plkst 2 + 4X - 2y - 4 = 0

ir apļa vienādojums. Atrodiet tā centru un rādiusu.

Pārveidosim šī vienādojuma kreiso pusi:

x 2 + 4X + 4- 4 + plkst 2 - 2plkst +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (plkst - 1) 2 = 9.

Šis vienādojums ir apļa vienādojums, kura centrs ir (-2; 1); Apļa rādiuss ir 3.

5. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu riņķim ar centru punktā C(-1; -1), kas pieskaras taisnei AB, ja A (2; -1), B(- 1; 3).

Uzrakstīsim līnijas AB vienādojumu:

vai 4 X + 3y-5 = 0.

Tā kā aplis pieskaras noteiktai līnijai, saskares punktam novilktais rādiuss ir perpendikulārs šai līnijai. Lai atrastu rādiusu, jums jāatrod attālums no punkta C(-1; -1) - apļa centra līdz taisnei 4 X + 3y-5 = 0:

Uzrakstīsim vēlamā apļa vienādojumu

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Dots aplis taisnstūra koordinātu sistēmā x 2 + plkst 2 = R2. Apsveriet tā patvaļīgo punktu M( X; plkst) (105. att.).

Ļaujiet rādiusa vektoram OM> punkts M veido lieluma leņķi t ar pozitīvu O ass virzienu X, tad punkta M abscises un ordinātas mainās atkarībā no t

(0 t x un y cauri t, mēs atradām

x= Rcos t ; y= R grēks t , 0 t

Vienādojumus (4) sauc apļa parametriskie vienādojumi ar centru sākuma punktā.

6. uzdevums. Aplis tiek dots ar vienādojumiem

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Pierakstiet šī apļa kanonisko vienādojumu.

Tas izriet no nosacījuma x 2 = 3, jo 2 t, plkst 2 = 3 grēks 2 t. Saskaitot šīs vienādības pēc termiņa, mēs iegūstam

x 2 + plkst 2 = 3 (cos 2 t+ grēks 2 t)

vai x 2 + plkst 2 = 3

Taisnes vienādojums plaknē

Vispirms ieviesīsim taisnes vienādojuma jēdzienu divdimensiju koordinātu sistēmā. Izveidosim patvaļīgu taisni $L$ Dekarta koordinātu sistēmā (1. att.).

1. attēls. Patvaļīga līnija koordinātu sistēmā

1. definīcija

Vienādojumu ar diviem mainīgajiem $x$ un $y$ sauc par līnijas $L$ vienādojumu, ja šo vienādojumu apmierina jebkura līnijai $L$ piederoša punkta koordinātas un neapmierina neviens punkts, kas nepieder līnijai $L. .$

Apļa vienādojums

Atvasināsim riņķa vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā $xOy$. Lai apļa $C$ centram ir koordinātes $(x_0,y_0)$, un apļa rādiuss ir vienāds ar $r$. Lai punkts $M$ ar koordinātām $(x,y)$ ir patvaļīgs šī apļa punkts (2. att.).

2. attēls. Aplis Dekarta koordinātu sistēmā

Attālumu no apļa centra līdz punktam $M$ aprēķina šādi

Bet, tā kā $M$ atrodas uz apļa, mēs iegūstam $CM=r$. Tad mēs iegūstam sekojošo

Vienādojums (1) ir vienādojums aplim, kura centrs atrodas punktā $(x_0,y_0)$ un rādiuss $r$.

Jo īpaši, ja apļa centrs sakrīt ar izcelsmi. Šim apļa vienādojumam ir forma

Taisnas līnijas vienādojums.

Atvasināsim taisnes $l$ vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā $xOy$. Ļaujiet punktiem $A$ un $B$ būt attiecīgi $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ un $\(x_2,\ y_2\)$ koordinātēm, un ir izvēlēti punkti $A$ un $B$ lai šī taisne $l$ - perpendikulāra bisektrise uz segmentu $AB$. Izvēlēsimies patvaļīgu punktu $M=\(x,y\)$, kas pieder pie taisnes $l$ (3. att.).

Tā kā taisne $l$ ir perpendikulāra bisektrise segmentam $AB$, tad punkts $M$ atrodas vienādā attālumā no šī segmenta galiem, tas ir, $AM=BM$.

Atradīsim šo malu garumus, izmantojot formulu attālumam starp punktiem:

Līdz ar to

Apzīmēsim ar $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$, Mēs atklājam, ka taisnes vienādojumam Dekarta koordinātu sistēmā ir šāda forma:

Problēmas piemērs taisnu vienādojumu atrašanai Dekarta koordinātu sistēmā

1. piemērs

Atrodiet vienādojumu aplim ar centru punktā $(2,\ 4)$. Iziet caur koordinātu sākumpunktu un taisnu līniju, kas ir paralēla $Ox,$ asij, kas iet caur tās centru.

Risinājums.

Vispirms atradīsim šī apļa vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs izmantosim vispārējo apļa vienādojumu (atvasināts iepriekš). Tā kā apļa centrs atrodas punktā $(2,\ 4)$, mēs iegūstam

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Atradīsim apļa rādiusu kā attālumu no punkta $(2,\ 4)$ līdz punktam $(0,0)$

Mēs atklājam, ka apļa vienādojumam ir šāda forma:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Tagad atradīsim apļa vienādojumu, izmantojot īpašu gadījumu 1. Iegūstam

Klase: 8

Nodarbības mērķis: iepazīstināt ar riņķa vienādojumu, iemācīt skolēniem sastādīt apļa vienādojumu, izmantojot gatavu zīmējumu, un konstruēt apli, izmantojot doto vienādojumu.

Aprīkojums: interaktīvā tāfele.

Nodarbības plāns:

1. Organizatoriskais brīdis – 3 min.
2. Atkārtojums. Garīgās darbības organizēšana – 7 min.
3. Jaunā materiāla skaidrojums. Apļa vienādojuma atvasināšana – 10 min.
4. Apgūstamā materiāla konsolidācija – 20 min.
5. Nodarbības kopsavilkums – 5 min.

Nodarbību laikā

2. Atkārtošana:

− (1.pielikums 2. slaids) pierakstiet nogriežņa vidus koordinātu atrašanas formulu;

− (3. slaids) Z Uzrakstiet formulu attālumam starp punktiem (nozares garumu).

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

(4.–6. slaids) Definējiet apļa vienādojumu. Atvasiniet apļa vienādojumus ar centru punktā ( A;b) un centrēts uz izcelsmi.

(X – A ) 2 + (plkst – b ) 2 = R 2 – apļa ar centru vienādojums AR (A;b) , rādiuss R , X Un plkst – patvaļīga apļa punkta koordinātas .

X 2 + y 2 = R 2 – apļa vienādojums ar centru sākuma punktā.

(7. slaids)

Lai izveidotu apļa vienādojumu, jums ir nepieciešams:

• zināt centra koordinātas;
• zināt rādiusa garumu;
• Apļa vienādojumā aizstājiet centra koordinātas un rādiusa garumu.

4. Problēmu risināšana.

Uzdevumos Nr.1 ​​– Nr.6 sastādiet riņķa vienādojumus, izmantojot gatavus rasējumus.

(14. slaids)

№ 7. Aizpildiet tabulu.

(15. slaids)

№ 8. Izveidojiet apļus savā piezīmju grāmatiņā, izmantojot vienādojumus:

A) ( X – 5) 2 + (plkst + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (plkst– 7) 2 = 7 2 .

(16. slaids)

№ 9. Atrodiet centra koordinātas un rādiusa garumu, ja AB- apļa diametrs.

Ņemot vērā:		Risinājums:
		R	Centra koordinātas
1	A(0 ; -6) IN(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	A(0; -6) IN(0 ; 2) AR(0 ; – 2) – centrs
2	A(-2 ; 0) IN(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	A (-2;0) IN (4 ;0) AR(1 ; 0) – centrs

(17. slaids)

№ 10. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kura centrs atrodas sākuma punktā un iet caur punktu UZ(-12;5).

Risinājums.

R 2 = Labi 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Apļa vienādojums: x 2 + y 2 = 169 .

(18. slaids)

№ 11. Uzrakstiet vienādojumu aplim, kas iet caur sākuma punktu un kura centrs ir AR(3; - 1).

Risinājums.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Apļa vienādojums: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19. slaids)

№ 12. Uzrakstiet vienādojumu aplim ar tā centru A(3;2), kas iet cauri IN(7;5).

Risinājums.

1. Apļa centrs – A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Apļa vienādojums ( X – 3) 2 + (plkst − 2) 2 = 25.

(20. slaids)

№ 13. Pārbaudiet, vai punkti atrodas A(1; -1), IN(0;8), AR(-3; -1) uz apļa, ko dod vienādojums (X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

Risinājums.

es. Aizstāsim punkta koordinātas A(1; -1) apļa vienādojumā:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – vienlīdzība ir nepatiesa, kas nozīmē A(1; -1) nemelo uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

II. Aizstāsim punkta koordinātas IN(0;8) apļa vienādojumā:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)meli X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

III. Aizstāsim punkta koordinātas AR(-3; -1) apļa vienādojumā:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – vienlīdzība ir patiesa, kas nozīmē AR(-3; -1) meli uz apļa, kas dots ar vienādojumu ( X + 3) 2 + (plkst − 4) 2 = 25.

Nodarbības kopsavilkums.

1. Atkārtojiet: apļa vienādojums, apļa vienādojums ar tā centru sākuma punktā.
2. (21. slaids) Mājasdarbs.