Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b * a c = a b + c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselu skaitļu rādītāju tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur nepieciešams vienkāršot apgrūtinošu reizināšanu līdz vienkāršai saskaitīšanai. Ja veltīsiet 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkārša un pieejama valoda.

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log a b=c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir, jebkura pozitīva) logaritms "b" saskaņā ar tā bāzi "a" tiek uzskatīts par "c" pakāpi. ", uz kuru ir jāpaaugstina bāze "a", lai beigās iegūtu vērtību "b". Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jāatrod tāds grāds, lai no 2 līdz vajadzīgajam grādam iegūtu 8. Domā veicot dažus aprēķinus, iegūstam skaitli 3! Un pareizi, jo 2 pakāpē no 3 dod atbildē skaitli 8.

Logaritmu šķirnes

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs noteikti veidi logaritmiskās izteiksmes:

1. Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
2. Decimāldaļa a, kur bāze ir 10.
3. Jebkura skaitļa b logaritms pret bāzi a>1.

Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, lēmumos jāatceras to īpašības un darbību secība.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav diskutējami un ir patiesi. Piemēram, jūs nevarat dalīt skaitļus ar nulli, un nav iespējams arī iegūt sakni vienmērīgs grāds no negatīviem skaitļiem. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

• bāzei "a" vienmēr jābūt lielākai par nulli un tajā pašā laikā tai jābūt vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo "1" un "0" jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
• ja a > 0, tad a b > 0, izrādās, ka "c" ir jābūt lielākam par nulli.

Kā atrisināt logaritmus?

Piemēram, tika dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x \u003d 100. Tas ir ļoti vienkārši, jāizvēlas tāda jauda, ​​paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram iegūstam 100. Tas, protams, ir 10. 2 \u003d 100.

Tagad attēlosim šo izteiksmi kā logaritmisku izteiksmi. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu pakāpi, kādā jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehniska domāšana un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr lielākām vērtībām būs nepieciešama jaudas tabula. To var izmantot pat tie, kas sarežģītās matemātikas tēmās vispār neko nesaprot. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Šūnu krustojumā tiek noteiktas skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, ka noteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādojumu. Piemēram, 3 4 =81 var uzrakstīt kā logaritmu no 81 līdz 3. bāzei, kas ir četri (log 3 81 = 4). Priekš negatīvās spējas noteikumi ir vienādi: 2 -5 \u003d 1/32 mēs rakstām logaritma formā, mēs iegūstam žurnālu 2 (1/32) \u003d -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Mēs apsvērsim vienādojumu piemērus un risinājumus nedaudz zemāk, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.

Tiek dota šādas formas izteiksme: log 2 (x-1) > 3 - tā ir logaritmiska nevienādība, jo nezināmā vērtība "x" atrodas zem logaritma zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzināti divi lielumi: vēlamā skaitļa logaritms otrajā bāzē ir lielāks par skaitli trīs.

Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tā, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemēram, logaritms 2 x = √9) atbildē ietver vienu vai vairākas konkrētas skaitliskās vērtības, savukārt, risinot nevienādību, gan logaritmu diapazons. pieņemamās vērtības un punktus, kas pārkāpj šo funkciju. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā vienādojuma atbildē, bet gan nepārtraukta skaitļu virkne vai kopa.

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus uzdevumus, lai atrastu logaritma vērtības, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Ar vienādojumu piemēriem iepazīsimies vēlāk, vispirms analizēsim katru īpašību sīkāk.

1. Pamatidentitāte izskatās šādi: a logaB =B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāks par 0, nav vienāds ar vienu, un B ir lielāks par nulli.
2. Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā priekšnoteikums ir: d, s 1 un s 2 > 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmu formulai ar piemēriem un risinājumu. Pieņemsim, ka log a s 1 = f 1 un log a s 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (pakāpju īpašības ), un tālāk pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kas bija jāpierāda.
3. Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorēma formulas formā iegūst šādu formu: log a q b n = n/q log a b.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz regulāriem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Ļaujiet reģistrēt a b \u003d t, izrādās a t \u003d b. Ja abas daļas paaugstina līdz pakāpei m: a tn = b n ;

bet tā kā a tn = (a q) nt/q = b n , tātad log a q b n = (n*t)/t, tad log a q b n = n/q log a b. Teorēma ir pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritma problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās problēmu grāmatās, kā arī ir iekļauti matemātikas eksāmenu obligātajā daļā. Lai iestātos augstskolā vai nokārtotu iestājpārbaudījumus matemātikā, ir jāzina, kā pareizi atrisināt šādus uzdevumus.

Diemžēl viens plāns vai shēma, kas jārisina un jānosaka nezināma vērtība logaritma nav, tomēr katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai samazināt līdz vispārējs skats. Jūs varat vienkāršot garās logaritmiskās izteiksmes, ja pareizi izmantojat to īpašības. Drīzumā iepazīsimies ar viņiem.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, ir jānosaka, kāda veida logaritms mums ir priekšā: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.

Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka jums ir jānosaka pakāpe, kādā bāze 10 būs vienāda ar attiecīgi 100 un 1026. Naturālo logaritmu risinājumiem jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko problēmu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, aplūkosim piemērus, kā izmantot galvenās teorēmas par logaritmiem.

1. Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur nepieciešams paplašināt liela nozīme skaitļus b vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzat, izmantojot logaritma pakāpes ceturto īpašību, mums izdevās atrisināt no pirmā acu uzmetiena sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Atliek tikai faktorizēt bāzi un pēc tam izņemt eksponenta vērtības no logaritma zīmes.

Uzdevumi no eksāmena

Logaritmi bieži sastopami iestājeksāmenos, īpaši daudz logaritmisku uzdevumu eksāmenā ( Valsts eksāmens visiem vidusskolu absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vieglākā eksāmena testa daļa), bet arī C daļā (visgrūtākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmens nozīmē precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu "Dabas logaritmi".

Piemēri un problēmu risinājumi ir ņemti no oficiālā IZMANTOT opcijas. Redzēsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstīsim izteiksmi, nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2 , pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.

• Visus logaritmus vislabāk samazināt līdz vienai un tai pašai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
• Visas izteiksmes zem logaritma zīmes ir norādītas kā pozitīvas, tāpēc, izņemot izteiksmes eksponenta eksponentu, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tā bāzi, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.

(no grieķu valodas λόγος - "vārds", "attiecības" un ἀριθμός - "skaitlis") b saprāta dēļ a(log α b) sauc par šādu skaitli c, Un b= a c, tas ir, log α b=c Un b=ac ir līdzvērtīgi. Logaritmam ir jēga, ja a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Citiem vārdiem sakot logaritms cipariem b saprāta dēļ A formulēts kā eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x= log α b, ir ekvivalents vienādojuma a x =b atrisināšanai.

Piemēram:

log 2 8 = 3, jo 8 = 2 3 .

Mēs atzīmējam, ka norādītais logaritma formulējums ļauj nekavējoties noteikt logaritma vērtība kad skaitlis zem logaritma zīmes ir noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b saprāta dēļ a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritma tēma ir cieši saistīta ar tēmu skaitļa pakāpe.

Tiek minēts logaritma aprēķins logaritms. Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmu, faktoru produkti tiek pārveidoti par terminu summām.

Potenciācija ir matemātiskā darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencējot, dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpēm, uz kuras tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumu.

Diezgan bieži tiek izmantoti reāli logaritmi ar bāzēm 2 (binārais), e Eilera skaitlis e ≈ 2,718 (dabiskais logaritms) un 10 (decimālskaitlis).

Ieslēgts šis posms lietderīgi apsvērt logaritmu paraugižurnāls 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Un ierakstiem lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir novietots negatīvs skaitlis, otrajā - negatīvs skaitlis bāzē, bet trešajā - un negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes un vienība bāzē.

Logaritma noteikšanas nosacījumi.

Ir vērts atsevišķi apsvērt nosacījumus a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritma definīcija. Padomāsim, kāpēc tiek pieņemti šie ierobežojumi. Tas mums palīdzēs ar vienādību formā x = log α b, ko sauc par pamata logaritmisko identitāti, kas tieši izriet no iepriekš dotās logaritma definīcijas.

Pieņem nosacījumu a≠1. Tā kā viens ir vienāds ar vienu ar jebkuru pakāpju, tad vienādība x=log α b var pastāvēt tikai tad, kad b=1, bet log 1 1 būs jebkurš reāls skaitlis. Lai novērstu šo neskaidrību, mēs ņemam a≠1.

Pierādīsim nosacījuma nepieciešamību a>0. Plkst a=0 saskaņā ar logaritma formulējumu var pastāvēt tikai tad, kad b=0. Un tad attiecīgi žurnāls 0 0 var būt jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle, jo no nulles līdz jebkurai nullei atšķirīgai pakāpei ir nulle. Lai novērstu šo neskaidrību, nosacījums a≠0. Un tad, kad a<0 mums būtu jānoraida logaritma racionālo un iracionālo vērtību analīze, jo eksponents ar racionālu un iracionālu eksponentu tiek definēts tikai nenegatīvām bāzēm. Šī iemesla dēļ nosacījums a>0.

Un pēdējais nosacījums b>0 izriet no nevienlīdzības a>0, jo x=log α b, un grāda vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr pozitīvi.

Logaritmu iezīmes.

Logaritmi raksturīgs raksturīgs Iespējas, kas noveda pie to plašas izmantošanas, lai ievērojami atvieglotu rūpīgus aprēķinus. Pārejā "uz logaritmu pasauli" reizināšana tiek pārveidota par daudz vieglāku saskaitīšanu, dalīšana atņemšanā, bet paaugstināšana līdz pakāpei un saknes ņemšana tiek pārveidota attiecīgi par reizināšanu un dalīšanu ar eksponentu.

Logaritmu formulējums un to vērtību tabula (par trigonometriskās funkcijas) pirmo reizi 1614. gadā publicēja skotu matemātiķis Džons Napiers. Logaritmiskās tabulas, ko citi zinātnieki palielināja un sīki izstrādāja, plaši izmantoja zinātniskajos un inženiertehniskajos aprēķinos, un tās bija aktuālas līdz brīdim, kad sāka izmantot elektroniskos kalkulatorus un datorus.

Sāksim ar Vienības logaritma īpašības. Tās formulējums ir šāds: vienotības logaritms ir vienāds ar nulli, tas ir, log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Pierādījums ir vienkāršs: tā kā a 0 =1 jebkuram a, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem a>0 un a≠1 , tad no logaritma definīcijas uzreiz izriet pierādītā vienādība log a 1=0.

Sniegsim aplūkojamās īpašības pielietojuma piemērus: log 3 1=0 , lg1=0 un .

Pāriesim pie nākamā īpašuma: skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritms ir vienāds ar vienu, tas ir, log a a=1 ja a>0, a≠1. Patiešām, tā kā a 1 =a jebkuram a , tad pēc logaritma definīcijas log a a = 1 .

Šīs logaritmu īpašības izmantošanas piemēri ir log 5 5=1, log 5.6 5.6 un lne=1.

Piemēram, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 un .

Divu pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms x un y ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu reizinājumu: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Pierādīsim reizinājuma logaritma īpašību. Sakarā ar grāda īpašībām a log a x+log a y =a log a x a log a y, un tā kā pēc galvenās logaritmiskās identitātes log a x =x un log a y =y , tad log a x a log a y =x y . Tādējādi log a x+log a y =x y , no kurienes pēc logaritma definīcijas seko vajadzīgā vienādība.

Parādīsim piemērus, kā izmantot reizinājuma logaritma īpašību: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 un .

Produkta logaritma īpašību var vispārināt ar pozitīvu skaitļu x 1 , x 2 , …, x n galīga skaita n reizinājumu kā log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Šī vienlīdzība ir viegli pierādāma.

Piemēram, reizinājuma naturālo logaritmu var aizstāt ar trīs skaitļu 4 , e un naturālo logaritmu summu.

Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms x un y ir vienāds ar starpību starp šo skaitļu logaritmiem. Datuma logaritma īpašība atbilst formulai formā , kur a>0 , a≠1 , x un y ir daži pozitīvi skaitļi. Šīs formulas derīgums tiek pierādīts tāpat kā reizinājuma logaritma formula: kopš , tad pēc logaritma definīcijas .

Šeit ir piemērs, kā izmantot šo logaritma rekvizītu: .

Pāriesim pie pakāpes logaritma īpašība. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta reizinājumu un šīs pakāpes bāzes moduļa logaritmu. Mēs rakstām šo pakāpes logaritma īpašību formulas veidā: log a b p =p log a |b|, kur a>0, a≠1, b un p ir tādi skaitļi, ka b p pakāpei ir jēga un b p >0.

Vispirms mēs pierādām šo īpašību pozitīvajam b . Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj attēlot skaitli b kā log a b , tad b p =(a log a b) p , un iegūtā izteiksme jaudas īpašības dēļ ir vienāda ar p log a b . Tātad nonākam pie vienādības b p =a p log a b , no kuras pēc logaritma definīcijas secinām, ka log a b p =p log a b .

Atliek pierādīt šo īpašību negatīvam b . Šeit mēs atzīmējam, ka izteiksmei log a b p negatīvam b ir jēga tikai pāra eksponentiem p (jo pakāpes b p vērtībai jābūt lielākai par nulli, pretējā gadījumā logaritmam nebūs jēgas), un šajā gadījumā b p =|b| lpp . Tad b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, no kurienes log a b p =p log a |b| .

Piemēram, un ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Tas izriet no iepriekšējā īpašuma logaritma īpašība no saknes: n-tās pakāpes saknes logaritms ir vienāds ar daļas 1/n reizinājumu un saknes izteiksmes logaritmu, tas ir, , kur a>0, a≠1, n – dabiskais skaitlis, lielāks par vienu, b>0 .

Pierādījums ir balstīts uz vienādību (sk. ), kas ir spēkā jebkuram pozitīvam b , un pakāpes logaritma īpašību: .

Šeit ir šī īpašuma izmantošanas piemērs: .

Tagad pierādīsim konvertēšanas formula uz jauno logaritma bāzi laipns . Lai to izdarītu, pietiek pierādīt vienādības log c b=log a b log c a pamatotību. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj mums attēlot skaitli b kā log a b , tad log c b=log c a log a b . Atliek izmantot pakāpes logaritma īpašību: log c a log a b = log a b log c a. Tādējādi ir pierādīta vienādība log c b=log a b log c a, kas nozīmē, ka ir pierādīta arī formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi.

Parādīsim pāris piemērus, kā izmantot šo logaritmu īpašību: un .

Formula pārejai uz jaunu bāzi ļauj pāriet uz darbu ar logaritmiem, kuriem ir “ērta” bāze. Piemēram, ar tās palīdzību jūs varat pāriet uz dabisko vai decimāllogaritmi lai pēc logaritmu tabulas varētu aprēķināt logaritma vērtību. Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi arī dažos gadījumos ļauj atrast noteiktā logaritma vērtību, ja ir zināmas dažu logaritmu vērtības ar citām bāzēm.

Bieži tiek izmantots īpašs formulas gadījums pārejai uz jaunu logaritma bāzi formas c=b . Tas parāda, ka log a b un log b a – . Piemēram, .

Bieži tiek izmantota arī formula , kas noder logaritma vērtību atrašanai. Lai apstiprinātu savus vārdus, mēs parādīsim, kā, izmantojot to, tiek aprēķināta formas logaritma vērtība. Mums ir . Lai pierādītu formulu pietiek ar pārejas formulu uz jauno logaritma a bāzi: .

Atliek pierādīt logaritmu salīdzināšanas īpašības.

Pierādīsim, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem b 1 un b 2 , b 1 log a b 2 un a>1 nevienādība log a b 1

Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām logaritmu īpašībām. Mēs aprobežojamies ar tā pirmās daļas pierādīšanu, tas ir, mēs pierādām, ka, ja 1 >1, 2 >1 un 1 1 ir patiess log a 1 b> log a 2 b . Pārējie apgalvojumi par šo logaritmu īpašību tiek pierādīti ar līdzīgu principu.

Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka 1 >1, 2 >1 un 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ir patiess. Pēc logaritmu īpašībām šīs nevienādības var pārrakstīt kā Un attiecīgi, un no tiem izriet, ka attiecīgi log b a 1 ≤log b a 2 un log b a 1 ≥log b a 2. Tad pēc pakāpju īpašībām ar vienādām bāzēm jāizpilda vienādības b log b a 1 ≥b log b a 2 un b log b a 1 ≥b log b a 2, tas ir, a 1 ≥a 2 . Tādējādi mēs esam nonākuši pie pretrunas nosacījumam a 1

Bibliogrāfija.