Lekcia a prezentácia na tému: "Číselné postupnosti. Geometrická postupnosť"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Funkcie a grafy mocnin a koreňov

Chlapci, dnes sa zoznámime s iným typom progresie.
Témou dnešnej hodiny je geometrický postup.

Geometrická progresia

Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý člen, počnúc druhým, rovná súčinu predchádzajúceho a nejakého pevného čísla, sa nazýva geometrická postupnosť.
Definujme našu postupnosť rekurzívne: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kde b a q sú definované dané čísla. Číslo q sa nazýva menovateľ progresie.

Príklad. 1,2,4,8,16… Geometrická progresia, ktorého prvý člen sa rovná jednej a $q=2$.

Príklad. 8,8,8,8… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je osem,
a $q=1$.

Príklad. 3,-3,3,-3,3... Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je tri,
a $q=-1$.

Geometrický postup má vlastnosti monotónnosti.
Ak $b_(1)>0$, $q>1$,
potom sa postupnosť zvyšuje.
Ak $b_(1)>0$, $0 Postupnosť sa zvyčajne označuje ako: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Rovnako ako v aritmetická progresia, ak je v geometrickej postupnosti počet prvkov konečný, potom sa postupnosť nazýva konečná geometrická postupnosť.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Všimnite si, že ak je postupnosť geometrickou progresiou, potom postupnosť umocnených členov je tiež geometrická postupnosť. Druhá postupnosť má prvý člen $b_(1)^2$ a menovateľ $q^2$.

Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti

Geometrická postupnosť môže byť špecifikovaná aj v analytickej forme. Pozrime sa, ako na to:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Môžeme ľahko vidieť vzor: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Náš vzorec sa nazýva "vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti".

Vráťme sa k našim príkladom.

Príklad. 1,2,4,8,16… geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná jednej,
a $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Príklad. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je šestnásť a $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Príklad. 8,8,8,8… Geometrická postupnosť, kde prvý člen je osem a $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Príklad. 3,-3,3,-3,3… Geometrická postupnosť, ktorej prvý člen je tri a $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Príklad. Daná geometrická postupnosť $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Je známe, že $b_(1)=6, q=3$. Nájdite $b_(5)$.
b) Je známe, že $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Nájsť n.
c) Je známe, že $q=-2, b_(6)=96$. Nájdite $b_(1)$.
d) Je známe, že $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Nájdite q.

Riešenie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ keďže $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Príklad. Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 192, súčet piateho a šiesteho člena geometrickej postupnosti je 192. Nájdite desiaty člen tejto postupnosti.

Riešenie.
Vieme, že: $b_(7)-b_(5)=192$ a $b_(5)+b_(6)=192$.
Tiež vieme: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
potom:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192 $.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dostali sme systém rovníc:
$\začiatok(prípady)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\koniec (prípady)$.
Ak dávame rovnítko, naše rovnice dostanú:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Máme dve riešenia q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ žiadne riešenia.
Máme toto: $b_(1)=4, q=2$.
Nájdeme desiaty člen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Súčet konečnej geometrickej postupnosti

Predpokladajme, že máme konečnú geometrickú postupnosť. Vypočítajme, rovnako ako pre aritmetickú postupnosť, súčet jej členov.

Nech je daná konečná geometrická postupnosť: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uveďme si zápis súčtu jeho členov: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
V prípade, keď $q=1$. Všetky členy geometrickej postupnosti sú rovné prvému členu, potom je zrejmé, že $S_(n)=n*b_(1)$.
Zvážte teraz prípad $q≠1$.
Vynásobte vyššie uvedené množstvo q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Poznámka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Získali sme vzorec pre súčet konečnej geometrickej postupnosti.

Príklad.
Nájdite súčet prvých siedmich členov geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 4 a menovateľ je 3.

Riešenie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Príklad.
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti, ktorý je známy: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Riešenie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 $ q=1 364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristická vlastnosť geometrickej postupnosti

Chlapci, vzhľadom na geometrický postup. Zoberme si jeho tri po sebe idúce členy: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
My to vieme:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
potom:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ak je postupnosť konečná, potom táto rovnosť platí pre všetky členy okrem prvého a posledného.
Ak nie je vopred známe, aký druh postupnosti sekvencia má, ale je známe, že: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Potom môžeme s istotou povedať, že ide o geometrickú progresiu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť iba vtedy, keď sa druhá mocnina každého z jej členov rovná súčinu dvoch susedných členov postupnosti. Nezabudnite, že pre konečný postup nie je táto podmienka splnená pre prvý a posledný termín.

Pozrime sa na túto identitu: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ sa nazýva geometrický priemer a a b.

Modul ktoréhokoľvek člena geometrickej progresie sa rovná geometrickému priemeru dvoch susedných členov.

Príklad.
Nájdite x také, že $x+2; 2x+2; 3x+3$ boli tri po sebe idúce členy geometrickej progresie.

Riešenie.
Využime charakteristickú vlastnosť:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ a $x_(2)=-1$.
Postupne nahraďte v pôvodnom výraze naše riešenia:
S $x=2$ sme dostali postupnosť: 4;6;9 je geometrická progresia s $q=1,5$.
S $x=-1$ sme dostali postupnosť: 1;0;0.
Odpoveď: $x=2.$

Úlohy na samostatné riešenie

1. Nájdite ôsmy prvý člen geometrickej postupnosti 16; -8; 4; -2 ....
2. Nájdite desiaty člen geometrickej postupnosti 11,22,44….
3. Je známe, že $b_(1)=5, q=3$. Nájdite $b_(7)$.
4. Je známe, že $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Nájsť n.
5. Nájdite súčet prvých 11 členov geometrickej postupnosti 3;12;48….
6. Nájdite x také, že $3x+4; 2x+4; x+5$ sú tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti.

Matematika je čoľudia ovládajú prírodu a seba.

Sovietsky matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrická progresia.

Spolu s úlohami na aritmetický postup sú v prijímacích testoch z matematiky bežné aj úlohy súvisiace s pojmom geometrický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov potrebujete poznať vlastnosti geometrickej progresie a mať dobré zručnosti pri ich používaní.

Tento článok je venovaný prezentácii hlavných vlastností geometrickej progresie. Poskytuje tiež príklady riešenia typických problémov, požičal z úloh vstupných testov z matematiky.

Predbežne si všimnime hlavné vlastnosti geometrickej progresie a pripomeňme si najviac dôležité vzorce a vyhlásenia, spojené s týmto konceptom.

Definícia.Číselná postupnosť sa nazýva geometrická postupnosť, ak sa každé jej číslo, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, vynásobené rovnakým číslom. Číslo sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti.

Pre geometrický postupvzorce sú platné

, (1)

Kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec všeobecného pojmu geometrickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou geometrickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s geometrickým priemerom svojich susedných členov a .

Poznámka, že práve pre túto vlastnosť sa spomínaná progresia nazýva „geometrická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:

, (3)

Na výpočet sumy najprv členov geometrickej progresieplatí vzorec

Ak určíme

Kde . Pretože vzorec (6) je zovšeobecnením vzorca (5).

V prípade, keď a geometrický postupnekonečne klesá. Na výpočet sumyzo všetkých členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie sa použije vzorec

. (7)

Napríklad , pomocou vzorca (7) je možné ukázať, Čo

Kde . Tieto rovnosti sa získajú zo vzorca (7) za predpokladu, že , (prvá rovnosť) a , (druhá rovnosť).

Veta. Ak potom

Dôkaz. Ak potom ,

Veta bola dokázaná.

Prejdime k zvažovaniu príkladov riešenia problémov na tému "Geometrický postup".

Príklad 1 Vzhľadom na to: , a . Nájsť .

Riešenie. Ak sa použije vzorec (5), potom

Odpoveď: .

Príklad 2 Nechajte a . Nájsť .

Riešenie. Od a používame vzorce (5), (6) a získame sústavu rovníc

Ak je druhá rovnica sústavy (9) delená prvou, potom alebo . Z toho vyplýva . Zoberme si dva prípady.

1. Ak , potom z prvej rovnice sústavy (9) máme.

2. Ak , potom .

Príklad 3 Nechajte , a . Nájsť .

Riešenie. Zo vzorca (2) vyplýva, že alebo . Od , potom alebo .

Podľa podmienok. Avšak , preto . Pretože a, potom tu máme systém rovníc

Ak je druhá rovnica systému delená prvou, potom alebo .

Pretože rovnica má jeden vhodný koreň. V tomto prípade prvá rovnica systému znamená .

Ak vezmeme do úvahy vzorec (7), dostaneme.

Odpoveď: .

Príklad 4 Vzhľadom na to: a . Nájsť .

Riešenie. Odvtedy .

Pretože , potom alebo

Podľa vzorca (2) máme . V tomto smere z rovnosti (10) získame alebo .

Avšak podľa podmienok , teda .

Príklad 5 Je známe, že . Nájsť .

Riešenie. Podľa vety máme dve rovnosti

Od , potom alebo . Pretože teda.

Odpoveď: .

Príklad 6 Vzhľadom na to: a . Nájsť .

Riešenie. Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme

Odvtedy . Od , a , potom .

Príklad 7 Nechajte a . Nájsť .

Riešenie. Podľa vzorca (1) môžeme písať

Preto máme alebo . Je známe, že a preto a .

Odpoveď: .

Príklad 8 Nájdite menovateľa nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, ak

A .

Riešenie. Zo vzorca (7) to vyplýva A . Odtiaľ a z podmienky úlohy získame sústavu rovníc

Ak je prvá rovnica sústavy druhá mocnina, a potom výslednú rovnicu vydeľte druhou rovnicou, potom dostaneme

Alebo .

Odpoveď: .

Príklad 9 Nájdite všetky hodnoty, pre ktoré je postupnosť , , geometrickou progresiou.

Riešenie. Nechajte , a . Podľa vzorca (2), ktorý definuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti, môžeme písať alebo .

Odtiaľ dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorých korene sú A .

Skontrolujeme: ak, potom , a ; ak , potom , a .

V prvom prípade máme a , av druhom - a .

Odpoveď: ,.

Príklad 10vyriešiť rovnicu

, (11)

kde a .

Riešenie. Ľavá strana rovnice (11) je súčtom nekonečnej klesajúcej geometrickej progresie, v ktorej a , ak: a .

Zo vzorca (7) to vyplýva, Čo . V tomto ohľade má rovnica (11) tvar alebo . vhodný koreň kvadratická rovnica je

Odpoveď: .

Príklad 11. P postupnosť kladných číseltvorí aritmetický postup, A - geometrický postup, čo to má spoločné s . Nájsť .

Riešenie. Pretože aritmetická postupnosť, To (hlavná vlastnosť aritmetického postupu). Pretože, potom alebo . To znamená, že geometrická postupnosť je. Podľa vzorca (2), potom to napíšeme.

Odvtedy a potom . V tom prípade výraz má podobu alebo . Podľa podmienok, teda z rovnicezískame jedinečné riešenie uvažovaného problému, t.j. .

Odpoveď: .

Príklad 12. Vypočítajte súčet

. (12)

Riešenie. Vynásobte obe strany rovnosti (12) 5 a získajte

Ak od výsledného výrazu odčítame (12)., To

alebo .

Na výpočet dosadíme hodnoty do vzorca (7) a získame . Odvtedy .

Odpoveď: .

Tu uvedené príklady riešenia problémov budú užitočné pre uchádzačov pri príprave na prijímacie skúšky. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov, spojené s geometrickým postupom, môže byť použité študijné príručky zo zoznamu odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Máte nejaké otázky?

Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

ČÍSELNÉ POSTUPNOSTI VI

§ l48. Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie

Doteraz sme pri sumách vždy predpokladali, že počet členov v týchto sumách je konečný (napríklad 2, 15, 1000 atď.). Ale pri riešení niektorých úloh (najmä vyššej matematiky) sa človek musí vysporiadať so súčtom nekonečného množstva pojmov

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Aké sú tieto sumy? A-priorstvo súčet nekonečného počtu členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... sa nazýva hranica sumy S n najprv P čísla kedy P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) samozrejme môže alebo nemusí existovať. Podľa toho sa o sume (1) hovorí, že existuje alebo neexistuje.

Ako zistiť, či v každom konkrétnom prípade existuje súčet (1)? Všeobecné riešenie tejto otázky ďaleko presahuje rámec nášho programu. Je tu však jeden dôležitý špeciálny prípad, ktorý teraz musíme zvážiť. Budeme hovoriť o sčítaní členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti.

Nechaj a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых P členov tejto progresie sa rovná

Z hlavných limitných viet premenných(pozri § 136) dostaneme:

Ale 1 = 1, a q n = 0. Preto

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti sa teda rovná prvému členu tohto postupu vydelenému jednou mínus menovateľ tohto postupu.

1) Súčet geometrickej postupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

a súčet geometrickej postupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... sa rovná

2) Jednoduchý periodický zlomok 0,454545 ... sa zmení na obyčajný.

Aby sme tento problém vyriešili, predstavujeme tento zlomok ako nekonečný súčet:

Pravá strana tejto rovnosti je súčtom nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 45/100 a menovateľ je 1/100. Preto

Opísaným spôsobom možno získať aj všeobecné pravidlo premeny jednoduchých periodických zlomkov na obyčajné zlomky (pozri kapitolu II § 38):

Ak chcete previesť jednoduchý periodický zlomok na obyčajný, musíte urobiť nasledovné: vložte bodku do čitateľa desatinný zlomok, a v menovateli - číslo pozostávajúce z deviatok, koľkokrát je číslic v perióde desatinného zlomku.

3) Zmiešaný periodický zlomok 0,58333 .... premeniť na obyčajný zlomok.

Predstavme si tento zlomok ako nekonečný súčet:

Na pravej strane tejto rovnosti tvoria všetky členy počnúc 3/1000 nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen je 3/1000 a menovateľ je 1/10. Preto

Opísaným spôsobom možno získať aj všeobecné pravidlo pre premenu zmiešaných periodických frakcií na bežné frakcie (pozri kapitolu II, § 38). Zámerne ho sem nezaraďujeme. Toto ťažkopádne pravidlo sa netreba učiť naspamäť. Je oveľa užitočnejšie vedieť, že akýkoľvek zmiešaný periodický zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie a nejakého čísla. A vzorec

na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie si treba, samozrejme, pamätať.

Ako cvičenie vás pozývame, aby ste sa okrem nižšie uvedených problémov č.995-1000 ešte raz obrátili na problém č.301 § 38.

Cvičenia

995. Ako sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie?

996. Nájdite súčty nekonečne klesajúcich geometrických postupností:

997. Za aké hodnoty X progresie

nekonečne klesá? Nájdite súčet takejto progresie.

998. V rovnostrannom trojuholníku so stranou A nový trojuholník je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto trojuholníka sa rovnakým spôsobom vpíše nový trojuholník a tak ďalej do nekonečna.

a) súčet obvodov všetkých týchto trojuholníkov;

b) súčet ich plôch.

999. Vo štvorci so stranou A nový štvorec je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto štvorca sa rovnakým spôsobom vpíše štvorec a tak ďalej do nekonečna. Nájdite súčet obvodov všetkých týchto štvorcov a súčet ich plôch.

1000. Urobte nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť tak, aby sa jej súčet rovnal 25/4 a súčet druhých mocnín jej členov sa rovnal 625/24.

Napríklad, sekvencia \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… je geometrická postupnosť, pretože každý nasledujúci prvok sa od predchádzajúceho líši koeficientom dva (inými slovami, dá sa získať od predchádzajúceho vynásobením dvoma):

Ako každá postupnosť, aj geometrická postupnosť je označená malým latinským písmenom. Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky). Označujú sa rovnakým písmenom ako geometrická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad, geometrická postupnosť \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) pozostáva z prvkov \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) a tak ďalej. Inými slovami:

Ak porozumiete vyššie uvedeným informáciám, budete už schopní vyriešiť väčšinu problémov na túto tému.

Príklad (OGE):
Riešenie:

Odpoveď : \(-686\).

Príklad (OGE): Vzhľadom na prvé tri podmienky postupu \(324\); \(-108\); \(36\)…. Nájsť \(b_5\).
Riešenie:

	Aby sme mohli pokračovať v postupnosti, musíme poznať menovateľa. Zistime to z dvoch susediacich prvkov: čím by sme mali vynásobiť \(324\), aby sme dostali \(-108\)?
\(324 q=-108\)	Odtiaľ môžeme ľahko vypočítať menovateľa.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Teraz môžeme ľahko nájsť prvok, ktorý potrebujeme.
	Odpoveď pripravená.

Odpoveď : \(4\).

Príklad: Postupnosť je daná podmienkou \(b_n=0,8 5^n\). Ktoré číslo je členom tohto postupu:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Riešenie: Zo znenia úlohy je zrejmé, že jedno z týchto čísel je určite v našom postupe. Preto môžeme jednoducho počítať jeho členy jeden po druhom, kým nenájdeme hodnotu, ktorú potrebujeme. Keďže náš postup je daný vzorcom , vypočítame hodnoty prvkov dosadením rôznych \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8 5^1=0,8 5=4\) – v zozname takéto číslo nie je. Pokračujeme ďalej.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - a ani toto tam nie je.
\(n=3\); \(b_3=0,8 5^3=0,8 125=100\) – a tu je náš šampión!

odpoveď: \(100\).

Príklad (OGE): Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti …\(8\); \(X\); \(50\); \(-125\)…. Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).

Riešenie:

odpoveď: \(-20\).

Príklad (OGE): Postupnosť je daná podmienkami \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Nájdite súčet prvých \(4\) členov tejto postupnosti.

Riešenie:

odpoveď: \(105\).

Príklad (OGE): Je známe, že exponenciálne \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Nájdite menovateľa \(q\).

Riešenie:

	Z diagramu vľavo je vidieť, že aby sme sa „dostali“ z \ (b_6 \) do \ (b_9 \) - urobíme tri „kroky“, to znamená, že \ (b_6 \) vynásobíme trikrát menovateľ progresie. Inými slovami, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Nahraďte hodnoty, ktoré poznáme.
\(704=(-11)q^3\)	„Obráťte“ rovnicu a vydeľte ju \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Aké číslo v kocke dáva \(-64\)? Samozrejme, \(-4\)!
	Odpoveď sa našla. Dá sa to skontrolovať obnovením reťazca čísel od \(-11\) do \(704\).
	Všetci súhlasili - odpoveď je správna.

odpoveď: \(-4\).

Najdôležitejšie vzorce

Ako vidíte, väčšina problémov s geometrickým postupom sa dá vyriešiť čistou logikou, jednoducho pochopením podstaty (to je všeobecne charakteristické pre matematiku). No niekedy znalosť určitých vzorcov a vzorcov riešenie urýchli a výrazne uľahčí. Budeme študovať dva takéto vzorce.

Vzorec pre \(n\)-tý člen je: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), kde \(b_1\) je prvý člen postupnosti; \(n\) – číslo požadovaného prvku; \(q\) je menovateľom progresie; \(b_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Pomocou tohto vzorca môžete napríklad v jednom kroku vyriešiť problém z prvého príkladu.

Príklad (OGE): Geometrická postupnosť je daná podmienkami \(b_1=-2\); \(q=7\). Nájsť \(b_4\).
Riešenie:

odpoveď: \(-686\).

Tento príklad bol jednoduchý, takže vzorec nám výpočty príliš neuľahčil. Pozrime sa na problém trochu zložitejšie.

Príklad: Geometrická postupnosť je daná podmienkami \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Nájdite \(b_(12)\).
Riešenie:

odpoveď: \(10\).

Samozrejme, zvýšiť \(\frac(1)(2)\) na \(11\)-nú mocninu nie je veľmi radostné, ale stále jednoduchšie ako \(11\) rozdeliť \(20480\) na dve.

Súčet \(n\) prvých členov: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\), kde \(b_1\) je prvý člen progresie; \(n\) – počet sčítaných prvkov; \(q\) je menovateľom progresie; \(S_n\) je súčet \(n\) prvých členov postupu.

Príklad (OGE): Daná je geometrická postupnosť \(b_n\), ktorej menovateľ je \(5\), a prvý člen \(b_1=\frac(2)(5)\). Nájdite súčet prvých šiestich členov tohto postupu.
Riešenie:

odpoveď: \(1562,4\).

A opäť by sme mohli vyriešiť problém „na čele“ - nájsť postupne všetkých šesť prvkov a potom pridať výsledky. Počet výpočtov, a teda aj možnosť náhodnej chyby, by sa však dramaticky zvýšil.

Pre geometrický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme tu neuvažovali pre ich nízke praktické využitie. Tieto vzorce nájdete.

Zvyšovanie a znižovanie geometrickej progresie

Postupnosť \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) uvažovaná na samom začiatku článku má menovateľ \(q\) väčší ako jedna, a preto je každý ďalší člen väčší ako ten predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

Ak je \(q\) menšie ako jedna, ale je kladné (to znamená, že leží medzi nulou a jednotkou), potom každý ďalší prvok bude menší ako predchádzajúci. Napríklad v postupnosti \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… menovateľ \(q\) je \(\frac(1)(2)\).

Tieto progresie sa nazývajú klesajúci. Všimnite si, že žiadny z prvkov tohto postupu nebude negatívny, len sa každým krokom zmenšujú a zmenšujú. To znamená, že sa postupne priblížime k nule, no nikdy ju nedosiahneme a neprekročíme ju. Matematici v takýchto prípadoch hovoria „inklinovať k nule“.

Všimnite si, že so záporným menovateľom prvky geometrickej progresie nevyhnutne zmenia znamienko. Napríklad, priebeh \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... menovateľ \(q\) je \(-3\), a preto znamienka prvkov "blikajú".

Geometrická postupnosť je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je nenulový a každý ďalší člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom. Geometrická postupnosť sa označuje b1,b2,b3, …, bn, …

Vlastnosti geometrickej postupnosti

Pomer ktoréhokoľvek člena geometrickej chyby k jeho predchádzajúcemu členu sa rovná rovnakému číslu, to znamená, že b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/mld = …. Vyplýva to priamo z definície aritmetickej progresie. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie. Obvykle sa menovateľ geometrickej progresie označuje písmenom q.

Jedným zo spôsobov, ako určiť geometrickú postupnosť, je nastaviť jej prvý člen b1 a menovateľ geometrickej chyby q. Napríklad b1=4, q=-2. Tieto dve podmienky dávajú geometrickú postupnosť 4, -8, 16, -32, … .

Ak q>0 (q sa nerovná 1), potom je progresia monotónna postupnosť. Napríklad postupnosť 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónne rastúca postupnosť (b1=2, q=2).

Ak je menovateľ q=1 v geometrickej chybe, potom sa všetky členy geometrickej postupnosti budú navzájom rovnať. V takýchto prípadoch sa hovorí, že progresia je konštantná sekvencia.

Vzorec n-tého člena postupnosti

Aby bola číselná postupnosť (bn) geometrickou postupnosťou, je potrebné, aby každý jej člen, počnúc druhým, bol geometrickým priemerom susedných členov. To znamená, že je potrebné splniť nasledujúcu rovnicu - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pre ľubovoľné n>0, kde n patrí do množiny prirodzené čísla N.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je:

bn=b1*q^(n-1), kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Zvážte jednoduchý príklad:

V geometrickej postupnosti b1=6, q=3, n=8 nájdite bn.

Použime vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti.