Pri riešení mnohých matematické problémy , najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a štvorcové nerovnosti zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice. Princíp úspešného riešenia každej zo spomínaných úloh je nasledovný: je potrebné zistiť, do akého typu riešený problém patrí, pamätať na potrebnú postupnosť činností, ktoré povedú k požadovanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých fáz jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia nastáva pri goniometrické rovnice. Nie je ťažké určiť skutočnosť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Autor: vzhľad rovnice niekedy je ťažké určiť jej typ. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Na vyriešenie goniometrickej rovnice musíme skúsiť:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „rovnakým funkciám“;
3. faktorizujte ľavú stranu rovnice atď.

Zvážte základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. expresné goniometrická funkcia prostredníctvom známych komponentov.

Krok 2 Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná substitúcia

Schéma riešenia

Krok 1. Uveďte rovnicu do algebraického tvaru vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2 Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3 Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.

Krok 4 Vykonajte opačnú náhradu.

Krok 5 Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2 nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) hriech (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorcov na zníženie výkonu:

hriech 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Preneste túto rovnicu do formulára

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogénna rovnica prvý stupeň)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2 Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Krok 3 Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, takže

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Používanie všetkých druhov trigonometrické vzorce, priveďte túto rovnicu do rovnice riešenej metódami I, II, III, IV.

Krok 2 Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Výsledkom je, že x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosti riešiť goniometrické rovnice sú veľmi dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc je spojených veľa problémov stereometrie, fyziky atď.. Proces riešenia takýchto úloh, ako to bolo, obsahuje mnohé vedomosti a zručnosti, ktoré sa získavajú pri štúdiu prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese vyučovania matematiky a rozvoja osobnosti vôbec.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Koncepcia riešenia goniometrických rovníc.

• Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, preveďte ju na jednu alebo viac základných goniometrických rovníc. Riešenie goniometrickej rovnice nakoniec vedie k riešeniu štyroch základných goniometrických rovníc.

Riešenie základných goniometrických rovníc.

• Existujú 4 typy základných goniometrických rovníc:
• hriech x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Riešenie základných goniometrických rovníc zahŕňa pohľad na rôzne polohy x na jednotkovej kružnici, ako aj použitie prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky).
• Príklad 1. sin x = 0,866. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = π/3. Jednotkový kruh dáva inú odpoveď: 2π/3. Pamätajte: všetky goniometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Takže odpoveď je napísaná takto:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Príklad 2 cos x = -1/2. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = 2π/3. Jednotkový kruh dáva inú odpoveď: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Príklad 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn.
• Príklad 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpoveď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformácie používané pri riešení goniometrických rovníc.

• Na transformáciu goniometrických rovníc sa používajú algebraické transformácie (faktorizácia, redukcia homogénnych členov atď.) a trigonometrické identity.
• Príklad 5. Pomocou goniometrických identít sa rovnica sin x + sin 2x + sin 3x = 0 prevedie na rovnicu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Preto je potrebné vyriešiť tieto základné goniometrické rovnice: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hľadanie uhlov zo známych hodnôt funkcií.

  • Predtým, ako sa naučíte riešiť goniometrické rovnice, musíte sa naučiť, ako nájsť uhly zo známych hodnôt funkcií. To možno vykonať pomocou konverznej tabuľky alebo kalkulačky.
  • Príklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpoveď x = 42,95 stupňa. Jednotkový kruh poskytne ďalšie uhly, ktorých kosínus sa tiež rovná 0,732.

• Odložte roztok na jednotkový kruh.

  • Na jednotkový kruh môžete umiestniť riešenia goniometrickej rovnice. Riešeniami goniometrickej rovnice na jednotkovej kružnici sú vrcholy pravidelného mnohouholníka.
  • Príklad: Riešenia x = π/3 + πn/2 na jednotkovej kružnici sú vrcholy štvorca.
  • Príklad: Riešenia x = π/4 + πn/3 na jednotkovej kružnici sú vrcholy pravidelného šesťuholníka.

• Metódy riešenia goniometrických rovníc.

  • Ak daná goniometrická rovnica obsahuje iba jednu goniometrickú funkciu, riešte túto rovnicu ako základnú goniometrickú rovnicu. Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac goniometrických funkcií, potom existujú 2 metódy riešenia takejto rovnice (v závislosti od možnosti jej transformácie).
    • Metóda 1
  • Premeňte túto rovnicu na rovnicu v tvare: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) sú základné goniometrické rovnice.
  • Príklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie. Pomocou vzorca s dvojitým uhlom sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
  • Príklad 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou goniometrických identít transformujte túto rovnicu do rovnice v tvare: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
  • Príklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou goniometrických identít transformujte túto rovnicu do rovnice v tvare: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
    • Metóda 2
  • Danú goniometrickú rovnicu preveďte na rovnicu obsahujúcu iba jednu goniometrickú funkciu. Potom nahraďte túto goniometrickú funkciu nejakou neznámou, napríklad t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t atď.).
  • Príklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Riešenie. V tejto rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podľa identity). Transformovaná rovnica vyzerá takto:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Teraz rovnica vyzerá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnica s dvoma koreňmi: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý koreň t2 nespĺňa rozsah funkcie (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Príklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Riešenie. Nahraďte tg x za t. Prepíšte pôvodnú rovnicu takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz nájdite t a potom nájdite x pre t = tg x.

Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.

Riešenie goniometrických rovníc akejkoľvek úrovne zložitosti nakoniec vedie k riešeniu najjednoduchších goniometrických rovníc. A v tomto sa opäť ukazuje ako najlepší pomocník trigonometrický kruh.

Spomeňte si na definície kosínusu a sínusu.

Kosínus uhla je súradnica (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Sínus uhla je ordináta (to znamená súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Pozitívny smer pohybu trigonometrický kruh uvažuje sa pohyb proti smeru hodinových ručičiek. Otočenie o 0 stupňov (alebo 0 radiánov) zodpovedá bodu so súradnicami (1; 0)

Tieto definície používame na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.

1. Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je splnená všetkými takými hodnotami uhla natočenia, ktoré zodpovedajú bodom kruhu, ktorých ordináta sa rovná .

Označme bod s ordinátou na osi y:

Nakreslite vodorovnú čiaru rovnobežnú s osou x, kým sa nepretína s kružnicou. Dostaneme dva body ležiace na kruhu a majúce súradnicu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie a radiánom:

Ak po opustení bodu zodpovedajúceho uhlu rotácie na radián obídeme celý kruh, prídeme k bodu zodpovedajúcemu uhlu rotácie na radián a s rovnakou ordinátou. To znamená, že tento uhol natočenia tiež spĺňa našu rovnicu. Môžeme urobiť toľko "nečinných" otáčok, koľko chceme, vrátiť sa do rovnakého bodu a všetky tieto hodnoty uhla budú spĺňať našu rovnicu. Počet otáčok "naprázdno" je označený písmenom (alebo). Keďže tieto revolúcie môžeme robiť v pozitívnom aj negatívnom smere, (alebo ) môže nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty.

To znamená, že prvá séria riešení pôvodnej rovnice má tvar:

, , - množina celých čísel (1)

Podobne aj druhá séria riešení má tvar:

, Kde , . (2)

Ako ste uhádli, táto séria riešení je založená na bode kruhu, ktorý zodpovedá uhlu natočenia o .

Tieto dve série riešení možno spojiť do jedného záznamu:

Ak zoberieme tento záznam (teda párny), dostaneme prvú sériu riešení.

Ak vezmeme tento záznam (teda nepárny), dostaneme druhú sériu riešení.

2. Teraz vyriešme rovnicu

Pretože je úsečka bodu jednotkovej kružnice získaná otočením cez uhol, označíme na osi bod s úsečkou:

Nakreslite zvislú čiaru rovnobežnú s osou, kým sa nepretína s kruhom. Získame dva body ležiace na kruhu s úsečkou. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie a radiánom. Pripomeňme, že pri pohybe v smere hodinových ručičiek dostaneme negatívny uhol natočenia:

Napíšeme dve série riešení:

,

,

(Do správneho bodu sa dostaneme prechodom z hlavného plného kruhu, tzn.

Spojme tieto dve série do jedného príspevku:

3. Vyriešte rovnicu

Čiara dotyčníc prechádza bodom so súradnicami (1,0) jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou OY

Označte na ňom bod s osou rovnajúcou sa 1 (hľadáme dotyčnicu, ktorej uhly je 1):

Spojte tento bod s počiatkom priamkou a označte priesečníky priamky s jednotkovou kružnicou. Priesečníky priamky a kružnice zodpovedajú uhlom natočenia na a :

Keďže body zodpovedajúce uhlom rotácie, ktoré spĺňajú našu rovnicu, ležia od seba v radiánoch, môžeme zapísať riešenie takto:

4. Vyriešte rovnicu

Čiara kotangens prechádza bodom so súradnicami jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou.

Na priamke kotangens označíme bod s osou -1:

Pripojte tento bod k začiatku priamky a pokračujte v nej, kým sa nepretne s kružnicou. Táto čiara bude pretínať kruh v bodoch zodpovedajúcich uhlom rotácie a radiánom:

Keďže tieto body sú od seba oddelené vzdialenosťou rovnajúcou sa , môžeme všeobecné riešenie tejto rovnice zapísať takto:

V uvedených príkladoch, ktoré ilustrujú riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc, boli použité tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií.

Ak sa však na pravej strane rovnice nachádza netabuľková hodnota, dosadíme hodnotu vo všeobecnom riešení rovnice:

ŠPECIÁLNE RIEŠENIA:

Označte body na kružnici, ktorých súradnica je 0:

Označte jeden bod na kruhu, ktorého ordináta sa rovná 1:

Označte jeden bod na kruhu, ktorého ordináta sa rovná -1:

Keďže je zvykom uvádzať hodnoty najbližšie k nule, napíšeme riešenie takto:

Označte body na kružnici, ktorej úsečka je 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, ktorého úsečka sa rovná 1:

Označte jeden bod na kružnici, ktorého súradnica sa rovná -1:

A niektoré zložitejšie príklady:

1.

Sínus je jedna, ak je argument

Argument nášho sínusu je , takže dostaneme:

Vydeľte obe strany rovnice 3:

odpoveď:

2.

Kosínus je nula, ak je kosínusový argument

Argument nášho kosínusu je , takže dostaneme:

Vyjadríme , preto sa najprv posunieme doprava s opačným znamienkom:

Zjednodušte pravú stranu:

Vydeľte obe časti číslom -2:

Všimnite si, že znamienko pred výrazom sa nemení, pretože k môže nadobúdať ľubovoľné celočíselné hodnoty.

odpoveď:

A na záver si pozrite video tutoriál "Výber koreňov v goniometrickej rovnici pomocou trigonometrickej kružnice"

Týmto sa rozhovor o riešení najjednoduchších goniometrických rovníc končí. Nabudúce si povieme, ako to vyriešiť.

Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre stupeň 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy pre budovanie vo vesmíre
Softvérové ​​prostredie "1C: Mathematical Conštruktor 6.1"

Čo budeme študovať:
1. Čo sú to goniometrické rovnice?

3. Dve hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc.
4. Homogénne goniometrické rovnice.
5. Príklady.

Čo sú to goniometrické rovnice?

Chlapci, už sme študovali arkzín, arkkozín, arktangens a arkkotangens. Teraz sa pozrime na trigonometrické rovnice všeobecne.

Goniometrické rovnice - rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom goniometrickej funkcie.

Zopakujeme formu riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc:

1) Ak |а|≤ 1, potom rovnica cos(x) = a má riešenie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ak |а|≤ 1, potom rovnica sin(x) = a má riešenie:

3) Ak |a| > 1, potom rovnica sin(x) = a a cos(x) = a nemajú riešenia 4) Rovnica tg(x)=a má riešenie: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnica ctg(x)=a má riešenie: x=arcctg(a)+ πk

Pre všetky vzorce je k celé číslo

Najjednoduchšie goniometrické rovnice majú tvar: Т(kx+m)=a, T- ľubovoľná goniometrická funkcia.

Príklad.

Riešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Riešenie:

A) Označme 3x=t, potom našu rovnicu prepíšeme do tvaru:

Riešenie tejto rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabuľky hodnôt dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vráťme sa k našej premennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpoveď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n - mínus jedna na mocninu n.

Ďalšie príklady goniometrických rovníc.

Riešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Riešenie:

A) Tentoraz prejdeme priamo k výpočtu koreňov rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpoveď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Píšeme v tvare: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vieme, že: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpoveď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Riešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A nájdite všetky korene na segmente.

Riešenie:

Rozhodneme sa v všeobecný pohľad naša rovnica: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Teraz sa pozrime, aké korene padajú do nášho segmentu. Pre k Pre k=0, x= π/16 sme v danom segmente .
S k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 opäť zasiahli.
Pre k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tu sme netrafili, čo znamená, že nezasiahneme ani pre veľké k.

Odpoveď: x= π/16, x= 9π/16

Dve hlavné metódy riešenia.

Zvažovali sme najjednoduchšie goniometrické rovnice, existujú však aj zložitejšie. Na ich riešenie sa používa metóda zavedenia novej premennej a metóda faktorizácie. Pozrime sa na príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

Riešenie:
Na vyriešenie našej rovnice používame metódu zavedenia novej premennej označenej: t=tg(x).

V dôsledku nahradenia dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Poďme nájsť korene kvadratická rovnica t = -1 a t = 1/3

Potom tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostali sme najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu, nájdime jej korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpoveď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Príklad riešenia rovnice

Riešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riešenie:

Použime identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša rovnica znie: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zavedieme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice sú korene: t=2 a t=-1/2

Potom cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Pretože kosínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna, potom cos(x)=2 nemá korene.

Pre cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpoveď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogénne goniometrické rovnice.

Definícia: Rovnica v tvare a sin(x)+b cos(x) sa nazýva homogénne goniometrické rovnice prvého stupňa.

Rovnice formulára

homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa.

Na vyriešenie homogénnej goniometrickej rovnice prvého stupňa ju vydelíme cos(x): Nie je možné deliť kosínusom, ak sa rovná nule, uistite sa, že to tak nie je:
Nech cos(x)=0, potom asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sínus a kosínus sa nerovnajú nule súčasne, dostali sme rozpor, takže môžeme pokojne deliť nulou.

Vyriešte rovnicu:
Príklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riešenie:

Vyberte spoločný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Potom musíme vyriešiť dve rovnice:

cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pre x= π/2 + πk;

Zvážte rovnicu cos(x)+sin(x)=0 Vydeľte našu rovnicu cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpoveď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Ako riešiť homogénne goniometrické rovnice druhého stupňa?
Chlapci, vždy sa držte týchto pravidiel!

1. Pozrite sa, čomu sa rovná koeficient a, ak a \u003d 0, potom bude mať naša rovnica tvar cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), príklad riešenia je na predchádzajúcej snímke

2. Ak a≠0, potom musíte obe časti rovnice vydeliť druhou mocninou kosínusu, dostaneme:

Zmenou premennej t=tg(x) dostaneme rovnicu:

Vyriešte príklad č.:3

Vyriešte rovnicu:
Riešenie:

Vydeľte obe strany rovnice kosínusovou druhou mocninou:

Urobíme zmenu premennej t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nájdite korene kvadratickej rovnice: t=-3 a t=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpoveď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Vyriešte príklad č.:4

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Môžeme riešiť také rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpoveď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Vyriešte príklad č.:5

Vyriešte rovnicu:

Riešenie:
Transformujme náš výraz:

Zavedieme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Riešením našej kvadratickej rovnice budú korene: t=-2 a t=1/2

Potom dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpoveď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Úlohy na samostatné riešenie.

1) Vyriešte rovnicu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A nájdite všetky korene na segmente [π/2; π].

3) Vyriešte rovnicu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Vyriešte rovnicu: 3 sin 2 (x) + √3 sin (x) cos(x) = 0

5) Vyriešte rovnicu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Vyriešte rovnicu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)