Dokonca aj funkcia.

Dokonca Zavolá sa funkcia, ktorej znamienko sa pri zmene znamienka nemení X.

X rovnosť f(–X) = f(X). Podpísať X neovplyvňuje znamenie r.

Graf párnej funkcie je symetrický podľa súradnicovej osi (obr. 1).

Dokonca príklady funkcií:

r= cos X

r = X 2

r = –X 2

r = X 4

r = X 6

r = X 2 + X

Vysvetlenie:
Zoberme si funkciu r = X 2 alebo r = –X 2 .
Za akúkoľvek hodnotu X funkcia je pozitívna. Podpísať X neovplyvňuje znamenie r. Graf je symetrický okolo súradnicovej osi. Toto je rovnomerná funkcia.

nepárna funkcia.

zvláštny je funkcia, ktorej znamienko sa mení pri zmene znamienka X.

Inými slovami, za akúkoľvek hodnotu X rovnosť f(–X) = –f(X).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (obr. 2).

Príklady nepárnej funkcie:

r= hriech X

r = X 3

r = –X 3

Vysvetlenie:

Vezmite funkciu y = - X 3 .
Všetky hodnoty pri bude mať znamienko mínus. To je znamenie X ovplyvňuje znamenie r. Ak je nezávislá premenná kladné číslo, potom je funkcia kladná, ak je nezávislá premenná záporné číslo, potom je funkcia záporná: f(–X) = –f(X).
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku. Toto je zvláštna funkcia.

Vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:

POZNÁMKA:

Nie všetky funkcie sú párne alebo nepárne. Sú funkcie, ktoré takejto gradácii nepodliehajú. Napríklad koreňová funkcia pri = √X neplatí pre párne ani nepárne funkcie (obr. 3). Pri uvádzaní vlastností takýchto funkcií by sa mal uviesť vhodný opis: ani párne, ani nepárne.

Periodické funkcie.

Ako viete, periodicita je opakovanie určitých procesov v určitom intervale. Funkcie popisujúce tieto procesy sa nazývajú periodické funkcie. To znamená, že ide o funkcie, v ktorých grafoch sú prvky, ktoré sa opakujú v určitých číselných intervaloch.

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia - premenná závislosť pri z premennej X, ak každá hodnota X zodpovedá jednej hodnote pri. premenlivý X nazývaná nezávislá premenná alebo argument. premenlivý pri nazývaná závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná X) tvoria definičný obor funkcie. Všetky hodnoty, ktoré má závislá premenná (premenná r), tvoria rozsah funkcie.

Graf funkcií nazývajú množinu všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie, to znamená hodnotám premenné sú vynesené pozdĺž osi x X a hodnoty premennej sú vynesené pozdĺž osi y r. Na vykreslenie funkcie potrebujete poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú uvedené nižšie!

Na vykreslenie funkčného grafu odporúčame použiť náš program – Graphing Functions Online. Ak máte nejaké otázky pri štúdiu materiálu na tejto stránke, vždy sa ich môžete opýtať na našom fóre. Aj na fóre vám pomôžeme riešiť problémy z matematiky, chémie, geometrie, teórie pravdepodobnosti a mnohých ďalších predmetov!

Základné vlastnosti funkcií.

1) Rozsah funkcií a rozsah funkcií.

Rozsah funkcie je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) definované.
Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt rže funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

hodnoty X, na ktorom y=0, sa volá funkčné nuly. Sú to úsečky priesečníkov grafu funkcie s osou x.

3) Intervaly znamienkovej stálosti funkcie.

Intervaly znamienkovej stálosti funkcie sú také intervaly hodnôt X, na ktorom sú hodnoty funkcie r buď len pozitívne alebo len negatívne sa nazývajú intervaly znamienkovej stálosti funkcie.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

5) Párne (nepárne) funkcie.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na počiatok a pre ľubovoľný X f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Dokonca aj funkcia
1) Definičný obor je symetrický vzhľadom na bod (0; 0), teda ak bod a patrí do oblasti definície, potom pointa -a patrí tiež do oblasti definície.
2) Za akúkoľvek hodnotu X f(-x)=f(x)
3) Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oy.

nepárna funkcia má nasledujúce vlastnosti:
1) Definičný obor je symetrický vzhľadom na bod (0; 0).
2) pre akúkoľvek hodnotu X, ktorá patrí do oblasti definície, rovnosti f(-x)=-f(x)
3) Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (0; 0).

Nie každá funkcia je párna alebo nepárna. Funkcie všeobecný pohľad nie sú párne ani nepárne.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x . Ak také číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z oblasti funkcie platí f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

Funkcia f sa nazýva periodické, ak existuje číslo také, že pre ľubovoľné X z oblasti definície rovnosti f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobie funkcie.

Každá periodická funkcia má nekonečný počet periód. V praxi sa zvyčajne považuje za najmenšie pozitívne obdobie.

Hodnoty periodickej funkcie sa opakujú po perióde rovnajúcej sa perióde. Používa sa pri vykresľovaní grafov.

Funkčné nuly
Nula funkcie je hodnota X, pri ktorej sa funkcia stane 0, teda f(x)=0.

Nuly sú priesečníky grafu funkcie s osou Oh.

Funkčná parita
Funkcia sa volá, aj keď pre akúkoľvek X z oblasti definície, rovnosť f(-x) = f(x)

Párna funkcia je symetrická okolo osi OU

Neobyčajná funkcia
Funkcia sa nazýva nepárna, ak existuje X z oblasti definície je splnená rovnosť f(-x) = -f(x).

Nepárna funkcia je symetrická vzhľadom na pôvod.
Funkcia, ktorá nie je ani párna, ani nepárna, sa nazýva všeobecná funkcia.

Prírastok funkcie
Funkcia f(x) sa nazýva rastúca, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie, t.j. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Funkcia klesania
Funkcia f(x) sa nazýva klesajúca, ak väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie, t.j. x 2 > x 1 → f(x 2)
Zavolajú sa intervaly, v ktorých funkcia buď iba klesá, alebo iba rastie intervaly monotónnosti. Funkcia f(x) má 3 intervaly monotónnosti:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Nájdite intervaly monotónnosti pomocou služby Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií

Miestne maximum
Bodka x 0 sa nazýva miestny maximálny bod, ak existuje X z okolia bodu x 0 platí nasledujúca nerovnosť: f(x 0) > f(x)

Miestne minimum
Bodka x 0 sa nazýva miestny minimálny bod, ak existuje X z okolia bodu x 0 platí nasledujúca nerovnosť: f(x 0)< f(x).

Lokálne maximálne body a lokálne minimálne body sa nazývajú lokálne extrémne body.

x 1 , x 2 - lokálne extrémne body.

Periodicita funkcie
Funkcia f(x) sa nazýva periodická s bodkou T, ak k nejakému X f(x+T) = f(x) .

Intervaly stálosti
Intervaly, na ktorých je funkcia buď iba kladná alebo iba záporná, sa nazývajú intervaly konštantného znamienka.

f(x)>0 pre x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuita funkcie
Funkcia f(x) sa v bode x 0 nazýva spojitá, ak sa limita funkcie ako x → x 0 rovná hodnote funkcie v tomto bode, t.j. .

body zlomu
Body, v ktorých je podmienka spojitosti porušená, sa nazývajú body diskontinuity funkcie.

x0- bod zlomu.

Všeobecná schéma vykresľovania funkcií

1. Nájdite definičný obor funkcie D(y).
2. Nájdite priesečníky grafu funkcií so súradnicovými osami.
3. Preskúmajte funkciu pre párne alebo nepárne.
4. Preskúmajte periodicitu funkcie.
5. Nájdite intervaly monotónnosti a extrémne body funkcie.
6. Nájdite intervaly konvexnosti a inflexné body funkcie.
7. Nájdite asymptoty funkcie.
8. Na základe výsledkov štúdie zostavte graf.

Príklad: Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf: y = x 3 - 3x
8) Na základe výsledkov štúdie zostrojíme graf funkcie:

Definícia 1. Funkcia sa volá dokonca (zvláštny ), ak spolu s každou hodnotou premennej
význam - X tiež patrí
a rovnosť

Funkcia teda môže byť párna alebo nepárna len vtedy, ak je jej definičný obor symetrický vzhľadom na počiatok súradníc na reálnej čiare (čísla X a - X zároveň patrí
). Napríklad funkcia
nie je ani párne, ani nepárne, keďže ide o doménu definície
nie sú symetrické podľa pôvodu.

Funkcia
dokonca, pretože
symetrické vzhľadom na počiatok súradníc a.

Funkcia
zvláštne, pretože
A
.

Funkcia
nie je párne ani nepárne, keďže hoci
a je symetrický vzhľadom na pôvod, nie sú splnené rovnosti (11.1). Napríklad,.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi OU, keďže ako bod

patrí aj do grafu. Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu, pretože ak
patrí do grafu, potom bod
patrí aj do grafu.

Pri dokazovaní, či je funkcia párna alebo nepárna, sú užitočné nasledujúce tvrdenia.

Veta 1. a) Súčet dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna (nepárna) funkcia.

b) Súčin dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna funkcia.

c) Súčin párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia.

d) Ak f je rovnomerná funkcia na súprave X a funkciu g definované na súprave
, potom funkciu
- dokonca.

e) Ak f je nepárna funkcia na súprave X a funkciu g definované na súprave
a párne (nepárne), potom funkcia
- Párny Nepárny).

Dôkaz. Dokážme napríklad b) ad).

b) Nechajte
A
sú dokonca funkcie. Potom teda. Prípad nepárnych funkcií sa posudzuje podobne
A
.

d) Nechajte f je rovnomerná funkcia. Potom.

Ostatné tvrdenia vety sú dokázané podobne. Veta bola dokázaná.

Veta 2. Akákoľvek funkcia
, definované na súprave X, ktorý je symetrický vzhľadom na počiatok, možno znázorniť ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

Dôkaz. Funkcia
možno napísať vo forme

.

Funkcia
je párny, pretože
a funkciu
je zvláštne, pretože. teda
, Kde
- párne a
je zvláštna funkcia. Veta bola dokázaná.

Definícia 2. Funkcia
volal periodikum ak je tam číslo
, a to tak, že pre akékoľvek
čísla
A
patria tiež do oblasti definície
a rovnosť

Takéto číslo T volal obdobie funkcie
.

Z definície 1 vyplýva, že ak T– funkčné obdobie
, potom číslo T To isté je obdobie funkcie
(pretože pri výmene T na - T je zachovaná rovnosť). Pomocou metódy matematickej indukcie možno ukázať, že ak T– funkčné obdobie f, potom a
, je tiež obdobie. Z toho vyplýva, že ak má funkcia periódu, potom má nekonečne veľa periód.

Definícia 3. Najmenšia z kladných periód funkcie sa nazýva jej Hlavná obdobie.

Veta 3. Ak T je hlavným obdobím funkcie f, potom zostávajúce obdobia sú jeho násobky.

Dôkaz. Predpokladajme opak, teda že existuje obdobie funkcie f (>0), nie viacnásobné T. Potom delenie na T so zvyškom dostaneme
, Kde
. Preto

to jest – funkčné obdobie f, a
, čo odporuje skutočnosti, že T je hlavným obdobím funkcie f. Tvrdenie vety vyplýva zo získaného rozporu. Veta bola dokázaná.

Je dobre známe, že goniometrické funkcie sú periodické. Hlavné obdobie
A
rovná sa
,
A
. Nájdite periódu funkcie
. Nechaj
je obdobie tejto funkcie. Potom

(pretože
.

ororor
.

Význam T, určená z prvej rovnosti, nemôže byť bodkou, keďže závisí od X, t.j. je funkciou X, nie konštantné číslo. Obdobie sa určuje od druhej rovnosti:
. Období je nekonečne veľa
najmenšie kladné obdobie sa získa, keď
:
. Toto je hlavné obdobie funkcie
.

Príkladom zložitejšej periodickej funkcie je Dirichletova funkcia

Všimnite si, že ak T je teda racionálne číslo
A
sú racionálne čísla pod racionálnymi X a iracionálne, keď iracionálne X. Preto

pre akékoľvek racionálne číslo T. Preto akékoľvek racionálne číslo T je obdobie Dirichletovej funkcie. Je jasné, že táto funkcia nemá žiadnu hlavnú periódu, pretože existujú kladné racionálne čísla ľubovoľne blízke nule (napríklad racionálne číslo možno vytvoriť výberom nľubovoľne blízko nule).

Veta 4. Ak funkcia f nastaviť na súprave X a má obdobie T a funkciu g nastaviť na súprave
, potom komplexná funkcia
má tiež obdobie T.

Dôkaz. Preto máme

to znamená, že tvrdenie vety je dokázané.

Napríklad od r cos X má obdobie
, potom funkcie
mať obdobie
.

Definícia 4. Volajú sa funkcie, ktoré nie sú periodické neperiodické .

Skryť reláciu

Spôsoby nastavenia funkcie

Nech je funkcia daná vzorcom: y=2x^(2)-3 . Priradením ľubovoľnej hodnoty nezávislej premennej x môžete tento vzorec použiť na výpočet zodpovedajúcich hodnôt závislej premennej y. Napríklad, ak x=-0,5 , potom pomocou vzorca dostaneme, že zodpovedajúca hodnota y je y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Vzhľadom na akúkoľvek hodnotu získanú argumentom x vo vzorci y=2x^(2)-3 možno vypočítať iba jednu funkčnú hodnotu, ktorá jej zodpovedá. Funkcia môže byť reprezentovaná ako tabuľka:

X	−2	−1	0	1	2	3
r	−4	−3	−2	−1	0	1

Pomocou tejto tabuľky môžete zistiť, že pre hodnotu argumentu -1 bude zodpovedať hodnota funkcie -3; a hodnota x=2 bude zodpovedať y=0 atď. Je tiež dôležité vedieť, že každá hodnota argumentu v tabuľke zodpovedá iba jednej funkčnej hodnote.

Viac funkcií je možné nastaviť pomocou grafov. Pomocou grafu sa zistí, ktorá hodnota funkcie koreluje s určitou hodnotou x. Najčastejšie to bude približná hodnota funkcie.

Párna a nepárna funkcia

Funkcia je dokonca funkciu, keď f(-x)=f(x) pre ľubovoľné x z domény. Takáto funkcia bude symetrická okolo osi Oy.

Funkcia je nepárna funkcia keď f(-x)=-f(x) pre ľubovoľné x v doméne. Takáto funkcia bude symetrická okolo začiatku O (0;0) .

Funkcia je ani, ani nepárne a volal všeobecná funkcia keď nemá symetriu okolo osi alebo pôvodu.

Skúmame nasledujúcu funkciu pre paritu:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) so symetrickou doménou definície pôvodu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Preto je funkcia f(x)=3x^(3)-7x^(7) nepárna.

Periodická funkcia

Funkcia y=f(x) , v ktorej obore f(x+T)=f(x-T)=f(x) platí pre ľubovoľné x, sa nazýva periodická funkcia s periódou T \neq 0 .

Opakovanie grafu funkcie na ľubovoľnom segmente osi x, ktorý má dĺžku T .

Intervaly, kde je funkcia kladná, to znamená f (x) > 0 - segmenty osi x, ktoré zodpovedajú bodom grafu funkcie, ktoré ležia nad osou x.

f(x) > 0 zapnuté (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Medzery, kde je funkcia záporná, t.j. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \pohár (x_(2); x_(3))

Obmedzenie funkcie

ohraničené zdola je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo A, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \geq A pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1+x^(2)) keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pre ľubovoľné x .

ohraničené zhora funkcia y=f(x), x \in X sa volá, ak existuje číslo B, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \neq B pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pre ľubovoľné x \in [-1;1] .

Obmedzené je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo K > 0, pre ktoré platí nerovnosť \left | f(x) \vpravo | \neq K pre ľubovoľné x \in X .

Príklad ohraničenej funkcie: y=\sin x je ohraničené na celej číselnej osi, pretože \left | \sin x \right | \neq 1.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie

Je zvykom hovoriť o funkcii, ktorá narastá na uvažovanom intervale ako zvýšenie funkcie keď väčšia hodnota x bude zodpovedať väčšej hodnote funkcie y=f(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Volá sa funkcia, ktorá klesá v uvažovanom intervale klesajúca funkcia keď väčšia hodnota x bude zodpovedať menšej hodnote funkcie y(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korene funkcie je zvykom pomenovať body, v ktorých funkcia F=y(x) pretína os x (získame ich ako výsledok riešenia rovnice y(x)=0 ).

a) Ak sa párna funkcia zvýši pre x > 0, potom sa pre x zníži< 0

b) Keď párna funkcia klesá pre x > 0, potom sa zvyšuje pre x< 0

c) Keď sa nepárna funkcia zvýši pre x > 0, potom sa zvýši aj pre x< 0

d) Keď sa nepárna funkcia zníži pre x > 0, potom sa zníži aj pre x< 0

Funkčné extrémy

Minimálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a pre ne potom nerovnosť f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - označenie funkcie v bode min.

Maximálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a potom nerovnosť f(x) bude pre nich spokojný< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nevyhnutná podmienka

Podľa Fermatovej vety: f"(x)=0, potom keď funkcia f(x) , ktorá je diferencovateľná v bode x_(0) , objaví sa v tomto bode extrém.

Dostatočný stav

1. Keď sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, potom x_(0) bude minimálny bod;
2. x_(0) - bude maximálnym bodom iba vtedy, keď derivácia zmení znamienko z mínus na plus pri prechode cez stacionárny bod x_(0) .

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale

Kroky výpočtu:

1. Hľadá sa derivácia f"(x) ;
2. Nájdu sa stacionárne a kritické body funkcie a vyberú sa tie, ktoré patria do intervalu;
3. Hodnoty funkcie f(x) sa nachádzajú v stacionárnych a kritických bodoch a na koncoch segmentu. Najmenší z výsledkov bude najmenšia hodnota funkcie, a viac - najväčší.