Ta'rif: agar hamma n є N, tekislangan x n є N, keyin shunday deyishadi

shakl raqamli keyingi ketma-ketlik.

- a'zolari ketma-ketliklar

- umumiy a'zosi ketma-ketliklar

Kiritilgan ta'rif har qanday sonlar ketma-ketligi cheksiz bo'lishi kerakligini anglatadi, lekin barcha atamalar alohida raqamlar bo'lishi kerak degani emas.

Raqamlar ketma-ketligi hisobga olinadi berilgan, agar ketma-ketlikning istalgan a'zosi topilishi mumkin bo'lgan qonun belgilangan bo'lsa.

Ketma-ketlik a'zolari yoki elementlari (1) barcha natural sonlar bilan sonlarning o'sish tartibida raqamlangan. n+1 > n-1 uchun sonning o‘zi sondan katta, kichik yoki hatto unga teng bo‘lishidan qat’iy nazar, atama termindan keyin (oldinda) keladi.

Ta'rif: Ba'zi ketma-ketlikni oladigan x o'zgaruvchisi (1) qadriyatlar, biz - Ch. Merayga ergashamiz - qo'ng'iroq qilamiz variant.

IN maktab kursi Matematika, siz faqat shu turdagi o'zgaruvchilarni uchratishingiz mumkin, masalan, variantlar.

Masalan, ketma-ketlik kabi

(arifmetik) yoki shakldagi

(geometrik progressiya)

U yoki bu progressiyaning o‘zgaruvchan termini variant.

Doira aylanasini aniqlash bilan bog'liq holda, odatda, tomonlar sonini ketma-ket ikki barobarga oshirish orqali olti burchakdan olingan, aylana ichiga chizilgan muntazam ko'pburchakning perimetri ko'rib chiqiladi. Shunday qilib, ushbu variant qiymatlar ketma-ketligini oladi:

Shuningdek, biz o'nli kasrni (etishmasligi tufayli) tobora ortib borayotgan aniqlik bilan eslatib o'tamiz. Bu qiymatlar ketma-ketligini oladi:

va shuningdek, variantni taqdim etadi.

Ketma-ketlik (1) bo'ylab o'tadigan x o'zgaruvchisi ko'pincha uni ushbu ketma-ketlikning o'zgaruvchan ("umumiy") a'zosi bilan identifikatsiyalash orqali belgilanadi.

Ba'zan x n varianti x n uchun ifoda to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatadigan narsa bilan beriladi; shunday qilib, arifmetik holatda yoki geometrik progressiya bizda mos ravishda x n =a+(n-1) d yoki x n =aq n-1 mavjud. Ushbu ifodadan foydalanib, oldingi qiymatlarni hisoblamasdan, variantlarning istalgan qiymatini uning berilgan soni bo'yicha darhol hisoblashingiz mumkin.

Muntazam chizilgan ko'pburchak perimetri uchun bunday umumiy ifoda faqat p sonini kiritgan taqdirdagina mumkin bo'ladi; umuman olganda, muntazam chizilgan m-gonning perimetri p m formula bilan aniqlanadi

Ta'rif 1: Agar shunday raqam mavjud bo'lsa, sonli ketma-ketlik ( x n ) yuqoridan (pastdan) chegaralangan deb ataladi. M (T) bu ketma-ketlikning har qanday elementi uchun M (m) soni deyilganda, tengsizlik mavjud yuqori (pastki) chekka.

2-ta'rif: Sonli ketma-ketlik (x n ) chegaralangan deb ataladi, agar u yuqoridan ham, pastdan ham chegaralangan bo'lsa, ya'ni. har qanday uchun M, m mavjud

A = max (|M|, |m|) ni belgilang, u holda agar |x n |?A tenglik har qanday uchun bajarilsa, sonli ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishi aniq, oxirgi tengsizlik sonli ketma-ketlikning chegaralanganligi sharti hisoblanadi. .

Ta'rif 3: raqamlar ketma-ketligi chaqiriladi cheksiz katta ketma-ketlik, agar har qanday A>0 uchun, siz N raqamini ko'rsatishingiz mumkin, shunda barcha n>N, ||>A to'g'ri bo'ladi.

Ta'rif 4: sonli ketma-ketlik (b n ) deyiladi cheksiz kichik ketma-ketlik, agar oldindan ko'rsatilgan har qanday e > 0 uchun, siz shunday N(e) sonni belgilashingiz mumkinki, har qanday n > N(e) uchun tengsizlik | b n |< е.

Ta'rif 5: sonlar ketma-ketligi ( x n ) chaqiriladi yaqinlashish, agar shunday a soni bo'lsa, ketma-ketlik (x n - a) cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Shu bilan birga, a - chegara boshlang'ich raqamli ketma-ketliklar.

Bu ta'rifdan kelib chiqadiki, barcha cheksiz kichik ketma-ketliklar yaqinlashadi va bu ketma-ketliklarning chegarasi = 0.

Konvergent ketma-ketlik tushunchasi cheksiz kichik ketma-ketlik tushunchasi bilan bog'langanligi sababli, konvergent ketma-ketlikning ta'rifi boshqa shaklda berilishi mumkin:

Ta'rif 6: sonli ketma-ketlik ( x n ) deyiladi yaqinlashish a soniga if har qanday ixtiyoriy kichik uchun shunday mavjudki, barcha n > N uchun tengsizlik

a - ketma-ketlik chegarasi

Chunki ekvivalentdir va bu x n ê (a - e; a + e) ​​oralig'iga tegishli ekanligini yoki bir xil bo'lgan e ga tegishli - a nuqtaning qo'shniligini anglatadi. Keyin konvergent sonli ketma-ketlikning yana bir ta'rifini berishimiz mumkin.

Ta'rif 7: sonlar ketma-ketligi ( x n ) chaqiriladi yaqinlashish, agar shunday nuqta mavjud bo'lsa, bu nuqtaning har qanday etarlicha kichik elektron qo'shnisida N sonidan boshlab ushbu ketma-ketlikning o'zboshimchalik bilan elementlari mavjud.

Eslatma: (5) va (6) ta'riflarga ko'ra, agar a ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa (x n), u holda x n - a cheksiz kichik ketma-ketlikning elementi, ya'ni. x n - a = b n, bu erda b n cheksiz kichik ketma-ketlikning elementi. Shuning uchun, x p \u003d a + b n, keyin esa, agar raqamli ketma-ketlik (x n) yaqinlashsa, u har doim uning chegarasi yig'indisi va cheksiz kichik ketma-ketlikning elementi sifatida ifodalanishi mumkinligini ta'kidlashga haqlimiz.

Buning teskarisi ham to'g'ri: agar ketma-ketlikning biron bir elementi (x n) doimiy son va cheksiz kichik ketma-ketlik elementi yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, bu doimiy va chegara berilgan ketma-ketliklar.

Ta'rif 8. Ketma-ketlik Yo'q ortadi (yo'q kamayadi), agar uchun.

Ta'rif 9. Ketma-ketlik ortadi (kamayadi), agar uchun.

Ta'rif 10. Qat'iy ortib boruvchi yoki qat'iy kamayuvchi ketma-ketlik deyiladi. monoton ketma-ketlik.

Monoton ketma-ketlik chegarasi haqidagi Veyershtrass teoremasining isboti berilgan. Chegaralangan va chegaralanmagan ketma-ketlik holatlari ko'rib chiqiladi. Veyershtrass teoremasidan foydalanib, ketma-ketlikning yaqinlashuvini isbotlash va uning chegarasini topish zarur bo'lgan misol ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Monoton funksiyalarning chegaralari

Har qanday monoton chegaralangan ketma-ketlik ( x n ) aniq yuqori chegaraga teng chekli chegaraga ega, sup ( x n ) kamaymaydigan va aniq pastki chegara uchun, inf (x n) ortib bormaydigan ketma-ketlik uchun.
Har qanday monotonik chegaralanmagan ketma-ketlik kamaymaydigan ketma-ketlik uchun ortiqcha cheksizlikka va ortib bormaydigan ketma-ketlik uchun minus cheksizlikka teng cheksiz chegaraga ega.

Isbot

1) kamaymaydigan chegaralangan ketma-ketlik.

(1.1) .

Ketma-ketlik chegaralangan bo'lgani uchun u cheklangan aniq yuqori chegaraga ega
.
Bu shuni anglatadiki:

• barcha n uchun,
  (1.2) ;
• har qanday musbat son uchun e ga bog'liq son bor, shuning uchun
  (1.3) .

.
Bu erda biz ham foydalandik (1.3). (1.2) bilan birlashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
da .
Chunki, keyin
,
yoki
da .
Teoremaning birinchi qismi isbotlangan.

2) Endi ketma-ketlik bo'lsin ortib bormaydigan chegaralangan ketma-ketlik:
(2.1) hamma uchun n.

Ketma-ketlik chegaralangan bo'lgani uchun u cheklangan aniq pastki chegaraga ega
.
Bu quyidagilarni anglatadi:

• Barcha n uchun quyidagi tengsizliklar amal qiladi:
  (2.2) ;
• har qanday ijobiy son uchun e ga qarab raqam mavjud
  (2.3) .

.
Bu erda biz ham foydalandik (2.3). (2.2) ni hisobga olgan holda biz quyidagilarni topamiz:
da .
Chunki, keyin
,
yoki
da .
Bu raqam ketma-ketlikning chegarasi ekanligini anglatadi.
Teoremaning ikkinchi qismi isbotlangan.

Endi cheksiz ketma-ketliklarni ko'rib chiqing.
3) Ketma-ket bo'lsin cheksiz kamaymaydigan ketma-ketlik.

Ketma-ketlik kamaymaydigan bo'lgani uchun barcha n uchun quyidagi tengsizliklar amal qiladi:
(3.1) .

Ketma-ketlik kamaymaydigan va chegaralanmagan bo'lgani uchun u o'ng tomonda chegaralanmagan. Keyin har qanday M soni uchun M ga bog'liq bo'lgan raqam mavjud
(3.2) .

Ketma-ketlik kamaymaydigan bo'lgani uchun, bizda:
.
Bu erda biz ham foydalandik (3.2).

.
Bu ketma-ketlikning chegarasi ortiqcha cheksizlik ekanligini anglatadi:
.
Teoremaning uchinchi qismi isbotlangan.

4) Nihoyat, qachon ishni ko'rib chiqing cheksiz ortib bormaydigan ketma-ketlik.

Yuqoridagidek, ketma-ketlik o'smaydigan bo'lgani uchun
(4.1) hamma uchun n.

Ketma-ketlik o'smaydigan va chegaralanmagan bo'lgani uchun, u chap tomonda chegaralanmagan. Keyin har qanday M soni uchun M ga bog'liq bo'lgan raqam mavjud
(4.2) .

Ketma-ketlik o'smaydigan bo'lgani uchun, bizda:
.

Demak, har qanday M soni uchun shunday bo'ladi natural son, M ga bog'liq, shuning uchun quyidagi tengsizliklar barcha sonlar uchun amal qiladi:
.
Bu ketma-ketlikning chegarasi minus cheksizlik ekanligini anglatadi:
.
Teorema isbotlangan.

Muammoni hal qilish misoli

Barcha misollar Weierstrass teoremasidan foydalanib, ketma-ketlikning yaqinligini isbotlang:
, , . . . , , . . .
Keyin uning chegarasini toping.

Ketma-ketlikni takrorlanuvchi formulalar ko'rinishida ifodalaymiz:
,
.

Berilgan ketma-ketlik yuqoridan qiymat bilan chegaralanganligini isbotlaylik
(P1) .
Isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
.
Mayli. Keyin
.
Tengsizlik (A1) isbotlangan.

Ketma-ketlik monoton ortib borayotganini isbotlaylik.
;
(P2) .
dan boshlab, u holda kasrning maxraji va payning birinchi koeffitsienti musbat bo'ladi. Ketma-ketlik shartlari tengsizlik (P1) bilan chegaralanganligi sababli, ikkinchi omil ham ijobiydir. Shunung uchun
.
Ya'ni, ketma-ketlik qat'iy ravishda ortib bormoqda.

Ketma-ketlik ortib borayotgani va yuqoridan chegaralanganligi sababli, bu chegaralangan ketma-ketlikdir. Shuning uchun, Veyershtrass teoremasiga ko'ra, u chegaraga ega.

Keling, bu chegarani topamiz. Uni quyidagi bilan belgilaymiz:
.
Keling, nimadan foydalanaylik
.
Buni (P2) ga konvergent ketma-ketliklar chegaralarining arifmetik xususiyatlaridan foydalangan holda qo'llaymiz:
.
Ildiz shartni qondiradi.

Shuningdek qarang: