Ko'p sonlarni to'liq bo'lish mumkin emas; bo'lishda ko'pincha noldan boshqa qoldiq bo'ladi. Ushbu maqolada biz qanday qilib ajratishni muhokama qilamiz natural sonlar qolganlari bilan va ularning qo'llanilishini misollar bilan batafsil ko'rib chiqing.
Keling, natural sonlarni ustundagi qoldiq bilan bo'lishdan boshlaylik, keyin ketma-ket ayirish yordamida bo'linishni ko'rib chiqamiz. Nihoyat, biz to'liq bo'lmagan qismni tanlash usulini tahlil qilish bilan yakunlaymiz. Biz eng umumiy holat uchun qoldiq bilan bo'lish algoritmini taqdim etamiz va natural sonlarni qoldiqqa bo'lish natijasini qanday tekshirishni ko'rsatamiz.
Bu ajratishning eng qulay usullaridan biridir. Bu natural sonlarni ustunga bo'lishga bag'ishlangan alohida maqolada batafsil tavsiflangan. Bu erda biz butun nazariyani yangidan bermaymiz, ammo qolgan qismga bo'lish masalasiga e'tibor qaratamiz.
Biz misol yechimini keltiramiz, chunki amaliyotda usulning mohiyatini tushunish eng oson.
1-misol. Natural sonlar qoldiqga qanday bo'linadi?
273844 natural sonini 97 natural soniga bo'ling.
Biz ustunga bo'linib, yozamiz:
Natija: qisman qism 2823 ga, qolgan qismi esa 13 ga teng.
Raqamlarni ketma-ket ayirish orqali qoldiq bilan bo'lish
To'liq bo'lmagan qism va qoldiqni topish uchun dividenddan bo'luvchini ketma-ket ayirish usuliga murojaat qilishingiz mumkin. Bu usul har doim ham mos kelmaydi, lekin ba'zi hollarda foydalanish juda qulay. Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
2-misol. Ketma-ket ayirish orqali qoldiq bilan bo'lish.
Aytaylik, bizda 7 ta olma bor. Ushbu 7 ta olmani 3 ta olma qoplariga solib qo'yishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, 7 ni 3 ga bo'lish.
Biz olmalarning dastlabki sonidan 3 dona olib, ularni bitta paketga joylashtiramiz. Bizda 7 - 3 = 4 ta olma qoladi. Endi qolgan olmalardan yana 3 bo'lakni olib, boshqa sumkaga solamiz. 4 - 3 = 1 olma qoldi.
1 olma bo'linishning qolgan qismidir, chunki bu bosqichda biz endi uchta olma bilan boshqa paket hosil qila olmaymiz va bo'linish, aslida, tugallangan. Bo'lim natijasi:
7 ÷ 3 = 2 (qolgan 1)
Bu shuni anglatadiki, 3 raqami 7 raqamiga ikki marta mos keladi va birlik 3 dan kichik qoldiqdir.
Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Bu safar biz analogiyaga murojaat qilmasdan, faqat matematik hisob-kitoblarni beramiz.
3-misol. Ketma-ket ayirish orqali qoldiq bilan bo'lish.
Keling, hisoblab chiqamiz: 145 ÷ 46 .
99 soni 46 dan katta, shuning uchun biz bo'luvchini ketma-ket ayirishni davom ettiramiz:
Ushbu operatsiyani yana bir bor takrorlaymiz:
Natijada, biz qoldiqni olishdan oldin bo'linuvchini dividenddan 3 marta ketma-ket ayirishimiz kerak edi - ayirish natijasi, bu bo'luvchidan kichik. Bizning holatda, qolgan 7 raqami.
145 ÷ 46 = 3 (qolgan 7) .
Dividend bo'luvchidan kam bo'lsa, ketma-ket ayirish usuli mos kelmaydi. Bunday holda, siz darhol javobni yozishingiz mumkin: to'liq bo'lmagan qism nolga teng, qolgan qismi esa eng ko'p bo'linadiganga teng.
Agar a< b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .
Masalan:
12 ÷ 36 = 0 (qolgan 12) 47 ÷ 88 = 0 (qolgan 47)
Ketma-ket ayirish usuliga kelsak, shuni ta'kidlash kerakki, bu butun bo'linish operatsiyasi kam sonli ayirishlarga qisqartirilgan hollardagina qulaydir. Agar dividend bo'luvchidan ko'p marta katta bo'lsa, bu usuldan foydalanish amaliy bo'lmaydi va juda ko'p noqulay hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi.
To'liq bo'lmagan qismni tanlash usuli
Natural sonlarni qoldiqga bo'lishda siz to'liq bo'lmagan qismni tanlab, natijani hisoblashingiz mumkin. Biz tanlov jarayoni qanday o'tkazilishi mumkinligini va u nimaga asoslanganligini ko'rsatamiz.
Birinchidan, biz qaysi raqamlar orasidan to'liq bo'lmagan qismni izlashimiz kerakligini aniqlaymiz. Bo'lish jarayonining aniq ta'rifidan ko'rinib turibdiki, to'liq bo'lmagan qism nolga teng yoki 1, 2, 3 va hokazo natural sonlardan biri hisoblanadi.
Ikkinchidan, biz bo'luvchi, dividend, to'liq bo'lmagan qism va qoldiq o'rtasidagi munosabatni o'rnatamiz. d = a - b c tenglamasini ko'rib chiqing. Bu erda d - bo'linishning qolgan qismi, a - dividend, b - bo'linuvchi, c - qisman qism.
Uchinchidan, qoldiq har doim bo'luvchidan kichik ekanligini unutmasligimiz kerak.
Endi tanlov jarayonini ko'rib chiqaylik. Dividend a va bo'luvchi b bizga boshidan ma'lum. To'liq bo'lmagan qism sifatida biz ketma-ket 0, 1, 2, 3 va boshqalar qatoridan raqamlarni olamiz. Formulani qo'llash d = a - b c va natijada olingan qiymatni bo'linuvchi bilan hisoblash, biz jarayonni qoldiq d bo'luvchidan kam bo'lganda tugatamiz b . Ushbu bosqichda c uchun olingan raqam to'liq bo'lmagan qism bo'ladi.
Keling, ushbu usulning qo'llanilishini misol bilan ko'rib chiqaylik.
Misol 4. Tanlov bo'yicha qoldiq bilan bo'lish
267 ni 21 ga bo'ling.
a = 267 b = 21. Keling, to'liq bo'lmagan qismni tanlaylik.
Keling, d = a - b · c formulasidan foydalanamiz va c ni takrorlaymiz va unga 0 , 1 , 2 , 3 va hokazo qiymatlarni beramiz.
Agar c \u003d 0 bo'lsa, bizda: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 0 \u003d 267. 267 raqami 21 dan katta, shuning uchun biz almashtirishni davom ettiramiz.
c \u003d 1 bilan bizda: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 1 \u003d 246. Chunki 246 > 21, jarayonni yana takrorlang.
c \u003d 2 bilan bizda: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 2 \u003d 267 - 42 \u003d 225; 225 > 21.
c \u003d 3 bilan bizda: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 3 \u003d 267 - 63 \u003d 204; 204 > 21.
c \u003d 12 bilan bizda: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 12 \u003d 267 - 252 \u003d 15; 15< 21 .
Natural sonlarni qoldiqga bo'lish algoritmi
Agar yuqorida ko'rib chiqilgan qisman qism va ketma-ket ayirish usullari juda og'ir hisoblarni talab qilsa, qolgan qismga bo'lish uchun quyidagi usul qo'llaniladi. Natural a sonni b soniga qoldiq bilan bo‘lish algoritmini ko‘rib chiqaylik.
Eslatib o'tamiz, agar a< b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a >b.
Biz uchta savolni tuzamiz va ularga javob beramiz:
- U erda nima ma'lum?
- Biz nimani topishimiz kerak?
- Biz buni qanday qilamiz?
Dastlab, dividend va bo'luvchi ma'lum: a va b.
To'liq bo'lmagan c qismini va qolgan d ni topishingiz kerak.
Bu erda dividend, bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan qism va qoldiq o'rtasidagi munosabatni aniqlaydigan formula mavjud. a = b c + d. Aynan shu nisbatni natural sonlarni qoldiqqa bo'lish algoritmiga asos qilib olamiz. Dividend a yig'indisi a = b c + d sifatida ifodalanishi kerak, keyin biz kerakli qiymatlarni topamiz.
A ni a = b c + d yig'indisi sifatida ifodalaydigan bo'linish algoritmi natural sonlarni qoldiqsiz bo'lish algoritmiga juda o'xshaydi. Quyida 899 sonini 47 ga bo'lish misolidan foydalangan holda algoritm qadamlari keltirilgan.
1. Avvalo, dividend va bo'luvchiga qaraymiz. Dividend yozuvidagi raqam bo'luvchidagi raqamdan necha raqam katta ekanligini bilib olamiz va eslaymiz. Bizning aniq misol Dividend uchta raqamga ega va bo'luvchi ikkita raqamga ega.
Keling, bu raqamni eslaylik.
2. Bo'luvchi yozuvning o'ng tomonida, dividend va bo'luvchidagi belgilar soni o'rtasidagi farq bilan aniqlangan nollar sonini qo'shing. Bizning holatda, siz bitta nol qo'shishingiz kerak. Agar yozma raqam bo'linadigan raqamdan katta bo'lsa, unda birinchi xatboshida yodlangan raqamdan bittasini ayirish kerak.
Bizning misolimizda biz 47 ning o'ng tomoniga nol qo'shamiz. 470 yildan beri< 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.
3. 1 raqamining o'ng tomonida biz nol sonini belgilaymiz, soniga teng oldingi bandda belgilangan. Bizning misolimizda bir nolni birga belgilab, biz 10 raqamini olamiz. Ushbu harakat natijasida biz razryadning ishchi blokini oldik, u bilan biz bundan keyin ham ishlaymiz.
4. Bo'luvchini ketma-ket 1, 2, 3 ga ko'paytiramiz. . va hokazo. bo'linuvchidan katta yoki unga teng bo'lgan sonni olmagunimizcha ishchi raqamning birliklari.
Bizning misolimizdagi ishchi raqam o'nlab. Bo'luvchini ishchi bitning bir birligiga ko'paytirgandan so'ng, biz 470 ni olamiz.
470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .
Biz oxirgi bosqichda olgan raqam (470 = 47 10) talab qilinadigan shartlarning birinchisidir.
5. Dividend va topilgan birinchi had o‘rtasidagi farqni toping. Olingan son bo'luvchidan katta bo'lsa, ikkinchi hadni topishga o'tamiz.
Biz 1-5 bosqichlarni takrorlaymiz, ammo bu erda olingan raqamni dividend sifatida olamiz. Agar biz yana bo'luvchidan kattaroq raqam olsak, yana 1 - 5 bosqichlarni aylana bo'ylab takrorlang, lekin dividend sifatida yangi raqam bilan. Bu erda olingan raqam bo'luvchidan kichik bo'lguncha davom etamiz. Keling, yakuniy bosqichga o'tamiz. Oldinga qarab, aytaylik, oxirgi olingan raqam qolganga teng bo'ladi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. 899 - 470 = 429, 429 > 47. Dividend sifatida olingan 429 raqami bilan algoritmning 1 - 5 bosqichlarini takrorlaymiz.
1. 429 raqamining kiritilishida 47 raqamining kirishiga qaraganda bir belgi ko'p. Biz farqni eslaymiz - 1 raqami.
2. O'ng tarafdagi dividendlar yozuvida biz bitta nol qo'shamiz. Biz 470 raqamini olamiz. 470 > 429 bo'lgani uchun oldingi xatboshida yodlangan 1 raqamidan 1 ni ayirib, 1 - 1 = 0 ni oling. Biz 0 ni eslaymiz.
3. Oldingi paragrafda biz 0 raqamini oldik va uni eslab qoldik, shuning uchun o'ngdagiga hech qanday nol qo'shishimiz shart emas. Shunday qilib, ishchi raqam birlikdir
4. Bo‘luvchi 47 ni 1 , 2 , 3 ga ketma-ket ko‘paytiring. . va hokazo. Biz batafsil hisob-kitoblarni bermaymiz, lekin yakuniy natijaga e'tibor qaratamiz: 47 9 = 423< 429 , 47 · 10 = 470 >429. Shunday qilib, ikkinchi talab qilinadigan atama 47 9 = 423.
5. 429 va 423 orasidagi farq 6 soniga teng. 6 dan beri< 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.
6. Oldingi bosqichlarning maqsadi dividendni bir necha shartlar yig'indisi sifatida ifodalash edi. Bizning misolimiz uchun biz 899 = 470 + 423 + 6 ni oldik. Eslatib o'tamiz, 470 = 47 10, 423 = 47 9. Keling, tenglamani qayta yozamiz:
899 = 47 10 + 47 9 + 6
Ko'paytirishning distributiv xususiyatini qo'llang.
899 = 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6
899 = 47 19 + 6.
Shunday qilib, biz dividendni ilgari berilgan a = b c + d formulasi ko'rinishida taqdim etdik.
Kerakli noma'lumlar: to'liq bo'lmagan qism c \u003d 19, qolgan d \u003d 6.
Albatta, qaror qabul qilganda amaliy misollar barcha harakatlarni bunday batafsil tasvirlashning hojati yo'q. Keling, ko'rsataylik:
Misol 5. Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish
42252 va 68 raqamlarini ajrating.
Keling, algoritmdan foydalanamiz. Birinchi besh qadam birinchi muddatni beradi - 40800 = 68 600 raqami.
Algoritmning dastlabki besh bosqichini yana 1452 = 42252 - 40800 raqami bilan takrorlaymiz va 1360 = 68 20 ikkinchi hadini olamiz.
Uchinchi marta biz agloritm bosqichlaridan o'tamiz, lekin yangi raqam bilan 92 = 1452 - 1360. Uchinchi had 68 = 68 1 ga teng. Qolgan 24 = 92 - 68.
Natijada biz quyidagilarni olamiz:
42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 600 + 68 20 + 68 1 + 24 = = 68 (600 + 20 + 1) + 24 = 68 621 + 24
To'liq bo'lmagan qism 621, qolgan qismi 24.
Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish. Natijani tekshirish
Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish, ayniqsa qachon katta raqamlar, ancha mashaqqatli va mashaqqatli jarayon. Har kim hisob-kitoblarda xato qilishi mumkin. Shuning uchun bo'linish natijasini tekshirish sizga hamma narsani to'g'ri qilganingizni tushunishga yordam beradi. Natural sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish ikki bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqichda biz qoldiq bo'luvchidan katta yoki yo'qligini tekshiramiz. Agar yo'q bo'lsa, unda hamma narsa yaxshi. Aks holda, biror narsa noto'g'ri ketdi degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Muhim!
Qolgan har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi!
Ikkinchi bosqichda a = b · c + d tengligining haqiqiyligi tekshiriladi. Agar qiymatlar almashtirilgandan keyin tenglik to'g'ri bo'lsa, bo'linish xatosiz amalga oshirildi.
Misol 6. Natural sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish.
506 ÷ 28 = 17 (qolgan 30) to'g'ri yoki yo'qligini tekshiramiz.
Qolgan va bo'luvchini solishtiring: 30 > 28 .
Demak, bo'linish noto'g'ri.
Misol 7. Natural sonlarni qoldiqqa bo'lish natijasini tekshirish.
Talaba 121 ni 13 ga bo'ldi va natijada to'liq bo'lmagan 9 ni, qoldiq 5 ni oldi. U to'g'ri ish qildimi?
Buni bilish uchun avval qoldiq va bo‘luvchini solishtiramiz: 5< 13 .
Birinchi nazorat punkti o'tdi, ikkinchisiga o'tamiz.
a = b c + d formulasini yozamiz. a = 121; b = 13; c = 9 d = 5.
Qiymatlarni almashtiring va natijalarni taqqoslang
13 9 + 5 = 117 + 5 = 122; 121 ≠ 122
Bu shuni anglatadiki, biror joyda talabaning hisob-kitoblarida xatolik paydo bo'ldi.
Misol 8. Natural sonlarni qoldiqqa bo'lish natijasini tekshirish.
Talaba ijro etdi laboratoriya ishi fizikada. Qatl paytida u 5998 ni 111 ga bo'lish kerak edi. Natijada u 54 raqamini, qolgan 4 raqamini oldi. Hammasi to'g'ri hisoblanganmi?
Keling, tekshiramiz! Qolgan 4 bo'luvchi 111 dan kichik, shuning uchun biz tekshirishning ikkinchi bosqichiga o'tamiz.
Biz a \u003d b c + d formulasidan foydalanamiz, bu erda a \u003d 5998; b = 111; c = 54; d = 4.
O'zgartirishdan keyin bizda:
5998 = 111 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998.
Tenglik to'g'ri, ya'ni bo'linish to'g'ri.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Qolgan bilan bo'linish- bir sonning qolgan qismi nolga teng bo'lmasligi uchun boshqa raqamga bo'linishi.
Har doim ham bo'linishni amalga oshirish mumkin emas, chunki bir raqam boshqasiga bo'linmaydigan holatlar mavjud. Masalan, 11 soni 3 ga bo'linmaydi, chunki 3 ga ko'paytirilganda 11 ni beradigan bunday natural son yo'q.
Bo'linishni amalga oshirish mumkin bo'lmaganda, barcha bo'linuvchilarni emas, balki faqat bo'linuvchiga bo'linadigan eng katta qismini ajratishga kelishib olindi. Ushbu misolda dividendning 3 ga bo'linishi mumkin bo'lgan eng katta qismi 9 ga teng (natijada biz 3 ni olamiz), qolgan kichikroq dividend qismi - 2 3 ga bo'linmaydi.
11 ni 3 ga bo'lish haqida gapiradigan bo'lsak, 11 hali ham bo'linuvchi deb ataladi, 3 bo'linuvchi, bo'linish natijasi 3 raqami, ular chaqirishadi to'liq bo'lmagan shaxsiy, va 2 raqami - bo'linishning qolgan qismi. Bu holda bo'linishning o'zi qoldiq bilan bo'linish deb ataladi.
To'liq bo'lmagan qism deyiladi eng katta raqam, bu bo'linuvchiga ko'paytirilganda dividenddan oshmaydigan mahsulot beradi. Dividend va ushbu mahsulot o'rtasidagi farq qoldiq deb ataladi. Qolgan har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi, aks holda u bo'luvchi tomonidan ham bo'linishi mumkin.
Qolgan bo'linish quyidagicha yozilishi mumkin:
11: 3 = 3 (qolgan 2)
Agar bitta natural son ikkinchisiga boʻlinganda qolgan 0 ga teng boʻlsa, birinchi son ikkinchisiga teng boʻlinadi deyiladi. Masalan, 4 2 ga teng bo'linadi. 5 raqami hatto 2 ga bo'linmaydi. Qisqalik uchun odatda butun so'z tushirib qo'yiladi va ular aytadilar: falon son boshqasiga bo'linadi, masalan: 4 2 ga bo'linadi va 5 2 ga bo'linmaydi.
Qoldiq bilan bo'linishni tekshirish
Qoldiq bilan bo'lish natijasini quyidagi tarzda tekshirishingiz mumkin: to'liq bo'lmagan qismni bo'luvchiga ko'paytiring (yoki aksincha) va qolgan qismini hosil bo'lgan mahsulotga qo'shing. Agar natija dividendga teng bo'lsa, unda qolgan qismga bo'linish to'g'ri bajariladi:
11: 3 = 3 (qolgan 2)
Maqolada butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish tushunchasi tahlil qilinadi. Butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teoremani isbotlab, bo‘linuvchilar va bo‘luvchilar, to‘liq bo‘lmagan bo‘laklar va qoldiqlar orasidagi bog‘lanishlarni ko‘rib chiqamiz. Butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish qoidalarini misollar bilan batafsil ko'rib chiqing. Yechim oxirida biz tekshirishni amalga oshiramiz.
Butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish haqida umumiy tushuncha
Butun sonlarni qoldiq bilan bo‘lish natural sonlar qoldig‘iga umumlashgan bo‘linish sifatida qaraladi. Bu natural sonlar butun sonlarning tarkibiy qismi bo'lganligi sababli amalga oshiriladi.
Ixtiyoriy sonning qoldig'iga bo'linish, a butun soni noldan farq qiladigan b soniga bo'linishini aytadi. Agar b = 0 bo'lsa, qoldiq bilan bo'linish amalga oshirilmaydi.
Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish kabi, a va b butun sonlarni b noldan farqli bo'lgan holda c va d ga bo'lish amalga oshiriladi. Bunday holda, a va b dividend va bo'luvchi deb ataladi va d - bo'linishning qolgan qismi, c - butun yoki qisman qism.
Agar qoldiq manfiy bo'lmagan butun son deb faraz qilsak, uning qiymati b sonining modulidan katta emas. Buni shunday yozamiz: 0 ≤ d ≤ b . Ushbu tengsizliklar zanjiri 3 yoki undan ortiq sonlarni solishtirishda qo'llaniladi.
Agar c to'liq bo'lmagan qism bo'lsa, d butun sonni b ga bo'lishning qolgan qismi bo'lsa, siz qisqacha tuzatishingiz mumkin: a: b \u003d c (d qoladi).
A sonini b ga bo'lishda qoldiq nolga teng bo'lishi mumkin, keyin ular a ni b ga to'liq, ya'ni qoldiqsiz bo'linadi, deyishadi. Qoldiqsiz bo'lish bo'linishning alohida holati hisoblanadi.
Agar nolni qandaydir songa bo'lsak, natijada nolga erishamiz. Bo'linishning qolgan qismi ham nolga teng bo'ladi. Buni nolni butun songa bo'lish nazariyasidan ko'rish mumkin.
Endi butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish ma'nosini ko'rib chiqing.
Ma'lumki, musbat butun sonlar tabiiydir, keyin qoldiqga bo'linganda, natural sonlarni qoldiqga bo'lishda bir xil ma'no olinadi.
a manfiy butun sonni b musbat butun songa bo‘lish mantiqan to‘g‘ri keladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Vaziyatni tasavvur qiling-a, bizda b odamlar tomonidan to'lanishi kerak bo'lgan a miqdoridagi narsalar bo'yicha qarzimiz bor. Buning uchun hamma teng hissa qo'shishi kerak. Har bir kishi uchun qarz miqdorini aniqlash uchun xususiy c qiymatiga e'tibor berish kerak. Qolgan d, qarzlarni to'lashdan keyin ob'ektlar soni ma'lum ekanligini ko'rsatadi.
Keling, olma bilan bir misol keltiraylik. Agar 2 kishiga 7 ta olma kerak bo'lsa. Agar har bir kishi 4 ta olmani qaytarishi kerakligini hisoblasak, to'liq hisob-kitobdan keyin ularda 1 ta olma qoladi. Buni tenglik qilib yozamiz: (− 7) : 2 = − 4 (o s t. 1) .
Har qanday a sonini butun songa bo'lish mantiqiy emas, lekin bu variant sifatida mumkin.
Qoldiqli butun sonlar uchun bo‘linish teoremasi
Biz a - dividend, keyin b - bo'luvchi, c - qisman qism va d - qoldiq ekanligini aniqladik. Ular bir-biriga bog'langan. Bu munosabatni a = b · c + d tengligidan foydalanib ko'rsatamiz. Ular orasidagi munosabat qoldiqqa bo'linish teoremasi bilan tavsiflanadi.
Teorema
Har qanday butun sonni faqat butun son va nolga teng bo'lmagan b sonida shu tarzda ifodalash mumkin: a = b · q + r , bu erda q va r ba'zi butun sonlardir. Bu erda bizda 0 ≤ r ≤ b .
a = b · q + r ning mavjudligini isbotlaylik.
Isbot
Agar a va b ikkita son bo'lsa va a b ga qoldiqsiz bo'linadigan bo'lsa, u holda ta'rifdan q soni borligi, a = b · q tengligi to'g'ri bo'lishi kelib chiqadi. U holda tenglikni to'g'ri deb hisoblash mumkin: r = 0 uchun a = b q + r.
Keyin b · q tengsizlik bilan berilgan q ni olish kerak< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Bizda a - b · q ifodaning qiymati noldan katta va b sonining qiymatidan katta emas, demak, r = a - b · q degan xulosa kelib chiqadi. Biz a soni a = b · q + r shaklida ifodalanishi mumkinligini olamiz.
Endi b ning manfiy qiymatlari uchun a = b · q + r ni ifodalash imkoniyatini ko'rib chiqishimiz kerak.
Raqamning moduli musbat bo'lib chiqadi, keyin biz a = b q 1 + r ni olamiz, bu erda q 1 qiymati qandaydir butun son, r - 0 ≤ r shartiga mos keladigan butun son.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
O'ziga xoslik isboti
Faraz qilaylik, a = b q + r, q va r sharti 0 ≤ r bo‘lgan butun sonlardir.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Va r1 ba'zi raqamlar qaerda q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
Tengsizlik chap va o'ng tomondan ayirilsa, u holda biz 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 ni olamiz, bu r - r 1 = b · q 1 - q ga teng. Modul ishlatilganligi sababli r - r 1 = b · q 1 - q tengligini olamiz.
Berilgan shart 0 ≤ r ekanligini aytadi< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Va q 1- butun, va q ≠ q 1, keyin q 1 - q ≥ 1. Demak, bizda b · q 1 - q ≥ b . Olingan tengsizliklar r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Bundan kelib chiqadiki, a sonini a = b · q + r yozuvidan tashqari boshqa usulda ifodalash mumkin emas.
Dividend, bo'luvchi, qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabat
a \u003d b c + d tengligidan foydalanib, noma'lum dividendni a bo'luvchisi to'liq bo'lmagan bo'lak c va qolgan d bilan ma'lum bo'lganda topishingiz mumkin.
1-misol
Dividendni aniqlang, agar bo'lishda biz - 21, to'liq bo'lmagan qism 5 va qolgan 12 bo'lsa.
Yechim
Dividend a ni ma'lum bo'luvchi b = - 21, to'liq bo'lmagan qism c = 5 va qolgan d = 12 bilan hisoblash kerak. Biz a = b c + d tengligiga murojaat qilishimiz kerak, bu erdan a = (− 21) 5 + 12 ni olamiz. Amaliyotlar tartibini hisobga olgan holda, biz - 21 ni 5 ga ko'paytiramiz, shundan so'ng biz (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 ni olamiz.
Javob: - 93 .
Bo'luvchi va qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabat tenglik yordamida ifodalanishi mumkin: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b va d = a - b · c . Ularning yordami bilan biz bo'linuvchi, qisman qism va qoldiqni hisoblashimiz mumkin. Bu ma'lum dividend, bo'luvchi va qisman qismga ega bo'lgan a ni b ga bo'lishning qolgan qismini doimiy ravishda topishga olib keladi. d = a - b · c formulasi qo'llaniladi. Keling, yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.
2-misol
Butun sonni - 7 ga teng bo'lgan ma'lum to'liq bo'lmagan qismni 3 ga bo'lishning qolgan qismini toping.
Yechim
Bo'linishning qolgan qismini hisoblash uchun d = a - b c ko'rinishdagi formulani qo'llaymiz. Shartga ko'ra, a = - 19, b = 3, c = - 7 barcha ma'lumotlar mavjud. Bu yerdan biz d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (farq - 19 - (- 21) ni olamiz... Bu misol salbiy ingerte sonini ayirish qoidasi bilan hisoblanadi.
Javob: 2 .
Barcha musbat sonlar tabiiydir. Bundan kelib chiqadiki, bo'linish natural sonlarning qolgan qismi bilan bo'linishning barcha qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Tabiiy sonlarning qolgan qismiga bo'linish tezligi muhim ahamiyatga ega, chunki unga nafaqat ijobiy sonlarni bo'lish, balki ixtiyoriy butun sonlarni bo'lish qoidalari ham asoslanadi.
Bo'lishning eng qulay usuli - bu ustun, chunki qoldiq bilan to'liq bo'lmagan yoki shunchaki qismni olish osonroq va tezroq. Keling, yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.
3-misol
14671 ni 54 ga bo'ling.
Yechim
Ushbu bo'linish ustunda bajarilishi kerak:
Ya'ni, to'liq bo'lmagan qism 271 ga, qolgan qismi esa 37 ga teng.
Javob: 14671: 54 = 271. (qolgan. 37)
Musbat butun sonni qoldiq bilan manfiy butun songa bo‘lish qoidasi, misollar
Ijobiy sonning qoldig'ini manfiy butun songa bo'lish uchun qoidani shakllantirish kerak.
Ta'rif 1
Musbat butun a ni manfiy butun b songa bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismi a sonlar modullarini b ga bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismiga qarama-qarshi bo‘lgan sonni beradi. U holda a b ga bo'linganda qolgan qoldiq bo'ladi.
Demak, musbat butun sonni manfiy butun songa bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismi musbat bo‘lmagan butun son hisoblanadi.
Biz algoritmni olamiz:
- dividend modulini bo'linuvchining moduliga ajratamiz, keyin biz to'liq bo'lmagan qismni olamiz va
- qoldiq;
- qarama-qarshi raqamni yozing.
Musbat butun sonni manfiy songa bo'lish algoritmining misolini ko'rib chiqing.
4-misol
Qolgan 17 ga - 5 ga bo'linishni bajaring.
Yechim
Musbat butun sonni manfiy songa bo‘lish algoritmini qo‘llaymiz. 17 ni - 5 modulga bo'lish kerak. Bu erdan biz to'liq bo'lmagan qism 3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng ekanligini bilib olamiz.
Biz kerakli sonni 17 ni - 5 \u003d - 3 ga bo'lish orqali 2 ga teng qoldiq bilan olamiz.
Javob: 17: (− 5) = − 3 (qolgan 2).
5-misol
45 ni - 15 ga bo'ling.
Yechim
Raqamlarni modulga bo'lish kerak. Biz 45 raqamini 15 ga bo'lamiz, biz qoldiqsiz 3 qismni olamiz. Demak, 45 soni 15 ga qoldiqsiz bo'linadi. Javobda biz - 3 ni olamiz, chunki bo'linish modul bo'yicha amalga oshirilgan.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Javob: 45: (− 15) = − 3 .
Qoldiq bilan bo'lish qoidasining formulasi quyidagicha.
Ta'rif 2
a manfiy butun sonni musbat b ga bo'lishda to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun bu sonning teskarisini qo'llash va undan 1 ni ayirish kerak, keyin qolgan d quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: d = a - b · c.
Qoidaga asoslanib, biz bo'lishda biz manfiy bo'lmagan butun sonni olamiz degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yechimning aniqligi uchun a ni b ni qoldiq bilan bo'lish algoritmi qo'llaniladi:
- dividend va bo'luvchining modullarini toping;
- modulni ajratish;
- berilgan sonning teskarisini yozing va 1 ni ayiring;
- d = a - b c qolgan uchun formuladan foydalaning.
Ushbu algoritm qo'llaniladigan yechim misolini ko'rib chiqing.
6-misol
To'liq bo'lmagan qismni va bo'linishning qolgan qismini toping - 17 ga 5.
Yechim
Berilgan raqamlarni modulga ajratamiz. Biz bo'lishda bo'linish 3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng bo'ladi. Biz 3 ga ega bo'lganimiz uchun buning aksi 3 ga teng. 1 ni ayirish kerak.
− 3 − 1 = − 4 .
Kerakli qiymat - 4 ga teng.
Qolgan miqdorni hisoblash uchun a = - 17, b = 5, c = - 4, keyin d = a - b c = - 17 - 5 (- 4) = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3 bo'lishi kerak.
Bu shuni anglatadiki, bo'linishning to'liq bo'lmagan qismi - 4, qoldiq 3 ga teng.
Javob:(− 17) : 5 = − 4 (qolgan 3).
7-misol
1404 manfiy butun sonni musbat 26 ga bo'ling.
Yechim
Ustun va modul bo'yicha bo'linish kerak.
Biz raqamlar modullarini qoldiqsiz bo'linishini oldik. Bu shuni anglatadiki, bo'linish qoldiqsiz bajariladi va kerakli qism = - 54.
Javob: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Manfiy butun sonlar qoldig'i bilan bo'lish qoidasi, misollar
Butun sonlar qoldig'i bilan bo'linish qoidasini shakllantirish kerak manfiy raqamlar.
Ta'rif 3
a manfiy butun sonni manfiy butun son b ga bo'lishdan to'liq bo'lmagan qismni olish uchun modulli hisob-kitoblarni bajarish kerak, shundan so'ng 1 ni qo'shing, keyin d = a - b · c formulasi yordamida hisoblashimiz mumkin.
Bundan kelib chiqadiki, manfiy butun sonlarni bo'lishning to'liqsiz qismi musbat son bo'ladi.
Biz ushbu qoidani algoritm shaklida shakllantiramiz:
- dividend va bo'luvchining modullarini toping;
- to'liq bo'lmagan qismni olish uchun dividend modulini bo'linuvchi modulga bo'ling.
- qoldiq;
- to'liq bo'lmagan qismga 1 qo'shish;
- d = a - b c formulasi asosida qoldiqni hisoblash.
Keling, ushbu algoritmni misol bilan ko'rib chiqaylik.
8-misol
- 17 ga - 5 ga bo'linganda qisman qism va qoldiqni toping.
Yechim
Yechimning to'g'riligi uchun biz qoldiq bilan bo'lish algoritmini qo'llaymiz. Birinchidan, raqamlarni modulga bo'ling. Bu erdan biz to'liq bo'lmagan qism \u003d 3, qolgan qismi esa 2 ni olamiz. Qoidaga ko'ra, to'liq bo'lmagan qism va 1 qo'shilishi kerak. Biz 3 + 1 = 4 ni olamiz. Bundan biz bo'linishning to'liq bo'lmagan qismini olamiz berilgan raqamlar 4 ga teng.
Qolganini hisoblash uchun formulani qo'llaymiz. Shartga ko'ra, bizda a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, keyin formuladan foydalanib, biz d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) - 103d \u003d ni olamiz. Istalgan javob, ya'ni qoldiq 3 ga, to'liq bo'lmagan qism esa 4 ga teng.
Javob:(− 17) : (− 5) = 4 (qolgan 3).
Butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish
Raqamlarni qoldiq bilan bo'lishdan so'ng, tekshirishni amalga oshirish kerak. Ushbu tekshirish 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Birinchidan, qolgan d ning manfiy emasligi tekshiriladi, shart 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
9-misol
Ishlab chiqarilgan bo'linma - 521 tomonidan - 12. Ko'rsatkich 44 ga, qolgan qismi 7 ga teng. Tekshirishni o'tkazing.
Yechim
Qolgan musbat son bo'lgani uchun uning qiymati bo'linuvchining modulidan kichik. Bo'luvchi - 12, shuning uchun uning moduli 12 ga teng. Siz keyingi nazorat punktiga o'tishingiz mumkin.
Shartga ko'ra, bizda a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Bu erdan biz b c + d ni hisoblaymiz, bu erda b c + d = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521. Bundan kelib chiqadiki, tenglik haqiqatdir. Tekshirish o'tdi.
10-misol
Tekshirish bo'limi (- 17) : 5 = - 3 (qolgan - 2). Tenglik haqiqatmi?
Yechim
Birinchi bosqichning ma'nosi shundaki, butun sonlarning qoldiq bilan bo'linishini tekshirish kerak. Bu harakatning noto'g'ri bajarilganligini ko'rsatadi, chunki qoldiq berilgan, - 2 ga teng. Qolganlari manfiy raqam emas.
Bizda ikkinchi shart qanoatlantirilgan, ammo bu holat uchun etarli emas.
Javob: Yo'q.
11-misol
Raqam - 19 ga bo'lingan - 3. Qisman qism 7 ga, qolgan qismi esa 1 ga teng. Ushbu hisob to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring.
Yechim
Qolgan 1 berilgan. U ijobiy. Qiymat ajratuvchi moduldan kamroq, ya'ni birinchi bosqich bajariladi. Keling, ikkinchi bosqichga o'tamiz.
b · c + d ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Shartga ko'ra, bizda b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 bor, shuning uchun raqamli qiymatlarni almashtirib, biz b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20 ni olamiz. Bundan kelib chiqadiki, a = b · c + d tenglik bajarilmaydi, chunki shart a = - 19 berilgan.
Bu bo'linish xato bilan qilinganligini anglatadi.
Javob: Yo'q.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Dars mavzusini o'qing: "Qoldiq bilan bo'lish". Bu mavzu haqida nimalarni allaqachon bilasiz?
Ikkita plastinkaga 8 ta olxo'rini teng taqsimlay olasizmi (1-rasm)?
Guruch. 1. Masalan, rasm
Har bir plastinkada 4 ta olxo'ri qo'yishingiz mumkin (2-rasm).
Guruch. 2. Masalan, rasm
Biz bajargan harakatni quyidagicha yozish mumkin.
8: 2 = 4
Nima deb o'ylaysiz, 8 ta olxo'rini 3 ta plastinkaga teng bo'lish mumkinmi (3-rasm)?
Guruch. 3. Masalan, rasm
Keling, shunday harakat qilaylik. Birinchidan, har bir plastinkaga bitta olxo'ri, keyin ikkinchi olxo'ri qo'ying. Bizda 2 ta olxo'ri qoladi, lekin 3 ta plastinka. Shuning uchun biz uni teng taqsimlay olmaymiz. Har bir plastinkaga 2 ta olxo'ri qo'yamiz, bizda 2 ta olxo'ri qoldi (4-rasm).
Guruch. 4. Masalan, rasm
Monitoringni davom ettiramiz.
Raqamlarni o'qing. Berilgan sonlar orasidan 3 ga bo'linadiganlarini toping.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
O'zingizni sinab ko'ring.
Qolgan raqamlar (11, 13, 14, 16, 17, 19) 3 ga bo'linmaydi yoki ular aytadilar. "qolgan bilan bo'ling."
Keling, xususiy qiymatni topaylik.
17 sonida 3 soni necha marta borligini aniqlaymiz (5-rasm).
Guruch. 5. Masalan, rasm
Biz 3 ta ovalning 5 marta mos kelishini va 2 ta oval qolganini ko'ramiz.
Amalga oshirilgan harakatni quyidagicha yozish mumkin.
17: 3 = 5 (qolgan. 2)
U ustun shaklida ham yozilishi mumkin (6-rasm).
Guruch. 6. Masalan, rasm
Chizmalarni ko'rib chiqing. Ushbu raqamlarning sarlavhalarini tushuntiring (7-rasm).
Guruch. 7. Masalan, rasm
Birinchi rasmni ko'rib chiqing (8-rasm).
Guruch. 8. Masalan, rasm
15 ta oval 2 ga bo'linganligini ko'ramiz. 2 ta 7 marta, qolganida - 1 oval takrorlangan.
Ikkinchi rasmni ko'rib chiqing (9-rasm).
Guruch. 9. Masalan, rasm
Bu rasmda 15 kvadrat 4 ga bo'lingan. 4 ta 3 marta takrorlangan, qolganida - 3 kvadrat.
Uchinchi rasmni ko'rib chiqing (10-rasm).
Guruch. 10. Masalan, rasm
Aytishimiz mumkinki, 15 ta oval 3 ga bo'lingan. 3 ta 5 marta teng takrorlangan. Bunday hollarda qolgan 0 ga teng deyiladi.
Keling, bo'linishni qilaylik.
Biz etti kvadratni uchga ajratamiz. Biz ikkita guruhni olamiz va bitta kvadrat qoladi. Yechimni yozamiz (11-rasm).
Guruch. 11. Masalan, rasm
Keling, bo'linishni qilaylik.
Biz 10 sonida to'rt necha marta borligini aniqlaymiz. 10 sonida to'rt 2 marta borligini va 2 kvadrat qolganligini ko'ramiz. Yechimni yozamiz (12-rasm).
Guruch. 12. Masalan, rasm
Keling, bo'linishni qilaylik.
11 sonida ikkitadan necha marta ikkita borligini aniqlaymiz. 11 sonida ikkitadan 5 marta borligini va 1 kvadrat qolganligini ko'ramiz. Yechimni yozamiz (13-rasm).
Guruch. 13. Masalan, rasm
Keling, xulosa qilaylik. Qoldiq bilan bo'lish degani, dividendda bo'luvchi necha marta borligini va qancha birlik qolganligini aniqlashni anglatadi.
Qoldiq bilan bo'lish son qatorida ham bajarilishi mumkin.
Raqam chizig'ida biz 3 bo'linmaning segmentlarini belgilaymiz va biz uchta bo'linish uch marta aylanganini va bitta bo'linish qolganini ko'ramiz (14-rasm).
Guruch. 14. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
10: 3 = 3 (dam olish.1)
Keling, bo'linishni qilaylik.
Raqamli nurda biz 3 bo'linmaning segmentlarini belgilaymiz va biz uchta bo'linish uch marta aylanganini va ikkita bo'linish qolganini ko'ramiz (15-rasm).
Guruch. 15. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
11: 3 = 3 (dam olish. 2)
Keling, bo'linishni qilaylik.
Raqamli nurda biz 3 bo'linma segmentlarini belgilaymiz va biz aniq 4 marta olganimizni ko'ramiz, qoldiq yo'q (16-rasm).
Guruch. 16. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
12: 3 = 4
Bugun darsda qoldiq bilan bo'lish bilan tanishdik, rasm va son nurlari yordamida nomlangan harakatni bajarishni o'rgandik, dars mavzusi bo'yicha misollar echishni mashq qildik.
Adabiyotlar ro'yxati
- M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 1-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 2-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012 yil.
- M.I. Moreau. Matematika darslari: Ko'rsatmalar o'qituvchi uchun. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012 yil.
- Normativ hujjat. Ta'lim natijalarini monitoring qilish va baholash. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
- "Rossiya maktabi": uchun dasturlar Boshlang'ich maktab. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
- S.I. Volkov. Matematika: Tekshirish ishi. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012 yil.
- V.N. Rudnitskaya. Testlar. - M.: "Imtihon", 2012 yil.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Uy vazifasi
1. 2 ga qoldiqsiz bo‘linadigan sonlarni yozing.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Chizmadan foydalanib, qoldiq bilan bo‘linishni bajaring.
3. Son qatoridan foydalanib, qoldiq bilan bo‘linishni bajaring.
4. Dars mavzusi bo'yicha o'rtoqlaringizga topshiriq bering.
Dars mavzusini o'qing: "Qoldiq bilan bo'lish". Bu mavzu haqida nimalarni allaqachon bilasiz?
Ikkita plastinkaga 8 ta olxo'rini teng taqsimlay olasizmi (1-rasm)?
Guruch. 1. Masalan, rasm
Har bir plastinkada 4 ta olxo'ri qo'yishingiz mumkin (2-rasm).
Guruch. 2. Masalan, rasm
Biz bajargan harakatni quyidagicha yozish mumkin.
8: 2 = 4
Nima deb o'ylaysiz, 8 ta olxo'rini 3 ta plastinkaga teng bo'lish mumkinmi (3-rasm)?
Guruch. 3. Masalan, rasm
Keling, shunday harakat qilaylik. Birinchidan, har bir plastinkaga bitta olxo'ri, keyin ikkinchi olxo'ri qo'ying. Bizda 2 ta olxo'ri qoladi, lekin 3 ta plastinka. Shuning uchun biz uni teng taqsimlay olmaymiz. Har bir plastinkaga 2 ta olxo'ri qo'yamiz, bizda 2 ta olxo'ri qoldi (4-rasm).
Guruch. 4. Masalan, rasm
Monitoringni davom ettiramiz.
Raqamlarni o'qing. Berilgan sonlar orasidan 3 ga bo'linadiganlarini toping.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
O'zingizni sinab ko'ring.
Qolgan raqamlar (11, 13, 14, 16, 17, 19) 3 ga bo'linmaydi yoki ular aytadilar. "qolgan bilan bo'ling."
Keling, xususiy qiymatni topaylik.
17 sonida 3 soni necha marta borligini aniqlaymiz (5-rasm).
Guruch. 5. Masalan, rasm
Biz 3 ta ovalning 5 marta mos kelishini va 2 ta oval qolganini ko'ramiz.
Amalga oshirilgan harakatni quyidagicha yozish mumkin.
17: 3 = 5 (qolgan. 2)
U ustun shaklida ham yozilishi mumkin (6-rasm).
Guruch. 6. Masalan, rasm
Chizmalarni ko'rib chiqing. Ushbu raqamlarning sarlavhalarini tushuntiring (7-rasm).
Guruch. 7. Masalan, rasm
Birinchi rasmni ko'rib chiqing (8-rasm).
Guruch. 8. Masalan, rasm
15 ta oval 2 ga bo'linganligini ko'ramiz. 2 ta 7 marta, qolganida - 1 oval takrorlangan.
Ikkinchi rasmni ko'rib chiqing (9-rasm).
Guruch. 9. Masalan, rasm
Bu rasmda 15 kvadrat 4 ga bo'lingan. 4 ta 3 marta takrorlangan, qolganida - 3 kvadrat.
Uchinchi rasmni ko'rib chiqing (10-rasm).
Guruch. 10. Masalan, rasm
Aytishimiz mumkinki, 15 ta oval 3 ga bo'lingan. 3 ta 5 marta teng takrorlangan. Bunday hollarda qolgan 0 ga teng deyiladi.
Keling, bo'linishni qilaylik.
Biz etti kvadratni uchga ajratamiz. Biz ikkita guruhni olamiz va bitta kvadrat qoladi. Yechimni yozamiz (11-rasm).
Guruch. 11. Masalan, rasm
Keling, bo'linishni qilaylik.
Biz 10 sonida to'rt necha marta borligini aniqlaymiz. 10 sonida to'rt 2 marta borligini va 2 kvadrat qolganligini ko'ramiz. Yechimni yozamiz (12-rasm).
Guruch. 12. Masalan, rasm
Keling, bo'linishni qilaylik.
11 sonida ikkitadan necha marta ikkita borligini aniqlaymiz. 11 sonida ikkitadan 5 marta borligini va 1 kvadrat qolganligini ko'ramiz. Yechimni yozamiz (13-rasm).
Guruch. 13. Masalan, rasm
Keling, xulosa qilaylik. Qoldiq bilan bo'lish degani, dividendda bo'luvchi necha marta borligini va qancha birlik qolganligini aniqlashni anglatadi.
Qoldiq bilan bo'lish son qatorida ham bajarilishi mumkin.
Raqam chizig'ida biz 3 bo'linmaning segmentlarini belgilaymiz va biz uchta bo'linish uch marta aylanganini va bitta bo'linish qolganini ko'ramiz (14-rasm).
Guruch. 14. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
10: 3 = 3 (dam olish.1)
Keling, bo'linishni qilaylik.
Raqamli nurda biz 3 bo'linmaning segmentlarini belgilaymiz va biz uchta bo'linish uch marta aylanganini va ikkita bo'linish qolganini ko'ramiz (15-rasm).
Guruch. 15. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
11: 3 = 3 (dam olish. 2)
Keling, bo'linishni qilaylik.
Raqamli nurda biz 3 bo'linma segmentlarini belgilaymiz va biz aniq 4 marta olganimizni ko'ramiz, qoldiq yo'q (16-rasm).
Guruch. 16. Masalan, rasm
Keling, yechimni yozamiz.
12: 3 = 4
Bugun darsda qoldiq bilan bo'lish bilan tanishdik, rasm va son nurlari yordamida nomlangan harakatni bajarishni o'rgandik, dars mavzusi bo'yicha misollar echishni mashq qildik.
Adabiyotlar ro'yxati
- M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 1-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 2-qism. - M .: "Ma'rifat", 2012 yil.
- M.I. Moreau. Matematika darslari: O'qituvchilar uchun ko'rsatmalar. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012 yil.
- Normativ hujjat. Ta'lim natijalarini monitoring qilish va baholash. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
- "Rossiya maktabi": Boshlang'ich maktab uchun dasturlar. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.
- S.I. Volkov. Matematika: Test ishi. 3-sinf - M.: Ta'lim, 2012 yil.
- V.N. Rudnitskaya. Testlar. - M.: "Imtihon", 2012 yil.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Uy vazifasi
1. 2 ga qoldiqsiz bo‘linadigan sonlarni yozing.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Chizmadan foydalanib, qoldiq bilan bo‘linishni bajaring.
3. Son qatoridan foydalanib, qoldiq bilan bo‘linishni bajaring.
4. Dars mavzusi bo'yicha o'rtoqlaringizga topshiriq bering.
