X o'qi atrofida aylanish jismining hajmi parametrikdir. Parametrli aniqlangan egri chiziq bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash. Yassi figuraning o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash

Bo'limlar: Matematika

Dars turi: birlashtirilgan.

Darsning maqsadi: integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganing.

Vazifalar:

bir qator geometrik shakllardan egri chiziqli trapetsiyalarni tanlash qobiliyatini mustahkamlash va egri chiziqli trapetsiyalarning maydonlarini hisoblash malakasini rivojlantirish;
uch o‘lchamli figura tushunchasi bilan tanishish;
inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganish;
rivojlanishiga hissa qo‘shadi mantiqiy fikrlash, malakali matematik nutq, chizmalarni qurishda aniqlik;
fanga qiziqishni tarbiyalash, matematik tushuncha va tasvirlar bilan ishlash, yakuniy natijaga erishishda iroda, mustaqillik, matonatni tarbiyalash.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

Guruh bilan salomlashish. Talabalarga darsning maqsadlarini etkazish.

Reflektsiya. Tinch ohang.

Men bugungi darsimizni masal bilan boshlamoqchiman. “Hamma narsani biladigan bir donishmand bor edi. Bir kishi donishmand hamma narsani bilmasligini isbotlamoqchi edi. U kapalakni qo'lida ushlab so'radi: "Aytingchi, donishmand, mening qo'limda qaysi kapalak: o'likmi yoki tirikmi?" Uning o'zi ham shunday deb o'ylaydi: "Agar tirik aytsa, men uni o'ldiraman, agar o'lik aytsa, men uni chiqarib yuboraman". Donishmand o'ylanib, javob berdi: "Hammasi sening qo'lingda". (Taqdimot.Slayd)

– Shunday ekan, keling, bugun samarali mehnat qilaylik, yangi bilimlar zahirasini egallasak, olingan ko‘nikma va malakalarni keyingi hayotimizda, amaliy faoliyatimizda qo‘llaymiz. "Hammasi sizning qo'lingizda".

II. Oldin o'rganilgan materialni takrorlash.

Keling, avval o'rganilgan materialning asosiy fikrlarini ko'rib chiqaylik. Buning uchun keling, vazifani bajaramiz "Ortiqcha so'zni olib tashlang."(Slayd.)

(O‘quvchi o‘chirgich yordamida shaxsiy guvohnomaga boradi, ortiqcha so‘zni olib tashlaydi.)

- To'g'ri "Differentsial". Qolgan so'zlarni bitta umumiy so'z bilan nomlashga harakat qiling. (Integral hisob.)

- Keling, integral hisoblash bilan bog'liq asosiy bosqichlar va tushunchalarni eslaylik ..

"Matematik to'plam".

Mashq qilish. Chiptalarni tiklash. (O'quvchi chiqib, qalam bilan kerakli so'zlarni yozadi.)

- Integrallarni qo'llash bo'yicha hisobotni keyinroq eshitamiz.

Daftarlarda ishlash.

– Nyuton-Leybnits formulasi ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643–1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646–1716) tomonidan ishlab chiqilgan. Va bu ajablanarli emas, chunki matematika tabiatning o'zi gapiradigan tildir.

– Ushbu formuladan amaliy vazifalarni hal qilishda qanday foydalanilishini ko'rib chiqing.

1-misol: Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Yechim: qurish koordinata tekisligi funksiya grafiklari . Topiladigan rasmning maydonini tanlang.

III. Yangi materialni o'rganish.

- Ekranga e'tibor bering. Birinchi rasmda nima tasvirlangan? (Slayd) (Rasmda tekis shakl ko'rsatilgan.)

Ikkinchi rasmda nima tasvirlangan? Bu raqam tekismi? (Slayd) (Rasmda uch o'lchamli shakl ko'rsatilgan.)

kosmosda, erda va ichida Kundalik hayot biz nafaqat tekis raqamlar bilan, balki uch o'lchamli bilan ham uchrashamiz, lekin bunday jismlarning hajmini qanday hisoblash mumkin? Masalan, sayyora, kometa, meteorit va boshqalar hajmi.

– Hajmi va uylar qurish va bir idishdan ikkinchisiga suv quyish haqida o'ylab ko'ring. Hajmlarni hisoblash qoidalari va usullari paydo bo'lishi kerak edi, boshqa narsa ular qanchalik to'g'ri va asosli edi.

Talaba xabari. (Tyurina Vera.)

1612 yil Avstriyaning o'sha paytdagi mashhur astronom Yoxannes Kepler yashagan Linz shahri aholisi uchun, ayniqsa, uzum uchun juda samarali bo'ldi. Odamlar vino bochkalarini tayyorlab, ularning hajmlarini amalda qanday aniqlashni bilishni xohlashdi. (2-slayd)

- Shunday qilib, Keplerning ko'rib chiqilgan asarlari 17-asrning so'nggi choragida yakuniga etgan butun tadqiqot oqimining boshlanishini belgiladi. I. Nyuton va G.V asarlarida dizayn. Leybnits differensial va integral hisobi. Shu vaqtdan boshlab kattalik o'zgaruvchilari matematikasi matematik bilimlar tizimida etakchi o'rinni egalladi.

- Shunday qilib, bugun biz shunday amaliy ishlar bilan shug'ullanamiz, shuning uchun

Darsimizning mavzusi: "Aniq integral yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblash". (Slayd)

- Quyidagi topshiriqni bajarish orqali inqilob tanasining ta'rifini bilib olasiz.

"Labirint".

Labirint (yunoncha soʻz) zindonga oʻtish degan maʼnoni anglatadi. Labirint - bu bir-biri bilan aloqa qiladigan yo'llar, o'tish joylari, xonalarning murakkab tarmog'idir.

Ammo ta'rif "halokatga uchradi", o'qlar ko'rinishida maslahatlar bor edi.

Mashq qilish. Chalkash vaziyatdan chiqish yo'lini toping va ta'rifni yozing.

Slayd. "Ko'rsatma kartasi" hajmlarni hisoblash.

Aniq integraldan foydalanib, siz tananing hajmini, xususan, inqilob tanasini hisoblashingiz mumkin.

Revolyutsiya jismi - egri chiziqli trapetsiyani asosi atrofida aylantirish natijasida olingan jism (1, 2-rasm).

Revolyutsiya jismining hajmi quyidagi formulalardan biri bilan hisoblanadi:

1. x o'qi atrofida.

2. , egri chiziqli trapezoidning aylanishi bo'lsa y o'qi atrofida.

Har bir talaba ko'rsatma kartasini oladi. O'qituvchi asosiy fikrlarni ta'kidlaydi.

O‘qituvchi doskadagi misollar yechimini tushuntiradi.

A. S. Pushkinning mashhur ertakidan parchani ko'rib chiqing: "Tsar Saltan, uning ulug'vor va qudratli o'g'li knyaz Gvidon Saltanovich va go'zal malika Lebed haqidagi ertak" (4-slayd):

…..
Va mast xabarchini olib keldi
Xuddi shu kuni buyurtma:
"Podshoh o'z boyarlariga buyruq beradi,
Vaqtni boy bermay,
Va malika va nasl
Yashirincha suv tubiga tashlangan."
Hech narsa qilishning iloji yo'q: boyarlar,
Suveren uchun motam tutib
Va yosh malika
Uning yotoqxonasiga olomon keldi.
Qirollik vasiyatini e'lon qildi -
Uning va o'g'lining taqdiri yomon,
Farmonni ovoz chiqarib o'qing
Va bir vaqtning o'zida malika
Meni o'g'lim bilan bochkaga solib qo'yishdi,
Ibodat qildi, dumaladi
Va ular meni okianga kiritishdi -
Tsar Saltan shunday buyurdi.

Malika va uning o'g'li unga sig'ishi uchun barrelning hajmi qanday bo'lishi kerak?

- Quyidagi vazifalarni ko'rib chiqing

1. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning y o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Javob: 1163 sm 3 .

Abtsissa atrofida parabolik trapetsiyani aylantirish natijasida olingan tananing hajmini toping y =, x = 4, y = 0.

IV. Yangi materialni tuzatish

Misol 2. Gulbargning x o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan tananing hajmini hisoblang. y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Funktsiyaning grafiklarini tuzamiz. y=x2, y2=x. Jadval y 2 = x shaklga aylantiring y= .

Bizda ... bor V \u003d V 1 - V 2 Keling, har bir funktsiyaning hajmini hisoblaymiz

- Endi, Moskvadagi Shabolovkada ajoyib rus muhandisi, faxriy akademik V. G. Shuxov loyihasi bo'yicha qurilgan radiostansiya minorasini ko'rib chiqaylik. U qismlardan iborat - inqilob giperboloidlari. Bundan tashqari, ularning har biri qo'shni doiralarni bog'laydigan to'g'ri chiziqli metall rodlardan yasalgan (8, 9-rasm).

- Muammoni ko'rib chiqing.

Giperbolaning yoylarini aylantirib olingan jism hajmini toping rasmda ko'rsatilganidek, uning xayoliy o'qi atrofida. 8, qayerda

kub birliklar

Guruh topshiriqlari. Talabalar topshiriqlar bilan qur'a tashlashadi, chizmalar vatman qog'oziga chiziladi, guruh vakillaridan biri ishni himoya qiladi.

1-guruh.

Urish! Uring! Yana bir zarba!
Darvozaga to'p uchib kirdi - BALL!
Va bu tarvuz to'pi
Yashil, yumaloq, mazali.
Yaxshiroq qarang - qanday to'p!
U aylanalardan tashkil topgan.
Tarvuzni doira shaklida kesib oling
Va ularni tatib ko'ring.

bilan chegaralangan funksiyaning OX o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping

Xato! Xatcho'p aniqlanmagan.

- Ayting-chi, bu figurani qayerda uchratamiz?

Uy. 1-guruh uchun vazifa. TILINDIR (slayd) .

"Tsilindr - bu nima?" — deb so‘radim dadamdan.
Ota kulib: Yuqori shapka shlyapa.
Bor ifodalash to‘g‘ri,
Tsilindr, aytaylik, qalay qutisi.
Bug 'trubkasi silindrdir,
Bizning tomdagi quvur ham,

Barcha quvurlar silindrga o'xshaydi.
Va men shunday misol keltirdim -
Mening sevimli kaleydoskopim
Undan ko'zingizni uzolmaysiz.
Bundan tashqari, u silindrga o'xshaydi.

- Mashq qilish. Uy vazifasi funksiyani chizing va hajmni hisoblang.

2-guruh. KONUS (slayd).

Onam dedi: Va hozir
Konus haqida mening hikoyam bo'ladi.
Baland qalpoqli yulduzcha
Yil davomida yulduzlarni sanaydi.
KONUS - yulduzlar shlyapasi.
U shunday. Tushundingizmi? Bo'ldi shu.
Onam stolda edi
U shishalarga moy quydi.
- Huni qayerda? Huni yo'q.
Qarang. Chetda turmang.
- Ona, men joydan ko'chmayman,
Menga konus haqida ko'proq gapirib bering.
- Huni sug'orish idishining konus shaklida.
Qani, meni tez top.
Men huni topa olmadim
Ammo onam sumka yasadi,
Kartonni barmog'ingiz atrofiga o'rang
Va qog'oz qisqich bilan mohirlik bilan mahkamlangan.
Yog 'yoydi, onam xursand
Konus to'g'ri chiqdi.

Mashq qilish. X o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang

Uy. 2-guruh uchun vazifa. PIRAMIDA(slayd).

Men rasmni ko'rdim. Bu rasmda
Qumli sahroda PIRAMID bor.
Piramidadagi hamma narsa g'ayrioddiy,
Unda qandaydir sir va sir bor.
Qizil maydondagi Spasskaya minorasi
Bolalar ham, kattalar ham yaxshi ma'lum.
Minoraga qarang - oddiy ko'rinishda,
Uning tepasida nima bor? Piramida!

Mashq qilish. Uy vazifasi funksiya grafigini tuzing va piramida hajmini hisoblang

- Biz integral yordamida jismlar hajmlarining asosiy formulasi asosida turli jismlarning hajmlarini hisoblab chiqdik.

Bu aniq integral matematikani o'rganish uchun qandaydir asos ekanligining yana bir tasdig'idir.

— Endi biroz dam olaylik.

Er-xotin toping.

Matematik domino ohangi o'ynaydi.

"Uning o'zi izlagan yo'l hech qachon unutilmaydi ..."

Tadqiqot ishi. Integralning iqtisodiyot va texnologiyada qo'llanilishi.

Kuchli o'quvchilar va matematik futbol uchun testlar.

Matematik simulator.

2. Berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami deyiladi

A) noaniq integral

B) funktsiya;

B) farqlash.

7. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning abscissa o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping:

D/Z. Inqilob jismlarining hajmlarini hisoblang.

Reflektsiya.

Shaklda aks ettirishni qabul qilish sinquain(besh qator).

1-qator - mavzu nomi (bitta ot).

2-qator - mavzuning qisqacha tavsifi, ikkita sifatdosh.

3-qator - ushbu mavzu doirasidagi harakatning uchta so'z bilan tavsifi.

4-qator - to'rtta so'zdan iborat ibora, mavzuga munosabatni ko'rsatadi (butun bir jumla).

5-qator mavzuning mohiyatini takrorlovchi sinonimdir.

Hajmi.
Aniq integral, integral funksiya.
Biz quramiz, aylantiramiz, hisoblaymiz.
Egri chiziqli trapezoidni (uning asosi atrofida) aylantirish natijasida olingan tana.
Inqilob tanasi (3D geometrik tanasi).

Xulosa (slayd).

Aniq integral matematikani o'rganish uchun o'ziga xos asos bo'lib, amaliy mazmundagi muammolarni hal qilishda ajralmas hissa qo'shadi.
“Integral” mavzusida matematika va fizika, biologiya, iqtisod va texnika fanlari o‘rtasidagi bog‘liqlik aniq namoyon bo‘ladi.
Rivojlanish zamonaviy fan integraldan foydalanmasdan tasavvur qilib bo'lmaydi. Shu munosabat bilan uni o‘rta maxsus ta’lim doirasida o‘rganishni boshlash kerak!

Baholash. (Izoh bilan.)

Buyuk Umar Xayyom matematik, shoir va faylasufdir. U o'z taqdirining ustasi bo'lishga chaqiradi. Uning ishidan parchani tinglang:

Bu hayot bir lahza, deysiz.
Uni qadrlang, undan ilhom oling.
Qanchalik sarflasangiz, o‘tib ketadi.
Unutmang: u sizning ijodingiz.

Tsikloid yoyning poydevori atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan tananing hajmi topilsin. Roberval uni hosil bo'lgan tuxumsimon tanani (5.1-rasm) cheksiz yupqa qatlamlarga bo'lish, bu qatlamlarga silindrlarni yozish va ularning hajmlarini qo'shish orqali topdi. Dalil uzoq, zerikarli va unchalik qattiq emas. Shuning uchun uni hisoblash uchun biz oliy matematikaga murojaat qilamiz. Tsikloid tenglamani parametrik tarzda o'rnatamiz.

Integral hisobda, hajmlarni o'rganishda u quyidagi izohdan foydalanadi:

Agar egri chiziqli trapetsiyani chegaralovchi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa va bu tenglamalardagi funksiyalar o'zgaruvchining ma'lum bir integraldagi o'zgarishi haqidagi teorema shartlarini qanoatlantirsa, trapetsiyaning Ox o'qi atrofida aylanish jismining hajmi quyidagicha bo'ladi. formula bo'yicha hisoblab chiqiladi:

Keling, kerakli hajmni topish uchun ushbu formuladan foydalanamiz.

Xuddi shu tarzda, biz bu tananing sirtini hisoblaymiz.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - xarajat), 0 ? t ? 2r)

Integral hisoblashda segmentda ko'rsatilgan egri chiziqning x o'qi atrofida aylanish jismining sirt maydonini parametrik ravishda topish uchun quyidagi formula mavjud (t 0 ?t ?t 1):

Ushbu formulani sikloid tenglamamizga qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:

Tsikloid yoyning aylanishi natijasida hosil bo'lgan boshqa sirtni ham ko'rib chiqing. Buning uchun biz sikloid yoyning uning asosiga nisbatan oyna aksini quramiz va sikloiddan hosil bo'lgan oval figurani va uning aksini KT o'qi atrofida aylantiramiz (5.2-rasm).

Birinchidan, sikloid yoyning KT o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan tananing hajmini topamiz. Uning hajmi (*) formula bo'yicha hisoblanadi:

Shunday qilib, biz bu sholg'om tanasining yarmining hajmini hisoblab chiqdik. Keyin umumiy hajm bo'ladi

Olingan formulani qo'llash misollarini ko'rib chiqing, bu parametrik ravishda belgilangan chiziqlar bilan chegaralangan raqamlarning maydonlarini hisoblash imkonini beradi.

Misol.

Parametrik tenglamalari o'xshash chiziq bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang.

Yechim.

Bizning misolimizda parametrik aniqlangan chiziq yarim o'qlari 2 va 3 birlik bo'lgan ellipsdir. Keling, quraylik.

Birinchi kvadrantda joylashgan ellipsning chorak qismining maydonini toping. Bu maydon intervalda joylashgan . Olingan qiymatni to'rtga ko'paytirish orqali butun raqamning maydonini hisoblaymiz.

Bizda nima bor:

Uchun k = 0 intervalni olamiz . Ushbu intervalda funktsiya monoton ravishda kamayib boradi (bo'limga qarang). Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, maydonni hisoblash va aniq integralni topish uchun formuladan foydalanamiz:

Shunday qilib, asl rasmning maydoni .

Izoh.

Mantiqiy savol tug'iladi: nega biz ellipsning yarmini emas, balki chorak qismini oldik? Shaklning yuqori (yoki pastki) yarmini hisobga olish mumkin edi. U diapazonda . Bu holda, biz bo'lar edi

Ya'ni, k = 0 uchun biz intervalni olamiz. Ushbu intervalda funktsiya monoton ravishda kamayadi.

Keyin ellipsning yarmining maydoni berilgan

Ammo ellipsning o'ng yoki chap yarmini olish mumkin emas.

A va b yarim o'qlarida markazlashtirilgan ellipsning parametrik tasviri shaklga ega. Agar biz tahlil qilingan misoldagi kabi harakat qilsak, biz olamiz ellipsning maydonini hisoblash formulasi .

t parametri orqali R radiusi koordinatalarining boshida markazga ega aylana tenglamalar sistemasi bilan berilgan. Agar biz olingan formuladan ellips maydoni uchun foydalansak, darhol yozishimiz mumkin aylana maydonini topish formulasi radiusi R:.

Keling, yana bir misolni hal qilaylik.

Misol.

Parametrik berilgan egri chiziq bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang.

Yechim.

Bir oz oldinga qarab, egri chiziq "cho'zilgan" astroiddir. (Asroid quyidagi parametrik tasvirga ega).

Keling, figurani chegaralovchi egri chiziqni qurish haqida batafsil to'xtalib o'tamiz. Biz uni nuqta-nuqta quramiz. Odatda bunday qurilish ko'pgina muammolarni hal qilish uchun etarli. Ko'proq qiyin holatlar, shubhasiz, parametrikni batafsil o'rganish berilgan funksiya differensial hisoblashdan foydalanish.

Bizning misolimizda.

Ushbu funktsiyalar t parametrining barcha haqiqiy qiymatlari uchun aniqlanadi va sinus va kosinusning xususiyatlaridan biz ular ikki pi davri bilan davriy ekanligini bilamiz. Shunday qilib, ba'zilar uchun funktsiyalarning qiymatlarini hisoblash (Masalan ), biz nuqtalar to'plamini olamiz .

Qulaylik uchun biz jadvalga qiymatlarni kiritamiz:

Biz tekislikdagi nuqtalarni belgilaymiz va ularni bir chiziq bilan KELIB bo'yicha bog'laymiz.

Keling, birinchi koordinatali chorakda joylashgan maydonning maydonini hisoblaylik. Ushbu hudud uchun .

Da k=0 intervalni olamiz , qaysi funktsiya monoton tarzda kamayadi. Hududni topish uchun formuladan foydalanamiz:

Qabul qildi aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblaymiz va shaklning rekursiv formulasidan foydalanib Nyuton-Leybnits formulasining antiderivativlarini topamiz. , Qayerda .

Shunday qilib, raqamning to'rtdan bir qismining maydoni , keyin butun raqamning maydoni ga teng bo'ladi.

Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin astroid maydoni sifatida joylashgan , va chiziq bilan chegaralangan raqamning maydoni formula bilan hisoblanadi.

Assalomu alaykum, aziz Argemony universiteti talabalari!

Yana bir oz - va kurs tugaydi, endi buni qilamiz.

Chjouli qo'lini biroz silkitdi - va havoda bir figura paydo bo'ldi. To'g'rirog'i, bu to'rtburchaklar trapezoid edi. U shunchaki havoda osilib turardi, uning yon tomonlari bo'ylab oqadigan sehrli energiya tomonidan yaratilgan, shuningdek, trapezoidning o'zida aylanib yurgan, bu esa uni porlab, porlab turardi.
Keyin o'qituvchi barmoqlari bilan biroz sezilarli dumaloq harakat qildi - va trapezoid ko'rinmas o'q atrofida aylana boshladi. Avvaliga sekin, keyin tezroq va tezroq - havoda hajmli raqam aniq paydo bo'la boshladi. Uning ichidan sehrli energiya oqayotgandek tuyuldi.

Keyin quyidagilar sodir bo'ldi: figuraning yorqin konturlari va uning ichki qismi qandaydir moddalar bilan to'ldirila boshladi, porlash tobora kamroq sezila boshladi, lekin figuraning o'zi tobora ko'proq aniq narsaga o'xshardi. Materialning donalari rasm bo'ylab teng taqsimlangan. Va endi hammasi tugadi: ham aylanish, ham porlash. Havoda huniga o'xshash narsa osilgan. Chjouli uni muloyimlik bilan stolga o'tkazdi.

Mana. Shunga o'xshash narsa ko'plab ob'ektlarni amalga oshirishi mumkin - ba'zi tekis raqamlarni xayoliy chiziqlar atrofida aylantirish orqali. Albatta, moddiylashtirish uchun sehrli energiya yordamida hosil bo'lgan va vaqtincha ushlab turiladigan butun hajmni to'ldiradigan ma'lum miqdordagi modda kerak bo'ladi. Ammo qancha modda kerakligini aniq hisoblash uchun siz hosil bo'lgan tananing hajmini ham bilishingiz kerak. Aks holda, agar modda kichik bo'lsa, u butun hajmni to'ldirmaydi va tana zaif, zaif bo'lib chiqishi mumkin. Va materiyaning katta qismini moddiylashtirish va ushlab turish sehrli energiyani keraksiz sarflashdir.
Ammo bizda cheklangan miqdordagi modda bo'lsa-chi? Keyin jismlarning hajmlarini qanday hisoblashni bilib, biz sehrli energiyani ko'p sarflamasdan qanday hajmdagi tanani yaratishimiz mumkinligini taxmin qilishimiz mumkin.
Ortiqcha jalb qilingan materialga kelsak, yana bir fikr bor. Ortiqcha narsa qayerga ketadi? Ular ishlatilmaganda parchalanib ketadimi? Yoki badanga yopishib qolasizmi?
Umuman olganda, hali o'ylash kerak bo'lgan narsa bor. Agar sizda biron bir fikr bo'lsa, men ularni eshitishni istardim. Shu bilan birga, shu tarzda olingan jismlarning hajmlarini hisoblashga o'tamiz.
Bu erda bir nechta holatlar ko'rib chiqiladi.

1-holat

Biz aylantiradigan maydon eng klassik egri chiziqli trapezoiddir.

Tabiiyki, biz uni faqat OX o'qi atrofida aylantirishimiz mumkin. Agar bu trapetsiya OY o'qini kesib o'tmasligi uchun gorizontal ravishda o'ngga o'tkazilsa, u holda uni shu o'q atrofida aylantirish mumkin. Ikkala holat uchun ham sehr formulalari quyidagicha:

Siz va men funktsiyalarga asosiy sehrli effektlarni juda yaxshi o'zlashtirganmiz, shuning uchun agar kerak bo'lsa, raqamni koordinata o'qlarida u bilan ishlash uchun qulay bo'lgan tarzda siljitish siz uchun qiyin bo'lmaydi deb o'ylayman. .

2-holat

Siz nafaqat klassik egri chiziqli trapezoidni, balki quyidagi shaklni ham aylantirishingiz mumkin:

Aylanayotganda biz bir turdagi halqani olamiz. Va figurani musbat maydonga ko'chirish orqali biz uni OY o'qi atrofida ham aylantirishimiz mumkin. Biz ham uzuk olamiz yoki yo'q. Bularning barchasi rasmning qanday joylashishiga bog'liq: agar uning chap chegarasi OY o'qi bo'ylab o'tsa, halqa ishlamaydi. Bunday inqilob jismlarining hajmlarini quyidagi afsunlar yordamida hisoblashingiz mumkin:

3-holat

Eslatib o'tamiz, bizda ajoyib egri chiziqlar bor, lekin ular odatiy tarzda emas, balki parametrik shaklda o'rnatiladi. Bunday egri chiziqlar ko'pincha yopiq bo'ladi. Parametr t egri chiziq (chegara) bo'ylab o'tganda yopiq shakl chap tomonda qoladigan tarzda o'zgartirilishi kerak.

Keyin, OX yoki OY o'qiga nisbatan aylanish jismlarining hajmlarini hisoblash uchun siz quyidagi sehrlardan foydalanishingiz kerak:

Xuddi shu formulalar yopiq bo'lmagan egri chiziqlar uchun ham ishlatilishi mumkin: ikkala uchi OX o'qida yoki OY o'qida yotganda. Shakl qandaydir tarzda yopiq bo'lib chiqadi: uchlari eksa segmenti bilan yopiladi.

4-holat

Bizda mavjud bo'lgan ba'zi ajoyib egri chiziqlar qutb koordinatalari (r=r(fi)) bilan berilgan. Va keyin raqamni qutb o'qi atrofida aylantirish mumkin. Bunday holda, Dekart koordinata tizimi qutbli bilan birlashtiriladi va u qabul qilinadi
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Shunday qilib, biz egri chiziqning parametrik shakliga kelamiz, bu erda fi parametri egri chiziqni kesib o'tganda maydon chap tomonda qolishi uchun o'zgarishi kerak.
Va biz 3-holatdagi afsun formulalaridan foydalanamiz.

Biroq, qutb koordinatalari uchun imlo formulasi ham mavjud:

Albatta, tekislik raqamlarini nafaqat OX va OY o'qlari haqida, balki boshqa har qanday chiziqlar bo'ylab ham aylantirish mumkin, lekin bu manipulyatsiyalar allaqachon murakkabroq, shuning uchun biz ma'ruzada ko'rib chiqilgan holatlar bilan cheklanamiz.

Endi esa Uy vazifasi . Men sizga aniq raqamlarni keltirmayman. Biz allaqachon ko'plab funktsiyalarni o'rgandik va sehrli amaliyotda sizga kerak bo'lishi mumkin bo'lgan narsani o'zingiz qurishingizni xohlayman. Menimcha, ma'ruzada tilga olingan barcha holatlar uchun to'rtta misol etarli bo'ladi.

Revolyutsiya sirtining maydoni formulalariga o'tishdan oldin, biz inqilob yuzasining o'zi haqida qisqacha formulani beramiz. Revolyutsiya yuzasi yoki xuddi shu narsa, inqilob jismining yuzasi segmentning aylanishidan hosil bo'lgan fazoviy figuradir. AB eksa atrofida egri chiziq ho'kiz(quyidagi rasm).

Yuqoridan egri chiziqning ko'rsatilgan segmenti bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyani tasavvur qilaylik. Ushbu trapezoidning bir xil o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan tana ho'kiz, va inqilob tanasi bor. Aylanish yuzasi yoki aylanish jismining yuzasi uning tashqi qobig'i bo'lib, chiziqlar o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan doiralarni hisobga olmaganda. x = a Va x = b .

E'tibor bering, inqilob tanasi va shunga mos ravishda uning sirtini o'q atrofida emas, balki figurani aylantirish orqali ham shakllantirish mumkin. ho'kiz, va eksa atrofida Oy.

To'rtburchaklar koordinatalarda berilgan aylanish yuzasining maydonini hisoblash

Ichkariga ruxsat bering to'rtburchaklar koordinatalari tenglama bo'yicha tekislikda y = f(x) egri chiziq berilgan, uning koordinata o'qi atrofida aylanishi inqilob tanasini hosil qiladi.

Revolyutsiyaning sirt maydonini hisoblash formulasi quyidagicha:

(1).

1-misol O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan paraboloidning sirt maydonini toping ho'kiz o'zgarishiga mos keladigan parabolaning yoyi x dan x= 0 gacha x = a .

Yechim. Biz parabola yoyini aniqlaydigan funktsiyani aniq ifodalaymiz:

Bu funksiyaning hosilasini topamiz:

Revolyutsiya sirtining maydonini topish formulasini qo'llashdan oldin, keling, uning integralining ildiz bo'lgan qismini yozamiz va u erda topilgan hosilani almashtiramiz:

Javob: Egri chiziqning yoy uzunligi

2-misol O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini toping ho'kiz astroidlar.

Yechim. Birinchi chorakda joylashgan astroidning bir novdasining aylanishi natijasida yuzaga keladigan sirt maydonini hisoblash va uni 2 ga ko'paytirish kifoya. Astroid tenglamasidan biz formulada almashtirishimiz kerak bo'lgan funktsiyani aniq ifodalaymiz. aylanish sirtini topish uchun:

Biz 0 dan integratsiyani amalga oshiramiz a:

Revolyutsiyaning sirt maydonini hisoblash parametrik ravishda berilgan

Revolyutsiya sirtini tashkil etuvchi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan holatni ko'rib chiqaylik

Keyin inqilob yuzasining maydoni formula bo'yicha hisoblanadi

(2).

3-misol O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan aylanish sirtining maydonini toping Oy sikloid va to'g'ri chiziq bilan chegaralangan raqam y = a. Tsikloid parametrik tenglamalar bilan berilgan