, "Dars uchun taqdimot" tanlovi

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar qiziqsangiz bu ish Iltimos, to'liq versiyasini yuklab oling.

Temir zanglaydi, o'ziga foyda topolmaydi,
tik turgan suv sovuqda chiriydi yoki muzlaydi,
inson aqli esa o'ziga foyda topolmay, sustlashadi.
Leonardo da Vinchi

Amaldagi texnologiyalar: muammoli ta'lim, tanqidiy fikrlash, kommunikativ muloqot.

Maqsadlar:

• O'rganishga kognitiv qiziqishni rivojlantirish.
• y \u003d sin x funktsiyasining xususiyatlarini o'rganish.
• O'rganilgan nazariy material asosida y \u003d sin x funktsiyasining grafigini qurish bo'yicha amaliy ko'nikmalarni shakllantirish.

Vazifalar:

1. Muayyan vaziyatlarda y \u003d sin x funksiyasining xususiyatlari haqidagi mavjud bilim potentsialidan foydalaning.

2. y \u003d sin x funktsiyasining analitik va geometrik modellari o'rtasidagi aloqalarni ongli ravishda o'rnatishni qo'llang.

Tashabbuskorlikni, muayyan tayyorlikni va yechim topishga qiziqishni rivojlantirish; qaror qabul qilish, u erda to'xtamaslik, o'z nuqtai nazarini himoya qilish qobiliyati.

Talabalarda bilim faolligini, mas'uliyat hissini, bir-birini hurmat qilishni, o'zaro tushunishni, o'zaro yordamni, o'ziga ishonchni tarbiyalash; muloqot madaniyati.

Darslar davomida

1-bosqich. Asosiy bilimlarni dolzarblashtirish, yangi materialni o'rganish uchun motivatsiya

"Darsga kirish"

Doskada 3 ta bayonot yozilgan:

1. sin t = a trigonometrik tenglama har doim yechimlarga ega.
2. Y o'qiga nisbatan simmetriya o'zgarishi yordamida g'alati funktsiyani grafik qilish mumkin.
3. Jadval trigonometrik funktsiya bitta asosiy yarim to'lqin yordamida qurilishi mumkin.

Talabalar juftlikda muhokama qilishadi: Gaplar to'g'rimi? (1 daqiqa). Dastlabki muhokama natijalari (ha, yo'q) keyin "Oldin" ustunidagi jadvalga kiritiladi.

O'qituvchi darsning maqsad va vazifalarini belgilaydi.

2. Bilimlarni yangilash (trigonometrik doira modelida old tomondan).

Biz allaqachon s = sin t funktsiyasi bilan uchrashdik.

1) t o'zgaruvchisi qanday qiymatlarni olishi mumkin. Bu funksiyaning qamrovi qanday?

2) sin t ifodasining qiymatlari qaysi oraliqda. s = sin t funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

3) sin t = 0 tenglamani yeching.

4) Nuqta ordinatasi birinchi chorak bo‘ylab harakatlanayotganda nima sodir bo‘ladi? (ordinata ortib boradi). Ikkinchi chorak bo'ylab harakatlanayotgan nuqta ordinatasi bilan nima sodir bo'ladi? (ordinata asta-sekin kamayadi). Bu funktsiyaning monotonligi bilan qanday bog'liq? (s = sin t funksiyasi segmentda ortadi va segmentda kamayadi ).

5) s = sin t funksiyasini biz uchun y = sin x (odatiy xOy koordinatalar tizimida quramiz) odatiy shaklda yozamiz va bu funksiya uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz.

X	0
da	0			1			0

2-bosqich. Idrok, tushunish, birlamchi mustahkamlash, beixtiyor yodlash

4-bosqich. Bilim va faoliyat usullarini birlamchi tizimlashtirish, ularni o'tkazish va yangi vaziyatlarda qo'llash

6. № 10.18 (b, c)

5-bosqich Yakuniy nazorat, tuzatish, baholash va o'z-o'zini baholash

7. Biz bayonotlarga qaytamiz (darsning boshi), trigonometrik funktsiyaning xususiyatlaridan foydalanishni muhokama qilamiz y \u003d sin x va jadvaldagi "Keyin" ustunini to'ldiramiz.

8. D / z: 10-modda, № 10.7 (a), 10.8 (b), 10.11 (b), 10.16 (a)

Ushbu darsda biz y \u003d sin x funktsiyasini, uning asosiy xususiyatlari va grafigini batafsil ko'rib chiqamiz. Darsning boshida biz koordinata aylanasida y \u003d sin t trigonometrik funktsiyaning ta'rifini beramiz va funktsiyaning doira va chiziqdagi grafigini ko'rib chiqamiz. Grafikda bu funksiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funksiyaning asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiya grafigi va uning xossalari yordamida bir qancha oddiy masalalarni yechamiz.

Mavzu: Trigonometrik funksiyalar

Dars: y=sinx funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigi

Funktsiyani ko'rib chiqayotganda, funktsiyaning bitta qiymatini argumentning har bir qiymati bilan bog'lash muhimdir. Bu yozishmalar qonuni va funksiya deyiladi.

uchun yozishmalar qonunini aniqlaymiz.

Har qanday haqiqiy son birlik aylanasining bitta nuqtasiga to'g'ri keladi.Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).

Har bir argument qiymatiga bitta funktsiya qiymati tayinlanadi.

Aniq xususiyatlar sinusning ta'rifidan kelib chiqadi.

Rasm shuni ko'rsatadi chunki - birlik aylanasidagi nuqtaning ordinatasi.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Keling, argumentning geometrik talqinini eslaylik. Argument radyanlarda o'lchanadigan markaziy burchakdir. O'qda biz radianlarda haqiqiy sonlar yoki burchaklarni, eksa bo'ylab mos keladigan funktsiya qiymatlarini chizamiz.

Masalan, birlik aylanasidagi burchak grafikdagi nuqtaga mos keladi (2-rasm).

Biz saytda funksiya grafigini oldik.Lekin sinus davrini bilib, funksiya grafigini butun ta'rif sohasi bo'yicha tasvirlashimiz mumkin (3-rasm).

Funktsiyaning asosiy davri - Bu grafikni segmentda olish va keyin butun ta'rif sohasiga davom etish mumkinligini anglatadi.

Funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1) Ta'rif sohasi:

2) qiymatlar diapazoni:

3) toq funksiya:

4) eng kichik ijobiy davr:

5) Grafikning x o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari:

6) Grafikning y o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalari:

7) Funktsiya musbat qiymatlarni oladigan intervallar:

8) Funksiya manfiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:

9) ortib borayotgan intervallar:

10) pasayish oraliqlari:

11) Past nuqtalar:

12) Minimal xususiyatlar:

13) Yuqori ball:

14) Maksimal xususiyatlar:

Biz funktsiyaning xossalarini va uning grafigini ko'rib chiqdik. Xususiyatlar muammolarni hal qilishda qayta-qayta qo'llaniladi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun darslik ( profil darajasi) tahrir. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009 yil.

2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik tahlil 10-sinf uchun ( Qo'llanma matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun).-M .: Ta'lim, 1996 yil.

4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Chuqur o'rganish algebra va matematik tahlil.-M.: Ta'lim, 1997.

5. Texnika oliy o‘quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to‘plami (M.I.Skanavi tahriri ostida).-M.: Oliy maktab, 1992 y.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik murabbiy.-K.: A.S.K., 1997 y.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. "Algebra va tahlilning boshlanishi" bo'yicha vazifalar (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma).-M .: Ta'lim, 2003.

8. Karp A.P. Algebradan masalalar to'plami va tahlilning boshlanishi: darslik. 10-11 hujayra uchun ruxsat. chuqur bilan o'rganish matematika.-M.: Ta'lim, 2006.

Uy vazifasi

Algebra va tahlilning boshlanishi, 10-sinf (ikki qismdan iborat). Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Qo'shimcha veb-resurslar

3. Ta'lim portali imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish ().

Biz trigonometrik funktsiyalarning xatti-harakatlari va funktsiyalarini aniqladik y = sin x ayniqsa, butun son qatorida (yoki argumentning barcha qiymatlari uchun X) oraliqdagi xatti-harakati bilan to'liq aniqlanadi 0 < X < π / 2 .

Shuning uchun, birinchi navbatda, biz funktsiyani chizamiz y = sin x aynan shu oraliqda.

Funktsiyamiz qiymatlarining quyidagi jadvalini tuzamiz;

Koordinata tekisligidagi mos nuqtalarni belgilab, ularni silliq chiziq bilan bog'lab, biz rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni olamiz.

Olingan egri chiziqni funksiya qiymatlari jadvalini tuzmasdan ham geometrik tarzda qurish mumkin y = sin x .

1. Radiusi 1 bo’lgan aylananing birinchi choragi 8 ta teng qismga bo’linadi.Aylananing bo’linish nuqtalarining ordinatalari mos burchaklarning sinuslaridir.

2. Doiraning birinchi choragi 0 dan burchaklarga to'g'ri keladi π / 2 . Shuning uchun, eksa bo'yicha X Bir segmentni oling va uni 8 ta teng qismga bo'ling.

3.O`qga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz X, va bo'linish nuqtalaridan biz gorizontal chiziqlar bilan kesishgan perpendikulyarlarni tiklaymiz.

4. Kesishish nuqtalarini silliq chiziq bilan ulang.

Endi intervalni ko'rib chiqaylik π / 2 < X < π .
Har bir argument qiymati X bu oraliqdan quyidagicha ifodalanishi mumkin

x = π / 2 + φ

Qayerda 0 < φ < π / 2 . Kamaytirish formulalariga muvofiq

gunoh( π / 2 + φ ) = cos φ = gunoh ( π / 2 - φ ).

Eksa nuqtalari X abscissa bilan π / 2 + φ Va π / 2 - φ eksa nuqtasi bo'yicha bir-biriga simmetrik X abscissa bilan π / 2 , va bu nuqtalardagi sinuslar bir xil. Bu funksiyaning grafigini olish imkonini beradi y = sin x oraliqda [ π / 2 , π ] to‘g‘ri chiziqqa nisbatan oraliqda bu funksiyaning grafigini oddiygina simmetrik ko‘rsatish orqali X = π / 2 .

Endi mulkdan foydalanish g'alati funktsiya y \u003d sin x,

gunoh (- X) = -sin X,

bu funktsiyani [-] oralig'ida chizish oson. π , 0].

y \u003d sin x funktsiyasi 2p davri bilan davriydir ;. Shuning uchun, ushbu funktsiyaning butun grafigini qurish uchun rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni davriy ravishda chap va o'ngga nuqta bilan davom ettirish kifoya. 2p .

Olingan egri chiziq deyiladi sinusoid . Bu funksiyaning grafigi y = sin x.

Rasmda funktsiyaning barcha xususiyatlari yaxshi ko'rsatilgan y = sin x , ular ilgari biz tomonidan tasdiqlangan. Ushbu xususiyatlarni eslang.

1) Funktsiya y = sin x barcha qiymatlar uchun belgilangan X , shuning uchun uning domeni barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

2) Funktsiya y = sin x cheklangan. Qabul qilinadigan barcha qiymatlar -1 dan 1 gacha, shu jumladan bu ikki raqam. Shuning uchun bu funksiyaning diapazoni -1 tengsizlik bilan aniqlanadi < da < 1. Qachon X = π / 2 + 2k π funksiya oladi eng yuqori qiymatlar, 1 ga teng va x = - da π / 2 + 2k π - eng kichik qiymatlar, - 1 ga teng.

3) Funktsiya y = sin x g'alati (sinusoid kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir).

4) Funktsiya y = sin x 2-davr bilan davriy π .

5) 2n oraliqda π < x < π + 2n π (n har qanday butun son) u musbat va intervallarda π + 2k π < X < 2π + 2k π (k har qanday butun son) manfiy. x = k uchun π funktsiya nolga tushadi. Shuning uchun argumentning bu qiymatlari x (0; ± π ; ±2 π ; ...) funksiyaning nollari deyiladi y = sin x

6) intervallarda - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiyasi y = gunoh x monoton va intervalgacha ortadi π / 2 + 2k π < X < 3p / 2 + 2k π monoton ravishda kamayadi.

Funktsiyaning xatti-harakatiga alohida e'tibor bering y = sin x nuqtaga yaqin X = 0 .

Masalan, sin 0,012 ≈ 0,012; gunoh (-0,05) ≈ -0,05;

gunoh2° = gunoh π 2 / 180=gunoh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, x ning har qanday qiymatlari uchun

| gunoh x| < | x | . (1)

Haqiqatan ham, rasmda ko'rsatilgan aylananing radiusi 1 ga teng bo'lsin,
a / AOB = X.

Keyin gunoh x= AC. Ammo AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Bu yoyning uzunligi aniq teng X, chunki aylananing radiusi 1. Demak, 0 uchun< X < π / 2

gunoh x< х.

Demak, funktsiyaning g'alatiligi tufayli y = sin x qachon ekanligini ko'rsatish oson - π / 2 < X < 0

| gunoh x| < | x | .

Nihoyat, da x = 0

| gunoh x | = | x |.

Shunday qilib, | uchun X | < π / 2 tengsizlik (1) isbotlangan. Aslida, bu tengsizlik | uchun ham to'g'ri keladi x | > π / 2 tufayli | | gunoh X | < 1, a π / 2 > 1

Mashqlar

1.Funksiya jadvaliga muvofiq y = sin x aniqlang: a) gunoh 2; b) gunoh 4; c) gunoh (-3).

2. Jadval funksiyasi y = sin x intervaldan qaysi raqamni aniqlang
[ - π / 2 , π / 2 ] ga teng sinusga ega: a) 0,6; b) -0,8.

3. Rejalashtirilgan funksiya y = sin x qaysi raqamlarning sinusga ega ekanligini aniqlang,
1/2 ga teng.

4. Taxminan toping (jadvallardan foydalanmasdan): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) gunoh (-0,015); d) gunoh (-2°30").

Ushbu darsda biz y \u003d sin x funktsiyasini, uning asosiy xususiyatlari va grafigini batafsil ko'rib chiqamiz. Darsning boshida biz koordinata aylanasida y \u003d sin t trigonometrik funktsiyaning ta'rifini beramiz va funktsiyaning doira va chiziqdagi grafigini ko'rib chiqamiz. Grafikda bu funksiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funksiyaning asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiya grafigi va uning xossalari yordamida bir qancha oddiy masalalarni yechamiz.

Mavzu: Trigonometrik funksiyalar

Dars: y=sinx funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigi

Funktsiyani ko'rib chiqayotganda, funktsiyaning bitta qiymatini argumentning har bir qiymati bilan bog'lash muhimdir. Bu yozishmalar qonuni va funksiya deyiladi.

uchun yozishmalar qonunini aniqlaymiz.

Har qanday haqiqiy son birlik aylanasining bitta nuqtasiga to'g'ri keladi.Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).

Har bir argument qiymatiga bitta funktsiya qiymati tayinlanadi.

Aniq xususiyatlar sinusning ta'rifidan kelib chiqadi.

Rasm shuni ko'rsatadi chunki - birlik aylanasidagi nuqtaning ordinatasi.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Keling, argumentning geometrik talqinini eslaylik. Argument radyanlarda o'lchanadigan markaziy burchakdir. O'qda biz radianlarda haqiqiy sonlar yoki burchaklarni, eksa bo'ylab mos keladigan funktsiya qiymatlarini chizamiz.

Masalan, birlik aylanasidagi burchak grafikdagi nuqtaga mos keladi (2-rasm).

Biz saytda funksiya grafigini oldik.Lekin sinus davrini bilib, funksiya grafigini butun ta'rif sohasi bo'yicha tasvirlashimiz mumkin (3-rasm).

Funktsiyaning asosiy davri - Bu grafikni segmentda olish va keyin butun ta'rif sohasiga davom etish mumkinligini anglatadi.

Funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1) Ta'rif sohasi:

2) qiymatlar diapazoni:

3) toq funksiya:

4) eng kichik ijobiy davr:

5) Grafikning x o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari:

6) Grafikning y o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalari:

7) Funktsiya musbat qiymatlarni oladigan intervallar:

8) Funksiya manfiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:

9) ortib borayotgan intervallar:

10) pasayish oraliqlari:

11) Past nuqtalar:

12) Minimal xususiyatlar:

13) Yuqori ball:

14) Maksimal xususiyatlar:

Biz funktsiyaning xossalarini va uning grafigini ko'rib chiqdik. Xususiyatlar muammolarni hal qilishda qayta-qayta qo'llaniladi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun darslik (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009 yil.

2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10-sinf uchun algebra va matematik tahlil (matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik). - M .: Ta'lim, 1996.

4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik tahlilni chuqur o'rganish.-M .: Ta'lim, 1997.

5. Texnika oliy o‘quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to‘plami (M.I.Skanavi tahriri ostida).-M.: Oliy maktab, 1992 y.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik murabbiy.-K.: A.S.K., 1997 y.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. "Algebra va tahlilning boshlanishi" bo'yicha vazifalar (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma).-M .: Ta'lim, 2003.

8. Karp A.P. Algebradan masalalar to'plami va tahlilning boshlanishi: darslik. 10-11 hujayra uchun ruxsat. chuqur bilan o'rganish matematika.-M.: Ta'lim, 2006.

Uy vazifasi

Algebra va tahlilning boshlanishi, 10-sinf (ikki qismdan iborat). Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Qo'shimcha veb-resurslar

3. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv portali ().

|BD|- bir nuqtada markazlashtirilgan aylananing yoyi uzunligi A.
α radianlarda ifodalangan burchak.

sinus ( sina) gipotenuza va oyoq orasidagi a burchakka bogʻliq trigonometrik funksiya to'g'ri uchburchak, nisbatga teng qarama-qarshi oyoq uzunligi |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.
kosinus ( cosa) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y= gunoh x va y= chunki x davr bilan davriy 2 p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohasi bo'yicha uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

	y= gunoh x	y= chunki x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ko'tarilish
Pastga
Maksimallar, y= 1
Minimum, y = - 1
Nollar, y= 0
Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0	y= 0	y= 1

Asosiy formulalar

Kvadrat sinus va kosinus yig'indisi

Yig'indi va ayirma uchun sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Sinusning kosinus orqali ifodalanishi

;
;
;
.

Kosinusning sinus orqali ifodalanishi

;
;
;
.

Tangens bilan ifodalash

; .

uchun, bizda:
; .

Da :
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadval argumentning ba'zi qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslarning qiymatlarini ko'rsatadi.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

Giperbolik funktsiyalar nuqtai nazaridan ifodalar

;
;

Hosilalar

; . Formulalarni chiqarish > > >

n-tartibdagi hosilalar:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Teskari funksiyalar

Teskari funksiyalar sinus va kosinus mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

Shuningdek qarang: