Ratsional funktsiyalarni (kasrlarni) batafsil echimlar bilan integrallash misollari ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamaning ildizlari

Bu erda biz quyidagi ratsional kasrlarni birlashtirishning uchta misoliga batafsil echimlarni taqdim etamiz:
, , .

1-misol

Integralni hisoblang:
.

Bu erda integral belgisi ostida ratsional funktsiya mavjud, chunki integratsiya ko'phadlarning bir qismidir. Maxraj ko'pnomining darajasi ( 3 ) sanoqli ko'phadning darajasidan kichik ( 4 ). Shuning uchun, avval siz kasrning butun qismini tanlashingiz kerak.

1. Kasrning butun son qismini olaylik. x ni bo'ling 4 x ustida 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Bu yerdan
.

2. Keling, maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Buning uchun siz kub tenglamani echishingiz kerak:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
X = o'rniga qo'ying 1 :
.

1 . x ga bo'lish - 1 :

Bu yerdan
.
Biz qaror qilamiz kvadrat tenglama.
.
Tenglama ildizlari: , .
Keyin
.

3. Keling, kasrni oddiy kasrlarga ajratamiz.

.

Shunday qilib, biz topdik:
.
Keling, integratsiya qilaylik.

2-misol

Integralni hisoblang:
.

Bu erda kasrning numeratorida nol darajali ko'phad ( 1 = x0). Maxraj uchinchi darajali polinomdir. Chunki 0 < 3 , keyin kasr to'g'ri. Keling, uni oddiy kasrlarga ajratamiz.

1. Keling, maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Buning uchun siz uchinchi darajali tenglamani echishingiz kerak:
.
Uning kamida bitta butun son ildizi bor deb faraz qiling. Keyin u sonning bo'luvchisi bo'ladi 3 (x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 3, -1, -3 .
X = o'rniga qo'ying 1 :
.

Shunday qilib, biz bitta ildizni topdik x = 1 . x ni bo'ling 3 + 2 x - 3 x-da 1 :

Shunday qilib,
.

Kvadrat tenglamani yechamiz:
x 2 + x + 3 = 0.
Diskriminantni toping: D = 1 2 - 4 3 = -11. Chunki D< 0 , u holda tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Shunday qilib, biz maxrajning omillarga bo'linishini oldik:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
X = o'rniga qo'ying 1 . Keyin x- 1 = 0 ,
.

O'rniga qo'ying (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Tenglash (2.1) x da koeffitsientlar 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. Keling, integratsiya qilaylik.
(2.2) .
Ikkinchi integralni hisoblash uchun hisoblagichdagi maxrajning hosilasini tanlaymiz va maxrajni kvadratlar yig'indisiga qisqartiramiz.

;
;
.

Hisoblang I 2 .


.
x tenglamasidan beri 2 + x + 3 = 0 haqiqiy ildizlarga ega emas, keyin x 2 + x + 3 > 0. Shuning uchun, modul belgisi o'tkazib yuborilishi mumkin.

ga yetkazib beramiz (2.2) :
.

3-misol

Integralni hisoblang:
.

Bu erda integral belgisi ostida ko'phadlarning bir qismi joylashgan. Demak, integral ratsional funktsiyadir. Numeratordagi ko'phadning darajasi 3 . Kasr maxrajining ko'phad darajasi 4 . Chunki 3 < 4 , keyin kasr to'g'ri. Shuning uchun uni oddiy kasrlarga ajratish mumkin. Ammo buning uchun siz maxrajni omillarga ajratishingiz kerak.

1. Keling, maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Buning uchun siz to'rtinchi darajali tenglamani echishingiz kerak:
.
Uning kamida bitta butun son ildizi bor deb faraz qiling. Keyin u sonning bo'luvchisi bo'ladi 2 (x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 2, -1, -2 .
X = o'rniga qo'ying -1 :
.

Shunday qilib, biz bitta ildizni topdik x = -1 . x ga bo'lish - (-1) = x + 1:


Shunday qilib,
.

Endi uchinchi darajali tenglamani yechishimiz kerak:
.
Agar bu tenglama butun son ildiziga ega deb faraz qilsak, u sonning bo'luvchisidir. 2 (x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 2, -1, -2 .
X = o'rniga qo'ying -1 :
.

Shunday qilib, biz boshqa x = ildizini topdik -1 . Oldingi holatda bo'lgani kabi, ko'phadni ga bo'lish mumkin edi, lekin biz atamalarni guruhlaymiz:
.

x tenglamasidan beri 2 + 2 = 0 haqiqiy ildizlari yo'q, u holda biz maxrajning faktorizatsiyasini olamiz:
.

2. Keling, kasrni oddiy kasrlarga ajratamiz. Biz quyidagi shaklda parchalanishni qidiramiz:
.
Biz kasrning maxrajidan qutulamiz, ko'paytiramiz (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
X = o'rniga qo'ying -1 . Keyin x + 1 = 0 ,
.

Farqlash (3.1) :

;

.
X = o'rniga qo'ying -1 va x + ekanligini hisobga oling 1 = 0 :
;
; .

O'rniga qo'ying (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Tenglash (3.1) x da koeffitsientlar 3 :
;
1=B+C;
.

Shunday qilib, biz oddiy kasrlarga parchalanishni topdik:
.

3. Keling, integratsiya qilaylik.


.

Shuningdek qarang:

Quyida ko'rib turganimizdek, har bir elementar funksiya elementar funksiyalarda ifodalangan integralga ega emas. Shuning uchun integrallari ifodalangan funksiyalarning bunday sinflarini ajratib ko'rsatish juda muhimdir elementar funktsiyalar. Bu sinflarning eng oddiyi ratsional funksiyalar sinfidir.

Har qanday ratsional funktsiyani ratsional kasr sifatida, ya'ni ikkita ko'phadning nisbati sifatida ko'rsatish mumkin:

Argumentning umumiyligini cheklamasdan, biz ko'phadlarning umumiy ildizlari yo'q deb taxmin qilamiz.

Agar pay maxraj darajasidan past bo'lsa, kasr to'g'ri, aks holda kasr noto'g'ri deyiladi.

Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, hisoblagichni maxrajga bo'lish orqali (ko'phadlarni bo'lish qoidasiga ko'ra) siz ushbu kasrni ko'phad va ba'zi bir oddiy kasrning yig'indisi sifatida ifodalashingiz mumkin:

bu erda polinom va to'g'ri kasr.

Misol t. Noto'g'ri ratsional kasr berilsin

Numeratorni maxrajga bo'lish (ko'phadlarni bo'lish qoidasiga ko'ra), biz olamiz

Ko'phadlarni integrallash qiyin bo'lmagani uchun ratsional kasrlarni integrallashdagi asosiy qiyinchilik to'g'ri ratsional kasrlarni integrallashdir.

Ta'rif. Shaklning to'g'ri ratsional kasrlari

I, II, III va IV turdagi eng oddiy kasrlar deyiladi.

I, II va III turdagi eng oddiy kasrlarni integratsiya qilish unchalik qiyin emas, shuning uchun biz ularni qo'shimcha tushuntirishlarsiz integrallaymiz:

Murakkab hisob-kitoblar IV turdagi eng oddiy kasrlarni birlashtirishni talab qiladi. Bizga ushbu turdagi integral berilsin:

Keling, o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Birinchi integral almashtirish orqali olinadi

Ikkinchi integral - uni bilan belgilaymiz va shaklda yozamiz

Farazga ko'ra, maxrajning ildizlari murakkab va shuning uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

Keling, integralni aylantiramiz:

Qismlar bo'yicha integratsiya, biz bor

Ushbu ifodani tenglikka (1) almashtirib, biz hosil bo'lamiz

O'ng tomoni bir xil turdagi integralni o'z ichiga oladi, lekin integralning maxrajining ko'rsatkichi bitta kam; shunday qilib, biz ifodalangan. Xuddi shu yo'lda davom etib, biz taniqli integralga erishamiz.

Kasr-ratsional funktsiyani integrallash.
Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli

Biz kasrlarni integratsiyalash ustida ishlashni davom ettiramiz. Biz darsda kasrlarning ayrim turlarining integrallarini ko'rib chiqdik va qaysidir ma'noda bu darsni davomi deb hisoblash mumkin. Materialni muvaffaqiyatli tushunish uchun asosiy integratsiya ko'nikmalari talab qilinadi, shuning uchun agar siz integrallarni o'rganishni endi boshlagan bo'lsangiz, ya'ni siz choynak bo'lsangiz, unda siz maqoladan boshlashingiz kerak. Noaniq integral. Yechim misollari.

Ajabo, endi biz integrallarni topish bilan emas, balki tizimlarni yechish bilan ham shug'ullanamiz. chiziqli tenglamalar. Shu munosabat bilan kuchli Men darsga tashrif buyurishni tavsiya qilaman, xususan, siz almashtirish usullarini ("maktab" usuli va tizim tenglamalarini davr bo'yicha qo'shish (ayirish) usuli) yaxshi bilishingiz kerak.

Kasrli ratsional funksiya nima? Oddiy so'zlar bilan aytganda, kasr-ratsional funktsiya ko'phad yoki ko'phadning ko'paytmasi bo'lgan son va maxrajdagi kasrdir. Shu bilan birga, fraktsiyalar maqolada muhokama qilinganlarga qaraganda ancha murakkab. Ayrim kasrlarning integrasiyasi.

To'g'ri kasr-ratsional funktsiyani integrallash

Darhol misol va kasrli ratsional funktsiyaning integralini echishning tipik algoritmi.

1-misol

1-qadam. Ratsional-kasr funktsiyaning integralini yechishda biz har doim qiladigan birinchi narsa bu topiladi. keyingi savol: kasr to'g'rimi? Ushbu qadam og'zaki ravishda amalga oshiriladi va endi men buni qanday qilib tushuntiraman:

Avval hisoblagichga qarang va bilib oling oliy daraja polinom:

Numeratorning eng yuqori kuchi ikkitadir.

Endi maxrajga qarang va bilib oling oliy daraja maxraj. Aniq yo'l qavslarni ochish va o'xshash shartlarni olib kelishdir, lekin siz buni osonroq qilishingiz mumkin har biri Qavslar eng yuqori darajani topadi

va aqliy ko'paytiring: - demak, maxrajning eng yuqori darajasi uchga teng. Agar biz qavslarni chindan ham ochsak, uchdan yuqori darajaga ega bo'lmasligimiz aniq.

Xulosa: Numeratorning eng yuqori kuchi QAT'IQ maxrajning eng yuqori kuchidan kam bo'lsa, kasr to'g'ri bo'ladi.

Agar ushbu misolda hisoblagichda 3, 4, 5 va hokazo ko'phad mavjud bo'lsa. daraja bo'lsa, kasr bo'ladi noto'g'ri.

Endi biz faqat to'g'ri kasr-ratsional funktsiyalarni ko'rib chiqamiz. Numeratorning darajasi maxrajning darajasidan katta yoki teng bo'lgan holatni dars oxirida tahlil qilamiz.

2-qadam Keling, maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Keling, bizning maxrajimizni ko'rib chiqaylik:

Umuman olganda, bu allaqachon omillar mahsulidir, lekin shunga qaramay, biz o'zimizga savol beramiz: boshqa narsani kengaytirish mumkinmi? Qiynoq ob'ekti, albatta, kvadrat trinomial bo'ladi. Kvadrat tenglamani yechamiz:

Diskriminant noldan katta, ya'ni trinomial haqiqatda faktorlarga ajratilgan:

Umumiy qoida: maxrajdagi hamma narsani faktorlarga ajratish mumkin - faktorlarga ajratish

Keling, qaror qabul qilishni boshlaylik:

3-qadam Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz kengaytiramiz integral oddiy (elementar) kasrlar yig'indisiga. Endi aniqroq bo'ladi.

Keling, integral funktsiyamizni ko'rib chiqaylik:

Va bilasizmi, intuitiv fikr qandaydir tarzda o'tib ketadi, bizning katta kasrimizni bir nechta kichik qismlarga aylantirsak yaxshi bo'lardi. Masalan, bu kabi:

Savol tug'iladi, hatto buni qilish mumkinmi? Keling, yengil nafas olaylik, matematik tahlilning tegishli teoremasi aytiladi - MUMKIN. Bunday parchalanish mavjud va noyobdir.

Faqat bitta ushlash bor, biz koeffitsientlar Xayr biz bilmaymiz, shuning uchun nomi - noaniq koeffitsientlar usuli.

Siz buni taxmin qildingiz, keyingi imo-ishoralar shunday, qichqirmang! faqat ularni o'rganishga qaratilgan bo'ladi - ular nimaga teng ekanligini bilish.

Ehtiyot bo'ling, men bir marta batafsil tushuntiraman!

Shunday qilib, raqsga tushishni boshlaylik:

Chap tomonda biz ifodani umumiy maxrajga keltiramiz:

Endi biz maxrajlardan xavfsiz tarzda qutulamiz (chunki ular bir xil):

Chap tomonda biz qavslarni ochamiz, ammo biz hali noma'lum koeffitsientlarga tegmayapmiz:

Shu bilan birga, biz takrorlaymiz maktab qoidasi polinomlarni ko'paytirish. Men o'qituvchi bo'lganimda bu qoidani to'g'ri yuz bilan aytishni o'rgandim: Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish kerak..

Aniq tushuntirish nuqtai nazaridan, koeffitsientlarni qavs ichiga qo'yish yaxshiroqdir (garchi men vaqtni tejash uchun buni hech qachon qilmayman):

Biz chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz.
Birinchidan, biz yuqori darajalarni qidiramiz:

Va tizimning birinchi tenglamasiga mos keladigan koeffitsientlarni yozamiz:

Quyidagi nuanceni yaxshi eslang. Agar o'ng tomon umuman bo'lmasa nima bo'lar edi? Ayting-chi, u hech qanday kvadratsiz ko'rinadimi? Bunday holda, tizim tenglamasida o'ng tomonga nol qo'yish kerak bo'ladi: . Nega nol? Va chunki o'ng tomonda siz har doim bir xil kvadratni nol bilan belgilashingiz mumkin: Agar o'ng tomonda o'zgaruvchilar yoki (va) bo'sh atama bo'lmasa, tizimning mos keladigan tenglamalarining o'ng tomonlariga nol qo'yamiz.

Tizimning ikkinchi tenglamasiga mos keladigan koeffitsientlarni yozamiz:

Va nihoyat, mineral suv, biz bepul a'zolarni tanlaymiz.

Eh,... Men hazillashdim. Hazillar chetga suriladi - matematika jiddiy fan. Institutimiz guruhida dotsent a’zolarni sanoq chizig‘i bo‘ylab sochaman va eng kattasini tanlayman, deganida hech kim kulmadi. Keling, jiddiy gapiraylik. Garchi ... kim bu darsning oxirini ko'rish uchun yashasa, baribir jimgina tabassum qiladi.

Tizim tayyor:

Biz tizimni hal qilamiz:

(1) Birinchi tenglamadan uni ifodalaymiz va tizimning 2 va 3 tenglamalariga almashtiramiz. Aslida, boshqa tenglamadan (yoki boshqa harfni) ifodalash mumkin edi, lekin bu holda uni 1-tenglamadan ifodalash foydalidir, chunki u erda eng kichik imkoniyatlar.

(2) Biz 2 va 3 tenglamalarda o'xshash atamalarni keltiramiz.

(3) Biz 2 va 3- tenglamalarni hadlar bo'yicha qo'shamiz va tenglikni olamiz, bundan kelib chiqadiki

(4) Biz ikkinchi (yoki uchinchi) tenglamani almashtiramiz, undan biz buni topamiz

(5) Biz va birinchi tenglamani almashtiramiz, olamiz.

Agar siz tizimni hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, ularni sinfda ishlab chiqing. Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?

Tizimni hal qilgandan so'ng, tekshirish har doim foydali bo'ladi - topilgan qiymatlarni almashtiring har birida tizimning tenglamasi, natijada hamma narsa "yaqinlashishi" kerak.

Deyarli yetib keldi. Koeffitsientlar topiladi, bunda:

Toza ish quyidagicha ko'rinishi kerak:

Ko‘rib turganingizdek, vazifaning asosiy qiyinligi chiziqli tenglamalar tizimini tuzish (to‘g‘ri!) va yechish (to‘g‘ri!) edi. Va oxirgi bosqichda hamma narsa unchalik qiyin emas: biz chiziqlilik xususiyatlaridan foydalanamiz noaniq integral va integratsiya. Men sizning e'tiboringizni uchta integralning har biri ostida bizda "erkin" ekanligiga qarataman. murakkab funktsiya, Men darsda uning integratsiyalashuvining xususiyatlari haqida gapirdim Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Tekshiring: Javobni farqlang:

Asl integral olindi, ya'ni integral to'g'ri topildi.
Tekshiruv paytida iborani umumiy maxrajga keltirish kerak edi va bu tasodifiy emas. Noaniq koeffitsientlar usuli va ifodani umumiy maxrajga keltirish o'zaro teskari harakatlardir.

2-misol

Noaniq integralni toping.

Birinchi misoldagi kasrga qaytaylik: . Ko'rinib turibdiki, maxrajda barcha omillar TURLI. Savol tug'iladi, agar, masalan, bunday kasr berilsa nima qilish kerak: ? Bu erda bizda maxraj bo'yicha darajalar yoki matematik tilda, bir nechta omillar. Bundan tashqari, ajratilmaydigan kvadrat trinomial mavjud (tenglamaning diskriminantini tekshirish oson manfiy, shuning uchun trinomialni hech qanday tarzda faktorlarga ajratib bo'lmaydi). Nima qilish kerak? Elementar kasrlar yig'indisiga kengayish o'xshash bo'ladi tepada noma'lum koeffitsientlar bilanmi yoki boshqa yo'l bilanmi?

3-misol

Funktsiyani yuboring

1-qadam. To'g'ri kasr borligini tekshirish
Numeratorning eng yuqori kuchi: 2
Eng yuqori maxraj: 8
, shuning uchun kasr to'g'ri.

2-qadam Maxrajga biror narsa qo'shilishi mumkinmi? Shubhasiz, yo'q, hamma narsa allaqachon qo'yilgan. Kvadrat trinomial yuqorida ko'rsatilgan sabablarga ko'ra mahsulotga kengaytirilmaydi. Yaxshi. Kamroq ish.

3-qadam Kasr-ratsional funktsiyani elementar kasrlar yig'indisi sifatida ifodalaylik.
Bunday holda, parchalanish quyidagi shaklga ega:

Keling, bizning maxrajimizni ko'rib chiqaylik:
Kasr-ratsional funktsiyani elementar kasrlar yig'indisiga ajratishda uchta asosiy nuqtani ajratib ko'rsatish mumkin:

1) Agar maxraj birinchi darajali "yolg'iz" omilni o'z ichiga olsa (bizning holatlarimizda), biz yuqoriga noaniq koeffitsient qo'yamiz (bizning holimizda). 1,2-misollar faqat shunday "yolg'iz" omillardan iborat edi.

2) Agar maxraj tarkibiga kirsa bir nechta multiplikator, keyin siz quyidagicha parchalashingiz kerak:
- ya'ni "x" ning barcha darajalarini birinchidan n darajagacha ketma-ket saralash. Bizning misolimizda ikkita ko'p omil mavjud: va , men bergan parchalanishni yana bir bor ko'rib chiqing va ular aynan shu qoidaga muvofiq parchalanganligiga ishonch hosil qiling.

3) Agar maxraj ikkinchi darajali ajralmaydigan ko'phadni o'z ichiga olsa (bizning holatda), u holda hisoblagichni kengaytirishda siz yozishingiz kerak. chiziqli funksiya noaniq koeffitsientlar bilan (bizning holatlarimizda noaniq koeffitsientlar va ).

Aslida, 4-chi holat ham bor, lekin men bu haqda sukut saqlayman, chunki amalda bu juda kam uchraydi.

4-misol

Funktsiyani yuboring noma'lum koeffitsientli elementar kasrlar yig'indisi sifatida.

Bu misol uchun mustaqil yechim. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Algoritmga qat'iy rioya qiling!

Agar siz kasr-ratsional funktsiyani yig'indiga ajratishingiz kerak bo'lgan printsiplarni aniqlagan bo'lsangiz, unda siz ko'rib chiqilayotgan turdagi deyarli har qanday integralni buzishingiz mumkin.

5-misol

Noaniq integralni toping.

1-qadam. Shubhasiz, kasr to'g'ri:

2-qadam Maxrajga biror narsa qo'shilishi mumkinmi? mumkin. Bu erda kublarning yig'indisi . Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida maxrajni faktorlarga ajratish

3-qadam Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz integratsiyani elementar kasrlar yig'indisiga kengaytiramiz:

E'tibor bering, polinom ajratilmaydi (diskriminantning manfiy ekanligini tekshiring), shuning uchun yuqori qismida biz bitta harfni emas, balki noma'lum koeffitsientli chiziqli funktsiyani qo'yamiz.

Biz kasrni umumiy maxrajga keltiramiz:

Keling, tizimni yaratamiz va hal qilamiz:

(1) Birinchi tenglamadan biz tizimning ikkinchi tenglamasini ifodalaymiz va unga almashtiramiz (bu eng oqilona yo'l).

(2) Biz ikkinchi tenglamada o'xshash shartlarni keltiramiz.

(3) Biz tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalarini davr bo'yicha qo'shamiz.

Barcha keyingi hisob-kitoblar, qoida tariqasida, og'zaki, chunki tizim oddiy.

(1) Topilgan koeffitsientlarga muvofiq kasrlar yig'indisini yozamiz.

(2) Biz noaniq integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanamiz. Ikkinchi integralda nima sodir bo'ldi? Ushbu usulni darsning oxirgi xatboshida topishingiz mumkin. Ayrim kasrlarning integrasiyasi.

(3) Biz yana bir bor chiziqlilik xususiyatlaridan foydalanamiz. Uchinchi integralda biz izolyatsiya qilishni boshlaymiz to'liq kvadrat(darsning oxirgi paragrafi Ayrim kasrlarning integrasiyasi).

(4) Biz ikkinchi integralni olamiz, uchinchisida biz to'liq kvadratni tanlaymiz.

(5) Uchinchi integralni olamiz. Tayyor.

Kasr deyiladi to'g'ri agar hisoblagichning eng yuqori kuchi maxrajning eng yuqori kuchidan kichik bo'lsa. To'g'ri ratsional kasrning integrali quyidagi ko'rinishga ega:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ratsional kasrlarni integrallash formulasi ko‘phadning maxrajdagi ildizlariga bog‘liq. Agar $ ax^2+bx+c $ polinomida:

1. Faqat murakkab ildizlar, keyin undan to'liq kvadratni tanlash kerak: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Turli xil haqiqiy ildizlar $ x_1 $ va $ x_2 $, keyin siz integralni kengaytirishingiz va noaniq koeffitsientlarni topishingiz kerak $ A $ va $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Bitta ko'p ildiz $ x_1 $, keyin biz integralni kengaytiramiz va ushbu formula uchun $ A $ va $ B $ noaniq koeffitsientlarini topamiz: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Agar kasr bo'lsa noto'g'ri, ya'ni hisoblagichdagi eng yuqori daraja maxrajning eng yuqori darajasidan katta yoki unga teng bo'lsa, avval uni qisqartirish kerak. to'g'ri ko'phadni sondan ko'phadni maxrajga bo'lish orqali aql. Bu holda ratsional kasrni integrallash formulasi:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Yechim misollari

1-misol

Ratsional kasrning integralini toping: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Yechim

Kasr muntazam va ko'phad faqat murakkab ildizlarga ega. Shuning uchun biz to'liq kvadratni tanlaymiz: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Biz to'liq kvadrat va summani $ x-5 $ differensial belgisi ostida yig'amiz: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Integrallar jadvalidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Siz hisob-kitoblarning borishi bilan tanishishingiz va ma'lumot to'plashingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchidan o'z vaqtida kredit olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

2-misol

Ratsional kasrlarni integrallash: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Yechim

Kvadrat tenglamani yeching: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Keling, ildizlarni yozamiz: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Olingan ildizlarni hisobga olib, biz integralni o'zgartiramiz: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Ratsional kasrni kengaytirishni bajaramiz: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Numeratorlarni tenglashtiring va $ A $ va $ B $ koeffitsientlarini toping: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Balta + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(holatlar) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(holatlar) $$ $$ \begin(holatlar) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(holatlar) $$ Topilgan koeffitsientlarni integralga almashtiramiz va uni yechamiz: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Javob

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$