Dekart koordinata sistemasidagi tekislikdagi ikkita l va m to‘g‘ri chiziq umumiy tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Bu chiziqlarga normalar vektorlari: = (A 1 , B 1) - l chiziqqa,

= (A 2 , B 2) m chiziqqa.

l va m chiziqlar orasidagi burchak j bo‘lsin.

Tomonlari o'zaro perpendikulyar bo'lgan burchaklar teng yoki qo'shilishi p ga teng bo'lgani uchun , ya'ni cos j =.

Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik.

Teorema. j tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq orasidagi burchak boʻlsin va bu toʻgʻri chiziqlar Dekart koordinata sistemasida A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + umumiy tenglamalari bilan berilgan boʻlsin. C 2 = 0. U holda cos j = .

Mashqlar.

1) Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulasini chiqaring, agar:

(1) ikkala chiziq parametrik ravishda berilgan; (2) ikkala chiziq ham kanonik tenglamalar bilan berilgan; (3) bitta to'g'ri chiziq parametrik, ikkinchi to'g'ri chiziq - umumiy tenglama bilan berilgan; (4) ikkala chiziq qiyalik tenglamasi bilan berilgan.

2) Tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq orasidagi burchak j boʻlsin va bu toʻgʻri chiziqlar Dekart koordinata sistemasiga y = k 1 x + b 1 va y =k 2 x + b 2 tenglamalar orqali berilgan boʻlsin.

Keyin tan j =.

3) Dekart koordinata tizimidagi umumiy tenglamalar bilan berilgan ikkita chiziqning nisbiy o‘rnini o‘rganing va jadvalni to‘ldiring:

Tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Dekart koordinata sistemasidagi tekislikdagi l chiziq Ax + By + C = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin. M(x 0 , y 0) nuqtadan l to'g'rigacha bo'lgan masofani toping.

M nuqtadan l chiziqgacha bo'lgan masofa HM perpendikulyar uzunligi (H n l, HM ^ l).

l chiziqning vektori va normal vektori kollinear, shuning uchun | | = | | | | va | | = .

H nuqtaning koordinatalari (x,y) bo'lsin.

H nuqta l to'g'riga tegishli bo'lganligi sababli, Ax + By + C = 0 (*).

Vektorlarning koordinatalari va: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - tomonidan, qarang (*))

Teorema. l chiziq dekart koordinatalar sistemasida Ax + By + C = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo lsin. U holda M(x 0 , y 0) nuqtadan bu chiziqgacha bo lgan masofa quyidagi formula bo yicha hisoblanadi: r (M; l) = .

Mashqlar.

1) Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasini chiqaring, agar: (1) chiziq parametrik berilgan bo'lsa; (2) chiziq kanonik tenglamalar bilan berilgan; (3) to'g'ri chiziq qiyalik tenglamasi bilan berilgan.

2) Markazi Q(-2,4) da joylashgan 3x - y = 0 chiziqqa tegilgan aylana tenglamasini yozing.

3) 2x + y - 1 = 0 va x + y + 1 = 0 chiziqlar kesishmasidan hosil bo'lgan burchaklarni yarmiga bo'luvchi chiziqlar tenglamalarini yozing.

§ 27. Fazodagi tekislikning analitik ta'rifi

Ta'rif. Samolyotning normal vektori har qanday vakili berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan nolga teng bo'lmagan vektorni chaqiramiz.

Izoh. Ko'rinib turibdiki, agar vektorning kamida bitta vakili tekislikka perpendikulyar bo'lsa, vektorning barcha boshqa vakillari ushbu tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Fazoda Dekart koordinata tizimi berilgan bo'lsin.

a tekislik berilgan bo'lsin, = (A, B, C) – bu tekislikning normal vektori, M nuqta (x 0 , y 0 , z 0) a tekislikka tegishli.

a tekislikning istalgan N(x, y, z) nuqtasi uchun va vektorlari ortogonal, ya’ni ularning skalyar ko‘paytmasi nolga teng: = 0. Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozamiz: A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

-Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, keyin Ax + By + Cz + D = 0 bo'lsin.

Ax + By + Cz + D \u003d 0 bo'ladigan K (x, y) nuqtasini oling. D \u003d -Ax 0 - 0 - Cz 0 bo'lgani uchun, keyin A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Yo'naltirilgan segmentning koordinatalari = (x - x 0, y - y 0, z - z 0) bo'lgani uchun, oxirgi tenglik ^ ni bildiradi va shuning uchun K n a.

Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik:

Teorema. Dekart koordinata tizimidagi fazodagi har qanday tekislikni Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi tenglama bilan aniqlash mumkin, bu erda (A, B, C) bu tekislikka normal vektorning koordinatalari.

Buning teskarisi ham to'g'ri.

Teorema. Dekart koordinata tizimidagi Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishidagi har qanday tenglama ma'lum bir tekislikni aniqlaydi, (A, B, C) esa koordinatalardir. bu tekislikka normal vektor.

Isbot.

M (x 0 , y 0 , z 0) nuqtani oling, Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 va vektor = (A, B, C) ( ≠ q).

M nuqtadan vektorga perpendikulyar tekislik (va faqat bitta) o'tadi. Oldingi teoremaga ko'ra, bu tekislik Ax + By + Cz + D = 0 tenglama bilan berilgan.

Ta'rif. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi tenglama deyiladi. tekislikning umumiy tenglamasi.

Misol.

M (0.2.4), N (1,-1.0) va K (-1.0.5) nuqtalardan oʻtuvchi tekislik tenglamasini yozamiz.

1. Oddiy vektorning tekislikka (MNK) koordinatalarini toping. Chunki vektor mahsuloti´ kollinear bo'lmagan vektorlarga ortogonal va , keyin vektor ´ ga kollinear bo'ladi.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Shunday qilib, normal vektor sifatida = (-11, 3, -5) vektorini oling.

2. Endi birinchi teorema natijalaridan foydalanamiz:

bu tekislikning tenglamasi A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, bu erda (A, B, C) normal vektorning koordinatalari, (x 0) , y 0 , z 0) – tekislikda yotgan nuqtaning koordinatalari (masalan, M nuqta).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Javob: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Mashqlar.

1) Agar tekislikning tenglamasini yozing

(1) tekislik 3x + y + z = 0 tekislikka parallel M (-2,3,0) nuqtadan o'tadi;

(2) tekislik (Ox) o'qni o'z ichiga oladi va x + 2y - 5z + 7 = 0 tekislikka perpendikulyar.

2) Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

§ 28. Yarim maydonning analitik tavsifi*

Izoh*. Samolyot tuzatsin. ostida yarim bo'shliq berilgan tekislikning bir tomonida yotgan nuqtalar to'plamini tushunamiz, ya'ni ikkita nuqta bir xil yarim fazoda yotadi, agar ularni tutashtiruvchi segment berilgan tekislikni kesib o'tmasa. Bu samolyot deyiladi bu yarim fazoning chegarasi. Berilgan tekislik va yarim fazoning birlashuvi deyiladi yopiq yarim bo'shliq.

Dekart koordinata tizimi fazoda o'rnatilgan bo'lsin.

Teorema. a tekislik Ax + By + Cz + D = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin. U holda a tekislik fazoni ajratadigan ikkita yarim fazodan biri Ax + By + Cz + D > 0 tengsizligi bilan berilgan. , va ikkinchi yarim bo'shliq Ax + By + Cz + D tengsizlik bilan berilgan< 0.

Isbot.

Bu tekislikda yotgan M (x 0 , y 0 , z 0) nuqtadan a tekislikka = (A, B, S) normal vektorni chizamiz: = , M n a, MN ^ a. Samolyot bo'shliqni ikkita yarim bo'shliqqa ajratadi: b 1 va b 2 . N nuqta ana shu yarim fazolardan biriga tegishli ekanligi aniq. Umumiylikni yo'qotmasdan, N n b 1 deb faraz qilamiz.

b 1 yarim fazo Ax + By + Cz + D > 0 tengsizlik bilan aniqlanganligini isbotlaylik.

1) b 1 yarim fazoda K(x,y,z) nuqtani oling. Ð NMK burchagi vektorlar orasidagi burchak va oʻtkir, shuning uchun bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasi musbat: > 0. Bu tengsizlikni koordinatalarda yozamiz: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ya'ni Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

M n b 1 bo'lgani uchun, u holda Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, shuning uchun -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Shuning uchun oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ax + By + Cz + D > 0 bo'ladigan L(x,y) nuqtani oling.

D ni (-Ax 0 - By 0 - C z 0) bilan almashtirib, tengsizlikni qayta yozamiz (chunki M n b 1, keyin Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Koordinatali (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) vektor vektor , shuning uchun A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) ifoda vektorlarning skalyar mahsuloti sifatida tushunish mumkin. vektorlarning skalyar ko'paytmasi va musbat bo'lgani uchun ular orasidagi burchak o'tkir va nuqta L n b 1 .

Xuddi shunday, b 2 yarim fazo Ax + By + Cz + D tengsizligi bilan berilganligini isbotlash mumkin.< 0.

Izohlar.

1) Ko'rinib turibdiki, yuqoridagi isbot a tekislikdagi M nuqtani tanlashga bog'liq emas.

2) Bir xil yarim bo'shliqni turli xil tengsizliklar bilan aniqlash mumkinligi aniq.

Buning teskarisi ham to'g'ri.

Teorema. Ax + By + Cz + D > 0 (yoki Ax + By + Cz + D) ko'rinishdagi har qanday chiziqli tengsizlik< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Isbot.

Fazodagi Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) tenglamasi qandaydir a tekislikni belgilaydi (§ ... ga qarang). Oldingi teoremada isbotlanganidek, tekislik fazoni ajratadigan ikkita yarim fazodan biri Ax Ax + By + Cz + D > 0 tengsizligi bilan berilgan.

Izohlar.

1) Ko'rinib turibdiki, yopiq yarim fazoni qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizlik bilan aniqlash mumkin va Dekart koordinatalari tizimidagi har qanday qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizlik yopiq yarim fazoni belgilaydi.

2) Har qanday qavariq ko'pburchakni yopiq yarim bo'shliqlar (ularning chegaralari ko'pburchak yuzlarini o'z ichiga olgan tekisliklar) kesishishi, ya'ni analitik ravishda chiziqli qat'iy bo'lmagan tengsizliklar tizimi bilan aniqlash mumkin.

Mashqlar.

1) Ixtiyoriylik uchun berilgan ikkita teoremani isbotlang afin tizimi koordinatalar.

2) Aksincha, har qanday tizim qat'iy emas chiziqli tengsizliklar qavariq ko'pburchakni belgilaydi?

Mashq qilish.

1) Dekart koordinata tizimidagi umumiy tenglamalar bilan berilgan ikkita tekislikning nisbiy o‘rnini o‘rganing va jadvalni to‘ldiring.

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan berilgan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqamiz:

ostida burchak ikki tekislik orasidagi bu tekisliklar hosil qilgan ikki burchakli burchaklardan birini nazarda tutamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar bilan a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki Va , Bu

.

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun. .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel bo'ladi, agar tegishli koordinatalardagi koeffitsientlar proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

VEKTOR TENGLASHISHI TO'G'RI.

PARAMETRIK TENGLAMALAR TO'G'RI

To'g'ri chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

To'g'ri chiziqqa parallel vektor deyiladi rahbarlik qilish bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektorga parallel to'g'ri chiziqda yotish.

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Buni rasmdan ko'rish mumkin .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deyiladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilash M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymatini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y Va z va nuqta M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

KANONIK TENGLAMALAR TO'g'ridan-to'g'ri

Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, Va uning yo'nalishi vektoridir. Shunga qaramay, to'g'ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani oling M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Ko'rinib turibdiki, va vektorlar kollineardir, shuning uchun ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Izoh 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalari parametrni yo'q qilish orqali parametrik tenglamalardan olinishi mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing parametrik usulda.

Belgilamoq , shuning uchun x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Izoh 2. Chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, shuning uchun, m=0. Binobarin, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi to'g'ri chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Xuddi shunday, kanonik tenglamalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz Va Oy yoki parallel o'q Oz.

Misollar.

UMUMIY TENGLAMALAR TO'G'RISIYAT IKKI TASIZLIKNI KESIB KESISH CHIZIQ SIKIDA.

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Demak, har qanday ikkita bunday tekislikning birgalikda ko'rib chiqiladigan tenglamalari bu chiziqning tenglamalari hisoblanadi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishish chizig'ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar Streyt.

Misollar.

Tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqni tuzing

Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li - chiziqning kesishish nuqtalarini tanlash koordinata tekisliklari. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M Chiziqda 1 va chiziqning yo'nalishi vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang Va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori uchun l oddiy vektorlarning o'zaro mahsulotini olishingiz mumkin:

.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalarini keltiring kanonik shaklga.

To'g'ri chiziqdagi nuqtani toping. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Demak, l: .

HUQUQLAR ORASIDAGI BURChAK

burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari va orasidagi burchak sifatida olish mumkin. dan beri, keyin vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga ko'ra, biz olamiz

Matematikadan imtihonga tayyorlanayotgan har bir talaba uchun “Chiziqlar orasidagi burchakni topish” mavzusini takrorlash foydali bo'ladi. Statistik ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, attestatsiya sinovidan o'tishda stereometriyaning ushbu bo'limidagi topshiriqlar ko'p sonli talabalar uchun qiyinchilik tug'diradi. Shu bilan birga, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topishni talab qiladigan vazifalar USEda ham asosiy, ham mavjud profil darajasi. Bu har kim ularni hal qila olishi kerakligini anglatadi.

Asosiy daqiqalar

Kosmosda chiziqlarning o'zaro joylashishining 4 turi mavjud. Ular mos kelishi, kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin. Ularning orasidagi burchak o'tkir yoki tekis bo'lishi mumkin.

Yagona davlat imtihonida yoki masalan, yechimda chiziqlar orasidagi burchakni topish uchun Moskva va boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari stereometriyaning ushbu bo'limidagi muammolarni hal qilishning bir necha usullaridan foydalanishlari mumkin. Vazifani klassik konstruktsiyalar bilan bajarishingiz mumkin. Buning uchun stereometriyaning asosiy aksiomalari va teoremalarini o'rganishga arziydi. O‘quvchi topshiriqni planimetrik masalaga keltirish uchun mantiqiy fikr yurita olishi va chizmalar tuza olishi kerak.

Qo'llash orqali vektor-koordinata usulidan ham foydalanishingiz mumkin oddiy formulalar, qoidalar va algoritmlar. Bu holatda asosiy narsa barcha hisob-kitoblarni to'g'ri bajarishdir. Stereometriya va boshqa mavzularda muammoni hal qilish qobiliyatingizni oshiring maktab kursi sizga yordam beradi ta'lim loyihasi"Shkolkovo".

Bo'shliqda chiziqlar berilsin l Va m. Fazoning qaysidir A nuqtasi orqali biz to'g'ri chiziqlar chizamiz l 1 || l Va m 1 || m(138-rasm).

E'tibor bering, A nuqta o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, xususan, u berilgan chiziqlardan birida yotishi mumkin. To'g'ri bo'lsa l Va m kesishsa, bu chiziqlarning kesishish nuqtasi sifatida A ni olish mumkin ( l 1 = l Va m 1 = m).

Parallel bo'lmagan chiziqlar orasidagi burchak l Va m kesishuvchi toʻgʻri chiziqlardan hosil boʻlgan qoʻshni burchaklarning eng kichigining qiymati l 1 Va m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Parallel chiziqlar orasidagi burchak nolga teng deb qabul qilinadi.

Chiziqlar orasidagi burchak l Va m\(\widehat((l;m)) \) bilan belgilanadi. Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar u darajalarda o'lchangan bo'lsa, u holda 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90 °, agar radian bo'lsa, u holda 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubi berilgan (139-rasm).

AB va DC 1 to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

To'g'ri AB va DC 1 kesishuvi. DC chizig'i AB chizig'iga parallel bo'lganligi sababli, AB va DC 1 chiziqlar orasidagi burchak, ta'rifga ko'ra, \(\widehat(C_(1)DC)\) ga teng.

Demak, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

To'g'ridan-to'g'ri l Va m chaqirdi perpendikulyar, agar \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Masalan, kub shaklida

Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash masalasi xuddi tekislikda bo'lgani kabi hal qilinadi. Chiziqlar orasidagi burchakni ph bilan belgilang l 1 Va l 2 , va ps orqali - yo'nalish vektorlari orasidagi burchak A Va b bu to'g'ri chiziqlar.

Keyin agar

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (206.6-rasm), keyin ph = 180 ° - ps. Ko'rinib turibdiki, ikkala holatda ham cos ph = |cos ps| tengligi to'g'ri. Formulaga ko'ra (a va b nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchakning kosinasi bu vektorlarning skalyar ko'paytmasini ularning uzunliklari mahsulotiga bo'linganiga teng)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

shuning uchun,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Va \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Keyin chiziqlar orasidagi burchak ph formula yordamida aniqlanadi

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Agar chiziqlardan biri (yoki ikkalasi) kanonik bo'lmagan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, burchakni hisoblash uchun siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz kerak va keyin (1) formuladan foydalaning.

Vazifa 1. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;va\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Formula (1) bo'yicha topamiz

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 60 ° ga teng.

Vazifa 2. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \begin(holatlar)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(holatlar) va \begin(holatlar)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(holatlar) $$

Qo'llanma vektorining orqasida A birinchi to'g'ri chiziqda biz normal vektorlarning vektor mahsulotini olamiz n 1 = (3; 0; -12) va n 2 = (1; 1; -3) bu chiziqni aniqlovchi tekisliklar. Formula bo'yicha \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) ni olamiz

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Xuddi shunday, biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topamiz:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ammo formula (1) kerakli burchakning kosinusini hisoblab chiqadi:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 90 ° ga teng.

Vazifa 3. MAVS uchburchak piramidasida MA, MB va MC qirralari o'zaro perpendikulyar, (207-rasm);

ularning uzunligi mos ravishda 4, 3, 6 ga teng. D nuqtasi o'rta [MA]. CA va DB chiziqlar orasidagi ph burchagini toping.

SA va DB SA va DB chiziqlarning yo‘nalish vektorlari bo‘lsin.

Koordinatalarning boshi sifatida M nuqtani olaylik. Vazifa sharti bo'yicha bizda A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0) mavjud. Shuning uchun \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Biz (1) formuladan foydalanamiz:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Kosinuslar jadvaliga ko'ra, CA va DB to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak taxminan 72 ° ekanligini aniqlaymiz.

Buning yordamida onlayn kalkulyator chiziqlar orasidagi burchakni toping. Tushuntirishlar bilan batafsil yechim berilgan. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash uchun o'lchamni o'rnating (2-agar tekis chiziq tekislikda ko'rib chiqilsa, 3- to'g'ri chiziq bo'shliqda ko'rib chiqilsa), tenglama elementlarini katakchalarga kiriting va "" tugmasini bosing. Yechish” tugmasi. Quyidagi nazariy qismga qarang.

×

Ogohlantirish

Barcha hujayralar tozalansinmi?

Yopish Tozalash

Ma'lumotlarni kiritish bo'yicha ko'rsatma. Raqamlar butun sonlar (masalan: 487, 5, -7623 va boshqalar), oʻnlik sonlar (masalan, 67., 102.54 va boshqalar) yoki kasrlar sifatida kiritiladi. Kasr a/b shaklida yozilishi kerak, bunda a va b (b>0) butun sonlar yoki o'nlik sonlar. Misollar 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 va boshqalar.

1. Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak

Chiziqlar kanonik tenglamalar bilan berilgan

1.1. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash

Ikki o'lchovli bo'shliqda chiziqlar bo'lsin L 1 va L

Shunday qilib, (1.4) formuladan chiziqlar orasidagi burchakni topish mumkin L 1 va L 2. 1-rasmdan ko'rinib turibdiki, kesishgan chiziqlar qo'shni burchaklarni hosil qiladi φ Va φ 1 . Agar topilgan burchak 90 ° dan katta bo'lsa, unda siz chiziqlar orasidagi minimal burchakni topishingiz mumkin L 1 va L 2: φ 1 =180-φ .

(1.4) formuladan ikkita to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlarini chiqarish mumkin.

Misol 1. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang

Keling, soddalashtiramiz va hal qilamiz:

1.2. Parallel chiziqlarning holati

Mayli φ =0. Keyin cosph=1. Bu holda (1.4) ifoda quyidagi shaklni oladi:

,

,

Misol 2. Chiziqlar parallel yoki yo'qligini aniqlang

Tenglik (1.9) bajariladi, shuning uchun (1.10) va (1.11) chiziqlar parallel.

Javob. (1.10) va (1.11) chiziqlar parallel.

1.3. Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti

Mayli φ =90°. Keyin cosph=0. Bu holda (1.4) ifoda quyidagi shaklni oladi:

Misol 3. Chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang

(1.13) shart bajariladi, demak (1.14) va (1.15) chiziqlar perpendikulyar.

Javob. (1.14) va (1.15) chiziqlar perpendikulyar.

To'g'ri chiziqlar umumiy tenglamalar bilan berilgan

1.4. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash

Ikki qator bo'lsin L 1 va L 2 umumiy tenglamalar bilan berilgan

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasining ta'rifidan biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

4-misol. Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Qiymatlarni almashtirish A 1 , B 1 , A 2 , B 2 dyuym (1.23), biz quyidagilarni olamiz:

Bu burchak 90° dan katta. Chiziqlar orasidagi minimal burchakni toping. Buning uchun bu burchakni 180 dan ayirish kerak:

Boshqa tomondan, parallel chiziqlar holati L 1 va L 2 - kollinear vektorlar shartiga ekvivalent n 1 va n 2 va quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Tenglik (1.24) bajariladi, shuning uchun (1.26) va (1.27) chiziqlar parallel.

Javob. (1.26) va (1.27) chiziqlar parallel.

1.6. Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti

Chiziqlarning perpendikulyarlik sharti L 1 va L 2 ni (1.20) formuladan almashtirish orqali chiqarish mumkin cos(φ )=0. Keyin skalyar mahsulot ( n 1 ,n 2)=0. Qayerda

Tenglik (1.28) bajariladi, shuning uchun (1.29) va (1.30) chiziqlar perpendikulyar.

Javob. (1.29) va (1.30) chiziqlar perpendikulyar.

2. Fazodagi chiziqlar orasidagi burchak

2.1. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash

Chiziqlarni bo'sh joyga qo'ying L 1 va L 2 kanonik tenglamalar bilan berilgan

qayerda | q 1 | va | q 2 | yo'nalish vektor modullari q 1 va q 2 mos ravishda, φ -vektorlar orasidagi burchak q 1 va q 2 .

(2.3) ifodadan biz quyidagilarni olamiz:

.

Keling, soddalashtiramiz va hal qilamiz:

.

Keling, burchakni topamiz φ