Je logické přejít k mluvení operace s algebraickými zlomky. S algebraickými zlomky jsou definovány následující operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení a zvyšování na přirozenou mocninu. Navíc jsou všechny tyto akce uzavřené v tom smyslu, že v důsledku jejich provedení se získá algebraický zlomek. Podívejme se na každou z nich v pořadí.

Ano, hned je třeba poznamenat, že akce s algebraickými zlomky jsou zobecněním odpovídajících akcí s obyčejnými zlomky. Proto se odpovídající pravidla téměř slovo od slova shodují s pravidly pro provádění sčítání a odčítání, násobení, dělení a umocňování. obyčejné zlomky.

Navigace na stránce.

Sčítání algebraických zlomků

Sčítání libovolných algebraických zlomků zapadá do jednoho z následujících dvou případů: v prvním se sečtou zlomky se stejnými jmenovateli, ve druhém s různými jmenovateli. Začněme pravidlem pro sčítání zlomků s podobnými jmenovateli.

Chcete-li sečíst algebraické zlomky s podobnými jmenovateli, sečtěte čitatele a jmenovatele ponechte stejný.

Oznámené pravidlo umožňuje přejít od sčítání algebraických zlomků k sčítání polynomů nalezených v čitatelích. Například, .

Chcete-li přidat algebraické zlomky s různými jmenovateli, musíte dodržovat následující pravidlo: přiveďte je ke společnému jmenovateli a poté přidejte výsledné zlomky se stejnými jmenovateli.

Například při sčítání algebraických zlomků a musí být nejprve uvedeny do společného jmenovatele, v důsledku toho budou mít tvar A podle toho, načež se provede sčítání těchto zlomků se stejnými jmenovateli: .

Odčítání

Další akce, odečítání algebraických zlomků, se provádí podobně jako sčítání. Pokud jsou jmenovatelé původních algebraických zlomků stejní, pak stačí v čitatelích odečíst polynomy a jmenovatele nechat stejný. Pokud jsou jmenovatelé různí, pak se nejprve provede redukce na společného jmenovatele, načež se odečítají výsledné zlomky se stejnými jmenovateli.

Uveďme příklady.

Odečteme algebraické zlomky a , jejich jmenovatelé jsou stejní, tedy . Výsledný algebraický zlomek lze dále redukovat: .

Nyní odečteme zlomek od zlomku. Jedná se o algebraické zlomky s různými jmenovateli, proto je nejprve přivedeme ke společnému jmenovateli, kterým je v tomto případě 5 x (x-1), máme A . Vše, co zbývá udělat, je odečíst:

Násobení algebraických zlomků

Algebraické zlomky lze násobit. Tato akce se provádí podobně jako násobení obyčejných zlomků podle následujícího pravidla: pro násobení algebraických zlomků je třeba násobit čitatele zvlášť a jmenovatele zvlášť.

Uveďme příklad. Vynásobme algebraický zlomek zlomkem . Podle uvedeného pravidla máme . Vše, co zbývá, je převést výsledný zlomek na algebraický zlomek; k tomu je v tomto případě třeba vynásobit monomiály a polynomy (a obecně násobit polynomy) v čitateli a jmenovateli: .

Stojí za zmínku, že před násobením algebraických zlomků je vhodné faktorizovat polynomy nalezené v jejich čitatelích a jmenovatelích. To je způsobeno možností snížení výsledné frakce. Například,
.

Tato akce je podrobněji popsána v článku.

Divize

Přejděme k operacím s algebraickými zlomky. Další na řadě je dělení algebraických zlomků. Následující pravidlo redukuje dělení algebraických zlomků na násobení: k dělení jednoho algebraického zlomku druhým je třeba vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého.

Algebraický zlomek, převrácená hodnota daného zlomku, je zlomek s prohozeným čitatelem a jmenovatelem. Jinými slovy, dva algebraické zlomky jsou považovány za vzájemně inverzní, pokud je jejich součin shodně roven jedné (analogicky s).

Uveďme příklad. Udělejme rozdělení . Reciproký zlomek dělitele je . Tím pádem, .

Podrobnější informace naleznete v článku uvedeném v předchozím odstavci: násobení a dělení algebraických zlomků.

Zvýšení algebraického zlomku na mocninu

Nakonec přejdeme k poslední akci s algebraickými zlomky – zvýšení na přirozenou mocninu. , stejně jako způsob, jakým jsme definovali násobení algebraických zlomků, nám umožňuje zapsat pravidlo pro umocnění algebraického zlomku: musíte zvlášť zvýšit čitatel na tuto mocninu a zvlášť jmenovatele.

Ukažme si příklad provedení této akce. Uveďme algebraický zlomek na druhou mocninu. Podle výše uvedeného pravidla máme . Zbývá umocnit jednočlen v čitateli na mocninu a také umocnit mnohočlen ve jmenovateli na mocninu, což dá algebraický zlomek tvaru .

Rozhodnutí ostatních typické příklady ukázaný v článku zvýšení algebraického zlomku na mocninu.

Bibliografie.

• Algebra: učebnice pro 8. třídu. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. třída. Ve 14 hodin 1. část. Učebnice pro všeobecné studenty vzdělávací instituce/ A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

Autorská práva chytrých studentů

Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část stránek, včetně vnitřních materiálů a vzhledu, nesmí být reprodukována v žádné formě nebo používána bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.

§ 1 Pojem algebraického zlomku

Algebraický zlomek je výraz

kde P a Q jsou polynomy; P je čitatel algebraického zlomku, Q je jmenovatel algebraického zlomku.

Zde jsou příklady algebraických zlomků:

Libovolný polynom je speciální případ algebraického zlomku, protože každý polynom může být zapsán ve tvaru

Například:

Hodnota algebraického zlomku závisí na hodnotě proměnných.

Spočítejme si například hodnotu zlomku

1)

2)

V prvním případě dostaneme:

Všimněte si, že tento zlomek lze snížit:

Výpočet hodnoty algebraického zlomku je tedy zjednodušen. Využijme toho.

Ve druhém případě dostaneme:

Jak vidíte, se změnou hodnot proměnných se změnila hodnota algebraického zlomku.

§ 2 Přípustné hodnoty proměnných algebraického zlomku

Uvažujme algebraický zlomek

Hodnota x = -1 je pro tento zlomek neplatná, protože jmenovatel zlomku při této hodnotě x se stane nulou. S touto hodnotou proměnné nemá algebraický zlomek žádný význam.

Přípustné hodnoty proměnných algebraického zlomku jsou tedy ty hodnoty proměnných, při kterých jmenovatel zlomku nezmizí.

Pojďme vyřešit pár příkladů.

Při jakých hodnotách proměnné nedává algebraický zlomek smysl:

Chcete-li najít neplatné hodnoty proměnných, je jmenovatel zlomku nastaven na nulu a jsou nalezeny kořeny odpovídající rovnice.

Při jakých hodnotách proměnné je algebraický zlomek roven nule:

Zlomek se rovná nule, pokud je čitatel nula. Srovnejme čitatele našeho zlomku s nulou a najdeme kořeny výsledné rovnice:

Pro x = 0 a x = 3 tedy tento algebraický zlomek nedává smysl, což znamená, že musíme tyto hodnoty proměnné z odpovědi vyloučit.

V této lekci jste se tedy naučili základní pojmy algebraického zlomku: čitatel a jmenovatel zlomku a také přijatelné hodnoty proměnných algebraického zlomku.

Seznam použité literatury:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. třída. Ve 2 hod. 1. díl Učebnice pro vzdělávací instituce / A.G. Mordkovič. – 9. vyd., přepracované. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 s.: nemocný.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. třída. Ve 2 hod. 2. díl Problémová kniha pro vzdělávací instituce / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulčinská. – 8. vyd., – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 s.
3. Algebra. 8. třída. Testovací papíry pro studenty vzdělávacích institucí v L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich 2. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 s.
4. Algebra. 8. třída. Samostatná práce pro studenty vzdělávacích institucí: k učebnici A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovič. 9. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 s.

V § 42 bylo řečeno, že nelze-li dělení polynomů provést úplně, pak se podíl zapisuje ve tvaru zlomkový výraz, ve kterém je dividenda čitatelem a dělitelem je jmenovatel.

Příklady zlomkových výrazů:

Čitatel a jmenovatel zlomkového výrazu mohou samy o sobě být zlomkové výrazy, například:

Ze zlomkových algebraických výrazů se nejčastěji musíte vypořádat s těmi, ve kterých jsou čitatelem a jmenovatelem polynomy (zejména monočleny). Každý takový výraz se nazývá algebraický zlomek.

Definice. Algebraický výraz, který je zlomkem, jehož čitatel a jmenovatel jsou polynomy, se nazývá algebraický zlomek.

Stejně jako v aritmetice se čitatel a jmenovatel algebraického zlomku nazývá členy zlomku.

V budoucnu, po prostudování operací s algebraickými zlomky, budeme schopni transformovat jakýkoli zlomkový výraz na algebraický zlomek pomocí identických transformací.

Příklady algebraických zlomků:

Všimněte si, že celý výraz, tedy polynom, lze zapsat jako zlomek, k tomu stačí zapsat tento výraz do čitatele a do jmenovatele 1. Například:

2. Přijatelné hodnoty písmen.

Písmena obsažená pouze v čitateli mohou nabývat libovolných hodnot (pokud nejsou stavem problému zavedena další omezení).

Pro písmena zahrnutá ve jmenovateli jsou platné pouze ty hodnoty, které nemění jmenovatele na nulu. Proto v následujícím budeme vždy předpokládat, že jmenovatel algebraického zlomku není roven nule.

Když student nastoupí na střední školu, matematika je rozdělena do dvou předmětů: algebra a geometrie. Konceptů je stále více, úkoly jsou stále obtížnější. Někteří lidé mají potíže s porozuměním zlomků. Zmeškal první lekci na toto téma a voila. zlomky? Otázka, která bude trápit celý můj školní život.

Pojem algebraického zlomku

Začněme definicí. Pod algebraický zlomek odkazuje na výrazy P/Q, kde P je čitatel a Q je jmenovatel. Pod písmenem lze skrýt číslo, číselný výraz nebo číselně-abecední výraz.

Než se budete divit, jak řešit algebraické zlomky, musíte nejprve pochopit, že takový výraz je součástí celku.

Celé číslo je zpravidla 1. Číslo ve jmenovateli ukazuje, na kolik částí je jednotka rozdělena. Čitatel je potřebný ke zjištění, kolik prvků je převzato. Zlomkový pruh odpovídá znaménku dělení. Je povoleno zapsat zlomkový výraz jako matematickou operaci „Dělení“. V tomto případě je čitatelem dividenda, jmenovatelem je dělitel.

Základní pravidlo společných zlomků

Když studenti studují toto téma ve škole, dostávají příklady k posílení. Abyste je správně vyřešili a našli různá východiska ze složitých situací, musíte použít základní vlastnost zlomků.

Zní to takto: Pokud vynásobíte čitatel i jmenovatel stejným číslem nebo výrazem (jiným než nula), hodnota společného zlomku se nezmění. Zvláštním případem tohoto pravidla je dělení obou stran výrazu stejným číslem nebo polynomem. Takové transformace se nazývají identické rovnosti.

Níže se podíváme na to, jak řešit sčítání a odčítání algebraických zlomků, násobení, dělení a zmenšování zlomků.

Matematické operace se zlomky

Podívejme se, jak řešit, hlavní vlastnost algebraického zlomku, a jak ji aplikovat v praxi. Pokud potřebujete vynásobit dva zlomky, sečíst je, jeden po druhém dělit nebo odčítat, musíte vždy dodržovat pravidla.

Pro operaci sčítání a odčítání je tedy nutné najít další faktor, aby se výrazy dostaly do společného jmenovatele. Pokud jsou zlomky zpočátku uvedeny se stejnými výrazy Q, pak by měl být tento odstavec vynechán. Jakmile najdete společného jmenovatele, jak vyřešíte algebraické zlomky? Musíte přidat nebo odečíst čitatele. Ale! Je třeba si uvědomit, že pokud je před zlomkem znaménko „-“, všechna znaménka v čitateli jsou obrácená. Někdy byste neměli provádět žádné substituce nebo matematické operace. Stačí změnit znaménko před zlomkem.

Koncept se často používá jako redukční frakce. To znamená následující: pokud jsou čitatel a jmenovatel rozdělen výrazem odlišným od jednoho (stejným pro obě části), získá se nový zlomek. Dělenec a dělitel jsou menší než dříve, ale kvůli základnímu pravidlu zlomků zůstávají stejné jako v původním příkladu.

Účelem této operace je získat nový neredukovatelný výraz. Rozhodni se tento úkol je to možné, pokud snížíte čitatel a jmenovatel o největší společný dělitel. Operační algoritmus se skládá ze dvou bodů:

1. Hledání gcd pro obě strany zlomku.
2. Vydělení čitatele a jmenovatele nalezeným výrazem a získání neredukovatelného zlomku rovného předchozímu.

Níže je tabulka zobrazující vzorce. Pro pohodlí si jej můžete vytisknout a nosit s sebou v notebooku. Aby však v budoucnu při řešení testu nebo zkoušky nebyly žádné potíže v otázce, jak řešit algebraické zlomky, je třeba se tyto vzorce naučit zpaměti.

Několik příkladů s řešením

Z teoretického hlediska je zvažována otázka, jak řešit algebraické zlomky. Příklady uvedené v článku vám pomohou lépe porozumět materiálu.

1. Převeďte zlomky a přiveďte je ke společnému jmenovateli.

2. Převeďte zlomky a přiveďte je ke společnému jmenovateli.

Po prostudování teoretické části a zvážení praktické části by již neměly vznikat žádné další otázky.

Po obdržení prvotních informací o zlomcích přejdeme k operacím s algebraickými zlomky. Můžete s nimi provádět jakékoli akce, včetně jejich zvýšení na sílu. Když je uděláme, skončíme u algebraického zlomku. Všechny body musí být analyzovány postupně.

Operace s algebraickými zlomky jsou podobné operacím s obyčejnými zlomky. Proto stojí za zmínku, že pravidla jsou stejná pro všechny akce prováděné s nimi.

Sčítání algebraických zlomků

Sčítání lze provést ve dvou případech: se stejnými jmenovateli, s různými jmenovateli.

Pokud potřebujete sečíst zlomky se stejnými jmenovateli, musíte sečíst čitatele a ponechat jmenovatele beze změny. Toto pravidlo umožňuje používat sčítání zlomků a polynomů, které jsou v čitatelích. Chápeme to

a 2 + a b a b - 5 + 2 a b + 3 a b - 5 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = a 2 + a b + 2 a b + 3 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = = a 2 + 3 a b - 1 + 2 b 4 a b - 5

Pokud existují čitatelé zlomku s různými čitateli, pak je nutné použít pravidlo: použít redukci na společného jmenovatele a výsledné zlomky sečíst.

Příklad 1

Je nutné sečíst zlomky x x 2 - 1 a 3 x 2 - x

Řešení

Redukujeme na společného jmenovatele ve tvaru x 2 x · x - 1 · x + 1 a 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) .

Udělejme sčítání a dostaneme to

x 2 x (x - 1) (x + 1) + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

Odpověď: x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

Článek o sčítání a odečítání takových zlomků obsahuje podrobné informace, které podrobně popisují každou akci provedenou se zlomky. Při provádění přidávání se může objevit redukovatelná frakce.

Odčítání

Odečítání se provádí stejným způsobem jako sčítání. Pokud jsou jmenovatelé shodní, akce se provádějí pouze v čitateli, jmenovatel zůstává nezměněn. Pro různé jmenovatele se provede redukce na společného jmenovatele. Teprve poté můžete začít počítat.

Příklad 2

Pojďme k odečítání zlomků a + 5 a 2 + 2 a 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2.

Řešení

Je vidět, že jmenovatele jsou shodné, což znamená a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 a 2 + a) a 2 + 2 = 2 a 2 + 4 a 2 + 2.

Zmenšeme zlomek 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 · a 2 + 2 a 2 + 2 = 2.

Odpověď: 2

Příklad 3

Odečteme 4 5 · x a 3 x - 1 .

Řešení

Jmenovatelé jsou různé, takže to zmenšíme na společných 5 x (x - 1) , dostaneme 4 5 x = 4 x - 1 5 x (x - 1) = 4 x - 4 5 x (x - 1) a 3 x - 1 = 3 5 x (x - 1) 5 x = 15 x 5 x (x - 1) .

Teď to udělejme

4 5 x - 3 x - 1 = 4 x - 4 5 x (x - 1) - 15 x 5 x (x - 1) = 4 x - 4 - 15 x 5 x · (x - 1) = = - 4 - 11 · x 5 · x · (x - 1) = - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

Odpověď: - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

Podrobné informace najdete v článku o sčítání a odčítání algebraických zlomků.

Násobení algebraických zlomků

Pomocí zlomků můžete provádět násobení podobně jako násobení běžných zlomků: abyste mohli násobit zlomky, musíte násobit čitatele a jmenovatele samostatně.

Podívejme se na příklad takového plánu.

Příklad 4

Vynásobením 2 x + 2 x - x · y y z pravidla dostaneme, že 2 x + 2 · x - x · y y = 2 · (x - x · y) (x + 2) · y.

Nyní je potřeba provést transformace, tedy vynásobit monočlen polynomem. Chápeme to

2 x - x y (x + 2) y = 2 x - 2 x y x y + 2 y

Nejprve musíte zlomek rozložit na polynomy, abyste zlomek zjednodušili. Poté můžete provést redukci. To máme

2 x 3 - 8 x 3 x y - y 6 y 5 x 2 + 2 x = 2 x (x - 2) (x + 2) y (3 x - 1) · 6 · y 5 x · (x + 2) = = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) · 6 · y 5 y · (3 · x - 1) · x · x + 2 = 12 · (x - 2) · y 4 3 · x - 1 = 12 · x · y 4 - 24 · y 4 3 · x - 1

Podrobnou diskuzi o této akci najdete v článku o násobení a dělení zlomků.

Divize

Podívejme se na dělení pomocí algebraických zlomků. Aplikujme pravidlo: abyste mohli dělit zlomky, musíte vynásobit první převrácenou hodnotou druhého.

Zlomek, který je převrácený k danému zlomku, se považuje za zlomek s obráceným čitatelem a jmenovatelem. To znamená, že tento zlomek se nazývá jeho reciproční.

Podívejme se na příklad.

Příklad 5

Rozděl x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y.

Řešení

Potom převrácený zlomek 2 · x 3 · y zapíšeme jako 3 · y 2 · x. To znamená, že dostaneme, že x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x 2 - x y 9 y 2 3 y 2 x = x x - y 3 y 9 · y 2 · 2 · x = x - y 6 · y

Odpovědět: x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x - y 6 y

Zvýšení algebraického zlomku na mocninu

Pokud existuje přirozená síla, pak je nutné aplikovat pravidlo jednání s pozvedáním na přirozenou sílu. V takových výpočtech používáme pravidlo: při zvýšení na mocninu musíte samostatně zvýšit čitatele a jmenovatele na mocninu a poté zapsat výsledek.

Příklad 6

Podívejme se na příklad zlomku 2 x x - y. Pokud je potřeba zvýšit na mocninu rovnou 2, pak provedeme následující kroky: 2 x x - y 2 = 2 x 2 (x - y) 2. Poté výsledný monomiál zvýšíme na mocninu. Po dokončení kroků zjistíme, že zlomek má tvar 4 x 2 x 2 - 2 x x y + y 2.

Podrobné řešení takových příkladů je diskutováno v článku o zvýšení algebraického zlomku na mocninu.

Při práci s mocninami zlomků nezapomeňte, že čitatel a jmenovatel jsou umocněny odděleně. To výrazně zjednodušuje proces řešení a dalšího zjednodušení zlomku. Stojí za to věnovat pozornost cedulce před stupněm. Pokud existuje znaménko mínus, měl by být takový zlomek pro usnadnění výpočtu obrácen.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter