§ 87. Sčítání zlomků.

Sčítání zlomků má mnoho podobností se sčítáním celých čísel. Sčítání zlomků je akce spočívající v tom, že se několik daných čísel (členů) spojí do jednoho čísla (součtu), které obsahuje všechny jednotky a zlomky jednotek členů.

Postupně zvážíme tři případy:

1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Sčítání smíšených čísel.

1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Zvažte příklad: 1 / 5 + 2 / 5 .

Vezměte segment AB (obr. 17), vezměte jej jako jednotku a vydělte 5 stejnými díly, pak se část AC tohoto segmentu bude rovnat 1/5 segmentu AB a část stejného segmentu CD bude rovna 2/5 AB.

Z výkresu je vidět, že pokud vezmeme segment AD, bude se rovnat 3/5 AB; ale segment AD je přesně součtem segmentů AC a CD. Můžeme tedy napsat:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Uvážíme-li tyto členy a výslednou částku, vidíme, že čitatel součtu byl získán sečtením čitatelů členů a jmenovatel zůstal nezměněn.

Z toho dostáváme následující pravidlo: Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat stejného jmenovatele.

Zvažte příklad:

2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.

Sečteme zlomky: 3/4 + 3/8 Nejprve je třeba je zredukovat na nejmenšího společného jmenovatele:

Mezičlánek 6/8 + 3/8 nemohl být zapsán; pro větší přehlednost jsme to napsali zde.

Chcete-li tedy sečíst zlomky s různými jmenovateli, musíte je nejprve přivést k nejnižšímu společnému jmenovateli, sečíst jejich čitatele a podepsat společného jmenovatele.

Zvažte příklad (přes odpovídající zlomky napíšeme další faktory):

3. Sčítání smíšených čísel.

Sečteme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Nejprve přivedeme zlomkové části našich čísel ke společnému jmenovateli a přepíšeme je znovu:

Nyní postupně přidejte celé číslo a zlomkové části:

§ 88. Odečítání zlomků.

Odčítání zlomků je definováno stejně jako odčítání celých čísel. Jedná se o akci, při které se na základě součtu dvou pojmů a jednoho z nich najde další. Podívejme se postupně na tři případy:

1. Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Odčítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Odčítání smíšených čísel.

1. Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Zvažte příklad:

13 / 15 - 4 / 15

Vezmeme segment AB (obr. 18), vezmeme jej jako jednotku a rozdělíme na 15 stejných částí; pak AC část tohoto segmentu bude 1/15 AB a AD část stejného segmentu bude odpovídat 13/15 AB. Ponechme stranou další segment ED, rovný 4/15 AB.

Musíme odečíst 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED musí být odečten od segmentu AD. V důsledku toho zůstane segment AE, což je 9/15 segmentu AB. Můžeme tedy napsat:

Příklad, který jsme vytvořili, ukazuje, že čitatel rozdílu byl získán odečtením čitatelů a jmenovatel zůstal stejný.

Chcete-li tedy odečíst zlomky se stejnými jmenovateli, musíte odečíst čitatele dílčího bodu od čitatele minuendu a ponechat stejného jmenovatele.

2. Odčítání zlomků s různými jmenovateli.

Příklad. 3/4 - 5/8

Nejprve zredukujeme tyto zlomky na nejmenšího společného jmenovatele:

Mezičlánek 6 / 8 - 5 / 8 je zde pro přehlednost napsán, ale lze jej v budoucnu přeskočit.

Chcete-li tedy odečíst zlomek od zlomku, musíte je nejprve přivést k nejmenšímu společnému jmenovateli, poté odečíst čitatele podčísla od čitatele minuendu a pod jejich rozdíl podepsat společného jmenovatele.

Zvažte příklad:

3. Odečítání smíšených čísel.

Příklad. 10 3/4 - 7 2/3.

Přivedeme zlomkové části minuendu a subtrahendu k nejnižšímu společnému jmenovateli:

Odečetli jsme celek od celku a zlomek od zlomku. Existují však případy, kdy je zlomková část subtrahendu větší než zlomková část minuendu. V takových případech je třeba vzít jednu jednotku z celočíselné části redukovaného, ​​rozdělit ji na ty části, ve kterých je vyjádřena zlomková část, a přidat k zlomkové části redukovaného. A poté bude odčítání provedeno stejným způsobem jako v předchozím příkladu:

§ 89. Násobení zlomků.

Při studiu násobení zlomků budeme uvažovat další otázky:

1. Násobení zlomku celým číslem.
2. Nalezení zlomku daného čísla.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
4. Násobení zlomku zlomkem.
5. Násobení smíšených čísel.
6. Pojem úrok.
7. Zjištění procent z daného čísla. Zvažme je postupně.

1. Násobení zlomku celým číslem.

Násobení zlomku celým číslem má stejný význam jako násobení celého čísla celým číslem. Násobení zlomku (násobiče) celým číslem (násobitelem) znamená sestavení součtu identických členů, kde každý člen je roven násobku a počet členů je roven násobiteli.

Pokud tedy potřebujete vynásobit 1/9 7, lze to provést takto:

Výsledek jsme získali snadno, protože akce byla zredukována na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Proto,

Zvážení této akce ukazuje, že vynásobení zlomku celým číslem se rovná zvýšení tohoto zlomku tolikrát, kolikrát je jednotek v celém čísle. A protože zvýšení zlomku je dosaženo buď zvýšením jeho čitatele

nebo snížením jeho jmenovatele , pak můžeme buď vynásobit čitatele celým číslem, nebo jím vydělit jmenovatele, pokud je takové dělení možné.

Odtud dostáváme pravidlo:

Chcete-li vynásobit zlomek celým číslem, musíte vynásobit čitatel tímto celým číslem a ponechat jmenovatele stejný, nebo pokud je to možné, vydělit jmenovatele tímto číslem, přičemž čitatel zůstane nezměněn.

Při násobení jsou možné zkratky, například:

2. Nalezení zlomku daného čísla. Existuje mnoho úloh, ve kterých musíte najít nebo vypočítat část daného čísla. Rozdíl mezi těmito úkoly a ostatními je v tom, že uvádějí počet některých objektů nebo měrných jednotek a musíte najít část tohoto čísla, která je zde také označena určitým zlomkem. Pro usnadnění porozumění uvedeme nejprve příklady takových problémů a poté představíme způsob jejich řešení.

Úkol 1. Měl jsem 60 rublů; 1/3 z těchto peněz jsem utratil za nákup knih. Kolik stály knihy?

Úkol 2. Vlak musí urazit vzdálenost mezi městy A a B, která se rovná 300 km. Už urazil 2/3 této vzdálenosti. Kolik je to kilometrů?

Úkol 3. V obci je 400 domů, z toho 3/4 zděných, ostatní dřevěné. Kolik je tam cihlových domů?

Zde jsou některé z mnoha problémů, se kterými se musíme vypořádat, abychom našli zlomek daného čísla. Obvykle se jim říká problémy pro nalezení zlomku daného čísla.

Řešení problému 1. Od 60 rublů. Utratil jsem 1/3 za knihy; Chcete-li tedy zjistit cenu knih, musíte vydělit číslo 60 třemi:

Řešení problému 2. Smyslem problému je, že potřebujete najít 2/3 z 300 km. Vypočítejte první 1/3 z 300; toho je dosaženo vydělením 300 km třemi:

300:3 = 100 (to je 1/3 z 300).

Chcete-li najít dvě třetiny 300, musíte výsledný kvocient zdvojnásobit, to znamená vynásobit 2:

100 x 2 = 200 (to jsou 2/3 z 300).

Řešení problému 3. Zde je třeba určit počet zděných domů, kterých jsou 3/4 ze 400. Nejprve najdeme 1/4 ze 400,

400:4 = 100 (to je 1/4 ze 400).

Chcete-li vypočítat tři čtvrtiny ze 400, musíte výsledný kvocient ztrojnásobit, tedy vynásobit 3:

100 x 3 = 300 (to jsou 3/4 ze 400).

Na základě řešení těchto problémů můžeme odvodit následující pravidlo:

Chcete-li zjistit hodnotu zlomku daného čísla, musíte toto číslo vydělit jmenovatelem zlomku a výsledný podíl vynásobit jeho čitatelem.

3. Násobení celého čísla zlomkem.

Dříve (§ 26) bylo stanoveno, že násobení celých čísel by mělo být chápáno jako sčítání identických členů (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odstavci (odst. 1) bylo stanoveno, že vynásobení zlomku celým číslem znamená nalezení součtu stejných členů rovný tomuto zlomku.

V obou případech násobení spočívalo v nalezení součtu shodných členů.

Nyní přejdeme k násobení celého čísla zlomkem. Zde se setkáme například s násobením: 9 2 / 3. Je zcela zřejmé, že předchozí definice násobení na tento případ neplatí. To je zřejmé z toho, že takové násobení nemůžeme nahradit sčítáním stejných čísel.

Kvůli tomu budeme muset dát novou definici násobení, tedy jinými slovy odpovědět na otázku, co se má rozumět násobením zlomkem, jak má být tento děj chápán.

Význam násobení celého čísla zlomkem je jasný z následující definice: násobit celé číslo (násobitel) zlomkem (násobitelem) znamená najít tento zlomek násobitele.

Totiž vynásobení 9 2/3 znamená nalezení 2/3 z devíti jednotek. V předchozím odstavci byly takové problémy vyřešeny; takže je snadné zjistit, že skončíme s 6.

Nyní však vyvstává zajímavá a důležitá otázka: proč na první pohled taková různé aktivity jak zjistit sumu stejná čísla a nalezení zlomku čísla se v aritmetice nazývá stejným slovem "násobení"?

To se děje proto, že předchozí akce (několikrát opakování čísla s pojmy) a nová akce (nalezení zlomku čísla) dávají odpověď na homogenní otázky. To znamená, že zde vycházíme z úvah, že homogenní otázky nebo úkoly se řeší jednou a toutéž akcí.

Abyste tomu porozuměli, zvažte následující problém: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik budou stát 4 m takové látky?

Tento problém je vyřešen vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (4), tj. 50 x 4 = 200 (rublů).

Vezměme stejný problém, ale v něm bude množství látky vyjádřeno jako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik bude stát 3/4 m takové látky?

Tento problém je také třeba vyřešit vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (3/4).

Čísla v něm můžete také několikrát změnit, aniž byste změnili význam problému, například vezměte 9/10 m nebo 2 3/10 m atd.

Protože tyto úlohy mají stejný obsah a liší se pouze čísly, nazýváme akce používané při jejich řešení stejným slovem – násobení.

Jak se celé číslo násobí zlomkem?

Vezměme si čísla, se kterými jsme se setkali v posledním problému:

Podle definice musíme najít 3/4 z 50. Nejprve najdeme 1/4 z 50 a poté 3/4.

1/4 z 50 je 50/4;

3/4 z 50 je .

Proto.

Zvažte jiný příklad: 12 5 / 8 = ?

1/8 z 12 je 12/8,

5/8 z čísla 12 je .

Proto,

Odtud dostáváme pravidlo:

Chcete-li vynásobit celé číslo zlomkem, musíte celé číslo vynásobit čitatelem zlomku a učinit tento součin čitatelem a jmenovatele daného zlomku podepsat jako jmenovatele.

Toto pravidlo zapisujeme pomocí písmen:

Aby bylo toto pravidlo dokonale jasné, je třeba mít na paměti, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro násobení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38

Je třeba si uvědomit, že před provedením násobení byste měli udělat (pokud je to možné) řezy, Například:

4. Násobení zlomku zlomkem. Násobení zlomku zlomkem má stejný význam jako násobení celého čísla zlomkem, to znamená, že při násobení zlomku zlomkem je potřeba najít zlomek v násobilce od prvního zlomku (násobitele).

Totiž vynásobení 3/4 1/2 (polovina) znamená nalezení poloviny 3/4.

Jak vynásobíte zlomek zlomkem?

Vezměme si příklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte najít 5/7 ze 3/4. Najděte nejprve 1/7 ze 3/4 a poté 5/7

1/7 ze 3/4 by byla vyjádřena takto:

5 / 7 čísel 3 / 4 bude vyjádřeno takto:

Tím pádem,

Další příklad: 5/8 krát 4/9.

1/9 z 5/8 je ,

4/9 čísla 5/8 jsou .

Tím pádem,

Z těchto příkladů lze odvodit následující pravidlo:

Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a vytvořit z prvního součinu čitatele az druhého součinu jmenovatele součinu.

Toto je pravidlo obecný pohled lze napsat takto:

Při násobení je nutné provést (pokud možno) redukce. Zvažte příklady:

5. Násobení smíšených čísel. Protože smíšená čísla lze snadno nahradit nesprávnými zlomky, tato okolnost se obvykle používá při násobení smíšených čísel. To znamená, že v těch případech, kdy násobitel nebo násobitel nebo oba faktory jsou vyjádřeny jako smíšená čísla, jsou nahrazeny nesprávnými zlomky. Vynásobte například smíšená čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich převedeme na nevlastní zlomek a výsledné zlomky pak vynásobíme podle pravidla o násobení zlomku zlomkem:

Pravidlo. Chcete-li vynásobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté násobit podle pravidla násobení zlomku zlomkem.

Poznámka. Pokud je jedním z faktorů celé číslo, lze násobení provést na základě distribučního zákona takto:

6. Pojem úrok. Při řešení úloh a při provádění různých praktických výpočtů používáme všechny druhy zlomků. Ale je třeba mít na paměti, že mnoho veličin nepřipouští žádné, ale přirozené dělení. Například si můžete vzít jednu setinu (1/100) rublu, bude to cent, dvě setiny jsou 2 kopejky, tři setiny jsou 3 kopejky. Můžete si vzít 1/10 rublu, bude to "10 kopejek nebo desetník. Můžete si vzít čtvrtinu rublu, tj. 25 kopejek, půl rublu, tj. Neberte si například 2/7 rublů, protože rubl není rozdělen na sedminy.

Jednotka měření hmotnosti, tedy kilogram, umožňuje především desetinná dělení, například 1/10 kg nebo 100 g. A takové zlomky kilogramu jako 1/6, 1/11, 1/ 13 jsou neobvyklé.

Obecně jsou naše (metrické) míry desetinné a umožňují desetinné dělení.

Je však třeba poznamenat, že je mimořádně užitečné a vhodné v celé řadě případů použít stejnou (jednotnou) metodu dělení veličin. Dlouholeté zkušenosti ukázaly, že takovým opodstatněným dělením je dělení na „stovky“. Podívejme se na několik příkladů souvisejících s nejrozmanitějšími oblastmi lidské praxe.

1. Cena knih se snížila o 12/100 předchozí ceny.

Příklad. Předchozí cena knihy je 10 rublů. Klesla o 1 rubl. 20 kop.

2. Spořitelny vyplácejí v průběhu roku vkladatelům 2/100 z částky, která je vložena do spoření.

Příklad. Do pokladny se vloží 500 rublů, příjem z této částky za rok je 10 rublů.

3. Počet absolventů jedné školy byl 5/100 z celkového počtu studentů.

PŘÍKLAD Na škole studovalo pouze 1200 studentů, z toho 60 školu ukončilo.

Setina čísla se nazývá procenta..

Slovo „procento“ je vypůjčeno z latinský a jeho kořen "cent" znamená sto. Spolu s předložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohoto výrazu vyplývá z toho, že zpočátku v starověký Římúrokem byly peníze, které dlužník zaplatil věřiteli „za každou stovku“. Slovo "cent" je slyšet v takových známých slovech: centner (sto kilogramů), centimetr (říkají centimetr).

Například místo toho, abychom řekli, že závod vyrobil 1/100 všech produktů, které vyrobil za poslední měsíc, řekneme toto: závod vyrobil za poslední měsíc jedno procento zmetků. Místo toho, abychom řekli: závod vyrobil o 4/100 více výrobků, než byl stanovený plán, řekneme: závod překročil plán o 4 procenta.

Výše uvedené příklady lze vyjádřit různě:

1. Cena knih se snížila o 12 procent z předchozí ceny.

2. Spořitelny vyplácejí vkladatelům 2 procenta ročně z částky vložené do spoření.

3. Počet absolventů jedné školy byl 5 procent z počtu všech žáků školy.

Pro zkrácení písmene je zvykem psát místo slova „procenta“ znak %.

Je však třeba pamatovat na to, že znak % se obvykle nezapisuje do výpočtů, lze jej zapsat do výpisu problému a do konečného výsledku. Při provádění výpočtů je třeba s touto ikonou místo celého čísla zapsat zlomek se jmenovatelem 100.

Musíte být schopni nahradit celé číslo zadanou ikonou zlomkem se jmenovatelem 100:

Naopak je potřeba si zvyknout psát celé číslo s naznačenou ikonou místo zlomku se jmenovatelem 100:

7. Zjištění procent z daného čísla.

Úkol 1.Škola dostala 200 kubíků. m palivového dřeva, přičemž březové palivové dříví tvoří 30 %. Kolik tam bylo březového dřeva?

Smyslem tohoto problému je, že březové palivové dříví bylo pouze částí palivového dříví, které bylo dodáno do školy, a tato část je vyjádřena zlomkem 30/100. Stojíme tedy před úkolem najít zlomek čísla. Abychom to vyřešili, musíme vynásobit 200 30 / 100 (úlohy na nalezení zlomku čísla řešíme vynásobením čísla zlomkem.).

Takže 30 % z 200 se rovná 60.

Zlomek 30/100 vyskytující se v tomto problému lze zmenšit o 10. Toto snížení by bylo možné provést od samého začátku; řešení problému by se nezměnilo.

Úkol 2. V táboře bylo 300 dětí různého věku. Dětí ve věku 11 let bylo 21 %, dětí ve věku 12 let 61 % a konečně 13letých 18 %. Kolik dětí každého věku bylo v táboře?

V tomto problému musíte provést tři výpočty, to znamená postupně najít počet dětí ve věku 11 let, poté ve věku 12 let a nakonec ve věku 13 let.

Zde tedy bude nutné najít zlomek čísla třikrát. Pojďme na to:

1) Kolika dětem bylo 11 let?

2) Kolika dětem bylo 12 let?

3) Kolika dětem bylo 13 let?

Po vyřešení úlohy je užitečné sečíst nalezená čísla; jejich součet by měl být 300:

63 + 183 + 54 = 300

Měli byste také věnovat pozornost skutečnosti, že součet procent uvedených v podmínce problému je 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To naznačuje, že celkový počet dětí v táboře byl brán jako 100 %.

3 a da cha 3. Dělník dostával 1 200 rublů měsíčně. Z toho 65 % utratil za jídlo, 6 % za byt a topení, 4 % za plyn, elektřinu a rádio, 10 % za kulturní potřeby a 15 % ušetřil. Kolik peněz bylo vynaloženo na potřeby uvedené v úkolu?

Chcete-li tento problém vyřešit, musíte 5krát najít zlomek čísla 1 200. Pojďme na to.

1) Kolik peněz se utratí za jídlo? Úkol říká, že tento výdaj je 65 % všech výdělků, tedy 65/100 z čísla 1 200. Udělejme výpočet:

2) Kolik peněz bylo zaplaceno za byt s vytápěním? Při argumentaci jako v předchozím dojdeme k následujícímu výpočtu:

3) Kolik peněz jste zaplatili za plyn, elektřinu a rádio?

4) Kolik peněz se vydává na kulturní potřeby?

5) Kolik peněz pracovník ušetřil?

Pro ověření je užitečné přidat čísla nalezená v těchto 5 otázkách. Částka by měla být 1 200 rublů. Všechny výdělky jsou brány jako 100 %, což lze snadno zkontrolovat sečtením procent uvedených v prohlášení o problému.

Vyřešili jsme tři problémy. I přesto, že se tyto úkoly týkaly různých věcí (dodávka palivového dříví do školy, počet dětí různého věku, útrata pracovníka), byly řešeny stejně. Stalo se tak proto, že ve všech úlohách bylo potřeba najít pár procent daných čísel.

§ 90. Dělení zlomků.

Při studiu dělení zlomků zvážíme následující otázky:

1. Vydělte celé číslo celým číslem.
2. Dělení zlomku celým číslem
3. Dělení celého čísla zlomkem.
4. Dělení zlomku zlomkem.
5. Dělení smíšených čísel.
6. Hledání čísla daného zlomkem.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.

Zvažme je postupně.

1. Vydělte celé číslo celým číslem.

Jak bylo naznačeno v části celá čísla, dělení je děj spočívající v tom, že při součinu dvou faktorů (dividenda) a jednoho z těchto faktorů (dělitel) se najde další faktor.

Dělení celého čísla celým číslem jsme uvažovali v oddělení celých čísel. Setkali jsme se tam se dvěma případy dělení: dělením beze zbytku, neboli „zcela“ (150 : 10 = 15) a dělením se zbytkem (100 : 9 = 11 a 1 ve zbytku). Můžeme tedy říci, že v oblasti celých čísel není přesné dělení vždy možné, protože dividenda není vždy součinem dělitele a celého čísla. Po zavedení násobení zlomkem můžeme považovat za možný jakýkoli případ dělení celých čísel (vylučuje se pouze dělení nulou).

Například dělení 7 12 znamená nalezení čísla, jehož součin krát 12 by byl 7. Toto číslo je zlomek 7/12, protože 7/12 12 = 7. Jiný příklad: 14: 25 = 14/25, protože 14/25 25 = 14.

Chcete-li tedy vydělit celé číslo celým číslem, musíte vytvořit zlomek, jehož čitatel se rovná dividendě a jmenovatel je dělitel.

2. Dělení zlomku celým číslem.

Vydělte zlomek 6 / 7 3. Podle výše uvedené definice dělení zde máme součin (6 / 7) a jeden z faktorů (3); je potřeba najít takový druhý faktor, který by po vynásobení 3 dal danému součinu 6/7. Je zřejmé, že by měl být třikrát menší než tento produkt. To znamená, že naším úkolem bylo zmenšit zlomek 6/7 3krát.

Již víme, že zmenšení zlomku lze provést buď zmenšením jeho čitatele, nebo zvětšením jeho jmenovatele. Proto můžete napsat:

V tomto případě je čitatel 6 dělitelný 3, takže by se měl čitatel zmenšit 3krát.

Vezměme si další příklad: 5 / 8 děleno 2. Zde čitatel 5 není dělitelný 2, což znamená, že jmenovatel bude muset být vynásoben tímto číslem:

Na základě toho můžeme stanovit pravidlo: Chcete-li vydělit zlomek celým číslem, musíte vydělit čitatel zlomku tímto celým číslem(Pokud možno), ponecháme stejného jmenovatele, nebo vynásobíme jmenovatele zlomku tímto číslem a ponecháme stejný čitatel.

3. Dělení celého čísla zlomkem.

Nechť je potřeba vydělit 5 1/2, tj. najít číslo, které po vynásobení 1/2 dá součin 5. Je zřejmé, že toto číslo musí být větší než 5, protože 1/2 je vlastní zlomek, a při násobení čísla správným zlomkem musí být součin menší než násobitel. Aby to bylo jasnější, zapišme naše akce takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.

Takové číslo musíme najít X , což po vynásobení 1/2 dá 5. Protože vynásobení určitého čísla 1/2 znamená nalezení 1/2 tohoto čísla, pak tedy 1/2 neznámého čísla X je 5 a celé číslo X dvakrát tolik, tj. 5 2 \u003d 10.

Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10

Pojďme zkontrolovat:

Zvažme ještě jeden příklad. Nechť je potřeba dělit 6 2/3. Zkusme nejprve najít požadovaný výsledek pomocí nákresu (obr. 19).

Obr.19

Nakreslete segment AB, který se rovná 6 z některých jednotek, a rozdělte každou jednotku na 3 stejné části. V každé jednotce jsou tři třetiny (3 / 3) v celém segmentu AB 6x větší, tzn. e. 18/3. Spojujeme pomocí malých držáků 18 získaných segmentů po 2; Bude pouze 9 segmentů. To znamená, že zlomek 2/3 je obsažen v b jednotkách 9krát, nebo jinými slovy, zlomek 2/3 je 9krát menší než 6 celých jednotek. Proto,

Jak získat tento výsledek bez výkresu pouze pomocí výpočtů? Budeme argumentovat následovně: je třeba vydělit 6 2 / 3, tj. je třeba odpovědět na otázku, kolikrát je 2 / 3 obsaženo v 6. Nejprve zjistíme: kolikrát je 1 / 3 obsažené v 6? V celé jednotce - 3 třetiny a v 6 jednotkách - 6krát více, tj. 18 třetin; abychom toto číslo našli, musíme 6 vynásobit 3. 1/3 je tedy obsažena v jednotkách b 18krát a 2/3 jsou obsaženy v jednotkách b nikoli 18krát, ale polovičně, tj. 18: 2 = 9 Proto jsme při dělení 6 2/3 provedli následující:

Odtud dostaneme pravidlo pro dělení celého čísla zlomkem. Chcete-li vydělit celé číslo zlomkem, musíte toto celé číslo vynásobit jmenovatelem daného zlomku a udělat z tohoto součinu čitatel a vydělit jej čitatelem daného zlomku.

Pravidlo píšeme pomocí písmen:

Aby bylo toto pravidlo dokonale jasné, je třeba mít na paměti, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro dělení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38. Všimněte si, že tam byl získán stejný vzorec.

Při dělení jsou možné zkratky, například:

4. Dělení zlomku zlomkem.

Nechť je potřeba vydělit 3/4 3/8. Co bude označovat číslo, které vznikne dělením? Odpoví na otázku, kolikrát je zlomek 3/8 obsažen ve zlomku 3/4. Pro pochopení této problematiky si udělejme nákres (obr. 20).

Vezměte segment AB, vezměte jej jako celek, rozdělte jej na 4 stejné části a označte 3 takové části. Segment AC se bude rovnat 3/4 segmentu AB. Rozdělme nyní každý ze čtyř počátečních segmentů na polovinu, pak segment AB bude rozdělen na 8 stejných částí a každá taková část bude rovna 1/8 segmentu AB. 3 takové segmenty spojíme oblouky, pak každý ze segmentů AD a DC bude roven 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsažen v segmentu rovném 3/4 přesně 2krát; Takže výsledek dělení lze zapsat takto:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Zvažme ještě jeden příklad. Nechť je potřeba vydělit 15/16 3/32:

Můžeme uvažovat takto: potřebujeme najít číslo, které po vynásobení 3/32 dá součin rovný 15/16. Zapišme výpočty takto:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznámé číslo X make up 15/16

1/32 neznámé číslo X je ,

32/32 čísel X makeup .

Proto,

Chcete-li tedy zlomek vydělit zlomkem, musíte vynásobit čitatel prvního zlomku jmenovatelem druhého a vynásobit jmenovatel prvního zlomku čitatelem druhého a udělat z prvního součinu čitatel a druhý jmenovatel.

Napišme pravidlo pomocí písmen:

Při dělení jsou možné zkratky, například:

5. Dělení smíšených čísel.

Při dělení smíšených čísel je třeba je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté výsledné zlomky rozdělit podle pravidel dělení zlomková čísla. Zvažte příklad:

Převeďte smíšená čísla na nesprávné zlomky:

Nyní se rozdělíme:

Chcete-li tedy dělit smíšená čísla, musíte je převést na nesprávné zlomky a poté dělit podle pravidla pro dělení zlomků.

6. Hledání čísla daného zlomkem.

Mezi různými úlohami o zlomcích se někdy vyskytují takové, ve kterých je uvedena hodnota nějakého zlomku neznámého čísla a je nutné toto číslo najít. Tento typ problému bude inverzní k problému hledání zlomku daného čísla; tam bylo zadáno číslo a bylo požadováno najít nějaký zlomek tohoto čísla, zde je zadán zlomek čísla a je nutné toto číslo najít samo. Tato myšlenka bude ještě jasnější, pokud se obrátíme na řešení tohoto typu problému.

Úkol 1. První den sklenáři zasklili 50 oken, což je 1/3 všech oken postaveného domu. Kolik oken je v tomto domě?

Řešení. Problém říká, že 50 zasklených oken tvoří 1/3 všech oken domu, což znamená, že celkem je oken 3x více, tzn.

Dům měl 150 oken.

Úkol 2. Prodejna prodala 1500 kg mouky, což jsou 3/8 celkových zásob mouky v prodejně. Jaké byly počáteční zásoby mouky v obchodě?

Řešení. Ze stavu problému je vidět, že prodaných 1500 kg mouky tvoří 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 této zásoby bude 3krát méně, tj. pro její výpočet je třeba snížit 1500 3krát:

1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).

Je zřejmé, že celá zásoba bude 8krát větší. Proto,

500 8 \u003d 4 000 (kg).

Počáteční zásoba mouky v obchodě byla 4000 kg.

Z uvážení tohoto problému lze odvodit následující pravidlo.

K nalezení čísla danou hodnotou jeho zlomku stačí tuto hodnotu vydělit čitatelem zlomku a výsledek vynásobit jmenovatelem zlomku.

Vyřešili jsme dva problémy s nalezením čísla daného zlomkem. Takové problémy, jak je zvláště dobře vidět z posledního, se řeší dvěma akcemi: dělením (když je nalezena jedna část) a násobením (když je nalezeno celé číslo).

Poté, co jsme však prostudovali dělení zlomků, lze výše uvedené problémy vyřešit jednou akcí, a to: dělením zlomkem.

Například poslední úkol lze vyřešit jednou akcí takto:

V budoucnu vyřešíme problém hledání čísla jeho zlomkem v jedné akci - dělení.

7. Nalezení čísla podle jeho procenta.

V těchto úkolech budete muset najít číslo a znát pár procent tohoto čísla.

Úkol 1. Začátkem tohoto roku jsem dostal od spořitelny 60 rublů. příjem z částky, kterou jsem před rokem vložil do spoření. Kolik peněz jsem vložil do spořitelny? (Pokladny dávají vkladatelům 2 % z příjmu ročně.)

Smyslem problému je, že určitou částku peněz jsem vložil do spořitelny a rok tam ležel. Po roce jsem od ní dostal 60 rublů. příjem, což jsou 2/100 peněz, které jsem vložil. Kolik peněz jsem vložil?

Když tedy známe část těchto peněz, vyjádřenou dvěma způsoby (v rublech a ve zlomcích), musíme najít celou, dosud neznámou částku. Toto je běžný problém najít číslo dané jeho zlomkem. Následující úkoly se řeší dělením:

Do spořitelny bylo tedy vloženo 3 000 rublů.

Úkol 2. Za dva týdny rybáři splnili měsíční plán na 64 %, připravili 512 tun ryb. Jaký byl jejich plán?

Ze stavu problému je znát, že rybáři dokončili část plánu. Tato část se rovná 512 tunám, což je 64 % plánu. Kolik tun ryb je potřeba podle plánu vylovit, nevíme. Řešení problému bude spočívat v nalezení tohoto čísla.

Takové úkoly se řeší rozdělením:

Takže podle plánu musíte připravit 800 tun ryb.

Úkol 3. Vlak jel z Rigy do Moskvy. Když projel 276. kilometr, jeden z cestujících se zeptal projíždějícího průvodčího, jakou část cesty už mají za sebou. Na to průvodčí odpověděl: "Už máme za sebou 30 % celé cesty." Jaká je vzdálenost z Riga do Moskvy?

Ze stavu problému je vidět, že 30 % cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme najít celou vzdálenost mezi těmito městy, tj. pro tuto část najít celek:

§ 91. Vzájemná čísla. Nahrazení dělení násobením.

Vezměte zlomek 2/3 a přeuspořádejte čitatele na místo jmenovatele, dostaneme 3/2. Máme zlomek, reciproční tohoto.

Abyste dostali zlomek převrácený k danému, musíte na místo jmenovatele umístit jeho čitatel a na místo čitatele jmenovatele. Tímto způsobem můžeme získat zlomek, který je převrácený k libovolnému zlomku. Například:

3/4, zpětný chod 4/3; 5/6, vzad 6/5

Dva zlomky, které mají vlastnost, že čitatel prvního je jmenovatelem druhého a jmenovatel prvního je čitatelem druhého, se nazývají vzájemně inverzní.

Nyní se zamysleme nad tím, jaký zlomek bude převrácená hodnota 1/2. Je zřejmé, že to bude 2 / 1, nebo jen 2. Při hledání převrácené hodnoty tohoto jsme dostali celé číslo. A tento případ není ojedinělý; naopak pro všechny zlomky s čitatelem 1 (jedna) budou převrácené hodnoty celá čísla, například:

1/3, inverzní 3; 1/5, obráceně 5

Jelikož jsme se při hledání reciprokátů setkali i s celými čísly, nebudeme v budoucnu mluvit o reciprokách, ale o reciprokách.

Pojďme přijít na to, jak napsat převrácenou hodnotu celého čísla. U zlomků je to vyřešeno jednoduše: je třeba umístit jmenovatele na místo čitatele. Stejným způsobem můžete získat převrácenou hodnotu celého čísla, protože jakékoli celé číslo může mít jmenovatel 1. Proto převrácená hodnota 7 bude 1 / 7, protože 7 \u003d 7 / 1; pro číslo 10 je opak 1/10, protože 10 = 10/1

Tato myšlenka se dá vyjádřit i jinak: převrácenou hodnotu daného čísla získáme vydělením jedničky daným číslem. Toto tvrzení platí nejen pro celá čísla, ale i pro zlomky. Opravdu, pokud chcete napsat číslo, které je převrácené ke zlomku 5 / 9, pak můžeme vzít 1 a vydělit ho 5 / 9, tj.

Nyní upozorněme na jednu vlastnictví vzájemně reciproká čísla, která se nám budou hodit: součin vzájemně reciprokých čísel je roven jedné. Vskutku:

Pomocí této vlastnosti můžeme najít reciprokály následujícím způsobem. Pojďme najít převrácenou hodnotu 8.

Označme to písmenem X , pak 8 X = 1, tedy X = 1/8. Najdeme jiné číslo, převrácené číslo 7/12, označme ho písmenem X , pak 7/12 X = 1, tedy X = 1:7 / 12 nebo X = 12 / 7 .

Zavedli jsme zde pojem reciproká čísla, abychom mírně doplnili informace o dělení zlomků.

Když vydělíme číslo 6 3/5, uděláme následující:

Platit Speciální pozornost k výrazu a porovnejte jej s daným: .

Vezmeme-li výraz samostatně, bez souvislosti s předchozím, pak nelze vyřešit otázku, odkud se vzal: z dělení 6 3/5 nebo z násobení 6 5/3. V obou případech je výsledek stejný. Takže můžeme říct že dělení jednoho čísla druhým lze nahradit vynásobením dividendy převrácenou hodnotou dělitele.

Příklady, které uvádíme níže, tento závěr plně potvrzují.

Násobení a dělení zlomků.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Tato operace je mnohem hezčí než sčítání-odčítání! Protože je to jednodušší. Připomínám: pro vynásobení zlomku zlomkem je třeba vynásobit čitatele (to bude čitatel výsledku) a jmenovatele (to bude jmenovatel). to je:

Například:

Vše je extrémně jednoduché. A prosím nehledejte společného jmenovatele! Tady to netřeba...

Chcete-li vydělit zlomek zlomkem, musíte převrátit druhý(to je důležité!) zlomek a vynásobte je, tj.:

Například:

Pokud je zachyceno násobení nebo dělení celými čísly a zlomky, je to v pořádku. Stejně jako u sčítání uděláme zlomek z celého čísla s jednotkou ve jmenovateli – a jedeme! Například:

Na střední škole se často musíte vypořádat s třípatrovými (nebo dokonce čtyřpatrovými!) zlomky. Například:

Jak dovést tento zlomek do slušné podoby? Ano, velmi snadno! Použijte rozdělení pomocí dvou bodů:

Ale nezapomeňte na pořadí divize! Na rozdíl od násobení je to zde velmi důležité! Samozřejmě si nebudeme plést 4:2 nebo 2:4. Ale v třípatrovém zlomku je snadné udělat chybu. Vezměte prosím na vědomí, například:

V prvním případě (výraz vlevo):

Ve druhém (výraz vpravo):

Cítit rozdíl? 4 a 1/9!

Jaké je pořadí dělení? Nebo závorky, nebo (jako zde) délka vodorovných čárek. Vyvinout oko. A pokud nejsou žádné závorky nebo pomlčky, například:

pak rozděl-násob v pořadí, zleva doprava!

A další velmi jednoduchý a důležitý trik. V akcích s grády se vám bude hodit! Vydělme jednotku libovolným zlomkem, například 13/15:

Střela se obrátila! A vždy se to stane. Při dělení 1 libovolným zlomkem je výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený.

To jsou všechny akce se zlomky. Věc je docela jednoduchá, ale chyb dává víc než dost. Poznámka praktické rady a bude jich (chyb) méně!

Praktické tipy:

1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost! To nejsou běžná slova, ani dobrá přání! To je vážná potřeba! Všechny výpočty na zkoušce dělejte jako plnohodnotný úkol, soustředěně a přehledně. Je lepší napsat dva řádky navíc do konceptu, než se motat při počítání v hlavě.

2. V příkladech s odlišné typy zlomky - přejděte na obyčejné zlomky.

3. Všechny zlomky zredukujeme až na doraz.

4. Vícepodlažní zlomkové výrazy redukujeme na obyčejné pomocí dělení přes dva body (dodržujeme pořadí dělení!).

5. Jednotku v mysli rozdělíme na zlomek, a to jednoduše tak, že zlomek otočíme.

Zde jsou úkoly, které musíte splnit. Odpovědi jsou uvedeny po všech úkolech. Využijte materiály tohoto tématu a praktické rady. Odhadněte, kolik příkladů byste dokázali správně vyřešit. Poprvé! Bez kalkulačky! A vyvodit správné závěry...

Zapamatujte si správnou odpověď získané z druhé (zejména třetí) doby - nepočítá! Takový je drsný život.

Tak, řešit ve zkušebním režimu ! To je mimochodem příprava na zkoušku. Řešíme příklad, kontrolujeme, řešíme následující. Vše jsme rozhodli - znovu jsme kontrolovali od prvního do posledního. Ale pouze Pak podívejte se na odpovědi.

Vypočítat:

Vybral jste si?

Hledáte odpovědi, které odpovídají vašim. Konkrétně jsem je napsal ve zmatku, mimo pokušení, abych tak řekl... Tady jsou odpovědi, zapsané středníkem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A nyní vyvozujeme závěry. Pokud vše fungovalo - šťastný pro vás! Elementární výpočty se zlomky nejsou váš problém! Můžete dělat vážnější věci. Pokud ne...

Takže máte jeden ze dvou problémů. Nebo obojí najednou.) Nedostatek znalostí a (nebo) nepozornost. Ale toto řešitelný Problémy.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Minule jsme se učili sčítat a odčítat zlomky (viz lekce „Sčítání a odčítání zlomků“). Nejtěžším momentem těchto akcí bylo přivedení zlomků ke společnému jmenovateli.

Nyní je čas zabývat se násobením a dělením. Dobrou zprávou je, že tyto operace jsou ještě jednodušší než sčítání a odčítání. Nejprve zvažte nejjednodušší případ, kdy existují dva kladné zlomky bez rozlišené části celého čísla.

Chcete-li vynásobit dva zlomky, musíte samostatně vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. První číslo bude čitatelem nového zlomku a druhé bude jmenovatelem.

Chcete-li rozdělit dva zlomky, musíte vynásobit první zlomek "převrácenou" sekundou.

Označení:

Z definice vyplývá, že dělení zlomků se redukuje na násobení. Chcete-li zlomek obrátit, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Proto celou lekci budeme uvažovat hlavně o násobení.

Následkem násobení může vzniknout (a často vzniká) redukovaný zlomek - ten se samozřejmě musí redukovat. Pokud se po všech redukcích zlomek ukázal jako nesprávný, měla by se v něm rozlišit celá část. Co přesně se ale s násobením nestane, je redukce na společného jmenovatele: žádné křížové metody, maximální faktory a nejmenší společné násobky.

Podle definice máme:

Násobení zlomků celočíselnou částí a zápornými zlomky

Pokud je ve zlomcích celočíselná část, musí být převedeny na nesprávné - a teprve potom vynásobeny podle schémat nastíněných výše.

Pokud je v čitateli zlomku, ve jmenovateli nebo před ním mínus, lze jej vyjmout z mezí násobení nebo zcela odstranit podle následujících pravidel:

1. Plus krát mínus dává mínus;
2. Dva zápory potvrzují.

Doposud se s těmito pravidly setkávali pouze při sčítání a odečítání záporných zlomků, kdy bylo nutné zbavit se celé části. U produktu je lze zobecnit, aby „spálil“ několik mínusů najednou:

1. Mínusy škrtáme ve dvojicích, dokud úplně nezmizí. V extrémním případě může přežít jedno mínus - ten, který nenašel shodu;
2. Pokud nezůstanou žádné mínusy, operace je dokončena - můžete začít násobit. Pokud se poslední mínus neškrtne, protože nenašel pár, vyjmeme ho z mezí násobení. Dostanete záporný zlomek.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Všechny zlomky převedeme na nesprávné a mínusy pak vyjmeme mimo hranice násobení. To, co zůstane, se množí podle obvyklých pravidel. Dostaneme:

Ještě jednou připomenu, že mínus, které stojí před zlomkem se zvýrazněným celá část, odkazuje konkrétně na celý zlomek, a nikoli pouze na jeho celočíselnou část (to platí pro poslední dva příklady).

Věnujte také pozornost záporná čísla: Při násobení jsou uvedeny v závorkách. To se provádí za účelem oddělení mínusů od znamének násobení a zpřesnění celého zápisu.

Snižování frakcí za chodu

Násobení je velmi pracná operace. Čísla jsou zde poměrně velká a pro zjednodušení úkolu můžete zkusit zlomek ještě zmenšit před násobením. Čitatelé a jmenovatelé zlomků jsou v podstatě běžné faktory, a proto je lze redukovat pomocí základní vlastnosti zlomku. Podívejte se na příklady:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu:

Podle definice máme:

Ve všech příkladech jsou červeně označena čísla, která byla zredukována, a to, co z nich zbylo.

Upozornění: v prvním případě byly násobiče zcela sníženy. Na svém místě zůstaly jednotky, které lze obecně vynechat. Ve druhém příkladu nebylo možné dosáhnout úplného snížení, ale celkové množství výpočtů se přesto snížilo.

V žádném případě však tuto techniku ​​nepoužívejte při sčítání a odčítání zlomků! Ano, občas se vyskytnou podobná čísla, která prostě chcete snížit. Tady, podívej:

To nemůžeš!

K chybě dochází v důsledku skutečnosti, že při sčítání zlomku se v čitateli zlomku objeví součet, nikoli součin čísel. Proto je nemožné použít hlavní vlastnost zlomku, protože tato vlastnost se zabývá specificky násobením čísel.

Jiný důvod ke zmenšování zlomků prostě neexistuje, takže správné řešení předchozí úlohy vypadá takto:

Správné řešení:

Jak vidíte, správná odpověď se ukázala jako ne tak krásná. Obecně buďte opatrní.

) a jmenovatel jmenovatelem (dostaneme jmenovatele součinu).

Vzorec pro násobení zlomků:

Například:

Než přistoupíme k násobení čitatelů a jmenovatelů, je nutné zkontrolovat možnost redukce zlomků. Pokud se vám podaří zlomek snížit, bude pro vás snazší pokračovat ve výpočtech.

Dělení obyčejného zlomku zlomkem.

Dělení zlomků zahrnujících přirozené číslo.

Není to tak děsivé, jak se zdá. Stejně jako v případě sčítání převedeme celé číslo na zlomek s jednotkou ve jmenovateli. Například:

Násobení smíšených zlomků.

Pravidla pro násobení zlomků (smíšené):

• převést smíšené zlomky na nesprávné;
• vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků;
• snížíme zlomek;
• dostaneme-li nevlastní zlomek, pak nevlastní zlomek převedeme na smíšený.

Poznámka! K množení smíšená frakce na jiný smíšený zlomek, musíte je nejprve uvést do tvaru nesprávných zlomků a poté násobit podle pravidla násobení pro obyčejné zlomky.

Druhý způsob, jak násobit zlomek přirozeným číslem.

Výhodnější je použít druhý způsob násobení obyčejného zlomku číslem.

Poznámka! Pro vynásobení zlomku přirozeným číslem je nutné vydělit jmenovatele zlomku tímto číslem a ponechat čitatel beze změny.

Z výše uvedeného příkladu je zřejmé, že tuto možnost je vhodnější použít, když je jmenovatel zlomku beze zbytku dělen přirozeným číslem.

Víceúrovňové zlomky.

Na střední škole se často vyskytují třípatrové (nebo více) zlomky. Příklad:

Aby se takový zlomek dostal do obvyklé podoby, používá se dělení 2 body:

Poznámka! Při dělení zlomků je velmi důležité pořadí dělení. Pozor, zde se snadno splete.

Poznámka, Například:

Při dělení jedničky libovolným zlomkem bude výsledkem stejný zlomek, pouze převrácený:

Praktické tipy pro násobení a dělení zlomků:

1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost. Všechny výpočty provádějte pečlivě a přesně, soustředěně a jasně. Je lepší napsat pár řádků navíc do konceptu, než se zmást ve výpočtech v hlavě.

2. V úlohách s různými druhy zlomků - přejděte na typ obyčejných zlomků.

3. Všechny zlomky redukujeme, až to již zmenšit nejde.

4. Víceúrovňové zlomkové výrazy převedeme na obyčejné pomocí dělení přes 2 body.

5. Jednotku v mysli rozdělíme na zlomek, a to jednoduše tak, že zlomek otočíme.

Další operací, kterou lze provést s obyčejnými zlomky, je násobení. Pokusíme se vysvětlit jeho základní pravidla při řešení úloh, ukážeme, jak se obyčejný zlomek násobí přirozeným číslem a jak správně násobit tři a více obyčejných zlomků.

Nejprve si napišme základní pravidlo:

Definice 1

Pokud vynásobíme jeden obyčejný zlomek, pak se čitatel výsledného zlomku bude rovnat součinu čitatelů původních zlomků a jmenovatel součinu jejich jmenovatelů. V doslovné formě to lze pro dva zlomky a/bac/d vyjádřit jako ab · c d = a · c b · d.

Podívejme se na příklad, jak toto pravidlo správně aplikovat. Řekněme, že máme čtverec, jehož strana je rovna jedné číselné jednotce. Potom bude plocha obrázku 1 čtverec. jednotka. Pokud čtverec rozdělíme na stejné obdélníky se stranami rovnými 1 4 a 1 8 číselné jednotky, dostaneme, že se nyní skládá z 32 obdélníků (protože 8 4 = 32). V souladu s tím bude plocha každého z nich rovna 1 32 plochy celého obrázku, tj. 132 čtverečních Jednotky.

Máme stínovaný fragment se stranami rovnými 5 8 číselným jednotkám a 3 4 číselným jednotkám. Pro výpočet jeho plochy je tedy nutné vynásobit první zlomek druhým. Bude se rovnat 5 8 3 4 čtverečních metrů. Jednotky. Ale můžeme jednoduše spočítat, kolik obdélníků je součástí fragmentu: je jich 15, což znamená, že celková plocha je 1532 čtverečních jednotek.

Protože 5 3 = 15 a 8 4 = 32, můžeme napsat následující rovnici:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Je to potvrzení námi formulovaného pravidla pro násobení obyčejných zlomků, které je vyjádřeno jako a b · c d = a · c b · d. Funguje to stejně pro správné i nevlastní zlomky; Lze jej použít k násobení zlomků s různými a stejnými jmenovateli.

Pojďme analyzovat řešení několika úloh pro násobení obyčejných zlomků.

Příklad 1

Vynásobte 7 11 9 8 .

Řešení

Pro začátek vypočítáme součin čitatelů uvedených zlomků vynásobením 7 x 9. Máme 63. Poté vypočteme součin jmenovatelů a dostaneme: 11 8 = 88 . Složme odpověď ze dvou čísel: 63 88.

Celé řešení lze napsat takto:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Odpovědět: 7 11 9 8 = 63 88 .

Pokud jsme v odpovědi dostali redukovatelný zlomek, musíme dokončit výpočet a provést jeho redukci. Pokud dostaneme nevlastní zlomek, musíme z něj vybrat celou část.

Příklad 2

Vypočítejte součin zlomků 415 a 556.

Řešení

Podle výše uvedeného pravidla musíme vynásobit čitatele čitatele a jmenovatele jmenovatele. Zadání řešení bude vypadat takto:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Získali jsme redukovanou frakci, tzn. ten, který má znaménko dělitelnosti 10.

Zmenšeme zlomek: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. V důsledku toho jsme dostali nesprávný zlomek, ze kterého vybereme celou část a získáme smíšené číslo: 22 9 \u003d 2 4 9.

Odpovědět: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Pro usnadnění výpočtu můžeme také původní zlomky před provedením operace násobení zmenšit, k čemuž potřebujeme zlomek uvést do tvaru a · c b · d. Hodnoty proměnných rozložíme na jednoduché faktory a tytéž zrušíme.

Pojďme si vysvětlit, jak to vypadá s použitím dat konkrétního problému.

Příklad 3

Vypočítejte součin 4 15 55 6 .

Řešení

Zapišme výpočty na základě pravidla násobení. Budeme moci:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Protože jako 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 a 6 = 2 3, pak 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Odpovědět: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Číselný výraz, ve kterém dochází k násobení obyčejných zlomků, má komutativní vlastnost, to znamená, že v případě potřeby můžeme změnit pořadí faktorů:

a b c d = c d a b = a c b d

Jak vynásobit zlomek přirozeným číslem

Pojďme si hned sepsat základní pravidlo, a pak si ho zkusit vysvětlit v praxi.

Definice 2

Chcete-li vynásobit obyčejný zlomek přirozeným číslem, musíte vynásobit čitatel tohoto zlomku tímto číslem. V tomto případě bude jmenovatel konečného zlomku roven jmenovateli původního obyčejného zlomku. Násobení nějakého zlomku a b přirozeným číslem n lze zapsat jako vzorec a b · n = a · n b .

Tento vzorec je snadné pochopit, pokud si pamatujete, že jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno jako obyčejný zlomek se jmenovatelem rovným jedné, tedy:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

Vysvětleme naši představu na konkrétních příkladech.

Příklad 4

Vypočítejte součin 2 27 krát 5 .

Řešení

V důsledku vynásobení čitatele původního zlomku druhým faktorem dostaneme 10. Na základě výše uvedeného pravidla získáme ve výsledku 10 27. Celé řešení je uvedeno v tomto příspěvku:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Odpovědět: 2 27 5 = 10 27

Když vynásobíme přirozené číslo společným zlomkem, často musíme výsledek zmenšit nebo jej reprezentovat jako smíšené číslo.

Příklad 5

Podmínka: Vypočítejte součin 8 krát 5 12 .

Řešení

Podle výše uvedeného pravidla vynásobíme přirozené číslo čitatelem. Výsledkem je, že 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konečný zlomek má znaky dělitelnosti 2, takže jej musíme zmenšit:

LCM (40, 12) \u003d 4, takže 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

Nyní zbývá pouze vybrat celočíselnou část a zapsat hotovou odpověď: 10 3 = 3 1 3.

V tomto záznamu můžete vidět celé řešení: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Také bychom mohli zlomek zmenšit rozdělením čitatele a jmenovatele na prvočinitele a výsledek by byl úplně stejný.

Odpovědět: 5 12 8 = 3 1 3 .

Číselný výraz, ve kterém je přirozené číslo násobeno zlomkem, má také vlastnost posunutí, to znamená, že pořadí faktorů neovlivňuje výsledek:

a b n = n a b = a n b

Jak násobit tři nebo více běžných zlomků

Na operaci násobení obyčejných zlomků můžeme rozšířit tytéž vlastnosti, které jsou charakteristické pro násobení přirozená čísla. Vyplývá to ze samotné definice těchto pojmů.

Díky znalosti asociativních a komutativních vlastností je možné násobit tři a více obyčejných zlomků. Je přípustné uspořádat faktory na místech pro větší pohodlí nebo uspořádat závorky způsobem, který usnadní počítání.

Ukažme si příklad, jak se to dělá.

Příklad 6

Vynásobte čtyři běžné zlomky 1 20 , 12 5 , 3 7 a 5 8 .

Řešení: Nejprve si práci zaznamenejme. Dostaneme 1 20 12 5 3 7 5 8 . Musíme vynásobit všechny čitatele a všechny jmenovatele dohromady: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .

Než se pustíme do násobení, můžeme si to trochu usnadnit a některá čísla rozložit na prvočinitele pro další redukci. To bude snazší než redukovat hotovou frakci z toho vyplývající.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Odpovědět: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

Příklad 7

Vynásobte 5 čísel 7 8 12 8 5 36 10 .

Řešení

Pro usnadnění můžeme zlomek 7 8 seskupit s číslem 8 a číslo 12 se zlomkem 5 36 , protože nám to objasní budoucí redukce. V důsledku toho získáme:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 3 10 = 7 5 3 5 10 = 7 5 3 5 10 116 2 3

Odpovědět: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter