Předmět: " Převod výrazů obsahujících zlomkové exponenty"

"Ať si někdo zkusí vyškrtnout tituly z matematiky a uvidí, že bez nich daleko nedojdete." (M.V. Lomonosov)

Cíle lekce:

vzdělávací: zobecnit a systematizovat znalosti studentů na téma „Stupeň s racionálním ukazatelem“ kontrolovat úroveň asimilace látky, odstranit mezery ve znalostech a dovednostech studentů;

rozvíjející se: formovat dovednosti sebeovládání žáků, vytvářet atmosféru zájmu každého žáka o práci, rozvíjet kognitivní činnost žáků;

vzdělávací: vzbudit zájem o předmět, o dějiny matematiky.

Typ lekce: lekce zobecnění a systematizace znalostí

Vybavení: hodnotící archy, kartičky s úkoly, dekodéry, křížovky pro každého žáka.

Předběžná příprava: třída je rozdělena do skupin, v každé skupině je vedoucí konzultant.

BĚHEM lekcí

já Organizace času.

Učitel: Dokončili jsme studium tématu „Stupeň s racionálním exponentem a jeho vlastnosti“. Vaším úkolem v této lekci je ukázat, jak jste se prostudovanou látku naučili a jak můžete získané znalosti uplatnit při řešení konkrétních problémů. Na stole má každý z vás hodnotící list. V něm zadáte své hodnocení pro každou fázi lekce. Na konci lekce dáte GPA na lekci.

Hodnotící papír

	Křížovka	Zahřát	Pracovat notebooky	Rovnice	Zkontrolujte se (c\r)

II. Zkouška domácí práce.

Peer-to-peer s tužkou v ruce, odpovědi čtou žáci.

III. Aktualizace znalostí studentů.

Učitel: Slavný francouzský spisovatel Anatole France jednou řekl: "Učení by mělo být zábavné... Abyste mohli vstřebat vědomosti, musíte je vstřebat s chutí."

Zopakujme si potřebné teoretické informace v průběhu luštění křížovky.

Horizontálně:

1. Akce, kterou se vypočítá hodnota stupně (erekce).

2. Produkt sestávající ze stejných faktorů (stupeň).

3. Působení exponentů při zvyšování stupně na mocninu (práce).

4. Působení stupňů, ve kterých jsou exponenty odečteny (divize).

Vertikálně:

5. Počet všech stejných faktorů (index).

6. Stupeň s nulovým exponentem (jednotka).

7. Opakovací multiplikátor (základna).

8. Hodnota 10 5: (2 3 5 5) (čtyři).

9. Exponent, který se obvykle nepíše (jednotka).

IV. Matematické cvičení.

Učitel. Zopakujme si definici stupně s racionálním exponentem a jeho vlastnosti, proveďte následující úkoly.

1. Uveďte výraz x 22 jako součin dvou mocnin se základem x, pokud je jeden z faktorů: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Zjednodušte:

b) y 5/8 y 1/4: y 1/8 = y

c) od 1.4 od -0.3 od 2.9

3. Vypočítejte a sestavte slovo pomocí dekodéru.

Po dokončení tohoto úkolu se naučíte jméno německého matematika, který zavedl termín - „exponent“.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Slovo: 1234567 (Stiefel)

V. Písemná práce v sešitech (odpovědi otevřené na tabuli) .

úkoly:

1. Zjednodušte výraz:

(x-2): (x 1/2 -2 1/2) (y-3): (y 1/2 - 3 1/2) (x-1): (x 2/3 -x 1/3 +1)

2. Najděte hodnotu výrazu:

(x 3\8 x 1\4:) 4 při x=81

VI. Skupinová práce.

Cvičení. Řešte rovnice a vytvořte slovo pomocí dekodéru.

Číslo karty 1

Slovo: 1234567 (Diophantus)

Číslo karty 2

Číslo karty 3

Slovo: 123451 (Newton)

Dekodér

Učitel. Všichni tito vědci přispěli k rozvoji konceptu „stupně“.

VII. Historické informace o vývoji koncepce titulu (komunikace studenta).

Pojem stupně s přirozeným ukazatelem se formoval i mezi starověkými národy. K výpočtu ploch a objemů byly použity čtverec a kostka čísel. Mocniny některých čísel využívali vědci při řešení určitých problémů starověký Egypt a Babylon.

Ve třetím století byla vydána kniha řeckého vědce Diophanta „Aritmetika“, ve které bylo zahájeno zavedení abecedních symbolů. Diophantus zavádí symboly pro prvních šest mocností neznáma a jejich reciproční. V této knize je čtverec označen znakem s indexem r; kostka - znak k s indexem r atd.

Z praxe řešení složitějších algebraických problémů a práce se stupni se stalo nezbytným zobecnit pojem stupně a rozšířit jej zavedením nuly jako exponentu, záporu a zlomková čísla. Matematici postupně přišli na myšlenku zobecnit koncept stupně na stupeň s nepřirozeným ukazatelem.

Zlomkové exponenty a většina jednoduchá pravidla akce na mocniny se zlomkovými exponenty se nacházejí v práci francouzského matematika Nicholase Orema (1323–1382) v jeho díle Algoritmus proporcí.

Rovnost, a 0 = 1 (pro ne rovno 0) používal ve svých dílech na počátku 15. století samarkandský vědec Giyasaddin Kashi Jamshid. Bez ohledu na něj byl nulový indikátor zaveden Nikolajem Shuke v 15. století. Je známo, že Nikolaj Shuke (1445–1500) uvažoval stupně se zápornými a nulovými exponenty.

Později byly zlomkové a záporné exponenty nalezeny v „Úplné aritmetice“ (1544) od německého matematika M. Stiefela a Simona Stevina. Simon Stevin navrhl mínit 1/n jako kořen.

Německý matematik M. Stiefel (1487–1567) dal definici 0 = 1 at a zavedl název indikátoru (toto je doslovný překlad z německého exponentu). Německé potenzieren znamená umocňování.

Na konci 16. století zavedl François Viet písmena pro označení nejen proměnných, ale i jejich koeficientů. Používal zkratky: N, Q, C - pro první, druhý a třetí stupeň. Ale moderní označení (jako 4, a 5) zavedl v XVII René Descartes.

Moderní definice a zápis stupňů s nulovými, zápornými a zlomkovými exponenty pocházejí z práce anglických matematiků Johna Wallise (1616–1703) a Isaaca Newtona (1643–1727).

Účelnost zavedení nulových, záporných a zlomkových ukazatelů a moderních symbolů poprvé podrobně sepsal v roce 1665 anglický matematik John Vallis. Jeho dílo dokončil Isaac Newton, který začal systematicky uplatňovat nové symboly, načež vstoupily do běžného užívání.

Zavedení stupně s racionálním exponentem je jedním z mnoha příkladů zobecnění pojmů matematická akce. Stupeň s nulovým, záporným a zlomkovým exponentem je definován tak, že pro něj platí stejná pravidla působení jako pro stupeň s přirozeným exponentem, tzn. tak, aby byly zachovány základní vlastnosti původně definovaného pojmu stupně.

Nová definice stupně s racionálním exponentem není v rozporu se starou definicí stupně s přirozeným exponentem, to znamená, že význam nové definice stupně s racionálním exponentem je zachován pro konkrétní případ stupně s přirozený exponent. Tento princip, pozorovaný při zobecňování matematických pojmů, se nazývá princip stálosti (zachování stálosti). V nedokonalé podobě ji uvedl v roce 1830 anglický matematik J. Peacock, zcela a jasně ji stanovil německý matematik G. Gankel v roce 1867.

VIII. Zkontroluj se.

Samostatná práce podle karet (odpovědi jsou otevřené na desce) .

Možnost 1

1. Vypočítejte: (1 bod)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

Možnost 2

1. Vypočítejte: (1 bod)

2. Zjednodušte výraz: každý 1 bod

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6

3. Vyřešte rovnici: (2 body)

4. Zjednodušte výraz: (2 body)

5. Najděte hodnotu výrazu: (3 body)

IX. Shrnutí lekce.

Jaké vzorce a pravidla byla v lekci zapamatována?

Zkontrolujte svou práci ve třídě.

Hodnotí se práce žáků ve třídě.

X. Domácí práce. K: R IV (opakování) články 156-157 č. 4 (a-c), č. 7 (a-c),

Nepovinné: č. 16

aplikace

Hodnotící papír

Celé jméno / student ___________________________________________

	Křížovka	Zahřát	Pracovat notebooky	Rovnice	Zkontrolujte se (c\r)

Číslo karty 1

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x-0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekodér

Číslo karty 2

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-i = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3

Dekodér

Číslo karty 3

1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x-0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) a 1\2 \u003d 2\3

Dekodér

Číslo karty 1

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x-0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekodér

Číslo karty 2

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-i = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3

Dekodér

Číslo karty 3

1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x-0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) a 1\2 \u003d 2\3

Dekodér

Číslo karty 1

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x-0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekodér

Číslo karty 2

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y-i = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3

Dekodér

Číslo karty 3

1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x-0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) a 1\2 \u003d 2\3

Dekodér

Možnost 1 1. Vypočítejte: (1 bod) 2. Zjednodušte výraz: každý 1 bod a) x 1\2 x 3\4 b) (x -5\6) -2\3 c) x -1\3: x 3\4 d) (0,04 x 7\8) -1\2 3. Vyřešte rovnici: (2 body) 4. Zjednodušte výraz: (2 body) (a + 3a 1\2): (a 1\2 +3) 5. Najděte hodnotu výrazu: (3 body) (Y 1\2 -2) -1 - (Y 1\2 +2) -1 s y \u003d 18

Možnost 2 1. Vypočítejte: (1 bod) 2. Zjednodušte výraz: každý 1 bod a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6 c) x 3\7: x -2\3 d) (0,008 x -6\7) -1\3 3. Vyřešte rovnici: (2 body) 4. Zjednodušte výraz: (2 body) (v 1,5 s - slunce 1,5): (v 0,5 - od 0,5) 5. Najděte hodnotu výrazu: (3 body) (x 3\2 + x 1\2): (x 3\2 -x 1\2) při x \u003d 0,75

Městský státní vzdělávací ústav

hlavní všeobecná střední škola № 25

Lekce algebry

Předmět:

« Převod výrazů obsahujících stupně se zlomkovými exponenty»

Vyvinuto:

,

učitel matematiky

nejvyšší kkvalifikační kategorie

nodální

2013

Téma lekce: Převod výrazů obsahujících mocniny se zlomkovými exponenty

Účel lekce:

1. Další utváření dovedností, znalostí, dovedností pro transformaci výrazů obsahujících stupně se zlomkovými ukazateli

2. Rozvoj schopnosti nalézat chyby, rozvoj myšlení, kreativity, řeči, výpočetní schopnosti

3. Výchova k samostatnosti, zájmu o předmět, všímavosti, přesnosti.

TCO: magnetická tabule, kontrolní karty, tabulky, jednotlivé karty, školáci mají na stole prázdné podepsané listy pro individuální práce, křížovka, tabulky pro matematickou rozcvičku, multimediální projektor.

Typ lekce: zapínání ZUN.

Plán lekce v čase

1. Organizační momenty (2 min)

2. Kontrola domácího úkolu (5 minut)

3. Křížovka (3 min)

4. Matematická rozcvička (5 minut)

5. Řešení cvičení pro upevnění přední části (7 min)

6. Samostatná práce (10 min.)

7. Řešení opakovacích cvičení (5 min)

8. Shrnutí lekce (2 min)

9. Domácí úkol (1 min)

Během vyučování

1) Kontrola domácích úkolů formou vzájemného hodnocení . Dobří studenti kontrolují sešity slabých dětí. A slabí hoši kontrolují se silnými podle vzoru kontrolní karty. Domácí úkol je zadán ve dvou verzích.

já možnost snadného úkolu

II varianta obtížného úkolu

V důsledku kontroly kluci podtrhnou chyby jednoduchou tužkou a označí. Nakonec práci zkontroluji poté, co kluci po hodině odevzdají sešity. Ptám se kluků na výsledky jejich testu a dávám si známky za tento typ práce do své souhrnné tabulky.

2) K otestování teoretické látky se nabízí křížovka..

Vertikálně:

1. Vlastnost násobení používaná při násobení monočlenu polynomem?

2. Efekt exponentů při zvyšování stupně na mocninu?

3. Titul s nulovým exponentem?

4. Produkt sestávající ze stejných faktorů?

Horizontálně:

5. Kořen č - tý stupeň z nezáporného čísla?

6. Jak fungují exponenty při násobení exponentů?

7. Působení exponentů při dělení stupňů?

8. Počet všech stejných faktorů?

3) Matematická rozcvička

a) proveďte výpočet a pomocí šifry přečtete slovo skryté v úloze.

Na desce před vámi je stůl. Tabulka ve sloupci 1 obsahuje příklady, které je třeba vypočítat.

Klíč ke stolu

491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3

7/12

A odpověď napište do kolonky II a ve sloupci III vložte písmeno odpovídající této odpovědi.

Učitel: Takže zašifrované slovo je „stupeň“. V dalším úkolu pracujeme s 2. a 3. stupněm

b) Hra „Podívej se, nemýli se“

Nahraďte tečky číslem

a) x \u003d (x ...) 2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(al/3)…; d) 5… = (51/4)2; e) 34/3 = (34/9)…; f) 74/5 = (7…)2; g) xl/2=(x…)2; h) y1/2=(y…)2

Pojďme najít chybu:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Takže, kluci, co jste museli použít k dokončení tohoto úkolu:

Vlastnost stupňů: při zvýšení stupně na mocninu se ukazatele násobí;

4) Nyní se pustíme do přední práce. s využitím výsledků předchozí práce. Otevřené sešity zapište číslo, téma lekce.

№ 000

a) a - c \u003d (a1/2) 2 - (b1/2) 2 \u003d (a1/2 - c1/2) * (a1/2 + c1/2)

b) a - c \u003d (a1/3) 3 - (c1/3) 3 \u003d (a1/3 - c1/3) * (a2/3 + a1/3 c1/3 + c2/3)

č. 000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 - 4 = (a3/2)2 - 22 = (a3/2 - 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

č. 000 (a, d, e)

a) x3 - 2 = x3 - (21/3)3 = (x - 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 - 3 a2/5 + 9)

f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Školní známka

5) Práce na jednotlivých kartách podle čtyř možností na samostatných listech

Úkoly s různou mírou obtížnosti se plní bez jakékoli výzvy učitele.

Okamžitě zkontroluji práci a dám si značky na svůj stůl a na listy chlapů.

č. 000 (a, c, e, h)

a) 4*31/2/(31/2 - 3) = 4*31/2 /31/2*(1 - 31/2) = 4 / (1 - 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (а2/3 – в2/3)/(а1/3 + в1/3) = (а1/3)2 – (а1/3)2/(а1/3 + в1/3) = (а1/3 + v1/3)*(а1/3 – в1/3)/(а1/3 + в1/3) = a1/3 – в1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 + (y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(x1/3 + y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Práce na jednotlivých kartách s různou mírou složitosti. V některých cvičeních jsou doporučení od učitele, protože látka je složitá a pro slabé děti je obtížné tuto práci zvládnout

K dispozici jsou také čtyři možnosti. Vyhodnocení probíhá okamžitě. Všechna skóre zadávám do tabulky.

Problém № ze sbírky

Učitel klade otázky:

1. Co by mělo být v problému nalezeno?

2. Co k tomu potřebujete vědět?

3. Jak vyjádřit čas 1 chodce a 2 chodců?

4. Porovnejte čas 1 a 2 chodců podle stavu problému a vytvořte rovnici.

Řešení problému:

Nechť x (km/h) je rychlost 1 chodce

X +1 (km/h) – rychlost 2 chodci

4/х (h) – doba chůze

4 / (x +1) (h) - čas druhého chodce

Podle podmínky problému 4/х >4/ (х +1) po dobu 12 min

12 min = 12/60 h = 1/5 h

Uděláme rovnici

X / 4 - 4 / (x + 1) \u003d 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 - 20x - x2 - x = 0

X2 + x -20 = 0

D \u003d 1–4 * (-20) \u003d 81, 81> 0, 2 k

x1 \u003d (-1 -√81) / (-2) \u003d 5 km / h - rychlost 1 chodce

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – neodpovídá smyslu úlohy, protože x>0

Odpověď: 5 km/h - rychlost 2 chodců

9) Shrnutí lekce: Tak, kluci, dnes jsme si v lekci upevnili znalosti, dovednosti, dovednosti při transformaci výrazů obsahujících stupně, použili vzorce zkráceného násobení, vyndali společný činitel ze závorek, zopakovali probranou látku. Upozorňuji na výhody a nevýhody.

Shrnutí lekce v tabulce.

		Křížovka	Rohož. zahřát	Přední. Práce	Ind. práce K-1	Ind. práce K-2

10) Vyhlašuji skóre. Domácí práce

Jednotlivé karty K - 1 a K - 2

měním B - 1 a B - 2; B - 3 a B - 4, protože jsou ekvivalentní

Přihlášky na lekci.

1) Karty s domácími úkoly

1. zjednodušit

a) (x1/2 - y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 - 10a2

2. přítomný jako součet

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 - c1/2)*(a + a1/2 c1\2 + c)

3. vyjměte společný faktor

c) 151/3 + 201/3

1. zjednodušit

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1\8 - в1/8)

2. přítomný jako součet

a) x0,5 y0,5* (x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 - x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Vyjměte společný faktor ze závorek

b) c1\3 - c

c) (2a) 1/3 - (5a) 1\3

2) kontrolní karta pro B - 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1/8 - в1/8) = (а1/4 + в1/4)*(а1/8)2 - ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 - в1/4) = (а1/4)2 - (в1/4)2 = a1/2 - в1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5- y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 - x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 - x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) c1/3 - c \u003d c1/3 * (1 - c2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Karty pro první samostatnou práci

a) a - y, x > 0, y > 0

b) a – i, a ≥ 0

1. Faktorizujte prezentací jako rozdíl druhých mocnin

a) a1/2 - b1/2

2. Faktorizujte prezentací jako rozdíl nebo součet kostek

a) c1/3 + d1/3

1. Faktorizujte prezentací jako rozdíl druhých mocnin

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 - Y1/4

2. Faktorizujte prezentací jako rozdíl nebo součet kostek

4) karty pro druhou samostatnou práci

a) (x - x1/2) / (x1/2 - 1)

Tip: x1/2 závorka čitatelů

b) (a - c) / (a1/2 - c1/2)

Poznámka: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2

Snižte zlomek

a) (21/4 - 2) / 5*21/4

Nápověda: držák 21/4

b) (a - c) / (5a1/2 - 5v1/2)

Poznámka: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2

Možnost 3

1. Zmenšete zlomek

a) (x1/2 - x1/4)/x3/4

Návod: držák x1/4

b) (а1/2 – в1/2) / (4а1/4 – 4в1/4)

Možnost 4

Snižte zlomek

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c) / (a2/3 + a1 \ 3b1 / 3 + B 1/3)

Sekce: Matematika

Třída: 9

ÚČEL: Upevnit a zlepšit dovednosti aplikace vlastností titulu s racionálním ukazatelem; rozvíjet dovednosti provádět jednoduché transformace výrazů obsahujících stupně se zlomkovým exponentem.

TYP LEKCE: lekce k upevnění a aplikaci znalostí na dané téma.

UČEBNICE: Algebra 9 ed. S.A. Teljakovského.

BĚHEM lekcí

Úvodní slovo učitele

"Lidé, kteří neznají algebru, si nedokážou představit úžasné věci, kterých lze dosáhnout... s pomocí zmíněné vědy." G.V. Leibniz

Algebra nám otevírá dveře do laboratorního komplexu „Stupeň s racionálním exponentem“.

1. Frontální průzkum

1) Definujte stupeň pomocí zlomkového exponentu.

2) Pro jaký zlomkový exponent je definován stupeň se základem rovným nule?

3) Bude stupeň určen se zlomkovým exponentem pro záporný základ?

Úkol: Napište číslo 64 jako mocninu se základem - 2; 2; 8.

Jaká kostka čísla je 64?

Existuje nějaký jiný způsob, jak znázornit číslo 64 jako mocninu s racionálním exponentem?

2. Práce ve skupinách

1 skupina. Dokažte, že výrazy (-2) 3/4 ; 0-2 jsou nesmyslné.

2 skupina. Znázorněte stupeň se zlomkovým exponentem jako odmocninou: 2 2/3; 3 -1|3; -v 1,5; 5a 1/2; (x-y) 2/3.

3. skupina. Vyjádřete jako stupeň se zlomkovým exponentem: v3; 8 va 4; 3v2-2; v(x+y) 2/3; vvv.

3. Pojďme do laboratoře "Akce na síly"

Častými hosty laboratoře jsou astronomové. Přinesou svá „astronomická čísla“, podrobí je algebraickému zpracování a získají užitečné výsledky.

Například vzdálenost od Země k mlhovině Andromeda je vyjádřena číslem

95000000000000000000 = 95 10 18 km;

jmenuje se to kvintilion.

Hmotnost Slunce v gramech je vyjádřena číslem 1983 10 30 gr - nealion.

Do laboratoře navíc spadají další závažné úkoly. Často se například vyskytuje problém s vyhodnocením výrazů ve tvaru:

A); b) ; V).

Pracovníci laboratoře provádějí takové výpočty nejpohodlnějším způsobem.

Můžete se připojit k práci. K tomu zopakujeme vlastnosti stupňů s racionálními exponenty:

Nyní vypočítejte nebo zjednodušte výraz použitím vlastností exponentů s racionálními exponenty:

1 skupina:

2 skupina:

3. skupina:

Kontrola: jedna osoba ze skupiny u tabule.

4. Úkol pro srovnání

Jak pomocí vlastností stupňů porovnat výrazy 2 100 a 10 30 ?

Odpovědět:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. A nyní vás zvu do laboratoře „Výzkum stupňů“.

Jaké transformace můžeme provádět na mocninách?

1) Vyjádřete číslo 3 jako mocninu s exponentem 2; 3; -1.

2) Jakým způsobem lze rozložit výrazy a-b; v + v 1/2; a-2a 1/2; 2 je 2?

3) Snižte zlomek s následným vzájemným ověřením:

4) Vysvětlete provedené transformace a najděte hodnotu výrazu:

6. Práce s učebnicí.Č. 611(d, e, f).

Skupina 1: (d).

Skupina 2: (e).

Skupina 3: (e).

č. 629 (a, b).

Vzájemné ověřování.

7. Provádíme workshop (samostatná práce).

Dané výrazy:

Při redukci jakých zlomků se používají vzorce zkrácené násobení a bracketing společného faktoru?

1 skupina: č. 1, 2, 3.

Skupina 2: č. 4, 5, 6.

Skupina 3: č. 7, 8, 9.

Při plnění úkolu můžete využít doporučení.

1. Pokud záznam příkladu obsahuje oba stupně s racionálním exponentem a kořeny n-tý stupeň, pak napište kořeny n-tého stupně jako stupně s racionálním exponentem.
2. Pokuste se zjednodušit výraz, se kterým se akce provádějí: otevření závorek, použití vzorce pro zmenšené násobení, přechod ze záporného exponentu na výraz obsahující kladné exponenty.
3. Určete pořadí, ve kterém by se měly akce provádět.
4. Proveďte kroky v pořadí, v jakém jsou provedeny.

Hodnotí učitele sběrem sešitů.

8. Domácí úkol: č. 624, 623.

Podívejme se na téma transformace výrazů pomocí mocnin, ale nejprve se zastavíme u řady transformací, které lze provést s libovolnými výrazy, včetně mocnin. Naučíme se otevírat závorky, dávat podobné pojmy, pracovat se základem a exponentem, používat vlastnosti stupňů.

Co jsou mocenské výrazy?

V školní kurz jen málo lidí používá slovní spojení „mocenské výrazy“, ale tento termín se neustále vyskytuje ve sbírkách pro přípravu na zkoušku. Ve většině případů fráze označuje výrazy, které ve svých záznamech obsahují stupně. To je to, co budeme reflektovat v naší definici.

Definice 1

Mocenský výraz je výraz, který obsahuje stupně.

Uvádíme několik příkladů mocninných výrazů, počínaje stupněm s přirozeným exponentem a konče stupněm se skutečným exponentem.

Za nejjednodušší mocninné výrazy lze považovat mocniny čísla s přirozeným exponentem: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Stejně jako mocniny s nulovým exponentem: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . A stupně s celými čísly negativní síly: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochu obtížnější je pracovat s titulem, který má racionální a iracionální exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikátor může být proměnná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 nebo logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.

Zabývali jsme se otázkou, co jsou mocenské výrazy. Nyní se pojďme podívat na jejich proměnu.

Hlavní typy transformací mocninných výrazů

Nejprve se podíváme na základní transformace identity výrazů, které lze provést pomocí mocninných výrazů.

Příklad 1

Vypočítat hodnotu mocninného výrazu 2 3 (4 2 − 12).

Řešení

Veškeré transformace provedeme v souladu s pořadím úkonů. V tomto případě začneme provedením akcí v závorkách: stupeň nahradíme digitální hodnotou a vypočítáme rozdíl mezi těmito dvěma čísly. My máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Zbývá nám nahradit stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítat produkt 84 = 32. Zde je naše odpověď.

Odpovědět: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Příklad 2

Zjednodušte vyjadřování pomocí pravomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Řešení

Výraz, který jsme dostali v podmínce problému, obsahuje podobné pojmy, které můžeme přinést: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Odpovědět: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Příklad 3

Vyjádřete výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 jako součin.

Řešení

Představme číslo 9 jako mocninu 3 2 a použijte zkrácený vzorec pro násobení:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odpovědět: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A nyní přejděme k analýze identických transformací, které lze konkrétně aplikovat na mocninné výrazy.

Práce se základnou a exponentem

Stupeň v základu nebo exponentu může mít čísla, proměnné a některé výrazy. Například, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 A . S takovými záznamy se těžko pracuje. Mnohem jednodušší je nahradit výraz v základu stupně nebo výraz v exponentu stejně rovným výrazem.

Transformace stupně a ukazatele se provádějí podle nám známých pravidel odděleně od sebe. Nejdůležitější je, že v důsledku transformací se získá výraz, který je shodný s původním.

Účelem transformací je zjednodušit původní výraz nebo získat řešení problému. Například v příkladu, který jsme uvedli výše, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 můžete provádět operace pro přechod na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otevřením závorek můžeme uvést podobné pojmy v základu stupně (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) a získat mocenské vyjádření jednodušší formy a 2 (x + 1).

Použití vlastností napájení

Vlastnosti stupňů, zapsané jako rovnosti, jsou jedním z hlavních nástrojů pro transformaci výrazů se stupni. S ohledem na to zde uvádíme ty hlavní A A b jsou nějaká kladná čísla a r A s- libovolná reálná čísla:

Definice 2

• a ra s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

V případech, kdy máme co do činění s přirozenými, celými, kladnými exponenty, mohou být omezení pro čísla aab mnohem méně přísná. Pokud tedy vezmeme v úvahu například rovnost a m a n = a m + n, Kde m A n – celá čísla, pak to bude platit pro všechny hodnoty a, pozitivní i negativní, stejně jako pro a = 0.

Vlastnosti stupňů můžete použít bez omezení v případech, kdy jsou základy stupňů kladné nebo obsahují proměnné, jejichž rozsah přijatelných hodnot je takový, že na nich základy nabývají pouze kladných hodnot. Ve skutečnosti je v rámci školního vzdělávacího programu matematiky úkolem studenta vybrat vhodnou vlastnost a správně ji aplikovat.

Při přípravě na přijetí na vysoké školy se mohou vyskytnout úkoly, u kterých nepřesná aplikace vlastností povede ke zúžení ODZ a dalším potížím s řešením. V této části se budeme zabývat pouze dvěma takovými případy. Více informací k tématu naleznete v tématu "Transformace výrazů pomocí vlastností exponentů".

Příklad 4

Reprezentovat výraz a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 jako titul se základnou A.

Řešení

Pro začátek použijeme vlastnost umocňování a pomocí ní transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Pak použijeme vlastnosti násobení a dělení mocnin se stejným základem:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.

Odpovědět: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformaci mocninných výrazů podle vlastnosti stupňů lze provádět jak zleva doprava, tak i opačným směrem.

Příklad 5

Najděte hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Řešení

Pokud použijeme rovnost (a b) r = a r b r, zprava doleva, pak dostaneme součin tvaru 3 7 1 3 21 2 3 a následně 21 1 3 21 2 3 . Při násobení mocnin s přičteme exponenty stejné důvody: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Existuje další způsob, jak provádět transformace:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odpovědět: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Příklad 6

Daný mocenský výraz a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, zadejte novou proměnnou t = a 0, 5.

Řešení

Představte si titul a 1, 5 Jak a 0, 5 3. Použití vlastnosti stupně ve stupni (a r) s = a r s zprava doleva a dostanete (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Ve výsledném výrazu můžete snadno zavést novou proměnnou t = a 0, 5: dostat t 3 − t − 6.

Odpovědět: t 3 − t − 6 .

Převod zlomků obsahujících mocniny

Obvykle se zabýváme dvěma variantami mocninných výrazů se zlomky: výraz je zlomek se stupněm nebo takový zlomek obsahuje. Všechny základní transformace zlomků jsou na takové výrazy použitelné bez omezení. Lze je redukovat, převést na nového jmenovatele, pracovat samostatně s čitatelem a jmenovatelem. Pojďme si to ilustrovat na příkladech.

Příklad 7

Zjednodušte mocninné vyjádření 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Řešení

Máme co do činění se zlomkem, takže provedeme transformace jak v čitateli, tak ve jmenovateli:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Chcete-li změnit znaménko jmenovatele, vložte před zlomek mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odpovědět: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Zlomky obsahující mocniny se redukují na nového jmenovatele stejným způsobem jako racionální zlomky. Chcete-li to provést, musíte najít další faktor a vynásobit jím čitatel a jmenovatel zlomku. Dodatečný faktor je nutné vybrat tak, aby pro žádné hodnoty proměnných nezmizel z proměnných ODZ pro původní výraz.

Příklad 8

Převeďte zlomky na nového jmenovatele: a) a + 1 a 0, 7 na jmenovatele A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na jmenovatel x + 8 y 1 2 .

Řešení

a) Zvolíme faktor, který nám umožní redukovat na nového jmenovatele. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , proto bereme jako další faktor a 0, 3. Rozsah přípustných hodnot proměnné a zahrnuje množinu všech kladných reálných čísel. V této oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.

Vynásobme čitatele a jmenovatele zlomku a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Věnujte pozornost jmenovateli:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Vynásobte tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme součet krychlí x 1 3 a 2 · y 1 6, tzn. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový jmenovatel, ke kterému musíme přivést původní zlomek.

Našli jsme tedy další faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na rozmezí přijatelných hodnot proměnných X A y výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, můžeme jím tedy vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Odpovědět: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 12.

Příklad 9

Zmenšit zlomek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Řešení

a) Použijte největšího společného jmenovatele (GCD), o který lze čitatel a jmenovatel zmenšit. Pro čísla 30 a 45 je to 15 . Můžeme také snížit x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 113-53.

Dostaneme:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Přítomnost identických faktorů zde není zřejmá. Budete muset provést nějaké transformace, abyste získali stejné faktory v čitateli a jmenovateli. Za tímto účelem rozšiřujeme jmenovatele pomocí vzorce rozdílu čtverců:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Odpovědět: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Mezi hlavní operace se zlomky patří redukce na nový jmenovatel a redukce zlomků. Obě akce se provádějí v souladu s řadou pravidel. Při sčítání a odčítání zlomků se zlomky nejprve redukují na společného jmenovatele, poté se provádějí akce (sčítání nebo odčítání) s čitateli. Jmenovatel zůstává stejný. Výsledkem našeho jednání je nový zlomek, jehož čitatel je součinem čitatelů a jmenovatel součinem jmenovatelů.

Příklad 10

Proveďte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Řešení

Začněme odečítáním zlomků, které jsou v závorkách. Pojďme je přivést ke společnému jmenovateli:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odečteme čitatele:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nyní násobíme zlomky:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Snižme o stupeň x 12 dostaneme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Vyjádření mocniny ve jmenovateli můžete navíc zjednodušit pomocí vzorce pro rozdíl druhých mocnin: čtverce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odpovědět: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Příklad 11

Zjednodušte vyjádření síly x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Řešení

Zlomek můžeme snížit o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Pokračujme v transformacích x mocnin x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nyní můžete použít vlastnost dělení mocniny se stejnými základy: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Od posledního produktu přejdeme na zlomek x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odpovědět: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Ve většině případů je výhodnější převést násobiče se zápornými exponenty z čitatele do jmenovatele a naopak změnou znaménka exponentu. Tato akce zjednodušuje další rozhodování. Uveďme příklad: mocninný výraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 lze nahradit x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Převod výrazů s odmocninami

V úlohách jsou mocninné výrazy, které obsahují nejen stupně se zlomkovými exponenty, ale i odmocniny. Je žádoucí redukovat takové výrazy pouze na odmocniny nebo pouze na mocniny. Přechod na stupně je vhodnější, protože je snazší s nimi pracovat. Takový přechod je zvláště výhodný, když DPV proměnných pro původní výraz umožňuje nahradit odmocniny mocninami, aniž byste museli přistupovat k modulu nebo rozdělit DPV do několika intervalů.

Příklad 12

Vyjádřete výraz x 1 9 x x 3 6 jako mocninu.

Řešení

Platný rozsah proměnné X je určeno dvěma nerovnostmi x ≥ 0 a x · x 3 ≥ 0, které definují množinu [ 0 , + ∞) .

Na této sadě máme právo přejít od kořenů k mocninám:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Pomocí vlastností stupňů zjednodušíme výsledné mocninné vyjádření.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odpovědět: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Převod mocnin s proměnnými v exponentu

Tyto transformace jsou poměrně jednoduché, pokud správně používáte vlastnosti stupně. Například, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Můžeme nahradit součin stupně, ve kterém je nalezen součet nějaké proměnné a čísla. Na levé straně to lze provést pomocí prvního a posledního výrazu na levé straně výrazu:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Nyní vydělme obě strany rovnice 7 2 x. Tento výraz na ODZ proměnné x nabývá pouze kladných hodnot:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmenšíme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Nakonec je poměr mocnin se stejnými exponenty nahrazen mocninami poměrů, což vede k rovnici 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , což je ekvivalentní 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Zaveďme novou proměnnou t = 5 7 x , která redukuje řešení původní exponenciální rovnice k rozhodnutí kvadratická rovnice 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Převod výrazů s mocninami a logaritmy

V úlohách se také vyskytují výrazy obsahující mocniny a logaritmy. Příklady takových výrazů jsou: 1 4 1 - 5 log 2 3 nebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformace takových výrazů se provádí pomocí výše uvedených přístupů a vlastností logaritmů, které jsme podrobně rozebrali v tématu „Transformace logaritmických výrazů“.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Aritmetická operace, která se při výpočtu hodnoty výrazu provádí jako poslední, je „hlavní“.

To znamená, že pokud místo písmen dosadíte nějaká (jakákoli) čísla a pokusíte se vypočítat hodnotu výrazu, pak pokud je poslední akcí násobení, máme součin (výraz se rozloží na faktory).

Pokud je poslední akcí sčítání nebo odčítání, znamená to, že výraz není faktorizován (a tudíž nemůže být redukován).

Chcete-li to opravit sami, několik příkladů:

Příklady:

Řešení:

1. Doufám, že jste se hned nevrhli na řezání a? Stále to nestačilo takto „zmenšit“ jednotky:

Prvním krokem by mělo být faktorizace:

4. Sčítání a odčítání zlomků. Přivedení zlomků ke společnému jmenovateli.

Sčítání a odčítání obyčejné zlomky- operace je dobře známá: hledáme společného jmenovatele, každý zlomek vynásobíme chybějícím faktorem a sečteme / odečteme čitatele.

Připomeňme si:

Odpovědi:

1. Jmenovatelé a jsou coprime, to znamená, že nemají společné faktory. Proto se LCM těchto čísel rovná jejich součinu. Toto bude společný jmenovatel:

2. Zde je společný jmenovatel:

3. První věc zde smíšené frakce přeměňte je na špatné a pak - podle obvyklého schématu:

Zcela jiná věc je, pokud zlomky obsahují písmena, například:

Začněme jednoduše:

a) Jmenovatele neobsahují písmena

Zde je vše stejné jako u běžných číselných zlomků: najdeme společného jmenovatele, vynásobíme každý zlomek chybějícím faktorem a přičteme / odečteme čitatele:

nyní v čitateli můžete přinést podobné, pokud existují, a zohlednit je:

Zkus to sám:

Odpovědi:

b) Jmenovatele obsahují písmena

Připomeňme si princip hledání společného jmenovatele bez písmen:

Nejprve určíme společné faktory;

Pak všechny společné faktory vypíšeme jednou;

a vynásobte je všemi ostatními faktory, nikoli běžnými.

Abychom určili společné faktory jmenovatelů, nejprve je rozložíme na jednoduché faktory:

Klademe důraz na společné faktory:

Nyní jednou vypíšeme společné faktory a přidáme k nim všechny nespolečné (nepodtržené) faktory:

Toto je společný jmenovatel.

Vraťme se k písmenům. Jmenovatelé jsou uvedeni přesně stejným způsobem:

Rozložíme jmenovatele na faktory;

určit společné (shodné) násobiče;

vypište všechny společné faktory jednou;

Násobíme je všemi ostatními faktory, nikoli běžnými.

Takže v pořadí:

1) rozložte jmenovatele na faktory:

2) určete společné (identické) faktory:

3) vypište všechny společné faktory jednou a vynásobte je všemi ostatními (nepodtrženými) faktory:

Společný jmenovatel tu tedy je. První zlomek musí být vynásoben, druhý -:

Mimochodem, existuje jeden trik:

Například: .

Ve jmenovatelích vidíme stejné faktory, jen vše s různé ukazatele. Společným jmenovatelem bude:

do té míry

do té míry

do té míry

ve stupni.

Pojďme si úkol zkomplikovat:

Jak dosáhnout toho, aby zlomky měly stejného jmenovatele?

Připomeňme si základní vlastnost zlomku:

Nikde není řečeno, že stejné číslo lze odečíst (nebo sečíst) od čitatele i jmenovatele zlomku. Protože to není pravda!

Přesvědčte se sami: vezměte si například libovolný zlomek a do čitatele a jmenovatele přidejte nějaké číslo, například . Co se naučilo?

Takže další neotřesitelné pravidlo:

Když přivedete zlomky ke společnému jmenovateli, použijte pouze operaci násobení!

Ale co je potřeba množit, abyste získali?

Tady a množte se. A vynásobte:

Výrazy, které nelze faktorizovat, budeme nazývat „elementární faktory“.

Například je to elementární faktor. - Totéž. Ale - ne: rozkládá se na faktory.

A co výraz? Je to elementární?

Ne, protože to lze faktorizovat:

(o faktorizaci jste již četli v tématu "").

Takže elementární faktory, na které rozkládáte výraz s písmeny, jsou analogií jednoduchých faktorů, na které rozkládáte čísla. A totéž uděláme s nimi.

Vidíme, že oba jmenovatele mají svůj faktor. To půjde do společného jmenovatele v moci (pamatujete proč?).

Násobitel je elementární a nemají ho společný, což znamená, že první zlomek se jím bude muset jednoduše vynásobit:

Další příklad:

Řešení:

Než tyto jmenovatele v panice vynásobíte, musíte se zamyslet nad tím, jak je zohlednit? Oba představují:

Skvělý! Pak:

Další příklad:

Řešení:

Jako obvykle faktorizujeme jmenovatele. V prvním jmenovateli jej jednoduše vyjmeme ze závorek; ve druhém - rozdíl čtverců:

Zdálo by se, že neexistují žádné společné faktory. Ale když se podíváte pozorně, už jsou si tak podobní... A pravdou je:

Tak napišme:

Tedy dopadlo to takto: uvnitř závorky jsme prohodili pojmy a zároveň se znaménko před zlomkem změnilo na opak. Všimněte si, že to budete muset dělat často.

Nyní se dostáváme ke společnému jmenovateli:

Mám to? Teď to zkontrolujeme.

Úkoly pro samostatné řešení:

Odpovědi:

Zde si musíme pamatovat ještě jednu věc - rozdíl kostek:

Pozor, jmenovatel druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina součtu“! Druhá mocnina součtu by vypadala takto:

A je takzvaný neúplný čtverec součtu: druhý člen v něm je součinem prvního a posledního, nikoli jejich zdvojeným součinem. Neúplná druhá mocnina součtu je jedním z faktorů při expanzi rozdílu kostek:

Co když už jsou tři zlomky?

Ano, totéž! Nejprve se ujistíme, že maximální počet faktorů ve jmenovatelích je stejný:

Pozor: pokud změníte znaménka v jedné závorce, znaménko před zlomkem se změní na opačné. Když změníme znaménka ve druhé závorce, znaménko před zlomkem se opět obrátí. V důsledku toho se on (znak před zlomkem) nezměnil.

První jmenovatel vypíšeme celý ve společném jmenovateli a pak k němu přidáme všechny ještě nezapsané činitele od druhého a pak od třetího (a tak dále, pokud je zlomků více). To znamená, že to jde takto:

Hmm... Se zlomky je jasné, co dělat. Ale co ti dva?

Je to jednoduché: víte, jak sčítat zlomky, že? Takže se musíte ujistit, že se dvojka stane zlomkem! Pamatujte: zlomek je operace dělení (čitatel se dělí jmenovatelem, pro případ, že byste náhle zapomněli). A není nic jednoduššího, než číslo vydělit. V tomto případě se samotné číslo nezmění, ale změní se na zlomek:

Přesně to, co je potřeba!

5. Násobení a dělení zlomků.

No, to nejtěžší je teď za námi. A před námi je to nejjednodušší, ale zároveň nejdůležitější:

Postup

Jaký je postup při výpočtu číselného výrazu? Pamatujte, že vzhledem k hodnotě takového výrazu:

Počítal jsi?

Mělo by to fungovat.

Takže připomínám.

Prvním krokem je výpočet stupně.

Druhým je násobení a dělení. Pokud existuje několik násobení a dělení současně, můžete je provést v libovolném pořadí.

A nakonec provedeme sčítání a odčítání. Opět v libovolném pořadí.

Ale: výraz v závorce je vyhodnocen mimo pořadí!

Pokud se násobí nebo dělí více závorek navzájem, vyhodnotíme nejprve výraz v každé ze závorek a poté je vynásobíme nebo vydělíme.

Co když jsou v závorkách další závorky? No, přemýšlejme: v závorkách je napsán nějaký výraz. Co je třeba udělat jako první při vyhodnocování výrazu? Správně, spočítejte závorky. No, přišli jsme na to: nejprve spočítáme vnitřní závorky, pak vše ostatní.

Pořadí akcí pro výše uvedený výraz je tedy následující (aktuální akce je zvýrazněna červeně, tedy akce, kterou právě provádím):

Dobře, všechno je jednoduché.

Ale to není totéž jako výraz s písmeny, že?

Ne, je to stejné! Pouze místo aritmetických operací je nutné provádět algebraické operace, tedy operace popsané v předchozí části: přinášející podobné, přidávání zlomků, snižování zlomků a tak dále. Jediným rozdílem bude působení faktoringových polynomů (často to používáme při práci se zlomky). Nejčastěji pro faktorizaci potřebujete použít i nebo jednoduše vyjmout společný faktor ze závorek.

Obvykle je naším cílem reprezentovat výraz jako součin nebo kvocient.

Například:

Zjednodušme výraz.

1) Nejprve zjednodušíme výraz v závorkách. Tam máme rozdíl zlomků a naším cílem je reprezentovat jej jako součin nebo kvocient. Přivedeme tedy zlomky ke společnému jmenovateli a přidáme:

Není možné tento výraz dále zjednodušit, všechny faktory jsou zde elementární (pamatujete si ještě, co to znamená?).

2) Dostáváme:

Násobení zlomků: co by mohlo být jednodušší.

3) Nyní můžete zkrátit:

Dobře, teď je po všem. Nic složitého, že?

Další příklad:

Zjednodušte výraz.

Nejprve si to zkuste vyřešit sami a teprve potom se podívejte na řešení.

Řešení:

Nejprve si nadefinujme postup.

Nejprve sečteme zlomky v závorkách, místo dvou zlomků vyjde jeden.

Poté provedeme dělení zlomků. No a výsledek sečteme s posledním zlomkem.

Schematicky očísluji kroky:

Nyní ukážu celý proces a zabarvím aktuální akci červenou barvou:

1. Pokud existují podobné, je třeba je okamžitě přinést. V každém okamžiku, kdy máme podobné, je vhodné je hned přinést.

2. Totéž platí pro redukování zlomků: jakmile se naskytne příležitost k redukci, je třeba ji využít. Výjimkou jsou zlomky, které sčítáte nebo odečítáte: pokud nyní mají stejné jmenovatele, pak by se zmenšení mělo nechat na později.

Zde je několik úkolů, které můžete vyřešit sami:

A hned na začátku slíbil:

Odpovědi:

Řešení (stručně):

Pokud jste si poradili alespoň s prvními třemi příklady, pak jste, považte, téma zvládli.

Nyní k učení!

KONVERZE VÝRAZU. SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Základní zjednodušující operace:

• Přinášet podobné: Chcete-li přidat (zmenšit) podobné výrazy, musíte přidat jejich koeficienty a přiřadit písmennou část.
• Faktorizace: vyjmutí společného faktoru ze závorek, použití atd.
• Snížení frakce: čitatel a jmenovatel zlomku lze vynásobit nebo vydělit stejným nenulovým číslem, od kterého se hodnota zlomku nemění.
  1) čitatel a jmenovatel faktorizovat
  2) pokud jsou v čitateli a jmenovateli společné faktory, lze je proškrtnout.

  DŮLEŽITÉ: Snížit lze pouze násobitele!

• Sčítání a odčítání zlomků:
  ;
• Násobení a dělení zlomků:
  ;