Inverzní maticový vzorec. Najděte inverzní matici online. Maticová metoda v ekonomické analýze

1. Najděte determinant původní matice. Pokud , pak je matice degenerovaná a neexistuje žádná inverzní matice. Pokud, pak je matice nesingulární a existuje inverzní matice.

2. Najděte transponovanou matici.

3. Najdeme algebraické doplňky prvků a poskládáme z nich adjungovanou matici.

4. Inverzní matici poskládáme podle vzorce.

5. Zkontrolujeme správnost výpočtu inverzní matice na základě její definice:.

Příklad. Najděte matici inverzní k dané matici: .

Řešení.

1) Maticový determinant

2) Najdeme algebraické doplňky prvků matice a poskládáme z nich přidruženou matici:

3) Vypočítejte inverzní matici:

4) Zkontrolujte:

№4Hodnost matice. Lineární nezávislost řádků matice

Pro řešení a studium řady matematických a aplikovaných problémů je důležitý koncept hodnosti matice.

V matici velikosti lze odstraněním libovolných řádků a sloupců izolovat čtvercové podmatice tého řádu, kde. Determinanty takových podmatic se nazývají - nezletilí matice .

Například podmatice řádu 1, 2 a 3 lze získat z matic.

Definice. Hodnost matice je nejvyšším řádem nenulových nezletilých v této matici. Označení: nebo.

Z definice vyplývá:

1) Hodnost matice nepřesahuje nejmenší z jejích rozměrů, tzn.

2) právě tehdy, když jsou všechny prvky matice rovny nule, tj.

3) Pro čtvercovou matici řádu n právě tehdy, když je matice nesingulární.

Protože přímé vyčíslení všech možných minoritních skupin matice od největší velikosti je obtížné (zdlouhavé), používají se elementární transformace matice, které zachovávají hodnost matice.

Transformace elementární matice:

1) Zamítnutí nultého řádku (sloupce).

2) Vynásobení všech prvků řádku (sloupce) číslem.

3) Změna pořadí řádků (sloupců) matice.

4) Přičtení ke každému prvku jednoho řádku (sloupce) odpovídajících prvků dalšího řádku (sloupce), vynásobené libovolným číslem.

5) Maticová transpozice.

Definice. Matice získaná z matice pomocí elementárních transformací se nazývá ekvivalentní a označuje se A V.

Teorém. Hodnost matice se při transformacích elementární matice nemění.

Pomocí elementárních transformací lze matici přivést do tzv. stupňovité formy, kdy výpočet její hodnosti není obtížný.

Matice se nazývá kroková, pokud má tvar:

Je zřejmé, že hodnost krokové matice se rovná počtu nenulových řádků, protože existuje menší-tý řád, který se nerovná nule:

Příklad. Určete hodnost matice pomocí elementárních transformací.

Hodnost matice se rovná počtu nenulových řádků, tj. .

№5Lineární nezávislost řádků matice

Daná velikostní matice

Řádky matice označujeme takto:

Dvě linky se nazývají rovnat se pokud jsou jejich odpovídající prvky stejné. .

Představíme operace násobení řetězce číslem a přidávání řetězců jako operace prováděné prvek po prvku:

Definice.Řádek se nazývá lineární kombinace řádků matice, pokud se rovná součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly (libovolnými čísly):

Definice.Řádky matice se nazývají lineárně závislé , pokud existují taková čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

kde . (1.1)

Lineární závislost řádků matice znamená, že alespoň 1 řádek matice je lineární kombinací zbytku.

Definice. Pokud je lineární kombinace řádků (1.1) rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty , pak se řádky nazývají lineárně nezávislé .

Věta o hodnosti matice . Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými jsou lineárně vyjádřeny všechny ostatní řádky (sloupce).

Věta hraje zásadní roli v maticové analýze, zejména při studiu systémů lineární rovnice.

№6Řešení soustavy lineárních rovnic s neznámými

Systémy lineárních rovnic jsou široce používány v ekonomii.

Systém lineárních rovnic s proměnnými má tvar:

kde () jsou volána libovolná čísla koeficienty pro proměnné A volné členy rovnic , resp.

Stručný záznam: ().

Definice.Řešením soustavy je taková množina hodnot, při jejichž dosazení se každá rovnice soustavy změní ve skutečnou rovnost.

1) Nazývá se soustava rovnic kloub pokud má alespoň jedno řešení a nekompatibilní pokud nemá řešení.

2) Společná soustava rovnic se nazývá určitý pokud má jedinečné řešení a nejistý pokud má více než jedno řešení.

3) Jsou volány dvě soustavy rovnic ekvivalent (ekvivalent ) , pokud mají stejnou sadu řešení (například jedno řešení).

inverzní matice pro danou matici je to taková matice, vynásobením původní, čímž vznikne matice identity: Povinná a dostatečný stav přítomnost inverzní matice je nulová nerovnost determinantu původní matice (což zase znamená, že matice musí být čtvercová). Pokud je determinant matice roven nule, pak se nazývá degenerovaná a taková matice nemá inverzní hodnotu. Ve vyšší matematice jsou inverzní matice důležité a používají se k řešení řady problémů. Například na nalezení inverzní matice je konstruována maticová metoda pro řešení soustav rovnic. Naše servisní stránky umožňují vypočítat inverzní matici online dvě metody: Gauss-Jordanova metoda a použití matice algebraických sčítání. První znamená velký počet elementárních transformací v matici, druhý - výpočet determinantu a algebraické sčítání všech prvků. Pro výpočet determinantu matice online můžete využít naši další službu - Výpočet determinantu matice online

Najděte inverzní matici na webu

webová stránka vám umožní najít inverzní matice online rychle a zdarma. Na stránce provádí naše služba výpočty a zobrazí se výsledek s podrobným řešením pro nalezení inverzní matice. Server vždy dává pouze přesnou a správnou odpověď. V úkolech podle definice inverzní matice online, je nutné, aby determinant matrice byla jiná než nula, jinak webová stránka bude hlásit nemožnost nalezení inverzní matice kvůli skutečnosti, že determinant původní matice je roven nule. Hledání úkolu inverzní matice nachází se v mnoha odvětvích matematiky, je jedním z nejzákladnějších pojmů algebry a matematickým nástrojem v aplikovaných problémech. Nezávislý definice inverzní matice vyžaduje značné úsilí, mnoho času, výpočtů a velkou péči, aby nedošlo ke skluzu nebo malé chybě ve výpočtech. Proto naše služba hledání inverzní matice online výrazně usnadní váš úkol a stane se nepostradatelným nástrojem pro řešení matematické problémy. Jen pokud ty najít inverzní matici sami, doporučujeme zkontrolovat své řešení na našem serveru. Zadejte svou původní matici na našem Calculate Inverse Matrix Online a zkontrolujte svou odpověď. Náš systém se nikdy nemýlí a najde inverzní matice daný rozměr v režimu online okamžitě! Na stránce webová stránka v prvcích jsou povoleny znaky matrice, v tomto případě inverzní matice online bude prezentována v obecné symbolické formě.

ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY A MLADŠÍ

Mějme determinant třetího řádu: .

Méně důležitý odpovídající tomuto prvku aij determinant třetího řádu se nazývá determinant druhého řádu získaný z daného smazáním řádku a sloupce, na jehož průsečíku daný prvek stojí, tzn. i-tý řádek a j-tý sloupec. Vedlejší položky odpovídající danému prvku aij budeme označovat M ij.

Například, Méně důležitý M12 odpovídající prvku 12, bude určující , který získáme vyškrtnutím 1. řádku a 2. sloupce z daného determinantu.

Vzorec, který určuje determinant třetího řádu, tedy ukazuje, že tento determinant je roven součtu součinů prvků 1. řady a jim odpovídajících minoritních hodnot; zatímco moll odpovídající prvku 12, se bere se znaménkem „–“, tzn. se to dá napsat

(1)

Podobně lze zavést definice nezletilých pro determinanty druhého řádu a vyšších řádů.

Pojďme si představit ještě jeden pojem.

Algebraické sčítáníživel aij determinant se nazývá jeho vedlejší M ij násobeno (–1) i+j .

Algebraické sčítání prvků aij označené A ij.

Z definice dostáváme, že souvislost mezi algebraickým doplňkem prvku a jeho moll je vyjádřena rovností A ij= (–1) i+j M ij .

Například,

Příklad. Daný determinant. Nalézt A 13, A 21, A 32.

Je snadné vidět, že pomocí algebraických sčítání prvků lze vzorec (1) zapsat jako:

Podobně jako u tohoto vzorce lze získat rozklad determinantu na prvky libovolného řádku nebo sloupce.

Například rozklad determinantu na prvky 2. řady lze získat následovně. Podle vlastnosti 2 determinantu máme:

Rozšiřme získaný determinant o prvky 1. řady.

(2)

Odtud protože determinanty druhého řádu ve vzorci (2) jsou vedlejší prvky prvků 21, 22, 23. Tedy, tj. získali jsme rozšíření determinantu o prvky 2. řady.

Podobně lze získat rozklad determinantu na prvky třetí řady. Pomocí vlastnosti 1 determinantů (při transpozici) lze ukázat, že podobné expanze platí také pro expanze ve sloupcových prvcích.

Platí tedy následující věta.

Věta (o rozšíření determinantu v daném řádku nebo sloupci). Determinant je roven součtu součinů prvků libovolného z jeho řádků (nebo sloupců) a jejich algebraických doplňků.

Vše výše uvedené platí pro determinanty jakéhokoli vyššího řádu.

Příklady.

INVERZNÍ MATICE

Koncept inverzní matice je zaveden pouze pro čtvercové matice.

Li A je tedy čtvercová matice zvrátit pro to je matice matice označovaná A-1 a splnění podmínky. (Tato definice je zavedena analogií s násobením čísel)

Hledání inverzní matice je proces, který se skládá z poměrně jednoduchých kroků. Tyto akce se ale opakují tak často, že je proces značně zdlouhavý. Hlavní je neztrácet pozornost při rozhodování.

Při řešení nejběžnější metody - algebraické sčítání - budete potřebovat:

Při řešení příkladů si tyto akce rozebereme podrobněji. Mezitím zjistíme, co říká teorie inverzní matice.

Pro inverzní matice existuje výstižná analogie s převrácenou hodnotou čísla. Za každé číslo A, které se nerovná nule, existuje číslo bže práce A A b rovná se jedné: ab= 1. Číslo b se nazývá převrácená hodnota čísla b. Například pro číslo 7 je inverzní číslo 1/7, protože 7*1/7=1.

inverzní matice , který je potřeba najít pro danou čtvercovou matici A, taková matice se nazývá

součin, kterým matrice A vpravo je matice identity, tj.
. (1)

Matice identity je diagonální matice, ve které jsou všechny diagonální položky rovny jedné.

Hledání inverzní matice- problém, který se nejčastěji řeší dvěma způsoby:

metoda algebraických doplňků, ve které, jak bylo uvedeno na začátku lekce, je nutné najít determinanty, vedlejší a algebraické doplňky a transponovat matice;
Gaussova eliminační metoda, která vyžaduje elementární transformace matic (sčítání řádků, násobení řádků stejným číslem atd.).

Pro ty, kteří jsou obzvláště zvědaví, existují další metody, například metoda lineárních transformací. V této lekci si rozebereme tři zmíněné metody a algoritmy pro nalezení inverzní matice těmito metodami.

Teorém.Pro každou nesingulární (nesingulární, nesingulární) čtvercovou matici lze najít inverzní matici a navíc pouze jednu. Pro speciální (degenerovanou, singulární) čtvercovou matici inverzní matice neexistuje.

Čtvercová matice se nazývá nespeciální(nebo nedegenerované, nejednotné číslo) pokud jeho determinant není roven nule a speciální(nebo degenerovat, jednotné číslo), je-li jeho determinant nula.

Inverzní matici lze nalézt pouze pro čtvercovou matici. Inverzní matice bude přirozeně také čtvercová a stejného řádu jako daná matice. Matice, pro kterou lze nalézt inverzní matici, se nazývá invertibilní matice.

Hledání inverzní matice Gaussovým odstraněním neznámých

Prvním krokem k nalezení inverzní matice pomocí Gaussovy eliminace je přiřazení k matici A identifikační matice stejného řádu a odděluje je svislou čárou. Získáme duální matici. Vynásobte obě části této matice číslem , pak dostaneme

Algoritmus pro nalezení inverzní matice Gaussovou eliminací neznámých

1. Do matrice A přiřadit matici identity stejného řádu.

2. Transformujte výslednou duální matici tak, že identitní matice bude získána v její levé části, poté bude inverzní matice automaticky získána v pravé části namísto matice identity. Matice A na levé straně je převeden na identitní matici elementárními transformacemi matice.

2. Je-li v procesu transformace matice A v matici identity v libovolném řádku nebo v libovolném sloupci budou pouze nuly, pak se determinant matice rovná nule, a tedy matice A bude degenerovaný a nemá žádnou inverzní matici. V tomto případě se další hledání inverzní matice zastaví.

Příklad 2 Pro matrix

najít inverzní matici.

a transformujeme ji tak, aby se matice identity získala na levé straně. Začněme transformací.

Vynásobte první řádek levé a pravé matice číslem (-3) a přidejte jej do druhého řádku a poté vynásobte první řádek číslem (-4) a přidejte jej ke třetímu řádku, pak dostaneme

Chcete-li se vyhnout, pokud je to možné zlomková čísla při následných transformacích nejprve vytvoříme jednotku ve druhém řádku na levé straně duální matice. Chcete-li to provést, vynásobte druhý řádek 2 a odečtěte od něj třetí řádek, pak dostaneme

Připočtěme první řádek ke druhému a poté vynásobíme druhý řádek (-9) a přičteme ho ke třetímu řádku. Pak dostaneme

Třetí řadu pak vydělte 8

Vynásobte třetí řadu 2 a přidejte ji do druhé řady. Ukazuje se:

Když si vyměníme místa na druhém a třetím řádku, nakonec dostaneme:

Vidíme, že matice identity je získána na levé straně, proto je inverzní matice získána na pravé straně. Tím pádem:

Správnost výpočtů můžete zkontrolovat vynásobením původní matice nalezenou inverzní maticí:

Výsledkem by měla být inverzní matice.

Řešení můžete zkontrolovat pomocí online kalkulačka pro nalezení inverzní matice .

Příklad 3 Pro matrix

najít inverzní matici.

Řešení. Sestavení duální matice

a my to proměníme.

První řádek vynásobíme 3 a druhý 2 a odečteme od druhého a poté vynásobíme první řádek 5 a třetí 2 a odečteme od třetího řádku, pak dostaneme

inverzní matice je matrice A -1, při vynásobení kterým je daná počáteční matice A dává matici identity E:

AA −1 = A −1 A =E.

Metoda inverzní matice.

Metoda inverzní matice- jedná se o jednu z nejběžnějších metod řešení matic a používá se k řešení soustav lineárních algebraických rovnic (SLAE) v případech, kdy počet neznámých odpovídá počtu rovnic.

Ať existuje systém n lineární rovnice s n neznámý:

Takový systém lze zapsat jako maticovou rovnici A*X=B,

Kde
- matice systému,

- sloupec neznámých,

- sloupec volných koeficientů.

Z odvozené maticové rovnice vyjádříme X tak, že obě strany maticové rovnice vlevo vynásobíme A-1, což má za následek:

A-1 * A * X = A-1 * B

Vědět to A-1*A=E, Pak E*X=A-1*B nebo X=A-1*B.

Dalším krokem je určení inverzní matice A-1 a vynásobí se sloupcem volných termínů B.

Inverzní matice k matici A existuje pouze tehdy det A≠ 0 . Vzhledem k tomu je při řešení SLAE metodou inverzní matice prvním krokem nalezení det A. Li det A≠ 0 , pak má soustava pouze jedno řešení, které lze získat metodou inverzní matice, pokud det A = 0, pak takový systém metoda inverzní matice není vyřešen.

Řešení inverzní matice.

Posloupnost akcí pro řešení inverzní matice:

Získejte determinant matice A. Pokud je determinant větší než nula, řešíme inverzní matici dále, pokud je rovna nule, tak zde inverzní matici nenajdeme.
Nalezení transponované matice NA.
Hledáme algebraické doplňky, načež všechny prvky matice nahradíme jejich algebraickými doplňky.
Inverzní matici sbíráme z algebraických sčítání: všechny prvky výsledné matice vydělíme determinantem původně dané matice. Výsledná matice bude požadovaná inverzní matice vzhledem k původní.

Algoritmus níže řešení inverzní matice v podstatě stejné jako výše, rozdíl je pouze v několika krocích: nejprve určíme algebraické sčítání a poté vypočítáme sjednocovací matici C.

Zjistěte, zda je daná matice čtvercová. V případě záporné odpovědi je jasné, že pro ni nemůže existovat inverzní matice.
Zjistěte, zda je daná matice čtvercová. V případě záporné odpovědi je jasné, že pro ni nemůže existovat inverzní matice.
Počítáme algebraické sčítání.
Skládáme spojeneckou (vzájemnou, připojenou) matici C.
Inverzní matici skládáme z algebraických sčítání: všech prvků adjungované matice C dělit determinantem počáteční matice. Výsledná matice bude požadovanou inverzní maticí vzhledem k dané.
Kontrolujeme vykonanou práci: vynásobíme počáteční a výslednou matici, výsledkem by měla být matice identity.

To se nejlépe provádí pomocí připojené matrice.

Věta: Pokud čtvercové matici na pravé straně přiřadíme matici identity stejného řádu a pomocí elementárních transformací přes řádky transformujeme počáteční matici nalevo na jednotkovou matici, pak ta získaná na pravé straně bude inverzní k ten počáteční.