Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:
Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které z nich je první, které druhé, a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Číselná posloupnost
Například pro naši sekvenci:

Přidělené číslo je specifické pouze pro jedno pořadové číslo. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (jako -té číslo) je vždy stejné.
Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.

Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Řekněme, že máme číselnou posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.
Například:

atd.
Taková číselná posloupnost se nazývá aritmetická progrese.
Termín „progrese“ zavedl římský autor Boethius již v 6. století a byl chápán v širším smyslu jako nekonečná číselná posloupnost. Název „aritmetika“ byl přenesen z teorie spojitých proporcí, kterou se zabývali staří Řekové.

Jedná se o číselnou posloupnost, jejíž každý člen je roven předchozímu, doplněný stejným číslem. Toto číslo se nazývá rozdíl aritmetický postup a je označeno.

Pokuste se určit, které číselné řady jsou aritmetickým postupem a které ne:

A)
b)
C)
d)

Mám to? Porovnejte naše odpovědi:
Je aritmetický postup - b, c.
Není aritmetický postup - a, d.

Vraťme se k dané progresi () a zkusme najít hodnotu jejího tého členu. Existuje dva způsob, jak to najít.

1. Metoda

K předchozí hodnotě čísla progrese můžeme přidávat, dokud nedosáhneme tého členu progrese. Je dobře, že nemáme moc co shrnout – pouze tři hodnoty:

Takže -tý člen popsané aritmetické posloupnosti je roven.

2. Metoda

Co kdybychom potřebovali najít hodnotu tého členu progrese? Sčítání by nám zabralo více než jednu hodinu a není pravda, že bychom se při sčítání čísel nemýlili.
Matematici samozřejmě přišli na způsob, kdy k předchozí hodnotě nemusíte přičítat rozdíl aritmetické progrese. Podívejte se pozorně na nakreslený obrázek ... Určitě jste si již všimli určitého vzoru, a to:

Podívejme se například, co tvoří hodnotu -tého členu této aritmetické posloupnosti:


Jinými slovy:

Pokuste se tímto způsobem samostatně najít hodnotu člena této aritmetické posloupnosti.

Vypočítané? Porovnejte své příspěvky s odpovědí:

Všimněte si, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, kdy jsme k předchozí hodnotě postupně přičítali členy aritmetické posloupnosti.
Zkusme se "odosobnit" tento vzorec- přenesme to do obecné podoby a dostaneme:

Aritmetická postupová rovnice.

Aritmetické posloupnosti buď rostou, nebo klesají.

Vzrůstající- posloupnosti, ve kterých je každá následující hodnota členů větší než předchozí.
Například:

Klesající- posloupnosti, ve kterých je každá následující hodnota členů menší než předchozí.
Například:

Odvozený vzorec se používá při výpočtu členů v rostoucím i klesajícím členu aritmetické posloupnosti.
Pojďme si to ověřit v praxi.
Dostali jsme aritmetický postup skládající se z následujících čísel:

Od té doby:

Byli jsme tedy přesvědčeni, že vzorec funguje jak při snižování, tak při zvyšování aritmetické progrese.
Pokuste se sami najít -tý a -tý člen této aritmetické posloupnosti.

Porovnejme výsledky:

Vlastnost aritmetického postupu

Zkomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnost aritmetické posloupnosti.
Předpokládejme, že máme následující podmínku:
- aritmetický postup, najít hodnotu.
Je to snadné, řeknete si, a začnete počítat podle vzorce, který už znáte:

Nechte, a, pak:

Naprosto správně. Ukazuje se, že nejprve najdeme, pak jej přidáme k prvnímu číslu a získáme to, co hledáme. Pokud je progrese reprezentována malými hodnotami, tak na tom není nic složitého, ale co když nám jsou v podmínce dána čísla? Souhlasím, existuje možnost chyb ve výpočtech.
Nyní přemýšlejte, je možné vyřešit tento problém v jednom kroku pomocí jakéhokoli vzorce? Samozřejmě, že ano, a my se to teď pokusíme vynést.

Označme požadovaný člen aritmetické posloupnosti, protože známe vzorec pro jeho nalezení - je to stejný vzorec, který jsme odvodili na začátku:
, Pak:

• předchozí člen progrese je:
• další termín postupu je:

Shrňme předchozí a následující členy progrese:

Ukazuje se, že součet předchozích a následujících členů progrese je dvojnásobkem hodnoty člena progrese umístěného mezi nimi. Jinými slovy, abychom našli hodnotu progresivního členu se známými předchozími a následnými hodnotami, je nutné je sečíst a vydělit.

Přesně tak, máme stejné číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progrese si spočítejte sami, protože to není vůbec těžké.

Výborně! O progresi víte téměř vše! Zbývá zjistit pouze jeden vzorec, který si podle legendy jeden z největších matematiků všech dob, "král matematiků" - Karl Gauss, snadno odvodil pro sebe ...

Když bylo Carlu Gaussovi 9 let, učitel, zaneprázdněný kontrolou práce studentů v jiných třídách, položil v hodině následující úkol: „Vypočítej součet všech přirozená čísla od do (podle jiných zdrojů až do) včetně. Jaké bylo překvapení učitele, když jeden z jeho žáků (byl to Karl Gauss) po minutě odpověděl na úkol správně, zatímco většina spolužáků odvážlivce po dlouhých výpočtech dostala špatný výsledek...

Mladý Carl Gauss si všiml vzoru, kterého si můžete snadno všimnout.
Řekněme, že máme aritmetickou posloupnost sestávající z členů -ti: Potřebujeme najít součet daných členů aritmetické posloupnosti. Všechny hodnoty samozřejmě můžeme sečíst ručně, ale co když potřebujeme v úloze najít součet jejích členů, jak to hledal Gauss?

Pojďme si znázornit pokrok, který nám byl dán. Pozorně si prohlédněte zvýrazněná čísla a zkuste s nimi provádět různé matematické operace.


Vyzkoušeno? čeho sis všiml? Že jo! Jejich součty jsou stejné

Nyní odpovězte, kolik takových párů bude v postupu, který nám byl přidělen? Samozřejmě přesně polovina všech čísel, tzn.
Na základě skutečnosti, že součet dvou členů aritmetické posloupnosti je stejný a podobných stejných dvojic, dostaneme, že celkový součet je roven:
.
Vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické posloupnosti tedy bude:

V některých problémech neznáme tý člen, ale známe progresivní rozdíl. Zkuste do součtového vzorce dosadit vzorec tého členu.
Co jsi dostal?

Výborně! Nyní se vraťme k problému, který dostal Carl Gauss: spočítejte si sami, jaký je součet čísel začínajících od -tého a součet čísel začínajících od -tého.

kolik jsi dostal?
Gauss ukázal, že součet členů se rovná a součet členů se rovná. Rozhodli jste se tak?

Vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti byl ve skutečnosti prokázán starověkým řeckým vědcem Diophantem ve 3. století a po celou tuto dobu vtipní lidé používali vlastnosti aritmetické posloupnosti s velkou silou.
Představte si například Starověký Egypt a největší staveniště té doby - stavba pyramidy ... Obrázek ukazuje jednu její stranu.

Kde je ten pokrok, říkáte? Podívejte se pozorně a najděte vzor v počtu pískových bloků v každé řadě stěny pyramidy.


Proč ne aritmetický postup? Spočítejte, kolik bloků je potřeba k postavení jedné stěny, pokud jsou blokové cihly umístěny v základně. Doufám, že nebudete počítat pohybem prstu po monitoru, pamatujete si poslední vzorec a vše, co jsme řekli o aritmetickém postupu?

V tomto případě vypadá průběh takto:
Rozdíl aritmetického postupu.
Počet členů aritmetické posloupnosti.
Dosadíme naše data do posledních vzorců (počet bloků počítáme 2 způsoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A nyní můžete také počítat na monitoru: porovnejte získané hodnoty s počtem bloků, které jsou v naší pyramidě. Souhlasilo to? Výborně, zvládli jste součet tých členů aritmetické posloupnosti.
Samozřejmě nemůžete postavit pyramidu z bloků na základně, ale z? Zkuste si spočítat, kolik pískových cihel je potřeba na stavbu zdi s tímto stavem.
Zvládli jste to?
Správná odpověď je bloky:

Výcvik

úkoly:

1. Máša se na léto dostává do formy. Každý den zvyšuje počet dřepů. Kolikrát bude Máša dřepovat za týdny, když dělala dřepy při prvním tréninku.
2. Jaký je součet všech lichých čísel obsažených v.
3. Dřevorubci je při ukládání klád skládají tak, aby každá vrchní vrstva obsahovala o jednu kládu méně než ta předchozí. Kolik kulatin je v jednom zdivu, je-li základem zdiva kulatina.

Odpovědi:

1. Definujme parametry aritmetické progrese. V tomto případě
   (týdny = dny).

   Odpovědět: Za dva týdny by měla Máša dřepovat jednou denně.

2. První liché číslo, poslední číslo.
   Rozdíl aritmetického postupu.
   Počet lichých čísel na polovinu však ověřte pomocí vzorce pro nalezení -tého členu aritmetické posloupnosti:

   Čísla obsahují lichá čísla.
   Dostupná data dosadíme do vzorce:

   Odpovědět: Součet všech lichých čísel obsažených v se rovná.

3. Vzpomeňte si na problém s pyramidami. Pro náš případ a , protože každá horní vrstva je zmenšena o jeden log, existuje pouze hromada vrstev, tzn.
   Dosaďte data ve vzorci:

   Odpovědět: Ve zdivu jsou klády.

Shrnutí

1. - číselná posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný. Přibývá a klesá.
2. Hledání vzorcečlen aritmetické posloupnosti se zapisuje vzorcem - , kde je počet čísel v posloupnosti.
3. Vlastnost členů aritmetické posloupnosti- - kde - počet čísel v průběhu.
4. Součet členů aritmetické posloupnosti lze nalézt dvěma způsoby:
   
   , kde je počet hodnot.

ARITMETICKÝ PROGRESE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Číselná posloupnost

Sedneme si a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete. Ale vždy se dá říct, který z nich je první, který druhý a tak dále, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady.

Číselná posloupnost je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Jinými slovy, každé číslo může být spojeno s určitým přirozeným číslem, a to pouze s jedním. A toto číslo nepřiřadíme žádnému jinému číslu z této sady.

Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.

Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

Je velmi vhodné, když -tý člen posloupnosti může být dán nějakým vzorcem. Například vzorec

nastaví pořadí:

A vzorec je následující sekvence:

Například aritmetická progrese je posloupnost (první člen je zde stejný a rozdíl). Nebo (, rozdíl).

vzorec n-tého členu

Opakující se nazýváme vzorec, ve kterém, abyste zjistili -tý člen, musíte znát předchozí nebo několik předchozích:

Abychom našli například tý člen posloupnosti pomocí takového vzorce, musíme vypočítat předchozích devět. Například ať. Pak:

No, teď je jasné, jaký je vzorec?

V každém řádku sčítáme, násobíme nějakým číslem. Proč? Velmi jednoduché: toto je číslo aktuálního člena mínus:

Teď je to mnohem pohodlnější, že? Kontrolujeme:

Rozhodněte se sami:

V aritmetickém postupu najděte vzorec pro n-tý člen a najděte stý člen.

Řešení:

První člen je rovný. A jaký je v tom rozdíl? A tady je co:

(koneckonců se tomu říká rozdíl, protože se rovná rozdílu po sobě jdoucích členů progrese).

Takže vzorec je:

Potom stý termín je:

Jaký je součet všech přirozených čísel od do?

Podle legendy velký matematik Carl Gauss jako 9letý chlapec spočítal tuto částku za pár minut. Všiml si, že součet prvního a posledního čísla se rovná, součet druhého a předposledního je stejný, součet třetího a 3. od konce je stejný a tak dále. Kolik takových párů je? Přesně tak, přesně poloviční počet všech čísel, tzn. Tak,

Obecný vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické posloupnosti bude:

Příklad:
Najděte součet všech dvouciferná čísla, násobky.

Řešení:

První takové číslo je toto. Každý další se získá přidáním čísla k předchozímu. Čísla, která nás zajímají, tedy tvoří aritmetický postup s prvním členem a rozdílem.

Vzorec pro tý člen pro tuto progresi je:

Kolik výrazů je v průběhu, pokud musí být všechny dvouciferné?

Velmi snadné: .

Poslední termín postupu bude stejný. Pak součet:

Odpovědět: .

Nyní se rozhodněte sami:

1. Každý den sportovec uběhne o 1 m více než předchozí den. Kolik kilometrů uběhne za týdny, když první den uběhne km m?
2. Cyklista najede každý den více kilometrů než ten předchozí. První den ujel km. Kolik dní musí řídit, aby urazil kilometr? Kolik kilometrů urazí poslední den cesty?
3. Cena lednice v obchodě se každým rokem snižuje o stejnou částku. Zjistěte, o kolik se cena chladničky každý rok snížila, pokud byla nabízena k prodeji za rubly a o šest let později byla prodána za rubly.

Odpovědi:

1. Nejdůležitější je zde rozpoznat aritmetický průběh a určit jeho parametry. V tomto případě (týdny = dny). Musíte určit součet prvních členů této progrese:
   .
   Odpovědět:
2. Zde je uvedeno:, je třeba najít.
   Je zřejmé, že musíte použít stejný součtový vzorec jako v předchozím problému:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Kořen evidentně nesedí, takže odpověď.
   Vypočítejme vzdálenost ujetou za poslední den pomocí vzorce --tého členu:
   (km).
   Odpovědět:

3. Vzhledem k tomu: . Najít: .
   Snazší už to nebude:
   (třít).
   Odpovědět:

ARITMETICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍM

Jedná se o číselnou posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.

Aritmetický postup se zvyšuje () a klesá ().

Například:

Vzorec pro nalezení n-tého členu aritmetické posloupnosti

se zapisuje jako vzorec, kde je počet čísel v posloupnosti.

Vlastnost členů aritmetické posloupnosti

Usnadňuje nalezení člena progrese, pokud jsou známy jeho sousední členy - kde je počet čísel v progresi.

Součet členů aritmetické posloupnosti

Součet lze zjistit dvěma způsoby:

Kde je počet hodnot.

Kde je počet hodnot.

K vyřešení systému lineární rovnice(3) relativně x 1 Použijme Gaussovu metodu.

Ostatní soustavy lineárních rovnic (2) jsou řešeny obdobným způsobem.

Konečně skupina sloupcových vektorů x 1, x 2, ..., x n tvoří inverzní matici A-1.

Všimněte si, že jakmile najdete permutační matice P1,P2, ..., Pn-1 a matice výjimek Mi, M2, ..., Mn-1(viz str. Gaussova eliminační metoda) a sestrojení matice

M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1,

systém (2) lze převést do formy

• Max 1 = já 1,
• Max 2 = já 2 ,
• ......
• Max n = Me n .

Odtud jsou x 1, x 2, ..., x n, pro různé pravé strany Já 1 , Já 2 , ... , Já n.

Při výpočtu inverzní matice je výhodnější přidat matici identity na pravou stranu původní matice a aplikovat Gaussovu metodu v dopředném i zpětném směru.

Podívejme se na to na příkladu.

Příklad výpočtu inverzní matice

Nechť je požadováno najít inverzní matici A-1 pro danou matrici A:

Matici identity zapíšeme na pravou stranu:

Vybereme úvodní prvek "4" (protože je to největší modulo) a prohodíme první a třetí řádek:

Použijte Gaussovu eliminaci pro první sloupec:

Prohoďte druhý a třetí řádek a použijte Gaussovu eliminaci pro druhý sloupec.

Takže služby pro řešení matic online:

Služba Matrix umožňuje provádět elementární transformace matic.
Pokud máte za úkol provést složitější transformaci, pak by tato služba měla být použita jako konstruktor.

Příklad. Maticová data A A B, potřeba najít C = A -1 * B + B T ,

1. Nejprve byste měli najít inverzní maticeA1 = A-1 pomocí služby pro nalezení inverzní matice;
2. Dále po nalezení matrice A1 Udělej to násobení maticeA2 = A1 * B, pomocí služby pro maticové násobení;
3. Pojďme na to maticová transpoziceA3 = B T (služba pro nalezení transponované matice);
4. A poslední - najděte součet matic S = A2 + A3(služba pro výpočet součtu matic) - a dostaneme odpověď s nejpodrobnějším řešením!;

Součin matric

Toto je online služba dva kroky:

• Zadejte matici prvního faktoru A
• Zadejte matici druhého faktoru nebo sloupcový vektor B

Násobení matice vektorem

Násobení matice vektorem lze nalézt pomocí služby Maticové násobení
(Prvním faktorem bude daná matice, druhým faktorem bude sloupec složený z prvků daného vektoru)

Toto je online služba dva kroky:

• Zadejte matici A, pro který musíte najít inverzní matici
• Získejte odpověď s podrobným řešením pro nalezení inverzní matice

Maticový determinant

Toto je online služba jeden krok:

• Zadejte matici A, pro který potřebujete najít determinant matice

Maticová transpozice

Zde můžete sledovat algoritmus maticové transpozice a naučit se, jak takové problémy vyřešit sami.
Toto je online služba jeden krok:

• Zadejte matici A, který je třeba transponovat

Hodnost matice

Toto je online služba jeden krok:

• Zadejte matici A, u kterého je potřeba najít hodnost

Vlastní čísla matice a vlastní vektory matice

Toto je online služba jeden krok:

• Zadejte matici A, pro které potřebujete najít vlastní vektory a vlastní čísla (vlastní čísla)

Umocňování matice

Toto je online služba dva kroky:

• Zadejte matici A, který bude povýšen k moci
• Zadejte celé číslo q- stupeň

Co hlavní bod vzorce?

Tento vzorec vám umožňuje najít žádný PODLE JEHO ČÍSLA" n" .

Samozřejmě musíte znát první termín 1 a rozdíl v postupu d, no, bez těchto parametrů nemůžete zapsat konkrétní postup.

Nestačí si zapamatovat (nebo podvádět) tento vzorec. Je nutné asimilovat jeho podstatu a aplikovat vzorec v různých problémech. Ano, a nezapomeňte ve správný čas, ano ...) Jak nezapomenout- Nevím. A tady jak si zapamatovat Pokud bude potřeba, dám vám tip. Pro ty, kteří zvládnou lekci až do konce.)

Pojďme se tedy zabývat vzorcem n-tého členu aritmetické posloupnosti.

Co je vzorec obecně - představujeme si.) Co je to aritmetická posloupnost, členské číslo, progresní rozdíl - je jasně uvedeno v předchozí lekci. Podívejte se, pokud jste to nečetli. Všechno je tam jednoduché. Zbývá zjistit co n-tý člen.

progrese v obecný pohled lze zapsat jako řadu čísel:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1- označuje první člen aritmetického postupu, a 3- třetí člen 4- čtvrtý a tak dále. Pokud nás zajímá pátý termín, řekněme, že pracujeme s 5, je-li sto dvacátý - od 120.

Jak obecně definovat žádnýčlen aritmetické progrese, s žádnýčíslo? Velmi jednoduché! Takhle:

a n

Tak to je n-tý člen aritmetické posloupnosti. Pod písmenem n jsou skryta všechna čísla členů najednou: 1, 2, 3, 4 atd.

A co nám takový rekord dává? Jen si představte, že místo čísla napsali písmeno ...

Tento zápis nám poskytuje mocný nástroj pro práci s aritmetickými posloupnostmi. Použití notace a n, můžeme rychle najít žádnýčlen žádný aritmetický postup. A hromada úkolů k řešení v průběhu. Uvidíte dále.

Ve vzorci n-tého členu aritmetické posloupnosti:

a n = a 1 + (n-1)d

1- první člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spojuje klíčové parametry jakékoli progrese: a n; a 1; d A n. Kolem těchto parametrů se všechny hádanky točí v průběhu.

Vzorec n-tého členu lze také použít k zápisu konkrétního postupu. Například v problému lze říci, že progrese je dána podmínkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takový problém může dokonce zmást ... Neexistuje žádná řada, žádný rozdíl ... Ale při porovnání podmínky se vzorcem je snadné zjistit, že v tomto postupu a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.

A může být ještě naštvanější!) Vezmeme-li stejnou podmínku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otevřít závorky a dát podobné? Dostáváme nový vzorec:

an = 3 + 2n.

Tento Pouze ne obecné, ale pro konkrétní postup. V tom spočívá úskalí. Někteří lidé si myslí, že první termín je trojka. I když ve skutečnosti je prvním členem pětka... O něco níže budeme pracovat s takto upraveným vzorcem.

V úkolech pro postup existuje další označení - a n+1. Toto je, uhodli jste, „n plus první“ člen progrese. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Jedná se o člen progrese, jehož počet je větší než číslo n o jedna. Například pokud v nějakém problému bereme za a n tedy páté volební období a n+1 bude šestým členem. Atd.

Nejčastěji označení a n+1 se vyskytuje v rekurzivních vzorcích. Nebojte se tohoto hrozného slova!) Toto je jen způsob, jak vyjádřit termín aritmetické posloupnosti přes předchozí. Předpokládejme, že jsme dostali aritmetický průběh v této podobě pomocí opakujícího se vzorce:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Čtvrtý - přes třetí, pátý - přes čtvrtý a tak dále. A jak okamžitě počítat, řekněme dvacátý termín, 20? Ale kdepak!) Zatímco 19. termín není znám, 20. nelze počítat. To je základní rozdíl mezi rekurzivním vzorcem a vzorcem n-tého členu. Rekurzivní funguje pouze prostřednictvím předchozíčlen, a vzorec n-tého členu - přes První a umožňuje hned najít libovolného člena podle jeho čísla. Nepočítat celou řadu čísel v pořadí.

Při aritmetickém postupu lze rekurzivní vzorec snadno změnit na běžný. Spočítejte dvojice po sobě jdoucích členů, vypočítejte rozdíl d, v případě potřeby najděte první termín 1, napište vzorec v obvyklém tvaru a pracujte s ním. V GIA se takové úkoly často nacházejí.

Aplikace vzorce n-tého členu aritmetické posloupnosti.

Nejprve se podívejme na přímou aplikaci vzorce. Na konci předchozí lekce se vyskytl problém:

Je dána aritmetická progrese (a n). Najděte 121, pokud a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém lze vyřešit bez jakýchkoliv vzorců, jednoduše na základě významu aritmetické posloupnosti. Přidat, ano přidat... Hodinu nebo dvě.)

A podle vzorce bude řešení trvat méně než minutu. Můžete si to načasovat.) My rozhodneme.

Podmínky poskytují všechna data pro použití vzorce: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ještě se uvidí co n.Žádný problém! Musíme najít 121. Zde píšeme:

Prosím věnujte pozornost! Místo indexu n objevilo se konkrétní číslo: 121. Což je celkem logické.) Zajímá nás člen aritmetické posloupnosti číslo sto dvacet jedna. Tohle bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme dále do vzorce, v závorkách. Dosaďte všechna čísla ve vzorci a vypočítejte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je všechno. Stejně rychle bylo možné najít pět set desátý člen a tisíc a třetí jakýkoli. Místo toho jsme dali n požadované číslo v indexu písmene " A" a v závorkách a uvažujeme.

Dovolte mi připomenout podstatu: tento vzorec vám umožňuje najít žádný termín aritmetické progrese PODLE JEHO ČÍSLA" n" .

Pojďme problém vyřešit chytřeji. Řekněme, že máme následující problém:

Najděte první člen aritmetické posloupnosti (a n), jestliže a 17 =-2; d=-0,5.

Pokud máte nějaké potíže, navrhnu první krok. Zapište vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti! Ano ano. Ručně pište přímo do sešitu:

a n = a 1 + (n-1)d

A teď, když se podíváme na písmena vzorce, chápeme, jaká data máme a co chybí? Dostupný d=-0,5, je tam sedmnáctý člen... Všechno? Pokud si myslíte, že je to vše, pak nemůžete problém vyřešit, ano ...

Máme také číslo n! Ve stavu a 17 = -2 skrytý dvě možnosti. Jedná se jak o hodnotu sedmnáctého členu (-2), tak o jeho číslo (17). Tito. n=17. Tato „maličkost“ často proklouzne přes hlavu a bez ní (bez „malé věci“, nikoli hlavy!) nelze problém vyřešit. I když ... a taky bez hlavy.)

Nyní můžeme jen hloupě dosadit naše data do vzorce:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

ach ano, 17 víme, že je -2. Dobře, vložíme to:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je v podstatě vše. Zbývá vyjádřit první člen aritmetického postupu ze vzorce a vypočítat. Dostanete odpověď: a 1 = 6.

Taková technika – psaní vzorce a pouhé nahrazování známých dat – hodně pomáhá v jednoduchých úkolech. No, musíte samozřejmě umět vyjádřit proměnnou ze vzorce, ale co dělat!? Bez této dovednosti nelze matematiku vůbec studovat ...

Další populární problém:

Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti (a n), jestliže a 1 =2; a 15 = 12.

Co to děláme? Budete překvapeni, píšeme vzorec!)

a n = a 1 + (n-1)d

Zvažte, co víme: ai=2; a15=12; a (zvláštní zvýraznění!) n=15. Neváhejte ve vzorci nahradit:

12=2 + (15-1)d

Pojďme udělat aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správná odpověď.

Takže úkoly a n, a 1 A d rozhodl. Zbývá se naučit, jak najít číslo:

Číslo 99 je členem aritmetické posloupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Najděte číslo tohoto člena.

Známé veličiny dosadíme do vzorce n-tého členu:

a n = 12 + (n-1) 3

Na první pohled jsou zde dvě neznámé veličiny: a n a n. Ale a n je nějaký člen progrese s číslem n... A tohoto člena progrese známe! Je to 99. Neznáme jeho číslo. n, takže toto číslo je také potřeba najít. Dosaďte progresivní člen 99 do vzorce:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjádříme ze vzorce n, myslíme. Dostáváme odpověď: n=30.

A teď problém na stejné téma, ale kreativnější):

Určete, zda číslo 117 bude členem aritmetické posloupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napíšeme vzorec znovu. Co, nejsou tam žádné parametry? Hm... Proč potřebujeme oči?) Vidíme prvního člena progrese? Vidíme. To je -3,6. Můžete klidně napsat: a 1 \u003d -3,6. Rozdíl d lze určit ze série? Je to snadné, pokud víte, jaký je rozdíl v aritmetickém postupu:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ano, udělali jsme to nejjednodušší. Zbývá se vypořádat s neznámým číslem n a nesrozumitelné číslo 117. V předchozím problému se alespoň vědělo, že je dán termín progrese. Ale tady ani nevíme, že ... Jak být!? No, jak být, jak být... ​​Zapněte své tvůrčí schopnosti!)

My předpokládatže 117 je koneckonců členem naší progrese. S neznámým číslem n. A stejně jako v předchozím problému zkusme najít toto číslo. Tito. napíšeme vzorec (ano-ano!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opět vyjadřujeme ze vzorcen, spočítáme a dostaneme:

Jejda! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jedna a půl. A zlomková čísla v průběhu nemůže být. Jaký závěr vyvodíme? Ano! Číslo 117 neníčlen naší progrese. Je to někde mezi 101. a 102. členem. Pokud by se počet ukázal jako přirozený, tzn. kladné celé číslo, pak by číslo bylo členem posloupnosti s nalezeným číslem. A v našem případě bude odpověď na problém: Ne.

Úkol založený na skutečné verzi GIA:

Aritmetický postup je dán podmínkou:

a n \u003d -4 + 6,8n

Najděte první a desátý termín postupu.

Zde je postup nastaven neobvyklým způsobem. Nějaký druh vzorce ... Stává se to.) Nicméně tento vzorec (jak jsem psal výše) - také vzorec n-tého členu aritmetické posloupnosti! Ona také umožňuje najít libovolného člena progrese podle jeho čísla.

Hledáme prvního člena. Ten, kdo myslí. že první člen je mínus čtyři, je fatální omyl!) Protože vzorec v úloze je upraven. První člen aritmetického postupu v něm skrytý. Nic, teď to najdeme.)

Stejně jako v předchozích úkolech suplujeme n=1 do tohoto vzorce:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Tady! První termín je 2,8, ne -4!

Podobně hledáme desátý termín:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je všechno.

A nyní pro ty, kteří dočetli až tyto řádky, slibovaný bonus.)

Předpokládejme, že jste v obtížné bojové situaci, GIA nebo Jednotné státní zkoušce, zapomněli užitečný vzorec n-tý člen aritmetické posloupnosti. Něco mě napadá, ale nějak nejistě... Zda n tam, popř n+1, popř n-1... Jak být!?

Uklidnit! Tento vzorec lze snadno odvodit. Ne moc striktní, ale rozhodně dost pro jistotu a správné rozhodnutí!) Na závěr stačí zapamatovat si elementární význam aritmetického postupu a mít pár minut času. Stačí si nakreslit obrázek. Pro přehlednost.

Nakreslíme si číselnou osu a na ní označíme první. druhý, třetí atd. členů. A všimněte si rozdílu d mezi členy. Takhle:

Díváme se na obrázek a říkáme si: čemu se rovná druhý termín? Druhý jeden d:

A 2 =a 1 + 1 d

Jaký je třetí termín? Třetí termín se rovná prvnímu termínu plus dva d.

A 3 =a 1 + 2 d

Chápeš to? Některá slova nedávám tučně pro nic za nic. Dobře, ještě jeden krok.)

Jaký je čtvrtý termín? Čtvrtý termín se rovná prvnímu termínu plus tři d.

A 4 =a 1 + 3 d

Je na čase si uvědomit, že počet mezer, tzn. d, Vždy o jeden méně, než je číslo člena, kterého hledáte n. Tedy až do počtu n, počet mezer vůle n-1. Vzorec tedy bude (žádné možnosti!):

a n = a 1 + (n-1)d

Obecně jsou vizuální obrázky velmi užitečné při řešení mnoha problémů v matematice. Nezanedbávejte obrázky. Ale pokud je těžké nakreslit obrázek, pak ... pouze vzorec!) Vzorec n-tého členu navíc umožňuje připojit k řešení celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atd. Nemůžeš dát obrázek do rovnice...

Úkoly pro samostatné rozhodování.

Pro zahřátí:

1. V aritmetickém postupu (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Najděte 3.

Nápověda: podle obrázku je problém vyřešen za 20 sekund ... Podle vzorce je to složitější. Ale pro zvládnutí vzorce je to užitečnější.) V § 555 je tento problém vyřešen jak obrázkem, tak vzorcem. Cítit rozdíl!)

A tohle už není rozcvička.)

2. V aritmetickém postupu (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Najděte a 3 .

Co, neochota nakreslit obrázek?) Ještě! Lepší vzorec, ano...

3. Aritmetický postup je dán podmínkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Najděte sto dvacátý pátý termín tohoto postupu.

V tomto úkolu je postup dán opakujícím se způsobem. Ale počítat do sto dvacátého pátého termínu... Takový kousek neumí každý.) Ale vzorec n-tého termínu je v silách každého!

4. Daný aritmetický postup (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Najděte číslo nejmenšího kladného členu progrese.

5. Podle podmínky úlohy 4 najděte součet nejmenších kladných a největších záporných členů průběhu.

6. Součin pátého a dvanáctého členu rostoucí aritmetické progrese je -2,5 a součet třetího a jedenáctého členu je nula. Najděte 14.

Není to nejjednodušší úkol, ano ...) Zde metoda "na prstech" nebude fungovat. Musíte psát vzorce a řešit rovnice.

Odpovědi (v nepořádku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stalo? To je hezké!)

Ne všechno se daří? Se děje. Mimochodem, v posledním úkolu je jeden jemný bod. Při čtení problému bude vyžadována pozornost. A logika.

Řešení všech těchto problémů je podrobně probráno v oddíle 555. A fantazijní prvek pro čtvrtý a jemný moment pro šestý a obecné přístupy k řešení jakýchkoli problémů pro vzorec n-tého členu - vše je vymalováno. Doporučuji.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Metody hledání inverzní matice. Uvažujme čtvercovou matici

Označme Δ = detA.

Čtvercová matice A se nazývá nedegenerovaný, nebo nespeciální je-li jeho determinant nenulový, a degenerovat, nebo speciální, PokudΔ = 0.

Čtvercová matice B existuje pro čtvercovou matici A stejného řádu, pokud jejich součin A B = B A = E, kde E je matice identity stejného řádu jako matice A a B.

Teorém . Aby matice A měla inverzní matici, je nutné a postačující, aby její determinant byl nenulový.

inverzní matice matice A, značená A- 1, takže B = A - 1 a vypočítá se podle vzorce

, (1)

kde А i j - algebraické doplňky prvků a i j matice A..

Výpočet A -1 podle vzorce (1) pro matice vyšších řádů je velmi pracný, takže v praxi je vhodné najít A -1 pomocí metody elementárních transformací (EP). Jakákoli nesingulární matice A může být redukována EP pouze sloupců (nebo pouze řádků) na matici identity E. Pokud jsou EP provedené na matici A aplikovány ve stejném pořadí na matici identity E, pak je výsledek inverzní matice. Je vhodné provádět EP na maticích A a E současně a psát obě matice vedle sebe přes řádek. Ještě jednou podotýkáme, že při hledání kanonické formy matice lze k jejímu nalezení použít transformace řádků a sloupců. Pokud potřebujete najít inverzní matici, měli byste v procesu transformace použít pouze řádky nebo pouze sloupce.

Příklad 1. Pro matrix najít A -1 .

Řešení.Nejprve najdeme determinant matice A
takže inverzní matice existuje a můžeme ji najít podle vzorce: , kde A i j (i,j=1,2,3) - algebraické doplňky prvků a i j původní matice.

Kde .

Příklad 2. Metodou elementárních transformací najděte A -1 pro matici: A=.

Řešení.Původní matici vpravo přiřadíme matici identity stejného řádu: . Pomocí elementárních sloupcových transformací redukujeme levou „polovinu“ na identitní a současně přesně takové transformace provádíme na pravé matici.
Chcete-li to provést, prohoďte první a druhý sloupec: ~ . První přidáme do třetího sloupce a první vynásobíme -2 do druhého: . Od prvního sloupce odečteme zdvojnásobený druhý a od třetího - druhý vynásobený 6; . K prvnímu a druhému sloupci přidáme třetí sloupec: . Vynásobte poslední sloupec -1: . Čtvercová matice získaná napravo od svislé čáry je inverzní matice k dané matici A.
.