Nyní se budeme zabývat otázkou, jak vytvářet grafy goniometrické funkce více úhlů ωx, Kde ω je nějaké kladné číslo.

K vykreslení funkce y = hřích ωx Porovnejme tuto funkci s funkcí, kterou jsme již studovali y = hřích x. Předpokládejme, že v x = x 0 funkce y = hřích x má hodnotu rovnou 0. Pak

y 0 = hřích X 0 .

Převedeme tento poměr následovně:

Proto funkce y = hřích ωx na X = X 0 / ω nabývá stejné hodnoty na 0 , což je funkce y = hřích x na x = X 0 . A to znamená, že funkce y = hřích ωx opakuje své hodnoty v ω krát častěji než funkce y = hřích x. Tedy graf funkce y = hřích ωx získaný „kompresí“ grafu funkce y = hřích x PROTI ω krát podél osy x.

Například graf funkce y \u003d hřích 2x získaný „stlačením“ sinusoidy y = hřích x dvakrát podél úsečky.

Graf funkcí y \u003d hřích x / 2 získané dvojitým „protažením“ sinusoidy y \u003d sin x (nebo „stlačením“ v 1 / 2 krát) podél osy x.

Od funkce y = hřích ωx opakuje své hodnoty v ω krát častěji než funkce
y = hřích x, pak jeho období v ω krát méně než perioda funkce y = hřích x. Například období funkce y \u003d hřích 2x rovná se 2π / 2 = π a období funkce y \u003d hřích x / 2 rovná se π / X / 2 = 4π .

Je zajímavé studovat chování funkce y \u003d sekera hříchu na příkladu animace, kterou lze v programu velmi jednoduše vytvořit javor:

Podobně se konstruují grafy pro další goniometrické funkce více úhlů. Obrázek ukazuje graf funkce y = cos 2x, který se získá „kompresí“ kosinusu y = cos x dvakrát podél osy x.

Graf funkcí y = cos x / 2 získané „natažením“ kosinusové vlny y = cos x dvakrát podél osy x.

Na obrázku vidíte graf funkce y = tg 2x, získaný "stlačením" tangensoidu y = tg x dvakrát podél úsečky.

Graf funkcí y = tg X / 2 , získaný „protažením“ tečny y = tg x dvakrát podél osy x.

A nakonec animace provedená programem javor:

Cvičení

1. Sestavte grafy těchto funkcí a označte souřadnice průsečíků těchto grafů se souřadnicovými osami. Určete periody těchto funkcí.

A). y=hřích 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 a). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 E). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg X / 3

PROTI). y=tg 4x / 3 E). y = hřích 2x / 3

2. Definujte funkční období y \u003d sin (πx) A y = tg (πх / 2).

3. Uveďte dva příklady funkce, která nabývá všech hodnot od -1 do +1 (včetně těchto dvou čísel) a periodicky se mění s periodou 10.

4 *. Uveďte dva příklady funkcí, které mají všechny hodnoty od 0 do 1 (včetně těchto dvou čísel) a pravidelně se mění s tečkou π / 2.

5. Uveďte dva příklady funkcí, které mají všechny reálné hodnoty a periodicky se mění s periodou 1.

6 *. Uveďte dva příklady funkcí, které mají všechny záporné hodnoty a nulu, ale nenabírají kladné hodnoty a pravidelně se mění s periodou 5.

Lekce a prezentace na téma: "Funkce y=cos(x). Definice a graf funkce"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy. Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Výukové pomůcky a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro ročník 10
Algebraické úlohy s parametry, ročníky 9–11
Softwarové prostředí "1C: Matematický konstruktor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Definice.
2. Graf funkce.
3. Vlastnosti funkce Y=cos(X).
4. Příklady.

Definice funkce kosinus y=cos(x)

Kluci, už jsme se setkali s funkcí Y=sin(X).

Vzpomeňme si na jeden z duchářských vzorců: sin(X + π/2) = cos(X).

Díky tomuto vzorci můžeme tvrdit, že funkce sin(X + π/2) a cos(X) jsou totožné a jejich funkční grafy jsou stejné.

Graf funkce sin(X + π/2) získáme z grafu funkce sin(X) paralelním posunutím jednotek π/2 doleva. Toto bude graf funkce Y=cos(X).

Graf funkce Y=cos(X) se také nazývá sinusoida.

vlastnosti funkce cos(x).

Zapišme vlastnosti naší funkce:
• Definiční obor je množina reálných čísel.
• Funkce je sudá. Připomeňme si definici dokonce funkce. Funkce je volána, i když platí rovnost y(-x)=y(x). Jak si pamatujeme ze vzorců duchů: cos(-x)=-cos(x), definice je splněna, pak je kosinus sudá funkce.
• Funkce Y=cos(X) klesá na intervalu a roste na intervalu [π; 2π]. Můžeme si to ověřit na grafu naší funkce.
• Funkce Y=cos(X) je omezena zdola i shora. Tato vlastnost pochází ze skutečnosti, že
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Nejmenší hodnota funkce je -1 (pro x = π + 2πk). Nejvyšší hodnota funkce je rovna 1 (pro x = 2πk).
• Funkce Y=cos(X) je kontinuální funkce. Podívejme se na graf a ujistíme se, že naše funkce nemá žádné mezery, což znamená spojitost.
• Rozsah hodnot je segment [- 1; 1]. To je dobře patrné i z grafu.
• Funkce Y=cos(X) je periodická funkce. Podívejme se znovu na graf a uvidíme, že funkce nabývá v určitých intervalech stejných hodnot.

Příklady funkcí Cos(x).

1. Řešte rovnici cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Řešení: Sestavme 2 grafy funkce: y=cos(x) a y=(x - 2π) 2 + 1 (viz obrázek).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 je parabola posunutá doprava o 2π a nahoru o 1. Naše grafy se protínají v jednom bodě A (2π; 1), toto je odpověď: x \u003d 2π.

2. Nakreslete funkci Y=cos(X) pro x ≤ 0 a Y=sin(X) pro x ≥ 0

Řešení: Abychom vytvořili požadovaný graf, nakreslete dva grafy funkce po částech. První řez: y=cos(x) pro x ≤ 0. Druhý řez: y=sin(x)
pro x ≥ 0. Znázorněme oba "kusy" na jednom grafu.

3. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce Y=cos(X) na intervalu [π; 7π/4]

Řešení: Sestavme graf funkce a uvažujme náš segment [π; 7π/4]. Graf ukazuje, že největší a nejmenší hodnoty jsou dosaženy na koncích segmentu: v bodech π a 7π/4.
Odpověď: cos(π) = -1 je nejmenší hodnota, cos(7π/4) = největší hodnota.

4. Nakreslete funkci y=cos(π/3 - x) + 1

Řešení: cos(-x)= cos(x), pak požadovaný graf získáme posunutím grafu funkce y=cos(x) π/3 jednotek doprava a o 1 jednotku nahoru.

Úkoly pro samostatné řešení

1) Vyřešte rovnici: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Řešte rovnici: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Nakreslete funkci y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Nakreslete funkci y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce y=cos(x) na segmentu .
6) Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce y=cos(x) na intervalu [- π/6; 5π/4].

"Grafy funkcí a jejich vlastnosti" - y = ctg x. 4) Omezená funkce. 3) lichá funkce. (Graf funkce je symetrický podle počátku). y = tgx. 7) Funkce je spojitá na libovolném intervalu tvaru (?k;? +?k). Funkce y = tg x je spojitá na libovolném intervalu tvaru. 4) Funkce klesá na libovolném intervalu tvaru (?k;? +?k). Graf funkce y \u003d tg x se nazývá tangentoid.

"Graf funkce Y X" - šablona Parabola y \u003d x2. Kliknutím zobrazíte grafy. Příklad 2. Sestavme graf funkce y = x2 + 1 na základě grafu funkce y=x2 (kliknutí myší). Příklad 3. Dokažme, že graf funkce y \u003d x2 + 6x + 8 je parabola, a sestavme graf. Grafem funkce y=(x - m)2 je parabola s vrcholem v bodě (m; 0).

"Matematika grafiky" - Jak můžete vytvářet grafy? Nejpřirozenější funkční závislosti jsou reflektovány pomocí grafů. Zajímavá aplikace: kresby, ... Proč studujeme grafy? Grafy elementární funkce. Co můžete kreslit pomocí grafů? Uvažujeme o použití grafů v akademické předměty: matematika, fyzika, ...

"Grafování s derivátem" - zobecnění. Sestrojte náčrt grafu funkce. Najděte asymptoty grafu funkce. Graf derivace funkce. Další úkol. Prozkoumejte funkci. Pojmenujte intervaly klesající funkce. Samostatná práce studentů. Rozšiřte znalosti. Lekce k upevnění probrané látky. Ohodnoťte své dovednosti. Maximální počet bodů funkce.

"Grafy s modulem" - Zobrazení "spodní" části v horní polorovině. Modul reálného čísla. Vlastnosti funkce y = |x|. |x|. Čísla. Algoritmus pro sestavení grafu funkce. Stavební algoritmus. Funkce y=lхl. Vlastnosti. Samostatná práce. Nuly funkce. Skvělá rada. Řešení pro kutily.

"Tangenciální rovnice" - Tangentní rovnice. Normální rovnice. Pokud, pak se křivky protínají v pravém úhlu. Podmínky rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek. Úhel mezi grafy funkcí. Rovnice tečny ke grafu funkce v bodě. Nechť je funkce diferencovatelná v bodě. Nechť jsou přímky dány rovnicemi a.

V tématu je celkem 25 prezentací