, Soutěž "Prezentace k lekci"

Prezentace na lekci

Zpět dopředu

Pozornost! Náhled snímku slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat celý rozsah prezentace. Jestli máte zájem tato práce stáhněte si prosím plnou verzi.

Železo rezaví, nenachází pro sebe využití,
stojatá voda hnije nebo zamrzá v chladu,
a lidská mysl, která pro sebe nenachází využití, chřadne.
Leonardo da Vinci

Použité technologie: problémové učení, kritické myšlení, komunikativní komunikace.

cíle:

• Rozvoj kognitivního zájmu o učení.
• Studium vlastností funkce y \u003d sin x.
• Vytvoření praktických dovedností pro sestavení grafu funkce y \u003d sin x na základě studovaného teoretického materiálu.

úkoly:

1. Využijte stávající potenciál znalostí o vlastnostech funkce y \u003d sin x v konkrétních situacích.

2. Aplikujte vědomé vytváření vazeb mezi analytickým a geometrickým modelem funkce y \u003d sin x.

Rozvíjet iniciativu, určitou připravenost a zájem hledat řešení; schopnost rozhodovat se, nezastavovat se u toho, obhajovat svůj názor.

Vychovávat žáky v kognitivní činnosti, smyslu pro zodpovědnost, respekt k sobě navzájem, vzájemné porozumění, vzájemnou podporu, sebedůvěru; kultura komunikace.

Během vyučování

Fáze 1. Aktualizace základních znalostí, motivace k učení nové látky

"Vstup do lekce"

Na tabuli jsou napsána 3 prohlášení:

1. Goniometrická rovnice sin t = a má vždy řešení.
2. Lichá funkce může být vykreslena pomocí symetrické transformace kolem osy y.
3. Plán goniometrická funkce lze postavit pomocí jedné hlavní půlvlny.

Studenti diskutují ve dvojicích: Jsou tvrzení pravdivá? (1 minuta). Výsledky úvodní diskuse (ano, ne) se pak zapisují do tabulky ve sloupci „Před“.

Učitel stanoví cíle a cíle lekce.

2. Aktualizace znalostí (frontálně na modelu trigonometrické kružnice).

S funkcí s = sin t jsme se již setkali.

1) Jaké hodnoty může nabývat proměnná t. Jaký je rozsah této funkce?

2) V jakém intervalu jsou hodnoty výrazu sin t. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce s = sin t.

3) Řešte rovnici sin t = 0.

4) Co se stane s pořadnicí bodu, když se pohybuje po první čtvrtině? (souřadnice se zvětšuje). Co se stane s pořadnicí bodu, když se pohybuje ve druhé čtvrtině? (ordináta postupně klesá). Jak to souvisí s monotónností funkce? (funkce s = sin t na segmentu roste a na segmentu klesá ).

5) Zapišme funkci s = sin t v obvyklém tvaru pro nás y = sin x (budeme stavět v obvyklém souřadném systému xOy) a sestavíme tabulku hodnot pro tuto funkci.

X	0
na	0			1			0

Fáze 2. Vnímání, porozumění, primární upevnění, mimovolní zapamatování

Fáze 4. Primární systematizace znalostí a metod činnosti, jejich přenos a aplikace v nových situacích

6. Ne. 10.18 (b, c)

Fáze 5 Závěrečná kontrola, oprava, hodnocení a sebehodnocení

7. Vrátíme se k výrokům (začátek lekce), diskutujeme pomocí vlastností goniometrické funkce y \u003d sin x a vyplníme sloupec "Po" v tabulce.

8. D/z: položka 10, č. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

V této lekci podrobně zvážíme funkci y \u003d sin x, její hlavní vlastnosti a graf. Na začátku lekce uvedeme definici goniometrické funkce y \u003d sin t na kružnici souřadnic a zvážíme graf funkce na kružnici a přímce. Ukažme si na grafu periodicitu této funkce a uvažujme hlavní vlastnosti funkce. Na konci lekce vyřešíme některé jednoduché úlohy pomocí grafu funkce a jejích vlastností.

Téma: Goniometrické funkce

Lekce: Funkce y=sinx, její hlavní vlastnosti a graf

Při zvažování funkce je důležité přiřadit jednu hodnotu funkce ke každé hodnotě argumentu. Tento právo korespondence a nazývá se funkce.

Definujme korespondenční zákon pro .

Každému reálnému číslu odpovídá jeden bod na jednotkové kružnici, který má jednu pořadnici, která se nazývá sinus čísla (obr. 1).

Každé hodnotě argumentu je přiřazena jedna funkční hodnota.

Z definice sinusu vyplývají zřejmé vlastnosti.

Obrázek to ukazuje protože je ordináta bodu na jednotkové kružnici.

Zvažte graf funkce. Připomeňme si geometrický výklad argumentu. Argumentem je středový úhel měřený v radiánech. Na osu vyneseme reálná čísla nebo úhly v radiánech, podél osy odpovídající funkční hodnoty.

Například úhel na jednotkové kružnici odpovídá bodu na grafu (obr. 2)

Graf funkce jsme získali na webu, ale při znalosti periody sinu můžeme graf funkce zobrazit na celém definičním oboru (obr. 3).

Hlavní perioda funkce je To znamená, že graf lze získat na segmentu a poté pokračovat do celé oblasti definice.

Zvažte vlastnosti funkce:

1) Definiční doména:

2) Rozsah hodnot:

3) Funkce lichá:

4) Nejmenší kladné období:

5) Souřadnice průsečíků grafu s osou x:

6) Souřadnice průsečíku grafu s osou y:

7) Intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot:

8) Intervaly, ve kterých funkce nabývá záporných hodnot:

9) Prodlužování intervalů:

10) Sestupné intervaly:

11) Nízké body:

12) Minimální vlastnosti:

13) Nejlepší body:

14) Maximální vlastnosti:

Uvažovali jsme o vlastnostech funkce a jejím grafu. Vlastnosti budou opakovaně využívány při řešení problémů.

Bibliografie

1. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Učebnice pro vzdělávací instituce ( úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Sešit úkolů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro třídu 10 ( tutorial pro studenty škol a tříd s prohloubeným studiem matematiky).-M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hluboké učení algebra a matematická analýza.-M.: Education, 1997.

5. Sborník úloh z matematiky pro uchazeče o studium na technických univerzitách (pod redakcí M.I.Skanavi).-M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický trenér.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úkoly z algebry a počátky analýzy (příručka pro studenty 10.-11. ročníku všeobecně vzdělávacích institucí).-M .: Education, 2003.

8. Karp A.P. Sbírka úloh z algebry a počátky analýzy: učebnice. příspěvek na 10-11 buněk. s hlubokým studie matematika.-M.: Vzdělávání, 2006.

Domácí práce

Algebra a počátky analýzy, 10. ročník (ve dvou částech). Sešit úkolů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Další webové zdroje

3. Vzdělávací portál připravit se na zkoušky ().

Zjistili jsme, že chování goniometrických funkcí a funkcí y = hřích x zejména, na celé číselné řadě (nebo pro všechny hodnoty argumentu X) je zcela určeno svým chováním v intervalu 0 < X < π / 2 .

Nejprve si proto funkci vykreslíme y = hřích x přesně v tomto intervalu.

Udělejme následující tabulku hodnot naší funkce;

Označením odpovídajících bodů na souřadnicové rovině a jejich spojením hladkou čarou získáme křivku znázorněnou na obrázku

Výslednou křivku lze také sestrojit geometricky bez sestavování tabulky funkčních hodnot y = hřích x .

1. První čtvrtina kružnice o poloměru 1 je rozdělena na 8 stejných částí.Pořadnice bodů dělení kružnice jsou sinusy příslušných úhlů.

2. První čtvrtina kruhu odpovídá úhlům od 0 do π / 2 . Proto na ose X Vezměte část a rozdělte ji na 8 stejných částí.

3.Nakreslete rovné čáry rovnoběžné s osou X, a z dělicích bodů obnovíme kolmice na průsečík s vodorovnými čarami.

4. Spojte průsečíky hladkou čarou.

Nyní se podíváme na interval π / 2 < X < π .
Hodnota každého argumentu X z tohoto intervalu lze reprezentovat jako

X = π / 2 + φ

Kde 0 < φ < π / 2 . Podle redukčních vzorců

hřích( π / 2 + φ ) = cos φ = hřích ( π / 2 - φ ).

Osové body X s úsečkou π / 2 + φ A π / 2 - φ vzájemně symetrické kolem bodu osy X s úsečkou π / 2 a sinusy v těchto bodech jsou stejné. To vám umožní získat graf funkce y = hřích x v intervalu [ π / 2 , π ] pouhým symetrickým zobrazením grafu této funkce v intervalu vzhledem k přímce X = π / 2 .

Nyní využívá nemovitost lichá funkce y \u003d hřích x,

hřích(- X) = -hřích X,

je snadné vykreslit tuto funkci v intervalu [- π , 0].

Funkce y \u003d sin x je periodická s periodou 2π ;. K sestavení celého grafu této funkce tedy stačí periodicky pokračovat v křivce zobrazené na obrázku doleva a doprava s tečkou 2π .

Výsledná křivka se nazývá sinusoida . Je to graf funkce y = hřích x.

Obrázek dobře ilustruje všechny tyto vlastnosti funkce y = hřích x , které byly dříve námi prověřeny. Připomeňte si tyto vlastnosti.

1) Funkce y = hřích x definované pro všechny hodnoty X , takže jeho definičním oborem je množina všech reálných čísel.

2) Funkce y = hřích x omezený. Všechny hodnoty jsou mezi -1 a 1, včetně těchto dvou čísel. Proto je rozsah této funkce určen nerovností -1 < na < 1. Kdy X = π / 2 + 2 tis π funkce zabírá nejvyšší hodnoty, rovno 1 a v x = - π / 2 + 2 tis π - nejmenší hodnoty, rovno - 1.

3) Funkce y = hřích x je lichá (sinusoida je symetrická vzhledem k počátku).

4) Funkce y = hřích x periodický s obdobím 2 π .

5) V intervalech 2n π < X < π + 2n π (n je libovolné celé číslo) je kladné a v intervalech π + 2 tis π < X < 2π + 2 tis π (k je libovolné celé číslo) je záporné. Pro x = k π funkce přejde na nulu. Proto tyto hodnoty argumentu x (0; ± π ; ±2 π ; ...) se nazývají nuly funkce y = sinx

6) V intervalech - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkce y = hřích X roste monotónně a v intervalech π / 2 + 2 tis π < X < 3π / 2 + 2 tis π monotónně klesá.

Věnujte zvláštní pozornost chování funkce y = sinx blízko bodu X = 0 .

Například sin 0,012 ≈ 0,012; hřích (-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = hřích π 2 / 180 = hřích π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Je však třeba poznamenat, že pro jakékoli hodnoty x

| hřích X| < | x | . (1)

Ve skutečnosti nechť je poloměr kruhu znázorněného na obrázku roven 1,
A / AOB = X.

Pak hřích X= AC. Ale AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Délka tohoto oblouku je samozřejmě rovna X, protože poloměr kruhu je 1. Takže pro 0< X < π / 2

hřích x< х.

Proto kvůli zvláštnosti funkce y = sinx je snadné ukázat, že když - π / 2 < X < 0

| hřích X| < | x | .

Nakonec v X = 0

| hřích x | = | x |.

Tedy pro | X | < π / 2 nerovnost (1) je prokázána. Ve skutečnosti tato nerovnost platí také pro | X | > π / 2 vzhledem k tomu, že | | hřích X | < 1, a π / 2 > 1

Cvičení

1.Podle rozvrhu funkcí y = sinx určit: a) hřích 2; b) hřích 4; c) hřích (-3).

2.Funkce rozvrhu y = sinx určit, které číslo z intervalu
[ - π / 2 , π / 2 ] má sinus rovný: a) 0,6; b) -0,8.

3. Plánovaná funkce y = sinx určit, která čísla mají sinus,
rovná 1/2.

4. Najděte přibližně (bez použití tabulek): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) hřích (-0,015); d) hřích (-2°30").

V této lekci podrobně zvážíme funkci y \u003d sin x, její hlavní vlastnosti a graf. Na začátku lekce uvedeme definici goniometrické funkce y \u003d sin t na kružnici souřadnic a zvážíme graf funkce na kružnici a přímce. Ukažme si na grafu periodicitu této funkce a uvažujme hlavní vlastnosti funkce. Na konci lekce vyřešíme některé jednoduché úlohy pomocí grafu funkce a jejích vlastností.

Téma: Goniometrické funkce

Lekce: Funkce y=sinx, její hlavní vlastnosti a graf

Při zvažování funkce je důležité přiřadit jednu hodnotu funkce ke každé hodnotě argumentu. Tento právo korespondence a nazývá se funkce.

Definujme korespondenční zákon pro .

Každému reálnému číslu odpovídá jeden bod na jednotkové kružnici, který má jednu pořadnici, která se nazývá sinus čísla (obr. 1).

Každé hodnotě argumentu je přiřazena jedna funkční hodnota.

Z definice sinusu vyplývají zřejmé vlastnosti.

Obrázek to ukazuje protože je ordináta bodu na jednotkové kružnici.

Zvažte graf funkce. Připomeňme si geometrický výklad argumentu. Argumentem je středový úhel měřený v radiánech. Na osu vyneseme reálná čísla nebo úhly v radiánech, podél osy odpovídající funkční hodnoty.

Například úhel na jednotkové kružnici odpovídá bodu na grafu (obr. 2)

Graf funkce jsme získali na webu, ale při znalosti periody sinu můžeme graf funkce zobrazit na celém definičním oboru (obr. 3).

Hlavní perioda funkce je To znamená, že graf lze získat na segmentu a poté pokračovat do celé oblasti definice.

Zvažte vlastnosti funkce:

1) Definiční doména:

2) Rozsah hodnot:

3) Funkce lichá:

4) Nejmenší kladné období:

5) Souřadnice průsečíků grafu s osou x:

6) Souřadnice průsečíku grafu s osou y:

7) Intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot:

8) Intervaly, ve kterých funkce nabývá záporných hodnot:

9) Prodlužování intervalů:

10) Sestupné intervaly:

11) Nízké body:

12) Minimální vlastnosti:

13) Nejlepší body:

14) Maximální vlastnosti:

Uvažovali jsme o vlastnostech funkce a jejím grafu. Vlastnosti budou opakovaně využívány při řešení problémů.

Bibliografie

1. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Učebnice pro vzdělávací instituce (profilová úroveň), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Sešit úkolů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro 10. ročník (učebnice pro studenty škol a tříd s hloubkovým studiem matematiky) - M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium algebry a matematické analýzy.-M .: Education, 1997.

5. Sborník úloh z matematiky pro uchazeče o studium na technických univerzitách (pod redakcí M.I.Skanavi).-M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický trenér.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úkoly z algebry a počátky analýzy (příručka pro studenty 10.-11. ročníku všeobecně vzdělávacích institucí).-M .: Education, 2003.

8. Karp A.P. Sbírka úloh z algebry a počátky analýzy: učebnice. příspěvek na 10-11 buněk. s hlubokým studie matematika.-M.: Vzdělávání, 2006.

Domácí práce

Algebra a počátky analýzy, 10. ročník (ve dvou částech). Sešit úkolů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Další webové zdroje

3. Vzdělávací portál pro přípravu na zkoušky ().

|BD|- délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.

sinus ( sinα) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a nohou pravoúhlý trojuhelník, rovný poměru délka protější nohy |BC| na délku přepony |AC|.
kosinus ( cosα) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku přepony |AC|.

Přijatá označení

;
;
.

;
;
.

Graf funkce sinus, y = sin x

Graf funkce kosinus, y = cos x

Vlastnosti sinu a kosinu

Periodicita

Funkce y= hřích x a y= cos x periodický s tečkou 2 pí.

Parita

Funkce sinus je lichá. Funkce kosinus je sudá.

Oblast definice a hodnot, extrémy, nárůst, pokles

Funkce sinus a kosinus jsou spojité na svém definičním oboru, tedy pro všechna x (viz důkaz spojitosti). Jejich hlavní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce (n - celé číslo).

	y= hřích x	y= cos x
Rozsah a kontinuita	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnot	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Vzestupně
Klesající
Maximum, y= 1
Minimum, y = - 1
Nuly, y= 0
Průsečíky s osou y, x = 0	y= 0	y= 1

Základní vzorce

Součet druhých mocnin sinus a kosinus

Sinusové a kosinové vzorce pro součet a rozdíl

;
;

Vzorce pro součin sinů a kosinus

Součtové a rozdílové vzorce

Vyjádření sinu přes kosinus

;
;
;
.

Vyjádření kosinu přes sinus

;
;
;
.

Vyjádření z hlediska tečny

; .

Pro , máme:
; .

Na :
; .

Tabulka sinů a kosinů, tečen a kotangens

Tato tabulka ukazuje hodnoty sinů a kosinus pro některé hodnoty argumentu.

Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných

;

Eulerův vzorec

Výrazy z hlediska hyperbolických funkcí

;
;

Deriváty

; . Odvození vzorců >> >

Deriváty n-tého řádu:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzní funkce

Inverzní funkce k sinus a kosinus jsou arkussinus a arkkosinus, příslušně.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol, Lan, 2009.

Viz také: