Najděte distribuční funkci F(x). Matematické očekávání spojité náhodné veličiny. Příklad řešení Náhodná veličina má distribuční hustotu tvaru

matematické očekávání oddělený náhodná proměnná volal:

V případě nekonečné množiny hodnot je řada na pravé straně (4.4) a budeme uvažovat pouze ty hodnoty X, pro které tato řada absolutně konverguje.

M(X) je průměrná očekávaná hodnota náhodné veličiny. Má následující vlastnosti:

1) M(C)=C, kde C=konst

2) M(CX)=CM(X) (4,5)

3) M(X+Y)=M(X)+M(Y), pro libovolné X a Y.

4) M(XY)=M(X)M(Y), pokud jsou X a Y nezávislé.

Odhadnout stupeň rozptylu hodnot náhodné veličiny kolem její střední hodnoty M(X)= A jsou představeny pojmy disperzeD(X) a střední kvadratická (standardní) odchylka. disperze volal očekávaná hodnotačtvercový rozdíl (X- ), těch. :

D(X)=M(X-)2 = pi,

Kde =M(X); definováno jako Odmocnina z disperze, tzn. .

Pro výpočet rozptylu použijte vzorec:

(4.6)

Vlastnosti rozptylu a směrodatné odchylky:

1) D(C)=0, kde C=konst

2) D(CX)=C2D(X), (CX)= çCç(X) (4,7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

jestliže X a Y jsou nezávislé.

Dimenze veličin a shoduje se s dimenzí samotné náhodné veličiny X a dimenze D(X) se rovná druhé mocnině dimenze náhodné veličiny X.

4.3. Matematické operace s náhodnými veličinami.

Nechť náhodná veličina X nabývá hodnot s pravděpodobnostmi a náhodná veličina Y nabývá hodnot s pravděpodobnostmi hodnoty náhodné veličiny X. Její distribuční zákon má tedy formu tabulky 4.2:

Tabulka 4.2

			...
			...

Náměstí náhodná veličina X, tzn. , je nová náhodná proměnná, která se stejnou pravděpodobností jako náhodná proměnná X nabývá hodnot rovných čtvercům svých hodnot.

Součet náhodné veličiny X a Y je nová náhodná veličina, která nabývá všech hodnot tvaru s pravděpodobnostmi vyjadřujícími pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá hodnoty a Y - hodnota, tzn.

(4.8)

Pokud jsou náhodné proměnné X a Y nezávislé, pak:

Rozdíl a součin náhodných veličin X a Y jsou definovány podobně.

Rozdíl náhodné proměnné X a Y je nová náhodná proměnná, která nabývá všech hodnot tvaru a práce- všechny hodnoty tvaru s pravděpodobnostmi určenými vzorcem (4.8), a pokud jsou náhodné proměnné X a Y nezávislé, pak vzorcem (4.9).

4.4. Bernoulliho a Poissonova distribuce.

Uvažujme posloupnost n identických opakovaných testů, které splňují následující podmínky:

1. Každá zkouška má dva výsledky, nazývané úspěch a neúspěch.

Tyto dva výsledky jsou vzájemně neslučitelné a opačné události.

2. Pravděpodobnost úspěchu, označovaná jako p, zůstává od pokusu k pokusu konstantní. Pravděpodobnost selhání je označena q.

3. Všech n pokusů je nezávislých. To znamená, že pravděpodobnost výskytu události v některém z n opakovaných pokusů nezávisí na výsledcích jiných pokusů.

Pravděpodobnost, že v n nezávislých opakovaných pokusech, z nichž každá je pravděpodobnost výskytu události rovna , událost nastane přesně mkrát (v libovolném pořadí), je rovna

(4.10)

Výraz (4.10) se nazývá Bernoulliho formule.

Pravděpodobnost, že k události dojde:

a) méně než mkrát,

b) více než mkrát,

c) alespoň mkrát,

d) ne více než mkrát - jsou nalezeny podle vzorců:

Binomický je zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X - počet výskytů události v n nezávislých pokusech, z nichž v každém je pravděpodobnost výskytu události rovna p; pravděpodobnosti možných hodnot X = 0,1,2,..., m,...,n jsou vypočteny pomocí Bernoulliho vzorce (tabulka 4.3).

Tabulka 4.3

Počet úspěchů X=m				...	m	...	n
Pravděpodobnost P				...		...

Protože pravá strana vzorce (4.10) představuje obecný člen binomického rozvoje, nazývá se tento distribuční zákon binomický. Pro náhodnou veličinu X, rozdělenou podle binomického zákona, máme.

Definice 13.1. Náhodná veličina X se nazývá oddělený, pokud má konečný nebo spočetný počet hodnot.

Definice 13.2. Zákon rozdělení náhodné veličiny X je množina dvojic čísel ( , ), kde jsou možné hodnoty náhodné veličiny a jsou pravděpodobnosti, se kterými náhodná veličina tyto hodnoty nabývá, tzn. =P( X= ) a =1.

Nejjednodušší formou zadání diskrétní náhodné veličiny je tabulka, která uvádí možné hodnoty náhodné veličiny a jejich odpovídající pravděpodobnosti. Taková tabulka se nazývá blízko distribuce diskrétní náhodná veličina.

X			…		…
R			…		…

Distribuční řadu lze znázornit graficky. V tomto případě je úsečka vynesena na svislé ose a pravděpodobnost je vynesena na souřadnici. Body se souřadnicemi ( , ) jsou spojeny segmenty a získávají tzv. přerušovanou čáru distribuční polygon, což je jedna z forem upřesnění zákona rozdělení diskrétní náhodné veličiny.

Příklad 13.3. Sestrojte distribuční polygon náhodné veličiny X s distribuční řadou

X
R	0,1	0,3	0,2	0,4

Definice 13.4.Říkáme, že diskrétní náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry ( n,p), pokud může nabývat nezáporných celočíselných hodnot k {1,2,…,n) s pravděpodobnostmi Р( X=x)= .

Distribuční řada má tvar:

X			…	k	…	n
R			…		…

Součet pravděpodobností = =1.

Definice 13.5.Říká se, že diskrétní forma náhodné veličiny X Má to Poissonovo rozdělení s parametrem (>0), pokud nabývá celočíselné hodnoty k(0,1,2,…) s pravděpodobnostmi Р( X = k)= .

Distribuční řada má podobu

X			…	k	…
R			…		…

Protože expanze v Maclaurinově řadě má následující tvar, pak součet pravděpodobností = = =1.

Označit podle X počet pokusů, které mají být dokončeny před prvním výskytem události A v nezávislých pokusech, pokud je pravděpodobnost výskytu A v každém z nich rovna p (0<p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X jsou přirozená čísla.

Definice 13.6.Říká se, že náhodná veličina X Má to geometrické rozložení s parametrem p (0<p <1), если она принимает натуральные значения k N s pravděpodobnostmi Р(Х=k)= , kde . Distribuční rozsah:

X				…	n	…
R				…		…

Součet pravděpodobností = = =1.

Příklad 13.7. Mince se hodí 2x. Sestavte distribuční řadu náhodné veličiny X počtu výskytů „erbu“.

P2(0)= =; P2(1)===0,5; P2(2) = =.

X
R

Distribuční série bude mít podobu:

Příklad 13.8. Z pistole se střílí až do prvního zásahu do cíle. Pravděpodobnost zásahu jednou ranou je 0,6. zasáhne při 3. výstřelu.

Protože p=0,6, q=0,4, k=3, pak P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Numerické charakteristiky diskrétních náhodných veličin

Distribuční zákon zcela charakterizuje náhodnou veličinu, ale často je neznámá, takže se musíte omezit na méně informací. Někdy je ještě výhodnější použít čísla (parametry), které popisují náhodnou veličinu celkem. Jmenují se číselné charakteristiky náhodná proměnná. Patří mezi ně: matematické očekávání, rozptyl atd.

Definice 14.1. matematické očekávání Diskrétní náhodná veličina se nazývá součet součinů všech jejích možných hodnot a jejich pravděpodobností. Označte matematické očekávání náhodné veličiny X přes M X=M( X)=E X.

Pokud náhodná veličina X má konečný počet hodnot, pak M X= .

Pokud náhodná veličina X má spočítatelný počet hodnot, pak M X= ,

a matematické očekávání existuje, pokud řada konverguje absolutně.

Poznámka 14.2. Matematické očekávání je určité číslo přibližně rovné určité hodnotě náhodné veličiny.

Příklad 14.3. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny X, zná jeho distribuční řadu

X
R	0,1	0,6	0,3

M X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Příklad 14.4. Najděte matematické očekávání počtu výskytů události A v jednom pokusu, je-li pravděpodobnost události A je rovný p.

Náhodná hodnota X- počet výskytů události A v jednom testu. Může nabývat hodnot = 1 ( A stalo) s pravděpodobností p a =0 s pravděpodobností , tj. distribuční série

MS=C*l=C.

Poznámka 14.6. Součin konstantní hodnoty C diskrétní náhodnou veličinou X Definováno jako diskrétní náhodná veličina C X, jehož možné hodnoty se rovnají součinům konstanty С a možných hodnot X, pravděpodobnosti těchto hodnot С X se rovnají pravděpodobnostem odpovídajících možných hodnot X.

Nemovitost 14.7. Konstantní faktor lze vyjmout ze znamení očekávání:

SLEČNA X)=C∙M X.

Pokud náhodná veličina X má distribuční číslo

X			…		…
R			…		…

Náhodné proměnné distribuční řady

SH			…		…
R			…		…

SLEČNA X)= = = С∙М( X).

Definice 14.8. Volají se náhodné proměnné , ,… nezávislý, pokud pro , i=1,2,…,n

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

Pokud jako = , i=1,2,…,n, pak získáme z (1)

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

pro společnou distribuční funkci náhodných veličin , ,…, , kterou lze také brát jako definici nezávislosti náhodné veličiny.

Nemovitost 14.9. Matematické očekávání součinu 2 nezávislý náhodné proměnné se rovná součinu jejich matematických očekávání:

M( XY)=M X∙M Na.

Nemovitost 14.10. Matematické očekávání součtu 2 náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání:

M( X+Y)=M X+M Na.

Poznámka 14.11. Vlastnosti 14.9 a 14.10 lze zobecnit na případ několika náhodných veličin.

Příklad 14.12. Najděte matematické očekávání součtu počtu bodů, které mohou vypadnout při hodu 2 kostkami.

Nechat X počet bodů hodených na první kostce, Na počet bodů hodených na druhé kostce. Mají stejnou distribuční řadu:

X
R

Poté M X=M Na= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.

Věta 14.13. Matematické očekávání počtu výskytů události A PROTI n nezávislých pokusů se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu události v každém pokusu: M X=np.

Nechat X– počet výskytů události A PROTI n nezávislé testy. – počet výskytů události A PROTI i- ten test, i=1,2,…,n. Potom = + +…+ . Podle vlastností matematického očekávání M X= . Z příkladu 14,4M X i=p,i=1,2,…,n, proto M X= =np.

Definice 14.14.disperze náhodná veličina se nazývá číslo D X=M( X-M X) 2 .

Definice 14.15.Standardní odchylka náhodná proměnná X volané číslo =.

Poznámka 14.16. Disperze je míra šíření hodnot náhodné proměnné kolem jejího matematického očekávání. Je vždy nezáporná. Pro výpočet rozptylu je vhodnější použít jiný vzorec:

D X=M( X-M X) 2 = M( X 2 - 2X∙ M X+ (M X) 2) = M( X 2) – 2M( X∙ M X) + M(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ M X+(M X) 2 = M( X 2) - (M X) 2 .

Odtud D X=M( X 2) - (M X) 2 .

Příklad 14.17. Najděte rozptyl náhodné veličiny X, daný řadou distribucí

X
P	0,1	0,6	0,3

M X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Vlastnosti disperze

Nemovitost 14.18. Disperze konstantní hodnoty je 0:

DC = M(C-MC)2 = M(C-C)2=0.

Nemovitost 14.19. Konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho umocněním

DC X) = C2D X.

D(CX)=M(C-CM X) 2 \u003d M (C (X-M X) 2) = C2M( X-M X)2 = C2D X.

Nemovitost 14.20. Rozptyl součtu 2 nezávislý náhodné proměnné se rovná součtu rozptylů těchto proměnných

D( X+Y)=D X+D Y.

D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M X+ M Y) 2 = =M( X) 2 + 2M X M Y+M( Y 2)-(M( X) 2 + 2M X M Y+M( Y) 2) = M( X 2)-(M X) 2 + M( Y 2)-(M Y) 2 = D X+D Y.

Závěr 14.21. Rozptyl součtu několika nezávislý náhodné veličiny se rovná součtu jejich rozptylů.

Věta 14.22. Rozptyl počtu výskytů události A PROTI n nezávislé testy, v každém z nich pravděpodobnost p) 2 =). Proto D +2,

Cvičení 1. Distribuční hustota spojité náhodné veličiny X má tvar:
Nalézt:
a) parametr A ;
b) distribuční funkce F(x) ;
c) pravděpodobnost zásahu náhodné proměnné X v intervalu;
d) matematické očekávání MX a rozptyl DX .
Nakreslete funkce f(x) a F(x) .

Úkol 2. Najděte rozptyl náhodné veličiny X dané integrální funkcí.

Úkol 3. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny X dané distribuční funkcí.

Úkol 4. Hustota pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny je dána následovně: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Najděte koeficient A , distribuční funkci F(x) , matematické očekávání a rozptyl a také pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnoty v intervalu . Vykreslete grafy f(x) a F(x).

Úkol. Distribuční funkce nějaké spojité náhodné veličiny je dána takto:

Určete parametry aab , najděte výraz pro hustotu pravděpodobnosti f(x) , matematické očekávání a rozptyl a také pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnoty v intervalu . Vykreslete grafy f(x) a F(x).

Nalezněme distribuční funkci hustoty jako derivaci distribuční funkce.
F'=f(x)=a
S vědomím, že najdeme parametr a:

nebo 3a=1, odkud a = 1/3
Parametr b zjistíme z následujících vlastností:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, odkud b = -1/3
Distribuční funkce je tedy: F(x) = (x-1)/3

Očekávaná hodnota.

Disperze.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Najděte pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabývá hodnoty v intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Příklad #1. Je dána hustota rozdělení pravděpodobnosti f(x) spojité náhodné veličiny X. Požadované:

Určete koeficient A .
najděte distribuční funkci F(x) .
schematicky vykreslete F(x) a f(x) .
najít matematické očekávání a rozptyl X .
najděte pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty z intervalu (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Řešení:

Náhodná veličina X je dána hustotou rozdělení f(x):

Najděte parametr A z podmínky:

nebo
14/3*A-1=0
Kde,
A = 3/14

Distribuční funkci lze nalézt podle vzorce.

NÁHODNÉ HODNOTY

Příklad 2.1. Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí

Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude nabývat hodnot mezi (2,5; 3,6).

Řešení: X v intervalu (2.5; 3.6) lze určit dvěma způsoby:

Příklad 2.2. Při jakých hodnotách parametrů A A V funkce F(X) = A + Be - x může být distribuční funkcí pro nezáporné hodnoty náhodné proměnné X.

Řešení: Protože všechny možné hodnoty náhodné proměnné X patří do intervalu , pak aby funkce byla distribuční funkcí pro X, nemovitost by měla obsahovat:

Odpovědět: .

Příklad 2.3. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí

Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek čtyř nezávislých pokusů bude hodnota X přesně 3 krát nabude hodnotu patřící do intervalu (0,25; 0,75).

Řešení: Pravděpodobnost dosažení hodnoty X v intervalu (0,25; 0,75) najdeme podle vzorce:

Příklad 2.4. Pravděpodobnost, že míč zasáhne koš při jednom hodu je 0,3. Sestavte zákon rozdělení počtu zásahů ve třech hodech.

Řešení: Náhodná hodnota X- počet zásahů do koše při třech hodech - může nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3. Pravděpodobnosti, že X

Příklad 2.5. Dva střelci provedou jeden výstřel na cíl. Pravděpodobnost, že jej zasáhne první střelec, je 0,5, druhý - 0,4. Zapište zákon rozdělení počtu zásahů do cíle.

Řešení: Najděte zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X- počet zásahů do cíle. Nechť je událostí zásah do terče prvním střelcem a - zásah druhým střelcem a - jejich netrefí.

Sestavme zákon rozdělení pravděpodobnosti SV X:

Příklad 2.6. Testují se 3 prvky, které pracují nezávisle na sobě. Doba (v hodinách) bezporuchového provozu prvků má funkce hustoty rozložení: za prvé: F 1 (t) =1-E- 0,1 t, za druhé: F 2 (t) = 1-E- 0,2 t, za třetí: F 3 (t) =1-E- 0,3 t. Najděte pravděpodobnost, že v časovém intervalu od 0 do 5 hodin: selže pouze jeden prvek; pouze dva prvky selžou; všechny tři prvky selžou.

Řešení: Použijme definici generující funkce pravděpodobností:

Pravděpodobnost, že v nezávislých pokusech, v prvním z nich pravděpodobnost výskytu události A rovná se , ve druhém atd., událost A se objeví právě jednou, je roven koeficientu at v expanzi generující funkce v mocninách . Najděte pravděpodobnost selhání, respektive neporušení prvního, druhého a třetího prvku v časovém intervalu od 0 do 5 hodin:

Vytvořme generující funkci:

Koeficient at je roven pravděpodobnosti, že událost A se objeví přesně třikrát, tedy pravděpodobnost selhání všech tří prvků; koeficient at se rovná pravděpodobnosti, že selžou právě dva prvky; koeficient at je roven pravděpodobnosti, že selže pouze jeden prvek.

Příklad 2.7. Je dána hustota pravděpodobnosti F(X) náhodná proměnná X:

Najděte distribuční funkci F(x).

Řešení: Použijeme vzorec:

Distribuční funkce má tedy tvar:

Příklad 2.8. Zařízení se skládá ze tří nezávisle ovládacích prvků. Pravděpodobnost selhání každého prvku v jednom experimentu je 0,1. Sestavte zákon rozdělení počtu neúspěšných prvků v jednom experimentu.

Řešení: Náhodná hodnota X- počet prvků, které selhaly v jednom experimentu - může nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle Bernoulliho vzorce:

Dostáváme tedy následující zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X:

Příklad 2.9. V množství 6 dílů jsou 4 standardní díly. Náhodně byly vybrány 3 položky. Sestavte zákon rozdělení počtu normalizovaných dílů mezi vybrané.

Řešení: Náhodná hodnota X- počet normalizovaných dílů mezi vybranými - může nabývat hodnot: 1, 2, 3 a má hypergeometrické rozložení. Pravděpodobnosti, že X

Kde -- počet dílů v šarži;

-- počet standardních dílů v šarži;

– počet vybraných dílů;

-- počet standardních dílů z vybraných.

Příklad 2.10. Náhodná veličina má hustotu distribuce

kde a nejsou známy, ale , a a . Najít a .

Řešení: V tomto případě náhodná veličina X má trojúhelníkové rozdělení (Simpsonovo rozdělení) na intervalu [ a, b]. Číselné charakteristiky X:

Proto, . Řešením tohoto systému dostaneme dvě dvojice hodnot: . Protože podle stavu problému nakonec máme: .

Odpovědět: .

Příklad 2.11. V průměru u 10 % smluv pojišťovna vyplácí pojistné částky v souvislosti se vznikem pojistné události. Vypočítejte matematické očekávání a rozptyl počtu takových smluv mezi čtyřmi náhodně vybranými.

Řešení: Matematické očekávání a rozptyl lze nalézt pomocí vzorců:

Možné hodnoty SV (počet smluv (ze čtyř) se vznikem pojistné události): 0, 1, 2, 3, 4.

Pro výpočet pravděpodobností různého počtu smluv (ze čtyř), za které byly vyplaceny pojistné částky, používáme Bernoulliho vzorec:

Distribuční řada CV (počet smluv se vznikem pojistné události) má tvar:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odpovědět: , .

Příklad 2.12. Z pěti růží jsou dvě bílé. Napište distribuční zákon pro náhodnou veličinu vyjadřující počet bílých růží mezi dvěma odebranými současně.

Řešení: Ve vzorku dvou růží nemusí být buď žádná bílá růže, nebo může být jedna nebo dvě bílé růže. Proto náhodná veličina X může nabývat hodnot: 0, 1, 2. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle vzorce:

Kde -- počet růží;

-- počet bílých růží;

– počet současně odebraných růží;

-- počet bílých růží mezi odebranými.

Pak bude zákon rozdělení náhodné veličiny vypadat takto:

Příklad 2.13. Z 15 sestavených jednotek potřebuje 6 dodatečné mazání. Vypracujte zákon o rozdělení počtu jednotek, které potřebují dodatečné mazání, mezi pět náhodně vybraných z celkového počtu.

Řešení: Náhodná hodnota X- počet jednotek, které potřebují dodatečné mazání mezi pěti vybranými - může nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3, 4, 5 a má hypergeometrické rozložení. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle vzorce:

Kde -- počet sestavených jednotek;

-- počet jednotek vyžadujících dodatečné mazání;

– počet vybraných agregátů;

-- počet jednotek, které potřebují dodatečné mazání mezi vybranými.

Pak bude zákon rozdělení náhodné veličiny vypadat takto:

Příklad 2.14. Z 10 hodinek přijatých k opravě potřebuje 7 celkové vyčištění mechanismu. Hodinky nejsou seřazeny podle typu opravy. Mistr, který chce najít hodinky, které je třeba vyčistit, je jednu po druhé prohlíží, a když takové hodinky najde, zastaví další prohlížení. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu sledovaných hodin.

Řešení: Náhodná hodnota X- počet jednotek, které potřebují dodatečné mazání mezi pěti vybranými - může nabývat následujících hodnot: 1, 2, 3, 4. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle vzorce:

Pak bude zákon rozdělení náhodné veličiny vypadat takto:

Nyní spočítejme číselné charakteristiky veličiny:

Odpovědět: , .

Příklad 2.15.Účastník zapomněl poslední číslici telefonního čísla, které potřebuje, ale pamatuje si, že je lichá. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu vytočení, které provedl, než trefil požadované číslo, pokud náhodně vytočí poslední číslici a v budoucnu nevytočí volanou číslici.

Řešení: Náhodná proměnná může nabývat hodnot: . Protože účastník v budoucnu nevytočí volanou číslici, pravděpodobnosti těchto hodnot jsou stejné.

Sestavme distribuční řadu náhodné veličiny:


	0,2

Vypočítejme matematické očekávání a rozptyl počtu pokusů o vytočení:

Odpovědět: , .

Příklad 2.16. Pravděpodobnost poruchy při zkouškách spolehlivosti je u každého zařízení řady rovna p. Určete matematické očekávání počtu zařízení, která selhala, pokud budou testována N spotřebiče.

Řešení: Diskrétní náhodná proměnná X je počet vadných zařízení v N nezávislé testy, v každém z nich je pravděpodobnost selhání rovna p, rozdělené podle binomického zákona. Matematické očekávání binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti, že událost nastane v jednom pokusu:

Příklad 2.17. Diskrétní náhodná veličina X nabývá 3 možných hodnot: s pravděpodobností ; s pravděpodobností a s pravděpodobností . Najít a vědět, že M( X) = 8.

Řešení: Používáme definice matematického očekávání a zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny:

Shledáváme: .

Příklad 2.18. Oddělení technické kontroly kontroluje standardnost výrobků. Pravděpodobnost, že položka je standardní, je 0,9. Každá várka obsahuje 5 položek. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny X- počet šarží, z nichž každá obsahuje přesně 4 standardní produkty, pokud 50 šarží podléhá ověřování.

Řešení: V tomto případě jsou všechny provedené experimenty nezávislé a pravděpodobnosti, že každá šarže obsahuje přesně 4 standardní produkty, jsou stejné, proto lze matematické očekávání určit podle vzorce:

kde je počet stran;

Pravděpodobnost, že dávka obsahuje přesně 4 standardní položky.

Pravděpodobnost zjistíme pomocí Bernoulliho vzorce:

Odpovědět: .

Příklad 2.19. Najděte rozptyl náhodné veličiny X– počet výskytů události A ve dvou nezávislých studiích, pokud jsou pravděpodobnosti výskytu události v těchto studiích stejné a je známo, že M(X) = 0,9.

Řešení: Problém lze vyřešit dvěma způsoby.

1) Možné hodnoty CB X: 0, 1, 2. Pomocí Bernoulliho vzorce určíme pravděpodobnosti těchto událostí:

, , .

Pak distribuční zákon X vypadá jako:

Z definice matematického očekávání určíme pravděpodobnost:

Pojďme najít rozptyl SW X:

2) Můžete použít vzorec:

Odpovědět: .

Příklad 2.20. Matematické očekávání a směrodatná odchylka normálně rozdělené náhodné veličiny X jsou 20 a 5. Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude mít hodnotu obsaženou v intervalu (15; 25).

Řešení: Pravděpodobnost zásahu normální náhodné veličiny X na úseku od do je vyjádřen pomocí Laplaceovy funkce:

Příklad 2.21. Je dána funkce:

Při jaké hodnotě parametru C tato funkce je hustota distribuce nějaké spojité náhodné veličiny X? Najděte matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny X.

Řešení: Aby funkce byla distribuční hustotou nějaké náhodné proměnné , musí být nezáporná a musí splňovat vlastnost:

Proto:

Vypočítejte matematické očekávání pomocí vzorce:

Vypočítejte rozptyl pomocí vzorce:

T je p. Je nutné najít matematické očekávání a rozptyl této náhodné veličiny.

Řešení: Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X - počet výskytů události v nezávislých pokusech, z nichž každá je pravděpodobnost výskytu události , se nazývá binomický. Matematické očekávání binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu jevu A v jednom pokusu:

Příklad 2.25. Na cíl jsou vypáleny tři nezávislé výstřely. Pravděpodobnost zásahu každého výstřelu je 0,25. Určete směrodatnou odchylku počtu zásahů třemi výstřely.

Řešení: Protože se provádějí tři nezávislé pokusy a pravděpodobnost výskytu události A (zásah) v každém pokusu je stejná, budeme předpokládat, že diskrétní náhodná proměnná X - počet zásahů na cíl - je rozdělena podle binomu zákon.

Rozptyl binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobností výskytu a nedostatků události v jednom pokusu:

Příklad 2.26. Průměrný počet klientů, kteří navštíví pojišťovnu za 10 minut, jsou tři. Najděte pravděpodobnost, že během následujících 5 minut dorazí alespoň jeden zákazník.

Průměrný počet zákazníků přicházejících za 5 minut: . .

Příklad 2.29.Čekací doba na aplikaci ve frontě procesoru se řídí exponenciálním distribučním zákonem s průměrnou hodnotou 20 sekund. Najděte pravděpodobnost, že další (libovolný) požadavek bude čekat na procesor déle než 35 sekund.

Řešení: V tomto příkladu očekávání a míra selhání je .

Potom požadovaná pravděpodobnost je:

Příklad 2.30. Skupina 15 studentů pořádá setkání v sále s 20 řadami po 10 sedadlech. Každý student si náhodně sedne do sálu. Jaká je pravděpodobnost, že na sedmém místě v řadě nebudou více než tři lidé?

Řešení:

Příklad 2.31.

Pak podle klasické definice pravděpodobnosti:

Kde -- počet dílů v šarži;

-- počet nestandardních dílů v šarži;

– počet vybraných dílů;

-- počet nestandardních dílů mezi vybranými.

Pak bude distribuční zákon náhodné veličiny následující.

Příklady řešení úloh na téma "Náhodné veličiny".

Úkol 1 . V loterii je vydáno 100 tiketů. Hrálo se o jednu výhru 50 USD. a deset výher po 10 USD. Najděte zákon rozdělení hodnoty X - náklady na možný zisk.

Řešení. Možné hodnoty X: x 1 = 0; X 2 = 10 a x 3 = 50. Protože je 89 „prázdných“ tiketů, pak p 1 = 0,89, pravděpodobnost výhry je 10 c.u. (10 vstupenek) – str 2 = 0,10 a za výhru 50 c.u. –p 3 = 0,01. Tím pádem:


	0,89	0,10	0,01

Snadné ovládání: .

Úkol 2. Pravděpodobnost, že se kupující s reklamou produktu předem seznámil, je 0,6 (p = 0,6). Selektivní kontrola kvality reklamy je prováděna dotazováním kupujících před prvním, kdo si inzerát předem prostudoval. Vytvořte sérii rozdělení počtu dotazovaných kupujících.

Řešení. Podle podmínky úlohy p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Dosazením těchto hodnot dostaneme: a vytvořte distribuční řadu:


pí		0,24

Úkol 3. Počítač se skládá ze tří nezávisle fungujících prvků: systémové jednotky, monitoru a klávesnice. Při jediném prudkém zvýšení napětí je pravděpodobnost selhání každého prvku 0,1. Na základě Bernoulliho rozdělení sestavte distribuční zákon pro počet poruchových prvků při přepětí v síti.

Řešení. Zvážit Bernoulliho distribuce(nebo binomický): pravděpodobnost, že v n testy, událost A se objeví přesně k jednou: , nebo:


	q n					p n

V vraťme se k úkolu.

Možné hodnoty X (počet selhání):

x 0 = 0 - žádný z prvků selhal;

x 1 =1 - porucha jednoho prvku;

x 2 =2 - porucha dvou prvků;

x 3 =3 - porucha všech prvků.

Protože podle podmínky p = 0,1, pak q = 1 – p = 0,9. Pomocí Bernoulliho vzorce dostaneme

, ,

, .

Ovládání: .

Proto požadovaný distribuční zákon:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Úkol 4. Vyrobeno 5000 nábojů. Pravděpodobnost, že jedna kazeta je vadná . Jaká je pravděpodobnost, že v celé dávce budou právě 3 vadné kazety?

Řešení. Použitelný Poissonovo rozdělení: toto rozdělení se používá k určení pravděpodobnosti, že za předpokladu velmi velké

počet pokusů (hromadných pokusů), v každém z nich je pravděpodobnost události A velmi malá, událost A nastane kkrát: , Kde .

Zde n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Najdeme , pak požadovanou pravděpodobnost: .

Úkol 5. Při výstřelu před prvním zásahem s pravděpodobností zásahu p = 0,6 pro výstřel, musíte najít pravděpodobnost, že k zásahu dojde při třetím výstřelu.

Řešení. Aplikujme geometrické rozdělení: nechť jsou provedeny nezávislé pokusy, z nichž každý má událost A pravděpodobnost výskytu p (a nevyskytnutí q = 1 - p). Zkoušky končí, jakmile nastane událost A.

Za takových podmínek je pravděpodobnost, že událost A nastane v k-tém testu, určena vzorcem: . Zde p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Proto .

Úkol 6. Nechť je dán zákon rozdělení náhodné veličiny X:

Najděte matematické očekávání.

Řešení. .

Všimněte si, že pravděpodobnostní význam matematického očekávání je průměrná hodnota náhodné veličiny.

Úkol 7. Najděte rozptyl náhodné veličiny X s následujícím zákonem o rozdělení:

Řešení. Tady .

Zákon rozdělení čtverce X 2 :

X 2

Požadovaná odchylka: .

Disperze charakterizuje míru odchylky (rozptylování) náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.

Úkol 8. Nechť je náhodná veličina dána rozdělením:

			10m

Najděte jeho číselné charakteristiky.

Řešení: m, m 2 ,

M 2 , m.

O náhodné veličině X lze říci buď - její matematické očekávání je 6,4 m s rozptylem 13,04 m 2 , nebo - jeho matematické očekávání je 6,4 m s odchylkou m. Druhá formulace je zjevně jasnější.

Úkol 9. Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí:
.

Najděte pravděpodobnost, že v důsledku testu hodnota X nabude hodnoty obsažené v intervalu .

Řešení. Pravděpodobnost, že X bude nabývat hodnoty z daného intervalu, je rovna přírůstku integrální funkce v tomto intervalu, tzn. . V našem případě a tedy