Sada náhodných proměnných X 1 ,X 2 ,...,X str, definované na formulářích pravděpodobnostního prostoru (). P- rozměrná náhodná proměnná ( X 1 ,X 2 ,...,X str). Pokud je ekonomický proces popsán pomocí dvou náhodných veličin X 1 a X 2, pak je určena dvourozměrná náhodná proměnná ( X 1 ,X 2) nebo ( X,Y).
Distribuční funkce systémy dvou náhodných veličin ( X,Y), uvažováno jako funkce proměnných
se nazývá pravděpodobnost, že událost nastane 
:
Hodnoty distribuční funkce uspokojují nerovnost
Z geometrického hlediska distribuční funkce F(X,y) určuje pravděpodobnost, že náhodný bod ( X,Y) spadne do nekonečného kvadrantu s vrcholem v bodě ( X,na), od bodu ( X,Y) bude dole a vlevo od označeného vrcholu (obr. 9.1).
X,Y) v polopásu (obr. 9.2) nebo v polopásu (obr. 9.3) se vyjadřuje vzorci:
respektive. Pravděpodobnost dosažení hodnot X,Y) do obdélníku (obr. 9.4) lze najít pomocí vzorce:
Obr.9.2 Obr.9.3 Obr.9.4
Oddělený nazývá se dvourozměrná veličina, jejíž složky jsou diskrétní.
Zákon rozdělování dvourozměrný diskrétní náhodná proměnná (X,Y) je množina všech možných hodnot ( x i, y j),
, diskrétní náhodné veličiny X A Y a jejich odpovídající pravděpodobnosti 
, charakterizující pravděpodobnost, že složka X bude mít hodnotu x i a zároveň součást Y bude mít hodnotu y j, a
Zákon rozdělení dvourozměrné diskrétní náhodné veličiny ( X,Y) jsou uvedeny ve formě tabulky. 9.1.
Tabulka 9.1
| Ω X Ω Y | X 1 | X 2 | … | x i | … |
| y 1 | p(X 1 ,y 1) | p(X 2 ,y 1) | … | p( x i,y 1) | … |
| y 2 | p(X 1 ,y 2) | p(X 2 ,y 2) | … | p( x i,y 2) | … |
| … | … | … | … | … | … |
| y i | p(X 1 ,y i) | p(X 2 ,y i) | … | p( x i,y i) | … |
| … | … | … | … | … | … |
Kontinuální tzv. dvourozměrná náhodná veličina, jejíž složky jsou spojité. Funkce R(X,na), rovnající se hranici poměru pravděpodobnosti zásahu do dvourozměrné náhodné veličiny ( X,Y) do obdélníku se stranami a do oblasti tohoto obdélníku, kdy obě strany obdélníku mají tendenci k nule, se nazývá hustota rozdělení pravděpodobnosti:
Když znáte hustotu distribuce, můžete najít distribuční funkci pomocí vzorce: 
Ve všech bodech, kde existuje smíšená derivace druhého řádu distribuční funkce
, hustota rozdělení pravděpodobnosti
lze najít pomocí vzorce: 
Pravděpodobnost zasažení náhodného bodu ( X,na) do oblasti D je určeno rovností: 
Pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabralo význam X<х za předpokladu, že náhodná veličina Y získal pevnou hodnotu Y=y, se vypočítá podle vzorce:
Rovněž,
Vzorce pro výpočet podmíněných hustot rozdělení pravděpodobnosti složek X A Y :
Sada podmíněných pravděpodobností p(X 1 |y i), p(X 2 |y i), …, p(x i |y i), … splnění podmínky Y=y i, se nazývá podmíněné rozdělení komponenty X na Y=y iX,Y), kde 
Podobně podmíněná distribuce komponenty Y na X=x i diskrétní dvourozměrná náhodná proměnná ( X,Y) je soubor podmíněných pravděpodobností, které podmínku splňují X=xi, Kde 
Počáteční moment objednatk+s dvourozměrná náhodná proměnná ( X,Y
a, tj. 
.
Li X A Y – pak diskrétní náhodné proměnné 
Li X A Y – spojité náhodné proměnné tedy 
Centrální moment objednat k+s dvourozměrná náhodná proměnná ( X,Y) je nazýván očekávaná hodnota funguje 
A 
,ty.
Pokud jsou množství komponent diskrétní, pak
Pokud jsou množství komponent spojitá, pak
Kde R(X,y) – hustota distribuce dvourozměrné náhodné veličiny ( X,Y).
Podmíněné matematické očekáváníY(X)na X=x(na Y=y) se nazývá výraz ve tvaru:
– pro diskrétní náhodnou veličinu Y(X);
–
pro spojitou náhodnou veličinu Y(X).
Matematická očekávání komponent X A Y dvourozměrné náhodné proměnné se počítají pomocí vzorců:
Korelační moment nezávislé náhodné proměnné X A Y zahrnuto do dvourozměrné náhodné proměnné ( X,Y), se nazývá matematické očekávání součinů odchylek těchto veličin:
Korelační moment dvou nezávislých náhodných veličin XX,Y), se rovná nule.
Korelační koeficient náhodné proměnné X a Y zahrnuté do dvourozměrné náhodné proměnné ( X,Y), se nazývá poměr korelačního momentu k součinu směrodatných odchylek těchto veličin:
Korelační koeficient charakterizuje stupeň (těsnost) lineární korelace mezi X A Y.Náhodné proměnné, pro které , se nazývají nekorelované.
Korelační koeficient splňuje následující vlastnosti:
1. Korelační koeficient nezávisí na jednotkách měření náhodných veličin.
2. Absolutní hodnota korelačního koeficientu nepřesahuje jednu:
3. Pokud pak mezi komponenty X A Y náhodná proměnná ( X, Y) existuje lineární funkční vztah: 
4. Pokud pak komponenty X A Y dvourozměrné náhodné proměnné jsou nekorelované.
5. Pokud pak komponenty X A Y dvourozměrné náhodné proměnné jsou závislé.
Rovnice M(X|Y=y)=φ( na)A M(Y|X=x)=ψ( X) se nazývají regresní rovnice a jimi určené přímky se nazývají regresní přímky.
Úkoly
9.1. Dvourozměrná diskrétní náhodná veličina (X, Y) je dáno distribučním zákonem:
Tabulka 9.2
| Ω x Ω y | ||||
| 0,2 | 0,15 | 0,08 | 0,05 | |
| 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | |
| 0,05 | 0,07 | 0,08 | 0,02 |
Najděte: a) zákony rozdělení složek X A Y;
b) podmíněný zákon rozdělení hodnoty Y na X =1;
c) distribuční funkce.
Zjistěte, zda jsou veličiny nezávislé X A Y. Vypočítejte pravděpodobnost a základní číselné charakteristiky M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .
Řešení. a) Náhodné proměnné X a Y jsou definovány na množině sestávající z elementárních výsledků, která má tvar:
Událost ( X= 1) odpovídá množině výsledků, jejichž první složka je rovna 1: (1;0), (1;1), (1;2). Tyto výsledky jsou neslučitelné. Pravděpodobnost, že X bude mít hodnotu x i podle Kolmogorovova axiomu 3 se rovná:
Rovněž
Tedy mezní distribuce složky X, lze specifikovat ve formě tabulky. 9.3.
Tabulka 9.3
b) Množina podmíněných pravděpodobností R(1;0), R(1;1), R(1;2) splnění podmínky X=1, se nazývá podmíněné rozdělení složky Y na X=1. Pravděpodobnost hodnotových hodnot Y na X=1 najdeme pomocí vzorce:
Protože pak dosazením hodnot odpovídajících pravděpodobností získáme
Tedy podmíněná distribuce komponenty Y na X=1 má tvar:
Tabulka 9.5
| y j | |||
| 0,48 | 0,30 | 0,22 |
Protože se zákony podmíněného a nepodmíněného rozdělení neshodují (viz tabulky 9.4 a 9.5), hodnoty X A Y závislý. Tento závěr potvrzuje skutečnost, že rovnost
pro libovolnou dvojici možných hodnot X A Y.
Například,
c) Distribuční funkce F(X,y) dvourozměrná náhodná veličina (X,Y) má tvar:
kde se sčítání provádí přes všechny body (), pro které jsou nerovnosti současně splněny x i
Výsledek je vhodnější prezentovat ve formě tabulky 9.6.
Tabulka 9.6
| X y | |||||
| 0,20 | 0,35 | 0,43 | 0,48 | ||
| 0,30 | 0,5 | 0,63 | 0,78 | ||
| 0,35 | 0,62 | 0,83 |
Použijme vzorce pro počáteční momenty a výsledky z tabulek 9.3 a 9.4 a vypočítejme matematická očekávání komponent X A Y:
Rozptyl vypočítáme pomocí druhého počátečního momentu a výsledků tabulky. 9.3 a 9.4:
Pro výpočet kovariance NA(X,Y) používáme podobný vzorec přes počáteční okamžik:
Korelační koeficient je určen vzorcem:
Požadovaná pravděpodobnost je definována jako pravděpodobnost pádu do oblasti v rovině definované příslušnou nerovností:
9.2. Loď vysílá zprávu „SOS“, kterou mohou přijímat dvě rádiové stanice. Tento signál může přijímat jedna rozhlasová stanice nezávisle na druhé. Pravděpodobnost, že signál přijme první rádiová stanice, je 0,95; pravděpodobnost, že signál přijme druhá rádiová stanice, je 0,85. Najděte distribuční zákon dvourozměrné náhodné veličiny charakterizující příjem signálu dvěma radiostanicemi. Napište distribuční funkci.
Řešení: Nechat X– událost spočívající ve skutečnosti, že signál je přijímán první rozhlasovou stanicí. Y– událost je, že signál je přijímán druhou rádiovou stanicí.
Více významů .
X=1 – signál přijatý první rádiovou stanicí;
X=0 – signál nebyl přijat první rozhlasovou stanicí.
Více významů .
Y=l – signál přijímaný druhou rozhlasovou stanicí,
Y=0 – signál není přijímán druhou rozhlasovou stanicí.
Pravděpodobnost, že signál není přijímán první nebo druhou rozhlasovou stanicí, je:
Pravděpodobnost příjmu signálu první rozhlasovou stanicí:
Pravděpodobnost, že signál přijímá druhá rádiová stanice:
Pravděpodobnost, že signál přijme jak první, tak i druhá rádiová stanice, je rovna: .
Pak je distribuční zákon dvourozměrné náhodné veličiny roven:
| y X | ||
| 0,007 | 0,142 | |
| 0,042 | 0,807 |
X,y) význam F(X,y) se rovná součtu pravděpodobností těchto možných hodnot náhodné proměnné ( X,Y), které spadají do určeného obdélníku.
Poté bude distribuční funkce vypadat takto:
9.3. Dvě společnosti vyrábějí stejné produkty. Každý, nezávisle na druhém, se může rozhodnout pro modernizaci výroby. Pravděpodobnost, že první firma učinila takové rozhodnutí, je 0,6. Pravděpodobnost, že takové rozhodnutí učiní druhá firma, je 0,65. Napište zákon rozdělení dvourozměrné náhodné veličiny, který charakterizuje rozhodnutí o modernizaci výroby dvou firem. Napište distribuční funkci.
Odpovědět: Distribuční zákon:
| 0,14 | 0,21 | |
| 0,26 | 0,39 |
Pro každou pevnou hodnotu bodu se souřadnicemi ( X,y) hodnota se rovná součtu pravděpodobností těch možných hodnot, které spadají do zadaného obdélníku 
.
9.4. Pístní kroužky pro motory automobilů jsou vyráběny na automatickém soustruhu. Měří se tloušťka prstenu (náhodná hodnota X) a průměr otvoru (náhodná hodnota Y). Je známo, že asi 5 % všech pístních kroužků je vadných. Navíc 3 % vad jsou způsobeny nestandardními průměry otvorů, 1 % - nestandardní tloušťkou a 1 % - jsou zamítnuty z obou důvodů. Najít: společné rozdělení dvourozměrné náhodné proměnné ( X,Y); jednorozměrné rozložení součástek X A Y;matematická očekávání komponent X A Y; korelační moment a korelační koeficient mezi složkami X A Y dvourozměrná náhodná proměnná ( X,Y).
Odpovědět: Distribuční zákon:
| 0,01 | 0,03 | |
| 0,01 | 0,95 |
; 
; 
; 
; ; .
9.5. Tovární výrobky jsou vadné kvůli vadám A je 4 %, a kvůli závadě V– 3,5 %. Standardní produkce je 96 %. Určete, jaké procento všech produktů má oba typy vad.
9.6.
Náhodná hodnota ( X,Y) distribuované s konstantní hustotou 
uvnitř náměstí R, jehož vrcholy mají souřadnice (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Určete hustotu distribuce náhodné veličiny ( X,Y) a podmíněné distribuční hustoty R(X\na), R(na\X).
Řešení. Pojďme stavět na rovině X 0y daný čtverec (obr. 9.5) a určete rovnice stran čtverce ABCD pomocí rovnice přímky procházející dvěma danými body: 
Dosazení souřadnic vrcholů A A V získáme sekvenčně rovnici strany AB: 
nebo
.
Podobně najdeme rovnici strany slunce: ;strany CD: a strany D.A.: . : .D X , Y) je polokoule se středem v počátku poloměru R.Najděte hustotu rozdělení pravděpodobnosti.
Odpovědět:
9.10. Je dána diskrétní dvourozměrná náhodná proměnná:
| 0,25 | 0,10 | |
| 0,15 | 0,05 | |
| 0,32 | 0,13 |
Najděte: a) zákon o podmíněném rozdělení X, za předpokladu, že y= 10;
b) zákon o podmíněném rozdělení Y, za předpokladu, že X =10;
c) matematické očekávání, disperze, korelační koeficient.
9.11. Spojitá dvourozměrná náhodná proměnná ( X,Y) rovnoměrně rozmístěné uvnitř pravoúhlý trojuhelník s vrcholy O(0;0), A(0;8), V(8,0).
Najděte: a) hustotu rozdělení pravděpodobnosti;
Definice 2.7. je dvojice náhodných čísel (X, Y), nebo bod na souřadnicové rovině (obr. 2.11).
Rýže. 2.11.
Dvourozměrná náhodná proměnná je speciální případ vícerozměrné náhodné proměnné nebo náhodného vektoru.
Definice 2.8. Náhodný vektor - je to náhodná funkce?,(/) s konečnou sadou možných hodnot argumentů t, jehož hodnota pro jakoukoli hodnotu t je náhodná veličina.
Dvourozměrná náhodná proměnná se nazývá spojitá, pokud jsou její souřadnice spojité, a diskrétní, pokud jsou její souřadnice diskrétní.
Stanovit zákon rozdělení dvourozměrných náhodných veličin znamená stanovit soulad mezi jejich možnými hodnotami a pravděpodobností těchto hodnot. Podle metod upřesňování se náhodné veličiny dělí na spojité a diskrétní, i když existují obecné způsoby, jak upřesnit zákon rozdělení libovolné náhodné veličiny.
Diskrétní dvourozměrná náhodná veličina
Diskrétní dvourozměrná náhodná veličina je specifikována pomocí distribuční tabulky (tabulka 2.1).
Tabulka 2.1
Distribuční tabulka (společná distribuce) SV ( X, U)
Prvky tabulky jsou určeny vzorcem
Vlastnosti prvků distribuční tabulky:
Rozložení přes každou souřadnici se nazývá jednorozměrný nebo okrajový:
R 1> = P(X =.g,) - okrajová distribuce SV X;
p^2) = P(Y= y,)- okrajové rozšíření SV U.
Vztah mezi společnou distribucí CB X a Y, specifikované sadou pravděpodobností [p()], tj = 1,..., n,j = 1,..., T(distribuční tabulka) a marginální distribuce.
Podobně pro SV U p-2)= X r, g
Problém 2.14. Vzhledem k tomu:
Spojitá dvourozměrná náhodná veličina
/(X, y)dxdy- prvek pravděpodobnosti pro dvourozměrnou náhodnou veličinu (X, Y) - pravděpodobnost pádu náhodné veličiny (X, Y) do obdélníku o stranách cbc,dy na dx, dy -* 0:
f(x, y) - hustota distribuce dvourozměrná náhodná veličina (X, Y). Úkol /(x, y) podáváme úplnou informaci o rozdělení dvourozměrné náhodné veličiny.
Mezní rozdělení jsou specifikována následovně: pro X - hustotou rozdělení SV X/,(x); Podle Y- hustota distribuce SV U f>(y).
Specifikace distribučního zákona dvourozměrné náhodné veličiny pomocí distribuční funkce
Univerzálním způsobem, jak specifikovat distribuční zákon pro diskrétní nebo spojitou dvourozměrnou náhodnou veličinu, je distribuční funkce F(x, y).
Definice 2.9. Distribuční funkce F(x, y)- pravděpodobnost společného výskytu událostí (Xy), tzn. F(x 0, y n) = = P(X y), vržený na souřadnicovou rovinu, spadá do nekonečného kvadrantu s vrcholem v bodě M(x 0, y i)(ve stínované oblasti na obr. 2.12).
Rýže. 2.12. Ilustrace distribuční funkce F( x, y)
Vlastnosti funkce F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- neklesající pro každý argument;
- 4) F(x, y) - souvisle vlevo a dole;
- 5) konzistence distribucí:
F(x, X: F(x, oo) = F, (x); F(y, oo) - marginální distribuce přes Y F( Ach, y) = F2 (y). Spojení /(x, y) S F(x, y):
Vztah mezi hustotou kloubu a mezní hustotou. Dana f(x, y). Pojďme získat mezní hustoty distribuce f(x), f 2 (y)".
Případ nezávislých souřadnic dvojrozměrné náhodné veličiny
Definice 2.10. NE X A Y nezávislý(nz), pokud jsou nějaké události spojené s každým z těchto SV nezávislé. Z definice NZ SV vyplývá:
- 1 )Pij = p X) pf
- 2 )F(x,y) = Fl(x)F2 (y).
Ukazuje se, že pro nezávislé SV X A Y dokončeno a
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Dokažme, že pro nezávislé SV X A Y 2) 3). Důkaz, a) Nechť je splněno 2, tzn.
ve stejný čas F(x,y) = f J f(u,v)dudv, tedy následuje 3);
b) ať se nyní 3) splní, tedy
těch. pravda 2).
Uvažujme o úkolech.
Problém 2.15. Rozdělení je dáno následující tabulkou:
Vytváříme marginální distribuce:
Dostaneme P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3)P(U = 4) = 0,1485 => => SV X a Závislá.
Distribuční funkce:
Problém 2.16. Rozdělení je dáno následující tabulkou:
Dostaneme P tl = 0,2 0,3 = 0,06; R12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => NE X A Y nz.
Problém 2.17. Dana /(x, y) = 1. exp| -0,5 (d" + 2xy + 5 g/2)]. Nalézt Ach) A /Ay)-
Řešení
(spočítejte si to sami).
Uspořádaný pár (X, Y) náhodných proměnných X a Y se nazývá dvourozměrná náhodná proměnná nebo náhodný vektor ve dvourozměrném prostoru. Dvourozměrná náhodná veličina (X,Y) se také nazývá systém náhodných veličin X a Y. Množina všech možných hodnot diskrétní náhodné veličiny s jejich pravděpodobnostmi se nazývá distribuční zákon této náhodné veličiny. Diskrétní dvourozměrná náhodná veličina (X, Y) je považována za danou, pokud je znám její distribuční zákon:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Účel služby. Pomocí služby, podle daného zákona o distribuci, můžete najít:
- distribuční řady X a Y, matematické očekávání M[X], M[Y], rozptyl D[X], D[Y];
- kovariance cov(x,y), korelační koeficient r x,y, podmíněná distribuční řada X, podmíněné očekávání M;
Instrukce. Určete rozměr matice rozdělení pravděpodobnosti (počet řádků a sloupců) a její typ. Výsledné řešení se uloží do souboru aplikace Word.
Příklad č. 1. Dvourozměrná diskrétní náhodná proměnná má distribuční tabulku:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Řešení. Hodnotu q zjistíme z podmínky Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Odkud pochází q = 0,09?
Pomocí vzorce ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), najdeme distribuční řadu X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Rozptyl D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standardní odchylkaσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
Kovariance cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 · 20 · 0,02 + 1 · 30 · 0,02 + 2 · 30 · 0,11 + 3 · 30 · 0,08 + 4 · 30 · 0,01 + 1 · 40 · 0,03 + 2 · 40 · 0,11 + 3 · 40 · 0,05 + 4 · 40 · 0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Korelační koeficient r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Příklad 2 Data ze statistického zpracování informací o dvou ukazatelích X a Y jsou zohledněna v korelační tabulce. Požadované:
- zapisovat distribuční řady pro X a Y a vypočítat průměry vzorku a vzorové směrodatné odchylky pro ně;
- zapsat podmíněné distribuční řady Y/x a vypočítat podmíněné průměry Y/x;
- graficky znázorněte závislost podmíněných průměrů Y/x na hodnotách X;
- vypočítat výběrový korelační koeficient Y na X;
- napsat vzorovou rovnici dopředné regrese;
- znázorněte data korelační tabulky geometricky a sestrojte regresní přímku.
Množina všech možných hodnot diskrétní náhodné veličiny s jejich pravděpodobnostmi se nazývá distribuční zákon této náhodné veličiny.
Diskrétní dvourozměrná náhodná veličina (X,Y) je považována za danou, pokud je znám její distribuční zákon:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Závislost náhodných veličin X a Y.
Najděte distribuční řady X a Y.
Pomocí vzorce ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), najdeme distribuční řadu X. Očekávání M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Rozptyl D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Směrodatná odchylka σ(y).
Protože P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, pak náhodné proměnné X a Y závislý.
2. Zákon o podmíněném rozdělení X.
Zákon podmíněného rozdělení X(Y=20).
P(X=ll/Y=20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Podmíněný rozptyl D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Zákon podmíněného rozdělení X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Podmíněný rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Zákon podmíněného rozdělení X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Podmíněný rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Zákon podmíněného rozdělení X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Podmíněný rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Zákon podmíněného rozdělení X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Podmíněné matematické očekávání M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Podmíněný rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Zákon o podmíněném rozdělení Y.
Zákon podmíněného rozdělení Y(X=11).
P(Y=20/X=ll) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=ll) = 0/2 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Podmíněný rozptyl D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Zákon podmíněného rozdělení Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Podmíněný rozptyl D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Zákon podmíněného rozdělení Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Podmíněné matematické očekávání M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Podmíněný rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Zákon podmíněného rozdělení Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Podmíněné matematické očekávání M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Podmíněný rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Zákon podmíněného rozdělení Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Podmíněné matematické očekávání M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Podmíněný rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Zákon podmíněného rozdělení Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Podmíněné matematické očekávání M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Podmíněný rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Kovariance.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 4 + 40 501 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Pokud jsou náhodné proměnné nezávislé, pak je jejich kovariance nulová. V našem případě cov(X,Y) ≠ 0.
Korelační koeficient.
Rovnice lineární regrese od y do x je:
Rovnice lineární regrese od x do y je:
Pojďme najít potřebné číselné charakteristiky.
Vzorové průměry:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Odchylky:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Odkud získáme standardní odchylky:
σ x = 9,99 a σ y = 4,9
a kovariance:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 4 + 40 1 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Pojďme určit korelační koeficient:
Zapišme si rovnice regresních přímek y(x):
a výpočtem dostaneme:
y x = 0,38 x + 9,14
Zapišme rovnice regresních přímek x(y):
a výpočtem dostaneme:
x y = 1,59 y + 2,15
Pokud vyneseme body určené tabulkou a regresní přímky, uvidíme, že obě přímky procházejí bodem se souřadnicemi (42,3; 25,3) a body se nacházejí v blízkosti regresních čar.
Význam korelačního koeficientu.
Pomocí Studentovy tabulky s hladinou významnosti α=0,05 a stupni volnosti k=100-m-1 = 98 zjistíme t krit:
t krit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
kde m = 1 je počet vysvětlujících proměnných.
Pokud je pozorováno t > t kritické, pak je výsledná hodnota korelačního koeficientu považována za významnou (nulová hypotéza, že korelační koeficient je roven nule, je zamítnuta).
Protože t obs > t crit, odmítáme hypotézu, že korelační koeficient je roven 0. Jinými slovy, korelační koeficient je statisticky významný.
Cvičení. Počet zásahů dvojic hodnot náhodných proměnných X a Y v odpovídajících intervalech je uveden v tabulce. Pomocí těchto dat najděte výběrový korelační koeficient a vzorové rovnice přímých regresních čar Y na X a X na Y.
Řešení
Příklad. Rozdělení pravděpodobnosti dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y) je dáno tabulkou. Najděte zákony rozdělení složkových veličin X, Y a korelačního koeficientu p(X, Y).
Stáhnout řešení
Cvičení. Dvourozměrná diskrétní veličina (X, Y) je dána distribučním zákonem. Najděte zákony rozdělení složek X a Y, kovarianci a korelační koeficient.
Dost často se při studiu náhodných proměnných člověk musí vypořádat se dvěma, třemi nebo dokonce velký počet náhodné proměnné. Například dvourozměrná náhodná proměnná $\left(X,\ Y\right)$ bude popisovat bod dopadu střely, kde náhodné proměnné $X,\Y$ jsou úsečka a pořadnice. Výkon náhodně vybraného studenta během sezení je charakterizován $n$-rozměrnou náhodnou proměnnou $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, kde náhodné proměnné jsou $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n $ jsou známky zapsané do klasifikační knihy pro různé obory.
Je volána množina $n$ náhodných proměnných $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ náhodný vektor. Omezíme se na případ $\left(X,\ Y\right)$.
Nechť $X$ je diskrétní náhodná proměnná s možnými hodnotami $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ a $Y$ je diskrétní náhodná proměnná s možnými hodnotami $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.
Potom může diskrétní dvourozměrná náhodná proměnná $\left(X,\ Y\right)$ nabývat hodnot $\left(x_i,\ y_j\right)$ s pravděpodobnostmi $p_(ij)=P\left(\ vlevo (X=x_i \vpravo)\vlevo (Y=y_j\vpravo)\vpravo)=P\vlevo (X=x_i\vpravo)P\vlevo (Y=y_j|X=x_i\vpravo)$. Zde $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ je podmíněná pravděpodobnost, že náhodná proměnná $Y$ nabude hodnoty $y_j$ za předpokladu, že náhodná proměnná $X$ nabývá hodnoty $x_i$ .
Pravděpodobnost, že náhodná proměnná $X$ nabude hodnoty $x_i$, je rovna $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Pravděpodobnost, že náhodná proměnná $Y$ nabude hodnoty $y_j$, je rovna $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ vlevo(Y=y_j\vpravo)))=((p_(ij))\přes (q_j)).$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ vlevo(X=x_i\vpravo)))=((p_(ij))\přes (p_i)).$$
Příklad 1 . Rozdělení dvourozměrné náhodné proměnné je dáno:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrácené lomítko Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(pole)$
Definujme zákony rozdělení náhodných veličin $X$ a $Y$. Najděte podmíněná rozdělení náhodné veličiny $X$ za podmínky $Y=2$ a náhodné veličiny $Y$ za podmínky $X=0$.
Vyplňme následující tabulku:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrácené lomítko Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(pole)$
Pojďme si vysvětlit, jak se tabulka vyplňuje. Hodnoty prvních tří sloupců prvních čtyř řádků jsou převzaty z podmínky. Součet čísel v $2$th a $3$th sloupcích $2$th ($3$th) řádku je uveden v $4$th sloupci $2$th ($3$th) řádku. Uvádíme součet čísel v $2$th a $3$th sloupcích $4$th řádku v $4$th sloupci $4$th řádku.
Součet čísel v $2$th, $3$th a $4$th řádcích $2$th ($3$th) sloupce zapíšeme do $5$th řádku v $2$th ($3$th) sloupci. Každé číslo ve sloupci $2$th vydělíme $q_1=0,52$, výsledek zaokrouhlíme na dvě desetinná místa a zapíšeme do sloupce $5$th. Čísla z $2$-tého a $3$-tého sloupce $3$-tého řádku vydělíme $p_2=0,41$, výsledek zaokrouhlíme na dvě desetinná místa a zapíšeme na poslední řádek.
Pak má distribuční zákon náhodné veličiny $X$ následující tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(pole)$
Zákon rozdělení náhodné veličiny $Y$.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(pole)$
Podmíněné rozdělení náhodné veličiny $X$ za podmínky $Y=2$ má následující tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(pole)$
Podmíněné rozdělení náhodné veličiny $Y$ za podmínky $X=0$ má následující tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(pole)$
Příklad 2 . Máme šest tužek, včetně dvou červených. Tužky dáme do dvou krabic. První obsahuje $2$ kusy a druhý obsahuje také dva. $X$ je počet červených tužek v prvním poli a $Y$ - ve druhém. Napište distribuční zákon pro soustavu náhodných veličin $(X,\ Y)$.
Nechť diskrétní náhodná proměnná $X$ je počet červených tužek v prvním poli a diskrétní náhodná proměnná $Y$ je počet červených tužek ve druhém poli. Možné hodnoty náhodných proměnných $X,\ Y$ jsou $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Potom může diskrétní dvourozměrná náhodná proměnná $\left(X,\ Y\right)$ nabývat hodnot $\left(x,\ y\right)$ s pravděpodobnostmi $P=P\left(\left(X) =x\vpravo) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, kde $ P\left(Y =y|X=x\right)$ je podmíněná pravděpodobnost, že náhodná proměnná $Y$ nabude hodnoty $y$ za předpokladu, že náhodná proměnná $X$ nabude hodnoty $x$. Představme si shodu mezi hodnotami $\left(x,\y\right)$ a pravděpodobnostmi $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ ve formě následujících tabulek.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrácené lomítko Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\nad (15)) & ((4)\nad (15)) & ((1)\nad (15)) \\
\hline
1 & ((4)\nad (15)) & ((4)\nad (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\nad (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(pole)$
Řádky takové tabulky udávají hodnoty $X$ a sloupce hodnoty $Y$, pak pravděpodobnosti $P\left(\left(X=x\right)\times \left( Y=y\right)\right)$ jsou označeny v průsečíku odpovídajícího řádku a sloupce. Spočítejme pravděpodobnosti pomocí klasická definice pravděpodobnosti a věta o součinu pravděpodobností závislých událostí.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\přes (C^2_4))=((6)\přes (15))\cdot ((2\cdot 2)\přes (6))=((4)\přes (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\přes (C^2_4))=((2\cdot 4)\přes (15))\cdot ((1\cdot 3)\přes (6))=(( 4)\přes (15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Protože v zákoně rozdělení (výsledné tabulce) tvoří celá množina událostí kompletní skupinu událostí, musí se součet pravděpodobností rovnat 1. Zkontrolujme to:
$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\přes (15))+((4)\přes (15))+((1)\přes (15))+ ((4)\nad (15))+((4)\nad (15))+((1)\nad (15))=1,$$
Distribuční funkce dvourozměrné náhodné veličiny
Distribuční funkce dvourozměrné náhodné proměnné $\left(X,\ Y\right)$ se nazývá funkce $F\left(x,\ y\right)$, která pro jakákoli reálná čísla $x$ a $y$ je rovná pravděpodobnosti společného výskytu dvou událostí $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Pro diskrétní dvourozměrnou náhodnou veličinu se distribuční funkce najde sečtením všech pravděpodobností $p_(ij)$, pro které $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Vlastnosti distribuční funkce dvojrozměrné náhodné veličiny.
1 . Distribuční funkce $F\left(x,\ y\right)$ je omezená, tedy $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ je neklesající pro každý ze svých argumentů s druhým pevným, to znamená $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1, \ y\vpravo )$ pro $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\vpravo)\ge F\left(x,\ y_1\vpravo)$ pro $y_2>y_1$.
3 . Pokud alespoň jeden z argumentů nabývá hodnotu $-\infty $, pak se distribuční funkce bude rovnat nule, tedy $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x, \ -\infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Pokud oba argumenty nabývají hodnoty $+\infty $, pak se distribuční funkce bude rovnat $1$, tedy $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . V případě, že právě jeden z argumentů nabývá hodnoty $+\infty $, stane se distribuční funkce $F\left(x,\ y\right)$ distribuční funkcí náhodné proměnné odpovídající druhému prvku, tzn. , $F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\y\right)=F_y \left(y\right) =F_Y\left(y\right)$.
6 . $F\left(x,\ y\right)$ je ponecháno souvislé pro každý ze svých argumentů, tzn
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x_0,\ y\right),\ (\mathop(lim) _(y\to y_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x,\ y_0\right).$$
Příklad 3 . Nechť je diskrétní dvourozměrná náhodná veličina $\left(X,\ Y\right)$ dána distribuční řadou.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrácené lomítko Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\přes (6)) & ((2)\přes (6)) \\
\hline
1 & ((2)\přes (6)) & ((1)\přes (6)) \\
\hline
\end(pole)$
Pak distribuční funkce:
$F(x,y)=\left\(\začátek(matice)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0\\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ at\ x\le 0,\ y>1\\
0,\ v\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6)),\at\0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\přes (6))+((2)\přes (6))=((1)\přes (2)),\at\0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ pro\ x>1,\ y\le 0\\
((1)\přes (6))+((2)\přes (6))=((1)\přes (2)),\ at\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\přes (6))+((2)\přes (6))+((2)\přes (6))+((1)\přes (6))=1,\ at\ x >1,\ y>1 \\
\end(matice)\right.$
Náhodná proměnná se nazývá dvourozměrná ( X, Y), jehož možné hodnoty jsou dvojice čísel ( x, y). Komponenty X A Y, uvažováno současně, forma Systém dvě náhodné proměnné.
Dvourozměrnou veličinu lze geometricky interpretovat jako náhodný bod M(X; Y) na povrchu xOy nebo jako náhodný vektor OM.
Oddělený nazývá se dvourozměrná veličina, jejíž složky jsou diskrétní.
Kontinuální nazývá se dvourozměrná veličina, jejíž složky jsou spojité.
Zákon rozdělování Pravděpodobnost dvojrozměrné náhodné proměnné je korespondence mezi možnými hodnotami a jejich pravděpodobnostmi.
Distribuční zákon diskrétní dvourozměrné náhodné veličiny lze specifikovat: a) ve formě tabulky s dvojitým vstupem obsahujícím možné hodnoty a jejich pravděpodobnosti; b) analyticky, například ve formě distribuční funkce.
Distribuční funkce pravděpodobností dvourozměrné náhodné veličiny se nazývá funkce F(x, y), definující pro každou dvojici čísel (x, y) pravděpodobnost, že X bude mít hodnotu menší než x a zároveň Y bude mít hodnotu nižší než y:
F(x, y) = P(X< x, Y < y).
Geometricky lze tuto rovnost interpretovat následovně: F(x, y) existuje možnost, že náhodný bod ( X, Y) spadne do nekonečného kvadrantu s vrcholem ( x,y), umístěný vlevo a pod tímto vrcholem.
Někdy se místo termínu „distribuční funkce“ používá termín „integrální funkce“.
Distribuční funkce má následující vlastnosti:
Nemovitost 1. Hodnoty distribuční funkce splňují dvojitou nerovnost
0 ≤ F (x, y) ≤ 1.
Nemovitost 2. Distribuční funkce je neklesající funkce pro každý argument:
F(x 2, y) ≥ F(x 1, y), pokud x 2 > x 1,
F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), pokud y 2 > y 1.
Nemovitost 3. Existují limitní vztahy:
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
Nemovitost 4. A) Když y=∞ distribuční funkce systému se stává distribuční funkcí komponenty X:
F(x, ∞) = F1 (x).
b) V x = ∞ distribuční funkce systému se stává distribuční funkcí složky Y:
F(∞, y) = F2 (y).
Pomocí distribuční funkce můžete najít pravděpodobnost, že náhodný bod spadne do obdélníku x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Společná hustota pravděpodobnosti (dvourozměrná hustota pravděpodobnosti) spojitá dvourozměrná náhodná veličina se nazývá druhá smíšená derivace distribuční funkce:
Někdy se místo termínu „dvourozměrná hustota pravděpodobnosti“ používá termín „diferenciální funkce systému“.
Hustotu společného rozložení lze považovat za hranici poměru pravděpodobnosti pádu náhodného bodu do obdélníku o stranách D X a D y do oblasti tohoto obdélníku, když obě jeho strany mají tendenci k nule; geometricky to lze interpretovat jako plochu tzv distribuční plocha.
Když znáte hustotu distribuce, můžete najít distribuční funkci pomocí vzorce
Pravděpodobnost, že náhodný bod (X, Y) spadne do oblasti D, je určena rovností
Dvourozměrná hustota pravděpodobnosti má následující vlastnosti:
Nemovitost 1. Dvourozměrná hustota pravděpodobnosti je nezáporná:
f(x,y) ≥ 0.
Nemovitost 2. Dvojitý nevlastní integrál s nekonečnými limity dvojrozměrné hustoty pravděpodobnosti se rovná jedné:
Zejména, pokud všechny možné hodnoty (X, Y) patří do konečné domény D, pak
226. Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní dvourozměrné náhodné veličiny je dáno:
Najděte zákony distribuce komponent.
228. Je dána distribuční funkce dvourozměrné náhodné veličiny
Najděte pravděpodobnost zásahu náhodného bodu ( X, Y X = 0, X= p/4, y= p/6, y= p/3.
229. Najděte pravděpodobnost zásahu náhodného bodu ( X, Y) do obdélníku ohraničeného přímkami X = 1, X = 2, y = 3, y= 5, pokud je známa distribuční funkce
230. Je dána distribuční funkce dvourozměrné náhodné veličiny
Najděte dvourozměrnou hustotu pravděpodobnosti systému.
231. V kruhu x2 + y2 ≤ R2 dvourozměrná hustota pravděpodobnosti; mimo kruh f(x, y)= 0. Najděte: a) konstantní C; b) pravděpodobnost zasažení náhodného bodu ( X, Y) do kruhu o poloměru r= 1 se středem v počátku, jestliže R = 2.
232. V prvním kvadrantu je uvedena distribuční funkce systému dvou náhodných veličin F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y. Najděte: a) dvourozměrnou hustotu pravděpodobnosti systému; b) pravděpodobnost zasažení náhodného bodu ( X, Y) do trojúhelníku s vrcholy A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).
8.2. Podmíněné zákony rozdělení pravděpodobnosti složek
diskrétní dvourozměrná náhodná veličina
Nechte komponenty X A Y jsou diskrétní a mají následující možné hodnoty: x 1, x 2, …, x n; y 1, y 2, …, y m.
Podmíněná distribuce složky X na Y=yj(j zachovává stejnou hodnotu pro všechny možné hodnoty X) se nazývá množina podmíněných pravděpodobností
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Podmíněné rozdělení Y se určí podobně.
Podmíněné pravděpodobnosti složek X a Y se vypočítají pomocí vzorců
Pro kontrolu výpočtů je vhodné se ujistit, že součet pravděpodobností podmíněného rozdělení je roven jedné.
233. Je dána diskrétní dvourozměrná náhodná proměnná ( X, Y):
Najděte: a) zákon o podmíněném rozdělení X pokud Y=10; b) zákon o podmíněném rozdělení Y pokud X=6.
8.3. Hledání hustot a zákonů podmíněného rozdělení
složky spojité dvourozměrné náhodné veličiny
Hustota rozdělení jedné ze složek je rovna nevlastnímu integrálu s nekonečnými limity hustoty společného rozdělení systému a integrační proměnná odpovídá druhé složce:
Zde se předpokládá, že možné hodnoty každé ze složek patří do celé číselné řady; pokud možné hodnoty patří do konečného intervalu, pak se odpovídající konečná čísla považují za limity integrace.
Hustota podmíněného rozdělení složky X v dané hodnotě Y = y je poměr hustoty společného rozložení systému k hustotě rozložení komponenty Y:
Hustota podmíněného rozdělení složky se určí podobně Y:
Pokud jsou hustoty podmíněného rozdělení náhodných veličin X A Y jsou rovny jejich nepodmíněným hustotám, pak jsou takové veličiny nezávislé.
Jednotný je rozdělení dvourozměrné spojité náhodné proměnné ( X, Y), pokud je v oblasti, která obsahuje všechny možné hodnoty ( x, y), hustota společného rozdělení pravděpodobnosti zůstává konstantní.
235. Je uvedena hustota sdruženého rozdělení spojité dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y).
Najděte: a) distribuční hustoty složek; b) podmíněné hustoty rozložení složek.
236. Hustota společného rozdělení spojité dvourozměrné náhodné veličiny ( X, Y)
Najděte: a) konstantní faktor C; b) hustota rozložení složek; c) podmíněné hustoty rozložení složek.
237. Spojitá dvourozměrná náhodná proměnná ( X, Y) je rozmístěna rovnoměrně uvnitř obdélníku se středem symetrie v počátku a stranami 2a a 2b rovnoběžnými se souřadnicovými osami. Najděte: a) dvourozměrnou hustotu pravděpodobnosti systému; b) hustoty rozložení komponent.
238. Spojitá dvourozměrná náhodná proměnná ( X, Y) je rovnoměrně rozložena uvnitř pravoúhlého trojúhelníku s vrcholy Ó(0; 0), A(0; 8), V(8;0). Najděte: a) dvourozměrnou hustotu pravděpodobnosti systému; b) hustoty a podmíněné hustoty rozložení složek.
8.4. Numerické charakteristiky spojitého systému
dvě náhodné proměnné
Při znalosti distribučních hustot složek X a Y spojité dvourozměrné náhodné proměnné (X, Y) lze najít jejich matematická očekávání a rozptyly:
Někdy je výhodnější použít vzorce obsahující dvourozměrnou hustotu pravděpodobnosti (dvojité integrály se přebírají v rozsahu možných hodnot systému):
Počáteční moment n k, s objednat k+s systémy ( X, Y) se nazývá matematické očekávání produktu X k Y s:
n k, s = M.
Zejména,
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Středový moment m k,s objednat k+s systémy ( X, Y) se nazývá matematické očekávání součinu odchylek, resp kčt a s stupně:
m k, s = M( k ∙ s).
Zejména,
m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;
m2,0 = M2 = D(X), m2,2 = M2 = D(Y);
Korelační moment m xу systémy ( X, Y) se nazývá centrální moment m 1,1 objednávka 1 + 1:
m xу = M( ∙).
Korelační koeficient veličiny X a Y nazýváme poměrem korelačního momentu k součinu směrodatných odchylek těchto veličin:
r xy = m xy / (s x s y).
Korelační koeficient je bezrozměrná veličina a | r xy| ≤ 1. Korelační koeficient se používá k posouzení blízkosti lineárního vztahu mezi X A Y: čím blíže je absolutní hodnota korelačního koeficientu jednotě, tím silnější je vztah; Čím blíže je absolutní hodnota korelačního koeficientu nule, tím je vztah slabší.
Korelovaný dvě náhodné veličiny se nazývají, pokud je jejich korelační moment jiný než nula.
Nekorelované dvě náhodné veličiny se nazývají, pokud je jejich korelační moment nulový.
Dvě korelované veličiny jsou také závislé; jsou-li dvě veličiny závislé, pak mohou být buď korelované, nebo nekorelované. Z nezávislosti dvou veličin vyplývá, že jsou nekorelované, ale z nekorelace stále nelze usoudit, že tyto veličiny jsou nezávislé (u normálně rozdělených veličin z nekorelace těchto veličin vyplývá jejich nezávislost).
Pro spojité veličiny Korelační moment X a Y lze najít pomocí vzorců:
239. Hustota společného rozdělení spojité dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y) je dána:
Najděte: a) matematická očekávání; b) rozptyly složek X a Y.
240. Hustota společného rozdělení spojité dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y) je dána:
Najděte matematická očekávání a rozptyly komponent.
241. Hustota společného rozdělení spojité dvourozměrné náhodné veličiny ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx útulné na druhou 0 ≤ X≤p/4, 0 ≤ y
f(x, y)= 0. Najděte matematická očekávání komponent.
242. Dokažte, že pokud dvourozměrná hustota pravděpodobnosti systému náhodných veličin ( X, Y) lze reprezentovat jako součin dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na X, a druhý - pouze z y, pak množství X A Y nezávislý.
243. Dokaž, že kdyby X A Y připojeno lineární závislost Y = sekera + b, pak je absolutní hodnota korelačního koeficientu rovna jednotce.
Řešení. Podle definice korelačního koeficientu
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M( ∙). (*)
Pojďme najít matematické očekávání Y:
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
Dosazením (**) do (*) po elementárních transformacích dostaneme
m xу = aM 2 = aD(X) = jako 2 x.
Vezmeme-li v úvahu, že
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
pojďme najít rozptyl Y:
D(Y) = M2 = a2M2 = a2s2x.
Odtud s y = |a|s x. Proto korelační koeficient
Li A> 0, tedy r xy= 1; Li A < 0, то r xy = –1.
Takže | r xy| = 1, což je potřeba dokázat.
