Komplexní integrály

Tento článek doplňuje téma neurčitých integrálů a zahrnuje integrály, které považuji za poměrně obtížné. Lekce vznikla na opakovanou žádost návštěvníků, kteří vyjádřili přání, aby na stránce byly rozebrány složitější příklady.

Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a ví, jak aplikovat základní techniky integrace. Dummy a lidé, kteří si nejsou příliš jistí v integrály, by se měli obrátit na úplně první lekci - Neurčitý integrál. Příklady řešení kde se můžete naučit téma téměř od začátku. Zkušenější studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, se kterými se v mých článcích dosud nesetkali.

Jaké integrály budeme uvažovat?

Nejprve uvažujeme integrály s odmocninami, k jejichž řešení postupně používáme variabilní substituce A integrace po částech. To znamená, že v jednom příkladu se kombinují dvě metody najednou. A ještě víc.

Pak se seznámíme se zajímavým a originálním metoda redukce integrálu k sobě samému. Tímto způsobem se neřeší tak málo integrálů.

Třetím číslem programu budou integrály složených zlomků, které v minulých článcích proletěly kolem pokladny.

Za čtvrté budou analyzovány další integrály z goniometrických funkcí. Zejména existují metody, které se vyhýbají časově náročné univerzální trigonometrické substituci.

(2) V integrandu dělíme čitatele ve jmenovateli člen po člen.

(3) Využijeme vlastnosti linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu okamžitě uveďte funkci pod znaménko diferenciálu.

(4) Vezmeme zbývající integrály. Všimněte si, že v logaritmu můžete použít závorky a ne modul, protože .

(5) Provádíme zpětnou substituci, vyjadřující z přímé substituce "te":

Masochističtí studenti mohou rozlišit odpověď a získat původní integrand, jako jsem to právě udělal já. Ne, ne, provedl jsem kontrolu ve správném smyslu =)

Jak vidíte, v průběhu řešení bylo třeba použít i více než dvě metody řešení, takže k řešení takových integrálů potřebujete sebevědomé integrační schopnosti a neméně zkušeností.

V praxi je samozřejmě běžnější odmocnina, zde jsou tři příklady pro nezávislé řešení:

Příklad 2

Nalézt neurčitý integrál

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál

Tyto příklady jsou stejného typu, takže kompletní řešení na konci článku bude pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedna odpověď. Jakou náhradu použít na začátku rozhodnutí, je myslím zřejmé. Proč jsem zvolil stejný typ příkladů? Často se vyskytují v jejich rolích. Častěji snad jen něco podobného .

Ale ne vždy, když pod arkus tangens, sinus, kosinus, exponent a další funkce je kořen lineární funkce, je nutné aplikovat několik metod najednou. V řadě případů je možné „lehce vystoupit“, to znamená, že ihned po výměně se získá jednoduchý integrál, který je brán elementárně. Nejjednodušší z výše navržených úloh je příklad 4, ve kterém po nahrazení získáme relativně jednoduchý integrál.

Metoda redukce integrálu k sobě samému

Chytrá a krásná metoda. Pojďme se podívat na klasiky tohoto žánru:

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál

Pod odmocninou je čtvercový binom a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět hodiny. Takový integrál je přebírán po částech a redukován na sebe. V zásadě to není těžké. Pokud víte jak.

Označme uvažovaný integrál latinkou a začněme řešení:

Integrace po částech:

(1) Připravujeme integrand pro dělení po termínech.

(2) Integrand dělíme člen po členu. Možná ne každý rozumí, napíšu podrobněji:

(3) Využijeme vlastnosti linearity neurčitého integrálu.

(4) Vezmeme poslední integrál ("dlouhý" logaritmus).

Nyní se podívejme na úplný začátek řešení:

A na závěr:

Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál zredukoval na sebe!

Přirovnejte začátek a konec:

Přecházíme na levou stranu se změnou znamení:

A zbouráme dvojku na pravou stranu. Jako výsledek:

Konstanta, přísně vzato, měla být přidána dříve, ale přidal jsem ji na konec. Důrazně doporučuji přečíst si, jaká je závažnost zde:

Poznámka: Přesněji řečeno, závěrečná fáze řešení vypadá takto:

Tím pádem:

Konstantu lze přejmenovat pomocí . Proč se můžete přejmenovat? Protože to ještě trvá žádný hodnoty a v tomto smyslu není rozdíl mezi konstantami a.
Jako výsledek:

Podobný trik s neustálým přejmenováváním je široce používán v diferenciální rovnice. A tam budu přísný. A tady takové svobody jsou mnou povoleny jen proto, abych vás nepletl zbytečnostmi a zaměřil se na samotnou metodu integrace.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál

Další typický integrál pro samostatné řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce. Rozdíl oproti odpovědi z předchozího příkladu bude!

Pokud pod odmocnina nachází se čtvercový trojčlen, pak se řešení v každém případě redukuje na dva analyzované příklady.

Uvažujme například integrál . Vše, co musíte udělat, je předem vyberte celý čtverec:
.
Dále se provádí lineární výměna, která zvládá „bez jakýchkoli následků“:
, což má za následek integrál . Něco známého, že?

Nebo tento příklad se čtvercovým binomem:
Výběr celého čtverce:
A po lineárním nahrazení dostaneme integrál , který je také řešen již uvažovaným algoritmem.

Zvažte dva další typické příklady toho, jak redukovat integrál na sebe:
je integrál exponentu násobený sinem;
je integrál exponentu násobený kosinusem.

V uvedených integrálech po částech budete muset integrovat již dvakrát:

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál

Integrand je exponent násobený sinem.

Integrujeme po částech dvakrát a integrál redukujeme na sebe:

V důsledku dvojité integrace po částech se integrál redukuje sám na sebe. Přirovnejte začátek a konec řešení:

Přeneseme na levou stranu se změnou znaménka a vyjádříme náš integrál:

Připraven. Po cestě je žádoucí pročesat pravou stranu, tzn. vyjměte exponent ze závorek a umístěte sinus a kosinus do závorek v „krásném“ pořadí.

Nyní se vraťme na začátek příkladu, nebo spíše k integraci po částech:

Neboť jsme určili vystavovatele. Nabízí se otázka, je to exponent, který by měl být vždy označen ? Není nezbytné. Ve skutečnosti v uvažovaném integrálu zásadně na tom nezáleží, co označovat, dalo by se jít i jinak:

Proč je to možné? Protože se exponent přeměňuje v sebe (při derivování a integraci), sinus a kosinus se vzájemně přeměňují v sebe (opět jak při derivování, tak při integraci).

To znamená, že goniometrická funkce může být označena také. Ale v uvažovaném příkladu je to méně racionální, protože se objeví zlomky. Pokud chcete, můžete zkusit tento příklad vyřešit druhým způsobem, odpovědi musí být stejné.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Než se rozhodnete, zamyslete se nad tím, co je v tomto případě výhodnější určit, exponenciální nebo goniometrická funkce? Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

A samozřejmě nezapomeňte, že většinu odpovědí v této lekci lze poměrně snadno zkontrolovat rozlišováním!

Příklady nebyly považovány za nejobtížnější. V praxi jsou běžnější integrály, kde konstanta je jak v exponentu, tak v argumentu goniometrické funkce, například: . Mnoho lidí se bude muset v takovém integrálu zmást a já sám se často pletu. Faktem je, že v řešení je vysoká pravděpodobnost výskytu zlomků a je velmi snadné něco ztratit kvůli nepozornosti. Kromě toho existuje vysoká pravděpodobnost chyby ve znaménkách, všimněte si, že v exponentu je znaménko mínus, což přináší další potíže.

V konečné fázi to často dopadne takto:

I na konci řešení byste měli být velmi opatrní a správně zacházet se zlomky:

Integrace komplexních zlomků

Pomalu se blížíme k rovníku lekce a začínáme uvažovat integrály zlomků. Opět, ne všechny jsou super složité, jen z toho či onoho důvodu byly příklady v jiných článcích trochu „mimo téma“.

Pokračování v tématu kořenů

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál

Ve jmenovateli pod odmocninou je čtvercová trojčlenka plus mimo kořenový "přídavek" ve tvaru "x". Integrál tohoto tvaru je řešen pomocí standardní substituce.

rozhodujeme se:

Výměna je zde jednoduchá:

Pohled na životnost po výměně:

(1) Po substituci redukujeme členy pod kořenem na společného jmenovatele.
(2) Vyjmeme ho zpod kořene.
(3) Čitatele a jmenovatele zmenšíme o . Zároveň jsem pod rootem přeskupil podmínky ve vhodném pořadí. S určitými zkušenostmi lze kroky (1), (2) přeskočit provedením komentovaných akcí ústně.
(4) Výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, je vyřešeno extrakční metoda plné náměstí . Vyberte celý čtverec.
(5) Integrací získáme obyčejný "dlouhý" logaritmus.
(6) Provádíme zpětnou výměnu. Pokud zpočátku , pak zpět: .
(7) Závěrečná akce je zaměřena na úpravu výsledku: pod kořenem opět přivedeme termíny ke společnému jmenovateli a vyjmeme je zpod kořene.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Zde se k osamělému x přidá konstanta a nahrazení je téměř stejné:

Jediná věc, kterou je třeba udělat dodatečně, je vyjádřit „x“ z nahrazení:

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Někdy v takovém integrálu může být pod odmocninou čtvercový binom, to nemění způsob řešení, dokonce to bude ještě jednodušší. Cítit rozdíl:

Příklad 11

Najděte neurčitý integrál

Příklad 12

Najděte neurčitý integrál

Stručná řešení a odpovědi na konci lekce. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně binomický integrál, jehož způsob řešení byl v lekci zvažován Integrály iracionálních funkcí.

Integrál nerozložitelného polynomu 2. stupně na stupeň

(polynom ve jmenovateli)

Vzácnější, ale přesto, setkání v praktické příklady typ integrálu.

Příklad 13

Najděte neurčitý integrál

Ale zpět k příkladu se šťastným číslem 13 ( upřímně řečeno, neuhodl). Tento integrál je také z kategorie těch, se kterými můžete docela trpět, když si nevíte rady.

Řešení začíná umělou transformací:

Myslím, že každý už chápe, jak rozdělit čitatele podle jmenovatele člen po členu.

Výsledný integrál je rozdělen na části:

Pro integrál tvaru (- přirozené číslo) odvozené opakující se vzorec pro downgrade:
, Kde je integrál nižšího stupně.

Ověřme platnost tohoto vzorce pro řešený integrál.
V tomto případě: , , použijeme vzorec:

Jak vidíte, odpovědi jsou stejné.

Příklad 14

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Roztok vzorku používá výše uvedený vzorec dvakrát za sebou.

Pokud je pod stupeň nerozložitelnýčtvercový trojčlen, pak se řešení redukuje na binom vyjmutím celého čtverce, například:

Co když je v čitateli další polynom? V tomto případě je použita metoda neurčitých koeficientů a integrand je rozšířen na součet zlomků. Ale v mé praxi takový příklad nikdy nepotkal, tak jsem tento případ v článku přeskočil Integrály zlomkově-racionální funkce, teď to přeskočím. Pokud se takový integrál stále vyskytuje, podívejte se do učebnice - tam je vše jednoduché. Nepovažuji za účelné zařazovat materiál (byť jednoduchý), u kterého pravděpodobnost setkání bývá nulová.

Integrace komplexních goniometrických funkcí

Přídavné jméno „obtížný“ je u většiny příkladů opět z velké části podmíněné. Začněme tečnami a kotangens dovnitř vysoké stupně. Z hlediska použitých metod řešení tečny a kotangens jsou téměř totožné, proto budu mluvit spíše o tečně, to znamená, že demonstrovaná metoda řešení integrálu platí i pro kotangens.

Ve výše uvedené lekci jsme se podívali na univerzální trigonometrická substituceřešit určitý typ integrálů z goniometrické funkce. Nevýhodou univerzální goniometrické substituce je, že její aplikace často vede k těžkopádným integrálům s obtížnými výpočty. A v některých případech se lze vyhnout univerzální trigonometrické substituci!

Zvažte další kanonický příklad, integrál jednoty dělený sinem:

Příklad 17

Najděte neurčitý integrál

Zde můžete použít univerzální trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionálnější způsob. Poskytnu kompletní řešení s komentáři ke každému kroku:

(1) Použití trigonometrický vzorec sinus dvojitého úhlu.
(2) Provedeme umělou transformaci: Ve jmenovateli dělíme a násobíme .
(3) Podle známého vzorce ve jmenovateli zlomek převedeme na tečnu.
(4) Funkci přivedeme pod znaménko diferenciálu.
(5) Vezmeme integrál.

Pár jednoduchých příkladů, které můžete vyřešit sami:

Příklad 18

Najděte neurčitý integrál

Tip: Úplně prvním krokem je použít redukční vzorec a pečlivě provádějte akce podobné předchozímu příkladu.

Příklad 19

Najděte neurčitý integrál

No, toto je velmi jednoduchý příklad.

Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce.

Myslím, že nyní nikdo nebude mít problémy s integrály:
a tak dále.

Jaká je myšlenka této metody? Cílem je použít transformace, trigonometrické vzorce k uspořádání pouze tečen a derivace tečny v integrandu. To znamená, že mluvíme o nahrazení: . V příkladech 17-19 jsme skutečně použili toto nahrazení, ale integrály byly tak jednoduché, že to bylo provedeno s ekvivalentní akcí - uvedením funkce pod diferenciální znaménko.

Podobné úvahy, jak jsem již uvedl, lze provést pro kotangens.

Existuje také formální předpoklad pro použití výše uvedené substituce:

Součet mocnin kosinu a sinu je záporné celé číslo SUDÉ číslo, Například:

pro integrál celé záporné SUDÉ číslo.

! Poznámka : pokud integrand obsahuje POUZE sinus nebo POUZE kosinus, pak se integrál bere i se záporným lichým stupněm (nejjednodušší případy jsou v příkladech č. 17, 18).

Zvažte několik smysluplnějších úkolů pro toto pravidlo:

Příklad 20

Najděte neurčitý integrál

Součet stupňů sinus a kosinus: 2 - 6 \u003d -4 - záporné celé číslo SUDÉ číslo, což znamená, že integrál lze redukovat na tečny a jeho derivaci:

(1) Transformujme jmenovatele.
(2) Podle známého vzorce získáme .
(3) Transformujme jmenovatele.
(4) Použijeme vzorec .
(5) Přivedeme funkci pod diferenciální znaménko.
(6) Provádíme výměnu. Zkušenější studenti nemusí záměnu provést, ale přesto je lepší nahradit tečnu jedním písmenem - hrozí menší riziko záměny.

Příklad 21

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad typu „udělej si sám“.

Vydržte, mistrovská kola začínají =)

V integrandu se často vyskytuje „miška“:

Příklad 22

Najděte neurčitý integrál

Tento integrál zpočátku obsahuje tečnu, která okamžitě naznačuje již známou myšlenku:

Umělou proměnu hned na začátku a zbytek kroků nechám bez komentáře, jelikož vše již bylo řečeno výše.

Několik kreativních příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 23

Najděte neurčitý integrál

Příklad 24

Najděte neurčitý integrál

Ano, samozřejmě v nich můžete snížit stupně sinus, kosinus, použít univerzální trigonometrickou substituci, ale řešení bude mnohem efektivnější a kratší, pokud bude vedeno přes tečny. Úplné řešení a odpovědi na konci lekce

Integrály logaritmů

Integrace po částech. Příklady řešení

Řešení.

Např.

Vypočítejte integrál:

Použití vlastností integrálu (linearita), ᴛ.ᴇ. , redukujeme na tabulkový integrál, dostaneme to

Ahoj znovu. Dnes se v lekci naučíme, jak integrovat po částech. Metoda integrace po částech je ϶ᴛᴏ jedním ze základních kamenů integrálního výpočtu. V testu, zkoušce, je studentovi téměř vždy nabídnuto řešení integrálů následujících typů: nejjednodušší integrál (viz článekNeurčitý integrál. Příklady řešení ) nebo integrál pro změnu proměnné (viz článekMetoda změny proměnné v neurčitém integrálu ) nebo integrál jen na metoda integrace po částech.

Jako vždy by mělo být po ruce: Tabulka integrálů A Tabulka derivátů. Pokud je ještě nemáte, navštivte prosím spíž mých stránek: Matematické vzorce a tabulky. Nenechám se unavovat opakováním - je lepší vše vytisknout. Pokusím se prezentovat veškerý materiál konzistentně, jednoduše a přístupně, při integraci po částech nejsou žádné zvláštní potíže.

Jaký problém řeší integrace po částech? Způsob integrace po částech řeší velmi důležitý úkol, umožňuje integrovat některé funkce, které nejsou v tabulce, práce funkce a v některých případech - a soukromé. Jak si pamatujeme, neexistuje žádný vhodný vzorec: . Ale existuje toto: - vzorec pro integraci po částech osobně. Já vím, já vím, jsi jediný - s ní budeme pracovat celou lekci (už je to jednodušší).

A hned seznam ve studiu. Integrály následujících typů se berou po částech:

1) , - logaritmus, logaritmus vynásobený nějakým polynomem.

2) , je exponenciální funkce vynásobená nějakým polynomem. Patří sem také integrály jako - exponenciální funkce vynásobená polynomem, ale v praxi je to 97 procent, pod integrálem se chlubí pěkné písmeno ʼʼеʼʼ. ... článek se ukáže jako něco lyrického, ach ano ... přišlo jaro.

3) , jsou goniometrické funkce vynásobené nějakým polynomem.

4) , jsou inverzní goniometrické funkce (ʼʼarchesʼʼ), ʼʼarchesʼʼ, násobené nějakým polynomem.

Některé zlomky jsou také brány po částech, budeme také podrobně zvažovat odpovídající příklady.

Příklad 1

Najděte neurčitý integrál.

Klasický. Čas od času lze tento integrál najít v tabulkách, ale je nežádoucí použít hotovou odpověď, protože učitel má na jaře beri-beri a bude se hodně nadávat. Protože uvažovaný integrál není v žádném případě tabulkový - bere se po částech. rozhodujeme se:

Pro mezilehlá vysvětlení řešení přerušíme.

Pro integraci po částech používáme vzorec:

Integrály logaritmů - pojem a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Integrály logaritmů" 2017, 2018.

Tabulka primitivních prvků ("integrálů"). Tabulka integrálů. Tabelární ne určité integrály. (Jednoduché integrály a integrály s parametrem). Vzorce pro integraci po částech. Newtonův-Leibnizův vzorec.

Tabulka primitivních prvků ("integrálů"). Tabulkové neurčité integrály. (Jednoduché integrály a integrály s parametrem).
Integrál výkonové funkce.	Integrál výkonové funkce.
Integrál, který se redukuje na integrál výkonové funkce, pokud je x řízeno pod znaménkem diferenciálu.
	Exponenciální integrál, kde a je konstantní číslo.
Integrál složené exponenciální funkce.	Integrál exponenciální funkce.
Integrál rovný přirozenému logaritmu.	Integrál: "Dlouhý logaritmus".
	Integrál: "Dlouhý logaritmus".
Integrál: "Vysoký logaritmus".	Integrál, kde je x v čitateli uvedeno pod znaménko diferenciálu (konstantu pod znaménkem lze sčítat i odečítat), je ve výsledku podobný integrálu rovnému přirozenému logaritmu.
Integrál: "Vysoký logaritmus".
Kosinusový integrál.	Sinusový integrál.
Integrál rovný tečně.	Integrál rovný kotangensu.
Integrál rovný arkussinus i arkussinus
Integrál rovný jak inverznímu sinu, tak inverznímu kosinu.	Integrál rovný arkus tangens i arkotangens.
Integrál je roven kosekansu.	Integrál se rovná sečně.
Integrál rovný arcsekantu.	Integrál rovný kosekansu oblouku.
Integrál rovný arcsekantu.	Integrál rovný arcsekantu.
Integrál rovný hyperbolickému sinusu.	Integrál rovný hyperbolickému kosinusu.
Integrál rovný hyperbolickému sinusu, kde sinhx je v angličtině hyperbolický sinus.	Integrál rovný hyperbolickému kosinusu, kde sinhx je v anglické verzi hyperbolický sinus.
Integrál rovný hyperbolické tečně.	Integrál rovný hyperbolickému kotangensu.
Integrál rovný hyperbolické sečně.	Integrál rovný hyperbolickému kosekansu.

Vzorce pro integraci po částech. Integrační pravidla.

Vzorce pro integraci po částech. Newtonův-Leibnizův vzorec Integrační pravidla.
Integrace produktu (funkce) pomocí konstanty:
Integrace součtu funkcí:
neurčité integrály:
Vzorec integrace podle částí určité integrály:
Newtonův-Leibnizův vzorec určité integrály:	Kde F(a), F(b) jsou hodnoty primitivních derivátů v bodech b a a.

Tabulka derivátů. Derivace tabulky. Derivát produktu. Derivát soukromého. Derivát komplexní funkce.

Pokud je x nezávislá proměnná, pak:

Tabulka derivátů. Derivace tabulky. "derivát tabulky" - ano, bohužel, tak se hledají na internetu
	Derivace mocninné funkce
	Derivace exponentu
Derivace složené exponenciální funkce	Derivace exponenciální funkce
Derivace logaritmické funkce	Derivace přirozeného logaritmu
	Derivace přirozeného logaritmu funkce
Sinusová derivace	kosinový derivát
Derivát kosekantu	Sekantová derivace
Derivace arcsinusu	Arc cosinus derivace
Derivace arcsinusu	Arc cosinus derivace
Tečná derivace	Kotangens derivace
Arkustangens derivace	Derivace inverzní tečny
Arkustangens derivace	Derivace inverzní tečny
Derivát arcsekantu	Derivát obloukového kosekansu
Derivát arcsekantu	Derivát obloukového kosekansu
Derivace hyperbolického sinusu Derivace hyperbolického sinu v anglické verzi	Hyperbolický kosinový derivát Derivát hyperbolického kosinusu v anglické verzi
Derivace hyperbolické tečny	Derivace hyperbolického kotangens
Derivace hyperbolické sečny	Derivát hyperbolického kosekansu

Pravidla diferenciace. Derivát produktu. Derivát soukromého. Derivace komplexní funkce.
Derivace součinu (funkce) konstantou:
Derivace součtu (funkce):
Derivát součinu (funkcí):
Derivace kvocientu (funkcí):
Derivace komplexní funkce:

Vlastnosti logaritmů. Základní vzorce logaritmů. Desetinné (lg) a přirozené logaritmy (ln).

Základní logaritmická identita
Ukažme si, jak lze libovolnou funkci tvaru a b učinit exponenciální. Protože funkce tvaru e x se nazývá exponenciální, pak
Jakákoli funkce tvaru a b může být reprezentována jako mocnina deseti

Přirozený logaritmus ln (základ logaritmu e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylorova řada. Rozšíření funkce v Taylorově řadě.

Ukazuje se, že většina prakticky se vyskytující matematické funkce mohou být reprezentovány s libovolnou přesností v okolí určitého bodu ve formě mocninných řad obsahujících mocniny proměnné ve vzestupném pořadí. Například v blízkosti bodu x=1:

Při použití řádků tzv Taylor rows, smíšené funkce obsahující řekněme algebraické, goniometrické a exponenciální funkce lze vyjádřit jako čistě algebraické funkce. Pomocí sérií lze často rychle provést diferenciaci a integraci.

Taylorova řada v blízkosti bodu a má následující tvary:

1) , kde f(x) je funkce, která má derivace všech řádů v x=a. R n - zbytek v Taylorově řadě je určen výrazem

2)

k-tý koeficient (při x k) řady je určen vzorcem

3) Speciálním případem Taylorovy řady je řada Maclaurin (=McLaren) (rozklad probíhá kolem bodu a=0)

pro a=0

členy řady jsou určeny vzorcem

Podmínky pro aplikaci Taylorovy řady.

1. Aby funkce f(x) mohla být rozšířena v Taylorově řadě na intervalu (-R;R), je nutné a postačující, aby pro to byl zbývající člen v Taylorově vzorci (Maclaurin (=McLaren)). funkce má tendenci k nule v k →∞ na zadaném intervalu (-R;R).

2. Je nutné, aby pro tuto funkci existovaly derivace v bodě, v jehož blízkosti budeme stavět Taylorovu řadu.

Vlastnosti Taylorovy řady.

Jestliže f je analytická funkce, pak její Taylorova řada v libovolném bodě a definičního oboru f konverguje k f v nějakém okolí a.

Existují nekonečně diferencovatelné funkce, jejichž Taylorova řada konverguje, ale liší se od funkce v libovolném okolí a. Například:

Taylorovy řady se používají v aproximaci (aproximace - vědecká metoda, která spočívá v nahrazení některých objektů jinými, v tom či onom smyslu blízkými původním, ale jednodušším) funkcím polynomy. Zejména linearizace ((z linearis - lineární), jedna z metod přibližné reprezentace uzavřených nelineárních systémů, ve které je studium nelineárního systému nahrazeno analýzou lineárního systému, v jistém smyslu ekvivalentnímu původnímu. .) rovnic nastává rozšířením do Taylorovy řady a odříznutím všech členů nad prvním řádem.

Téměř každá funkce tedy může být reprezentována jako polynom s danou přesností.

Příklady některých běžných rozšíření mocninných funkcí v Maclaurinových řadách (=McLaren,Taylor v okolí bodu 0) a Taylor v okolí bodu 1. První členy expanzí hlavních funkcí v Taylorových a MacLarenových řadách.

Příklady některých běžných rozšíření mocninných funkcí v Maclaurinových řadách (= MacLaren, Taylor v blízkosti bodu 0)

Příklady některých běžných rozšíření Taylorovy řady kolem bodu 1

Integrace po částech. Příklady řešení

Ahoj znovu. Dnes se v lekci naučíme, jak integrovat po částech. Metoda integrace po částech je jedním ze základních kamenů integrálního počtu. U testu, zkoušky je studentovi téměř vždy nabídnuto řešení integrálů typu: nejjednodušší integrál (viz článek) nebo integrál pro změnu proměnné (viz článek) nebo integrál jen na metoda integrace po částech.

Jako vždy by mělo být po ruce: Tabulka integrálů A Tabulka derivátů. Pokud je stále nemáte, navštivte prosím sklad mého webu: Matematické vzorce a tabulky. Nenechám se unavovat opakováním - je lepší vše vytisknout. Pokusím se prezentovat veškerý materiál konzistentně, jednoduše a přístupně, při integraci po částech nejsou žádné zvláštní potíže.

Jaký problém řeší integrace po částech? Metoda integrace po částech řeší velmi důležitý problém, umožňuje integrovat některé funkce, které nejsou v tabulce, práce funkce a v některých případech - a soukromé. Jak si pamatujeme, neexistuje žádný vhodný vzorec: . Ale je tam tento: je vzorec pro integraci po částech osobně. Já vím, já vím, jsi jediný - s ní budeme pracovat celou lekci (už je to jednodušší).

A hned seznam ve studiu. Integrály následujících typů se berou po částech:

1) , , - logaritmus, logaritmus vynásobený nějakým polynomem.

2) ,je exponenciální funkce vynásobená nějakým polynomem. Patří sem také integrály jako - exponenciální funkce násobená polynomem, ale v praxi je to 97 procent, pod integrálem se chlubí pěkné písmeno „e“. ... článek se ukáže jako něco lyrického, ach ano ... přišlo jaro.

3) , , jsou goniometrické funkce vynásobené nějakým polynomem.

4) , - inverzní goniometrické funkce („oblouky“), „oblouky“, vynásobené nějakým polynomem.

Některé zlomky jsou také brány po částech, budeme také podrobně zvažovat odpovídající příklady.

Integrály logaritmů

Příklad 1

Klasický. Čas od času lze tento integrál najít v tabulkách, ale je nežádoucí použít hotovou odpověď, protože učitel má na jaře beri-beri a bude se hodně nadávat. Protože uvažovaný integrál není v žádném případě tabulkový - bere se po částech. rozhodujeme se:

Pro mezilehlá vysvětlení řešení přerušíme.

Pro integraci po částech používáme vzorec:

Vzorec se aplikuje zleva doprava

Podíváme se na levou stranu:. Je zřejmé, že v našem příkladu (a ve všech ostatních, které budeme zvažovat) je třeba něco označit a něco pomocí .

V integrálech uvažovaného typu vždy značíme logaritmus.

Technicky je návrh řešení realizován následovně, do sloupce zapíšeme:

To znamená, že jsme označili logaritmus a protože - zbývající část integrand.

Další krok: najděte rozdíl:

Diferenciál je téměř stejný jako derivace, o tom, jak jej najít, jsme již diskutovali v předchozích lekcích.

Nyní najdeme funkci. Pro nalezení funkce je nutné integrovat pravá strana nižší rovnost:

Nyní otevřeme naše řešení a sestrojíme pravou stranu vzorce: .
Mimochodem, zde je příklad konečného řešení s malými poznámkami:

Jediný okamžik v součinu jsem okamžitě přeskupil a protože je zvykem psát násobitel před logaritmus.

Jak vidíte, použití vzorce integrace po částech v podstatě zredukovalo naše řešení na dva jednoduché integrály.

Upozorňujeme, že v některých případech hned po při aplikaci vzorce se nutně pod zbývajícím integrálem provede zjednodušení - v uvažovaném příkladu jsme integrand zredukovali o "x".

Udělejme kontrolu. Chcete-li to provést, musíte vzít derivát odpovědi:

Získá se původní integrand, což znamená, že integrál je vyřešen správně.

Při ověřování jsme použili pravidlo diferenciace produktů: . A to není náhoda.

Vzorec integrace podle částí a vzorec Jedná se o dvě vzájemně inverzní pravidla.

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál.

Integrand je součin logaritmu a polynomu.
rozhodujeme se.

Ještě jednou podrobně popíšu postup aplikace pravidla, v budoucnu budou příklady zpracovány stručněji a pokud budete mít potíže s řešením sami, musíte se vrátit k prvním dvěma příkladům lekce .

Jak již bylo zmíněno, je nutné určit logaritmus (na tom, že je v určité míře, nezáleží). Označujeme zbývající část integrand.

Napíšeme do sloupce:

Nejprve najdeme diferenciál:

Zde použijeme pravidlo derivace komplexní funkce . Ne náhodou hned na první lekci tématu Neurčitý integrál. Příklady řešení Zaměřil jsem se na to, že abyste zvládli integrály, musíte "dostat do ruky" derivace. Deriváty budou muset čelit více než jednou.

Nyní najdeme funkci , pro tuto integraci pravá strana nižší rovnost:

Pro integraci jsme použili nejjednodušší tabulkový vzorec

Nyní jste připraveni použít vzorec . Otevřeme jej „hvězdičkou“ a „navrhneme“ řešení v souladu s pravou stranou:

Pod integrálem máme opět polynom na logaritmu! Proto je řešení opět přerušeno a podruhé je aplikováno pravidlo integrace po částech. Nezapomeňte, že v podobných situacích se vždy značí logaritmus.

Bylo by hezké, kdybyste v tomto bodě byli schopni najít nejjednodušší integrály a derivace ústně.

(1) Nenechte se zmást ve znameních! Velmi často se zde ztrácí mínus, všimněte si také, že platí mínus všem Závorka a tyto závorky je třeba správně otevřít.

(2) Rozbalte závorky. Poslední integrál zjednodušíme.

(3) Vezmeme poslední integrál.

(4) „Česání“ odpovědi.

Potřeba aplikovat pravidlo integrace po částech dvakrát (nebo dokonce třikrát) není neobvyklá.

A nyní pár příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál.

Tento příklad je řešen metodou změny proměnné (nebo přičtením pod diferenciální znaménko)! A proč ne – můžete to zkusit vzít po částech, přijde vám legrační věc.

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál.

Ale tento integrál je integrován po částech (slíbený zlomek).

Jedná se o příklady pro samostatné řešení, řešení a odpovědi na konci lekce.

Zdá se, že v příkladech 3,4 jsou integrandy podobné, ale metody řešení jsou odlišné! To je právě hlavní úskalí při zvládnutí integrálů – pokud zvolíte špatnou metodu řešení integrálu, můžete se s tím popasovat hodiny jako s opravdovým hlavolamem. Čím více tedy budete řešit různé integrály, tím lépe, tím jednodušší bude test i zkouška. Navíc ve druhém ročníku bude diferenciální rovnice a bez zkušeností s řešením integrálů a derivací tam není co dělat.

Logaritmicky možná víc než dost. Ke svačině si také vzpomínám, že studenti technických oborů říkají ženským prsům logaritmy =). Mimochodem, je užitečné znát nazpaměť grafiku hlavní elementární funkce: sinus, kosinus, arkus tangens, exponenciála, polynomy třetího, čtvrtého stupně atd. Ne, samozřejmě, kondom na zeměkouli
Nebudu tahat, ale teď si budete hodně pamatovat z oddílu Grafy a funkce =).

Integrály exponentu násobené polynomem

Obecné pravidlo:

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál.

Pomocí známého algoritmu integrujeme po částech:

Pokud máte nějaké potíže s integrálem, měli byste se vrátit k článku Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu.

Jediná další věc, kterou musíte udělat, je "učesat" odpověď:

Ale pokud vaše výpočetní technika není příliš dobrá, nechte jako odpověď nejziskovější možnost. nebo dokonce

To znamená, že příklad je považován za vyřešený, když se vezme poslední integrál. Nebude to chyba, to je další věc, kterou může učitel požádat, aby odpověď zjednodušil.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál.

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Tento integrál je integrován dvakrát po částech. Speciální pozornost měli byste věnovat pozornost znaménkům - je snadné se v nich zmást, také si to pamatujeme - komplexní funkce.

Více o vystavovateli není co říci. Jen dodám, že exponenciála a přirozený logaritmus jsou vzájemně inverzní funkce, to jsem já na téma zábavných grafů vyšší matematiky =) Stop-stop, nebojte se, přednášející je střízlivý.

Integrály goniometrických funkcí násobené polynomem

Obecné pravidlo: vždy znamená polynom

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál.

Integrace po částech:

Hmmm...a není co komentovat.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad řešení pro kutily

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál

Další příklad se zlomkem. Stejně jako ve dvou předchozích příkladech je polynom označen.

Integrace po částech:

Pokud máte nějaké potíže nebo nedorozumění s hledáním integrálu, pak doporučuji lekci navštívit Integrály goniometrických funkcí.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál

Toto je příklad typu „udělej si sám“.

Tip: před použitím metody integrace podle částí byste měli použít nějaký trigonometrický vzorec, který převede součin dvou goniometrických funkcí do jedné funkce. Vzorec lze použít i při aplikaci metody integrace po částech, pro koho je výhodnější.

To je snad vše v tomto odstavci. Z nějakého důvodu jsem si vzpomněl na větu z hymny katedry fyziky a matematiky „A sinusový graf vlna za vlnou běží podél osy úsečky“ ....

Integrály inverzních goniometrických funkcí.
Integrály inverzních goniometrických funkcí násobené polynomem

Obecné pravidlo: vždy znamená inverzní goniometrickou funkci.

Připomínám, že inverzní goniometrické funkce zahrnují arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens. Pro stručnost jim budu říkat "oblouky"